AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है $r_1 > r_2 > r_3$.
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\Delta}{s-a} > \frac{\Delta}{s-b} > \frac{\Delta}{s-c}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta > 0$,इसलिए $s-a < s-b < s-c$.
सभी भागों से $s$ घटाने पर,हमें $-a < -b < -c$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमानता के चिह्न उलट जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $a > b > c$ प्राप्त होता है।

(C) दिया है,$\triangle ABC$ में,$r_1=12, r_2=18, r_3=36$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{r} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
अतः,$r = 6$।
साथ ही,$\Delta^2 = r_1 r_2 r_3 r = 12 \times 18 \times 36 \times 6 = 46656$।
इसलिए,$\Delta = \sqrt{46656} = 216$।
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$,इसलिए $s = \frac{\Delta}{r} = \frac{216}{6} = 36$।
हम जानते हैं कि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$।
मान रखने पर: $18 = \frac{216}{36-b}$।
$36-b = \frac{216}{18} = 12$।
$b = 36 - 12 = 24$।

(A) माना $E$ अंग्रेजी में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है और $M$ गणित में उत्तीर्ण छात्रों का समुच्चय है।
दिया गया है:
कुल छात्र $= 205$
$n(E) = 105$
$n(M) = 70$
$n(E \cap M) = 30$
हमें कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण छात्रों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $n(E \cup M)$ है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $n(E \cup M) = n(E) + n(M) - n(E \cap M)$
$n(E \cup M) = 105 + 70 - 30 = 145$
अब,दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण छात्रों की संख्या कुल छात्रों में से कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण छात्रों को घटाकर प्राप्त की जाती है।
दोनों में अनुत्तीर्ण छात्र $= 205 - 145 = 60$

(A) मान लीजिए $y = \tanh^{-1} x$ है।
तब $x = \tanh y$ होगा।
हाइपरबोलिक टेंजेंट फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $x = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$ है।
दोनों पक्षों को $(e^y + e^{-y})$ से गुणा करने पर,हमें $x(e^y + e^{-y}) = e^y - e^{-y}$ प्राप्त होता है।
$xe^y + xe^{-y} = e^y - e^{-y}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e^y(1 - x) = e^{-y}(1 + x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(1 - x)$ से विभाजित करने पर,हमें $e^y = e^{-y} \frac{1 + x}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $e^y$ से गुणा करने पर,हमें $e^{2y} = \frac{1 + x}{1 - x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $2y = \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x+y+z=12$ ... $(i)$
$x^2+y^2+z^2=50$ ... $(ii)$
$x^3+y^3+z^3=216$ ... $(iii)$
सर्वसमिका $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ का उपयोग करने पर:
$12^2 = 50 + 2(xy+yz+zx)$
$144 - 50 = 2(xy+yz+zx)$
$xy+yz+zx = 47$
सर्वसमिका $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx))$ का उपयोग करने पर:
$216 - 3xyz = 12(50 - 47)$
$216 - 3xyz = 12(3) = 36$
$3xyz = 180 \Rightarrow xyz = 60$
अब,$x, y, z$ त्रिघात समीकरण $t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$ के मूल हैं:
$t^3 - 12t^2 + 47t - 60 = 0$
मूलों की जाँच करने पर,$t=3$ के लिए: $27 - 12(9) + 47(3) - 60 = 27 - 108 + 141 - 60 = 0$. अतः $(t-3)$ एक गुणनखंड है।
$(t-3)(t^2-9t+20) = 0$
$(t-3)(t-4)(t-5) = 0$
मूल $3, 4, 5$ हैं।
चूंकि $x, y, z$ समुच्चय ${3, 4, 5}$ का कोई भी क्रमचय हो सकते हैं,इसलिए हलों की संख्या $3! = 6$ है।

(D) दिया गया संबंध $f: R_{+} \rightarrow R_{+}$ है,जो $f(x) = 3x^2 - 2$ द्वारा परिभाषित है।
$f$ के फलन होने के लिए,प्रांत $R_{+}$ के प्रत्येक अवयव $x$ का सह-प्रांत $R_{+}$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब $f(x)$ होना चाहिए।
चूंकि $x \in (0, \infty)$,इसलिए $x^2 > 0$,जिससे $3x^2 > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 3x^2 - 2 > -2$।
इसका अर्थ है कि $f$ का परिसर $(-2, \infty)$ है।
यहाँ सह-प्रांत $R_{+} = (0, \infty)$ दिया गया है,और परिसर $(-2, \infty)$ सह-प्रांत $(0, \infty)$ का उपसमुच्चय नहीं है (उदाहरण के लिए,यदि $x=0.5$ लें,तो $f(0.5) = 3(0.25) - 2 = 0.75 - 2 = -1.25$,जो $R_{+}$ में नहीं है),इसलिए संबंध $f$ प्रांत के प्रत्येक अवयव को सह-प्रांत के अवयव से नहीं जोड़ता है।
अतः,$f$ एक फलन नहीं है।

(C) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$f(1) = a + b + c$ और $f(2) = 4a + 2b + c$.
पहली शर्त से: $f(1) + 2f(2) = 0$
$(a + b + c) + 2(4a + 2b + c) = 0$
$a + b + c + 8a + 4b + 2c = 0$
$9a + 5b + 3c = 0$ ... $(i)$
दूसरी शर्त से: $2f(1) + f(2) = 0$
$2(a + b + c) + (4a + 2b + c) = 0$
$2a + 2b + 2c + 4a + 2b + c = 0$
$6a + 4b + 3c = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(9a + 5b + 3c) - (6a + 4b + 3c) = 0 - 0$
$3a + b = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $|x|+|y|=|x-3|+|y-2|$.
स्थिति $I$: $0 \leq x < 3$ और $0 \leq y < 2$.
इस क्षेत्र में,$|x|=x$,$|y|=y$,$|x-3|=-(x-3)$,और $|y-2|=-(y-2)$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x+y = -(x-3) - (y-2)$.
$x+y = -x+3-y+2$.
$2x+2y = 5$.
$x+y = 5/2$.
स्थिति $II$: $x \geq 3$ और $y \geq 2$.
इस क्षेत्र में,$|x|=x$,$|y|=y$,$|x-3|=x-3$,और $|y-2|=y-2$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x+y = (x-3) + (y-2)$.
$x+y = x+y-5$.
$0 = -5$,जो असंभव है।
अतः,शर्त $x+y = 5/2$ केवल $0 \leq x < 3$ और $0 \leq y < 2$ के लिए सत्य है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) x+y+z=1$
$2) x^2+y^2+z^2=1$
$3) x^3+y^3+z^3=1$
समीकरण $(1)$ से,$z = 1 - x - y$ है। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2 = 1$
$x^2 + y^2 + 1 + x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2xy = 1$
$2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y = 0$
$x^2 + y^2 + xy - x - y = 0$
यदि हम दो चरों को $0$ मान लें,तो तीसरा चर $1$ होगा। उदाहरण के लिए,यदि $x=1, y=0, z=0$ है,तो $1+0+0=1$,$1^2+0^2+0^2=1$,और $1^3+0^3+0^3=1$ प्राप्त होता है। ये सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
$(1, 0, 0)$ के क्रमपरिवर्तन लेने पर,हमें $(1, 0, 0)$,$(0, 1, 0)$,और $(0, 0, 1)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $3$ हल हैं।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित हैं।
इसलिए,रेखा $y = x$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरती है।
$y^2 = 4ax$ और $y = x$ को हल करने पर:
$x^2 = 4ax \Rightarrow x(x - 4a) = 0 \Rightarrow x = 0$ या $x = 4a$।
जब $x = 0$ है,तो $y = 0$। जब $x = 4a$ है,तो $y = 4a$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4a, 4a)$ हैं।
चूंकि रेखा $2bx + 3cy + 4d = 0$ बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है:
$2b(0) + 3c(0) + 4d = 0 \Rightarrow 4d = 0 \Rightarrow d = 0$।
चूंकि यह $(4a, 4a)$ से भी गुजरती है:
$2b(4a) + 3c(4a) + 4d = 0 \Rightarrow 8ab + 12ac + 4d = 0$।
$d = 0$ और $a \neq 0$ होने के कारण,$8ab + 12ac = 0 \Rightarrow 4a(2b + 3c) = 0 \Rightarrow 2b + 3c = 0$।
इसलिए,$d^2 + (2b + 3c)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$।

(D) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्र $y^2 = 4ax$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4a$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
इस प्रकार,$(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_1 = \frac{2a}{y_1}$ है।
वक्र $xy = c^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $x \frac{dy}{dx} + y = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।
इस प्रकार,$(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_2 = -\frac{y_1}{x_1}$ है।
चूंकि वक्र लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 \times m_2 = -1$।
$\frac{2a}{y_1} \times (-\frac{y_1}{x_1}) = -1 \Rightarrow \frac{2a}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = 2a$।
चूंकि $(x_1, y_1)$,$y^2 = 4ax$ पर स्थित है,$y_1^2 = 4a(2a) = 8a^2$।
चूंकि $(x_1, y_1)$,$xy = c^2$ पर स्थित है,$x_1 y_1 = c^2$,अतः $(x_1 y_1)^2 = c^4$।
$x_1 = 2a$ और $y_1^2 = 8a^2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $c^4 = x_1^2 y_1^2 = (2a)^2 (8a^2) = 4a^2 \times 8a^2 = 32a^4$।

(C) दिया गया समीकरण $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$
$(x^4-1)(x^7+1) = 0$.
स्थिति $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^4=1$.
मूल $k=0, 1, 2, 3$ के लिए $x = e^{i(2k\pi/4)}$ हैं। ये $1, i, -1, -i$ हैं। कुल $4$ भिन्न मूल हैं।
स्थिति $(ii)$: $x^7+1=0 \implies x^7=-1$.
मूल $k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ के लिए $x = e^{i((2k+1)\pi/7)}$ हैं। कुल $7$ भिन्न मूल हैं।
कुल भिन्न हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,उभयनिष्ठ मूलों की जाँच करते हैं:
यदि $x^4=1$ और $x^7=-1$ है,तो $|x|=1$ होगा।
यदि $x$ एक उभयनिष्ठ मूल है,तो $x^4=1$ और $x^7=-1$ होगा।
तब $x^8 = (x^4)^2 = 1^2 = 1$.
चूँकि $x^8 = x^7 \cdot x = 1$,हमारे पास $(-1) \cdot x = 1$ है,इसलिए $x = -1$।
जाँचें कि क्या $x = -1$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$(-1)^4 = 1$ (सत्य) और $(-1)^7 = -1$ (सत्य)।
अतः,$x = -1$ एकमात्र उभयनिष्ठ मूल है।
कुल भिन्न हल = ($x^4-1=0$ के मूलों की संख्या) + ($x^7+1=0$ के मूलों की संख्या) - (उभयनिष्ठ मूलों की संख्या)
कुल = $4 + 7 - 1 = 10$.

(B) एक बहुपद $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ को मोनिक बहुपद तब कहा जाता है जब उसका मुख्य गुणांक (leading coefficient),जो कि उच्चतम घात वाले पद $x^n$ का गुणांक है,$1$ के बराबर हो।
अतः,दिए गए बहुपद $f(x)$ के मोनिक होने के लिए,$a_n = 1$ होना चाहिए।

(D) माना $f(\alpha) = \left(1 + \frac{1}{\sin^n \alpha}\right) \left(1 + \frac{1}{\cos^n \alpha}\right)$ है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक पदों के लिए,न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin^n \alpha = \cos^n \alpha$ हो,जिसका अर्थ है $\sin \alpha = \cos \alpha$,अर्थात $\alpha = \frac{\pi}{4}$।
$\alpha = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin \alpha = \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$ होता है।
अतः $\sin^n \alpha = \cos^n \alpha = (2^{-1/2})^n = 2^{-n/2}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(1 + \frac{1}{2^{-n/2}}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{-n/2}}\right) = (1 + 2^{n/2})(1 + 2^{n/2}) = (1 + 2^{n/2})^2$।
अतः,न्यूनतम मान $(1 + 2^{n/2})^2$ है।

(B) माना शीर्ष $A=(-1, 3)$,$B=(2, 5)$,और $C=(a, b)$ हैं। लंबकेंद्र $H=(1, 2)$ है।
चूंकि $AH \perp BC$,$AH$ की ढाल $(m_{AH})$ और $BC$ की ढाल $(m_{BC})$ का गुणनफल $-1$ है।
$m_{AH} = \frac{2-3}{1-(-1)} = \frac{-1}{2}$.
$m_{BC} = \frac{b-5}{a-2}$.
चूंकि $m_{AH} \times m_{BC} = -1$,हमारे पास $\left(\frac{-1}{2}\right) \times \left(\frac{b-5}{a-2}\right) = -1 \Rightarrow b-5 = 2(a-2) \Rightarrow b-5 = 2a-4 \Rightarrow 2a-b = -1$ ... $(i)$
इसी प्रकार,चूंकि $BH \perp AC$,$BH$ की ढाल $(m_{BH})$ और $AC$ की ढाल $(m_{AC})$ का गुणनफल $-1$ है।
$m_{BH} = \frac{2-5}{1-2} = \frac{-3}{-1} = 3$.
$m_{AC} = \frac{b-3}{a-(-1)} = \frac{b-3}{a+1}$.
चूंकि $m_{BH} \times m_{AC} = -1$,हमारे पास $3 \times \left(\frac{b-3}{a+1}\right) = -1 \Rightarrow 3b-9 = -a-1 \Rightarrow a+3b = 8$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ से,$b = 2a+1$. (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $a + 3(2a+1) = 8 \Rightarrow a + 6a + 3 = 8 \Rightarrow 7a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{7}$.
तब $b = 2(\frac{5}{7}) + 1 = \frac{10}{7} + \frac{7}{7} = \frac{17}{7}$.
अतः,$(a, b) = \left(\frac{5}{7}, \frac{17}{7}\right)$.

(C) समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के दिए गए शीर्ष $P(1, 2)$,$Q(4, 6)$,$R(5, 7)$ और $S(a, b)$ हैं।
एक समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका मध्यबिंदु समान होता है।
मान लीजिए $A$ विकर्णों $PR$ और $QS$ का मध्यबिंदु है।
विकर्ण $PR$ का मध्यबिंदु $A$ इस प्रकार है:
$A = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 7}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{9}{2} \right) = \left( 3, 4.5 \right)$.
विकर्ण $QS$ का मध्यबिंदु $A$ इस प्रकार है:
$A = \left( \frac{4 + a}{2}, \frac{6 + b}{2} \right)$.
मध्यबिंदुओं के निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{4 + a}{2} = 3 \implies 4 + a = 6 \implies a = 2$.
$\frac{6 + b}{2} = 4.5 \implies 6 + b = 9 \implies b = 3$.
अतः,$a = 2$ और $b = 3$ है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $(a, 8, -2)$,$(1, 4, 6)$ और $(5, 2, 10)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m: n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{5m + n}{m + n}$,$y = \frac{2m + 4n}{m + n}$,$z = \frac{10m + 6n}{m + n}$.
$y$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$8 = \frac{2m + 4n}{m + n} \implies 8m + 8n = 2m + 4n \implies 6m = -4n \implies \frac{m}{n} = -\frac{2}{3}$.
$z$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$-2 = \frac{10m + 6n}{m + n} \implies -2m - 2n = 10m + 6n \implies -12m = 8n \implies \frac{m}{n} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$.
चूंकि दोनों समीकरण समान अनुपात देते हैं,हम $x$-निर्देशांक का उपयोग करके $a$ ज्ञात करते हैं:
$a = \frac{5m + n}{m + n} = \frac{5(-\frac{2}{3}) + 1}{(-\frac{2}{3}) + 1} = \frac{-\frac{10}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = -7$.
अंत में,व्यंजक की गणना करने पर:
$\frac{2m}{n} - \frac{a}{3} = 2(-\frac{2}{3}) - (\frac{-7}{3}) = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

(B) दिए गए बिंदु $A(1, 2, -1)$ और $B(-1, 0, 1)$ हैं। बिंदु $P$,रेखाखंड $AB$ को $1: 2$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन के लिए,$P$ के निर्देशांक $\left( \frac{m_1 x_2 - m_2 x_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1 y_2 - m_2 y_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1 z_2 - m_2 z_1}{m_1 - m_2} \right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर:
$P = \left( \frac{1(-1) - 2(1)}{1 - 2}, \frac{1(0) - 2(2)}{1 - 2}, \frac{1(1) - 2(-1)}{1 - 2} \right)$
$P = \left( \frac{-1 - 2}{-1}, \frac{-4}{-1}, \frac{1 + 2}{-1} \right)$
$P = \left( \frac{-3}{-1}, \frac{-4}{-1}, \frac{3}{-1} \right) = (3, 4, -3)$.
अब,$Q = (1, 3, -1)$ के लिए दूरी $PQ$ ज्ञात करते हैं:
$PQ = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 3)^2 + (-3 - (-1))^2}$
$PQ = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (-2)^2}$
$PQ = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ इकाई।

(C) शीर्षों $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज के केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है $A(4, x, 1)$,$B(y, -5, 2)$,$C(7, 8, 3)$ और $G(3, 5, 2)$,अतः:
$G = \left(\frac{4+y+7}{3}, \frac{x-5+8}{3}, \frac{1+2+3}{3}\right) = (3, 5, 2)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{11+y}{3} = 3 \Rightarrow 11+y = 9 \Rightarrow y = -2$
$\frac{x+3}{3} = 5 \Rightarrow x+3 = 15 \Rightarrow x = 12$
चूंकि $CG$ एक माध्यिका है,$F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। $F$ के निर्देशांक हैं:
$F = \left(\frac{4+y}{2}, \frac{x-5}{2}, \frac{1+2}{2}\right)$
$x=12$ और $y=-2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \left(\frac{4-2}{2}, \frac{12-5}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(1, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$.

(B) मान लीजिए बिंदु $P(1,2,3)$ और $R(4,5,6)$ हैं। बिंदु $Q(3,4,5)$,$PR$ को $\lambda: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$Q = \left( \frac{\lambda(4) + 1(1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(5) + 1(2)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(6) + 1(3)}{\lambda + 1} \right) = (3,4,5)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1} = 3$
$4\lambda + 1 = 3\lambda + 3$
$\lambda = 2$
अब,हमें वह बिंदु ज्ञात करना है जो $Q(3,4,5)$ और $P(1,2,3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $-1: \lambda$ (अर्थात $-1: 2$) के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए अभीष्ट बिंदु $S(x, y, z)$ है। $-1: 2$ के अनुपात के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{-1(1) + 2(3)}{-1 + 2} = \frac{-1 + 6}{1} = 5$
$y = \frac{-1(2) + 2(4)}{-1 + 2} = \frac{-2 + 8}{1} = 6$
$z = \frac{-1(3) + 2(5)}{-1 + 2} = \frac{-3 + 10}{1} = 7$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5,6,7)$ है।

(D) $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों $(4, p, -3)$,$(-1, -1, 2)$ और $(3, 5, -8)$ के लिए,केंद्रक $\left(\frac{4-1+3}{3}, \frac{p-1+5}{3}, \frac{-3+2-8}{3}\right) = \left(2, \frac{p+4}{3}, -3\right)$ है।
$(1, 4, -2)$ और $(q, 2, -4)$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{1+q}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{-2-4}{2}\right) = \left(\frac{1+q}{2}, 3, -3\right)$ है।
केंद्रक और मध्य-बिंदु के निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2 = \frac{1+q}{2} \Rightarrow 4 = 1+q \Rightarrow q = 3$.
$\frac{p+4}{3} = 3 \Rightarrow p+4 = 9 \Rightarrow p = 5$.
अतः,$p^2 + q^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.

(D) कुल टिकटों की संख्या = $35$ है।
इनाम वाले टिकटों की संख्या = $10$ है।
बिना इनाम वाले टिकटों की संख्या = $35 - 10 = 25$ है।
इनाम न मिलने की प्रायिकता = $\frac{\text{बिना इनाम वाले टिकटों की संख्या}}{\text{कुल टिकटों की संख्या}} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 7 + 5 = 12$.
पहली हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{7}{12}$.
चूंकि गेंदों को प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है,इसलिए शेष हरी गेंदों की संख्या $6$ है और कुल गेंदों की संख्या $11$ है।
दूसरी हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{6}{11}$.
दो हरी गेंदें निकालने के बाद,शेष हरी गेंदों की संख्या $5$ है और कुल गेंदों की संख्या $10$ है।
तीसरी हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
तीनों गेंदों के हरे होने की प्रायिकता इन व्यक्तिगत प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P = \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10} = \frac{7 \times 6 \times 5}{12 \times 11 \times 10} = \frac{210}{1320} = \frac{7}{44}$.

(D) $x$ के लिए समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ है और $y$ के लिए समुच्चय $\{5, 6, 7\}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $4 \times 3 = 12$ है।
गुणनफल $xy$ सम होता है यदि $x$ या $y$ में से कम से कम एक संख्या सम हो।
वैकल्पिक रूप से,$xy$ विषम केवल तब होता है जब $x$ और $y$ दोनों विषम हों।
$x$ में विषम संख्याएँ $\{1, 3\}$ हैं (संख्या = $2$)।
$y$ में विषम संख्याएँ $\{5, 7\}$ हैं (संख्या = $2$)।
परिणामों की संख्या जहाँ $xy$ विषम है = $2 \times 2 = 4$।
परिणामों की संख्या जहाँ $xy$ सम है = $\text{कुल परिणाम} - \text{विषम परिणाम} = 12 - 4 = 8$।
$xy$ के सम होने की प्रायिकता = $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$।

(C) यह ध्यान दिया जा सकता है कि यदि गेंद न तो लाल है और न ही हरी,तो वह नीली होनी चाहिए।
नीली गेंदों की संख्या $= 7$.
कुल गेंदों की संख्या $= 8 + 7 + 6 = 21$.
अतः,नीली गेंद चुनने की प्रायिकता $= \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ है।

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनने वाली पाँच अंकों की कुल संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य हों।
अंकों ${1, 2, 3, 4, 5}$ का उपयोग करके,$4$ से विभाज्य दो अंकों के संभावित संयोजन $12, 24, 32, 52$ हैं।
इन $4$ मामलों में से प्रत्येक के लिए,शेष $3$ अंकों को पहले $3$ स्थानों पर $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ है।

(D) माना कुल राशि $S = 20000$ है। $X$ और $Y$ कर्मचारियों को दी गई राशि है।
दिया गया है कि $X + Y = 20000$ और $X > Y$।
चूंकि $X$ बड़ा भाग है,इसलिए $X$ का मान $(10000, 20000]$ के बीच होगा।
$X$ के लिए प्रतिदर्श समष्टि की कुल लंबाई $20000 - 10000 = 10000$ है।
हमें $X \geq 2Y$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$Y = 20000 - X$ प्रतिस्थापित करने पर,$X \geq 2(20000 - X)$ प्राप्त होता है।
$X \geq 40000 - 2X \Rightarrow 3X \geq 40000 \Rightarrow X \geq 40000/3$।
चूंकि $X$ का अधिकतम मान $20000$ है,इसलिए अनुकूल अंतराल $[40000/3, 20000]$ है।
इस अंतराल की लंबाई $20000 - 40000/3 = 20000/3$ है।
प्रायिकता $\frac{20000/3}{10000} = \frac{2}{3}$ है।

(C) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
जिन जोड़ों का योग $9$ होता है,वे $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
योग $9$ प्राप्त करने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(\text{योग } 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(D) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते चुनने के कुल तरीके ${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ हैं।
अनुकूल परिणामों में $4$ में से $1$ इक्का,$4$ में से $1$ रानी और $4$ में से $1$ गुलाम चुनना शामिल है।
इसे ${}^{4}C_1 \times {}^{4}C_1 \times {}^{4}C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ तरीकों से किया जा सकता है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{64}{22100} = \frac{16}{5525}$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $2 + 3 + 2 = 7$ है।
$7$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि निकाली गई गेंदों में से कोई भी नीली न हो। इसका अर्थ है कि दोनों गेंदें लाल और हरी गेंदों में से चुनी जानी चाहिए।
कुल गैर-नीली गेंदें = $2 \text{ (लाल)} + 3 \text{ (हरी)} = 5$ है।
$5$ गैर-नीली गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{10}{21}$ है।

(B) कुल खिलौनों की संख्या $21$ है। $1$ से $21$ के बीच सम संख्याएँ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ हैं। इस प्रकार,कुल $10$ सम संख्याएँ हैं।
पहला सम खिलौना निकालने की प्रायिकता $\frac{10}{21}$ है।
एक सम खिलौना निकालने के बाद,शेष $20$ खिलौनों में से $9$ सम संख्याएँ बची हैं।
दूसरा सम खिलौना निकालने की प्रायिकता $\frac{9}{20}$ है।
दोनों खिलौनों के सम संख्या दिखाने की प्रायिकता $\frac{10}{21} \times \frac{9}{20} = \frac{90}{420} = \frac{3}{14}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
कुल योग $2$ से $12$ के बीच हो सकता है।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
इन योगों को प्राप्त करने वाले परिणाम हैं:
योग $= 2: (1,1)$
योग $= 3: (1,2), (2,1)$
योग $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$
योग $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$
योग $= 11: (5,6), (6,5)$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ है।
प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) जब पासे को $4$ बार उछाला जाता है तो कुल परिणामों की संख्या $6^4 = 1296$ होती है।
प्रत्येक उछाल के लिए,मान $\{2, 3, 4, 5\}$ के सेट में होना चाहिए ताकि यह शर्त पूरी हो सके कि न्यूनतम $\ge 2$ और अधिकतम $\le 5$ हो।
प्रत्येक उछाल के लिए ऐसे $4$ अनुकूल परिणाम हैं।
$4$ उछालों के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $4^4 = 256$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4^4}{6^4} = \left(\frac{4}{6}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$ है।

(C) कुल कार्ड $= 30$.
सफेद कार्डों की संख्या $= 17$.
हरे कार्डों की संख्या $= 30 - 17 = 13$.
$IMPORTANT$ कार्डों की संख्या $= 4 + 5 = 9$.
हरे और $IMPORTANT$ दोनों कार्डों की संख्या $= 5$.
माना $G$ हरा कार्ड चुनने की घटना है और $I$ $IMPORTANT$ कार्ड चुनने की घटना है।
हमें $P(G \cup I) = P(G) + P(I) - P(G \cap I)$ ज्ञात करना है।
$P(G) = \frac{13}{30}$,$P(I) = \frac{9}{30}$,$P(G \cap I) = \frac{5}{30}$.
$P(G \cup I) = \frac{13}{30} + \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{17}{30}$.

(A) समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या $n(S) = 100$ है।
$1$ से $100$ के बीच पूर्ण घन संख्याएँ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,और $4^3 = 64$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों का समुच्चय $E = \{1, 8, 27, 64\}$ है,इसलिए $n(E) = 4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ है।

(D) कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
ताश की गड्डी में राजाओं की कुल संख्या $= 4$ है।
$52$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ है।
$4$ राजाओं में से $2$ राजा चुनने के तरीकों की संख्या $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
अतः,दोनों पत्तों के राजा होने की प्रायिकता $P = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$ है।

(C) कुल गेंदों की संख्या = $3 + 2 + 5 = 10$।
लाल न होने वाली गेंदों की संख्या = $3$ (सफेद) + $2$ (नीली) = $5$।
लाल न होने वाली गेंद निकालने की प्रायिकता = $\frac{\text{लाल न होने वाली गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$।

(A) मान लीजिए $P(P)$ व्यक्ति $P$ के सच बोलने की प्रायिकता है और $P(R)$ व्यक्ति $R$ के सच बोलने की प्रायिकता है।
दिया गया है: $P(P) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ और $P(R) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$.
अतः,उनके झूठ बोलने की प्रायिकताएँ $P(P') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ और $P(R') = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ हैं।
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
स्थिति $I$: $P$ सच बोलता है और $R$ झूठ बोलता है: $P(P) \times P(R') = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}$.
स्थिति $II$: $R$ सच बोलता है और $P$ झूठ बोलता है: $P(R) \times P(P') = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{20}$.
खंडन की कुल प्रायिकता $= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$.

(D) कुल बोतलों की संख्या = $6 + 3 + 4 = 13$.
$13$ में से $3$ बोतलें चुनने के तरीके = $^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि तीनों बोतलें एक ही प्रकार की हैं।
$E$ तब होता है यदि हम $V_1$ की $3$ बोतलें,या $V_2$ की $3$ बोतलें,या $V_3$ की $3$ बोतलें चुनें।
एक ही प्रकार की $3$ बोतलें चुनने के तरीके = $^6C_3 + ^3C_3 + ^4C_3$.
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
$^3C_3 = 1$.
$^4C_3 = 4$.
$E$ के लिए कुल अनुकूल तरीके = $20 + 1 + 4 = 25$.
$P(E) = \frac{25}{286}$.
इस बात की प्रायिकता कि तीनों बोतलें एक ही प्रकार की नहीं हैं = $1 - P(E) = 1 - \frac{25}{286} = \frac{286 - 25}{286} = \frac{261}{286}$.

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
एक गड्डी में $4$ गुलाम,$4$ बेगम और $4$ बादशाह होते हैं।
फेस कार्ड की कुल संख्या = $4 + 4 + 4 = 12$ है।
फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता,फेस कार्ड की संख्या और कुल पत्तों की संख्या का अनुपात है।
$P(\text{Face Card}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

(D) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_{4}$ हैं।
एक गड्डी में $4$ सूट होते हैं,जिनमें से प्रत्येक में $13$ पत्ते होते हैं।
एक ही सूट के $4$ पत्ते चुनने के तरीके $4 \times ^{13}C_{4}$ हैं।
प्रायिकता $P$ इस प्रकार है:
$P = \frac{4 \times ^{13}C_{4}}{^{52}C_{4}}$
$P = \frac{4 \times 715}{270725} = \frac{2860}{270725}$
भिन्न को सरल करने पर:
$P = \frac{44}{4165}$

(A) कुल शर्ट की संख्या $= 6 + 4 + 2 + 3 = 15$ है।
$15$ में से $2$ शर्ट चुनने के तरीके $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ हैं।
$2$ सफेद शर्ट चुनने के तरीके $^{2}C_2 = 1$ हैं।
$3$ नीली शर्ट चुनने के तरीके $^{3}C_2 = 3$ हैं।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,प्रायिकता है:
$P = \frac{^{2}C_2 + ^{3}C_2}{^{15}C_2} = \frac{1 + 3}{105} = \frac{4}{105}$.

(C) दिया गया है कि $A$ वह घटना है कि $X$ परीक्षा उत्तीर्ण करता है और $B$ वह घटना है कि $Y$ परीक्षा उत्तीर्ण करता है।
$P(A) = \frac{1}{7}$ और $P(B) = \frac{2}{9}$ है।
चूंकि घटनाएं $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(A \cap B) = \frac{1}{7} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{63}$ प्राप्त होता है।

(D) जब तीन निष्पक्ष सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
माना $E$ अधिकतम दो चित प्राप्त करने की घटना है।
पूरक घटना $E'$ की गणना करना आसान है,जो तीन चित प्राप्त करने की घटना है।
$E' = \{HHH\}$
$E'$ में परिणामों की संख्या $n(E') = 1$ है।
तीन चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{1}{8}$ है।
अधिकतम दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।

(B) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ पहले पासे पर $2$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है,अर्थात $A \in \{2, 4, 6\}$।
मान लीजिए $B$ दूसरे पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है,अर्थात $B \in \{3, 6\}$।
हमें एक पासे पर $2$ का गुणज और दूसरे पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
मान लीजिए $E$ अनुकूल परिणामों का समुच्चय है:
$E = \{(2,3), (4,3), (6,3), (2,6), (4,6), (6,6), (3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4)\}$।
ध्यान दें कि $(6,6)$ को शामिल किया गया है क्योंकि यह एक पासे पर $2$ का गुणज और दूसरे पासे पर $3$ का गुणज होने की शर्त को पूरा करता है।
$E$ में अवयवों की संख्या गिनने पर,हमें $n(E) = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{11}{36}$ है।

(A) मान लीजिए $P(X), P(Y), P(Z)$ क्रमशः छात्रों $X, Y, Z$ के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकताएं हैं।
दिया गया है:
$P(X) = \frac{1}{5} \implies P(X') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$P(Y) = \frac{1}{4} \implies P(Y') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(Z') = \frac{2}{3} \implies P(Z) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
हमें कम से कम दो छात्रों के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो कि ठीक दो छात्रों के उत्तीर्ण होने और तीनों छात्रों के उत्तीर्ण होने की प्रायिकताओं का योग है।
$P(\text{कम से कम 2 उत्तीर्ण}) = P(X)P(Y)P(Z') + P(X)P(Y')P(Z) + P(X')P(Y)P(Z) + P(X)P(Y)P(Z)$
$= (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3})$
$= \frac{2}{60} + \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{1}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दो संख्याओं का गुणनफल विषम तभी होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों।
पासे पर विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
उन परिणामों की संख्या जहाँ दोनों पासों पर विषम संख्या आती है,$3 \times 3 = 9$ है।
गुणनफल सम होता है यदि वह विषम न हो।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या जहाँ गुणनफल सम है,$36 - 9 = 27$ है।
सम गुणनफल प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ है।

(C) $3$ पुरुषों के $4$ होटलों में चेक-इन करने के कुल तरीकों की संख्या $4 \times 4 \times 4 = 64$ है।
यदि प्रत्येक पुरुष को अलग-अलग होटल में चेक-इन करना है,तो तरीकों की संख्या $4 \times 3 \times 2 = 24$ होगी।
(पहले पुरुष के पास $4$ विकल्प,दूसरे के पास $3$ विकल्प और तीसरे के पास $2$ विकल्प हैं)।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{24}{64} = \frac{3}{8}$ है।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि व्यक्ति $A$ समस्या को हल करता है और $B$ वह घटना है कि व्यक्ति $B$ समस्या को हल करता है।
दिया गया है,$P(A) = 0.90$ और $P(B) = 0.70$।
व्यक्ति $A$ के समस्या हल करने में विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.90 = 0.10$ है।
व्यक्ति $B$ के समस्या हल करने में विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - 0.70 = 0.30$ है।
उनमें से कम से कम एक व्यक्ति द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(\text{कोई हल नहीं कर पाता}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.10 \times 0.30 = 0.03$।
अतः,उनमें से कम से कम एक व्यक्ति द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $1 - 0.03 = 0.97$ है।

(D) $III$ वर्ष के छात्रों के लिए पर्चियों की कुल संख्या $= 3 \times 100 = 300$.
$II$ वर्ष के छात्रों के लिए पर्चियों की कुल संख्या $= 2 \times 150 = 300$.
$I$ वर्ष के छात्रों के लिए पर्चियों की कुल संख्या $= 1 \times 200 = 200$.
लॉटरी में पर्चियों की कुल संख्या $= 300 + 300 + 200 = 800$.
$III$ वर्ष के छात्र को कमरा मिलने की प्रायिकता,$III$ वर्ष के छात्र की पर्चियों की संख्या और कुल पर्चियों की संख्या का अनुपात है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{300}{800} = \frac{3}{8}$.