फलन f: C rightarrow C जो f(x) = frac{ax + b}{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ है।फलन के अचर होने के लिए,$x$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होना चाहिए,या अंश को हर का एक अचर गुणज होना

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$ad = bc$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ है।फलन के अचर होने के लिए,$x$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होना चाहिए,या अंश को हर का एक अचर गुणज होना चाहिए।मान लीजिए $f(x) = k$ (एक अचर)।तब $\frac{ax + b}{cx + d} = k$.$ax + b = k(cx + d) = (kc)x + kd$.$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $a = kc$ और $b = kd$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है $\frac{a}{c} = k$ और $\frac{b}{d} = k$ (मान लीजिए $c, d 
eq 0$)।इसलिए,$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$,जिससे $ad = bc$ प्राप्त होता है।वैकल्पिक रूप से,यदि हम विकल्प $(c)$ लें,अर्थात $ad = bc$,तो $ad - bc = 0$ होगा।यदि $ad = bc$ है,तो $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$ (जहाँ $c, d 
eq 0$)।फलन में $a = kc$ और $b = kd$ प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \frac{(kc)x + kd}{cx + d} = \frac{k(cx + d)}{cx + d} = k$.चूँकि $f(x) = k$,इसलिए फलन अचर है।

फलन $f: C \rightarrow C$ जो $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $ad - bc \neq 0$,एक अचर फलन में बदल जाता है यदि:

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मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow [-1,1]$ और $g:[-1,1] \rightarrow [0,2]$ दो फलन हैं,जहाँ $g$ एकैकी (injective) है और $g \circ f: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक (surjective) है। तब,

फलन $f: N-\{1\} \rightarrow N$ जो $f(n) = n$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड द्वारा परिभाषित है,वह है:

$f: X \rightarrow R$,जहाँ $X = \{x \mid 0 < x < 1\}$,$f(x) = \frac{2x-1}{1-|2x-1|}$ के रूप में परिभाषित है। तो:

अंतराल $(1, 2)$ में फलन $f(x) = 2 |x - 1| + 3 |x - 2|$ कैसा फलन है?

यदि $f : R \to R$ को $f(x) = 2x + \cos x$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f$ है

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