समतलों overline{r} cdot(overline{i}-2 overlin | vedclass

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Question

(D) दो समतलों $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ और $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का स

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$\overline{r} \cdot(\overline{i}+8 \overline{j}+2 \overline{k})=23$

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(D) दो समतलों $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ और $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ होता है। दिए गए समतल $\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 = 0$ और $\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5 = 0$ हैं। अतः अभीष्ट समतल का समीकरण $(\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$ होगा। यह समतल बिंदु $\overline{a} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ से गुजरता है। समीकरण में $\overline{r} = \overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}$ रखने पर: $((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3) + \lambda((\overline{i}+2 \overline{j}+3 \overline{k}) \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$. अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(1 - 6 - 3) + \lambda(4 + 3 - 5) = 0$ $-8 + \lambda(2) = 0 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$. $\lambda = 4$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $\overline{r} \cdot(\overline{i}-2 \overline{k}) - 3 + 4(\overline{r} \cdot(2 \overline{j}+\overline{k}) - 5) = 0$ $\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} - 2 \overline{k} + 4 \overline{k}) = 3 + 20$ $\overline{r} \cdot(\overline{i} + 8 \overline{j} + 2 \overline{k}) = 23$.

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रेखा $\vec{r} = (2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समतलों $2x - y = 0$ और $y - 3z = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले और समतल $4x + 5y - 3z - 8 = 0$ पर लंब समतल का समीकरण है

रेखा $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{2}$ और समतल $2x + 2y - z = 6$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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