यदि int sin ^{-1}left(frac{2 x}{1+x^2}right) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}ight) d x$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता ह

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$2 x 	an ^{-1} x$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}ight) d x$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है।चूंकि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 	an 	heta}{1+	an ^2 	heta}ight) = \sin ^{-1}(\sin 2 	heta) = 2 	heta$ है,इसलिए:$I = \int 2 	heta \sec ^2 	heta d 	heta$.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$u = 	heta$ और $dv = \sec ^2 	heta d 	heta$ लेने पर:$I = 2 [	heta 	an 	heta - \int 	an 	heta d 	heta]$.$I = 2 [	heta 	an 	heta + \log |\cos 	heta|] + C$.यहाँ $	an 	heta = x$ है,इसलिए $	heta = 	an ^{-1} x$ और $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।$I = 2 [x 	an ^{-1} x + \log |\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}|] + C$.$I = 2 x 	an ^{-1} x + 2 \log (1+x^2)^{-1/2} + C$.$I = 2 x 	an ^{-1} x - \log (1+x^2) + C$.इसे $f(x) - \log (1+x^2)$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = 2 x 	an ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=f(x)-\log \left(1+x^2\right)$ है,तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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