List-$I$ નું List-$II$ સાથેનું સાચું જોડાણ કયું છે?

જો $(1 + x - 3x^2)^{2145} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$ હોય,તો $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$ નો છેલ્લો અંક કયો હશે?

ધારો કે $(7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$,જ્યાં $n$ અને $p$ ધન પૂર્ણાંકો છે અને $\beta \in (0, 1)$. તો $(1 - \beta)(p + \beta)$ શું છે?

ગુણાકાર $(1-x)(1-2x)(1-2^2x)(1-2^3x) \ldots (1-2^{15}x)$ માં $x^{15}$ નો સહગુણક શું છે?

અંતરાલ $[1005, 2010]$ માં એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ ની સંખ્યા શોધો જેના માટે બહુપદી $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$ એ બહુપદી $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ ને ભાગી શકે.

શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ પદો} \right)}$ નો સરવાળો શોધો.