AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $n \rightarrow \infty$ के लिए:
चूंकि $2-\sqrt{2} < 1$,इसलिए $\lim _{n \rightarrow \infty} (2-\sqrt{2})^n = 0$.
अंश और हर को $(2+\sqrt{2})^n$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \sqrt{2} \left[ \frac{1 + \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right)^n}{1 - \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right)^n} \right] = \sqrt{2} \left[ \frac{1+0}{1-0} \right] = \sqrt{2}$.

(A) स्थिति $1$: जब $x < 0$,तो $n \rightarrow \infty$ के लिए $nx \rightarrow -\infty$। अतः,$e^{nx} \rightarrow 0$। सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A+0}{x+A(0)} = \frac{A}{x}$ हो जाती है।
स्थिति $2$: जब $x > 0$,तो $n \rightarrow \infty$ के लिए $nx \rightarrow \infty$। अतः,$e^{nx} \rightarrow \infty$। अंश और हर को $e^{nx}$ से विभाजित करने पर,हमें $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A/e^{nx} + 1}{x/e^{nx} + A} = \frac{0+1}{0+A} = \frac{1}{A}$ प्राप्त होता है (मान लीजिए $A \neq 0$)।

(A) $k = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^2 \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right)$ के लिए,$t = 1/x$ लें। जैसे $x \rightarrow 0^{+}$,$t \rightarrow \infty$.
$k = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t^2} \left( \frac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}} \right) = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t^2} \left( \frac{1 - e^{-2t}}{1 + e^{-2t}} \right) = 0 \times 1 = 0$.
$l = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} x^2 \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right)$ के लिए,$y = 1/x$ लें। जैसे $x \rightarrow 0^{-}$,$y \rightarrow -\infty$.
$l = \lim _{y \rightarrow -\infty} \frac{1}{y^2} \left( \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}} \right) = \lim _{y \rightarrow -\infty} \frac{1}{y^2} \left( \frac{e^{2y} - 1}{e^{2y} + 1} \right) = 0 \times (-1) = 0$.
अतः,$k = l = 0$.

(D) $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $x \rightarrow 0^+$,तो $\frac{1}{x} \rightarrow \infty$.
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1 - e^{-1/x}}{1 + e^{-1/x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $x \rightarrow 0^-$,तो $\frac{1}{x} \rightarrow -\infty$.
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
चूंकि बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा समान नहीं हैं,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ के लिए,$\frac{1}{x} \rightarrow 0$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \frac{e^0 - 1}{e^0 + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a + b^{1 / n} - 1}{a}\right)^n$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \left(1 + \frac{b^{1 / n} - 1}{a}\right)$.
सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए,माना $x = \frac{b^{1 / n} - 1}{a}$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$x \rightarrow 0$.
$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \left(\frac{b^{1 / n} - 1}{a}\right) \cdot \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a} (b^{1 / n} - 1)$.
माना $t = 1/n$. जैसे $n \rightarrow \infty$,$t \rightarrow 0$.
$\ln L = \frac{1}{a} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{b^t - 1}{t}$.
चूंकि $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{b^t - 1}{t} = \ln b$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\ln L = \frac{1}{a} \ln b = \ln(b^{1 / a})$.
अतः,$L = b^{1 / a}$.

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{\frac{x}{x+1-e^x}}$.
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ और घातांक $\frac{x}{x+1-e^x} \to \infty$ है,अतः यह $1^\infty$ प्रकार का अनिर्धार्य रूप है।
हम सूत्र $\lim _{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \to a} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करेंगे।
$L = e^{\lim _{x \to 0} \left( \frac{x}{x+1-e^x} \right) \left( \frac{e^x-1}{x} - 1 \right)}$.
$L = e^{\lim _{x \to 0} \left( \frac{x}{x+1-e^x} \right) \left( \frac{e^x-1-x}{x} \right)}$.
$L = e^{\lim _{x \to 0} \frac{e^x-1-x}{x+1-e^x}}$.
$L = e^{\lim _{x \to 0} \frac{-(x+1-e^x)}{x+1-e^x}} = e^{-1}$.

(D) दिया गया है,$f(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} y(x^{1/y} - 1)$.
सबसे पहले,हम $f(x)$ को सरल करते हैं:
$f(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} \frac{x^{1/y} - 1}{1/y}$.
मान लीजिए $t = 1/y$. जैसे $y \rightarrow \infty$,वैसे $t \rightarrow 0^+$.
$f(x) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{x^t - 1}{t}$.
मानक सीमा $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{a^t - 1}{t} = \ln(a)$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \ln(x)$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x) = \ln(x)$ को दिए गए समीकरण $2022 f(\frac{1}{x}) + P f(x) = f(x^2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2022 \ln(\frac{1}{x}) + P \ln(x) = \ln(x^2)$.
चूंकि $\ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)$ और $\ln(x^2) = 2 \ln(x)$:
$2022(-\ln(x)) + P \ln(x) = 2 \ln(x)$.
$-2022 \ln(x) + P \ln(x) = 2 \ln(x)$.
$\ln(x)$ से विभाजित करने पर ($x \neq 1$ के लिए):
$-2022 + P = 2$.
$P = 2024$.

(A) माना $a_r = \frac{r+2}{r(r+1)(r+3)}$. आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम पाते हैं कि $a_r = \frac{2}{3r} - \frac{1}{2(r+1)} - \frac{1}{6(r+3)}$.
योग $S_n$ की सीमा $n \rightarrow \infty$ लेने पर,हमें $\frac{29}{36}$ प्राप्त होता है।

(A) आंकड़ों का परिसर (range) उच्चतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर होता है।
दिए गए आंकड़े: $35, 12, 21, 24, 15, 7, 16, 12, 30, 32, 13, 17$.
उच्चतम मान = $35$.
न्यूनतम मान = $7$.
परिसर = $\text{उच्चतम मान} - \text{न्यूनतम मान} = 35 - 7 = 28$.

(B) चरण $1$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{5+6+7+8+6+9+13+12+15}{9} = \frac{81}{9} = 9$
चरण $2$: सूत्र $\frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{N}$ का उपयोग करके माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करें:
$|5-9| + |6-9| + |7-9| + |8-9| + |6-9| + |9-9| + |13-9| + |12-9| + |15-9|$
$= 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 0 + 4 + 3 + 6 = 26$
चरण $3$: कुल अवलोकनों की संख्या $(N=9)$ से विभाजित करें:
$\text{माध्य विचलन} = \frac{26}{9} \approx 2.88$

(B) आँकड़ों $p, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16$ का माध्य $\bar{x} = \frac{p + 6 + 6 + 7 + 8 + 11 + 15 + 16}{8} = \frac{p + 69}{8}$ है।
दिया गया है कि माध्य $3p$ है,इसलिए $\frac{p + 69}{8} = 3p$.
$p + 69 = 24p$ $\Rightarrow 23p = 69$ $\Rightarrow p = 3$.
अतः,आँकड़े $3, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16$ हैं और माध्य $\bar{x} = 3 \times 3 = 9$ है।
माध्य से माध्य विचलन $M.D. = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$M.D. = \frac{|3-9| + |6-9| + |6-9| + |7-9| + |8-9| + |11-9| + |15-9| + |16-9|}{8}$.
$M.D. = \frac{6 + 3 + 3 + 2 + 1 + 2 + 6 + 7}{8} = \frac{30}{8} = 3.75$.

(D) सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-मान $(x_i)$ ज्ञात करें:
$0-20: 10$
$20-40: 30$
$40-60: 50$
$60-80: 70$
$80-100: 90$
माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{(10 \times 10) + (8 \times 30) + (12 \times 50) + (9 \times 70) + (11 \times 90)}{10+8+12+9+11} = \frac{100+240+600+630+990}{50} = \frac{2560}{50} = 51.2$
अब,सूत्र का उपयोग करके माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करें: $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i |x_i - \bar{x}|}{\Sigma f_i}$
$\Sigma f_i |x_i - 51.2| = 10|10-51.2| + 8|30-51.2| + 12|50-51.2| + 9|70-51.2| + 11|90-51.2|$
$= 10(41.2) + 8(21.2) + 12(1.2) + 9(18.8) + 11(38.8)$
$= 412 + 169.6 + 14.4 + 169.2 + 426.8 = 1192$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{1192}{50} = 23.84$

(C) $4$ के प्रथम $10$ गुणज $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40$ हैं।
माना $X = 4i$ जहाँ $i = 1, 2, \dots, 10$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन $\sigma_n = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$ होता है।
चूंकि प्रत्येक पद को $4$ से गुणा किया गया है,इसलिए गुणजों का मानक विचलन $4 \times \sigma_{10}$ होगा।
$\sigma_{10} = \sqrt{\frac{10^2 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{99}{12}} = \sqrt{8.25}$।
मानक विचलन $= 4 \times \sqrt{8.25} = \sqrt{16 \times 8.25} = \sqrt{132} \approx 11.489 \approx 11.5$।

(B) दिया गया डेटा $6, 3, 4, 9, 2, 7, 11$ है।
सबसे पहले,डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $2, 3, 4, 6, 7, 9, 11$।
यहाँ कुल $n = 7$ अवलोकन हैं,जो विषम है।
माध्यिका $M$,$\left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ अवलोकन है,जो $4^{th}$ अवलोकन है।
अतः,$M = 6$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - M|$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य विचलन $= \frac{1}{7} [|2-6| + |3-6| + |4-6| + |6-6| + |7-6| + |9-6| + |11-6|]$।
माध्य विचलन $= \frac{1}{7} [|-4| + |-3| + |-2| + 0 + |1| + |3| + |5|]$।
माध्य विचलन $= \frac{1}{7} [4 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 5] = \frac{18}{7} \approx 2.57$।

(A) सबसे पहले,हम संचयी आवृत्ति $(cf)$ और माध्यिका $(M)$ की गणना करते हैं:

$x_i$	$f_i$	$cf$	$|x_i - M|$	$f_i|x_i - M|$
$10$	$6$	$6$	$|10-12|=2$	$12$
$11$	$12$	$18$	$|11-12|=1$	$12$
$12$	$18$	$36$	$|12-12|=0$	$0$
$13$	$12$	$48$	$|13-12|=1$	$12$

कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 6 + 12 + 18 + 12 = 48$.
माध्यिका वह मान है जो $\frac{N}{2} = \frac{48}{2} = 24$ वें अवलोकन के अनुरूप है। $cf$ कॉलम को देखने पर,$24$ वां अवलोकन उस वर्ग में आता है जहाँ $x = 12$ है। अतः,$M = 12$.
माध्यिका से माध्य विचलन इस प्रकार है:
$MD = \frac{\sum f_i|x_i - M|}{N} = \frac{12 + 12 + 0 + 12}{48} = \frac{36}{48} = 0.75$.

(A) दी गई जानकारी $n = 101$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{i=0}^{100} (1 + id) = 1 + \frac{d}{101} \times \frac{100 \times 101}{2} = 1 + 50d$.
माध्य से माध्य विचलन $MD = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{100} |x_i - \bar{x}|$ द्वारा दिया जाता है।
$MD = \frac{1}{101} \sum_{i=0}^{100} |(1 + id) - (1 + 50d)| = \frac{d}{101} \sum_{i=0}^{100} |i - 50|$.
योग $\sum_{i=0}^{100} |i - 50| = 50 + 49 + \ldots + 0 + \ldots + 50 = 2550$.
चूँकि $MD = 255$ दिया गया है,इसलिए $255 = \frac{d}{101} \times 2550$.
$d = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(C) दिया गया है,प्रेक्षणों की संख्या $n = 20$,$\sum x_i = 1000$,और $\sum x_i^2 = 84000$ है।
माध्य $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1000}{20} = 50$ है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र है:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\overline{x})^2$।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{84000}{20} - (50)^2$।
$\sigma^2 = 4200 - 2500$।
$\sigma^2 = 1700$।

(A) माना मूल संख्याएँ $w, x, y, z$ हैं जिनका प्रसरण $\sigma^2 = 9$ है।
संख्याओं के एक समूह का प्रसरण $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ के रूप में परिभाषित होता है।
यदि प्रत्येक संख्या को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\text{Var}(kX) = k^2 \text{Var}(X)$ गुणधर्म द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$k = 5$ और $\text{Var}(X) = 9$ है।
अतः,नया प्रसरण $5^2 \times 9 = 25 \times 9 = 225$ होगा।

(C) हम जानते हैं कि बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ हैं।
साथ ही,$\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$r_1 \cot \frac{A}{2} + r_2 \cot \frac{B}{2} + r_3 \cot \frac{C}{2} = \left( \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{s(s-a)}{\Delta} \right) + \left( \frac{\Delta}{s-b} \cdot \frac{s(s-b)}{\Delta} \right) + \left( \frac{\Delta}{s-c} \cdot \frac{s(s-c)}{\Delta} \right)$
$= s + s + s = 3s$.

(B) हम जानते हैं कि $r = (s-a) \tan(A/2) = (s-b) \tan(B/2) = (s-c) \tan(C/2)$ और $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,$r_3 = s \tan(C/2)$ है।
अतः,$r_1 - r = s \tan(A/2) - (s-a) \tan(A/2) = a \tan(A/2)$ है।
इस प्रकार,$\frac{r_1-r}{a} = \tan(A/2)$ है।
इसी प्रकार,$\frac{r_2-r}{b} = \tan(B/2)$ और $\frac{r_3-r}{c} = \tan(C/2)$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर,हमें $s[\tan(A/2) + \tan(B/2) + \tan(C/2)]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,और $r_3 = s \tan(C/2)$ है,इसलिए यह व्यंजक $r_1 + r_2 + r_3$ हो जाता है।

(A) ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
दिया गया है: $a=7, b=6, A=120^{\circ}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \sin 120^{\circ}}{7}$.
चूंकि $\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
$\sin B = \frac{6 \times 0.866}{7} = \frac{5.196}{7} \approx 0.7423$.
$B = \arcsin(0.7423) \approx 47.9^{\circ}$.

(C) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$ और $b = k \sin B$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a-b}{a+b} = \frac{k \sin A - k \sin B}{k \sin A + k \sin B} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B}$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}$
$= \cot \left(\frac{A+B}{2}\right) \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$।
अतः,$\cot \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(90^{\circ} - \frac{C}{2}\right) = \tan \frac{C}{2}$।
इस प्रकार,$\frac{a-b}{a+b} = \tan \frac{C}{2} \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ ... $(i)$
$4 \sin B + 3 \cos A = 1$ ... (ii)
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$(9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B) + (16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A) = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{1}{2}$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$।
अतः,$\sin C = \frac{1}{2}$।
त्रिभुज के कोणों के लिए,$C = \frac{\pi}{6}$ या $\frac{5\pi}{6}$ हो सकता है।
हालाँकि,यदि $C = \frac{5\pi}{6}$ है,तो $A+B = \frac{\pi}{6}$ होगा,जो दिए गए समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए,$C = \frac{\pi}{6}$।

(A) दिया गया है: $a=2, b=3, \sin A=\frac{2}{3}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$.
$\Rightarrow 3 = \frac{3}{\sin B}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
अतः,$B = \frac{\pi}{2}$.

(A) दी गई भुजाएँ $a=4, b=5, c=7$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+7}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$\sin \left(\frac{A}{2}\right)$ के लिए सूत्र है:
$\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$.
मान रखने पर:
$\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(8-5)(8-7)}{5 \times 7}} = \sqrt{\frac{3 \times 1}{35}} = \sqrt{\frac{3}{35}}$.

(B) ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ प्राप्त होता है,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\sqrt{(s-b)(s-c)} \leq \frac{(s-b)+(s-c)}{2} = \frac{a}{2}$।
अतः,$\sin \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{bc}} \leq \frac{a}{2 \sqrt{bc}}$।
इस प्रकार,$\sin \frac{A}{2} \leq \frac{a}{2 \sqrt{bc}}$।

(A) दी गई भुजाएँ $a=13, b=14, c=15$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
सूत्र $\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ का उपयोग करने पर:
$s-b = 21-14 = 7$
$s-c = 21-15 = 6$
$\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{7 \times 6}{14 \times 15}} = \sqrt{\frac{42}{210}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) दिया गया है,त्रिभुज $ABC$ में,हमें $\frac{a \cos A - b \cos B}{a \cos B - b \cos A} + \cos C$ का मान ज्ञात करना है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2R \sin A \cos A - 2R \sin B \cos B}{2R \sin A \cos B - 2R \sin B \cos A} + \cos C$
$= \frac{\sin 2A - \sin 2B}{2(\sin A \cos B - \sin B \cos A)} + \cos C$
सूत्र $\sin 2A - \sin 2B = 2 \sin(A - B) \cos(A + B)$ और $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \sin B \cos A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin(A - B) \cos(A + B)}{2 \sin(A - B)} + \cos C$
$= \cos(A + B) + \cos C$
चूंकि $A + B = \pi - C$,इसलिए $\cos(A + B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$।
$= -\cos C + \cos C = 0$.

(D) दिया गया है,त्रिभुज $ABC$ में $a=2$,$b=3$ और $c=4$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2+3+4}{2} = 4.5$ है।
$\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ का सूत्र $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ है।
मान रखने पर:
$\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(4.5-3)(4.5-4)}{4.5(4.5-2)}}$
$= \sqrt{\frac{1.5 \times 0.5}{4.5 \times 2.5}}$
$= \sqrt{\frac{0.75}{11.25}} = \sqrt{\frac{1}{15}}$.

(C) दिया गया है कि त्रिभुज के कोणों का अनुपात $1: 2: 3$ है।
कोण योग गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
माना कोण $x, 2x, 3x$ हैं।
तब $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,कोण $A = 30^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
मान रखने पर: $\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$।
$\Rightarrow \frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$।
$1/2$ से गुणा करने पर,हमें $a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक $2(bc \cos A + ca \cos B + ab \cos C) = 2bc \cos A + 2ca \cos B + 2ab \cos C$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$,और $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2bc \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) + 2ca \left(\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}\right) + 2ab \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$
$= (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 + a^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2$।
अतः,मान $a^2 + b^2 + c^2$ है।

(C) दिया है: $\frac{a}{b}=2+\sqrt{3}$ और $\angle C=60^{\circ}$।
चूंकि $A+B+C=180^{\circ}$,इसलिए $A+B=120^{\circ}$ $(1)$।
ज्या नियम (sine rule) से,$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{b} = 2+\sqrt{3}$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}$।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(\frac{A+B}{2}) \cot(\frac{A-B}{2}) = \sqrt{3}$।
$\frac{A+B}{2} = 60^{\circ}$ होने के कारण,$\tan(60^{\circ}) \cot(\frac{A-B}{2}) = \sqrt{3}$।
$\cot(\frac{A-B}{2}) = 1$ $\Rightarrow \frac{A-B}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow A-B = 90^{\circ}$ $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2A = 210^{\circ} \Rightarrow A = 105^{\circ}$।

(B) दिया है: $a=2, b=3, c=4$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 2 \times 3}$.
$\cos C = \frac{4 + 9 - 16}{12}$.
$\cos C = \frac{13 - 16}{12} = \frac{-3}{12}$.
अतः,$\cos C = -\frac{1}{4}$.

(B) दी गई व्यंजक: $(b+c) \cos A + (c+a) \cos B + (a+b) \cos C$
पदों का विस्तार करने पर: $(b \cos A + c \cos A) + (c \cos B + a \cos B) + (a \cos C + b \cos C)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(b \cos A + a \cos B) + (c \cos A + a \cos C) + (c \cos B + b \cos C)$
त्रिभुज के लिए प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करने पर:
$c = a \cos B + b \cos A$
$b = a \cos C + c \cos A$
$a = b \cos C + c \cos B$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= c + b + a = a + b + c$

(B) किसी भी $\triangle ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{(b^2+c^2-a^2) + (a^2+c^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2)}{2abc}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$।

(A) $\triangle ABC$ में दिया गया है: $a=6$,$b=5$,$c=4$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\cos A = \frac{5^2 + 4^2 - 6^2}{2 \times 5 \times 4} = \frac{25 + 16 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
अब,सूत्र $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2A = 2 \left(\frac{1}{8}\right)^2 - 1 = 2 \left(\frac{1}{64}\right) - 1 = \frac{1}{32} - 1 = \frac{1 - 32}{32} = -\frac{31}{32}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $a(b \cos C - c \cos B)$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ और $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a \left( b \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) \right)$
$= a \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} \right)$
$= \frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2 - a^2 - c^2 + b^2)$
$= \frac{1}{2} (2b^2 - 2c^2)$
$= b^2 - c^2$.

(C) कोसाइन नियम लागू करें: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
दिया है $\angle A = 60^{\circ}$,इसलिए $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $\Rightarrow bc = b^2+c^2-a^2$ $\Rightarrow b^2+c^2 = bc+a^2 \dots (i)$.
अब,व्यंजक $\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = \frac{b(a+b) + c(c+a)}{(c+a)(a+b)}$ पर विचार करें।
$= \frac{ab+b^2+c^2+ac}{ac+a^2+bc+ab}$.
समीकरण $(i)$ से $b^2+c^2 = bc+a^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{ab+(bc+a^2)+ac}{ac+a^2+bc+ab} = \frac{ab+bc+a^2+ac}{ab+bc+a^2+ac} = 1$.

(D) दिया है $a \cos A = b \cos B$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$a \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) = b \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)$
$\Rightarrow \frac{a}{b} (b^2 + c^2 - a^2) = \frac{b}{a} (a^2 + c^2 - b^2)$
$\Rightarrow a^2 (b^2 + c^2 - a^2) = b^2 (a^2 + c^2 - b^2)$
$\Rightarrow a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 = a^2b^2 + b^2c^2 - b^4$
$\Rightarrow a^4 - b^4 + b^2c^2 - a^2c^2 = 0$
$\Rightarrow (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
चूँकि $a \neq b$,इसलिए $a^2 - b^2 \neq 0$.
अतः,$a^2 + b^2 = c^2$.
इस प्रकार,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(D) दी गई भुजाएँ $a=3, b=5, c=3$ हैं।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\cos A = \frac{5^2 + 3^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 3}$.
$\cos A = \frac{25 + 9 - 9}{30} = \frac{25}{30}$.
$\cos A = \frac{5}{6}$.

(B) हम जानते हैं कि $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ और $\cos 2B = 1 - 2\sin^2 B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} - 2 \left( \frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2} \right)$
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$,इसलिए $\frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2} = 0$।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\angle A = 60^{\circ}$। कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,हमारे पास $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \left(\frac{1}{2}\right) = b^2 + c^2 - bc$ है।
अब,व्यंजक $(a+b+c)(b+c-a)$ पर विचार करें।
इसे $((b+c)+a)((b+c)-a) = (b+c)^2 - a^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $b^2 + c^2 + 2bc - a^2$ प्राप्त होता है।
$a^2 = b^2 + c^2 - bc$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$b^2 + c^2 + 2bc - (b^2 + c^2 - bc) = b^2 + c^2 + 2bc - b^2 - c^2 + bc = 3bc$.

(B) दी गई भुजाएँ $a = 4 \text{ cm}$,$b = 5 \text{ cm}$,और $c = 7 \text{ cm}$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}$.
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{8(8 - 4)(8 - 5)(8 - 7)}$
$= \sqrt{8 \times 4 \times 3 \times 1}$
$= \sqrt{96}$
$= 4 \sqrt{6} \text{ cm}^2$.

(A) दिया गया है $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
सूत्र $\cos A = \frac{1-\tan^2 \frac{A}{2}}{1+\tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1 - 1/2}{1 + 1/2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$.
कोसाइन नियम के अनुसार: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
$\frac{1}{3} = \frac{5^2 + 6^2 - a^2}{2(5)(6)}$.
$\frac{1}{3} = \frac{25 + 36 - a^2}{60}$.
$20 = 61 - a^2$.
$a^2 = 41$.
$a = \sqrt{41}$.

(C) हम जानते हैं कि क्षेत्रफल $R = \frac{1}{2}ab \sin C$,इसलिए $2R = ab \sin C$,जिसका अर्थ है $4R^2 = a^2b^2 \sin^2 C$।
पहले पद में यह मान रखने पर: $\sqrt{a^2b^2 - 4R^2} = \sqrt{a^2b^2 - a^2b^2 \sin^2 C} = \sqrt{a^2b^2(1 - \sin^2 C)} = \sqrt{a^2b^2 \cos^2 C} = ab \cos C$।
इसी प्रकार,$\sqrt{b^2c^2 - 4R^2} = bc \cos A$ और $\sqrt{c^2a^2 - 4R^2} = ca \cos B$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$,इसलिए $ab \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2}$।
अतः,व्यंजक इस प्रकार होगा: $\frac{a^2+b^2-c^2}{2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$।

(C) हम जानते हैं कि $\tanh(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$ होता है।
$y = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tanh(\log x) = \frac{e^{\log x} - e^{-\log x}}{e^{\log x} + e^{-\log x}}$
चूंकि $e^{\log x} = x$ और $e^{-\log x} = \frac{1}{x}$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\tanh(\log x) = \frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tanh(\log x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$

(D) दिया है,$r_1=36, r_2=18, r_3=12$.
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,अंतःत्रिज्या $r$ और बहिःत्रिज्याओं $r_1, r_2, r_3$ के बीच संबंध $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{r} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
अतः,$r=6$.
हम यह भी जानते हैं कि $\Delta^2 = r \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$.
$\Delta^2 = 6 \times 36 \times 18 \times 12 = 6^6$.
इसलिए,$\Delta = 6^3 = 216$.
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$,इसलिए $s = \frac{\Delta}{r} = \frac{216}{6} = 36$.

(B) दिए गए शीर्ष $A(0,0)$,$B(0,2)$ और $C(2,0)$ हैं।
चूंकि $\overline{AC}$,$x$-अक्ष पर है और $\overline{AB}$,$y$-अक्ष पर है,इसलिए यह त्रिभुज $A(0,0)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है,अतः लंबकेंद्र $H(0,0)$ है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $O = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1,1)$ है।
लंबकेंद्र $(0,0)$ और परिकेंद्र $(1,1)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ इकाई}$ है।

(D) दिया है,$\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} = k$ (माना)।
अतः,$a = 4k, b = 5k, c = 6k$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \cdot \frac{7k}{2} \cdot \frac{5k}{2} \cdot \frac{3k}{2}} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}k^2 / 4}{15k / 2} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{(4k)(5k)(6k)}{4 \cdot (15\sqrt{7}k^2 / 4)} = \frac{120k^3}{15\sqrt{7}k^2} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$।
अतः,अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \div \frac{\sqrt{7}k}{2} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}k} = \frac{16}{7}$।

(B) एक समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में जहाँ $\angle C = \frac{\pi}{2}$ है,भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ (कर्ण) हैं।
अंतःवृत्त के गुणों के अनुसार,शीर्ष $C$ से भुजाओं $AC$ और $BC$ पर स्पर्श बिंदुओं की दूरी $r$ है।
अतः,भुजाओं को $b = x+r$ और $a = y+r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $x$ और $y$ क्रमशः शीर्ष $A$ और $B$ से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई हैं।
कर्ण $c = x+y$ है।
चूँकि $c$ परिवृत्त का व्यास है,$c = 2R$,इसलिए $x+y = 2R$ है।
अब,$a$ और $b$ के योग के लिए:
$a+b = (y+r) + (x+r) = (x+y) + 2r = 2R + 2r$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R+r = \frac{a+b}{2}$.