ઉપવલય $x^2+4y^2=64$ માં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની બાજુઓ છે:

એક ઉપવલયમાં,ધારો કે $B$ એ ગૌણ અક્ષનો એક અંત્યબિંદુ છે,$F$ અને $F'$ એ નાભિઓ છે અને $\angle FBF' = 90^{\circ}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો:

ધારો કે $A, B,$ અને $C$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ પરના ત્રણ બિંદુઓ છે. $A$ અને $C$ ને જોડતી રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર છે,અને $B$ એ ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ છે જેનો $y$-યામ ધન છે. $\Delta ABC$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે બે ઉપવલયો $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, (a > b)$ અને $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, (A < B)$ દરેકની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{4}{5}$ છે. જો $E_1$ અને $E_2$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $\ell_1$ અને $\ell_2$ હોય,જેથી $2\ell_1^2 = 9\ell_2$ થાય. જો $E_1$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $8$ હોય,તો $E_2$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

ધારો કે $C$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે અને $PQ$ એ તેની જીવા છે જ્યાં $\angle PCQ = 90^{\circ}$ છે. જો $R$ એ $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ હોય,તો $R$ એ શેના પર આવેલું છે?

ઉપવલય $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ નું કેન્દ્ર શોધો.