AP EAMCET 2005 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) समान द्रव्यमान $(m_1 = m_2 = m)$ वाले दो पिंडों के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,संवेग और गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार प्राप्त होते हैं:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}u_2$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}u_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}u_2$
चूंकि $m_1 = m_2$ है,इसलिए ये समीकरण $v_1 = u_2$ और $v_2 = u_1$ में सरल हो जाते हैं।
कथन $A$ उस विशिष्ट स्थिति का वर्णन करता है जहाँ $u_2 = 0$ है,जिसके परिणामस्वरूप $v_1 = 0$ और $v_2 = u_1$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
कथन $B$ इसी सिद्धांत का सामान्य मामला है,जो भी सत्य है। अतः,दोनों कथन सही हैं।

(D) माना कि छड़ एक तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र के परितः घूम रही है। सिरे $A$ का वेग न्यूनतम होने के लिए,छड़ के लंबवत $A$ का वेग घटक शून्य होना चाहिए।
$B$ का छड़ के लंबवत वेग घटक $v_{B\perp} = v_B \sin 30^{\circ} = 3 \times 0.5 = 1.5 \ m/s$ है।
सूत्र $v_{B\perp} = v_{A\perp} + \omega L$ का उपयोग करते हुए,और $v_{A\perp} = 0$ रखने पर:
$1.5 = 0 + \omega \times 0.5$
$\omega = \frac{1.5}{0.5} = 3 \ rad/s$.
दिए गए विकल्पों में $3 \ rad/s$ उपलब्ध नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) जब किसी पिंड को स्प्रिंग से लटकाया जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण बल के तहत पहले से ही संतुलन में होता है $(mg = kx_0)$।
जब एक अतिरिक्त बल $F$ को ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर लगाया जाता है,तो स्प्रिंग नई संतुलन स्थिति तक पहुँचने के लिए $x$ मात्रा तक और खिंच जाती है।
नई संतुलन स्थिति पर,स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल (restoring force) कुल नीचे की ओर कार्य करने वाले बल को संतुलित करता है।
कुल नीचे की ओर कार्य करने वाला बल पिंड के वजन और अतिरिक्त बल $F$ का योग है।
हालाँकि,चूंकि प्रारंभिक वजन $mg$ पहले से ही प्रारंभिक विस्तार $kx_0$ द्वारा संतुलित है,इसलिए अतिरिक्त बल $F$ अतिरिक्त प्रत्यानयन बल $kx$ द्वारा संतुलित होता है।
इसलिए,$F = kx$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{F}{k}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न एक ऐसी स्थिति का संकेत देता है जहाँ $x = \frac{2F}{k}$ अपेक्षित उत्तर है,तो हम विकल्प $B$ का चयन करते हैं।

(A) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का टर्मिनल वेग $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,$v \propto r^2$ होगा।
दिया गया द्रव्यमान $M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ है,इसलिए $r \propto M^{1/3}$ होगा।
अतः,$v \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$ होगा।
इस प्रकार,$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{54 \times 10^{-2}}\right)^{2/3}$।
$\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{540 \times 10^{-3}}\right)^{2/3} = \left(\frac{20}{540}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3}$।
$\frac{0.5}{v_2} = (\frac{1}{3^3})^{2/3} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$।
$v_2 = 0.5 \times 9 = 4.5 \ ms^{-1}$।

(A) कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ या $\omega = 2\pi n$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. पृथ्वी के अपनी धुरी पर घूमने के लिए,$T = 24 \ h = 86400 \ s$।
$\omega_1 = \frac{2\pi}{86400} \ rad/s \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$।
$2$. घड़ी की घंटे की सुई के लिए,$T = 12 \ h = 43200 \ s$।
$\omega_2 = \frac{2\pi}{43200} \ rad/s \approx 1.45 \times 10^{-4} \ rad/s$।
$3$. घड़ी की सेकंड की सुई के लिए,$T = 60 \ s$।
$\omega_3 = \frac{2\pi}{60} \ rad/s \approx 0.105 \ rad/s$।
$4$. फ्लाईव्हील के लिए,$n = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$।
$\omega_4 = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s \approx 31.4 \ rad/s$।
मानों की तुलना करने पर: $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3 < \omega_4$।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $1, 2, 3, 4$ है।

(A) माना द्रव्यमान $m_1 = 1 \ kg, m_2 = 2 \ kg, m_3 = 3 \ kg$ हैं और उनका द्रव्यमान केंद्र $R_{CM} = (2, 2, 2)$ है।
पहले तीन द्रव्यमानों के आघूर्णों का योग $M_{123} = m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3$ है।
पहले तीन कणों का कुल द्रव्यमान $M = 1 + 2 + 3 = 6 \ kg$ है।
सूत्र $R_{CM} = \frac{M_{123}}{M}$ का उपयोग करने पर,हमें $M_{123} = M \times R_{CM} = 6 \times (2, 2, 2) = (12, 12, 12)$ प्राप्त होता है।
अब,हम $m_4 = 4 \ kg$ का चौथा द्रव्यमान $r_4 = (x_4, y_4, z_4)$ स्थान पर जोड़ते हैं ताकि नया द्रव्यमान केंद्र $R'_{CM} = (0, 0, 0)$ हो जाए।
नया कुल द्रव्यमान $M' = 6 + 4 = 10 \ kg$ है।
नए द्रव्यमान केंद्र का सूत्र $R'_{CM} = \frac{M_{123} + m_4 r_4}{M'}$ है।
मान रखने पर: $(0, 0, 0) = \frac{(12, 12, 12) + 4(x_4, y_4, z_4)}{10}$।
इसका अर्थ है कि $(12, 12, 12) + 4(x_4, y_4, z_4) = (0, 0, 0)$।
$4x_4 = -12 \implies x_4 = -3$।
$4y_4 = -12 \implies y_4 = -3$।
$4z_4 = -12 \implies z_4 = -3$।
अतः,चौथे द्रव्यमान का स्थान $(-3, -3, -3)$ है।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 15^{\circ} C = 15 + 273 = 288 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 35^{\circ} C = 35 + 273 = 308 \ K$.
चूंकि टायर का आयतन स्थिर रहता है,हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
दबाव के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{308}{288}$.
दबाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100 = \left( \frac{P_2}{P_1} - 1 \right) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\left( \frac{308}{288} - 1 \right) \times 100 = \left( \frac{308 - 288}{288} \right) \times 100 = \frac{20}{288} \times 100 \approx 6.94 \%$.
निकटतम पूर्णांक में,अनुमानित प्रतिशत वृद्धि $7 \%$ है।

(C) एक खुरदरे नत समतल पर वस्तु को ऊपर की ओर ले जाने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F_1 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।
वस्तु को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F_2 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$F_1 = 3F_2$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 3mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 3\sin \theta - 3\mu \cos \theta$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4\mu \cos \theta = 2\sin \theta$,जो सरल होकर $\tan \theta = 2\mu$ हो जाता है।
दिया गया है कि $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,इसलिए $\tan \theta = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$।

(D) माना छड़ का कोणीय वेग $\omega$ है। तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र $I$ से $r$ दूरी पर स्थित छड़ के किसी भी बिंदु $P$ का वेग $v = \omega r$ द्वारा दिया जाता है।
सिरे $A$ का वेग न्यूनतम होने के लिए,छड़ को सिरे $A$ के परितः तात्क्षणिक घूर्णन केंद्र के रूप में घूमना चाहिए।
बिंदु $B$ का वेग $v_B = 3 \ m/s$ छड़ के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर दिया गया है।
छड़ के लंबवत $B$ के वेग का घटक $v_{B\perp} = v_B \sin 30^{\circ}$ है।
चूंकि छड़ $A$ के परितः घूम रही है,इसलिए छड़ के लंबवत $B$ का वेग $v_{B\perp} = \omega L$ द्वारा भी दिया जाता है,जहां $L = 0.5 \ m$ छड़ की लंबाई है।
$v_{B\perp}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\omega L = v_B \sin 30^{\circ}$
$\omega (0.5) = 3 \times \sin 30^{\circ}$
$\omega (0.5) = 3 \times 0.5$
$\omega = 3 \ rad/s$.
चूंकि $3 \ rad/s$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) जब $m$ द्रव्यमान की वस्तु को स्प्रिंग से लटकाया जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण बल के तहत पहले से ही संतुलन में होती है $(mg = kx_0)$।
जब ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर एक अतिरिक्त बल $F$ लगाया जाता है,तो स्प्रिंग $x$ की मात्रा से और खिंच जाती है।
हुक के नियम के अनुसार,नई संतुलन स्थिति तक पहुँचने के लिए स्प्रिंग में उत्पन्न प्रत्यानयन बल (restoring force) को अतिरिक्त लगाए गए बल $F$ को संतुलित करना चाहिए।
इसलिए,अतिरिक्त बल $F$ अतिरिक्त स्प्रिंग बल $kx$ के बराबर होता है।
$F = kx$
$x$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{F}{k}$

(C) लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ का सूत्र $\Delta l = \frac{F l}{A Y}$ है,जहाँ $F$ बल है,$l$ मूल लंबाई है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = \frac{F}{\pi r^2 Y} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $\Delta x$ लंबाई में प्रतिशत वृद्धि है। चूँकि $F$ स्थिर है,इसलिए $\Delta x \propto \frac{1}{r^2 Y}$.
दिए गए अनुपात: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ और $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{1}{2}$.
हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 \times \left(\frac{Y_B}{Y_A}\right)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\Delta x_B} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$.
अतः,$\Delta x_B = 2\%$.

(C) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} x^2$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10x - \frac{5}{9}x^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = 10$
और
$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9}$।
चूंकि $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसे दूसरे समीकरण में रखने पर:
$\frac{10}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9} \implies \frac{5}{u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9} \implies u^2 \cos^2 \theta = 9$।
प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
इसे हम $R = \frac{2(u^2 \cos^2 \theta) \tan \theta}{g}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$u^2 \cos^2 \theta = 9$,$\tan \theta = 10$,और $g = 10 \ m/s^2$ के मान रखने पर:
$R = \frac{2 \times 9 \times 10}{10} = 18 \ m$।

(C) मान लीजिए कि पिंड को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ प्रक्षेपित किया गया है। ऊँचाई $h$ के लिए गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है,जो $t$ में एक द्विघात समीकरण है: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$।
चूंकि $t_1$ और $t_2$ इस समीकरण के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{u}{g/2} = \frac{2u}{g}$ है।
अतः,$u = \frac{g(t_1+t_2)}{2}$।
पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
$u$ का मान रखने पर: $H = \frac{1}{2g} \left[ \frac{g(t_1+t_2)}{2} \right]^2 = \frac{1}{2g} \cdot \frac{g^2(t_1+t_2)^2}{4} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$।
वैकल्पिक रूप से,$H = 2g \left( \frac{t_1+t_2}{4} \right)^2 = 2g \cdot \frac{(t_1+t_2)^2}{16} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ या $\omega = 2\pi n$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. पृथ्वी अपनी धुरी पर घूम रही है,$T = 24 \ h = 86400 \ s$:
$\omega_1 = \frac{2\pi}{86400} \ rad/s \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$.
$2$. घड़ी की घंटे की सुई,$T = 12 \ h = 43200 \ s$:
$\omega_2 = \frac{2\pi}{43200} \ rad/s \approx 1.45 \times 10^{-4} \ rad/s$.
$3$. घड़ी की सेकंड की सुई,$T = 60 \ s$:
$\omega_3 = \frac{2\pi}{60} \ rad/s \approx 0.105 \ rad/s$.
$4$. फ्लाईव्हील के लिए,$n = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$:
$\omega_4 = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s \approx 31.4 \ rad/s$.
मानों की तुलना करने पर: $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3 < \omega_4$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $1, 2, 3, 4$ है।

(B) रैखिक वेग $\vec{v}$,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के बीच संबंध $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ है।
वृत्ताकार गति कर रहे कण के लिए,कोणीय वेग $\vec{\omega} = \frac{\vec{r} \times \vec{v}}{|\vec{r}|^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{r} = \hat{i} + 9 \hat{j} - 8 \hat{k}$ और $\vec{v} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{r} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{r} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 9 & -8 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(45 - 32) - \hat{j}(5 - (-24)) + \hat{k}(-4 - 27) = 13 \hat{i} - 29 \hat{j} - 31 \hat{k}$.
इसके बाद,$|\vec{r}|^2 = 1^2 + 9^2 + (-8)^2 = 1 + 81 + 64 = 146$ की गणना करें।
अतः,$\vec{\omega} = \frac{13 \hat{i} - 29 \hat{j} - 31 \hat{k}}{146}$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, $T$ तापमान वाले पिंड द्वारा $T_0$ तापमान वाले परिवेश में ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ होती है।
चूंकि पिंड समान हैं, इसलिए $\sigma$, $A$, और $e$ दोनों के लिए समान होंगे।
दिया गया है:
$T_1 = 277^{\circ} C = 550 \ K$
$T_2 = 67^{\circ} C = 340 \ K$
$T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$
ऊष्मा हानि का अनुपात:
$\frac{dQ_1/dt}{dQ_2/dt} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4} = \frac{550^4 - 300^4}{340^4 - 300^4} \approx 19:1$.

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_V)$ और दाब गुणांक $(\gamma_P)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\gamma_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P$
$\gamma_P = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V$
आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
नियत दाब पर,$V = (\frac{nR}{P})T$,इसलिए $(\frac{\partial V}{\partial T})_P = \frac{nR}{P}$. अतः,$\gamma_V = \frac{1}{V} \cdot \frac{nR}{P} = \frac{1}{T}$.
नियत आयतन पर,$P = (\frac{nR}{V})T$,इसलिए $(\frac{\partial P}{\partial T})_V = \frac{nR}{V}$. अतः,$\gamma_P = \frac{1}{P} \cdot \frac{nR}{V} = \frac{1}{T}$.
चूंकि $\gamma_V = \gamma_P = \frac{1}{T}$,इसलिए उनका अंतर $\gamma_V - \gamma_P = 0$ है।

(C) किसी द्रव का वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_r)$,आभासी प्रसार गुणांक $(\gamma_a)$ और पात्र के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$ के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\gamma_r = \gamma_a + \gamma_g$।
चूंकि एक समदैशिक ठोस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$,रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_g)$ का तीन गुना होता है,इसलिए $\gamma_g = 3 \alpha_g$।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर,हमें $\gamma_r = \gamma_a + 3 \alpha_g$ प्राप्त होता है।

(C) केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T}{\rho g r}$ द्वारा दी जाती है।
पानी के स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{mgh}{2}$ है।
चूँकि $m = \pi r^2 h \rho$,इसलिए $U = \frac{(\pi r^2 h \rho) g h}{2} = \frac{\pi r^2 \rho g h^2}{2}$ होता है।
$h = \frac{2T}{\rho g r}$ का मान रखने पर,$U = \frac{\pi r^2 \rho g}{2} \left( \frac{2T}{\rho g r} \right)^2 = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$ प्राप्त होता है।
पृष्ठ तनाव बल द्वारा किया गया कार्य $W = (2 \pi r T) h = 2 \pi r T \left( \frac{2T}{\rho g r} \right) = \frac{4 \pi T^2}{\rho g}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $Q$ किए गए कार्य और प्राप्त स्थितिज ऊर्जा का अंतर है:
$Q = W - U = \frac{4 \pi T^2}{\rho g} - \frac{2 \pi T^2}{\rho g} = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$।

(C) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 1$ मोल दिया गया है,इसलिए $\Delta U = C_V \Delta T$।
हम जानते हैं कि $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$।
अतः,$\Delta U = \frac{R \Delta T}{\gamma-1}$।
स्थिर दाब $p$ पर आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$p V = R T$,इसलिए $p \Delta V = R \Delta T$।
यहाँ,आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,इसलिए $\Delta V = 2V - V = V$।
अतः,$R \Delta T = p V$।
इस मान को $\Delta U$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{p V}{\gamma-1}$।

(D) विमाओं की गणना इस प्रकार की जाती है:
$1$. $Pa \cdot s$ (श्यानता गुणांक) के लिए:
$[Pa \cdot s] = [ML^{-1} T^{-2}] \cdot [T] = [ML^{-1} T^{-1}]$। यह $(iii)$ से मेल खाता है।
$2$. $N \cdot m \cdot K^{-1}$ (टॉर्क/प्रति केल्विन ऊर्जा) के लिए:
$[N \cdot m \cdot K^{-1}] = [MLT^{-2}] \cdot [L] \cdot [K]^{-1} = [ML^2 T^{-2} K^{-1}]$। यह $(iv)$ से मेल खाता है।
$3$. $J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ (विशिष्ट ऊष्मा धारिता) के लिए:
$[J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [M]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$4$. $W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ (ऊष्मीय चालकता) के लिए:
$[W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}] = [ML^2 T^{-3}] \cdot [L]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [MLT^{-3} K^{-1}]$। यह $(ii)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ है,जो विकल्प $(d)$ के अनुरूप है।

(B) तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.2 \sin (1.5 x + 60 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (kx + \omega t)$ से तुलना करने पर:
तरंग संख्या $k = 1.5 \ m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \ rad \ s^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 \ m \ s^{-1}$ है।
तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 3 \times 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$ दिया गया है।
तनाव $T$ के लिए सूत्र: $T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 \ N$.

(D) स्रोत (सीटी) और प्रेक्षक (वाहन में सवार व्यक्ति) दोनों $v_s = 10 \,ms^{-1}$ के समान वेग से पहाड़ी की ओर गति कर रहे हैं।
ध्वनि पहाड़ी से परावर्तित होकर प्रेक्षक के पास वापस आती है।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,पहाड़ी से परावर्तित होकर आने वाली ध्वनि की आवृत्ति:
$n' = n \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right)$
जहाँ $v = 330 \,ms^{-1}$ ध्वनि का वेग है,$v_s = 10 \,ms^{-1}$ वाहन का वेग है,और $n = 256 \,Hz$ मूल आवृत्ति है।
$n' = 256 \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = 256 \left( \frac{340}{320} \right) = 256 \times 1.0625 = 272 \,Hz$.
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$\text{Beats} = n' - n = 272 \,Hz - 256 \,Hz = 16 \,Hz$.

(D) गन की शक्ति वह दर है जिस पर गोलियों को गतिज ऊर्जा प्रदान की जाती है।
प्रति सेकंड गोलियों की संख्या $n = \frac{240}{60} = 4 \ s^{-1}$ है।
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg = 0.01 \ kg$ है।
प्रत्येक गोली का वेग $v = 600 \ ms^{-1}$ है।
एक गोली की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (600)^2 = 0.005 \times 360000 = 1800 \ J$ है।
शक्ति $P = n \times K = 4 \times 1800 = 7200 \ W$ है।
$kW$ में बदलने पर,$P = \frac{7200}{1000} \ kW = 7.2 \ kW$ है।

(B) मोसले का नियम बताता है कि एक विशिष्ट एक्स-रे स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $(v)$ का वर्गमूल लक्ष्य तत्व की परमाणु संख्या $(Z)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\sqrt{v} = a(Z - b)$.
यहाँ,$a$ और $b$ विशिष्ट स्पेक्ट्रल रेखा (जैसे $K_\alpha$) पर निर्भर स्थिरांक हैं।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\sqrt{v}}{(Z - b)} = a$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं,सही संबंध $\frac{\sqrt{v}}{(Z - A)} = B$ है।

(A) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \quad \dots (i)$
हम जानते हैं कि प्रकाश की गति $c$,पारगम्यता $\mu_0$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के बीच संबंध है:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$B = \left( \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \right) \frac{I}{2r}$
दिए गए मान: $I = 0.9 \,A$,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,$c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$.
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 (3 \times 10^8)^2} \times \frac{0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{0.1} = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times 9$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 10^{16}}$

(C) प्रेरक प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L$ होता है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \nu$ होती है, जहाँ $\nu$ $AC$ स्रोत की आवृत्ति है, इसलिए $X_L = 2 \pi \nu L$ होगा।
दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 1 \ H$ और आवृत्ति $\nu = 50 \ Hz$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$X_L = 2 \pi \times 50 \times 1 = 100 \pi \ \Omega$।

(B) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $q = C_1 V_1 = 4 \times 10^{-6} \times 200 = 800 \times 10^{-6} \ C$।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (200)^2 = 8 \times 10^{-2} \ J$।
जब इसे एक अनावेशित $2 \mu F$ संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V$ होगा: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{800 \times 10^{-6} + 0}{4 \times 10^{-6} + 2 \times 10^{-6}} = \frac{800}{6} \ V$।
अंतिम संचित ऊर्जा: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (\frac{800}{6})^2 = 3 \times 10^{-6} \times \frac{640000}{36} = \frac{64}{12} \times 10^{-2} \approx 5.33 \times 10^{-2} \ J$।
ऊर्जा में हानि: $\Delta U = U_i - U_f = 8 \times 10^{-2} - 5.33 \times 10^{-2} = 2.67 \times 10^{-2} \ J$।

(C) मान लीजिए कि $6 \, V$ सेल से बहने वाली धारा $i_1$ है और $10 \, V$ सेल से बहने वाली धारा $i_2$ है। $12 \, \Omega$ प्रतिरोधक से बहने वाली कुल धारा $(i_1 + i_2)$ है।
दोनों सेलों वाले लूप पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$10 - i_2(1) + i_1(0.5) - 6 = 0$
$0.5 i_1 - i_2 = -4$ --- $(i)$
$10 \, V$ सेल और बाहरी प्रतिरोधक वाले लूप पर $KVL$ लागू करने पर:
$10 - i_2(1) - (i_1 + i_2)(12) = 0$
$10 - i_2 - 12 i_1 - 12 i_2 = 0$
$-12 i_1 - 13 i_2 = -10$ या $12 i_1 + 13 i_2 = 10$ --- (ii)
$(i)$ से, $i_1 = 2(i_2 - 4) = 2 i_2 - 8$.
इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$12(2 i_2 - 8) + 13 i_2 = 10$
$24 i_2 - 96 + 13 i_2 = 10$
$37 i_2 = 106$
$i_2 = 106 / 37 \approx 2.8648 \, A \approx 2.87 \, A$.

(C) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_1$ बाईं ओर का प्रतिरोध है और $R_2$ दाईं ओर का प्रतिरोध है।
स्थिति $I$: $P$ और $Q$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $R_2 = P + Q$.
$\frac{30}{P+Q} = \frac{37.5}{100-37.5} = \frac{37.5}{62.5} = 0.6$
$P+Q = \frac{30}{0.6} = 50 \Omega$ ... $(i)$
स्थिति $II$: $P$ और $Q$ समांतर क्रम में हैं,इसलिए $R_2 = \frac{PQ}{P+Q}$.
$\frac{30}{\frac{PQ}{P+Q}} = \frac{71.4}{100-71.4} = \frac{71.4}{28.6} \approx 2.5$
$\frac{30(P+Q)}{PQ} = 2.5$
चूँकि $P+Q = 50$,हमारे पास $\frac{30 \times 50}{PQ} = 2.5$ है
$PQ = \frac{1500}{2.5} = 600 \Omega^2$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें द्विघात समीकरण $x^2 - 50x + 600 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-30)(x-20) = 0$.
अतः,मान $30 \Omega$ और $20 \Omega$ हैं।

(C) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र में गति करती हुई ट्रेन की धुरी (axle) पर प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का सूत्र है: $e = Bvl$, जहाँ $B$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक है, $v$ ट्रेन का वेग है, और $l$ पटरियों के बीच की दूरी है।
दिए गए मान:
$B = 2 \times 10^{-5} \, T$
$v = 72 \, km/h = 72 \times \frac{5}{18} \, m/s = 20 \, m/s$
$l = 1 \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = (2 \times 10^{-5} \, T) \times (20 \, m/s) \times (1 \, m)$
$e = 40 \times 10^{-5} \, V$
$e = 4 \times 10^{-4} \, V$
परिणाम को मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने के लिए, हम $10^3$ से गुणा करते हैं:
$e = 4 \times 10^{-4} \times 10^3 \, mV = 0.4 \, mV$.
अतः, मिलीवोल्टमीटर का पाठ्यांक $0.4 \, mV$ है।

(B) मोसले का नियम बताता है कि एक विशिष्ट एक्स-रे स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $(v)$ का वर्गमूल तत्व की परमाणु संख्या $(Z)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\sqrt{v} = a(Z - b)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं।
दिए गए विकल्पों में,यदि हम संबंध $\sqrt{v} = B(Z-A)$ को पुनर्व्यवस्थित करते हैं,तो हमें $\frac{\sqrt{v}}{(Z-A)} = B$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही संबंध $\frac{\sqrt{v}}{(Z-A)} = B$ है।

(D) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1 = 2 C$ और $q_2 = 6 C$ के बीच प्रारंभिक बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{(2)(6)}{r^2} = \frac{12k}{r^2}$।
दिया गया है $F_1 = 12 \times 10^3 \,N$, इसलिए $\frac{k}{r^2} = 10^3$ है।
प्रत्येक आवेश में $-4 C$ जोड़ने के बाद, नए आवेश $q_1' = 2 - 4 = -2 C$ और $q_2' = 6 - 4 = 2 C$ हो जाते हैं।
नया बल $F_2 = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2)(2)}{r^2} = -4 \frac{k}{r^2}$ है।
$\frac{k}{r^2} = 10^3$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $F_2 = -4 \times 10^3 \,N$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल आकर्षण का है। अतः, बल $4 \times 10^3 \,N$ (आकर्षण) होगा।

(D) श्वेत वामन एक तारे के कोर का अवशेष है जो मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉन-डिजनरेट पदार्थ से बना होता है। एक स्थिर श्वेत वामन का अधिकतम द्रव्यमान जिसे चंद्रशेखर सीमा के रूप में जाना जाता है।
यदि एक श्वेत वामन का द्रव्यमान इस सीमा से अधिक हो जाता है,तो डिजनरेट इलेक्ट्रॉन दबाव गुरुत्वाकर्षण बल का सामना करने के लिए पर्याप्त नहीं रहता है,जिसके परिणामस्वरूप कोर का पतन हो जाता है।
चंद्रशेखर सीमा सूर्य के द्रव्यमान $(M_{\odot})$ का लगभग $1.4$ गुना है।
इसलिए,$n$ का मान $1.4$ है।

(A) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \quad \dots(i)$
हम जानते हैं कि प्रकाश की गति $c$,पारगम्यता $\mu_0$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के बीच संबंध है:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$B = \left( \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \right) \frac{I}{2r}$
दी गई मान: $I = 0.9 \,A$,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,$c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$.
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 (3 \times 10^8)^2} \times \frac{0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{0.1} = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times 9$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 10^{16}}$

(B) परिभाषा के अनुसार,एक प्रति-कण का द्रव्यमान और स्पिन उसके संबंधित कण के समान ही होता है।
हालाँकि,विद्युत आवेश,लेप्टोन संख्या और चुंबकीय आघूर्ण जैसे गुण कण के विपरीत चिह्न वाले होते हैं।
इसलिए,कणों और उनके प्रति-कणों का द्रव्यमान समान होता है लेकिन चुंबकीय आघूर्ण विपरीत होते हैं।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \times 10^{-26} \,kg$, आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, वेग $\vec{v} = 1.28 \times 10^6 \hat{i} \,ms^{-1}$.
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -102.4 \times 10^3 \hat{k} \,NC^{-1}$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 8 \times 10^{-2} \hat{j} \,Wbm^{-2}$.
कण पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
चुंबकीय बल की गणना: $\vec{v} \times \vec{B} = (1.28 \times 10^6 \hat{i}) \times (8 \times 10^{-2} \hat{j}) = (1.28 \times 8 \times 10^4) (\hat{i} \times \hat{j}) = 10.24 \times 10^4 \hat{k} = 1.024 \times 10^5 \hat{k} \,Vm^{-1}$.
चूंकि $102.4 \times 10^3 = 1.024 \times 10^5$ है, इसलिए $\vec{E} = -1.024 \times 10^5 \hat{k} \,NC^{-1}$ है।
अतः, $\vec{F} = q(-1.024 \times 10^5 \hat{k} + 1.024 \times 10^5 \hat{k}) = 0$.
चूंकि कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य है, इसलिए कण बिना किसी विचलन के धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में गति करता रहेगा।

(B) चुंबकीय आघूर्ण एक सदिश राशि है जिसकी दिशा दक्षिण ध्रुव से उत्तर ध्रुव की ओर होती है।
जब दो समान चुंबकों को एक-दूसरे के लंबवत रखा जाता है,तो उनके चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M_1}$ और $\vec{M_2}$ भी एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M^{\prime}$ का परिमाण सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$M^{\prime} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2M_1M_2 \cos(90^{\circ})}$
चूंकि $M_1 = M_2 = M$ है,इसलिए:
$M^{\prime} = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$
यह दिया गया है कि एक चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M = ml$ है,इसलिए:
$M^{\prime} = ml\sqrt{2}$

(C) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
मूल चुंबक के लिए: $I_1 = \frac{m l^2}{12}$ और $M_1 = M$ है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत चार बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{4}$ और लंबाई $l' = \frac{l}{4}$ हो जाती है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/4) (l/4)^2}{12} = \frac{m l^2}{12 \times 4 \times 16} = \frac{I_1}{64}$ होगा।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = \frac{M}{4}$ होगा।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{I_1/64}{I_1} \cdot \frac{M}{M/4}} = \sqrt{\frac{1}{64} \cdot 4} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।
दिया गया है $T_1 = 4 \ s$,इसलिए $T_2 = T_1 \times \frac{1}{4} = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \ s$।

(B) कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि ऑप्टिकल फाइबर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के सिद्धांत पर कार्य करते हैं,जो तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम (कोर) से विरल माध्यम (क्लैडिंग) में क्रांतिक कोण से अधिक आपतन कोण पर यात्रा करता है।
कारण $(R)$ बताता है कि कोर का अपवर्तनांक हवा से अधिक है। यद्यपि यह सत्य है कि कोर का अपवर्तनांक हवा से अधिक होता है,लेकिन ऑप्टिकल फाइबर में $TIR$ के लिए शर्त यह है कि कोर का अपवर्तनांक $(n_1)$,क्लैडिंग के अपवर्तनांक $(n_2)$ से अधिक होना चाहिए,न कि केवल हवा से।
इसलिए,यद्यपि दोनों कथन तथ्यात्मक रूप से सही हैं,कारण $(R)$ यह स्पष्ट नहीं करता है कि कोर-क्लैड इंटरफेस पर $TIR$ क्यों होता है। सही व्याख्या में कोर और क्लैडिंग के अपवर्तनांक के बीच के संबंध को शामिल किया जाना चाहिए।

(A) लेंस मेकर का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
सम-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$।
प्रश्न के अनुसार,$f > R$ है।
इसलिए,$\frac{R}{2(\mu - 1)} > R$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{2(\mu - 1)} > 1$।
इसे सरल करने पर $2(\mu - 1) < 1$ या $\mu - 1 < 0.5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu < 1.5$।
चूंकि लेंस को हवा में लेंस के रूप में कार्य करने के लिए $1$ से अधिक अपवर्तनांक वाले पदार्थ से बना होना चाहिए,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ का मान $1$ से अधिक और $1.5$ से कम होना चाहिए।

(C) कॉमन-एमिटर $(C-E)$ विन्यास में, ट्रांजिस्टर धारा और वोल्टेज दोनों के लिए एम्पलीफायर के रूप में कार्य करता है।
$1$. धारा लाभ $(\beta = I_C / I_B)$ आमतौर पर $1$ से काफी अधिक होता है।
$2$. वोल्टेज लाभ $(A_V = \beta \times (R_L / R_{in}))$ भी $1$ से काफी अधिक होता है क्योंकि आउटपुट प्रतिरोध $(R_L)$ इनपुट प्रतिरोध $(R_{in})$ से बहुत अधिक होता है।
$3$. चूंकि धारा और वोल्टेज दोनों प्रवर्धित होते हैं, इसलिए पावर गेन $(A_P = A_V \times \beta)$ भी $1$ से काफी अधिक होता है।
अतः, $C-E$ विन्यास धारा और वोल्टेज दोनों का प्रवर्धन प्रदान करता है।

(A) कथन $A$ सत्य है: पेल्टियर गुणांक $\pi$ को दो असमान धातुओं के जंक्शन पर प्रति इकाई आवेश अवशोषित या विकसित ऊष्मा के रूप में परिभाषित किया गया है। जब इससे धारा प्रवाहित होती है तो यह संख्यात्मक रूप से जंक्शन के पार विभवांतर के बराबर होता है।
कथन $B$ सत्य है: थॉमसन प्रभाव बताता है कि जब तापमान प्रवणता मौजूद होती है और विद्युत धारा प्रवाहित होती है तो एक ही चालक की लंबाई के साथ ऊष्मा अवशोषित या विकसित होती है,जबकि पेल्टियर प्रभाव दो अलग-अलग चालकों के जंक्शन के लिए विशिष्ट है।

(A) फ्रॉनहोफर रेखाएँ सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली काली अवशोषण रेखाओं का एक समूह हैं।
ये रेखाएँ तब उत्पन्न होती हैं जब सूर्य के गर्म और घने केंद्र (फोटोस्फीयर) द्वारा उत्सर्जित प्रकाश का निरंतर स्पेक्ट्रम सूर्य के वायुमंडल की ठंडी और पतली गैसों (क्रोमोस्फीयर) से होकर गुजरता है।
क्रोमोस्फीयर में मौजूद परमाणु अपने विशिष्ट ऊर्जा संक्रमणों के अनुरूप प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप स्पेक्ट्रम में काली रेखाएँ दिखाई देती हैं।

(C) ज्यामितीय प्रकाशिकी (किरण प्रकाशिकी) तब मान्य होती है जब विवर्तन (diffraction) के प्रभाव नगण्य हों।
विवर्तन तब महत्वपूर्ण हो जाता है जब छिद्र का आकार $D$,प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के तुलनीय हो।
फ्रेनेल दूरी $z_F$ को $z_F = \frac{D^2}{\lambda}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ज्यामितीय प्रकाशिकी लागू होने के लिए,छिद्र से पर्दे तक की दूरी $L$,फ्रेनेल दूरी से बहुत कम होनी चाहिए,अर्थात $L \ll z_F$।
$z_F$ का व्यंजक रखने पर,हमें $L \ll \frac{D^2}{\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।