यदि वक्रों y = kx^2 और x = ky^2 (k 0) के बी | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $y = kx^2$ और $x = ky^2$ हैं,जहाँ $k > 0$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = kx^2$ को $x = ky^2$ में प्रतिस्थापित करें:$x = k

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(B) दिए गए वक्र $y = kx^2$ और $x = ky^2$ हैं,जहाँ $k > 0$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = kx^2$ को $x = ky^2$ में प्रतिस्थापित करें:$x = k(kx^2)^2 = k^3 x^4$$x(k^3 x^3 - 1) = 0$अतः,$x = 0$ या $x^3 = \frac{1}{k^3}$,जिससे $x = 0$ या $x = \frac{1}{k}$ प्राप्त होता है।प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{1}{k}, \frac{1}{k})$ हैं।वक्रों के बीच घिरा क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_{0}^{1/k} (\sqrt{\frac{x}{k}} - kx^2) dx = 1$$A = \left[ \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{kx^3}{3} \right]_{0}^{1/k} = 1$$A = \left( \frac{2}{3\sqrt{k}} \cdot (\frac{1}{k})^{3/2} - \frac{k}{3} \cdot (\frac{1}{k})^3 \right) = 1$$A = \frac{2}{3k^2} - \frac{1}{3k^2} = \frac{1}{3k^2} = 1$$3k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{3}$चूँकि $k > 0$ है,इसलिए $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

यदि वक्रों $y = kx^2$ और $x = ky^2$ $(k > 0)$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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