यदि रेखा y=1 पर एक बिंदु P(alpha, beta) इस प् | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया है कि बिंदु $P(\alpha, 1)$ रेखा $y=1$ पर स्थित है। मान लीजिए जीवा $PQ$ है और इसका मध्य बिंदु $x$-अक्ष पर $M(h, 0)$ है।वृत्त $x^2+y^2-\alp

Vedclass · Accepted Answer

$\alpha^2 > 8$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि बिंदु $P(\alpha, 1)$ रेखा $y=1$ पर स्थित है। मान लीजिए जीवा $PQ$ है और इसका मध्य बिंदु $x$-अक्ष पर $M(h, 0)$ है।वृत्त $x^2+y^2-\alpha x-y=0$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ है।यहाँ,$T = xh + yk - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}(y+k)$ और $S_1 = h^2+k^2-\alpha h-k$ है।चूंकि मध्य बिंदु $(h, 0)$ है,इसलिए $T = xh - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}y$ और $S_1 = h^2-\alpha h$ है।अतः,$xh - \frac{\alpha}{2}x - \frac{\alpha}{2}h - \frac{1}{2}y = h^2-\alpha h$ है।चूंकि यह जीवा $P(\alpha, 1)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x=\alpha$ और $y=1$ रखने पर:$\alpha h - \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha h}{2} - \frac{1}{2} = h^2 - \alpha h$ प्राप्त होता है।$2$ से गुणा करने पर: $2\alpha h - \alpha^2 - \alpha h - 1 = 2h^2 - 2\alpha h$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर: $2h^2 - 3\alpha h + \alpha^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।दो अलग-अलग जीवाओं के अस्तित्व के लिए,$h$ में द्विघात समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक मूल होने चाहिए।अतः,विविक्तकर $D > 0$:$(-3\alpha)^2 - 4(2)(\alpha^2+1) > 0$ है।$9\alpha^2 - 8\alpha^2 - 8 > 0$ है।$\alpha^2 - 8 > 0 \Rightarrow \alpha^2 > 8$ प्राप्त होता है।

Similar Questions

दो वृत्तों की मूल अक्ष (radical axis) और उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा . . . होती है।

वृत्त $x^2 + y^2 - x + y - 1 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(1, 1)$ की स्थिति क्या है?

वृत्तों $x^2+y^2-2x-6y+9=0$ और $x^2+y^2+6x-2y+1=0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है

उन वृत्तों के समीकरण,जो दोनों अक्षों और रेखा $4x+3y=12$ को स्पर्श करते हैं और जिनके केंद्र प्रथम चतुर्थांश में हैं,हैं

$3x - 4y + 5 = 0$ और $6x - 8y - 9 = 0$ रेखाओं को स्पर्श करने वाले किसी भी वृत्त की त्रिज्या क्या है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module