Third Law of Motion and Momentum and Impulse Questions in Gujarati

(B) આઘાત $I$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,$\Delta p = I$. આપેલ છે કે $I = 20 t^2 - 40 t$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર કયા સમયે ન્યૂનતમ છે તે શોધવા માટે,આપણે $I$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીશું:
$\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(20 t^2 - 40 t) = 40 t - 40$.
$\frac{dI}{dt} = 0$ લેતા,$40 t - 40 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $t = 1 \text{ s}$.
આ ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ: $\frac{d^2I}{dt^2} = 40$. કારણ કે $40 > 0$ છે,તેથી વિધેય $t = 1 \text{ s}$ સમયે ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્ર પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ એ રેખીય વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,જે $F_{net} = \frac{dp}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો અંતિમ વેગમાન $(p_f)$ એ પ્રારંભિક વેગમાન $(p_i)$ જેટલું હોય,તો વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = p_f - p_i = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે સમયગાળા $\Delta t$ દરમિયાન સરેરાશ ચોખ્ખું બળ $\frac{\Delta p}{\Delta t} = 0$ છે.
જો કે,આનો અર્થ એ નથી કે પ્રક્રિયા દરમિયાન દરેક ક્ષણે તાત્કાલિક ચોખ્ખું બળ શૂન્ય જ હોય. ચોખ્ખું બળ વિવિધ ક્ષણો પર શૂન્યતર હોઈ શકે છે જેથી કુલ આઘાત (સમય સાથે બળનું સંકલન) શૂન્ય થાય.
તેથી,એ શક્ય છે કે તંત્ર પર કોઈ ચોક્કસ સમયે ચોખ્ખું બળ હોય,ભલે વેગમાનમાં કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(A) આપેલ છે:
દળ $m = 5 \,kg$
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = (2 \hat{i} + 6 \hat{j}) \,m/s$
અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = (10 \hat{i} + 6 \hat{j}) \,m/s$
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \vec{p} = 5 \times [(10 \hat{i} + 6 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 6 \hat{j})]$
$\Delta \vec{p} = 5 \times [(10 - 2) \hat{i} + (6 - 6) \hat{j}]$
$\Delta \vec{p} = 5 \times [8 \hat{i} + 0 \hat{j}]$
$\Delta \vec{p} = 40 \hat{i} \,kg \cdot m/s$
તેથી,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $40 \hat{i} \,kg \cdot m/s$ છે.

(A) લીસી દીવાલ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,દીવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી.
ધારો કે કણનો વેગ $\vec{v}$ છે. દીવાલ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી દીવાલના લંબ સાથેનો ખૂણો $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
દીવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક $v_{\parallel} = v \cos(60^{\circ})$ છે.
દીવાલ લીસી હોવાથી,દીવાલની દિશામાં કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી,જેનો અર્થ છે કે અથડામણ દરમિયાન વેગનો સમાંતર ઘટક અચળ રહે છે.
દીવાલની દિશામાં પ્રારંભિક વેગમાન: $p_{i, \parallel} = m v \cos(60^{\circ})$.
દીવાલની દિશામાં અંતિમ વેગમાન: $p_{f, \parallel} = m v \cos(60^{\circ})$.
દીવાલની દિશામાં વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta p_{\parallel} = p_{f, \parallel} - p_{i, \parallel} = m v \cos(60^{\circ}) - m v \cos(60^{\circ}) = 0$.
તેથી,દીવાલની દિશામાં વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $0$ છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સરેરાશ બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$
અહીં,પ્રારંભિક વેગમાન $p$ છે અને અંતિમ વેગમાન $0$ છે (કારણ કે હથોડો સ્થિર થાય છે).
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = p - 0 = p$.
સમયગાળો $\Delta t = 0.5 \; s$.
તેથી,સરેરાશ બળ $F = \frac{p}{0.5} = 2p \; N$.
આમ,જરૂરી સરેરાશ બળ $2p \; N$ છે.

(C) $1$. બેટ સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $(v_1)$ શોધો: $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$h = 20 \,m$,અને $g = 10 \,m/s^2$,આપણને $v_1 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = 20 \,m/s$ (નીચેની તરફ) મળે છે.
$2$. બેટ દ્વારા ફટકાર્યા પછી દડાનો વેગ $(v_2)$ શોધો: ઉપરની ગતિ માટે $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં મહત્તમ ઊંચાઈ $h = 45 \,m$ પર $v = 0$ છે,તેથી $0 = u^2 - 2 \times 10 \times 45$,એટલે કે $u = v_2 = 30 \,m/s$ (ઉપરની તરફ).
$3$. આઘાત-વેગમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો: $\text{Impulse} = F \Delta t = m(v_{\text{final}} - v_{\text{initial}})$.
$4$. ઉપરની દિશાને ધન લેતા: $v_{\text{final}} = +30 \,m/s$ અને $v_{\text{initial}} = -20 \,m/s$.
$5$. બેટ દ્વારા લાગતું બળ ઉપરની તરફ છે,તેથી $F = +200 \,N$. દડાનું વજન $(mg = 0.05 \times 10 = 0.5 \,N)$ નીચેની તરફ લાગે છે. ચોખ્ખું સરેરાશ બળ $F_{\text{net}} = F_{\text{bat}} - mg = 200 - 0.5 \approx 200 \,N$ છે.
$6$. $\Delta t = \frac{m(v_2 - v_1)}{F_{\text{net}}} = \frac{0.05 \times (30 - (-20))}{200} = \frac{0.05 \times 50}{200} = \frac{2.5}{200} = \frac{1}{80} \,s$.

(D) સાચો જવાબ $(D)$ છે.
$(1)$ ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા બળો અલગ-અલગ પદાર્થો પર લાગે છે,તેથી તેઓ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરી શકતા નથી.
$(2)$ ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડી માટે ભૌતિક સંપર્ક જરૂરી નથી; ઉદાહરણ તરીકે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિર વિદ્યુત (કુલંબ) બળ અંતરેથી લાગે છે.
$(3)$ ન્યૂટનનો $3^{rd}$ નિયમ સાર્વત્રિક છે અને તે પદાર્થો સ્થિર હોય કે ગતિમાં હોય,બંને સ્થિતિમાં લાગુ પડે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(C) ન્યુટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. રાઈફલ દ્વારા ગોળી પર લાગતું બળ અને ગોળી દ્વારા રાઈફલ પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે.
પ્રથમ,આપેલ મૂલ્યોને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરો:
ગોળીનું દળ,$m = 10 \,g = 0.01 \,kg$.
ગોળીનો પ્રવેગ,$a = 3 \times 10^6 \,cm/s^2 = 3 \times 10^6 \times 10^{-2} \,m/s^2 = 3 \times 10^4 \,m/s^2$.
ગોળી પર લાગતું બળ $F = m \times a$ છે.
$F = 0.01 \,kg \times 3 \times 10^4 \,m/s^2 = 300 \,N$.
રાઈફલ પર લાગતું બળ એ ગોળી પર લાગતા બળ જેટલું જ હોવાથી,રાઈફલ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $300 \,N$ છે.

(B) મશીનગન દ્વારા વ્યક્તિ પર લાગતું બળ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ધારો કે $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે.
બળ $F$ એ સૂત્ર $F = n \cdot m \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ એક ગોળીનું દળ છે અને $v$ તેનો વેગ છે.
આપેલ છે: $m = 65 \, g = 0.065 \, kg$,$v = 1300 \, m/s$,અને $F = 169 \, N$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$169 = n \times 0.065 \times 1300$
$169 = n \times 84.5$
$n = \frac{169}{84.5} = 2$.
તેથી,વ્યક્તિ પ્રતિ સેકન્ડ $2$ ગોળીઓ છોડી શકે છે.

(D) દીવાલ દ્વારા કણને આપવામાં આવેલ આઘાત તેના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ધારો કે દીવાલ $y$-અક્ષ પર છે. અથડામણ પહેલાં કણનો વેગ $\vec{v}_i = v \cos 30^{\circ} \hat{i} - v \sin 30^{\circ} \hat{j}$ છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દીવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી,અને દીવાલને લંબ ઘટક તેની દિશા ઉલટાવે છે.
તેથી,અથડામણ પછીનો વેગ $\vec{v}_f = -v \cos 30^{\circ} \hat{i} - v \sin 30^{\circ} \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i) = m(-2v \cos 30^{\circ} \hat{i}) = -2mv \cos 30^{\circ} \hat{i}$.
આઘાતનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2mv \cos 30^{\circ} = 2mv \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3} mv$ થાય.

(B) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p}$ એ આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે,જે $F-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે.
પદાર્થ તેનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}$ ફરીથી મેળવે તે માટે,વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $F-t$ આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે આલેખ $t$-અક્ષને $t = 4 \ s$ પર છેદે છે. ધન ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ($t=0$ થી $t=4$ સુધી) $A_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2 \ N \cdot s$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય તે માટે,ઋણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ($t=4$ થી $t_0$ સુધી) ધન ક્ષેત્રફળના મૂલ્ય જેટલું જ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $t_0$ સમયે બળ $-F_0$ છે. રેખાના ઢાળ પરથી,$\tan \theta = \frac{1}{2} = \frac{F_0}{t_0-4}$,તેથી $F_0 = \frac{t_0-4}{2}$.
ઋણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{1}{2} \times (t_0-4) \times F_0 = \frac{1}{2} \times (t_0-4) \times \frac{t_0-4}{2} = \frac{(t_0-4)^2}{4}$ છે.
$A_1 = A_2$ લેતા,આપણને $2 = \frac{(t_0-4)^2}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(t_0-4)^2 = 8$.
આમ,$t_0-4 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,તેથી $t_0 = 4 + 2\sqrt{2} \ s$.

(A) આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતો આઘાત તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
$J = \int F dt = \Delta p = m(v - v_0)$
આઘાત એ $F-t$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આપેલ આલેખ એ અર્ધ-લંબગોળ (semi-ellipse) છે,જેમાં અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = T_0/2$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = F_0$ છે. અર્ધ-લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi a b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi \left(\frac{T_0}{2}\right) F_0 = \frac{\pi F_0 T_0}{4}$
આઘાતને વેગમાનના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$m(v - v_0) = \frac{\pi F_0 T_0}{4}$
$v - v_0 = \frac{\pi F_0 T_0}{4m}$
$v = v_0 + \frac{\pi F_0 T_0}{4m}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{dp}{dt}$
આનો અર્થ એ છે કે બળ $F$ એ $p-t$ આલેખના ઢાળ જેટલું છે.
$1$. $t = 0$ થી $t = 2 \ s$ સુધી,વેગમાન $0$ થી $10 \ kg \ m/s$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે. ઢાળ અચળ અને ધન છે:
$F = \frac{10 - 0}{2 - 0} = 5 \ N$
$2$. $t = 2$ થી $t = 6 \ s$ સુધી,વેગમાન $10 \ kg \ m/s$ પર અચળ રહે છે. ઢાળ શૂન્ય છે:
$F = \frac{10 - 10}{6 - 2} = 0 \ N$
$3$. $t = 6$ થી $t = 8 \ s$ સુધી,વેગમાન $10$ થી $0 \ kg \ m/s$ સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે. ઢાળ અચળ અને ઋણ છે:
$F = \frac{0 - 10}{8 - 6} = -5 \ N$
આ મૂલ્યોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ બળના મૂલ્યોને સમય સાથે યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) જમીન સાથે અથડાતા પહેલા બોલનો વેગ $v_i = \sqrt{2gh_i} = \sqrt{2 \times 10 \times 9.8} = \sqrt{196} = 14\,m/s$ (નીચેની તરફ).
નીચેની દિશાને ઋણ લેતા,$v_i = -14\,m/s$.
ઉછળ્યા પછી તરત જ બોલનો વેગ $v_f = \sqrt{2gh_f} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10\,m/s$ (ઉપરની તરફ).
ઉપરની દિશાને ધન લેતા,$v_f = +10\,m/s$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = v_f - v_i = 10 - (-14) = 24\,m/s$.
સરેરાશ પ્રવેગ $a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{24}{0.2} = 120\,m/s^2$ છે.

(B) $100$ દડાઓનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 100mv$ છે (દીવાલ તરફની દિશાને ધન લેતા).
પરાવર્તન પછી,દડાઓનું અંતિમ વેગમાન $P_f = -100mv$ છે (કારણ કે તેઓ સમાન ઝડપ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
દડાઓના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = P_f - P_i = -100mv - 100mv = -200mv$ છે.
દીવાલ દ્વારા દડાઓ પર લાગતું બળ $F_{wall} = \frac{\Delta P}{t} = -\frac{200mv}{t}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દડાઓ દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ એ દીવાલ દ્વારા દડાઓ પર લાગતા બળના મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,દડાઓ દ્વારા દીવાલ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $|F| = \frac{200mv}{t}$ છે.

(B) ઈમ્પલ્સ (આઘાત) એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$(a)$ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.5 = 0.25 \, N \cdot s$
$(b)$ ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 2.0 \times 0.5 = 1.0 \, N \cdot s$
$(c)$ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.75 = 0.375 \, N \cdot s$
$(d)$ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0.5 = 0.5 \, N \cdot s$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા, આકૃતિ $(b)$ માં ઈમ્પલ્સ સૌથી વધુ છે.

(B) મશીનગન દ્વારા લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = n \cdot m \cdot v$
જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે,$m$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે,અને $v$ એ ગોળીઓનો વેગ છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 125\,N$
દળ $m = 10\,g = 10 \times 10^{-3}\,kg = 0.01\,kg$
વેગ $v = 250\,m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$125 = n \times 0.01 \times 250$
$125 = n \times 2.5$
$n = \frac{125}{2.5} = 50$
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા $50$ છે.

(B) બંદૂકને આપવામાં આવેલ આઘાત એ ગોળીના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 10\,g = 0.01\,kg$
ગોળીનો વેગ,$v = 600\,m/s$
બંદૂકનું દળ,$M = 3\,kg$
આઘાત $J = \Delta p = m \times v$
$J = 0.01\,kg \times 600\,m/s = 6\,Ns$
તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,બંદૂકને મળતો આઘાત એ ગોળી દ્વારા મેળવેલા વેગમાનના મૂલ્ય જેટલો જ હોય છે.

(D) આઘાત $\vec{I}$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i$ જેટલો હોય છે।
દળ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
જમીન સાથે અથડાયા પહેલાનો વેગ: $v_i = -\sqrt{2gh_1} = -\sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = -\sqrt{196} = -14 \,m/s$.
ઉછળ્યા પછીનો વેગ: $v_f = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.9 \,m/s$.
આઘાત $I = m(v_f - v_i) = 0.1 \times (9.9 - (-14)) = 0.1 \times (23.9) = 2.39 \,kg \,m/s$.

(A) આપેલ રેખીય વેગમાન $\vec{P}(t) = \cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}$ છે.
બળ $\vec{F}$ એ વેગમાનના ફેરફારનો દર છે: $\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt}$.
$\vec{F} = \frac{d}{dt} [\cos(kt) \hat{i} - \sin(kt) \hat{j}] = -k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}$ અને $\vec{P}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\vec{F} \cdot \vec{P} = |\vec{F}| |\vec{P}| \cos \theta$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = (-k \sin(kt))(\cos(kt)) + (-k \cos(kt))(-\sin(kt))$.
$\vec{F} \cdot \vec{P} = -k \sin(kt) \cos(kt) + k \sin(kt) \cos(kt) = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી $\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$,સમયગાળો $\Delta t = 0.1 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$
બળનું મૂલ્ય $|F| = 30 \ N$ છે.

(C) બ્લોકને આપવામાં આવેલ આઘાત (impulse) એ $F-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = \int F \ dt = (t=0 \text{ થી } 3 \ s \text{ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}) - (t=3 \text{ થી } 4.5 \ s \text{ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ})$.
$t=0$ સમયે,$F=4 \ N$. રેખાનો ઢાળ $m = \frac{0-4}{3-0} = -\frac{4}{3} \ N/s$ છે.
તેથી,$F(t) = 4 - \frac{4}{3}t$.
$t=4.5 \ s$ સમયે,$F(4.5) = 4 - \frac{4}{3}(4.5) = 4 - 6 = -2 \ N$.
આઘાત $J = \left(\frac{1}{2} \times 3 \times 4\right) - \left(\frac{1}{2} \times (4.5-3) \times 2\right) = 6 - 1.5 = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $p = J = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(4.5)^2}{2 \times 2} = \frac{20.25}{4} = 5.0625 \ J \approx 5.06 \ J$.

(B) આપેલ છે કે,$m = 0.4 \ kg$,આઘાત $J = 1.0 \ N \ s$,$\tau = 4 \ s$,અને $v(t) = v_0 e^{-t/\tau}$.
સમય $t = 0$ પર,વેગ $v(0) = v_0 e^0 = v_0$ છે.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,$J = \Delta p = m \Delta v = m(v(0) - 0) = m v_0$.
તેથી,$v_0 = J/m = 1.0 / 0.4 = 2.5 \ m/s$.
$t = \tau$ સમયે સ્થાનાંતર $S$ એ વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$S = \int_0^{\tau} v(t) \ dt = \int_0^{\tau} v_0 e^{-t/\tau} \ dt$.
$S = v_0 \left[ -\tau e^{-t/\tau} \right]_0^{\tau} = v_0 \tau (1 - e^{-1})$.
કિંમતો મૂકતા: $S = (2.5) \times (4) \times (1 - 0.37)$.
$S = 10 \times 0.63 = 6.3 \ m$.

(A) જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v_i = -\sqrt{2gh_1} = -\sqrt{2 \times 9.8 \times 40} = -\sqrt{784} = -28 \ m/s$ છે.
જમીન સાથે અથડાયા પછી દડાનો વેગ $v_f = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14 \ m/s$ છે.
દડાને મળતો આઘાત એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે: $\vec{I} = \Delta \vec{P} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{I} = 0.5 \times [14 - (-28)] = 0.5 \times [14 + 28] = 0.5 \times 42 = 21 \ Ns$.

(C) ફૂટબોલ પર લાગતું બળ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા શોધી શકાય છે: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
અહીં,ફૂટબોલનું દળ $m = 0.5 \ kg$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ અને અંતિમ વેગ $v = 10 \ m/s$ છે.
સંપર્ક સમય $\Delta t = \frac{1}{50} \ s$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v - u) = 0.5 \times (10 - 0) = 5 \ kg \cdot m/s$ થાય.
તેથી,લાગતું બળ $F = \frac{5}{1/50} = 5 \times 50 = 250 \ N$ મળે.

(D) કણ પર લાગતો આઘાત (Impulse) એ $F-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = \int F \, dt = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
અહીં $m = 2 \ kg$ અને $v_i = 0 \ ms^{-1}$ આપેલ છે.
આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $(0-2 \ s)$ + લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(2-4 \ s)$ + સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $(4-6 \ s)$ + ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $(6-10 \ s)$.
ક્ષેત્રફળ $= (\frac{1}{2} \times 2 \times 10) + (2 \times 10) + (\frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 2) + (\frac{1}{2} \times 4 \times 20)$.
ક્ષેત્રફળ $= 10 + 20 + 30 + 40 = 100 \ N \cdot s$.
આમ,$J = m \cdot v_f$ હોવાથી,$100 = 2 \times v_f$.
તેથી,$v_f = 50 \ ms^{-1}$.

(C) દીવાલ પર લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
દર સેકન્ડે $N$ દડાઓનું પ્રારંભિક વેગમાન = $Nmu \hat{i}$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડાઓ સમાન ઝડપ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછા ફરે છે.
દર સેકન્ડે $N$ દડાઓનું અંતિમ વેગમાન = $-Nmu \hat{i}$.
દર સેકન્ડે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર = $\text{અંતિમ વેગમાન} - \text{પ્રારંભિક વેગમાન} = -Nmu \hat{i} - (Nmu \hat{i}) = -2Nmu \hat{i}$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $2Nmu$ છે.
બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર હોવાથી,$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2Nmu}{1} = 2Nmu \ N$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પદાર્થ પર લાગતો આઘાત એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે。
આઘાત $(J)$ = વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ = $m(v - u)$.
અહીં દળ $m = 3 \ kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ આપેલ છે。
આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ = પ્રથમ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ + બીજા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ。
ક્ષેત્રફળ = $(8 \ N \times 0.5 \ s) + (4 \ N \times (1.0 - 0.5) \ s)$.
ક્ષેત્રફળ = $(4 \ Ns) + (4 \ N \times 0.5 \ s) = 4 \ Ns + 2 \ Ns = 6 \ Ns$.
આઘાત = $\Delta p = m(v - u)$ હોવાથી,
$6 = 3 \times (v - 0)$,
$6 = 3v$,
$v = 2 \ m/s$.
તેથી, $1 \ s$ પછી પદાર્થની ઝડપ $2 \ m/s$ થશે।

(C) કણ પર લાગતો આઘાત એ બળ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 4 \, s \times 6 \, N = 12 \, N \cdot s$.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ, આઘાત $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
અહીં દળ $m = 2 \, kg$, પ્રારંભિક વેગ $v_i = 6 \, m/s$, અને આઘાત $J = 12 \, N \cdot s$ આપેલ છે.
$12 = 2(v_f - 6)$.
$6 = v_f - 6$.
$v_f = 12 \, m/s$.
આમ, કણનો અંતિમ વેગ $12 \, m/s$ છે.

(B) દીવાલ પર લાગતું બળ એ દડાઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,દડો $u$ વેગથી દીવાલ સાથે અથડાય છે અને $-u$ વેગથી પાછો ફરે છે.
એક દડા માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(u - (-u)) = 2mu$ છે.
દર સેકન્ડે $n$ દડાઓ દીવાલ સાથે અથડાતા હોવાથી,દર સેકન્ડે વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર $\frac{dp}{dt} = n \times \Delta p = n(2mu) = 2mnu$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,તેથી $F = 2mnu$.

(A) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$. પ્રારંભિક વેગ $u = 200 \,m/s$. અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$. સમયગાળો $\Delta t = \frac{1}{50} \,s = 0.02 \,s$.
આઘાત $(J)$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$J = \Delta p = m(v - u)$
$J = 0.02 \,kg \times (0 - 200) \,m/s = -4 \,kg \cdot m/s$.
આઘાતનું મૂલ્ય $4 \,Ns$ છે.
સરેરાશ બળ $(F_{avg})$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F_{avg} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{4 \,Ns}{0.02 \,s} = 200 \,N$.
આમ,આઘાત $4 \,Ns$ અને સરેરાશ બળ $200 \,N$ છે.

(A) કોઈ પદાર્થને આપવામાં આવેલ આઘાત તેના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 6 \ m/s$ (બેટ્સમેન તરફ) છે.
ફટકાર્યા પછી,દડો સમાન ઝડપ સાથે બોલર તરફ ગતિ કરે છે,તેથી અંતિમ વેગ $v = -6 \ m/s$ છે.
દડાનું દળ $m = 0.2 \ kg$ છે.
આઘાત $J = \Delta p = m(v - u)$.
$J = 0.2 \times (-6 - 6) = 0.2 \times (-12) = -2.4 \ Ns$.
દડાને આપવામાં આવેલ આઘાતનું મૂલ્ય $2.4 \ Ns$ છે.

(B) આઘાત (Impulse) એટલે પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 30 \,ms^{-1}$ છે અને અંતિમ વેગ $v = -20 \,ms^{-1}$ છે (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે)।
દડાનું દળ $m = 0.1 \,kg$ છે.
આઘાત $J = \Delta p = m(v - u)$.
પ્રારંભિક વેગની દિશાને ધન લેતા:
$J = m(v_{final} - v_{initial}) = 0.1 \times (-20 - 30) = 0.1 \times (-50) = -5 \,N-s$.
દીવાલ દ્વારા દડા પર લગાડવામાં આવેલ આઘાતનું મૂલ્ય $|J| = 5 \,N-s$ છે.

(D) બે કણોની સિસ્ટમ પર લાગતું બાહ્ય બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે: $F_{ext} = (m_1 + m_2)g$ (નીચેની દિશામાં).
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે: $F_{ext} = \frac{\Delta P}{\Delta t}$.
અહીં,$\Delta P = (m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)$ અને $\Delta t = 2t - 0 = 2t$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(m_1 + m_2)g = \frac{(m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)}{2t}$.
તેથી,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર: $[(m_1 \vec{V}_1^{\prime} + m_2 \vec{V}_2^{\prime}) - (m_1 \vec{V}_1 + m_2 \vec{V}_2)] = 2(m_1 + m_2)gt$ થાય છે.

(B) આપેલ છે:
દડાઓની સંખ્યા $N = 1000 = 10^3$
દરેક દડાનું દળ $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$
વેગ $v = 50 \text{ m/s}$
દરેક અથડામણ માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m[v - (-v)] = 2mv$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ $N$ અથડામણો થતી હોવાથી,સપાટી પર લાગતું કુલ બળ $F$:
$F = N \times \Delta p = N \times 2mv$
$F = 10^3 \times 2 \times 10^{-3} \text{ kg} \times 50 \text{ m/s} = 100 \text{ N}$.
દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ છે:
$P = \frac{F}{A} = \frac{100 \text{ N}}{10^{-4} \text{ m}^2} = 10^6 \text{ N/m}^2$.

(C) મશીનગન દ્વારા લાગતું બળ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક ગોળીનું દળ $m = 30 \text{ g} = 0.03 \text{ kg}$ છે.
દરેક ગોળીનો વેગ $v = 1000 \text{ m/s}$ છે.
ગન દ્વારા લાગતું બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = n \times m \times v$
અહીં $F = 300 \text{ N}$,$m = 0.03 \text{ kg}$,અને $v = 1000 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$300 = n \times 0.03 \times 1000$
$300 = n \times 30$
$n = \frac{300}{30} = 10$
તેથી,તે વ્યક્તિ પ્રતિ સેકન્ડ વધુમાં વધુ $10$ ગોળીઓ છોડી શકે છે.

(C) મશીન ગન દ્વારા લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક ગોળીનું દળ $m = 35 \ g = 0.035 \ kg$ છે.
દરેક ગોળીનો વેગ $v = 600 \ m/s$ છે.
ગન દ્વારા લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = n \times (m \times v)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = 147 \ N$,$m = 0.035 \ kg$,અને $v = 600 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $147 = n \times (0.035 \times 600)$.
$147 = n \times 21$.
$n = 147 / 21 = 7$.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ છોડી શકાતી ગોળીઓની સંખ્યા $7$ છે.

(A) $F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ પદાર્થ પર લાગતા આઘાત (impulse) નું મૂલ્ય આપે છે, જે પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે。
પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી, આ આઘાત એ $1 \,s$ પછી પદાર્થના અંતિમ વેગમાન જેટલો થશે。
$\text{આઘાત} = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$
$\text{આઘાત} = (10 \,N \times 0.5 \,s) + (20 \,N \times 0.5 \,s)$
$\text{આઘાત} = 5 \,N-s + 10 \,N-s = 15 \,N-s$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આઘાત} = \Delta p = m \times v - m \times u$ અને $u = 0$ હોવાથી:
$15 = 2 \,kg \times v$
$v = \frac{15}{2} = 7.5 \,m/s$

(C) જ્યારે દોરી $C$ ને અચાનક આંચકો આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર એક આઘાતી બળ લાગે છે.
દળ પાસે જડત્વ હોવાથી,તે ગતિમાં થતા અચાનક ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ આઘાતી તણાવ સૌપ્રથમ દોરી $C$ માં ઉત્પન્ન થાય છે,જે તેની તોડવાની ક્ષમતા કરતા વધી જાય છે.
આઘાતને દળમાંથી પસાર થઈને દોરી $A$ સુધી પહોંચવામાં સમય લાગે છે,તેથી દોરી $A$ માં તણાવ વધે તે પહેલાં જ દોરી $C$ તૂટી જાય છે.

(B) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ એ અંતિમ વેગમાન અને પ્રારંભિક વેગમાનનો તફાવત છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = m \times v = 2 \,kg \times 100 \,ms^{-1} = 200 \,kg \cdot ms^{-1}$.
પદાર્થ વિરુદ્ધ દિશામાં તેટલી જ ઝડપથી પાછો ફેંકાતો હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $p_f = m \times (-v) = 2 \,kg \times (-100 \,ms^{-1}) = -200 \,kg \cdot ms^{-1}$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = p_f - p_i = -200 - 200 = -400 \,kg \cdot ms^{-1}$.
વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 400 \,kg \cdot ms^{-1}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ દીવાલ પર લાગતું બળ $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t}$ છે.
અહીં $\Delta t = 1/50 \,s$ આપેલ છે,તેથી $F = \frac{400}{1/50} = 400 \times 50 = 20,000 \,N = 2 \times 10^{4} \,N$.

(A) જ્યારે વસ્તુઓને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ મુક્ત પતન કરે છે.
ગતિના સમીકરણો મુજબ,જમીન સાથે અથડાતા પહેલાનો અંતિમ વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને ઊંચાઈ $h$ તમામ વસ્તુઓ માટે સમાન હોવાથી,તેમનો વેગ $v$ પણ સમાન રહેશે.
જોકે,વસ્તુનું વેગમાન $p = mv$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પાંચેય વસ્તુઓના દળ $m$ અલગ-અલગ હોવાથી,જમીન સાથે અથડાતી વખતે તેમનું વેગમાન $p$ અલગ-અલગ હશે.
તેથી,જે ભૌતિક રાશિ દળ પર આધાર રાખે છે અને દરેક વસ્તુ માટે બદલાય છે તે વેગમાન છે.

(C) દરેક દડાનું દળ $m = 250 \ g = 0.25 \ kg$ છે.
પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $v_i = 16 \ m \ s^{-1}$ છે.
અથડામણ પછી,દડો વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન ઝડપે પાછો ફરે છે,તેથી અંતિમ વેગ $v_f = -16 \ m \ s^{-1}$ થાય.
આઘાત (Impulse) એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
કિંમતો મૂકતા: $J = 0.25 \ kg \times (-16 \ m \ s^{-1} - 16 \ m \ s^{-1})$.
$J = 0.25 \ kg \times (-32 \ m \ s^{-1}) = -8 \ kg \ m \ s^{-1}$.
આમ,આપવામાં આવેલ આઘાતનું મૂલ્ય $|J| = 8 \ kg \ m \ s^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 250 \text{ g} = 0.25 \text{ kg} = \frac{1}{4} \text{ kg}$.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = -22 \hat{i} \text{ ms}^{-1}$.
અંતિમ વેગ $\vec{v} = 30 \cos 53^{\circ} \hat{i} + 30 \sin 53^{\circ} \hat{j} = 30(\frac{3}{5}) \hat{i} + 30(\frac{4}{5}) \hat{j} = 18 \hat{i} + 24 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{P} = m(\vec{v} - \vec{u}) = \frac{1}{4} [(18 \hat{i} + 24 \hat{j}) - (-22 \hat{i})] = \frac{1}{4} [40 \hat{i} + 24 \hat{j}] = 10 \hat{i} + 6 \hat{j} \text{ Ns}$.
વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \text{ Ns}$.
સરેરાશ બળ $\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t} = \frac{\sqrt{136}}{0.01} = 100 \sqrt{136} \approx 100 \times 11.66 = 1166 \text{ N}$.

(A) આપેલ ખૂણો દીવાલ સાથેનો છે,તેથી લંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p$ ફક્ત દીવાલને લંબ દિશામાં જ થાય છે.
દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin(60^{\circ}) = v \cos(30^{\circ})$ છે.
દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાનનો ઘટક: $p_i = m v \cos(30^{\circ})$.
દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાનનો ઘટક: $p_f = -m v \cos(30^{\circ})$.
વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta p = |p_f - p_i| = 2 m v \cos(30^{\circ})$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta p = 2 \times 3 \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 300\sqrt{3} \ kg \cdot m/s$.
લાગતું બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{300\sqrt{3}}{0.2} = 1500\sqrt{3} \ N$.

(B) અહીં, પદાર્થનું દળ $m = 2 \, kg$ છે.
આઘાત એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે: $\text{Impulse} = \Delta p = p_f - p_i = m(v_f - v_i)$.
સ્થાન-સમય આલેખ પરથી, વેગ એ $x-t$ આલેખનો ઢાળ છે $(v = \frac{dx}{dt})$.
$t < 4 \, s$ માટે, વેગ $v_i$ એ $(0,0)$ થી $(4,3)$ સુધીની રેખાનો ઢાળ છે:
$v_i = \frac{3 - 0}{4 - 0} = 0.75 \, m/s$.
$t > 4 \, s$ માટે, વેગ $v_f$ એ સમક્ષિતિજ રેખાનો ઢાળ છે:
$v_f = 0 \, m/s$.
તેથી, $t = 4 \, s$ સમયે આઘાત:
$\text{Impulse} = m(v_f - v_i) = 2 \, kg \times (0 - 0.75 \, m/s) = -1.5 \, kg \cdot m/s$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) રેખીય વેગમાન એ સદિશ રાશિ છે.
ધારો કે દીવાલ તરફની દિશા ધન છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m \times 10 \hat{i} = 0.5 \times 10 \hat{i} = 5 \hat{i} \ kg \ m \ s^{-1}$.
દીવાલ સાથે અથડાયા પછી,દડો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = -m \times v \hat{i} = -0.5 \times v \hat{i} \ kg \ m \ s^{-1}$.
રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$.
$\Delta \vec{p} = (-0.5v \hat{i}) - (5 \hat{i}) = -(0.5v + 5) \hat{i}$.
રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $8.0 \ kg \ m \ s^{-1}$ આપેલ છે.
$|\Delta \vec{p}| = 0.5v + 5 = 8.0$.
$0.5v = 8.0 - 5 = 3.0$.
$v = \frac{3.0}{0.5} = 6.0 \ m \ s^{-1}$.

(B) રેખીય વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$\Delta p = \int_0^8 F \,dt = F-t \text{ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
આલેખ પરથી,$t=0$ થી $t=2$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $t$-અક્ષની નીચે એક ચતુર્થાંશ વર્તુળ છે (ઋણ ક્ષેત્રફળ).
$t=2$ થી $t=6$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $t$-અક્ષની ઉપર એક અર્ધવર્તુળ છે (ધન ક્ષેત્રફળ).
$t=6$ થી $t=8$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $t$-અક્ષની નીચે એક ચતુર્થાંશ વર્તુળ છે (ઋણ ક્ષેત્રફળ).
વર્તુળાકાર ભાગોની ત્રિજ્યા $r=2$ એકમ છે ($F=0$ થી $F=2$ અથવા $F=-2$ સુધી):
ચતુર્થાંશ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \pi$.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= -(\text{ક્ષેત્રફળ}_{0-2}) + (\text{ક્ષેત્રફળ}_{2-6}) - (\text{ક્ષેત્રફળ}_{6-8})$
$\Delta p = -\pi + 2\pi - \pi = 0$.
આમ,$0$ અને $8 \,s$ ની વચ્ચે મેળવેલ રેખીય વેગમાન $0$ છે.