AP EAMCET 2006 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $4^n = (1+3)^n$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$4^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} 3^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} 3^3 + \dots$.
આનું સાદું રૂપ $4^n = 1 + 3n + 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ થાય છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $4^n - 3n - 1 = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ મળે છે.
કૌંસની અંદરની અભિવ્યક્તિ બધા $n \geq 1$ માટે પૂર્ણાંક હોવાથી,$4^n - 3n - 1$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^3-13x^2+15x+189=0$ ના બીજ $\alpha, \alpha+2$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1) \alpha + (\alpha+2) + \beta = 13 \implies 2\alpha + \beta = 11 \implies \beta = 11 - 2\alpha$
$2) \alpha(\alpha+2) + (\alpha+2)\beta + \alpha\beta = 15$
$3) \alpha(\alpha+2)\beta = -189$
ત્રીજા સમીકરણમાં $\beta = 11 - 2\alpha$ મૂકતા:
$\alpha(\alpha+2)(11-2\alpha) = -189$
$\alpha = 7$ લેતા,સમીકરણ સંતોષાય છે.
તેથી,બીજ $-3, 7, 9$ મળે છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\sqrt{9x^2+6x+1} < (2-x)$
$\sqrt{(3x+1)^2} < 2-x$ હોવાથી,$|3x+1| < 2-x$ મળે.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે $2-x > 0$ એટલે કે $x < 2$ હોવું જરૂરી છે.
$|3x+1| < 2-x$ ઉકેલતા:
$-(2-x) < 3x+1 < 2-x$
કિસ્સો $1$: $3x+1 < 2-x$ $\Rightarrow 4x < 1$ $\Rightarrow x < \frac{1}{4}$
કિસ્સો $2$: $3x+1 > -(2-x)$ $\Rightarrow 3x+1 > -2+x$ $\Rightarrow 2x > -3$ $\Rightarrow x > -\frac{3}{2}$
આમ,$x \in \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)$.

(D) આપેલ છે કે $x = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.
હવે,$x^2(x-4)^2 = [x(x-4)]^2$ ની કિંમત શોધીએ.
$x = 2+\sqrt{3}$ મુકતા:
$x(x-4) = (2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}-4) = (2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)$.
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x(x-4) = (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - (2)^2 = 3 - 4 = -1$.
તેથી,$x^2(x-4)^2 = (-1)^2 = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=1$
$z=x+iy$ મૂકતા:
$\left|\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}\right|=1$
આનો અર્થ છે: $|(x-1)+iy| = |(x+1)+iy|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$-2x = 2x$
$4x = 0$
$x = 0$
આમ,બિંદુપથ કાલ્પનિક અક્ષ છે,$x=0$.

(B) આપેલ છે $\left|\frac{z-i}{z i}\right|=2$.
$z=x iy$ હોવાથી,$\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3x^2 3y^2 10y 3=0$ મળે છે.

(C) $8$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા $4$ અક્ષરના શબ્દોની કુલ સંખ્યા (પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે) $8^{4}$ છે.
કોઈપણ પુનરાવર્તન વગર $8$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા $4$ અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા ${}^{8}P_{4}$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = કુલ શબ્દો - કોઈ પણ અક્ષર પુનરાવર્તિત ન થતો હોય તેવા શબ્દો.
તેથી,જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $8^{4} - {}^{8}P_{4}$ છે.

(A) $1000$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1$-અંકની,$2$-અંકની અથવા $3$-અંકની હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: $1$-અંકની સંખ્યાઓ: અંકો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ હોઈ શકે. કુલ $= 9$.
કિસ્સો $2$: $2$-અંકની સંખ્યાઓ: દશકનું સ્થાન $9$ રીતે ભરી શકાય ($0$ સિવાય) અને એકમનું સ્થાન $9$ રીતે ભરી શકાય ($0$ સહિત પણ દશકના અંક સિવાય). કુલ $= 9 \times 9 = 81$.
કિસ્સો $3$: $3$-અંકની સંખ્યાઓ: સોનું સ્થાન $9$ રીતે ભરી શકાય ($0$ સિવાય),દશકનું સ્થાન $9$ રીતે ($0$ સહિત પણ સોના અંક સિવાય),અને એકમનું સ્થાન $8$ રીતે (સો અને દશકના અંક સિવાય). કુલ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.
કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $= 9 + 81 + 648 = 738$.

(B) ધારો કે $S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \ldots$
દ્વિપદી શ્રેણી $(1-x)^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = -2/3$ અને $x = -3/4$ મળે છે.
તેથી,$S = (1 - (-3/4))^{-2/3} = (1/4)^{-2/3} = \sqrt[3]{16}$.

(C) $\operatorname{cosec} 15^{\circ} + \sec 15^{\circ} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} + \frac{1}{\cos 15^{\circ}}$
$= \frac{\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} = \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$= 4(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})$
$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ અને $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ લેતા:
$= 4 \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$
$= 4 \left( \frac{2\sqrt{6}}{4} \right) = 2\sqrt{6}$

(A) આપેલ છે $x = \tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$.
$y = \operatorname{cosec} 75^{\circ} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \approx 1.035$.
$z = 4 \sin 18^{\circ} = \sqrt{5} - 1 \approx 1.236$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.268 < 1.035 < 1.236$,જે દર્શાવે છે કે $x < y < z$.

(B) સંબંધિત ખૂણાઓ માટે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\sin 330^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$= -\frac{4}{4} = -1$

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x-3y+2=0$ ...$(i)$
$2x+5y-7=0$ ...(ii)
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$x = 3y-2$. તેને (ii) માં મૂકતા:
$2(3y-2) + 5y - 7 = 0$
$6y - 4 + 5y - 7 = 0$
$11y = 11 \Rightarrow y = 1$
$y=1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x - 3(1) + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
$3x+2y+5=0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x-3y+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખા $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$2(1) - 3(1) + \lambda = 0$
$2 - 3 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $2x-3y+1=0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-y^2-x+3y-2=0$ છે.
આપણે સમીકરણને પદોના જૂથ બનાવીને ફરીથી લખી શકીએ: $x^2 - (y^2 - 3y + 2) = 0$.
$y$ માં દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$.
તેથી,$x^2 - (y-1)(y-2) = 0$.
વિકલ્પ $D$ ને વિસ્તૃત કરતા: $(x-y+1)(x+y-2) = x^2 - y^2 - x + 3y - 2$.
આ આપેલ સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,રેખાઓ $x-y+1=0$ અને $x+y-2=0$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(6x - 7y)(2x - y) = 0$.
તેથી,બે બાજુઓના સમીકરણો $L_1: 6x - 7y = 0$ અને $L_2: 2x - y = 0$ છે.
ત્રીજી બાજુ $L_3: 2x - 3y + 4 = 0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા: $A = (0, 0)$,$B = (1, 2)$,અને $C = (7, 6)$ મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{0+1+7}{3}, \frac{0+2+6}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$.

(C) $(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\dots$ for $|x| < 1$. This matches $(iii)$.
$(B)$ $(1+x)^{-n} = 1-nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2-\dots$ for $|x| < 1$. This matches $(ii)$.
$(C)$ For $x>1$,the series $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\dots$ is a geometric progression with first term $a=1$ and common ratio $r=\frac{1}{x}$. The sum is $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{x}} = \frac{x}{x-1}$. This matches $(iv)$.
$(D)$ Let $S = 1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$. This is of the form $(1+y)^{-2}$ where $y = \frac{1}{x^2}$.
$(1+y)^{-2} = 1-2y+3y^2-4y^3+\dots = 1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$.
Thus,$S = (1+\frac{1}{x^2})^{-2} = (\frac{x^2+1}{x^2})^{-2} = \frac{x^4}{(x^2+1)^2}$. This matches $(v)$.
Therefore,the correct matching is $(A)-(iii), (B)-(ii), (C)-(iv), (D)-(v)$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસનું શિરોબિંદુ $(x, y) = (8\cos\theta, 2\sin\theta)$ ધારો.
લંબચોરસની બાજુઓ $2x = 16\cos\theta$ અને $2y = 4\sin\theta$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = (2x)(2y) = 64\sin\theta\cos\theta = 32\sin(2\theta)$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે,$\sin(2\theta) = 1$,એટલે કે $\theta = 45^\circ$.
તેથી,બાજુઓ $16\cos(45^\circ) = 8\sqrt{2}$ અને $4\sin(45^\circ) = 2\sqrt{2}$ થાય.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3 x+2}{(x+1)(2 x^2+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{2 x^2+3}$
બંને બાજુ $(x+1)(2 x^2+3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $3 x+2=A(2 x^2+3)+(B x+C)(x+1)$
$A$ શોધવા માટે,$x=-1$ મૂકો: $3(-1)+2=A(2(-1)^2+3) \Rightarrow -1=A(5) \Rightarrow A=-\frac{1}{5}$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3 x+2=2 A x^2+3 A+B x^2+B x+C x+C$
$3 x+2=(2 A+B) x^2+(B+C) x+(3 A+C)$
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2 A+B=0 \Rightarrow B=-2 A=-2(-\frac{1}{5})=\frac{2}{5}$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $B+C=3 \Rightarrow C=3-B=3-\frac{2}{5}=\frac{13}{5}$
અંતે,$A+C-B$ ની ગણતરી કરતા: $-\frac{1}{5}+\frac{13}{5}-\frac{2}{5}=\frac{13-2-1}{5}=\frac{10}{5}=2$

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3-6x^2+11x+6=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = 11$
$\alpha \beta \gamma = -6$
આપણે $\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નોંધો કે $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) = (\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2) + 3 \alpha \beta \gamma$
તેથી,$\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$
$= (6)(11) - 3(-6)$
$= 66 + 18 = 84$.

(D) ધારો કે $x^3-13x^2+15x+189=0$ સમીકરણના બીજ $\alpha, \alpha+2, \beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1) \alpha + (\alpha+2) + \beta = 13 \implies 2\alpha + \beta = 11 \implies \beta = 11 - 2\alpha$.
$2) \alpha(\alpha+2) + (\alpha+2)\beta + \alpha\beta = 15$.
$3) \alpha(\alpha+2)\beta = -189$.
$\beta = 11 - 2\alpha$ ને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\alpha(\alpha+2)(11-2\alpha) = -189$.
વિકલ્પો તપાસતા,જો બીજ $-3, 7, 9$ હોય તો:
સરવાળો: $-3 + 7 + 9 = 13$ ($x^2$ ના સહગુણક સાથે મેળ ખાય છે).
ગુણાકાર: $(-3) \times 7 \times 9 = -189$ (અચળ પદ સાથે મેળ ખાય છે).
$7$ અને $9$ વચ્ચેનો તફાવત $2$ છે.
આમ,બીજ $-3, 7, 9$ છે.

(A) આપેલ બીજ $\alpha = \sin^2 18^{\circ}$ અને $\beta = \cos^2 36^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{16} + \frac{6+2\sqrt{5}}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \left(\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{16}\right)^2 = \left(\frac{5-1}{16}\right)^2 = \left(\frac{4}{16}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{16} = 0$.
$16$ વડે ગુણતા,આપણને $16x^2 - 12x + 1 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $z = 1+i\sqrt{3}$. આપણે $z$ ના $(2n)^{\text{th}}$ મૂળનો ગુણાકાર શોધવો છે.
સમીકરણ $w^{2n} - z = 0$ ના મૂળનો ગુણાકાર $(-1)^{2n} \times (-z) = -z$ થાય.
તેથી,ગુણાકાર $-(1+i\sqrt{3}) = -1-i\sqrt{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|^2=4$ મળે.
$z=x+iy$ મૂકતા,$\left|\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}\right|^2=4$ મળે.
$\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}=4$.
$x^2+y^2-2y+1=4(x^2+y^2+2y+1)$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2+8y+4$.
પદોને ગોઠવતા: $3x^2+3y^2+10y+3=0$.

(B) આપણી પાસે $\frac{1-2x}{e^x} = (1-2x)e^{-x}$ છે.
$e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1-2x) \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} - 2x \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$.
$x^n$ નો સહગુણક પ્રથમ પદમાંથી $k=n$ માટે અને બીજા પદમાંથી $k=n-1$ માટે મળે છે:
$x^n$ નો સહગુણક $= \frac{(-1)^n}{n!} - 2 \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$.
$(-1)^{n-1} = -(-1)^n$ હોવાથી:
$x^n$ નો સહગુણક $= \frac{(-1)^n}{n!} + 2 \cdot \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = \frac{(-1)^n}{n!} [1 + 2n] = (-1)^n \cdot \frac{(1+2n)}{n!}$.

(A) આપેલ શ્રેણીનું વિસ્તરણ: $y = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$
આ $\log(1+x)$ માટેનું પ્રમાણિત લઘુગણકીય શ્રેણી વિસ્તરણ છે જ્યાં $|x| < 1$.
તેથી,$y = \log(1+x)$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $e^y = 1+x$.
તેથી,$x = e^y - 1$.
$e^y$ માટેનું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots$ છે.
આ કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = (1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots) - 1$.
$x = y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $|x| < 1$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ:
$(a)$ $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ ($iii$ સાથે જોડાય છે)
$(b)$ $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \dots$ ($ii$ સાથે જોડાય છે)
$(c)$ $x > 1$ માટે,$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{x}{x-1}$ ($iv$ સાથે જોડાય છે)
$(d)$ $|x| > 1$ માટે,$1 - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4} - \frac{4}{x^6} + \dots$ એ $(1 + \frac{1}{x^2})^{-2} = \frac{1}{(1 + \frac{1}{x^2})^2} = \frac{x^4}{(x^2+1)^2}$ નું વિસ્તરણ છે ($v$ સાથે જોડાય છે)
આમ,સાચું જોડાણ $A-iii, B-ii, C-iv, D-v$ છે.

(C) ધારો કે $f(\theta) = 3-\cos \theta+\cos \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$.
નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \left(\cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3}\right)$
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \left(\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)$
$f(\theta) = 3 - \left(\sin \frac{\pi}{6} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{6} \sin \theta\right)$
$f(\theta) = 3 - \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$
કારણ કે $-1 \leq \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) \leq 1$,તેથી $f(\theta)$ નો વિસ્તાર $[3-1, 3-(-1)]$ એટલે કે $[2, 4]$ છે.

(B) આપેલ છે કે $5 \cos x + 12 \cos y = 13$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 \cos x + 12 \cos y)^2 = 169$.
ધારો કે $S = 5 \sin x + 12 \sin y$.
$A = (5 \cos x + 12 \cos y)^2 + (5 \sin x + 12 \sin y)^2$ લો.
$A = 25(\cos^2 x + \sin^2 x) + 144(\cos^2 y + \sin^2 y) + 120(\cos x \cos y + \sin x \sin y)$.
$A = 25 + 144 + 120 \cos(x - y) = 169 + 120 \cos(x - y)$.
તેથી $169 + S^2 = 169 + 120 \cos(x - y)$,એટલે કે $S^2 = 120 \cos(x - y)$.
$\cos(x - y)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી $S^2$ ની મહત્તમ કિંમત $120$ થાય.
આમ,$S$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{120}$ છે.

(C) રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x-y-2=0$ ...$(i)$
$x+y-4=0$ ...(ii)
$x+3y=6$ ...(iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો ઉકેલ મેળવતા:
$(x-y-2) + (x+y-4) = 0$
$2x - 6 = 0$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x=3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3 - y - 2 = 0$
$1 - y = 0 \implies y = 1$
તેથી,$(i)$ અને (ii) નું છેદબિંદુ $(3,1)$ છે.
હવે,તપાસો કે શું $(3,1)$ સમીકરણ (iii) નું સમાધાન કરે છે:
$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$
આમ,બિંદુ $(3,1)$ ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી રેખાઓ $(3,1)$ પર સંગામી છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+6xy+8y^2=10$ $\dots$ $(i)$ છે.
અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવતા,રૂપાંતરિત સમીકરણો:
$x = \frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 6\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 10$
સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{x_1^2+y_1^2-2x_1y_1 + 6x_1^2-6y_1^2 + 8x_1^2+8y_1^2+16x_1y_1}{2} = 10$
$15x_1^2 + 3y_1^2 + 14x_1y_1 = 20$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $15x^2+14xy+3y^2=20$ છે.

(C) કેન્દ્ર $(h, k)$ ના કાર્તેઝિયન યામ $h = r_0 \cos \theta_0$ અને $k = r_0 \sin \theta_0$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(r_0, \theta_0) = (2, \frac{\pi}{2})$ છે.
આમ,$h = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ અને $k = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ થાય.
કેન્દ્ર $(0, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $a = 3$ છે.
વર્તુળનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ છે,જે $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 4y + 4 = 9$ અથવા $x^2 + y^2 - 4y = 5$ થાય છે.
ધ્રુવીય રૂપાંતરણો $x^2 + y^2 = r^2$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$r^2 - 4(r \sin \theta) = 5$.
તેથી,ધ્રુવીય સમીકરણ $r^2 - 4r \sin \theta = 5$ છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ અને બિંદુ $(1,3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
લંબાઈ $= \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11}$
$= \sqrt{1+9-2+12-11}$
$= \sqrt{22-13}$
$= \sqrt{9}$
$= 3$

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-8x+2y=0$ અને $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{17}$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{40}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{90}$ છે.
અહીં $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે $y$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત $g^2=c$ છે.
વર્તુળ માટે $x$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત $f^2=c$ છે.
વિધાન $I$: $x^2+y^2-6x-4y-7=0$. અહીં $g=-3$ અને $c=-7$. $g^2 = (-3)^2 = 9$ અને $c = -7$ હોવાથી,$g^2 \neq c$. તેથી,તે $y$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
વિધાન $II$: $x^2+y^2+6x+4y-7=0$. અહીં $f=2$ અને $c=-7$. $f^2 = (2)^2 = 4$ અને $c = -7$ હોવાથી,$f^2 \neq c$. તેથી,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતું નથી.
તેથી,$I$ કે $II$ બંનેમાંથી એક પણ સાચું નથી.

(D) પરવલયનો અર્ધ-નાભિલંબ એ તેની કોઈપણ નાભિકેન્દ્રિય જીવાના રેખાખંડોનો હરાત્મક મધ્યક છે.
ધારો કે $l$ એ અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે નાભિકેન્દ્રિય જીવાના રેખાખંડો $b$ અને $c$ છે.
બે સંખ્યાઓ $b$ અને $c$ નો હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2bc}{b+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2bc}{b+c}$ થાય.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ પરના બિંદુ $A$ ના યામ $(t^2, 2t)$ છે,જ્યાં $a=1$ છે.
$O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ હોવાથી,$OA$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ નીચે મુજબ મળે:
$h = \frac{0+t^2}{2} = \frac{t^2}{2} \implies t^2 = 2h$
$k = \frac{0+2t}{2} = t \implies t = k$
$t=k$ ને $t^2=2h$ માં મૂકતા,આપણને $k^2 = 2h$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2=2x$ મળે છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2=64$ છે,જેને $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a^2=64$ $(a=8)$ અને $b^2=16$ $(b=4)$.
પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસનો એક શિરોબિંદુ $(x, y) = (a \cos \theta, b \sin \theta) = (8 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ ધારો.
લંબચોરસની બાજુઓ $2x$ અને $2y$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A = (2x)(2y) = 4xy = 4(8 \cos \theta)(4 \sin \theta) = 128 \sin \theta \cos \theta = 64 \sin(2\theta)$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin(2\theta) = 1$,એટલે કે $2\theta = 90^\circ$ અથવા $\theta = 45^\circ$.
$\theta = 45^\circ$ મૂકતા,આપણને $x = 8 \cos 45^\circ = 4\sqrt{2}$ અને $y = 4 \sin 45^\circ = 2\sqrt{2}$ મળે.
લંબચોરસની બાજુઓ $2x = 8\sqrt{2}$ અને $2y = 4\sqrt{2}$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 - 18x - 8y - 23 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 2x) + 4(y^2 - 2y) = 23$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 36$.
$36$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a < b$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિલંબના સમીકરણો $y - k = \pm be$ છે,જ્યાં $(h, k) = (1, 1)$.
$y - 1 = \pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \pm \sqrt{5}$.
તેથી,$y = 1 \pm \sqrt{5}$.

(C) ધારો કે $e$ અને $e^{\prime}$ એ અતિવલય અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$.
અહીં $e = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $e^2 = 3$.
કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{3} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$.
$\frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$(e^{\prime})^2 = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{\prime} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(C) $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x + [x]) = 2 + 2 = 4$.
$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (2x - [x]) = 2(2) - 1 = 3$.
$l_3 = \lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac{\cos x}{x - \pi/2}$. $L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac{-\sin x}{1} = -1$.
આમ,$l_3 < l_2 < l_1$.

(D) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^2+2 x-1}-x\right]$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પદને અનુબદ્ધ $\sqrt{x^2+2 x-1}+x$ વડે ગુણી અને ભાગીશું:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{(\sqrt{x^2+2 x-1}-x)(\sqrt{x^2+2 x-1}+x)}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2+2 x-1-x^2}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{2x-1}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2})}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x(2-\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+1)}\right]$
$= \frac{2-0}{\sqrt{1+0-0}+1} = \frac{2}{2} = 1$

(C) ધારો કે $f(x) = \cos 4x + a \cos 2x + b$. લક્ષ સીમિત હોવા માટે,અંશ $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે $0$ થવો જોઈએ.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\cos 4x = 1 - 8x^2 + \frac{32}{3}x^4 - \dots$
$a \cos 2x = a - 2ax^2 + \frac{2a}{3}x^4 - \dots$
$f(x) = (1 + a + b) - (8 + 2a)x^2 + (\frac{32}{3} + \frac{2a}{3})x^4 + \dots$
લક્ષ સીમિત રહેવા માટે,$x^0$ અને $x^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$1 + a + b = 0$ અને $8 + 2a = 0$.
$8 + 2a = 0$ પરથી $a = -4$.
$1 - 4 + b = 0$ પરથી $b = 3$.
આમ,$a = -4$ અને $b = 3$.

(C) આપણી પાસે $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(q^n+p^n\right)^{1 / n}$ છે.
કારણ કે $0 < p < q$,આપણે પદમાંથી $q^n$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \left[q^n \left(1 + \left(\frac{p}{q}\right)^n\right)\right]^{1/n}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} q \left(1 + \left(\frac{p}{q}\right)^n\right)^{1/n}$
કારણ કે $0 < \frac{p}{q} < 1$,જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\left(\frac{p}{q}\right)^n \rightarrow 0$ થાય.
તેથી,$\lim _{n \rightarrow \infty} q \left(1 + 0\right)^{1/n} = q \cdot 1^0 = q \cdot 1 = q$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં અડધા ખૂણાઓ માટે કોટેન્જન્ટનું સૂત્ર: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $3a = b + c$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s = 2a$ ની કિંમત પદમાં મૂકતા: $\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $b+c=3a$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s = 2a$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $3x, 5x$ અને $10x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$3x + 5x + 10x = 180^{\circ}$.
$18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$.
ખૂણાઓ $30^{\circ}, 50^{\circ}$ અને $100^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓ તેમના સામેના ખૂણાઓના સાઇન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.
સૌથી નાની બાજુ સૌથી નાના ખૂણા $(30^{\circ})$ ને અનુરૂપ છે અને સૌથી મોટી બાજુ સૌથી મોટા ખૂણા $(100^{\circ})$ ને અનુરૂપ છે.
ગુણોત્તર $= \sin 30^{\circ} : \sin 100^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 100^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin 80^{\circ} = \cos 10^{\circ}$.
ગુણોત્તર $= \frac{1}{2} : \cos 10^{\circ} = 1 : 2 \cos 10^{\circ}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$ મળે.
આપેલ છે કે $\tan \frac{A}{2} = \frac{5}{6}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \frac{2}{5}$,તેથી $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$.
આમ,$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{3}$.
$3(s - b) = s$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$.
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી $a + b + c = 3b$,જેનું સાદું રૂપ $a + c = 2b$ થાય છે.

(B) ધારો કે પદાર્થની ઊંચાઈ $h$ છે અને બીજા અવલોકન બિંદુથી ટેકરીના પાયા સુધીનું અંતર $x$ છે.
$\triangle BCD$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle ACD$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow 120 + x = h\sqrt{3}$.
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$120 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$120 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{120 \times \sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \ m$.

(C) આપેલ પદ: $\sqrt{12-\sqrt{68+48 \sqrt{2}}}$
પ્રથમ,અંદરના વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{68+48 \sqrt{2}} = \sqrt{68+2 \times 24 \sqrt{2}} = \sqrt{68+2 \times 6 \times 4 \sqrt{2}}$
કારણ કે $(6)^2 + (4 \sqrt{2})^2 = 36 + 32 = 68$,તેથી $\sqrt{68+48 \sqrt{2}} = \sqrt{(6+4 \sqrt{2})^2} = 6+4 \sqrt{2}$
આ કિંમત મૂકતા: $\sqrt{12-(6+4 \sqrt{2})} = \sqrt{6-4 \sqrt{2}}$
હવે,$6-4 \sqrt{2}$ ને પૂર્ણવર્ગ તરીકે દર્શાવો: $6-4 \sqrt{2} = 4 + 2 - 2 \times 2 \times \sqrt{2} = (2)^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \times 2 \times \sqrt{2} = (2-\sqrt{2})^2$
તેથી,$\sqrt{6-4 \sqrt{2}} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = 2-\sqrt{2}$

(C) $11$ દડા ($5$ સફેદ + $6$ લીલા) માંથી $7$ દડા કાઢવાની કુલ રીતો ${ }^{11}C_7$ છે.
$5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${ }^5C_3$ છે.
$6$ લીલા દડામાંથી $4$ લીલા દડા પસંદ કરવાની રીતો ${ }^6C_4$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ${ }^5C_3 \times { }^6C_4$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{{ }^5C_3 \times { }^6C_4}{{ }^{11}C_7}$ છે.

(D) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ રેડિયનમાં સેક્ટરનો ખૂણો છે. પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = k$ (અચળ).
તેથી,$r = \frac{k}{2+\theta}$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}r^{2}\theta$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{2+\theta} \right)^{2} \theta = \frac{k^{2}}{2} \frac{\theta}{(2+\theta)^{2}}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^{2}}{2} \left[ \frac{(2+\theta)^{2}(1) - \theta(2)(2+\theta)}{(2+\theta)^{4}} \right] = \frac{k^{2}}{2} \frac{2-\theta}{(2+\theta)^{3}}$.
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ લેતા,$2-\theta = 0$,તેથી $\theta = 2^{c}$.
દ્વિતીય વિકલન $\theta = 2$ પર ઋણ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(A-III, B-VI, C-II, D-V) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} x+4 & \text{માટે } x < -4 \\ 3x+2 & \text{માટે } -4 \leq x < 4 \\ x-4 & \text{માટે } x \geq 4 \end{cases}$
$(A)$ $f(-5) + f(-4) = (-5+4) + (3(-4)+2) = -1 + (-12+2) = -1 - 10 = -11$. તેથી,$(A)$ એ $(iii)$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $f(|f(-8)|) = f(|-8+4|) = f(|-4|) = f(4) = 4-4 = 0$. તેથી,$(B)$ એ $(vi)$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $f(f(-7) + f(3)) = f((-7+4) + (3(3)+2)) = f(-3 + 11) = f(8) = 8-4 = 4$. તેથી,$(C)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
$(D)$ $f(f(f(f(0)))) + 1 = f(f(f(3(0)+2))) + 1 = f(f(f(2))) + 1 = f(f(3(2)+2)) + 1 = f(f(8)) + 1 = f(8-4) + 1 = f(4) + 1 = (4-4) + 1 = 1$. તેથી,$(D)$ એ $(v)$ સાથે જોડાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^x \sin x$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$.
તૃતીય વિકલન: $f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$.
ચતુર્થ વિકલન: $f^{(4)}(x) = 2e^x(\cos x - \sin x) + 2e^x(-\sin x - \cos x) = -4e^x \sin x$.
પાંચમું વિકલન: $f^{(5)}(x) = -4e^x \sin x - 4e^x \cos x = -4e^x(\sin x + \cos x)$.
છઠ્ઠું વિકલન: $f^{(6)}(x) = -4e^x(\sin x + \cos x) - 4e^x(\cos x - \sin x) = -4e^x \sin x - 4e^x \cos x - 4e^x \cos x + 4e^x \sin x = -8e^x \cos x$.

(D) કારણ કે $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ થવું જોઈએ.
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\pi-4x}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે,તેથી આપણે $L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\sqrt{2} \sin x)}{\frac{d}{dx}(\pi-4x)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \cos x}{-4}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ મુકતા:
$= \frac{-\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
તેથી $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = a$ હોવાથી,$a = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(D) વક્રોના સમીકરણો $xy=2$ $\dots(i)$ અને $x^2+4y=0$ $\dots(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(ii)$ માંથી $y = -x^2/4$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$x(-x^2/4) = 2 \Rightarrow -x^3 = 8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $4 + 4y = 0 \Rightarrow y = -1$ મળે છે.
તેથી,છેદબિંદુ $(-2, -1)$ છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$y = 2/x$,તેથી $dy/dx = -2/x^2$. $x = -2$ આગળ,$m_1 = -2/(-2)^2 = -2/4 = -1/2$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$x^2 + 4y = 0$,તેથી $2x + 4(dy/dx) = 0 \Rightarrow dy/dx = -x/2$. $x = -2$ આગળ,$m_2 = -(-2)/2 = 1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = |(-1/2 - 1) / (1 + (-1/2)(1))| = |(-3/2) / (1/2)| = |-3| = 3$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2}$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) < 0$ હોવું જરૂરી છે.
કારણ કે $3x^2 > 0$ દરેક $x \neq 0$ માટે,$f'(x)$ ની નિશાની અંશ $x^2 - 9$ પર આધાર રાખે છે.
આપણને $x^2 - 9 < 0$ મળે છે જ્યારે $x^2 < 9$,જેનો અર્થ છે કે $|x| < 3$,અથવા $x \in (-3, 3)$.
તેથી,$f'(x) < 0$ દરેક $x \in (-3, 3) \setminus \{0\}$ માટે હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $(-3, 3)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(C) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} dx$.
આને ઉકેલવા માટે,આપણે $x^{3/2} = t$ આદેશ લઈએ.
તેથી,$\frac{3}{2} x^{1/2} dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^{1/2} dx = \frac{2}{3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{x^{1/2} dx}{\sqrt{a^3 - (x^{3/2})^2}} = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{(a^{3/2})^2 - t^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{A^2 - t^2}} dt = \sin^{-1}(\frac{t}{A}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\frac{t}{a^{3/2}}) + c$.
$t$ ની જગ્યાએ $x^{3/2}$ મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}) + c$.
આમ,$g(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}})$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2+2x+2}$.
છેદને પૂર્ણવર્ગની રીતે લખતા:
$x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2+1} = \tan^{-1}(u) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x+1$ અને $du = dx$ છે:
$I = \tan^{-1}(x+1) + c$.
આને $I = f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $f(x) = \tan^{-1}(x+1)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x, y) = \frac{\cos(x - 4y)}{\cos(x + 4y)}$.
વિધેયમાં $y = \frac{x}{2}$ મૂકતા:
$f(x, \frac{x}{2}) = \frac{\cos(x - 4(\frac{x}{2}))}{\cos(x + 4(\frac{x}{2}))} = \frac{\cos(x - 2x)}{\cos(x + 2x)} = \frac{\cos(-x)}{\cos(3x)} = \frac{\cos(x)}{\cos(3x)}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\cos x}{\cos 3x} \right)$.
ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(-\sin x)(\cos 3x) - (\cos x)(-3 \sin 3x)}{\cos^2 3x} = \frac{3 \cos x \sin 3x - \sin x \cos 3x}{\cos^2 3x}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$.
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$ ...$(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^3(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^3(\frac{\pi}{2}-x)} d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x} d x$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$,તેથી સંકલનમાં આ કિંમત મૂકતા:
$I = \int_{-1}^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2(1 + e^{2x})} d x$.
અંશમાં $e^x + e^{-x}$ માંથી $e^x$ સામાન્ય લેતા:
$e^x + e^{-x} = e^x(1 + e^{-2x}) = e^x \left(1 + \frac{1}{e^{2x}}\right) = e^x \left(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}\right) = \frac{1 + e^{2x}}{e^x}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \frac{1 + e^{2x}}{e^x(1 + e^{2x})} d x$.
$(1 + e^{2x})$ પદ ઉડી જશે:
$I = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 e^{-x} d x$.
સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2} [-e^{-x}]_{-1}^1 = -\frac{1}{2} [e^{-1} - e^1] = \frac{1}{2} (e^1 - e^{-1}) = \frac{e^2 - 1}{2e}$.

(D) આપેલ છે કે અંતરાલ $[0, 6]$ ને $n = 6$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
દરેક પેટા-અંતરાલની પહોળાઈ $h = \frac{b - a}{n} = \frac{6 - 0}{6} = 1$ છે.
$x_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ પર $f(x) = x^3$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$y_0 = f(0) = 0$
$y_1 = f(1) = 1$
$y_2 = f(2) = 8$
$y_3 = f(3) = 27$
$y_4 = f(4) = 64$
$y_5 = f(5) = 125$
$y_6 = f(6) = 216$
ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ દ્વારા:
$\int_0^6 x^3 \, dx \approx \frac{h}{2} \{y_0 + y_6 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5)\}$
$= \frac{1}{2} \{0 + 216 + 2(1 + 8 + 27 + 64 + 125)\}$
$= \frac{1}{2} \{216 + 2(225)\}$
$= \frac{1}{2} \{216 + 450\} = \frac{666}{2} = 333$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^y = y^x$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા,આપણને $y \log x = x \log y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \log y$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\log x \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \log y - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{y \log x - x}{y} \right) = \frac{x \log y - y}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા અને ચિહ્નોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{-(x - y \log x)}{y} \right) = \frac{-(y - x \log y)}{x}$.
તેથી,$x(x - y \log x) \frac{dy}{dx} = y(y - x \log y)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
ધારો કે $u = 1-v^2$,તો $du = -2v dv$. સંકલન કરતા: $-\int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$
$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|c|$
$-\ln|1 - (y/x)^2| = \ln|cx|$
$-\ln|\frac{x^2-y^2}{x^2}| = \ln|cx|$
$\ln|\frac{x^2}{x^2-y^2}| = \ln|cx|$
$\frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$
$x = c(x^2-y^2)$

(B) ધારો કે બે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને વિભાજન સૂત્ર દ્વારા $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $t$ એક અદિશ છે.
જો આપણે રેખાખંડના મધ્યબિંદુને ધ્યાનમાં લઈએ,તો $t = \frac{1}{2}$ લેતા.
મધ્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{2\hat{i}}{2} = \hat{i}$.
આમ,મધ્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\hat{i}$ છે.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ છે અને ત્રીજો સદિશ $\vec{c} = \hat{k}$ લેતા.
સમતલીયતા માટેની શરત:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ \lambda & 3 \end{array}\right| = 0$
$1(3 - (-3\lambda)) = 0$
$3 + 3\lambda = 0$
$\lambda = -1$.

(D) ધારો કે $\overrightarrow{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a_1 = 1$.
આગળ,$\overrightarrow{a} \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$.
આનાથી $2a_1 + a_2 = 1$ મળે છે. $a_1 = 1$ મૂકતા,$2(1) + a_2 = 1$,તેથી $a_2 = -1$.
છેલ્લે,$\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$.
આનાથી $a_1 + a_2 + 3a_3 = 1$ મળે છે. $a_1 = 1$ અને $a_2 = -1$ મૂકતા,$1 - 1 + 3a_3 = 1$,તેથી $3a_3 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a_3 = \frac{1}{3}$.
આમ,$\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(3 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k})$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $A$ અને $B^c$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$P(B) = \frac{2}{7} \implies P(B^c) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c)$.
$A$ અને $B^c$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$.
કિંમતો મૂકતા:
$0.8 = P(A) + \frac{5}{7} - P(A) \cdot \frac{5}{7}$.
$0.8 - \frac{5}{7} = P(A) \cdot (1 - \frac{5}{7})$.
$\frac{5.6 - 5}{7} = P(A) \cdot \frac{2}{7}$.
$0.6 = 2 \cdot P(A)$.
$P(A) = 0.3$.

(C) $e^{\log x} = x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{\log (\cosh^{-1} 2)} = \cosh^{-1} 2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 - 1})$ જ્યાં $x \geq 1$.
$x = 2$ મુકતા:
$\cosh^{-1} 2 = \log (2 + \sqrt{2^2 - 1}) = \log (2 + \sqrt{4 - 1}) = \log (2 + \sqrt{3})$

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતોને $A^3 - 4A^2 - 6A$ માં મૂકતા:
$= \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 41-36-6 & 42-32-12 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 41-36-6 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 42-32-12 & 41-36-6 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -A$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_n$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A(\operatorname{adj} A)| = | |A|I_n |$ મળે છે.
$|AB| = |A||B|$ અને $n$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે $|kA| = k^n|A|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n \cdot |I_n|$ મળે છે.
$|I_n| = 1$ હોવાથી,આપણને $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n$ મળે છે.
$A$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોવાથી,$|A| \neq 0$ થાય.
બંને બાજુ $|A|$ વડે ભાગતા,આપણને $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} \log e & \log e^2 & \log e^3 \\ \log e^2 & \log e^3 & \log e^4 \\ \log e^3 & \log e^4 & \log e^5 \end{array}\right|$ છે.
ગુણધર્મ $\log a^n = n \log a$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયકને આ રીતે લખી શકીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} \log e & 2 \log e & 3 \log e \\ 2 \log e & 3 \log e & 4 \log e \\ 3 \log e & 4 \log e & 5 \log e \end{array}\right|$.
દરેક સ્તંભમાંથી $\log e$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે:
$\Delta = (\log e)^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (\log e)^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right|$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = [2x] - 2[x]$ તમામ $x \in R$ માટે.
કિસ્સો $1$: જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,ધારો કે $x = n$ જ્યાં $n \in Z$.
તો $f(n) = [2n] - 2[n] = 2n - 2n = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,ધારો કે $x = n + f$ જ્યાં $n \in Z$ અને $0 < f < 1$.
તો $f(x) = [2(n + f)] - 2[n + f] = [2n + 2f] - 2n = 2n + [2f] - 2n = [2f]$.
કારણ કે $0 < f < 1$,આપણી પાસે $0 < 2f < 2$ છે.
જો $0 < f < 0.5$,તો $[2f] = 0$.
જો $0.5 \leq f < 1$,તો $[2f] = 1$.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $\{0, 1\}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x - [x] - \frac{1}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\} = x - [x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$f(x) = \{x\} - \frac{1}{2}$.
આપણને $f(x) = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\{x\} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\{x\} = 1$.
જો કે,વ્યાખ્યા મુજબ,અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\}$ હંમેશા $0 \le \{x\} < 1$ નું પાલન કરે છે.
કારણ કે $\{x\}$ ક્યારેય $1$ ની બરાબર હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
તેથી,ગણ $\{x \in R: f(x) = \frac{1}{2}\}$ એ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે કે $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$.
આથી $\sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$ થાય.
ધારો કે $f(x, y) = \sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
અહીં,$f(x, y)$ એ $n=1$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે કારણ કે $f(tx, ty) = \frac{(tx)^2+(ty)^2}{tx+ty} = t \cdot \frac{x^2+y^2}{x+y} = t^1 f(x, y)$.
આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f$.
$f = \sin u$ અને $n = 1$ મૂકતા,આપણને $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 1 \cdot \sin u$ મળે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \sin u$.
બંને બાજુ $\cos u$ વડે ભાગતા,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} = \tan u$ મળે.

(C) વિધાન $A$ માટે: ધારો કે $I = \int \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) e^{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)} d x$.
આપણે સંકલ્યને $I = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x + \frac{1}{x}\right)} d x$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$. તો $dt = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int e^t d t = e^t + c = e^{x + \frac{1}{x}} + c = e^{\frac{x^2+1}{x}} + c$ મળે છે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $R$ માટે: સંકલન $\int f^{\prime}(x) e^{f(x)} d x$ નું મૂલ્ય $t = f(x)$ આદેશ લઈને મેળવવામાં આવે છે,જે $dt = f^{\prime}(x) d x$ આપે છે.
તેથી,$\int e^t d t = e^t + c = e^{f(x)} + c$.
વિધાન $R$ માં પરિણામ $f(x) + c$ હોવાનો દાવો કરવામાં આવ્યો છે,જે ખોટું છે.
તેથી,$A$ સાચું છે અને $R$ ખોટું છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x, y) = \frac{\cos(x - 4y)}{\cos(x + 4y)}$.
આપણે $\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y = \frac{x}{4}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$f$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\cos(x+4y)(-\sin(x-4y)) - \cos(x-4y)(-\sin(x+4y))}{\cos^2(x+4y)}$
$= \frac{\sin(x+4y)\cos(x-4y) - \cos(x+4y)\sin(x-4y)}{\cos^2(x+4y)} = \frac{\sin((x+4y) - (x-4y))}{\cos^2(x+4y)} = \frac{\sin(8y)}{\cos^2(x+4y)}$.
હવે $y = \frac{x}{4}$ મૂકતા:
$\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y = \frac{x}{4}} = \frac{\sin(8(\frac{x}{4}))}{\cos^2(x + 4(\frac{x}{4}))} = \frac{\sin(2x)}{\cos^2(2x)} = \tan(2x) \sec(2x)$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$
આ $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = -1$
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$
વ્યાપક ઉકેલ $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$
$\frac{1}{xy} = -\log y + c$
$y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{x} = cy - y \log y$

(B) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)y = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{1+x^2}$ અને $Q = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y(1+x^2) = \int \left(\frac{4x^2}{1+x^2}\right)(1+x^2) dx + c$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + c$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + c$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $3y(1+x^2) = 4x^3 + c$.

(C) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}$,$\vec{b} = 3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ માટે:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(0 - 3) + 2(0 - \lambda) = 0$
$-3 - 2\lambda = 0$
$2\lambda = -3$
$\lambda = -3/2$.

(B) સમાંતરફલકનું ઘનફળ તેની ત્રણ ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના અદિશ ત્રિગુણક (scalar triple product) ના માનાંક જેટલું હોય છે,એટલે કે $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
અહીં ધાર $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$ છે.
ઘનફળ $= |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 34$.
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 9 & p \end{array}\right| = \pm 34$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$4(-p - 9) - 5(0 - 3) + 1(0 - (-3)) = \pm 34$.
$4(-p - 9) - 5(-3) + 1(3) = \pm 34$.
$-4p - 36 + 15 + 3 = \pm 34$.
$-4p - 18 = \pm 34$.
કિસ્સો $1$: $-4p - 18 = 34 \Rightarrow -4p = 52 \Rightarrow p = -13$.
કિસ્સો $2$: $-4p - 18 = -34 \Rightarrow -4p = -16 \Rightarrow p = 4$.
વિકલ્પોમાં $-13$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $-13$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
આપણે તેને $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(-\overrightarrow{c})^2$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતાં,$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=|\overrightarrow{c}|^2$ મળે.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta=|\overrightarrow{c}|^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા $3^2+4^2+2(3)(4) \cos \theta = (\sqrt{37})^2$.
$9+16+24 \cos \theta = 37$.
$25+24 \cos \theta = 37$.
$24 \cos \theta = 37-25 = 12$.
$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) કારણ કે $OA$ એ $OX, OY$ અને $OZ$ અક્ષો સાથે સમાન રીતે નમેલું છે,તેથી તેના દિકકોસાઇન સમાન છે. ધારો કે $A$ ના યામ $(a, a, a)$ છે.
આપેલ છે કે $A$ નું ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ થી અંતર $\sqrt{3}$ એકમ છે.
તેથી,$\sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{3}$.
$\sqrt{3a^2} = \sqrt{3}$.
$|a|\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$|a| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$ અથવા $a = -1$.
આમ,$A$ ના યામ $(1, 1, 1)$ અથવા $(-1, -1, -1)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $(1, 1, 1)$ છે.

(B) દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ $\dots(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ $\dots(ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2+m^2+n^2=1$ $\dots(iii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l+m = -n$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$l^2+m^2+2lm = n^2$,તેથી $l^2+m^2 = n^2-2lm$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$(n^2-2lm) - n^2 = 0$,જેનો અર્થ છે $-2lm = 0$,તેથી $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \implies m=-n$. $(iii)$ માં મૂકતા,$0^2+(-n)^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.
આમ,દિક્કોસાઇન $(0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ અને $(0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \implies l=-n$. $(iii)$ માં મૂકતા,$(-n)^2+0^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.
આમ,દિક્કોસાઇન $(1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ અને $(-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ અને $(l_2, m_2, n_2) = (1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2| = |0(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(0) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2})| = |1/2| = 1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

(C) પ્રતિ પાના દીઠ ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda_{page} = \frac{250}{500} = 0.5$ છે.
$n = 2$ પાનાના નમૂના માટે,પોઈસન વિતરણ માટેનો પેરામીટર $\lambda = n \times \lambda_{page} = 2 \times 0.5 = 1$ થાય છે.
નમૂનામાં $X$ ભૂલો હોવાની સંભાવના પોઈસન સૂત્ર $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈ ભૂલ ન હોય તે માટે,આપણે $k = 0$ લઈએ છીએ:
$P(X=0) = \frac{e^{-1} \times 1^0}{0!} = \frac{e^{-1} \times 1}{1} = e^{-1}$.