Third Law of Motion and Momentum and Impulse Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: દળ $m = 150\, g = 0.150\, kg$. પ્રારંભિક વેગ $v_i = -40\, m/s$ (બેટની દિશાને ધન લેતા). અંતિમ વેગ $v_f = 60\, m/s$. સંપર્ક સમય $\Delta t = 5\, ms = 5 \times 10^{-3}\, s$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.150 \times (60 - (-40)) = 0.150 \times 100 = 15\, kg \cdot m/s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ સરેરાશ બળ $F$:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{15}{5 \times 10^{-3}} = 3 \times 10^3\, N = 3000\, N$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આઘાતી બળ $F$ એ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta p$ એ વેગમાનમાં ફેરફાર છે અને $\Delta t$ એ અથડામણનો સમયગાળો છે.
ઝડપી અથડામણમાં,સમયગાળો $\Delta t$ ખૂબ જ નાનો હોય છે.
કારણ કે વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p$ બંને કિસ્સાઓ માટે સમાન છે (કારણ કે પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગ સમાન છે),બળ $F$ એ $\Delta t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(F \propto \frac{1}{\Delta t})$.
તેથી,નાની $\Delta t$ માટે,બળ $F$ ઘણું વધારે હોય છે,જે અથડામણને વધુ હિંસક બનાવે છે.
વેગમાનમાં ફેરફારનો દર $\frac{\Delta p}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે બળ $F$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં $\Delta t$ નાનું હોવાથી,વેગમાનમાં ફેરફારનો દર ખરેખર વધારે છે.
આમ,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) સદિશ રાશિ એ ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
$1$. તાપમાન,દબાણ,સમય,પાવર,કુલ પથ લંબાઈ,ઉર્જા,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન,ઘર્ષણાંક અને વિદ્યુતભાર એ બધી અદિશ રાશિઓ છે કારણ કે તેઓ માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે અને કોઈ ચોક્કસ દિશા હોતી નથી.
$2$. આઘાત (impulse) ને બળ અને સમયના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{J} = \vec{F} \Delta t$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. બળ $(\vec{F})$ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,તેનો સમય (અદિશ) સાથેનો ગુણાકાર સદિશ રાશિ આપે છે.
તેથી,આપેલી યાદીમાં આઘાત એ એકમાત્ર સદિશ રાશિ છે.

(D) બોલને આપવામાં આવેલ આઘાત તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
બોલનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 12 \; m/s$.
બોલનો અંતિમ વેગ,$v = -12 \; m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફટકારે છે).
બોલનું દળ,$m = 0.15 \; kg$.
આઘાત $I = \Delta p = m(v - u)$.
$I = 0.15 \times (-12 - 12)$.
$I = 0.15 \times (-24)$.
$I = -3.6 \; N \cdot s$.
આઘાતનું મૂલ્ય $3.6 \; N \cdot s$ છે,જે બેટ્સમેનથી બોલરની દિશામાં છે.

(N/A) $(i)$ માટેનો એક સહજ જવાબ એ હોઈ શકે કે કિસ્સા $(a)$ માં દીવાલ પરનું બળ દીવાલને લંબ છે,જ્યારે કિસ્સા $(b)$ માં તે લંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે છે. આ જવાબ ખોટો છે. બંને કિસ્સામાં દીવાલ પરનું બળ દીવાલને લંબ જ હોય છે.
દીવાલ પરનું બળ શોધવા માટે,આપણે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને દીવાલ દ્વારા બોલ પર લાગતા આઘાતને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,અને પછી $(i)$ નો જવાબ આપવા માટે ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ધારો કે $u$ એ દીવાલ સાથે અથડાયા પહેલા અને પછી દરેક બોલની ઝડપ છે,અને $m$ એ દરેક બોલનું દળ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x$ અને $y$ અક્ષો પસંદ કરો.
કિસ્સો $(a)$:
પ્રારંભિક વેગમાન: $(p_x)_{\text{initial}} = mu, (p_y)_{\text{initial}} = 0$
અંતિમ વેગમાન: $(p_x)_{\text{final}} = -mu, (p_y)_{\text{final}} = 0$
આઘાત એ વેગમાન સદિશમાં થતો ફેરફાર છે. તેથી,
આઘાતનો $x$-ઘટક $= -2mu$
આઘાતનો $y$-ઘટક $= 0$
આઘાત અને બળ સમાન દિશામાં હોય છે. દીવાલ દ્વારા બોલ પર લાગતું બળ દીવાલને લંબ,ઋણ $x$-દિશામાં હોય છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બોલ દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ દીવાલને લંબ,ધન $x$-દિશામાં હોય છે.
કિસ્સો $(b)$:
પ્રારંભિક વેગમાન: $(p_x)_{\text{initial}} = mu \cos 30^{\circ}, (p_y)_{\text{initial}} = -mu \sin 30^{\circ}$
અંતિમ વેગમાન: $(p_x)_{\text{final}} = -mu \cos 30^{\circ}, (p_y)_{\text{final}} = -mu \sin 30^{\circ}$
નોંધો કે અથડામણ પછી $p_x$ ની નિશાની બદલાય છે,પરંતુ $p_y$ ની બદલાતી નથી. તેથી,
આઘાતનો $x$-ઘટક $= -2mu \cos 30^{\circ}$
આઘાતનો $y$-ઘટક $= 0$
આઘાત (અને બળ) ની દિશા કિસ્સા $(a)$ જેવી જ છે અને તે દીવાલને લંબ,ઋણ $x$-દિશામાં છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દીવાલ પર લાગતું બળ દીવાલને લંબ,ધન $x$-દિશામાં હોય છે.
કિસ્સા $(a)$ અને $(b)$ માં બોલને આપવામાં આવેલા આઘાતના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર:
$\frac{2mu}{2mu \cos 30^{\circ}} = \frac{1}{\cos 30^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15$.

(N/A) $t < 0$ માટે:
આલેખ દર્શાવે છે કે કણનું સ્થાન $x = 0$ છે (સમય અક્ષ પર છે). આ સૂચવે છે કે કણ સ્થિર છે. તેથી,વેગ શૂન્ય છે અને કણ પર લાગતું બળ $F = 0$ છે.
$t > 4 \,s$ માટે:
આલેખ દર્શાવે છે કે કણનું સ્થાન $x = 3 \,m$ પર અચળ છે (સમય અક્ષને સમાંતર). આ સૂચવે છે કે કણ સ્થિર છે. તેથી,વેગ શૂન્ય છે અને કણ પર લાગતું બળ $F = 0$ છે.
$0 < t < 4 \,s$ માટે:
આલેખ અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે. વેગ $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{3 - 0}{4 - 0} = 0.75 \,m/s$ છે. વેગ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,કણ પર લાગતું બળ $F = m \cdot a = 0$ છે.
$(b)$ આઘાત એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,$J = \Delta p = m(v - u)$.
$t = 0 \,s$ સમયે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અંતિમ વેગ $v = 0.75 \,m/s$.
$J = 4 \,kg \times (0.75 - 0) \,m/s = 3 \,kg \cdot m/s$.
$t = 4 \,s$ સમયે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 0.75 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0$.
$J = 4 \,kg \times (0 - 0.75) \,m/s = -3 \,kg \cdot m/s$.

(B) દરેક દડાનું દળ $m = 0.05\; kg$ છે.
દડા $1$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 6\; m/s$ અને દડા $2$ નો વેગ $v_2 = -6\; m/s$ છે.
દડા $1$ નું પ્રારંભિક વેગમાન $p_{i1} = m \times v_1 = 0.05 \times 6 = 0.3\; kg\; m/s$ છે.
અથડામણ પછી,તેઓ સમાન ઝડપે પાછા ફરે છે,તેથી દડા $1$ નો અંતિમ વેગ $v_{f1} = -6\; m/s$ થાય છે.
દડા $1$ નું અંતિમ વેગમાન $p_{f1} = m \times v_{f1} = 0.05 \times (-6) = -0.3\; kg\; m/s$ છે.
દડા $1$ પર લાગતો આઘાત એ તેના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે: $J = p_{f1} - p_{i1} = -0.3 - 0.3 = -0.6\; Ns$.
દરેક દડા પર લાગતા આઘાતનું મૂલ્ય $0.6\; Ns$ છે.

(D) બોલને આપવામાં આવેલ આઘાત તેના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ધારો કે બોલનું દળ $m$ છે અને તેની ઝડપ $v$ છે.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_i$ અને અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v}_f$ નું મૂલ્ય સમાન છે,$v = 54 \; km/h = 15 \; m/s$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ પથ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર માટે સદિશ બાદબાકીની રીતનો ઉપયોગ કરતા $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$:
વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta p = 2mv \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta/2 = 45^{\circ}/2 = 22.5^{\circ}$.
આઘાત $J = 2 \times 0.15 \; kg \times 15 \; m/s \times \sin(22.5^{\circ})$.
$\sin(22.5^{\circ}) \approx 0.3827$ નો ઉપયોગ કરતા:
$J = 2 \times 0.15 \times 15 \times 0.3827 = 4.5 \times 0.3827 \approx 1.72 \; kg \; m/s$.
જો કે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગણતરી $2mv \cos(22.5^{\circ})$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવી છે,જે $2 \times 0.15 \times 15 \times 0.9239 \approx 4.16 \; kg \; m/s$ થાય છે.

(N/A) ભૌતિક સંદર્ભ: $x = 0$ અને $x = 2 \; cm$ પર સ્થિત બે દીવાલો વચ્ચે અથડાતો દડો।
$1$. બે ક્રમિક આઘાત વચ્ચેનો સમય: આલેખ દર્શાવે છે કે પદાર્થ દર $2 \; s$ પછી તેની ગતિની દિશા બદલે છે। $x-t$ આલેખનો ઢાળ દર $2 \; s$ પછી બદલાતો હોવાથી, દડો દર $2 \; s$ પછી દીવાલ સાથે અથડાય છે। તેથી, બે ક્રમિક આઘાત વચ્ચેનો સમય $2 \; s$ છે।
$2$. દરેક આઘાતનું મૂલ્ય:
દડાનું દળ, $m = 0.04 \; kg$.
આલેખનો ઢાળ દડાનો વેગ આપે છે।
પ્રારંભિક વેગ $(u) = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(2 - 0) \times 10^{-2} \; m}{(2 - 0) \; s} = 10^{-2} \; m/s$.
અથડામણ પહેલાનો વેગ, $u = 10^{-2} \; m/s$.
અથડામણ પછીનો વેગ, $v = -10^{-2} \; m/s$ (ઋણ નિશાની દિશામાં ફેરફાર સૂચવે છે)।
આઘાતનું મૂલ્ય = વેગમાનમાં ફેરફાર = $|mv - mu| = |m(v - u)|$.
આઘાતનું મૂલ્ય = $|0.04 \times (-10^{-2} - 10^{-2})| = |0.04 \times (-2 \times 10^{-2})| = 0.08 \times 10^{-2} \; kg \cdot m/s$.

(N/A) જ્યારે ક્રિકેટનો દડો સમાન ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $0$ હોય છે.
જ્યારે તેને બેટ વડે ફટકારવામાં આવે છે,ત્યારે તે ખૂબ જ ટૂંકા સમયના અંતરાલ માટે મોટા આઘાતી બળનો અનુભવ કરે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = F/m$ થાય.
બળ આઘાતી હોવાથી,પ્રવેગ $0$ થી વધીને મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને સંપર્ક પૂરો થતાં ફરીથી $0$ થઈ જાય છે.
પ્રવેગ $(a)$ વિરુદ્ધ સમય $(t)$ નો આલેખ નીચે મુજબ છે,જેમાં પાછળની દિશાને ધન લેવામાં આવી છે:
[આઘાત દરમિયાન તીવ્ર શિખર દર્શાવતો $a$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ]

(N/A) કોઈ પદાર્થના દળ અને વેગના ગુણાકારને તેનું રેખીય વેગમાન કહેવામાં આવે છે.
$\therefore$ રેખીય વેગમાન $(P)$,
$P = \text{દળ} \times \text{વેગ}$
$P = m v$
વેગમાન એ સદિશ રાશિ છે અને તેની દિશા વેગની દિશામાં હોય છે.
વેગમાનનો $SI$ એકમ $kg \cdot m/s$ અથવા $N \cdot s$ છે.
વેગમાનનો $CGS$ એકમ $g \cdot cm/s$ છે.
વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-1}]$ છે.

(N/A) ઉદાહરણ $1$: જો એક કાંકરી અને એક પથ્થરને સમાન વેગથી કોઈ વ્યક્તિ પર ફેંકવામાં આવે,તો માત્ર વેગના આધારે કયું વધુ નુકસાન પહોંચાડશે તે નક્કી કરવું મુશ્કેલ છે. આપણે વેગમાન $(p = mv)$ માં થતા ફેરફારનો અભ્યાસ કરીને આઘાત બળ નક્કી કરી શકીએ છીએ. અથડામણની અસર સમજવા માટે માત્ર વેગ કે દળ પૂરતા નથી.
દળને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે કહી શકીએ કે પથ્થરનું વેગમાન કાંકરી કરતા વધારે છે; તેથી,પથ્થર વધુ નુકસાન પહોંચાડશે.
ઉદાહરણ $2$: ધારો કે એક કાર અને એક ટ્રક સમક્ષિતિજ રસ્તા પર સ્થિર છે. તેમને સમાન સમયગાળામાં સમાન વેગ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે,કારને ઓછા બળની જરૂર પડે છે,જ્યારે ટ્રકને વધુ બળની જરૂર પડે છે. તેવી જ રીતે,જો તેઓ સમાન વેગથી ગતિ કરતા હોય,તો તેમને સમાન સમયગાળામાં સ્થિર કરવા માટે કારને ટ્રકની સરખામણીમાં ઓછા અવરોધક બળની જરૂર પડે છે.
આમ,બળની અસર નક્કી કરવા માટે,વેગ કરતાં વેગમાન વધુ વ્યાપક માહિતી આપે છે.

(N/A) બળનો આઘાત એટલે પદાર્થ પર લાગતું સરેરાશ બળ અને તે બળ જેટલા સમય માટે લાગે છે તે સમયગાળાના ગુણાકારને બળનો આઘાત કહે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Impulse (J) = F_{avg} \times \Delta t$.
તે પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું પણ હોય છે,એટલે કે $J = \Delta p = m(v - u)$.
એકમ: બળના આઘાતનો $SI$ એકમ $Newton-second$ $(N \cdot s)$ અથવા $kilogram-meter$ પ્રતિ સેકન્ડ $(kg \cdot m/s)$ છે.
પારિમાણિક સૂત્ર: આઘાત એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $(p = mv)$ જેટલું હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-1}]$ છે.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,હાથ પર લાગતું બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta p$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta t$ એ બોલને સ્થિર કરવા માટે લીધેલો સમય છે.
જ્યારે અનુભવી ક્રિકેટર બોલને પકડે છે,ત્યારે તે તેના હાથને પાછળની તરફ ખેંચે છે. આમ કરવાથી,તે સમયગાળો $\Delta t$ વધારે છે જેમાં બોલનું વેગમાન શૂન્ય થઈ જાય છે.
જેમ કે $F$ એ $\Delta t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(F \propto \frac{1}{\Delta t})$,સમય $\Delta t$ વધારવાથી હાથ પર લાગતું આઘાતી બળ $F$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે,જે ઈજાને અટકાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,એક નવોદિત તેના હાથને સ્થિર રાખે છે,જેના પરિણામે ખૂબ જ નાનો $\Delta t$ મળે છે. આનાથી મોટું આઘાતી બળ $F$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે હાથમાં ઈજા પહોંચાડી શકે છે.

(N/A) દળ અને વેગના ગુણાકારને વેગમાન $(p = mv)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે $(F = \frac{dp}{dt})$.
જ્યારે સમાન બળ બે અલગ-અલગ દળ ધરાવતી વસ્તુઓ પર સમાન સમયગાળા માટે લગાડવામાં આવે,ત્યારે બંને માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $(\Delta p = F \cdot \Delta t)$ સમાન હોય છે.
જો કે,$p = mv$ હોવાથી,વેગમાનમાં સમાન ફેરફાર જાળવી રાખવા માટે હલકી વસ્તુ ભારે વસ્તુની તુલનામાં વધુ વેગ પ્રાપ્ત કરશે.
આમ,વેગમાન એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે બળની અસરને પદાર્થની ગતિ સાથે સીધી રીતે જોડે છે,જે ગતિશાસ્ત્રને સમજવા માટે અનિવાર્ય છે.

(B) પદાર્થ પર બળની અસર તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર લાગુ પડેલા બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $F = \frac{dp}{dt}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી,સમયના અંતરાલ દરમિયાન કાર્યરત બળની કુલ અસરને માપતું પરિમાણ 'આઘાત' (Impulse) છે,જે વેગમાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે $(J = \Delta p = F \cdot \Delta t)$. આમ,પદાર્થ પર બળની અસર નક્કી કરવા માટે આઘાતનો ઉપયોગ થાય છે.

(N/A) $1$. બળનો આઘાત $(J)$ એટલે સરેરાશ બળ $(F_{avg})$ અને તે જે સમયગાળા $(\Delta t)$ દરમિયાન લાગે છે તેનો ગુણાકાર. ગાણિતિક રીતે,$J = F_{avg} \times \Delta t$. તે સદિશ રાશિ છે અને તેનો $SI$ એકમ $N \cdot s$ અથવા $kg \cdot m/s$ છે.
$2$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર (વેગમાનનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન) એ પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે. ગાણિતિક રીતે,$F = dp/dt$. તેથી,વેગમાનનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન 'બળ' (Force) નામની ભૌતિક રાશિ આપે છે.

(N/A) વિધાન: દરેક આઘાત (action) માટે હંમેશા સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રત્યાઘાત (reaction) હોય છે. જ્યારે એક પદાર્થ બીજા પદાર્થ પર બળ લગાડે છે,ત્યારે બીજો પદાર્થ પણ તેટલા જ મૂલ્યનું અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ પ્રથમ પદાર્થ પર લગાડે છે.
મહત્વના મુદ્દાઓ:
$(1)$ આઘાત અને પ્રત્યાઘાત હંમેશા જોડીમાં હોય છે. એકલું બળ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે નહીં.
$(2)$ આઘાત અને પ્રત્યાઘાત બળના મૂલ્યો સમાન હોય છે પરંતુ દિશા વિરુદ્ધ હોય છે.
$(3)$ આઘાત અને પ્રત્યાઘાત બળ હંમેશા અલગ-અલગ પદાર્થો પર લાગે છે. તેથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરતા નથી.
$(4)$ આઘાત એ કારણ છે અને પ્રત્યાઘાત એ અસર છે.
ગાણિતિક સ્વરૂપ:
જો પદાર્થ $A$ દ્વારા પદાર્થ $B$ પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F}_{AB}$ હોય અને પદાર્થ $B$ દ્વારા પદાર્થ $A$ પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F}_{BA}$ હોય,તો ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ:
$\overrightarrow{F}_{AB} = -\overrightarrow{F}_{BA}$
ઉદાહરણ: જ્યારે હાથ વડે સ્પ્રિંગને દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે હાથ સ્પ્રિંગ પર બળ લગાડે છે (આઘાત),અને સ્પ્રિંગ હાથ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે (પ્રત્યાઘાત).
નોંધ: જ્યારે આપણે કોઈ એક પદાર્થની ગતિનો વિચાર કરીએ,ત્યારે આપણે ફક્ત તે પદાર્થ પર લાગતા બળને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. જો આપણે $A$ અને $B$ બંને પદાર્થોની સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ,તો $\overrightarrow{F}_{AB}$ અને $\overrightarrow{F}_{BA}$ એ આંતરિક બળો છે અને તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયા માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા હોય છે.
આ બંને બળો અલગ-અલગ પદાર્થો પર લાગે છે.
તેઓ અલગ-અલગ પદાર્થો પર લાગતા હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરી શકતા નથી અને કોઈ એક પદાર્થ પર પરિણામી બળ શૂન્ય બનાવી શકતા નથી.
તેથી,આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ,ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા બળો હંમેશા જોડીમાં હોય છે.
આ બળો એકસાથે ઉદ્ભવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે એક જ ક્ષણે અસ્તિત્વમાં આવે છે.
ક્રિયા બળ લાગુ કરવા અને પ્રતિક્રિયા બળ દેખાવા વચ્ચે કોઈ સમયનો તફાવત હોતો નથી.
તેથી,કોઈ પણ બળ 'પહેલા' લાગતું નથી; તેઓ એકસાથે કાર્ય કરે છે.

(B) ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા બાહ્ય બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$F = \frac{dp}{dt}$.
તેથી,જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે સમય સાથે તેના વેગમાનમાં ફેરફાર કરે છે.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ બે આંતરક્રિયા કરતા પદાર્થો માટે $FBD$ (ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ) દોરવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. આંતરક્રિયામાં સામેલ બે પદાર્થોને ઓળખો.
$2$. દરેક પદાર્થને તેના આસપાસના વાતાવરણથી અલગ કરો.
$3$. દરેક પદાર્થ માટે અલગ-અલગ $FBD$ દોરો.
$4$. ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ લાગુ કરો: દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. જો પદાર્થ $A$,પદાર્થ $B$ પર $F_{AB}$ બળ લગાડે,તો પદાર્થ $B$ એ પદાર્થ $A$ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં $F_{BA} = -F_{AB}$ બળ લગાડવું જ જોઈએ.
$5$. આ બળની જોડીને સંબંધિત આકૃતિઓ પર સદિશ તરીકે દર્શાવો,અને ખાતરી કરો કે તેઓ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ છે.

(B) બળ-સમયના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int F \, dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઘાતની વ્યાખ્યા મુજબ,$J = \int F \, dt$.
તેથી,બળ-સમયના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થ પર લાગતા આઘાતનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(B) ઓછા દળવાળો પદાર્થ વધુ ઝડપથી ગતિ કરશે.
ધારો કે બે પદાર્થોના દળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે અને તેમના વેગ $v_{1}$ અને $v_{2}$ છે.
આપેલ છે કે તેમના વેગમાન સમાન છે:
$p_{1} = p_{2}$
$m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$
જો $m_{1} < m_{2}$ હોય,તો $\frac{m_{2}}{m_{1}} > 1$ થાય.
તેથી,$\frac{v_{1}}{v_{2}} > 1$,જે સૂચવે છે કે $v_{1} > v_{2}$.
આમ,સમાન વેગમાન જાળવી રાખવા માટે ઓછા દળવાળા પદાર્થનો વેગ વધારે હોવો જોઈએ.

(A) એક રમતવીર લાંબી કૂદ કરતા પહેલા વેગમાન મેળવવા માટે દોડે છે. ન્યૂટનના નિયમો અનુસાર,વેગમાન એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે $(p = mv)$. દોડવાથી,રમતવીર તેમનો પ્રારંભિક વેગ વધારે છે,જેનાથી તેમનું વેગમાન વધે છે. આ વધેલું વેગમાન રમતવીરને કૂદકા દરમિયાન વધુ અંતર કાપવામાં મદદ કરે છે,કારણ કે તે તેમને આગળ લઈ જવા માટે વધુ જડત્વ અને ગતિ ઊર્જા પૂરી પાડે છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થનું રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ એ તેના દળ $m$ અને વેગ $\vec{v}$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $\vec{p} = m\vec{v}$ છે.
બસ સ્ટેશન પર ઊભી હોવાથી,તેનો વેગ $\vec{v} = 0\,m/s$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{p} = 1000\,kg \times 0\,m/s = 0\,kg\cdot m/s$ મળે છે.
તેથી,બસનું રેખીય વેગમાન $0\,kg\cdot m/s$ છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
વેગમાન $(p)$ એટલે પદાર્થનું દળ $(m)$ અને તેના વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર.
ગાણિતિક રીતે,$p = m \times v$.
આપેલ વિધાનમાં વેગમાનની વ્યાખ્યા ખોટી રીતે વેગ અને તેના માનના ગુણાકાર તરીકે આપવામાં આવી છે.

(A) બળનો આઘાત એ બળ અને તે જે સમયગાળા માટે લાગે છે તેનો ગુણાકાર છે,એટલે કે $J = F \times \Delta t$. આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતો આઘાત તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે,એટલે કે $J = \Delta p = m(v - u)$. તેથી,જ્યારે ખૂબ જ અલ્પ સમય માટે મોટું બળ લાગે છે,ત્યારે પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર શોધીને બળનો આઘાત નક્કી કરી શકાય છે.

(B) જ્યારે ક્રિકેટર બેટને ઘુમાવે છે,ત્યારે તે બેટ અને બોલ વચ્ચેનો સંપર્ક સમય વધારે છે. આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,$Impulse = F \cdot \Delta t = \Delta p$. સંપર્ક સમય $(\Delta t)$ વધારવાથી,બોલ પર લાગતો આઘાત વધે છે,જેના પરિણામે બોલના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $(\Delta p)$ વધે છે. આથી,બોલનો અંતિમ વેગ વધે છે,જે તેને સિક્સર મારવા માટે જરૂરી અંતર કાપવામાં મદદ કરે છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta p$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે અને $\Delta t$ એ સમયગાળો છે.
જ્યારે ક્રિકેટર બોલને કેચ કરતી વખતે તેના હાથ પાછળ ખેંચે છે,ત્યારે તેઓ તે સમયગાળો $\Delta t$ વધારે છે જેમાં બોલનું વેગમાન શૂન્ય થાય છે.
બળ $F$ એ સમય $\Delta t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(F \propto \frac{1}{\Delta t})$,સંપર્કનો સમય વધારવાથી ખેલાડીના હાથ પર લાગતું આઘાતી બળ નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે,જેનાથી ઈજા થતી અટકે છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 50 \, g$,પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 20 \, cm/s$,બળ $F = 50 \, dyne$,સમય $\Delta t = 5 \, s$.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ લાગુ પાડેલા આઘાત જેટલો હોય છે:
$F \cdot \Delta t = \Delta p$
$F \cdot \Delta t = p - p_0$
$p = p_0 + F \cdot \Delta t$
પ્રારંભિક વેગમાન $p_0 = m \cdot v_0$ હોવાથી:
$p = (50 \, g \times 20 \, cm/s) + (50 \, dyne \times 5 \, s)$
$p = 1000 \, g \cdot cm/s + 250 \, g \cdot cm/s$
$p = 1250 \, g \cdot cm/s$

(A) રાસાયણિક બોમ્બનો વિસ્ફોટ સિસ્ટમની અંદર થતી રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓને કારણે ઉર્જાના ઝડપી મુક્તિને લીધે થાય છે.
આ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓમાં બોમ્બ બનાવતા કણો (પરમાણુઓ અને અણુઓ) વચ્ચે કાર્ય કરતા બળોનો સમાવેશ થાય છે.
આ બળો સિસ્ટમના ઘટક ભાગો વચ્ચે કાર્ય કરતા હોવાથી,તેમને આંતરિક બળો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
મિકેનિક્સના નિયમો અનુસાર,આંતરિક બળો સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (center of mass) ની સ્થિતિ બદલી શકતા નથી.
તેથી,વિસ્ફોટ આંતરિક બળો દ્વારા સંચાલિત થાય છે.

(N/A) રેખીય વેગમાન એટલે પદાર્થના દળ $(m)$ અને તેના વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર. તે સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તેને મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે. વેગમાનની દિશા પદાર્થના વેગની દિશામાં જ હોય છે.
રેખીય વેગમાન $(p)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$p = m \times v$
જ્યાં:
$p$ = રેખીય વેગમાન
$m$ = પદાર્થનું દળ
$v$ = પદાર્થનો વેગ
રેખીય વેગમાનનો $SI$ એકમ $kg \cdot m/s$ છે.

(B) ન્યુટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અનુસાર,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય જ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બળો ક્યારેય એકલા અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી; તે હંમેશા જોડમાં જ ઉદભવે છે.
તેથી,કુદરતમાં એકલું-અટુલું બળ હોવું અશક્ય છે.

(A) બળ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થને મળતા આઘાત $(J)$ નું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આઘાત $J = \int F \, dt = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
આપેલ છે કે,ક્ષેત્રફળ $= 100 \ Ns$ અને સમયગાળો $\Delta t = 1 \ s$.
આઘાત $J = F_{avg} \Delta t$ હોવાથી,$F_{avg} = \frac{J}{\Delta t}$ મળે.
$F_{avg} = \frac{100 \ Ns}{1 \ s} = 100 \ N$.
તેથી,બળનું મૂલ્ય $100 \ N$ છે.

(N/A) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $(\Delta p)$ એ આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે,જે $F-t$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલો થાય છે.
ક્ષેત્રફળ = $\text{બળ} \times \text{સમયગાળો}$
ક્ષેત્રફળ = $10\, N \times 0.03\, s$
ક્ષેત્રફળ = $0.3\, N\cdot s$
તેથી,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = 0.3\, kg\cdot m/s$ થાય.

(B) પદાર્થનું દળ $m = 2\, kg$ છે.
આલેખ પરથી,$t = 0\, s$ સમયે,સ્થાન $x = 0\, m$ છે. $t = 0\, s$ સમયે વેગ $v_1$ એ આલેખનો ઢાળ છે,જે $v_1 = 0\, m/s$ છે.
$t = 4\, s$ સમયે,સ્થાન $x = 3\, m$ છે. $t > 4\, s$ માટે,આલેખ આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ $v_2 = 0\, m/s$ છે.
$t = 0\, s$ અને $t = 4\, s$ ની વચ્ચે,પદાર્થ અચળ વેગ $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{3 - 0}{4 - 0} = 0.75\, m/s$ થી ગતિ કરે છે.
$t = 0\, s$ સમયે આઘાત: પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી આઘાત $J_1 = m(v_{initial} - v_{rest}) = 2(0.75 - 0) = 1.5\, Ns$ છે.
$t = 4\, s$ સમયે આઘાત: પદાર્થ $0.75\, m/s$ ના વેગથી સ્થિર થાય છે,તેથી આઘાત $J_2 = m(v_{final} - v_{initial}) = 2(0 - 0.75) = -1.5\, Ns$ છે.
બંને બિંદુઓ પર આઘાતનું મૂલ્ય $1.5\, Ns$ છે.

(N/A) પરિવહન દરમિયાન આવતા આંચકાઓ અથવા અથડામણ વખતે પોર્સેલેણની વસ્તુઓ પર લાગતા બળનો સમયગાળો વધારવા માટે તેમને સ્ટ્રો અથવા કાગળમાં લપેટવામાં આવે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta p$ માટે સમયગાળો $\Delta t$ વધારીને,પોર્સેલેણની વસ્તુઓ પર લાગતું આઘાતી બળ $F$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે. આનાથી વસ્તુઓ તૂટવાથી કે નુકસાન થવાથી બચી જાય છે.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
જ્યારે બાળક સખત સિમેન્ટના ભોંયતળિયા પર પડે છે,ત્યારે વેગમાન શૂન્ય થવા માટેનો સમયગાળો $\Delta t$ ખૂબ જ ઓછો હોય છે. $F \propto \frac{1}{\Delta t}$ હોવાથી,સમયગાળો ઓછો હોવાને કારણે બળનું મૂલ્ય વધે છે,જેનાથી વધુ પીડા થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે બાળક નરમ કાદવવાળી જમીન પર પડે છે,ત્યારે જમીન દબાય છે,જેના કારણે વેગમાનમાં ફેરફાર થવા માટેનો સમયગાળો $\Delta t$ વધે છે. સમયગાળો વધવાથી બળનું મૂલ્ય ઘટે છે,પરિણામે બાળકને ઓછી પીડા થાય છે.

(N/A) વસ્તુનું દળ $(m) = 500\,g = 0.5\,kg$.
વસ્તુની ઝડપ $(v) = 25\,ms^{-1}$.
$(a)$ વસ્તુને આપવામાં આવેલ આઘાત એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આઘાત $= m(v - u) = 0.5\,kg \times (25\,ms^{-1} - 0\,ms^{-1}) = 12.5\,N\,s$.
$(b)$ વસ્તુ મૂળ ઝડપ કરતાં અડધી ઝડપે પાછી ફેંકાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $(v') = -12.5\,ms^{-1}$ (પ્રારંભિક દિશાને ધન લેતા).
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $= m(v' - v) = 0.5\,kg \times (-12.5\,ms^{-1} - 25\,ms^{-1}) = 0.5 \times (-37.5) = -18.75\,kg\,ms^{-1}$ (અથવા $-18.75\,N\,s$).

(A) ખોટું. રેખીય વેગમાન એટલે પદાર્થનું દળ અને તેના વેગનો ગુણાકાર $(p = mv)$. વિધાનમાં દળ અને વેગમાનનો ગુણાકાર આપેલ છે,જે ખોટું છે.
$(b)$ સાચું. જડત્વ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે જે તેના દળ સાથે સંબંધિત છે,અને તે પદાર્થની ગતિની અવસ્થામાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
$(c)$ ખોટું. બળ એટલે વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો સમય દર $(F = dp/dt)$,માત્ર વેગમાનનો ફેરફાર નહીં.

(B) બળનો આઘાત $(J)$ એ વેગમાનના ફેરફાર $(\Delta p)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,$(1)$ એ $(b)$ સાથે જોડાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનના ફેરફારનો દર $(\frac{dp}{dt})$ એ ચોખ્ખા બાહ્ય બળ $(F)$ જેટલો હોય છે. તેથી,$(2)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b, 2-a)$ છે.

(C) બુલેટ પર લાગતું બળ $F(t) = 100 - 0.5 \times 10^{5} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે તે સમય $t$ શોધીએ જ્યારે બળ શૂન્ય થાય છે:
$100 - 0.5 \times 10^{5} t = 0$
$0.5 \times 10^{5} t = 100$
$t = \frac{100}{0.5 \times 10^{5}} = 2 \times 10^{-3} \ s$.
આઘાત (Impulse) $I$ એ સમય સાથે બળના સંકલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$I = \int_{0}^{t} F dt = \int_{0}^{2 \times 10^{-3}} (100 - 0.5 \times 10^{5} t) dt$.
પદનું સંકલન કરતા:
$I = [100t - \frac{0.5 \times 10^{5} t^{2}}{2}]_{0}^{2 \times 10^{-3}}$.
$t$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = 100(2 \times 10^{-3}) - 0.25 \times 10^{5} (2 \times 10^{-3})^{2}$
$I = 0.2 - 0.25 \times 10^{5} (4 \times 10^{-6})$
$I = 0.2 - 0.25 \times 0.4$
$I = 0.2 - 0.1 = 0.1 \ N \cdot s$.

(B) જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, m/s$.
દડો તેટલી જ ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળતો હોવાથી,અથડામણ પછીનો વેગ $v' = -v = -10\sqrt{2} \, m/s$ થશે (ઉપરની દિશાને ધન લેતા).
દડાને મળતો આઘાત $J$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે: $J = \Delta p = m(v_{final} - v_{initial})$.
અહીં,$v_{initial} = -10\sqrt{2} \, m/s$ અને $v_{final} = +10\sqrt{2} \, m/s$.
$J = 0.15 \times (10\sqrt{2} - (-10\sqrt{2})) = 0.15 \times 20\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$J = 3 \times 1.414 = 4.242 \, kg \cdot m/s$.
આશરે કિંમત લેતા,આઘાતનું મૂલ્ય $4.2 \, kg \cdot m/s$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 4 \, g = 4 \times 10^{-3} \, kg$
બંદૂકનું દળ,$M = 4 \, kg$
જમીનની સાપેક્ષમાં ગોળીનો વેગ,$v_b = 50 \, ms^{-1}$
ધારો કે બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ $V$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$M V + m v_b = 0$
$4 \times V + (4 \times 10^{-3}) \times 50 = 0$
$4 V = -0.2$
$V = -0.05 \, ms^{-1}$
રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $0.05 \, ms^{-1}$ છે.
બંદૂકને આપવામાં આવેલ આઘાત એ બંદૂકના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$J = |M \Delta V| = |4 \times (-0.05) - 0| = 0.2 \, kg \, ms^{-1}$.

(B) આઘાત $J$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta p$ જેટલો હોય છે. દીવાલ દ્વારા આપવામાં આવેલ આઘાત દીવાલને લંબ ( $X$-દિશામાં) હોય છે.
બોલ $(a)$ માટે, વેગ દીવાલને લંબ છે. પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = mu$ (દીવાલ તરફ), અંતિમ વેગમાન $p_f = -mu$ (દીવાલથી દૂર). વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p_a = |p_f - p_i| = |-mu - mu| = 2mu = J_1$ છે.
બોલ $(b)$ માટે, વેગ લંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક $u \cos 45^{\circ}$ છે. લંબ દિશામાં વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p_b = |(-mu \cos 45^{\circ}) - (mu \cos 45^{\circ})| = 2mu \cos 45^{\circ} = J_2$ છે.
આઘાતના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{J_1}{J_2} = \frac{2mu}{2mu \cos 45^{\circ}} = \frac{1}{\cos 45^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ થાય છે.

(A) આઘાત (Impulse) એટલે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર.
ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \; ms^{-1}$ છે.
બેટ્સમેન દડાને વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન ઝડપથી પાછો ફટકારે છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = -15 \; ms^{-1}$ થશે.
દડાનું દળ $m = 0.4 \; kg$ છે.
આઘાત $J = \Delta p = m(v - u)$.
$J = 0.4 \times (-15 - 15) = 0.4 \times (-30) = -12 \; Ns$.
દડાને આપવામાં આવેલ આઘાતનું મૂલ્ય $|J| = 12 \; Ns$ છે.

(B) દડાનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_i = m \vec{v}_i = 0.15 \times 12 \hat{i} = 1.8 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ છે.
દીવાલ સાથે અથડાયા બાદ દડાનું અંતિમ વેગમાન $\vec{P}_f = m \vec{v}_f = 0.15 \times (-12 \hat{i}) = -1.8 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર (આઘાત) $\Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i = -1.8 \hat{i} - 1.8 \hat{i} = -3.6 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = 3.6 \; kg \cdot m/s$ છે.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,આઘાત એ બળ અને સમયગાળાના ગુણાકાર જેટલો હોય છે: $|\Delta \vec{P}| = F \Delta t$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3.6 = 100 \times \Delta t$.
તેથી,$\Delta t = \frac{3.6}{100} = 0.036 \; s$.

(B) આઘાત $I$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta P$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: દળ $m = 5 \; kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 25 \; ms^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \; ms^{-1}$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta P = m(v - u) = 5(0 - 25) = -125 \; kg \cdot ms^{-1}$.
બંને કિસ્સામાં વેગમાનમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવાથી,આઘાત $I = |\Delta P| = 125 \; N \cdot s$ બંને કિસ્સામાં સમાન રહેશે.
સરેરાશ બળ $F_{\text{avg}} = \frac{\Delta P}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સા $(i)$ માટે,$\Delta t_1 = 3 \; s$,તેથી $F_{\text{avg}, 1} = \frac{125}{3} \approx 41.67 \; N$.
કિસ્સા $(ii)$ માટે,$\Delta t_2 = 5 \; s$,તેથી $F_{\text{avg}, 2} = \frac{125}{5} = 25 \; N$.
અહીં $\Delta t_1 \neq \Delta t_2$ હોવાથી,સરેરાશ બળ અલગ-અલગ મળે છે. આમ,આઘાત સમાન છે પરંતુ સરેરાશ બળ અલગ છે.

(A) લાગતું બળ એ રેતીના કણોના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
પ્રથમ,આપણે તે વેગ $v$ ની ગણતરી કરીએ છીએ જેની સાથે રેતીનો કણ ઘડિયાળના તળિયે અથડાય છે. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u = 0)$ અને તળિયે પહોંચવા માટે $t = 2 \, s$ લે છે,તેથી ગતિના સમીકરણ $v = u + gt$ નો ઉપયોગ કરતા ($g = 10 \, m/s^2$ લેતા):
$v = 0 + 10 \times 2 = 20 \, m/s$.
તળિયે અથડાતા એક કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર (ધારી લો કે તે સ્થિર થઈ જાય છે) છે:
$\Delta p = m(v - u_{final}) = m(v - 0) = mv$.
અહીં $m = 0.2 \, g = 0.2 \times 10^{-3} \, kg$ આપેલ છે,તેથી:
$\Delta p = 0.2 \times 10^{-3} \, kg \times 20 \, m/s = 4 \times 10^{-3} \, kg \cdot m/s$.
દર સેકન્ડે $100$ કણો પડતા હોવાથી,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો કુલ દર (જે સરેરાશ બળ જેટલો છે) છે:
$F = n \times \Delta p = 100 \times 4 \times 10^{-3} \, N = 0.4 \, N$.
આમ,લાગતું સરેરાશ બળ $0.4 \, N$ છે.