x dy - y dx = y dy का व्यापक हल है | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $x dy - y dx = y dy$ समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy - y dy = y dx$ $\Rightarrow (x - y) dy = y dx$ $\Rightarrow \frac{dy

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$y = A e^{-x/y}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $x dy - y dx = y dy$ समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x dy - y dy = y dx$ $\Rightarrow (x - y) dy = y dx$ $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x - y}$ यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $dy = v dx + x dv$. $v dx + x dv = \frac{vx}{x - vx} dx = \frac{v}{1 - v} dx$ $x dv = (\frac{v}{1 - v} - v) dx = \frac{v^2}{1 - v} dx$ $\frac{1 - v}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$ $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$ $-v^{-1} - \ln|v| = \ln|x| + C$ $-\frac{1}{v} = \ln|vx| + C$ $v = \frac{y}{x}$ और $vx = y$ रखने पर: $-\frac{x}{y} = \ln|y| + C$ $\ln|y| = -\frac{x}{y} - C$ $y = A e^{-x/y}$ जहाँ $A = e^{-C}$.

$x dy - y dx = y dy$ का व्यापक हल है

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