AP EAMCET 2005 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે $f(n) = n(n+1)(2n+1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2n+1 = (n-1) + (n+2)$,તેથી $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$.
નોંધો કે $n(n+1)(n-1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તે જ રીતે,$n(n+1)(n+2)$ પણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$f(n)$ એ તમામ $n \in \mathbb{Z}$ માટે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$\{n(n+1)(2n+1) : n \in \mathbb{Z}\} \subset \{6k : k \in \mathbb{Z}\}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c}\right)$
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c = \frac{a}{10^4} + \frac{b}{10^3} + \frac{c}{10^2} = \frac{a+10b+10^2c}{10^4}$
લઘુગણકમાં કિંમત મૂકતા:
$\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{\frac{a+10 b+10^2 c}{10^4}}\right) = \log _{10}(10^4)$
$\log_b(b^x) = x$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{10}(10^4) = 4$

(C) આપેલ છે કે $x^6 = 1$,તેથી $x^6 - 1 = 0$.
આને $(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય.
કારણ કે $\alpha$ એ $x^6=1$ નું અવાસ્તવિક બીજ છે,તે સમીકરણ $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0$ નું સમાધાન કરે છે.
તેથી,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0$.
આપણે પદોને નીચે મુજબ ગોઠવી શકીએ:
$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -(\alpha^4+\alpha^2)$
$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -\alpha^2(\alpha^2+1)$
બંને બાજુ $(\alpha^2+1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1}{\alpha^2+1} = -\alpha^2$.

(C) આપેલ સંકર સંખ્યાઓ માટે:
$\alpha_1 = |-i| = 1$
$\alpha_2 = |\frac{1}{3}(1+i)| = \frac{1}{3} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.471$
$\alpha_3 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\frac{\sqrt{2}}{3} < 1 < \sqrt{2}$.
તેથી,ચડતો ક્રમ $\alpha_2 < \alpha_1 < \alpha_3$ છે.

(D) ધારો કે $x = \cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ અને $y = \sin \theta + 4 \cos \theta$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = (\cos \theta - 4 \sin \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2$
$x^2 + y^2 = (\cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta)$
$x^2 + y^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$x^2 + y^2 = 1 + 16(1) = 17$
અહીં $x = 1$ હોવાથી,$1^2 + y^2 = 17$
$y^2 = 16$
$y = \pm 4$
તેથી,$\sin \theta + 4 \cos \theta = \pm 4$.

(A) ધારો કે $f(x) = 4 \cos \left(x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right)$.
નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ 2 \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right) \right]$
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ હોવાથી:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ -\frac{1}{2} + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + 2 \cos \left(x^2\right) \cos \left(2x^2\right)$
ફરીથી $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + \cos \left(3x^2\right) + \cos \left(x^2\right)$
$f(x) = \cos \left(3x^2\right) \quad \dots (i)$
$\cos(\theta)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$f(x) = \cos \left(3x^2\right)$ ના અંતિમ મૂલ્યો $-1$ અને $1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x = (\sqrt{2}+1)(\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos^2 x - 1 = \sqrt{2}\cos x - 1 + \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2\cos^2 x - (\sqrt{2}+1)\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = \frac{(\sqrt{2}+1) \pm \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{4} = \frac{\sqrt{2}+1 \pm (\sqrt{2}-1)}{4}$.
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અથવા $\cos x = \frac{1}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos x \neq \frac{1}{2}$ હોવાથી,$x$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ રેખાઓ $x=0$ ($y$-અક્ષ),$y=0$ ($x$-અક્ષ) અને $3x+4y=12$ છે.
રેખા $3x+4y=12$ ના અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં લખીએ:
$\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{12}{12} \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.
આ રેખા $x$-અક્ષને $A(4, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, 3)$ પર છેદે છે.
$x=0, y=0$ અને $3x+4y=12$ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ અને $B(0, 3)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $OA = 4$ એકમ છે અને ઊંચાઈ $OB = 3$ એકમ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2+y-1=0$ અને રેખા $L: x-y+1=0$ છે.
$S$ અને $L$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના કુળનું સમીકરણ $S+\lambda L=0$ છે.
$(x^2+y^2+y-1)+\lambda(x-y+1)=0$
$x^2+y^2+\lambda x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)=0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda-1}{2})$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર રેખા $x-y+1=0$ પર હોવું જોઈએ.
$-\frac{\lambda}{2} - (\frac{\lambda-1}{2}) + 1 = 0$.
$-\lambda + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda=3$ મૂકતા:
$(x^2+y^2+y-1)+3(x-y+1)=0$.
$x^2+y^2+3x-2y+2=0$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2 x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$
બંને બાજુ $(2x-1)(x+2)(x-3)$ વડે ગુણતા:
$x^3 = A(2 x-1)(x+2)(x-3) + B(x+2)(x-3) + C(x-3)(2 x-1) + D(2 x-1)(x+2)$
$A$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરીએ.
છેદનું વિસ્તરણ: $(2x-1)(x+2)(x-3) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન $(3)$ હોવાથી,$A$ એ અગ્ર સહગુણકોનો ગુણોત્તર છે:
$A = \frac{1}{2}$
વૈકલ્પિક રીતે,કિંમતો મૂકતા:
$x=3$ માટે: $27 = D(5)(5) \Rightarrow D = \frac{27}{25}$
$x=-2$ માટે: $-8 = C(-5)(-5) \Rightarrow C = -8/25$
$x=1/2$ માટે: $1/8 = B(5/2)(-5/2) \Rightarrow B = -1/50$
$x=0$ માટે: $0 = 6A - 6B + 3C - 2D$
$6A = 6(-1/50) - 3(-8/25) + 2(27/25) = 3$
$A = 1/2$

(C) ધારો કે $E$ એ સિક્કા પર છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
ધારો કે $F$ એ પાસા પર એકી સંખ્યા $(1, 3, 5)$ મેળવવાની ઘટના છે.
છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{2}$ છે.
છ બાજુવાળા પાસા પર એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
સિક્કો અને પાસો સ્વતંત્ર હોવાથી,ઘટનાઓ $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ છે.
$P(E \cap F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $1$ એ $ax^2+bx+c=0$ નું બીજ છે.
$x=1$ મૂકતા,આપણને $a(1)^2+b(1)+c=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a+b+c=0$.
આમ,$E_1$ સત્ય છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ એ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકાર પરથી:
$\sin \theta + \cos \theta = -\frac{b}{a}$ અને $\sin \theta \cos \theta = \frac{c}{a}$.
બીજના સરવાળાનો વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (-\frac{b}{a})^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{b^2}{a^2}$
$1 + 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2}$
$a^2$ વડે ગુણતા:
$a^2 + 2ac = b^2$
$b^2 - a^2 = 2ac$.
આમ,$E_2$ સત્ય છે.
તેથી,$E_1$ અને $E_2$ બંને સત્ય છે.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+2x^2-3x-1=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\alpha+\beta+\gamma = -2$ $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3$ $(ii)$
$\alpha\beta\gamma = 1$ $(iii)$
આપણે $\alpha^{-2}+\beta^{-2}+\gamma^{-2} = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{\beta^2\gamma^2+\alpha^2\gamma^2+\alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,નિત્યસમ $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ નો ઉપયોગ કરીને $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ ની કિંમત શોધો.
કિંમતો મૂકતા:
$(-3)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2(1)(-2)$
$9 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 - 4$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = 9+4 = 13$.
હવે,$\alpha^{-2}+\beta^{-2}+\gamma^{-2} = \frac{13}{(1)^2} = 13$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-3x-2=0$ છે.
$x=-1$ મૂકતા:
$(-1)^3-3(-1)-2 = -1+3-2 = 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ એક અવયવ છે.
$x^3-3x-2$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^3-3x-2 = (x+1)(x^2-x-2)$.
દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા:
$x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$.
આમ,સમીકરણ $(x+1)(x+1)(x-2)=0$ થાય છે.
તેથી બીજ $x = -1, -1, 2$ છે.

(C) આપેલ સંકર સંખ્યાઓ માટે:
$\alpha_1 = |-i| = 1$
$\alpha_2 = |\frac{1}{3}(1+i)| = \frac{1}{3} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.471$
$\alpha_3 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\frac{\sqrt{2}}{3} < 1 < \sqrt{2}$.
તેથી,ચડતો ક્રમ $\alpha_2 < \alpha_1 < \alpha_3$ છે.

(B) આપેલ છે કે $b = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$.
લઘુગણકીય શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $-\ln(1-a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$ જ્યાં $|a| < 1$.
તેથી,$b = -\ln(1-a)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $e^{-b} = 1-a$,તેથી $a = 1 - e^{-b}$.
$e^{-b} = 1 - \frac{b}{1!} + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$a = 1 - (1 - \frac{b}{1!} + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots)$
$a = \frac{b}{1!} - \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} - \dots$
$a = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} b^k}{k!}$.

(C) આપણી પાસે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+n+1}{n!}$ છે.
$n^2 = n(n-1) + n$ હોવાથી,અંશને $2n(n-1) + 3n + 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\frac{2n^2+n+1}{n!} = \frac{2}{(n-2)!} + \frac{3}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
શ્રેણી વિસ્તરણ $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2e + 3e + (e-1) = 6e - 1$.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{1+2x}{(1-2x)^2} = (1+2x)(1-2x)^{-2}$ છે.
ઋણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1-y)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)y^k$.
$y = 2x$ મૂકતા,$(1-2x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k$.
હવે,$(1+2x)$ વડે ગુણતા:
$(1+2x) \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} 2(k+1) 2^k x^{k+1}$.
$x^r$ નો સહગુણક શોધવા માટે,પ્રથમ સરવાળામાંથી $k=r$ વાળું પદ અને બીજા સરવાળામાંથી $k+1=r$ (એટલે કે $k=r-1$) વાળું પદ લઈએ:
$x^r$ નો સહગુણક $= (r+1) 2^r + 2((r-1)+1) 2^{r-1}$.
$= (r+1) 2^r + 2(r) 2^{r-1} = (r+1) 2^r + r 2^r$.
$= (r+1+r) 2^r = (2r+1) 2^r$.

(B) આપણી પાસે મલ્ટિનોમિયલ વિસ્તરણનું સૂત્ર છે:
$(x y+y z+z x)^6 = \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r! s! t!} (x y)^r (y z)^s (z x)^t$
$= \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r! s! t!} x^{r+t} y^{r+s} z^{s+t}$
$x^3 y^4 z^5$ પદ માટે,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$r+t=3$
$r+s=4$
$s+t=5$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(r+s+t) = 12 \implies r+s+t = 6$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$s = 6 - 3 = 3$
$t = 6 - 4 = 2$
$r = 6 - 5 = 1$
તેથી,સહગુણક $\frac{6!}{1! 3! 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a_r = {}^{15}C_r$ મળે.
આપણે $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ગુણધર્મ $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$\sum_{r=1}^{15} r \left( \frac{16-r}{r} \right) = \sum_{r=1}^{15} (16-r)$.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે: $(16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય.
$n=15$ માટે,સરવાળો $\frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120$ થાય.

(A) આપેલ રેખા $5x - 2y = 7$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{5}{2}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{5}$ થશે.
તેથી,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $2x + 5y = \lambda$ સ્વરૂપમાં હશે.
હવે,$2x + 3y = 1$ $(i)$ અને $3x + 4y = 6$ (ii) રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ.
$(i)$ ને $3$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6x + 9y = 3$
$6x + 8y = 12$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$y = -9$ મળે છે.
$y = -9$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2x + 3(-9) = 1$ $\Rightarrow 2x - 27 = 1$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
છેદબિંદુ $(14, -9)$ છે.
માંગેલ રેખા $(14, -9)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આ કિંમતો $2x + 5y = \lambda$ માં મૂકતા:
$2(14) + 5(-9) = \lambda$
$28 - 45 = \lambda$
$\lambda = -17$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $2x + 5y = -17$ છે,જેને $2x + 5y + 17 = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) ધારો કે $M$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે.
રેખા $PM$ એ આપેલી રેખા $x + y = 3$ ને લંબ હોવાથી,$PM$ નો ઢાળ એ રેખા $x + y = 3$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી થાય.
રેખા $x + y = 3$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી $PM$ નો ઢાળ $1$ થાય.
આમ,$\frac{y_1 - 3}{x_1 - 2} = 1 \implies y_1 - 3 = x_1 - 2 \implies x_1 - y_1 = -1$ (સમીકરણ $i$).
$M(x_1, y_1)$ એ રેખા $x + y = 3$ પર આવેલું હોવાથી,$x_1 + y_1 = 3$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો સરવાળો કરતા: $(x_1 - y_1) + (x_1 + y_1) = -1 + 3 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$.
$x_1 = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા: $1 + y_1 = 3 \implies y_1 = 2$.
તેથી,$M$ ના યામ $(1, 2)$ છે.

(B) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ: $\theta = \tan^{-1} 2$
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા,આપણને મળે છે: $\tan \theta = 2$
આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્તેઝિયન યામમાં,$\tan \theta = \frac{y}{x}$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{y}{x} = 2$
તેથી,કાર્તેઝિયન સ્વરૂપ છે: $y = 2x$

(C) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $P(x, y)$ નું $A(1, 1)$ થી અંતર $\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}$ છે.
$P(x, y)$ નું રેખા $x+y+2=0$ થી અંતર $\frac{|x+y+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y+2|}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,આ અંતરો સમાન છે:
$(x-1)^2 + (y-1)^2 = \frac{(x+y+2)^2}{2}$
$2(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y$
$2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4$
$x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $a=1, b=1, h=-1, g=-4, f=-4, c=0$.
અહીં,$h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$.
કારણ કે $h^2 - ab = 0$,તેથી બિંદુપથ એક પરવલય છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ: $12x^2 + 25xy + 12y^2 + 10x + 11y + 2 = 0$ $(i)$
પ્રથમ,સજાતીય ભાગના અવયવ પાડો: $12x^2 + 25xy + 12y^2 = (3x + 4y)(4x + 3y) = 0$.
ધારો કે બે રેખાઓ $(3x + 4y + c_1) = 0$ અને $(4x + 3y + c_2) = 0$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $(3x + 4y + c_1)(4x + 3y + c_2) = 12x^2 + 25xy + 12y^2 + (4c_1 + 3c_2)x + (3c_1 + 4c_2)y + c_1c_2 = 0$ છે.
આને સમીકરણ $(i)$ સાથે સરખાવતા:
$4c_1 + 3c_2 = 10$
$3c_1 + 4c_2 = 11$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા:
$16c_1 + 12c_2 = 40$
$9c_1 + 12c_2 = 33$
બાદબાકી કરતા $7c_1 = 7 \Rightarrow c_1 = 1$ મળે છે.
$c_1 = 1$ ને $4(1) + 3c_2 = 10$ માં મૂકતા $3c_2 = 6 \Rightarrow c_2 = 2$ મળે છે.
રેખાઓ $3x + 4y + 1 = 0$ અને $4x + 3y + 2 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર:
$p_1 = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{1}{5}$
$p_2 = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{2}{5}$
અંતરનો ગુણાકાર $p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x+3y+2=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-3y-4=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+2) - (x^2+y^2+2x-3y-4) = 0$
$6y + 6 = 0 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ ને $S_1 = 0$ માં મૂકતા:
$x^2 + (-1)^2 + 2x + 3(-1) + 2 = 0$
$x^2 + 1 + 2x - 3 + 2 = 0$
$x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = -2$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(0, -1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-0)(x+2) + (y+1)(y+1) = 0$
$x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$.

(A) રેખા $y-3x=0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે. ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1,1)$ થી રેખા $3x-y=0$ નું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(1) - 1(1)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3-1|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતો બીજો સ્પર્શક $y=mx$ છે,એટલે કે $mx-y=0$.
કેન્દ્ર $(1,1)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર પણ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$r = \frac{|m(1) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$.
$r$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(m-1)^2}{m^2+1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$5(m^2 - 2m + 1) = 2(m^2 + 1)$.
$5m^2 - 10m + 5 = 2m^2 + 2$.
$3m^2 - 10m + 3 = 0$.
$3m^2 - 9m - m + 3 = 0$.
$3m(m-3) - 1(m-3) = 0$.
$(3m-1)(m-3) = 0$.
તેથી,$m=3$ અથવા $m=\frac{1}{3}$.
કારણ કે $m=3$ એ આપેલ સ્પર્શક $y=3x$ છે,તેથી બીજો સ્પર્શક $y=\frac{1}{3}x$ છે,જે $3y=x$ થાય.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે ધ્રુવીય યામોને કાર્તેઝિયન યામોમાં ફેરવીએ છીએ,જ્યાં $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$ અને $r^2 = x^2 + y^2$ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $r = 2 \sin \theta$.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,$r^2 = 2r \sin \theta$ મળે.
$r^2 = x^2 + y^2$ અને $r \sin \theta = y$ મૂકતા,$x^2 + y^2 = 2y$ મળે.
આ સમીકરણ $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે.
ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે.
જો આ રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોય,તો શરત $c = \frac{a}{m}$ થાય.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,$y = mx + \frac{a}{m}$ મળે.
બંને બાજુ $m$ વડે ગુણતા,$my = m^2x + a$ મળે.
$m$ ને $\frac{1}{m}$ વડે બદલતા,$y = \frac{1}{m}x + am^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $my = x + am^2$ થાય.
પદોને ગોઠવતા,$x - my + am^2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિ $S(1, 0)$ નું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $x+2y-1=0$ ના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$PS = PM$
$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{5}$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(B) લક્ષની કિંમત શોધવા માટે આપણે સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \neq 0$ માટે,$-1 \leq \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq 1$ થાય.
અસમતાને $x^2$ વડે ગુણતા (કારણ કે $x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ છે),આપણને મળે છે:
$-x^2 \leq x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq x^2$.
હવે,બંને બાજુ $x \rightarrow 0$ લેતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) = 0$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} x^2 = 0$,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\frac{\tan 3A}{\tan A} = a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$.
તેથી,$\frac{3\tan A - \tan^3 A}{\tan A(1 - 3\tan^2 A)} = a$.
$\frac{3 - \tan^2 A}{1 - 3\tan^2 A} = a$.
$3 - \tan^2 A = a - 3a\tan^2 A$.
$\tan^2 A(3a - 1) = a - 3$.
$\tan^2 A = \frac{a - 3}{3a - 1}$.
હવે,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = \frac{3\sin A - 4\sin^3 A}{\sin A} = 3 - 4\sin^2 A$.
$\sin^2 A = \frac{\tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{\frac{a-3}{3a-1}}{1 + \frac{a-3}{3a-1}} = \frac{a-3}{4(a-1)}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = 3 - 4\left(\frac{a-3}{4(a-1)}\right) = 3 - \frac{a-3}{a-1} = \frac{3a - 3 - a + 3}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$.

(A) પ્રક્ષેપ સૂત્ર $c \cos B + b \cos C = a$,$a \cos C + c \cos A = b$,અને $b \cos A + a \cos B = c$ નો ઉપયોગ કરતા.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$a \cos^2 B + a \cos^2 C + c \cos A \cos C + b \cos A \cos B$
$= a \cos^2 B + b \cos A \cos B + a \cos^2 C + c \cos A \cos C$
$= \cos B (a \cos B + b \cos A) + \cos C (a \cos C + c \cos A)$
$= \cos B (c) + \cos C (b)$
$= c \cos B + b \cos C$
$= a$

(A) આપેલ છે કે $A+B=C$.
આપણે પદાવલિ $E = \cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C-2 \cos A \cos B \cos C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1+\cos 2A}{2} + \frac{1+\cos 2B}{2} + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$A+B=C$ હોવાથી,$\cos(A+B) = \cos C$ મૂકતા:
$E = 1 + \cos C \cos(A-B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [\cos(A-B) + \cos C] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos C = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ મૂકતા:
$E = 1 + \cos C [\cos A \cos B + \sin A \sin B + \cos A \cos B - \sin A \sin B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [2 \cos A \cos B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + 2 \cos A \cos B \cos C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1$.

(D) આપેલ છે કે $A+C=2B$ ...$(i)$
આપણે $\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C}$ પદાવલિનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C - \cos A = 2 \sin\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$
$\sin A - \sin C = 2 \cos\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C} = \frac{2 \sin\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)}$
સમાન પદો $2$ અને $\sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)}$
$= \tan\left(\frac{A+C}{2}\right)$
કારણ કે $A+C=2B$,તેથી $\frac{A+C}{2} = B$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $\tan B$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-5x+6=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x-3)(x-2)=0$ મળે છે,જેનાથી બીજ $x=3$ અને $x=2$ મળે છે.
આ બીજ ત્રિકોણની બે બાજુઓ દર્શાવે છે,તેથી ધારો કે $a=3$ અને $b=2$.
આ બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $C = \frac{\pi}{3}$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{3^2+2^2-c^2}{2 \times 3 \times 2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{9+4-c^2}{12} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{13-c^2}{12}$.
$6 = 13-c^2$ $\Rightarrow c^2 = 7$ $\Rightarrow c = \sqrt{7}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c = 3+2+\sqrt{7} = 5+\sqrt{7}$ છે.

(D) આપણે નેપિયરના સામ્યતાના નિયમ જાણીએ છીએ: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $(b+c) \tan \frac{A}{2} \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = (b-c)$.
હવે,ચક્રીય પદો પર સરવાળો $\Sigma$ લાગુ કરતા:
$\Sigma(b+c) \tan \frac{A}{2} \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = (b-c) + (c-a) + (a-b)$.
આ પદોનો સરવાળો કરતા: $b - c + c - a + a - b = 0$.

(B) આપણને પદાવલિ $[x - |x|] = 5$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $[x - x] = [0] = 0$ મળે છે.
$0 \neq 5$ હોવાથી,$x \geq 0$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $[x - (-x)] = [2x] = 5$ મળે છે.
$[2x] = 5$ માટે,$5 \leq 2x < 6$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2.5 \leq x < 3$.
જોકે,આ આપણી ધારણા $x < 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણનું પાલન કરે તેવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નથી.
આમ,આ ગણ ખાલી ગણ,$\phi$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.
પ્રથમ,$x^2$ ની ગણતરી કરો:
$x^2 = \frac{1}{4} \left( 3 + \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{9+1+6}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{4}{3}$.
હવે,$x^2 - 1$ ની ગણતરી કરો:
$x^2 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ પદમાં મૂકતા:
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) - \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{3 - 1}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$.

(B) ધારો કે $BC$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $CD$ એ ધ્વજદંડની ઊંચાઈ છે,જ્યાં $BC = x$ અને $CD = h$.
ધારો કે બિંદુ $A$ એ ટાવરના પાયા $B$ થી $y$ મીટર દૂર છે.
આપેલ છે કે ટાવર અને ધ્વજદંડ બિંદુ $A$ પર સમાન ખૂણા $\theta$ બનાવે છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{y}$.
$\triangle ABD$ માં,કુલ ખૂણો $2\theta$ છે અને કુલ ઊંચાઈ $BD = BC + CD = x + h$ છે.
તેથી,$\tan 2\theta = \frac{BD}{AB} = \frac{x+h}{y}$.
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2(x/y)}{1-(x/y)^2} = \frac{x+h}{y}$
$\frac{2xy}{y^2-x^2} = \frac{x+h}{y}$
$h = \frac{2xy^2}{y^2-x^2} - x = \frac{x(x^2+y^2)}{y^2-x^2}$.

(A) ધારો કે $f(n) = n(n+1)(2n+1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$.
દરેક પદ $n(n+1)(n-1)$ અને $n(n+1)(n+2)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$n(n+1)(n-1) = 6k_1$ અને $n(n+1)(n+2) = 6k_2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k_1, k_2$ માટે.
આમ,$f(n) = 6(k_1 + k_2) = 6k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
તેથી,આ ગણ $\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$ નો ઉપગણ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c}\right)$
છેદમાંથી $10^{-4}$ સામાન્ય લેતા:
$10^{-4} a + 10^{-3} b + 10^{-2} c = 10^{-4}(a + 10b + 10^2c)$
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4}(a+10 b+10^2 c)}\right)$
$= \log _{10}\left(\frac{1}{10^{-4}}\right)$
$= \log _{10}(10^4)$
$= 4 \log _{10}(10) = 4(1) = 4$

(C) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $abc$ છે,જ્યાં $a, b, c$ અંકો છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$b = c$ અને $a \neq b$.
પ્રથમ અંક $a$ એ $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે છે ($9$ વિકલ્પો).
છેલ્લા બે અંકો $b$ અને $c$ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $b$ અને $c$ બંને માટે $x \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ માંથી એક અંક પસંદ કરીએ છીએ.
કારણ કે $a \neq b$,દરેક $a$ ની પસંદગી માટે,$(b, c)$ ની જોડી માટે $10 - 1 = 9$ શક્ય વિકલ્પો છે.
આવી $n$ સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 9 \times 9 = 81$.

(B) આપેલ છે $S = \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,તેથી $n(S) = 50$.
ગણ $A$ માટે,$n + \frac{50}{n} > 27$ ઉકેલતા:
$n^2 - 27n + 50 > 0$.
$(n - 25)(n - 2) > 0$.
આ શરત $n < 2$ અથવા $n > 25$ માટે સાચી છે.
$n \in S$ હોવાથી,$n=1$ અથવા $n \in \{26, 27, \ldots, 50\}$.
તેથી,$A = \{1, 26, 27, \ldots, 50\}$,જેથી $n(A) = 1 + 25 = 26$.
ગણ $B$ માટે,$S$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ છે,તેથી $n(B) = 15$.
ગણ $C$ માટે,$S$ માં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$ છે,તેથી $n(C) = 7$.
સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{26}{50}$,$P(B) = \frac{15}{50}$,$P(C) = \frac{7}{50}$ છે.
તેથી,$P(A) > P(B) > P(C)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x-2}{x^2-3x+2} = \frac{x-2}{(x-2)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$ જ્યાં $x \neq 1, 2$.
$x=2$ આગળ,$f(2) = 1$.
આપણે $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x-1} - 1}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1-(x-1)}{x-1}}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{(x-1)(x-2)}$.
કારણ કે $2-x = -(x-2)$,તેથી:
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{-(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-1}{x-1} = \frac{-1}{2-1} = -1$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ છે.
વિધેય અચળ હોવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષ તેનું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,અથવા અંશ એ છેદનો અચળ ગુણાંક હોવો જોઈએ.
ધારો કે $f(x) = k$ (એક અચળાંક).
તો $\frac{ax + b}{cx + d} = k$.
$ax + b = k(cx + d) = (kc)x + kd$.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = kc$ અને $b = kd$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{a}{c} = k$ અને $\frac{b}{d} = k$ (ધારો કે $c, d \neq 0$).
તેથી,$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$,જે $ad = bc$ આપે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો આપણે વિકલ્પ $(c)$ લઈએ,એટલે કે $ad = bc$,તો $ad - bc = 0$.
જો $ad = bc$ હોય,તો $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$ (જ્યાં $c, d \neq 0$).
વિધેયમાં $a = kc$ અને $b = kd$ મૂકતા:
$f(x) = \frac{(kc)x + kd}{cx + d} = \frac{k(cx + d)}{cx + d} = k$.
આમ,$f(x) = k$ હોવાથી,વિધેય અચળ છે.

(B) આપેલ છે કે $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$ ... $(i)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે
$x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે
$x^2(1+y) = y^2(1+x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$
$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$
$(x-y)(x+y+xy) = 0$
કારણ કે $x-y \neq 0$ (કારણ કે તે મૂળ સમીકરણને સંતોષતું નથી),તેથી આપણી પાસે હોવું જોઈએ
$x+y+xy = 0$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)\frac{d}{dx}(x) - x\frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

(B) આપેલ છે કે $f(x)=10 \cos x+(13+2 x) \sin x \quad ...(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$f^{\prime}(x)=-10 \sin x+(13+2 x) \cos x+2 \sin x$
$f^{\prime}(x)=-8 \sin x+(13+2 x) \cos x$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$f^{\prime \prime}(x)=-8 \cos x+(13+2 x)(-\sin x)+2 \cos x$
$f^{\prime \prime}(x)=-6 \cos x-(13+2 x) \sin x \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે
$f^{\prime \prime}(x)+f(x) = [-6 \cos x-(13+2 x) \sin x] + [10 \cos x+(13+2 x) \sin x]$
$f^{\prime \prime}(x)+f(x) = 4 \cos x$

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર શોધવા માટે,આપણે $A$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/s}$ અને $r = 12 \text{ cm}$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$ (ii)
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ હોવું જોઈએ.

$6(x - 1)(x - 2) > 0$

આ શરત ત્યારે જ સંતોષાય છે જ્યારે $x < 1$ અથવા $x > 2$ હોય.

આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $(1, 2)$ ની બહાર વધતું વિધેય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $R$ માટે,આપણે ઘટતા વિધેયની શરત ચકાસીએ: $f^{\prime}(x) < 0$.

$6(x - 1)(x - 2) < 0$

આ શરત ત્યારે જ સંતોષાય છે જ્યારે $1 < x < 2$ હોય.

આમ,$x \in (1, 2)$ માટે $f^{\prime}(x) < 0$ છે. તેથી,વિધાન $R$ સાચું છે.
વિધાન $A$ એ વધતા વિધેયનું વર્ણન કરે છે અને વિધાન $R$ એ ઘટતા વિધેયનું વર્ણન કરે છે,તેથી $R$ એ $A$ માટેનું કારણ નથી.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ માટેનું સાચું કારણ નથી.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$f'(x) = 0$ લેતા
$(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1) = 0$
$(2x^3 - x^2 + 2x^2 - x + 2x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1) = 0$
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
હવે,$f'(x) = \frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)^2}$
ફરીથી વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $f''(x) = \frac{(x^2+x+1)^2(4x) - (2x^2-2) \cdot 2(x^2+x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^4}$
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = \frac{(1+1+1)^2(4) - 0}{(1+1+1)^4} = \frac{9 \times 4}{81} = \frac{36}{81} > 0$
તેથી,વિધેય $x = 1$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે
$f(1) = \frac{1^2-1+1}{1^2+1+1} = \frac{1}{3}$
$\therefore$ ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s = 490t - 4.9t^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
મહત્તમ ઊંચાઈ માટે $\frac{ds}{dt} = 0$ લેતા:
$490 - 9.8t = 0$
$9.8t = 490$
$t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $s$ શોધવા માટે $t = 50$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = 490(50) - 4.9(50)^2$
$s = 24500 - 4.9(2500)$
$s = 24500 - 12250$
$s = 12250$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
બંને બાજુ $x^3 y^4$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{y^3 x} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x y^3} = -\frac{\cos x}{x^3}$
ધારો કે $t = y^{-3} = \frac{1}{y^3}$. તેથી,$\frac{dt}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \frac{dt}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{1}{3} \frac{dt}{dx} - \frac{t}{x} = -\frac{\cos x}{x^3}$
$-3$ વડે ગુણતા:
$\frac{dt}{dx} + \frac{3}{x} t = \frac{3 \cos x}{x^3}$
આ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{3}{x}$ અને $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ છે.
ઉકેલ $t \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$t \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$
$t x^3 = 3 \int \cos x dx + c$
$t x^3 = 3 \sin x + c$
કારણ કે $t = y^{-3}$,તેથી $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

(A) $I$. આપેલ છે $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$.
$dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}+2xy=2e^{-x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=2x$ અને $Q=2e^{-x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ છે.
$ye^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x+c$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
$II$. આપેલ છે $ye^{x^2}-2x=c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(ye^{x^2}) - \frac{d}{dx}(2x) = 0$.
$y(2x e^{x^2}) + e^{x^2} \frac{dy}{dx} - 2 = 0$.
$e^{x^2} \frac{dy}{dx} = 2 - 2xye^{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 2e^{-x^2} - 2xy$.
તેથી,$dx = \frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$.
આમ,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot a = 1$ અને $b \cdot b = 1$.
વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+b) \times (a \times b) = a \times (a \times b) + b \times (a \times b)$
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ સૂત્ર $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = (a \cdot b)a - b$
$b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b = a - (a \cdot b)b$
આ બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$(a \cdot b)a - b + a - (a \cdot b)b = a - b + (a \cdot b)(a - b) = (a - b)(1 + a \cdot b)$
અહીં $(1 + a \cdot b)$ એક અદિશ હોવાથી,પરિણામી સદિશ $(a - b)$ ને સમાંતર છે.

(A) દરેક પદનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$ ને $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,$(A)$ એ $3$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z})\mathbf{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$. તેથી,$(B)$ એ $5$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(C)$ એ $2$ સાથે જોડાય છે.
$(D)$ અદિશ ગુણાકાર $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ ને $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\mathbf{a}$ અને $\mathbf{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તેથી,$(D)$ એ $1$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $A-3, B-5, C-2, D-1$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -2, -3)$ અને $B(2, 0, 0)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-2))\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $P(x, y, z)$ એ $A$ અને $B$ સાથે સમરેખ હોય જો સદિશ $\vec{AP}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક હોય.
ધારો કે $P = (0, -4, -6)$. તો $\vec{AP} = (0-1)\hat{i} + (-4-(-2))\hat{j} + (-6-(-3))\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ થાય.
અહીં $\vec{AP} = -1(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = -1\vec{AB}$ હોવાથી,સદિશ $\vec{AP}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક છે.
તેથી,બિંદુ $(0, -4, -6)$ એ $(1, -2, -3)$ અને $(2, 0, 0)$ સાથે સમરેખ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $O(0, 0, 0)$ અને $P(2, 3, -1)$ છે.
રેખા $OP$ ના દિકગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 0, 3 - 0, -1 - 0) = (2, 3, -1)$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n) = \left(\frac{a}{r}, \frac{b}{r}, \frac{c}{r}\right) = \left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$ થાય.

(B) ધારો કે $P(B) = p$. આપેલ શરત મુજબ,$P(A) = 2P(B) = 2p$. કારણ કે $P(A) + P(B) = 1$,તેથી $2p + p = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{3}$. આમ,$P(B) = \frac{1}{3}$ અને $P(A) = \frac{2}{3}$.
પેટી $A$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|A) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ છે.
પેટી $B$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|B) = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,લાલ દડો પેટી $B$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(B|R) = \frac{P(B) \cdot P(R|B)}{P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)}$
$P(B|R) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{6}{15} + \frac{4}{21}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{2}{5} + \frac{4}{21}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{42 + 20}{105}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{62}{105}} = \frac{4}{21} \cdot \frac{105}{62} = \frac{4 \cdot 5}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}$.

(B) આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ જ્યાં $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
આપેલ પદને મૂકતા:
$a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty \right) = 1 \quad \dots (i)$
ધારો કે $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty$.
તો $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \ldots \infty$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{1}{3}S = 1 + \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2} \right) + \ldots \infty$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
$S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$a \times S = 1 \implies a \times \frac{9}{4} = 1$.
તેથી,$a = \frac{4}{9}$.

(C) આપેલ છે કે $n=6$ અને $P(X=2)=9 P(X=4)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {}^n C_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^6 C_2 p^2 q^4 = 9 \cdot {}^6 C_4 p^4 q^2$
અહીં ${}^6 C_2 = 15$ અને ${}^6 C_4 = 15$ હોવાથી:
$15 p^2 q^4 = 9 \cdot 15 p^4 q^2$
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$q^2 = 9 p^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$q = 3p$
આપણે જાણીએ છીએ કે $p + q = 1$,તેથી $q = 3p$ મૂકતા:
$p + 3p = 1 \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$
તેથી $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $npq$ દ્વારા મળે છે:
$\text{વિચરણ} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(B) આપેલ વક્રો છે:
$y^2 = 4x$ ... $(i)$
$x^2 = 4y$ ... (ii)
(ii) પરથી,$y = \frac{x^2}{4}$ મળે. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
આમ,$x = 0$ અથવા $x = 4$. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_0^4 (2x^{1/2} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}] - [0 - 0]$
$= [\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}]$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$m[-3, 4] + n[4, -3] = [10, -11]$
અદિશ $m$ અને $n$ ને શ્રેણિક સાથે ગુણતા:
$[-3m, 4m] + [4n, -3n] = [10, -11]$
શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$[-3m + 4n, 4m - 3n] = [10, -11]$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને બે સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$-3m + 4n = 10$ $\dots(i)$
$4m - 3n = -11$ $\dots(ii)$
$m$ અને $n$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$-9m + 12n = 30$ $\dots(iii)$
$16m - 12n = -44$ $\dots(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$7m = -14 \Rightarrow m = -2$
$m = -2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-3(-2) + 4n = 10 \Rightarrow 6 + 4n = 10 \Rightarrow 4n = 4 \Rightarrow n = 1$
અંતે,$3m + 7n$ ની ગણતરી કરતા:
$3(-2) + 7(1) = -6 + 7 = 1$

(A) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \dots (i)$
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,આપણે $A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$
હવે,$A^3 - A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 - A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$
કારણ કે $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $2A = 2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^3 - A^2 = 2A$ થાય.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$. શ્રેણિકનો એડજોઇન્ટ (adj) એ તેના સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે,એટલે કે $\operatorname{adj}(A) = [C_{ij}]^T$.
સહઅવયવો $C_{ij}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
સહઅવયવ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 5 & a & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & b \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$ અને $b = 1$ મળે છે.
તેથી,$[a \quad b] = [4 \quad 1]$.

(C) આપણે સૂત્ર $2 \tanh^{-1} x = \tanh^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$2 \tanh^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{2(\frac{1}{2})}{1+(\frac{1}{2})^2} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{1}{\frac{5}{4}} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{4}{5} \right)$.
હવે,ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક ટેન્જેન્ટ વિધેયના લઘુગણકીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીએ: $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.
$x = \frac{4}{5}$ મૂકતા:
$\tanh^{-1} \left( \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + \frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{2} \log 9 = \frac{1}{2} \log 3^2 = \log 3$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
સૌ પ્રથમ,સૂત્ર $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{1-1/9} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{8/9} = \tan ^{-1} \left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
હવે,પદાવલિ $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ બને છે.
જો $\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \theta$ હોય,તો $\tan \theta = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \cos ^{-1} \frac{4}{5}$ મળે છે.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જવાબ $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \quad \dots(i)$
વિધેય અચળ હોવા માટે,તેના પ્રદેશમાં દરેક $x$ માટે વિકલન $f'(x)$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2} = \frac{acx + ad - acx - bc}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.
$f(x)$ અચળ હોવા માટે,$f'(x) = 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $ad - bc = 0$,અથવા $ad = bc$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $ad = bc$ હોય,તો ધારો કે $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = k$. તેથી $a = ck$ અને $b = dk$.
આ કિંમતોને વિધેયમાં મૂકતા: $f(x) = \frac{ckx + dk}{cx + d} = \frac{k(cx + d)}{cx + d} = k$,જે એક અચળ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x + 2}{x^2 + 3 x + 2}, & x \in R - \{-1, -2\} \\ -1, & x = -2 \\ 0, & x = -1 \end{cases}$
$x \in R - \{-1, -2\}$ માટે,$f(x) = \frac{x + 2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 1}$.
હવે,આપણે $x = -2$ અને $x = -1$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ.
$x = -2$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{-2 + 1} = -1$.
અહીં $f(-2) = -1$ હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = f(-2)$,તેથી $f$ એ $x = -2$ આગળ સતત છે.
$x = -1$ આગળ:
$\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{1}{x + 1} = -\infty$ અને $\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{x + 1} = \infty$.
$x = -1$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ ન હોવાથી,$f$ એ $x = -1$ આગળ અસતત છે.
તેથી,$f$ એ $R - \{-1\}$ ગણ પર સતત છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = f(-x)$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = -f^{\prime}(-x)$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(-x)$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ પણ એક યુગ્મ વિધેય છે.
કારણ કે $f^{\prime \prime}(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f^{\prime \prime}(-\pi) = f^{\prime \prime}(\pi)$ થાય.
આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(\pi) = 1$,તેથી $f^{\prime \prime}(-\pi) = 1$ થાય.

(A) આપેલ વિધેય $u(x, y) = \sin^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $u(tx, ty) = \sin^{-1}\left(\frac{tx}{ty}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = u(x, y)$.
આ દર્શાવે છે કે $u$ એ $n = 0$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટે આઈલરના પ્રમેય મુજબ,જો $u$ એ $n$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય હોય,તો $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n \cdot u$ થાય.
અહીં $n = 0$ હોવાથી,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \cdot u = 0$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિધાન $I$ માટે:
$f(x) = a x^{41} + b x^{-40}$
$f^{\prime}(x) = 41 a x^{40} - 40 b x^{-41}$
$f^{\prime \prime}(x) = 41 \times 40 a x^{39} + 40 \times 41 b x^{-42} = 1640 a x^{39} + 1640 b x^{-42}$
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = \frac{1640(a x^{39} + b x^{-42})}{a x^{41} + b x^{-40}} = \frac{1640(a x^{39} + b x^{-42})}{x^2(a x^{39} + b x^{-42})} = 1640 x^{-2}$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે:
ધારો કે $y = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$. $x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,આપણને $y = \tan ^{-1}(\tan 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$ મળે છે.
તેથી $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1+x^2}$.
આપેલ વિધાનમાં વિકલન $\frac{1}{1+x^2}$ હોવાનો દાવો કરવામાં આવ્યો છે,તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.
તેથી,$I$ સાચું છે,પરંતુ $II$ ખોટું છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 10 \cos x + (13 + 2x) \sin x$.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = -10 \sin x + [2 \sin x + (13 + 2x) \cos x] = -8 \sin x + (13 + 2x) \cos x$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = -8 \cos x + [2 \cos x - (13 + 2x) \sin x] = -6 \cos x - (13 + 2x) \sin x$.
અંતે,$f''(x) + f(x)$ ની ગણતરી કરો:
$f''(x) + f(x) = [-6 \cos x - (13 + 2x) \sin x] + [10 \cos x + (13 + 2x) \sin x] = 4 \cos x$.

(A) ધારો કે $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,$d x = \sec ^2 \theta d \theta$ મળે.
$\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) = \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta$ હોવાથી:
$I = \int 2 \theta \sec ^2 \theta d \theta$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$u = \theta$ અને $dv = \sec ^2 \theta d \theta$ લેતા:
$I = 2 [\theta \tan \theta - \int \tan \theta d \theta]$.
$I = 2 [\theta \tan \theta + \log |\cos \theta|] + C$.
અહીં $\tan \theta = x$ હોવાથી,$\theta = \tan ^{-1} x$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ થાય.
$I = 2 [x \tan ^{-1} x + \log |\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}|] + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x + 2 \log (1+x^2)^{-1/2} + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x - \log (1+x^2) + C$.
આને $f(x) - \log (1+x^2)$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = 2 x \tan ^{-1} x$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{49} \tan ^{-1}\left(x^{50}\right)}{1+x^{100}} d x$.
$t = x^{50}$ આદેશ લેતા,$dt = 50x^{49} dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^{49} dx = \frac{1}{50} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{50} \int \frac{\tan ^{-1} t}{1+t^2} dt$.
હવે,$u = \tan ^{-1} t$ લેતા,$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ મળે.
તેથી સંકલન થશે:
$I = \frac{1}{50} \int u du = \frac{1}{50} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{100} + c$.
$u = \tan ^{-1} (x^{50})$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{(\tan ^{-1} (x^{50}))^2}{100} + c$.
આપેલ સમીકરણ $k(\tan ^{-1} (x^{50}))^2 + c$ સાથે સરખાવતા,$k = \frac{1}{100}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)} dx$.
$\cos x = t$ આદેશ લેતા,$-\sin x dx = dt$,તેથી $\sin x dx = -dt$.
$I = \int \frac{-dt}{t(1+t)} = -\int \left[ \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right] dt$.
$I = -[\log |t| - \log |1+t|] + c = \log |1+t| - \log |t| + c$.
$I = \log \left| \frac{1+t}{t} \right| + c$.
$t = \cos x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \log \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right| + c$ મળે છે.
$I = f(x) + c$ હોવાથી,$f(x) = \log \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right|$ થાય.

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin (\pi-\theta)}{1+\cos ^2(\pi-\theta)} d \theta$
કારણ કે $\sin(\pi-\theta) = \sin \theta$ અને $\cos(\pi-\theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin \theta}{1+(-\cos \theta)^2} d \theta = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta + (\pi-\theta) \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta = \int_0^\pi \frac{\pi \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$
ધારો કે $\cos \theta = t$,તેથી $-\sin \theta d \theta = dt$. જ્યારે $\theta = 0, t = 1$ અને જ્યારે $\theta = \pi, t = -1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$
$2I = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$
$I = \frac{\pi^2}{4}$

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{200 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} d x$.
અંશને $100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x}{\sin x + \cos x} d x = 100 \int_0^{\pi / 2} 1 d x + 100 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$.
ધારો કે $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ... $(i)$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} d x = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$ ... (ii).
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$I_1 = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$I$ ના પદમાં કિંમત મૂકતા:
$I = 100 \times [x]_0^{\pi / 2} + 100 \times I_1 = 100 \times \frac{\pi}{2} + 100 \times \frac{\pi}{4} = 50\pi + 25\pi = 75\pi$.

(C) આપેલ છે કે $dx + dy = (x + y)(dx - dy)$.
$dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$1 + \frac{dy}{dx} = (x + y)(1 - \frac{dy}{dx})$
$1 + \frac{dy}{dx} = x + y - (x + y)\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}(1 + x + y) = x + y - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y - 1}{x + y + 1} \quad \dots(i)$
ધારો કે $x + y = t$. તેથી $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t - 1}{t + 1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t - 1}{t + 1} + 1 = \frac{t - 1 + t + 1}{t + 1} = \frac{2t}{t + 1}$
ચલ અલગ કરતા:
$\frac{t + 1}{2t} dt = dx$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t}) dt = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{1}{2}(t + \log|t|) = x + C_1$
$t + \log|t| = 2x + 2C_1$
$t = x + y$ મૂકતા:
$x + y + \log(x + y) = 2x + C$
$\log(x + y) = x - y + C$

(B) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x} \quad \dots(i)$
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + x \tan v}{x}$
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$
ચલને અલગ કરતા:
$\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$
$\log|\sin v| = \log|x| + \log|c|$
$\log|\sin v| = \log|cx|$
$\sin v = cx$
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin(\frac{y}{x}) = cx$

(D) વિધેય $f(n)$ એ $n$ ના તમામ ધન ભાજકોનો સરવાળો દર્શાવે છે.
$n = 2^k \cdot 3^1$ સંખ્યા માટે,ભાજકો એ $2^k$ ના ભાજકો અને $3^1$ ના ભાજકોનો ગુણાકાર છે.
$2^k$ ના ભાજકોનો સરવાળો $(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^k) = \frac{2^{k+1}-1}{2-1} = 2^{k+1}-1$ છે.
$3^1$ ના ભાજકોનો સરવાળો $(1 + 3) = 4$ છે.
$f$ એ પરસ્પર અવિભાજ્ય અવયવો માટે ગુણાકાર વિધેય હોવાથી,$f(2^k \cdot 3) = f(2^k) \cdot f(3)$.
આમ,$f(2^k \cdot 3) = (2^{k+1}-1) \cdot 4 = 4(2^{k+1}-1)$.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો એવા અદિશો $x, y$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ થાય (ધારી લઈએ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ છે).
વિધાન $R$ સાચું છે કારણ કે $3D$ અવકાશમાં કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશોનો સમૂહ રેખીય રીતે આધારિત હોય છે,કારણ કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
જોકે,$R$ એ સમતલીય સદિશોનો સામાન્ય ગુણધર્મ છે અને તે $A$ માં જણાવેલ ચોક્કસ શરત માટે વ્યાખ્યા અથવા સીધી તાર્કિક સમજૂતી તરીકે કામ કરતું નથી. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) $I$: બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોય છે જો અને માત્ર જો તેઓ શૂન્યતર અને અસમરેખ હોય. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
$II$: $3D$ અવકાશમાં કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો સુરેખ રીતે પરતંત્ર હોય છે કારણ કે જો તેઓ સમરેખ ન હોય તો એકને બાકીના બેના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે,અથવા જો કોઈ બે સદિશો સમરેખ હોય તો પણ તેઓ સુરેખ રીતે પરતંત્ર બને છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
$\therefore$ $I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે $a = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
સદિશ $a$ અને $b$ સમરેખ હોવાથી,$b = \lambda a$ થાય,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
આપણને આપેલ છે કે $|b| = 21$.
સૌ પ્રથમ,$a$ નું માન શોધીએ:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$b = \lambda a$ હોવાથી,$|b| = |\lambda| |a|$ થાય.
$21 = |\lambda| \times 7 \implies |\lambda| = 3 \implies \lambda = \pm 3$.
તેથી,$b = \pm 3(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k})$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે અને બિંદુ $P(2, 3, -1)$ છે.
રેખા $OP$ ના દિક્ગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 0, 3 - 0, -1 - 0) = (2, 3, -1)$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)$ છે.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$ મળે છે.