AP EAMCET 2005 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना $f(n) = n(n+1)(2n+1)$ है।
हम जानते हैं कि $2n+1 = (n-1) + (n+2)$,इसलिए $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$ है।
ध्यान दें कि $n(n+1)(n-1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
इसी प्रकार,$n(n+1)(n+2)$ भी तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
अतः,$f(n)$ सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $6$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$\{n(n+1)(2n+1) : n \in \mathbb{Z}\} \subset \{6k : k \in \mathbb{Z}\}$।

(D) दिया गया व्यंजक: $\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c}\right)$
हर (denominator) का सरलीकरण:
$10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c = \frac{a}{10^4} + \frac{b}{10^3} + \frac{c}{10^2} = \frac{a+10b+10^2c}{10^4}$
लघुगणक में मान रखने पर:
$\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{\frac{a+10 b+10^2 c}{10^4}}\right) = \log _{10}(10^4)$
$\log_b(b^x) = x$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _{10}(10^4) = 4$

(C) दिया गया है कि $x^6 = 1$,अतः $x^6 - 1 = 0$.
इसे $(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
चूंकि $\alpha$,$x^6=1$ का एक अवास्तविक मूल है,यह समीकरण $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$ को संतुष्ट करता है।
इसलिए,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0$.
हम पदों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -(\alpha^4+\alpha^2)$
$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -\alpha^2(\alpha^2+1)$
दोनों पक्षों को $(\alpha^2+1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1}{\alpha^2+1} = -\alpha^2$.

(C) दी गई सम्मिश्र संख्याओं के लिए:
$\alpha_1 = |-i| = 1$
$\alpha_2 = |\frac{1}{3}(1+i)| = \frac{1}{3} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.471$
$\alpha_3 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$
मानों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{2}}{3} < 1 < \sqrt{2}$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $\alpha_2 < \alpha_1 < \alpha_3$ है।

(D) माना $x = \cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ और $y = \sin \theta + 4 \cos \theta$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = (\cos \theta - 4 \sin \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2$
$x^2 + y^2 = (\cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta)$
$x^2 + y^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$x^2 + y^2 = 1 + 16(1) = 17$
चूँकि $x = 1$ है,इसलिए $1^2 + y^2 = 17$
$y^2 = 16$
$y = \pm 4$
अतः,$\sin \theta + 4 \cos \theta = \pm 4$.

(A) माना $f(x) = 4 \cos \left(x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right)$.
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ 2 \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right) \right]$
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(2x^2\right) \right]$
चूंकि $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ -\frac{1}{2} + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + 2 \cos \left(x^2\right) \cos \left(2x^2\right)$
पुनः $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + \cos \left(3x^2\right) + \cos \left(x^2\right)$
$f(x) = \cos \left(3x^2\right) \quad \dots (i)$
चूंकि $\cos(\theta)$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x) = \cos \left(3x^2\right)$ के चरम मान $-1$ और $1$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 2x = (\sqrt{2}+1)(\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2 x - 1 = \sqrt{2}\cos x - 1 + \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2\cos^2 x - (\sqrt{2}+1)\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
द्विघात सूत्र $\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$\cos x = \frac{(\sqrt{2}+1) \pm \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{4} = \frac{\sqrt{2}+1 \pm (\sqrt{2}-1)}{4}$.
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\cos x = \frac{1}{2}$.
चूंकि प्रश्न के अनुसार $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos x \neq \frac{1}{2}$ है,इसलिए $x$ का कोई हल नहीं है।

(C) दी गई रेखाएँ $x=0$ ($y$-अक्ष),$y=0$ ($x$-अक्ष) और $3x+4y=12$ हैं।
रेखा $3x+4y=12$ के अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में लिखते हैं:
$\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{12}{12} \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.
यह रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 3)$ पर काटती है।
रेखाओं $x=0, y=0$ और $3x+4y=12$ द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ और $B(0, 3)$ हैं।
त्रिभुज का आधार $OA = 4$ इकाई है और ऊँचाई $OB = 3$ इकाई है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वृत्त $S: x^2+y^2+y-1=0$ और रेखा $L: x-y+1=0$ है।
$S$ और $L$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S+\lambda L=0$ है।
$(x^2+y^2+y-1)+\lambda(x-y+1)=0$
$x^2+y^2+\lambda x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)=0$.
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda-1}{2})$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,केंद्र को रेखा $x-y+1=0$ पर स्थित होना चाहिए।
$-\frac{\lambda}{2} - (\frac{\lambda-1}{2}) + 1 = 0$.
$-\lambda + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda=3$ रखने पर:
$(x^2+y^2+y-1)+3(x-y+1)=0$.
$x^2+y^2+3x-2y+2=0$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2 x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$
दोनों पक्षों को $(2x-1)(x+2)(x-3)$ से गुणा करने पर:
$x^3 = A(2 x-1)(x+2)(x-3) + B(x+2)(x-3) + C(x-3)(2 x-1) + D(2 x-1)(x+2)$
$A$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों में $x^3$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
हर का विस्तार: $(2x-1)(x+2)(x-3) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
चूंकि अंश और हर की घात समान $(3)$ है,$A$ मुख्य गुणांकों का अनुपात है:
$A = \frac{1}{2}$
वैकल्पिक रूप से,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x=3$ के लिए: $27 = D(5)(5) \Rightarrow D = \frac{27}{25}$
$x=-2$ के लिए: $-8 = C(-5)(-5) \Rightarrow C = -8/25$
$x=1/2$ के लिए: $1/8 = B(5/2)(-5/2) \Rightarrow B = -1/50$
$x=0$ के लिए: $0 = 6A - 6B + 3C - 2D$
$6A = 6(-1/50) - 3(-8/25) + 2(27/25) = 3$
$A = 1/2$

(C) माना $E$ सिक्के पर चित प्राप्त करने की घटना है।
माना $F$ पासे पर एक विषम संख्या $(1, 3, 5)$ प्राप्त करने की घटना है।
चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{2}$ है।
छह-फलकीय पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि सिक्का और पासा स्वतंत्र हैं,इसलिए घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं।
अतः,दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ है।
$P(E \cap F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

(A) दिया गया है कि $1$,$ax^2+bx+c=0$ का एक मूल है।
$x=1$ रखने पर,हमें $a(1)^2+b(1)+c=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a+b+c=0$।
अतः,$E_1$ सत्य है।
दिया गया है कि $\sin \theta$ और $\cos \theta$,$ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों के योग और गुणनफल से:
$\sin \theta + \cos \theta = -\frac{b}{a}$ और $\sin \theta \cos \theta = \frac{c}{a}$।
मूलों के योग का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (-\frac{b}{a})^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{b^2}{a^2}$
$1 + 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2}$
$a^2$ से गुणा करने पर:
$a^2 + 2ac = b^2$
$b^2 - a^2 = 2ac$।
अतः,$E_2$ सत्य है।
इसलिए,$E_1$ और $E_2$ दोनों सत्य हैं।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+2x^2-3x-1=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,हमारे पास है:
$\alpha+\beta+\gamma = -2$ $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3$ $(ii)$
$\alpha\beta\gamma = 1$ $(iii)$
हमें $\alpha^{-2}+\beta^{-2}+\gamma^{-2} = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{\beta^2\gamma^2+\alpha^2\gamma^2+\alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,सर्वसमिका $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ का उपयोग करके $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ का मान ज्ञात करें।
मान रखने पर:
$(-3)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2(1)(-2)$
$9 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 - 4$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = 9+4 = 13$।
अब,$\alpha^{-2}+\beta^{-2}+\gamma^{-2} = \frac{13}{(1)^2} = 13$।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-3x-2=0$ है।
$x=-1$ रखने पर:
$(-1)^3-3(-1)-2 = -1+3-2 = 0$.
अतः,$(x+1)$ एक गुणनखंड है।
$x^3-3x-2$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^3-3x-2 = (x+1)(x^2-x-2)$.
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर:
$x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$.
इस प्रकार,समीकरण $(x+1)(x+1)(x-2)=0$ हो जाता है।
अतः मूल $x = -1, -1, 2$ हैं।

(C) दी गई सम्मिश्र संख्याओं के लिए:
$\alpha_1 = |-i| = 1$
$\alpha_2 = |\frac{1}{3}(1+i)| = \frac{1}{3} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.471$
$\alpha_3 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$
मानों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{2}}{3} < 1 < \sqrt{2}$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $\alpha_2 < \alpha_1 < \alpha_3$ है.

(B) दिया गया है कि $b = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$.
लघुगणकीय श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $-\ln(1-a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$ जहाँ $|a| < 1$.
इसलिए,$b = -\ln(1-a)$.
इसका अर्थ है $e^{-b} = 1-a$,अतः $a = 1 - e^{-b}$.
$e^{-b} = 1 - \frac{b}{1!} + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 1 - (1 - \frac{b}{1!} + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots)$
$a = \frac{b}{1!} - \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} - \dots$
$a = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} b^k}{k!}$.

(C) हमारे पास $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+n+1}{n!}$ है।
चूंकि $n^2 = n(n-1) + n$,हम अंश को $2n(n-1) + 3n + 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\frac{2n^2+n+1}{n!} = \frac{2}{(n-2)!} + \frac{3}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$।
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$।
श्रेणी विस्तार $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2e + 3e + (e-1) = 6e - 1$।

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{1+2x}{(1-2x)^2} = (1+2x)(1-2x)^{-2}$ है।
ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1-y)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)y^k$ है।
$y = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,$(1-2x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k$ प्राप्त होता है।
अब,$(1+2x)$ से गुणा करने पर:
$(1+2x) \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} 2(k+1) 2^k x^{k+1}$।
$x^r$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम पहले योग से $k=r$ वाला पद और दूसरे योग से $k+1=r$ (अर्थात $k=r-1$) वाला पद लेते हैं:
$x^r$ का गुणांक $= (r+1) 2^r + 2((r-1)+1) 2^{r-1}$।
$= (r+1) 2^r + 2(r) 2^{r-1} = (r+1) 2^r + r 2^r$।
$= (r+1+r) 2^r = (2r+1) 2^r$।

(B) हमारे पास बहुपदीय विस्तार का सूत्र है:
$(x y+y z+z x)^6 = \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r! s! t!} (x y)^r (y z)^s (z x)^t$
$= \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r! s! t!} x^{r+t} y^{r+s} z^{s+t}$
$x^3 y^4 z^5$ पद के लिए,घातांकों की तुलना करने पर:
$r+t=3$
$r+s=4$
$s+t=5$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(r+s+t) = 12 \implies r+s+t = 6$।
समीकरणों को हल करने पर:
$s = 6 - 3 = 3$
$t = 6 - 4 = 2$
$r = 6 - 5 = 1$
अतः,गुणांक $\frac{6!}{1! 3! 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60$ है।

(C) दिया गया है कि $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_r = {}^{15}C_r$ प्राप्त होता है।
हमें $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$।
इस मान को योगफल में रखने पर:
$\sum_{r=1}^{15} r \left( \frac{16-r}{r} \right) = \sum_{r=1}^{15} (16-r)$।
यह एक समांतर श्रेणी है: $(16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
$n=15$ के लिए,योग $\frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120$ है।

(A) दी गई रेखा $5x - 2y = 7$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{5}{2}$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{2}{5}$ होगी।
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x + 5y = \lambda$ के रूप में होगा।
अब,$2x + 3y = 1$ $(i)$ और $3x + 4y = 6$ (ii) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$(i)$ को $3$ से और (ii) को $2$ से गुणा करने पर:
$6x + 9y = 3$
$6x + 8y = 12$
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$y = -9$ प्राप्त होता है।
$y = -9$ को $(i)$ में रखने पर: $2x + 3(-9) = 1$ $\Rightarrow 2x - 27 = 1$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(14, -9)$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $(14, -9)$ से होकर गुजरती है,इन मानों को $2x + 5y = \lambda$ में रखने पर:
$2(14) + 5(-9) = \lambda$
$28 - 45 = \lambda$
$\lambda = -17$.
अतः,रेखा का समीकरण $2x + 5y = -17$ है,जिसे $2x + 5y + 17 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना $M$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं।
चूंकि रेखा $PM$,दी गई रेखा $x + y = 3$ पर लंब है,इसलिए $PM$ की ढाल रेखा $x + y = 3$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी।
रेखा $x + y = 3$ की ढाल $-1$ है,इसलिए $PM$ की ढाल $1$ होगी।
अतः,$\frac{y_1 - 3}{x_1 - 2} = 1 \implies y_1 - 3 = x_1 - 2 \implies x_1 - y_1 = -1$ (समीकरण $i$)।
चूंकि $M(x_1, y_1)$ रेखा $x + y = 3$ पर स्थित है,इसलिए $x_1 + y_1 = 3$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ और $ii$ को जोड़ने पर: $(x_1 - y_1) + (x_1 + y_1) = -1 + 3 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$।
$x_1 = 1$ का मान समीकरण $ii$ में रखने पर: $1 + y_1 = 3 \implies y_1 = 2$।
अतः,$M$ के निर्देशांक $(1, 2)$ हैं।

(B) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $\theta = \tan^{-1} 2$
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan \theta = 2$
हम जानते हैं कि कार्तीय निर्देशांक में,$\tan \theta = \frac{y}{x}$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{y}{x} = 2$
अतः,कार्तीय रूप है: $y = 2x$

(C) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। $P(x, y)$ की $A(1, 1)$ से दूरी $\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}$ है।
$P(x, y)$ की रेखा $x+y+2=0$ से दूरी $\frac{|x+y+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y+2|}{\sqrt{2}}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,ये दूरियाँ समान हैं:
$(x-1)^2 + (y-1)^2 = \frac{(x+y+2)^2}{2}$
$2(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y$
$2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4$
$x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y = 0$
यह समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप का है,जहाँ $a=1, b=1, h=-1, g=-4, f=-4, c=0$ है।
यहाँ,$h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$ है।
चूँकि $h^2 - ab = 0$,इसलिए बिंदुपथ एक परवलय है।

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण: $12x^2 + 25xy + 12y^2 + 10x + 11y + 2 = 0$ $(i)$
सबसे पहले,समघातीय भाग का गुणनखंड करें: $12x^2 + 25xy + 12y^2 = (3x + 4y)(4x + 3y) = 0$.
मान लीजिए कि दो रेखाएँ $(3x + 4y + c_1) = 0$ और $(4x + 3y + c_2) = 0$ हैं।
उनका गुणनफल $(3x + 4y + c_1)(4x + 3y + c_2) = 12x^2 + 25xy + 12y^2 + (4c_1 + 3c_2)x + (3c_1 + 4c_2)y + c_1c_2 = 0$ है।
इसकी तुलना समीकरण $(i)$ से करने पर:
$4c_1 + 3c_2 = 10$
$3c_1 + 4c_2 = 11$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर:
$16c_1 + 12c_2 = 40$
$9c_1 + 12c_2 = 33$
घटाने पर $7c_1 = 7 \Rightarrow c_1 = 1$ प्राप्त होता है।
$c_1 = 1$ को $4(1) + 3c_2 = 10$ में रखने पर $3c_2 = 6 \Rightarrow c_2 = 2$ प्राप्त होता है।
रेखाएँ $3x + 4y + 1 = 0$ और $4x + 3y + 2 = 0$ हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरियाँ हैं:
$p_1 = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{1}{5}$
$p_2 = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{2}{5}$
दूरियों का गुणनफल $p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$ है।

(C) माना कि दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x+3y+2=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-3y-4=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2+2x+3y+2) - (x^2+y^2+2x-3y-4) = 0$
$6y + 6 = 0 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ को $S_1 = 0$ में रखने पर:
$x^2 + (-1)^2 + 2x + 3(-1) + 2 = 0$
$x^2 + 1 + 2x - 3 + 2 = 0$
$x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = -2$.
व्यास के अंतिम बिंदु $(0, -1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(x-0)(x+2) + (y+1)(y+1) = 0$
$x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$.

(A) रेखा $y-3x=0$ वृत्त की एक स्पर्श रेखा है। त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,1)$ से रेखा $3x-y=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(1) - 1(1)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3-1|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
माना मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर जाने वाली दूसरी स्पर्श रेखा $y=mx$ है,अर्थात $mx-y=0$ है।
केंद्र $(1,1)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी भी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$r = \frac{|m(1) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$.
$r$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(m-1)^2}{m^2+1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$5(m^2 - 2m + 1) = 2(m^2 + 1)$.
$5m^2 - 10m + 5 = 2m^2 + 2$.
$3m^2 - 10m + 3 = 0$.
$3m^2 - 9m - m + 3 = 0$.
$3m(m-3) - 1(m-3) = 0$.
$(3m-1)(m-3) = 0$.
अतः,$m=3$ या $m=\frac{1}{3}$ है।
चूंकि $m=3$ दी गई स्पर्श रेखा $y=3x$ के अनुरूप है,इसलिए दूसरी स्पर्श रेखा $y=\frac{1}{3}x$ है,जो $3y=x$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा समीकरण एक वृत्त को दर्शाता है,हम ध्रुवीय निर्देशांकों को कार्तीय निर्देशांकों में बदलते हैं,जहाँ $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$ और $r^2 = x^2 + y^2$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $r = 2 \sin \theta$।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,$r^2 = 2r \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$r^2 = x^2 + y^2$ और $r \sin \theta = y$ प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + y^2 = 2y$ प्राप्त होता है।
इसे $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=4ax$ है।
माना रेखा का समीकरण $y=mx+c$ है।
यदि यह रेखा परवलय को स्पर्श करती है,तो शर्त $c = \frac{a}{m}$ होती है।
इस मान को रेखा के समीकरण में रखने पर,$y = mx + \frac{a}{m}$ प्राप्त होता है।
$m$ से गुणा करने पर,$my = m^2x + a$ प्राप्त होता है।
$m$ को $\frac{1}{m}$ से बदलने पर,$y = \frac{1}{m}x + am^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $my = x + am^2$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x - my + am^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि $S(1, 0)$ की दूरी,$P$ से नियता $x+2y-1=0$ की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$PS = PM$
$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{5}$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(B) सीमा (limit) का मूल्यांकन करने के लिए हम स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) का उपयोग करते हैं।
हम जानते हैं कि सभी $x \neq 0$ के लिए,$-1 \leq \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq 1$ होता है।
असमिका को $x^2$ से गुणा करने पर (चूंकि $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ है),हमें प्राप्त होता है:
$-x^2 \leq x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq x^2$.
अब,दोनों पक्षों में $x \rightarrow 0$ सीमा लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) = 0$ और $\lim _{x \rightarrow 0} x^2 = 0$,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) = 0$ है।

(B) दिया गया है $\frac{\tan 3A}{\tan A} = a$.
हम जानते हैं कि $\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$.
अतः,$\frac{3\tan A - \tan^3 A}{\tan A(1 - 3\tan^2 A)} = a$.
$\frac{3 - \tan^2 A}{1 - 3\tan^2 A} = a$.
$3 - \tan^2 A = a - 3a\tan^2 A$.
$\tan^2 A(3a - 1) = a - 3$.
$\tan^2 A = \frac{a - 3}{3a - 1}$.
अब,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = \frac{3\sin A - 4\sin^3 A}{\sin A} = 3 - 4\sin^2 A$.
$\sin^2 A = \frac{\tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{\frac{a-3}{3a-1}}{1 + \frac{a-3}{3a-1}} = \frac{a-3}{4(a-1)}$ का उपयोग करने पर.
अतः,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = 3 - 4\left(\frac{a-3}{4(a-1)}\right) = 3 - \frac{a-3}{a-1} = \frac{3a - 3 - a + 3}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$.

(A) प्रक्षेप सूत्र $c \cos B + b \cos C = a$,$a \cos C + c \cos A = b$,और $b \cos A + a \cos B = c$ का उपयोग करते हुए।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$a \cos^2 B + a \cos^2 C + c \cos A \cos C + b \cos A \cos B$
$= a \cos^2 B + b \cos A \cos B + a \cos^2 C + c \cos A \cos C$
$= \cos B (a \cos B + b \cos A) + \cos C (a \cos C + c \cos A)$
$= \cos B (c) + \cos C (b)$
$= c \cos B + b \cos C$
$= a$

(A) दिया गया है कि $A+B=C$ है।
हमें व्यंजक $E = \cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C-2 \cos A \cos B \cos C$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1+\cos 2A}{2} + \frac{1+\cos 2B}{2} + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
चूंकि $A+B=C$ है,इसलिए $\cos(A+B) = \cos C$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 + \cos C \cos(A-B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [\cos(A-B) + \cos C] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos C = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 + \cos C [\cos A \cos B + \sin A \sin B + \cos A \cos B - \sin A \sin B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [2 \cos A \cos B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + 2 \cos A \cos B \cos C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1$.

(D) दिया गया है कि $A+C=2B$ ...$(i)$
हमें व्यंजक $\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C}$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$\cos C - \cos A = 2 \sin\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$
$\sin A - \sin C = 2 \cos\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C} = \frac{2 \sin\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)}$
समान पदों $2$ और $\sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$ को काटने पर:
$= \frac{\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)}$
$= \tan\left(\frac{A+C}{2}\right)$
चूंकि $A+C=2B$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = B$.
अतः,व्यंजक का मान $\tan B$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-5x+6=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-3)(x-2)=0$ प्राप्त होता है,जिससे मूल $x=3$ और $x=2$ मिलते हैं।
ये मूल त्रिभुज की दो भुजाओं को दर्शाते हैं,इसलिए मान लीजिए $a=3$ और $b=2$ है।
इन भुजाओं के बीच का कोण $C = \frac{\pi}{3}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$।
मान रखने पर,$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{3^2+2^2-c^2}{2 \times 3 \times 2}$।
$\frac{1}{2} = \frac{9+4-c^2}{12} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{13-c^2}{12}$।
$6 = 13-c^2$ $\Rightarrow c^2 = 7$ $\Rightarrow c = \sqrt{7}$।
त्रिभुज का परिमाप $a+b+c = 3+2+\sqrt{7} = 5+\sqrt{7}$ है।

(D) हम नेपियर के सादृश्य नियम को जानते हैं: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(b+c) \tan \frac{A}{2} \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = (b-c)$.
अब,चक्रीय पदों पर योग $\Sigma$ लागू करने पर:
$\Sigma(b+c) \tan \frac{A}{2} \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = (b-c) + (c-a) + (a-b)$.
इन पदों का योग करने पर: $b - c + c - a + a - b = 0$.

(B) हमें व्यंजक $[x - |x|] = 5$ दिया गया है।
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[x - x] = [0] = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \neq 5$,इसलिए $x \geq 0$ के लिए कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[x - (-x)] = [2x] = 5$ प्राप्त होता है।
$[2x] = 5$ के लिए,$5 \leq 2x < 6$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2.5 \leq x < 3$।
हालाँकि,यह हमारी धारणा $x < 0$ का खंडन करता है।
इसलिए,ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,यह समुच्चय एक रिक्त समुच्चय,$\phi$ है।

(A) दिया गया है $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.
सबसे पहले,$x^2$ की गणना करें:
$x^2 = \frac{1}{4} \left( 3 + \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{9+1+6}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{4}{3}$.
अब,$x^2 - 1$ की गणना करें:
$x^2 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
अतः,$\sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इन मानों को व्यंजक $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) - \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{3 - 1}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$.

(B) माना $BC$ टॉवर की ऊँचाई है और $CD$ ध्वजदंड की ऊँचाई है,जहाँ $BC = x$ और $CD = h$ है।
माना बिंदु $A$ टॉवर के आधार $B$ से $y$ मीटर की दूरी पर है।
दिया गया है कि टॉवर और ध्वजदंड बिंदु $A$ पर समान कोण $\theta$ अंतरित करते हैं।
$\triangle ABC$ में,$\tan \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{y}$ है।
$\triangle ABD$ में,कुल कोण $2\theta$ है और कुल ऊँचाई $BD = BC + CD = x + h$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \frac{BD}{AB} = \frac{x+h}{y}$ है।
सूत्र $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2(x/y)}{1-(x/y)^2} = \frac{x+h}{y}$
$\frac{2xy}{y^2-x^2} = \frac{x+h}{y}$
$h = \frac{2xy^2}{y^2-x^2} - x = \frac{x(x^2+y^2)}{y^2-x^2}$.

(A) माना $f(n) = n(n+1)(2n+1)$.
हम जानते हैं कि $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$.
प्रत्येक पद $n(n+1)(n-1)$ और $n(n+1)(n+2)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है।
इसलिए,$n(n+1)(n-1) = 6k_1$ और $n(n+1)(n+2) = 6k_2$ किसी पूर्णांक $k_1, k_2$ के लिए।
अतः,$f(n) = 6(k_1 + k_2) = 6k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
इसलिए,यह समुच्चय $\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$ का उपसमुच्चय है।

(D) दी गई व्यंजक: $\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c}\right)$
हर (denominator) से $10^{-4}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$10^{-4} a + 10^{-3} b + 10^{-2} c = 10^{-4}(a + 10b + 10^2c)$
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4}(a+10 b+10^2 c)}\right)$
$= \log _{10}\left(\frac{1}{10^{-4}}\right)$
$= \log _{10}(10^4)$
$= 4 \log _{10}(10) = 4(1) = 4$

(C) मान लीजिए कि तीन अंकों की संख्या $abc$ है,जहाँ $a, b, c$ अंक हैं।
प्रश्न के अनुसार,$b = c$ और $a \neq b$ है।
पहला अंक $a$,$1$ से $9$ तक कोई भी अंक हो सकता है ($9$ विकल्प)।
अंतिम दो अंक $b$ और $c$ समान होने चाहिए,इसलिए हम $b$ और $c$ दोनों के लिए $x \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ में से एक अंक चुनते हैं।
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a$ के प्रत्येक चयन के लिए,$(b, c)$ के जोड़े के लिए $10 - 1 = 9$ संभावित विकल्प हैं।
ऐसी $n$ संख्याओं की कुल संख्या $= 9 \times 9 = 81$।

(B) दिया गया है $S = \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,इसलिए $n(S) = 50$.
समुच्चय $A$ के लिए,$n + \frac{50}{n} > 27$ को हल करने पर:
$n^2 - 27n + 50 > 0$.
$(n - 25)(n - 2) > 0$.
यह $n < 2$ या $n > 25$ के लिए सत्य है।
चूंकि $n \in S$,इसलिए $n=1$ या $n \in \{26, 27, \ldots, 50\}$।
अतः,$A = \{1, 26, 27, \ldots, 50\}$,जिससे $n(A) = 1 + 25 = 26$।
समुच्चय $B$ के लिए,$S$ में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ हैं,इसलिए $n(B) = 15$।
समुच्चय $C$ के लिए,$S$ में पूर्ण वर्ग संख्याएँ $\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$ हैं,इसलिए $n(C) = 7$।
प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{26}{50}$,$P(B) = \frac{15}{50}$,$P(C) = \frac{7}{50}$ हैं।
इसलिए,$P(A) > P(B) > P(C)$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x-2}{x^2-3x+2} = \frac{x-2}{(x-2)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$ जहाँ $x \neq 1, 2$ है।
$x=2$ पर,$f(2) = 1$ है।
हमें $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर:
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x-1} - 1}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1-(x-1)}{x-1}}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{(x-1)(x-2)}$.
चूँकि $2-x = -(x-2)$,इसलिए:
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{-(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-1}{x-1} = \frac{-1}{2-1} = -1$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ है।
फलन के अचर होने के लिए,$x$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होना चाहिए,या अंश को हर का एक अचर गुणज होना चाहिए।
मान लीजिए $f(x) = k$ (एक अचर)।
तब $\frac{ax + b}{cx + d} = k$.
$ax + b = k(cx + d) = (kc)x + kd$.
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $a = kc$ और $b = kd$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{a}{c} = k$ और $\frac{b}{d} = k$ (मान लीजिए $c, d \neq 0$)।
इसलिए,$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$,जिससे $ad = bc$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि हम विकल्प $(c)$ लें,अर्थात $ad = bc$,तो $ad - bc = 0$ होगा।
यदि $ad = bc$ है,तो $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$ (जहाँ $c, d \neq 0$)।
फलन में $a = kc$ और $b = kd$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{(kc)x + kd}{cx + d} = \frac{k(cx + d)}{cx + d} = k$.
चूँकि $f(x) = k$,इसलिए फलन अचर है।

(B) दिया गया है कि $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$ ... $(i)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है
$x^2(1+y) = y^2(1+x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$
$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$
$(x-y)(x+y+xy) = 0$
चूंकि $x-y \neq 0$ (क्योंकि यह मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है),इसलिए हमारे पास होना चाहिए
$x+y+xy = 0$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)\frac{d}{dx}(x) - x\frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

(B) दिया गया है कि $f(x)=10 \cos x+(13+2 x) \sin x \quad ...(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$f^{\prime}(x)=-10 \sin x+(13+2 x) \cos x+2 \sin x$
$f^{\prime}(x)=-8 \sin x+(13+2 x) \cos x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$f^{\prime \prime}(x)=-8 \cos x+(13+2 x)(-\sin x)+2 \cos x$
$f^{\prime \prime}(x)=-6 \cos x-(13+2 x) \sin x \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है
$f^{\prime \prime}(x)+f(x) = [-6 \cos x-(13+2 x) \sin x] + [10 \cos x+(13+2 x) \sin x]$
$f^{\prime \prime}(x)+f(x) = 4 \cos x$

(A) $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/s}$ और $r = 12 \text{ cm}$,इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$ (ii)
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ होना चाहिए।

$6(x - 1)(x - 2) > 0$

यह तब सत्य है जब $x < 1$ या $x > 2$ हो।

अतः,$f(x)$ अंतराल $(1, 2)$ के बाहर वर्धमान है। इसलिए,कथन $A$ सत्य है।
कथन $R$ के लिए,हम ह्रासमान फलन की स्थिति की जाँच करते हैं: $f^{\prime}(x) < 0$.

$6(x - 1)(x - 2) < 0$

यह तब सत्य है जब $1 < x < 2$ हो।

अतः,$x \in (1, 2)$ के लिए $f^{\prime}(x) < 0$ है। इसलिए,कथन $R$ सत्य है।
चूंकि कथन $A$ वर्धमान व्यवहार का वर्णन करता है और कथन $R$ ह्रासमान व्यवहार का वर्णन करता है,इसलिए $R$,$A$ का कारण नहीं है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,और $R$,$A$ का सही कारण नहीं है।

(A) माना $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए,$f'(x) = 0$ रखें
$(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1) = 0$
$(2x^3 - x^2 + 2x^2 - x + 2x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1) = 0$
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
अब,$f'(x) = \frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)^2}$
पुनः अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $f''(x) = \frac{(x^2+x+1)^2(4x) - (2x^2-2) \cdot 2(x^2+x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^4}$
$x = 1$ पर,$f''(1) = \frac{(1+1+1)^2(4) - 0}{(1+1+1)^4} = \frac{9 \times 4}{81} = \frac{36}{81} > 0$
अतः,फलन का मान $x = 1$ पर न्यूनतम है।
समीकरण $(i)$ में $x = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$f(1) = \frac{1^2-1+1}{1^2+1+1} = \frac{1}{3}$
$\therefore$ न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(C) दिया गया गति का समीकरण: $s = 490t - 4.9t^2$.
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
अधिकतम ऊँचाई के लिए $\frac{ds}{dt} = 0$ रखने पर:
$490 - 9.8t = 0$
$9.8t = 490$
$t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ सेकंड}$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $s$ ज्ञात करने के लिए $t = 50$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$s = 490(50) - 4.9(50)^2$
$s = 24500 - 4.9(2500)$
$s = 24500 - 12250$
$s = 12250$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{y^3 x} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x y^3} = -\frac{\cos x}{x^3}$
माना $t = y^{-3} = \frac{1}{y^3}$. तब,$\frac{dt}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \frac{dt}{dx}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$-\frac{1}{3} \frac{dt}{dx} - \frac{t}{x} = -\frac{\cos x}{x^3}$
$-3$ से गुणा करने पर:
$\frac{dt}{dx} + \frac{3}{x} t = \frac{3 \cos x}{x^3}$
यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}{x}$ और $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ है।
हल $t \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$
$t x^3 = 3 \int \cos x dx + c$
$t x^3 = 3 \sin x + c$
चूँकि $t = y^{-3}$,इसलिए $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

(A) $I$. दिया गया है $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$.
$dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+2xy=2e^{-x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=2x$ और $Q=2e^{-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$ है।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ है।
$ye^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x+c$.
अतः,कथन $I$ सही है।
$II$. दिया गया है $ye^{x^2}-2x=c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(ye^{x^2}) - \frac{d}{dx}(2x) = 0$.
$y(2x e^{x^2}) + e^{x^2} \frac{dy}{dx} - 2 = 0$.
$e^{x^2} \frac{dy}{dx} = 2 - 2xye^{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 2e^{-x^2} - 2xy$.
इसलिए,$dx = \frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$.
अतः,कथन $II$ भी सही है।

(A) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot a = 1$ और $b \cdot b = 1$।
वितरण गुण का उपयोग करके क्रॉस उत्पाद का विस्तार करने पर:
$(a+b) \times (a \times b) = a \times (a \times b) + b \times (a \times b)$
सदिश त्रिक उत्पाद सूत्र $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ का उपयोग करने पर:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = (a \cdot b)a - b$
$b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b = a - (a \cdot b)b$
इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर:
$(a \cdot b)a - b + a - (a \cdot b)b = a - b + (a \cdot b)(a - b) = (a - b)(1 + a \cdot b)$
चूंकि $(1 + a \cdot b)$ एक अदिश है,इसलिए परिणामी सदिश $(a - b)$ के समांतर है।

(A) प्रत्येक व्यंजक का विश्लेषण करते हैं:
$(A)$ अदिश त्रिक गुणन $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$ को $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,$(A)$ का मिलान $3$ से होता है।
$(B)$ सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z})\mathbf{x}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ है। अतः,$(B)$ का मिलान $5$ से होता है।
$(C)$ सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ का उपयोग करते हुए,$(C)$ का मिलान $2$ से होता है।
$(D)$ अदिश गुणन $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ को $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\theta$ सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच का कोण है। अतः,$(D)$ का मिलान $1$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $A-3, B-5, C-2, D-1$ है।

(C) मान लीजिए बिंदु $A(1, -2, -3)$ और $B(2, 0, 0)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-2))\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
कोई भी बिंदु $P(x, y, z)$,$A$ और $B$ के साथ संरेख होगा यदि सदिश $\vec{AP}$,$\vec{AB}$ का एक अदिश गुणज हो।
मान लीजिए $P = (0, -4, -6)$ है। तब $\vec{AP} = (0-1)\hat{i} + (-4-(-2))\hat{j} + (-6-(-3))\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ होगा।
चूंकि $\vec{AP} = -1(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = -1\vec{AB}$,इसलिए सदिश $\vec{AP}$,$\vec{AB}$ का एक अदिश गुणज है।
अतः,बिंदु $(0, -4, -6)$,$(1, -2, -3)$ और $(2, 0, 0)$ के साथ संरेख है।

(A) माना बिंदु $O(0, 0, 0)$ और $P(2, 3, -1)$ हैं।
रेखा $OP$ के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 0, 3 - 0, -1 - 0) = (2, 3, -1)$ हैं।
दूरी $OP = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n) = \left(\frac{a}{r}, \frac{b}{r}, \frac{c}{r}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$ होंगे।

(B) माना $P(B) = p$. दी गई शर्त के अनुसार,$P(A) = 2P(B) = 2p$. चूंकि $P(A) + P(B) = 1$,इसलिए $2p + p = 1$,जिसका अर्थ है $3p = 1$,अतः $p = \frac{1}{3}$. इस प्रकार,$P(B) = \frac{1}{3}$ और $P(A) = \frac{2}{3}$ है।
बॉक्स $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|A) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ है।
बॉक्स $B$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|B) = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लाल गेंद के बॉक्स $B$ से आने की प्रायिकता:
$P(B|R) = \frac{P(B) \cdot P(R|B)}{P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)}$
$P(B|R) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{6}{15} + \frac{4}{21}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{2}{5} + \frac{4}{21}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{42 + 20}{105}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{62}{105}} = \frac{4}{21} \cdot \frac{105}{62} = \frac{4 \cdot 5}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}$.

(B) दिया गया है कि $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$.
हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty \right) = 1 \quad \dots (i)$
माना $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty$.
तब $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \ldots \infty$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{1}{3}S = 1 + \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2} \right) + \ldots \infty$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
समीकरण $(i)$ से,$a \times S = 1 \implies a \times \frac{9}{4} = 1$.
अतः,$a = \frac{4}{9}$.

(C) दिया गया है कि $n=6$ और $P(X=2)=9 P(X=4)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {}^n C_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
${}^6 C_2 p^2 q^4 = 9 \cdot {}^6 C_4 p^4 q^2$
चूंकि ${}^6 C_2 = 15$ और ${}^6 C_4 = 15$,इसलिए:
$15 p^2 q^4 = 9 \cdot 15 p^4 q^2$
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$q^2 = 9 p^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$q = 3p$
हम जानते हैं कि $p + q = 1$,इसलिए $q = 3p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p + 3p = 1 \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$
अतः $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $npq$ द्वारा दिया जाता है:
$\text{प्रसरण} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(B) दिए गए वक्र हैं:
$y^2 = 4x$ ... $(i)$
$x^2 = 4y$ ... (ii)
(ii) से,$y = \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 4$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_0^4 (2x^{1/2} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}] - [0 - 0]$
$= [\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}]$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$m[-3, 4] + n[4, -3] = [10, -11]$
अदिश $m$ और $n$ को आव्यूह के साथ गुणा करने पर:
$[-3m, 4m] + [4n, -3n] = [10, -11]$
आव्यूहों को जोड़ने पर:
$[-3m + 4n, 4m - 3n] = [10, -11]$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें दो रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$-3m + 4n = 10$ $\dots(i)$
$4m - 3n = -11$ $\dots(ii)$
$m$ और $n$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण $(ii)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$-9m + 12n = 30$ $\dots(iii)$
$16m - 12n = -44$ $\dots(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$7m = -14 \Rightarrow m = -2$
$m = -2$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-3(-2) + 4n = 10 \Rightarrow 6 + 4n = 10 \Rightarrow 4n = 4 \Rightarrow n = 1$
अंत में,$3m + 7n$ का मान ज्ञात करने पर:
$3(-2) + 7(1) = -6 + 7 = 1$

(A) दिया गया है कि,$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \dots (i)$
सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$
इसके बाद,हम $A^3$ की गणना करते हैं:
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$
अब,$A^3 - A^2$ की गणना करते हैं:
$A^3 - A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$
चूँकि $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $2A = 2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^3 - A^2 = 2A$ है।

(C) माना कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है। किसी आव्यूह का सहखंडज (adjoint) उसके सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,अर्थात $\operatorname{adj}(A) = [C_{ij}]^T$।
सहखंड $C_{ij}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
सहखंड आव्यूह $\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इसका परिवर्त लेने पर,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 5 & a & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & b \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $a = 4$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$[a \quad b] = [4 \quad 1]$।

(C) हम सूत्र $2 \tanh^{-1} x = \tanh^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ का उपयोग करेंगे।
$x = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \tanh^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{2(\frac{1}{2})}{1+(\frac{1}{2})^2} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{1}{\frac{5}{4}} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{4}{5} \right)$.
अब,प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या फलन के लघुगणकीय रूप का उपयोग करते हैं: $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.
$x = \frac{4}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tanh^{-1} \left( \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + \frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{2} \log 9 = \frac{1}{2} \log 3^2 = \log 3$.

(C) दी गई व्यंजक: $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
सबसे पहले,सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ का उपयोग करते हैं:
$2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{1-1/9} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{8/9} = \tan ^{-1} \left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
अब,व्यंजक $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ हो जाता है।
यदि $\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \theta$ है,तो $\tan \theta = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$।
अतः,$\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$।
इस मान को रखने पर,हमें $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \cos ^{-1} \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,उत्तर $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \quad \dots(i)$
फलन के अचर होने के लिए,इसके प्रांत में प्रत्येक $x$ के लिए अवकलज $f'(x)$ शून्य होना चाहिए।
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2} = \frac{acx + ad - acx - bc}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.
$f(x)$ के अचर होने के लिए,$f'(x) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $ad - bc = 0$,या $ad = bc$.
वैकल्पिक रूप से,यदि $ad = bc$ है,तो मान लीजिए $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$. तब $a = ck$ और $b = dk$.
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = \frac{ckx + dk}{cx + d} = \frac{k(cx + d)}{cx + d} = k$,जो एक अचर है।

(C) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x^2 + 3 x + 2}, & x \in R - \{-1, -2\} \\ -1, & x = -2 \\ 0, & x = -1 \end{cases}$
$x \in R - \{-1, -2\}$ के लिए,$f(x) = \frac{x + 2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 1}$.
अब,हम $x = -2$ और $x = -1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$x = -2$ पर:
$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{-2 + 1} = -1$.
चूँकि $f(-2) = -1$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = f(-2)$,अतः $f$ बिंदु $x = -2$ पर सतत है।
$x = -1$ पर:
$\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{1}{x + 1} = -\infty$ और $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{x + 1} = \infty$.
चूँकि $x = -1$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f$ बिंदु $x = -1$ पर असतत है।
अतः,$f$ समुच्चय $R - \{-1\}$ पर सतत है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक सम फलन है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = f(-x)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = -f^{\prime}(-x)$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(-x)$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ भी एक सम फलन है।
चूंकि $f^{\prime \prime}(x)$ एक सम फलन है,इसलिए $f^{\prime \prime}(-\pi) = f^{\prime \prime}(\pi)$ होगा।
दिया गया है कि $f^{\prime \prime}(\pi) = 1$,इसलिए $f^{\prime \prime}(-\pi) = 1$ होगा।

(A) दिया गया फलन $u(x, y) = \sin^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ है।
हम देखते हैं कि $u(tx, ty) = \sin^{-1}\left(\frac{tx}{ty}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = u(x, y)$ है।
यह दर्शाता है कि $u$ घात $n = 0$ का एक समघातीय फलन है।
समघातीय फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,यदि $u$ घात $n$ का एक समघातीय फलन है,तो $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n \cdot u$ होता है।
चूंकि $n = 0$ है,इसलिए $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \cdot u = 0$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) कथन $I$ के लिए:
$f(x) = a x^{41} + b x^{-40}$
$f^{\prime}(x) = 41 a x^{40} - 40 b x^{-41}$
$f^{\prime \prime}(x) = 41 \times 40 a x^{39} + 40 \times 41 b x^{-42} = 1640 a x^{39} + 1640 b x^{-42}$
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = \frac{1640(a x^{39} + b x^{-42})}{a x^{41} + b x^{-40}} = \frac{1640(a x^{39} + b x^{-42})}{x^2(a x^{39} + b x^{-42})} = 1640 x^{-2}$.
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए:
मान लीजिए $y = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$ है। $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें $y = \tan ^{-1}(\tan 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
तब $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1+x^2}$ होगा।
चूंकि दिया गया कथन दावा करता है कि अवकलज $\frac{1}{1+x^2}$ है,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
अतः,$I$ सत्य है,लेकिन $II$ असत्य है।

(A) दिया गया है $f(x) = 10 \cos x + (13 + 2x) \sin x$.
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = -10 \sin x + [2 \sin x + (13 + 2x) \cos x] = -8 \sin x + (13 + 2x) \cos x$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = -8 \cos x + [2 \cos x - (13 + 2x) \sin x] = -6 \cos x - (13 + 2x) \sin x$.
अंत में,$f''(x) + f(x)$ की गणना करें:
$f''(x) + f(x) = [-6 \cos x - (13 + 2x) \sin x] + [10 \cos x + (13 + 2x) \sin x] = 4 \cos x$.

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) = \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta$ है,इसलिए:
$I = \int 2 \theta \sec ^2 \theta d \theta$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$u = \theta$ और $dv = \sec ^2 \theta d \theta$ लेने पर:
$I = 2 [\theta \tan \theta - \int \tan \theta d \theta]$.
$I = 2 [\theta \tan \theta + \log |\cos \theta|] + C$.
यहाँ $\tan \theta = x$ है,इसलिए $\theta = \tan ^{-1} x$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
$I = 2 [x \tan ^{-1} x + \log |\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}|] + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x + 2 \log (1+x^2)^{-1/2} + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x - \log (1+x^2) + C$.
इसे $f(x) - \log (1+x^2)$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = 2 x \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{x^{49} \tan ^{-1}\left(x^{50}\right)}{1+x^{100}} d x$.
$t = x^{50}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 50x^{49} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{49} dx = \frac{1}{50} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{50} \int \frac{\tan ^{-1} t}{1+t^2} dt$.
अब,$u = \tan ^{-1} t$ लेने पर,$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन होगा:
$I = \frac{1}{50} \int u du = \frac{1}{50} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{100} + c$.
$u = \tan ^{-1} (x^{50})$ वापस रखने पर:
$I = \frac{(\tan ^{-1} (x^{50}))^2}{100} + c$.
दिए गए समीकरण $k(\tan ^{-1} (x^{50}))^2 + c$ से तुलना करने पर,$k = \frac{1}{100}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)} dx$ है।
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x dx = dt$,अतः $\sin x dx = -dt$ होगा।
$I = \int \frac{-dt}{t(1+t)} = -\int \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right] dt$।
$I = -[\log |t| - \log |1+t|] + c = \log |1+t| - \log |t| + c$।
$I = \log \left| \frac{1+t}{t} \right| + c$।
$t = \cos x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \log \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right| + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $I = f(x) + c$ है,इसलिए $f(x) = \log \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right|$ होगा।

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin (\pi-\theta)}{1+\cos ^2(\pi-\theta)} d \theta$
चूँकि $\sin(\pi-\theta) = \sin \theta$ और $\cos(\pi-\theta) = -\cos \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin \theta}{1+(-\cos \theta)^2} d \theta = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta + (\pi-\theta) \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta = \int_0^\pi \frac{\pi \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$
माना $\cos \theta = t$,तब $-\sin \theta d \theta = dt$. जब $\theta = 0, t = 1$ और जब $\theta = \pi, t = -1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$
$2I = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$
$I = \frac{\pi^2}{4}$

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{200 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} d x$ है।
हम अंश को $100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x}{\sin x + \cos x} d x = 100 \int_0^{\pi / 2} 1 d x + 100 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ है।
माना $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ... $(i)$।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} d x = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$ ... (ii)।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$I_1 = \frac{\pi}{4}$।
अब,$I$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$I = 100 \times [x]_0^{\pi / 2} + 100 \times I_1 = 100 \times \frac{\pi}{2} + 100 \times \frac{\pi}{4} = 50\pi + 25\pi = 75\pi$।

(C) दिया गया है कि $dx + dy = (x + y)(dx - dy)$।
$dx$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \frac{dy}{dx} = (x + y)(1 - \frac{dy}{dx})$
$1 + \frac{dy}{dx} = x + y - (x + y)\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}(1 + x + y) = x + y - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y - 1}{x + y + 1} \quad \dots(i)$
माना $x + y = t$। तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$।
समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t - 1}{t + 1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t - 1}{t + 1} + 1 = \frac{t - 1 + t + 1}{t + 1} = \frac{2t}{t + 1}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{t + 1}{2t} dt = dx$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t}) dt = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{1}{2}(t + \log|t|) = x + C_1$
$t + \log|t| = 2x + 2C_1$
$t = x + y$ रखने पर:
$x + y + \log(x + y) = 2x + C$
$\log(x + y) = x - y + C$

(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x} \quad \dots(i)$
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + x \tan v}{x}$
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$
चरों को पृथक करने पर:
$\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$
$\log|\sin v| = \log|x| + \log|c|$
$\log|\sin v| = \log|cx|$
$\sin v = cx$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin(\frac{y}{x}) = cx$

(D) फलन $f(n)$,$n$ के सभी धनात्मक भाजकों का योग दर्शाता है।
संख्या $n = 2^k \cdot 3^1$ के लिए,भाजक $2^k$ के भाजकों और $3^1$ के भाजकों का गुणनफल होते हैं।
$2^k$ के भाजकों का योग $(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^k) = \frac{2^{k+1}-1}{2-1} = 2^{k+1}-1$ है।
$3^1$ के भाजकों का योग $(1 + 3) = 4$ है।
चूंकि $f$ सह-अभाज्य कारकों के लिए एक गुणात्मक फलन है,$f(2^k \cdot 3) = f(2^k) \cdot f(3)$।
अतः,$f(2^k \cdot 3) = (2^{k+1}-1) \cdot 4 = 4(2^{k+1}-1)$।

(B) कथन $A$ सत्य है क्योंकि तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि ऐसे अदिश $x, y$ मौजूद हों कि $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ हो (यह मानते हुए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख हैं)।
कथन $R$ सत्य है क्योंकि $3D$ अंतरिक्ष में तीन समतलीय सदिशों का कोई भी समूह रैखिक रूप से आश्रित होता है,क्योंकि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है।
हालाँकि,$R$ समतलीय सदिशों का एक सामान्य गुण है और यह $A$ में बताई गई विशिष्ट स्थिति के लिए परिभाषा या प्रत्यक्ष तार्किक व्युत्पत्ति के रूप में कार्य नहीं करता है। अतः,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) $I$: दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि वे शून्येतर और असंरेख हों। अतः,कथन $I$ सत्य है।
$II$: $3D$ अंतरिक्ष में कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं क्योंकि यदि वे असंरेख हैं तो एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,या यदि कोई दो सदिश संरेख हैं तो भी वे रैखिक रूप से आश्रित होते हैं। अतः,कथन $II$ सत्य है।
$\therefore$ $I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

(B) दिया गया है कि $a = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
चूँकि $a$ और $b$ संरेख हैं,इसलिए $b = \lambda a$ होगा,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
हमें दिया गया है कि $|b| = 21$.
सबसे पहले,$a$ का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
चूँकि $b = \lambda a$,इसलिए $|b| = |\lambda| |a|$ होगा।
$21 = |\lambda| \times 7 \implies |\lambda| = 3 \implies \lambda = \pm 3$.
अतः,$b = \pm 3(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k})$.

(A) माना मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$ है और बिंदु $P(2, 3, -1)$ है।
रेखा $OP$ के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 0, 3 - 0, -1 - 0) = (2, 3, -1)$ हैं।
दूरी $OP = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$ प्राप्त होते हैं।