एक वक्र पर किसी भी बिंदु (x, y) पर यदि सबनॉर् | vedclass

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Question

(D) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई $y \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।दिया गया है $y \frac{dy}{dx} = x - 1$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक

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$(1, 2)$

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(D) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई $y \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।दिया गया है $y \frac{dy}{dx} = x - 1$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int y \, dy = \int (x - 1) \, dx$$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} - x + C$$y^2 = x^2 - 2x + 2C$.चूंकि वक्र $(1, 2)$ से गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:$2^2 = 1^2 - 2(1) + 2C$$4 = 1 - 2 + 2C$$4 = -1 + 2C \implies 2C = 5$.समीकरण में $2C = 5$ रखने पर:$y^2 = x^2 - 2x + 5$$y^2 - (x^2 - 2x + 1) = 4$$y^2 - (x - 1)^2 = 4$$4$ से विभाजित करने पर:$\frac{y^2}{4} - \frac{(x - 1)^2}{4} = 1$.यह एक अतिपरवलय (hyperbola) है जिसका केंद्र $(1, 0)$ है।अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ के शीर्ष $(h, k \pm a)$ होते हैं।यहाँ $h = 1, k = 0, a = 2$ है।अतः शीर्ष $(1, 0 \pm 2)$ अर्थात $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।विकल्पों की तुलना करने पर,$(1, 2)$ एक शीर्ष है।

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