मान लीजिए कि f एक R से R तक अवकलनीय फलन है,इस | vedclass

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Question

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \le 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ है।दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq y$):$\left| \frac{f(x) - f(y)}

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(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \le 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ है।दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq y$):$\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} ight| \le 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$.दोनों पक्षों में $x 	o y$ सीमा लेने पर:$\lim_{x 	o y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} ight| \le \lim_{x 	o y} 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$.इसका अर्थ है कि $|f'(y)| \le 0$.चूँकि मापांक कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$.यदि अवकलज शून्य है,तो फलन $f(x)$ एक अचर फलन होना चाहिए।दिया गया है कि $f(0) = 1$,इसलिए अचर फलन $f(x) = 1$ है।अब,समाकलन की गणना करने पर:$\int_{0}^{1} f^2(x) dx = \int_{0}^{1} (1)^2 dx = \int_{0}^{1} 1 dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$.

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