Motion of Body (or Connected Bodies) on an inclined plane Questions in Gujarati

(C) તાર $AB$ પર દડાનો પ્રવેગ $a = g \cos \theta$ છે.
અંતર $AB$ વર્તુળની ભૂમિતિ પરથી શોધી શકાય છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં (જ્યાં $AC$ એ ગોળાનો વ્યાસ છે,$AC = 2R$),લંબાઈ $AB = AC \cos \theta = 2R \cos \theta$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$AB = \frac{1}{2} a t^2$
$2R \cos \theta = \frac{1}{2} (g \cos \theta) t^2$
બંને બાજુથી $\cos \theta$ ને દૂર કરતા:
$2R = \frac{1}{2} g t^2$
$t^2 = \frac{4R}{g}$
$t = 2\sqrt{\frac{R}{g}}$
આમ,લાગતો સમય ખૂણા $\theta$ પર આધારિત નથી.

(C) ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું બળ $F = mg \sin \theta$ છે.
તેથી,સમતલ પર નીચેની તરફ પદાર્થનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = l$,$u = 0$,અને $a = g \sin \theta$:
$l = 0 + \frac{1}{2}(g \sin \theta)t^2$.
ઢળતા સમતલની ભૂમિતિ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \frac{h}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $l = \frac{h}{\sin \theta}$.
સમીકરણમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{h}{\sin \theta} = \frac{1}{2}g \sin \theta t^2$.
$t^2 = \frac{2h}{g \sin^2 \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ શરૂ કરીને અચળ પ્રવેગ $(a)$ સાથે લીસા ઢળતા સમતલ પર સરકતા પદાર્થ માટે,સમય $(t)$ માં કાપેલું અંતર $(S)$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $S \propto t^2$,અથવા $t \propto \sqrt{S}$.
આપેલ છે કે સંપૂર્ણ અંતર $(S)$ કાપવા માટેનો કુલ સમય $t_1 = 4 \, s$ છે.
આપણે અંતરના એક-ચતુર્થાંશ $(S_2 = \frac{S}{4})$ ભાગને કાપવા માટેનો સમય $(t_2)$ શોધવો છે.
પ્રમાણસરતા $t \propto \sqrt{S}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}} = \sqrt{\frac{S/4}{S}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$t_2 = \frac{1}{2} \times t_1 = \frac{1}{2} \times 4 \, s = 2 \, s$.

(B) આપેલ છે: અંતર $S = 9.8 \ m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^o$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$.
લીસા ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા બ્લોક માટે,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9.8 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (g \sin 30^o) t^2$
$9.8 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times \sin 30^o \times t^2$
$9.8 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 0.5 \times t^2$
$1 = 0.25 \times t^2$
$t^2 = \frac{1}{0.25} = 4$
$t = 2 \ sec$.

(C) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તેથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ થાય.
તે જ રીતે,$(n+1)^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_{n+1} = \frac{a}{2}(2(n+1) - 1) = \frac{a}{2}(2n + 2 - 1) = \frac{a}{2}(2n + 1)$ થાય.
આ બંને અંતરોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{S_n}{S_{n+1}} = \frac{\frac{a}{2}(2n - 1)}{\frac{a}{2}(2n + 1)} = \frac{2n - 1}{2n + 1}$.

(B) ઢળતી સપાટી પર પદાર્થ પર લાગતું બળ તેના વજનનો ઢાળની દિશામાંનો ઘટક છે.
આપેલ દળ $m = 5\,kg$ અને ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ છે.
ઢળતી સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F = mg \sin \theta$ છે.
$g = 10\,m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$F = 5 \times 10 \times \sin 30^\circ$
$F = 50 \times 0.5 = 25\,N$.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $25\,N$ માપે છે.

(C) જ્યારે બ્લોકને ઊભી દિશામાં ઉપર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી બળ બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે,જે $F = mg$ છે.
જ્યારે બ્લોકને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલી ઢળતી સપાટી પર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું વજનનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
કોઈપણ ખૂણા $\theta < 90^{\circ}$ માટે $\sin \theta < 1$ હોવાથી,$mg \sin \theta < mg$ થાય છે.
તેથી,ઢળતી સપાટી પર બ્લોકને ખસેડવા માટે વજનનો માત્ર એક ભાગ જ દૂર કરવો પડે છે,જે તેને સરળ બનાવે છે.

(A) ટ્રકનું દળ $m = 30,000 \ kg$ છે.
ઢાળવાળા સમતલનો ઢાળ $\sin \theta = \frac{1}{100}$ છે.
ટ્રકનો વેગ $v = 30 \ km/h = 30 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{25}{3} \ m/s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ઢાળ પર ટ્રકને ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી બળ $F = mg \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 30,000 \times 10 \times \frac{1}{100} = 3,000 \ N$.
પાવર $P = F \times v$ દ્વારા મળે છે.
$P = 3,000 \times \frac{25}{3} = 25,000 \ W$.
કિલોવોટમાં ફેરવતા: $P = 25 \ kW$.

(D) ઢળતી સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,ત્યાં કોઈ રોલિંગ ગતિ થશે નહીં અને પદાર્થો ફક્ત સપાટી પર નીચે સરકશે.
ઘર્ષણરહિત ઢળતી સપાટી પર નીચે સરકતા પદાર્થ માટે,સપાટીની દિશામાં લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F = mg \sin \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $mg \sin \theta = ma$.
તેથી,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ મળે છે.
આ પ્રવેગ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને ઢાળના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે,તે પદાર્થના આકાર કે દળ પર આધાર રાખતું નથી.
આમ,નક્કર ગોળો,પોલો ગોળો અને રીંગ ત્રણેય માટે પ્રવેગ સમાન રહેશે.

(A) પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
પદાર્થને ઢોળાવ પર અચળ વેગથી ઉપર લઈ જવા માટે,ઢોળાવને સમાંતર એક બાહ્ય બળ $F$ લગાડવું પડે,જે $F = Mg \sin \theta$ જેટલું હોય.
આપેલ છે: $M = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 30^\circ$,$d = 10 \ m$.
બળ $F = 10 \times 10 \times \sin(30^\circ) = 100 \times 0.5 = 50 \ N$.
આ બળ વડે થતું કાર્ય $W = F \cdot d \cdot \cos(0^\circ) = 50 \times 10 \times 1 = 500 \ J$.

(B) ઢાળ પર અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરવા માટે જરૂરી પાવર $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ જરૂરી બળ $F = mg \sin \theta$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 10000 \ kg$,લંબાઈ $l = 50 \ m$,ઊંચાઈ $h = 1 \ m$,ઝડપ $v = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$.
ઢાળના ખૂણાનું સાઈન મૂલ્ય $\sin \theta = \frac{h}{l} = \frac{1}{50}$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ લેતા,પાવર:
$P = (mg \sin \theta) \times v$
$P = 10000 \times 10 \times \frac{1}{50} \times 10$
$P = 10000 \times 10 \times 0.02 \times 10 = 20000 \ W$
$P = 20 \ kW$.

(A) ઢાળની ઊંચાઈ $h = 10 \, m$ છે. લીસા ઢાળ પર $\theta$ ખૂણે સરકતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
$AB$ પથની લંબાઈ $L_1 = \frac{h}{\sin \theta_1} = \frac{10}{\sin 30^\circ} = 20 \, m$ છે.
$B$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2L_1}{a_1}} = \frac{1}{\sin \theta_1} \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{2 \times 10}{10}} = 2\sqrt{2} \, s$.
$AC$ પથની લંબાઈ $L_2 = \frac{h}{\sin \theta_2} = \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, m$ છે.
$C$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{1}{\sin \theta_2} \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \, s$.

(D) સપાટી ઘર્ષણ રહિત હોવાથી,ગબડવા માટે જરૂરી ટોર્ક ઉત્પન્ન થશે નહીં.
ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર નીચે તરફ સરકતા કોઈપણ પદાર્થ માટે,ઢાળની દિશામાં લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $F = mg \sin \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $mg \sin \theta = ma$.
આથી,રેખીય પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ મળે છે.
આ પ્રવેગ માત્ર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અને ઢાળના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે,તે પદાર્થના દળ,ત્રિજ્યા કે આકાર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,બધા જ પદાર્થોનો રેખીય પ્રવેગ સમાન હશે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ પ્રવેગ $a$ હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થ દ્વારા કપાયેલ અંતર $S = \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a$ અચળ હોવાથી,$S \propto t^2$,જેનો અર્થ છે કે $t \propto \sqrt{S}$.
ધારો કે કુલ અંતર $S_1 = S$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = 4 \, s$ છે.
આપણે $S_2 = \frac{S}{4}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2$ શોધવો છે.
પ્રમાણસરતા $t \propto \sqrt{S}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{t_2}{4} = \sqrt{\frac{S/4}{S}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$t_2 = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \, s$.

(D) આપેલ તંત્ર માટે,બ્લોક $M_1$ ઢળતી સપાટી પર છે અને $M_2$ શિરોલંબ લટકે છે.
તંત્ર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. બ્લોક $M_1$ માટે: ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું વજનનું ઘટક $M_1 g \sin \theta$ છે.
$2$. બ્લોક $M_2$ માટે: નીચેની તરફ લાગતું વજન $M_2 g$ છે.
તંત્ર પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = M_2 g - M_1 g \sin \theta$ છે (ધારો કે $M_2$ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે).
તંત્રનું કુલ દળ $M_1 + M_2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{F_{net}}{M_{total}} = \frac{M_2 g - M_1 g \sin \theta}{M_1 + M_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{5 \times 10 - 10 \times 10 \times \sin 30^o}{10 + 5}$
$a = \frac{50 - 100 \times 0.5}{15}$
$a = \frac{50 - 50}{15} = 0 \ m/s^2$.
આમ,તંત્રનો પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(B) ઢળતી સપાટી પર રહેલા બ્લોક $M_1$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - M_1 g \sin \theta = M_1 a$ (ધારો કે તે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે).
લટકતા બ્લોક $M_2$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $M_2 g - T = M_2 a$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $M_2 g - M_1 g \sin \theta = (M_1 + M_2) a$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{(M_2 - M_1 \sin \theta) g}{M_1 + M_2} = \frac{(5 - 10 \sin 30^\circ) 10}{10 + 5} = \frac{(5 - 5) 10}{15} = 0 \ m/s^2$.
અહીં પ્રવેગ $0$ હોવાથી,તંત્ર સંતુલનમાં છે.
$M_2$ માટેના સમીકરણમાં $a = 0$ મૂકતા: $T = M_2 g = 5 \times 10 = 50 \ N$.

(C) આપેલ તંત્ર માટે,બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{M_2 - M_1 \sin \theta}{M_1 + M_2} g$
અહીં $M_1 = M_2 = M$ અને $\theta = 30^o$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = \frac{M - M \sin 30^o}{M + M} g$
$a = \frac{M(1 - 0.5)}{2M} g$
$a = \frac{0.5}{2} g$
$a = \frac{1}{4} g$
$g = 10 \ ms^{-2}$ લેતા,આપણને મળે છે:
$a = \frac{10}{4} = 2.5 \ ms^{-2}$

(A) એક એવી સિસ્ટમ માટે જ્યાં દળ $M_1$ ઢળતી સપાટી પર છે અને $M_2$ શિરોલંબ લટકે છે,સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{M_2 g - M_1 g \sin \theta}{M_1 + M_2}$
આપેલ કિંમતો $M_1 = 5 \, kg$,$M_2 = 5 \, kg$,$\theta = 30^\circ$ અને $g = 10 \, m/s^2$ લેતા:
$a = \frac{5 \times 10 - 5 \times 10 \times \sin 30^\circ}{5 + 5} = \frac{50 - 25}{10} = 2.5 \, m/s^2$
હવે,લટકતા દળ $M_2$ માટે,ગતિનું સમીકરણ $M_2 g - T = M_2 a$ છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે.
$T = M_2(g - a) = 5(10 - 2.5) = 5 \times 7.5 = 37.5 \, N$.

(B) ધારો કે $m_1 = 100 \ kg$ એ $\alpha = 37^\circ$ ખૂણાવાળા ઢાળ પરનું દળ છે અને $m_2 = 50 \ kg$ એ $\beta = 53^\circ$ ખૂણાવાળા ઢાળ પરનું દળ છે.
ઢાળની દિશામાં લાગતા બળો $F_1 = m_1 g \sin \alpha$ અને $F_2 = m_2 g \sin \beta$ છે.
$g = 10 \ ms^{-2}$ લેતા,આપણે બળોની ગણતરી કરીએ:
$F_1 = 100 \times 10 \times 0.60 = 600 \ N$.
$F_2 = 50 \times 10 \times 0.80 = 400 \ N$.
અહીં $F_1 > F_2$ હોવાથી,તંત્ર $100 \ kg$ ના બ્લોક તરફ પ્રવેગિત થાય છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = 600 - 400 = 200 \ N$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 100 + 50 = 150 \ kg$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{200}{150} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \ ms^{-2}$ મળે છે.

(D) ઢળતી સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,પદાર્થો પર ગબડવા માટે જરૂરી ટોર્ક લાગતું નથી.
તેથી,બધા પદાર્થો માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ સપાટી પર નીચેની તરફ સરકશે.
ઘર્ષણરહિત ઢળતી સપાટી પર સરકતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રવેગ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને ઢાળના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે,તે પદાર્થના આકાર કે દળ પર આધાર રાખતો નથી.
આમ,ત્રણેય પદાર્થો માટે પ્રવેગ સમાન રહેશે.

(A) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $P$ છે. દોરી બ્લોક સાથે જોડાયેલી ગરગડી પરથી પસાર થતી હોવાથી,બ્લોકને ઢાળ પર ઉપર ખેંચતું બળ એ ઢાળની દિશામાં તણાવના ઘટકોનો સરવાળો છે.
ઢાળની દિશામાં બ્લોક પર દોરી દ્વારા લાગતું બળ $F = P + P \cos \theta = P(1 + \cos \theta)$ છે.
ઢાળની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $Mg \sin \theta$ છે.
બ્લોક ઉપરની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે તે માટે,તેને ઉપર ખેંચતું બળ નીચે ખેંચતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક જેટલું હોવું જોઈએ:
$P(1 + \cos \theta) = Mg \sin \theta$
$P = \frac{Mg \sin \theta}{1 + \cos \theta}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{Mg \cdot 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)}$
$P = Mg \tan(\theta/2)$

(C) જ્યારે બ્લોકનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે તેની ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
આ બિંદુએ,ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin(90^\circ - \theta) = mg \cos \theta$ છે.
સમતલની ઉપરની તરફ લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $kx$ છે.
શૂન્ય પ્રવેગ માટે આ બળોને સરખાવતા: $kx = mg \cos \theta$.
તેથી,સ્પ્રિંગમાં થતું સંકોચન $x = \frac{mg \cos \theta}{k}$ છે.

(A) ધારો કે બ્લોક $A$ નું દળ $m$ છે અને વેજ $B$ નું દળ $M$ છે. ધારો કે વેજ $B$ નો જમણી તરફનો પ્રવેગ $a_0$ છે.
બ્લોક $A$ માટે,ઢળતી સપાટીને લંબ દિશામાં લાગતા બળો $mg \cos \theta$ (નીચેની તરફ) અને $N$ (લંબબળ ઉપરની તરફ) છે. ઢળતી સપાટીને લંબ દિશામાં $A$ ના પ્રવેગનો ઘટક $a_0 \sin \theta$ (નીચેની તરફ) છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ ઢળતી સપાટીને લંબ દિશામાં: $mg \cos \theta - N = m(a_0 \sin \theta)$.
તેથી,$N = mg \cos \theta - ma_0 \sin \theta$. અહીં $a_0 > 0$ હોવાથી,$N < mg \cos \theta$ મળે છે.
ઢળતી સપાટી પર $A$ ના પ્રવેગ માટે,ધારો કે $a$ એ જમીનની સાપેક્ષે $A$ નો પ્રવેગ છે. ઢળતી સપાટીની દિશામાં $a_0$ નો ઘટક $a_0 \cos \theta$ છે. વેજની સાપેક્ષે $A$ નો પ્રવેગ $a' = g \sin \theta + a_0 \cos \theta$ છે.
$A$ નો નિરપેક્ષ પ્રવેગ એ વેજનો પ્રવેગ અને વેજની સાપેક્ષે $A$ ના પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે. મૂલ્યની ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે કે $A$ નો પ્રવેગ $g \sin \theta$ કરતા વધારે છે.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) $1$. $m$ દળનો બ્લોક $M$ દળના વેજ પર તેની ઢળતી સપાટીને લંબરૂપે $N$ જેટલું લંબબળ લગાડે છે.
$2$. વેજનો ખૂણો સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ છે. લંબબળ $N$ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,અથવા સમક્ષિતિજ સાથે $(90^\circ - \theta)$ ખૂણો બનાવે છે.
$3$. વેજ $M$ પર લાગતા લંબબળ $N$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $N_x = N \sin \theta$ છે.
$4$. આ સમક્ષિતિજ બળ ડાબી બાજુ ($-x$-દિશામાં) લાગે છે કારણ કે બ્લોક વેજને ડાબી તરફ ધકેલે છે.
$5$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેજ $M$ નો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_M$ એ $F_{net, x} = M a_M$ દ્વારા મળે છે.
$6$. તેથી,$N \sin \theta = M a_M$,જે આપણને $a_M = \frac{N \sin \theta}{M}$ આપે છે,જે $-x$-અક્ષની દિશામાં છે.

(D) ધારો કે $N_{AB}$ એ ગોળા $A$ અને બ્લોક $B$ વચ્ચેનું લંબબળ છે,$N_w$ એ ઉભી દીવાલ દ્વારા ગોળા $A$ પર લાગતું લંબબળ છે,અને $N_p$ એ ઢળતી સપાટી દ્વારા ગોળા $A$ પર લાગતું લંબબળ છે.
બ્લોક $B$ $(M_B = 4 \ kg)$ માટે: તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $M_B g$ નીચેની તરફ,ગોળા $A$ દ્વારા સંપર્ક સપાટીને લંબ રૂપે લાગતું બળ $N_{AB}$ અને ઢળતી સપાટીનું લંબબળ $N_p'$ છે. ઢળતી સપાટીને લંબ દિશામાં બળો લેતા: $N_{AB} = M_B g \cos(37^\circ) = 4 \times 10 \times 0.8 = 32 \ N$.
ગોળા $A$ $(M_A = 2 \ kg)$ માટે: તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $M_A g = 20 \ N$ નીચેની તરફ,દીવાલ દ્વારા સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું બળ $N_w$,બ્લોક $B$ દ્વારા $37^\circ$ ના ખૂણે લાગતું બળ $N_{AB} = 32 \ N$,અને ઢળતી સપાટી દ્વારા $53^\circ$ ના ખૂણે લાગતું બળ $N_p$ છે.
ગોળા $A$ માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $N_w = N_{AB} \cos(37^\circ) + N_p \sin(37^\circ)$.
શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $N_p \cos(37^\circ) = M_A g + N_{AB} \sin(37^\circ) = 20 + 32 \times 0.6 = 39.2 \ N$.
તેથી,$N_p = 39.2 / 0.8 = 49 \ N$.
આ કિંમત સમક્ષિતિજ સમીકરણમાં મૂકતા: $N_w = 32 \times 0.8 + 49 \times 0.6 = 25.6 + 29.4 = 55 \ N$. જોકે,વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $45 \ N$ છે.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
ઢળતી સપાટી પર રહેલા $5m$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ:
$5mg \sin 30^{\circ} - T = 5ma$
$5mg(0.5) - T = 5ma$
$2.5mg - T = 5ma$ --- $(1)$
સમક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલા $m$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ:
$T = ma$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2.5mg = 6ma$
$a = \frac{2.5g}{6} = \frac{25g}{60} = \frac{5g}{12}$

(A) લંબબળ $N$ શોધવા માટે,આપણે ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લઈએ છીએ.
પદાર્થ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. પદાર્થનું વજન $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં તેનો ઘટક $mg \cos 45^{\circ}$ છે.
$2$. સમક્ષિતિજ બળ $F = 10\, N$. ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં તેનો ઘટક $F \sin 45^{\circ}$ છે.
પદાર્થ સમતલને લંબ દિશામાં સંતુલનમાં હોવાથી,લંબબળ $N$ આ ઘટકોને સંતુલિત કરે છે:
$N = mg \cos 45^{\circ} + F \sin 45^{\circ}$
અહીં $m = 1\, kg$,$g = 10\, m/s^2$,$F = 10\, N$,અને $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે:
$N = (1)(10) \cos 45^{\circ} + 10 \sin 45^{\circ}$
$N = 10 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 10 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$N = \frac{10}{\sqrt{2}} + \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10 \sqrt{2}\, N$.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. કારણ કે $m$ દળનો બ્લોક $M$ દળના બ્લોકની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે,તેથી બંને સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરે છે.
$(M + m)$ દળના સમગ્ર તંત્ર માટે,બળ $P$ લાગુ પડે છે:
$P = (M + m)a$ --- $(1)$
હવે,$m$ દળના બ્લોકની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતા બળો તેના વજન $mg$ (નીચેની તરફ),લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ (ઢાળને લંબ),અને સ્યુડો ફોર્સ $ma$ ( $M$ ના ફ્રેમમાં ડાબી બાજુ સમક્ષિતિજ રીતે) છે.
$m$ એ $M$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,ઢાળની દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
$m \cos \beta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$a = g \tan \beta$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$P = (M + m)g \tan \beta$

(B) શરૂઆતમાં,તંત્ર સ્થિર છે. દોરીમાં તણાવ $T_1$ એ $3\, kg$ ના બ્લોકના વજન જેટલું છે:
$T_1 = m_2 g = 3 \times 10 = 30\, N$.
જ્યારે $2\, kg$ ના બ્લોકને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્ર પ્રવેગિત થાય છે. ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. $3\, kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $3g - T_2 = 3a$ છે,અને $2\, kg$ ના બ્લોક માટે $T_2 - 2g \sin 30^{\circ} = 2a$ છે.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $3g - 2g \sin 30^{\circ} = (3 + 2)a$.
$a = \frac{3(10) - 2(10)(0.5)}{5} = \frac{30 - 10}{5} = \frac{20}{5} = 4\, m/s^2$.
હવે,$3\, kg$ ના બ્લોકના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને નવું તણાવ $T_2$ શોધો:
$T_2 = 3g - 3a = 3(10 - 4) = 3(6) = 18\, N$.
તણાવમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 18 - 30 = -12\, N$.
તેથી,તણાવમાં $12\, N$ નો ઘટાડો થાય છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં,$AC$ એ વ્યાસ છે,તેથી $AC = 2R$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,તાર $AB$ ની લંબાઈ $AB = AC \cos\theta = 2R \cos\theta$ દ્વારા મળે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ $g$ ને કારણે તાર $AB$ પર મણકાનો પ્રવેગ $a = g \cos\theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત),આપણને મળે છે:
$AB = 0 + \frac{1}{2} (g \cos\theta) t^2$.
$AB = 2R \cos\theta$ મૂકતા:
$2R \cos\theta = \frac{1}{2} g \cos\theta t^2$.
બંને બાજુથી $\cos\theta$ દૂર કરતા:
$2R = \frac{1}{2} g t^2$.
$t^2 = \frac{4R}{g}$.
$t = 2\sqrt{\frac{R}{g}}$.

(B) $m_2$ દળનો બ્લોક નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી ગતિનું સમીકરણ: $m_2 g - T = m_2 a$ $(1)$
$m_1$ દળનો બ્લોક ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી ગતિનું સમીકરણ: $T - m_1 g \sin 30^\circ = m_1 a$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $m_2 g - m_1 g \sin 30^\circ = (m_1 + m_2) a$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(3 \times 10) - (2 \times 10 \times 0.5) = (2 + 3) a$
$30 - 10 = 5a$
$20 = 5a$
$a = 4\,m/s^2$.

(C) કોઈપણ બિંદુએ વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $y = \frac{x^2}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\sqrt{3}}$.
મુક્ત કરવાના બિંદુએ,$y = \frac{1}{4\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{x^2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{4\sqrt{3}}$,જે $x^2 = \frac{1}{4}$ આપે છે,અથવા $x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ ને ઢાળના સમીકરણમાં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{2(1/2)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = 30^\circ$.
લીસા ઢળતા સમતલ પર બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
આમ,$a = 10 \times \sin(30^\circ) = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s^2$.

(A) ધારો કે તંત્ર $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે જેથી $M_1$ એ $\alpha$ ઢાળ પર નીચે તરફ અને $M_2$ એ $\beta$ ઢાળ પર ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
દળ $M_1$ માટે: $M_1 g \sin \alpha - T = M_1 a$ (સમીકરણ $1$)
દળ $M_2$ માટે: $T - M_2 g \sin \beta = M_2 a$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(M_1 g \sin \alpha - T) + (T - M_2 g \sin \beta) = (M_1 + M_2) a$
$g(M_1 \sin \alpha - M_2 \sin \beta) = (M_1 + M_2) a$
$a = \frac{g(M_1 \sin \alpha - M_2 \sin \beta)}{M_1 + M_2}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$T = M_2 a + M_2 g \sin \beta = M_2 \left[ \frac{g(M_1 \sin \alpha - M_2 \sin \beta)}{M_1 + M_2} + g \sin \beta \right]$
$T = M_2 g \left[ \frac{M_1 \sin \alpha - M_2 \sin \beta + M_1 \sin \beta + M_2 \sin \beta}{M_1 + M_2} \right]$
$T = \frac{M_1 M_2 g(\sin \alpha + \sin \beta)}{M_1 + M_2}$

(A) ટ્રકનું દળ $m = 10,000\, kg$ છે.
ટ્રકની ઝડપ $v = 36\, km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10\, m/s$ છે.
ઢાળ $1$ માં $50$ આપેલો છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{50}$.
ટ્રકને અચળ ઝડપે ઢાળ પર ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી બળ એ ઢાળની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક જેટલું હોય છે: $F = mg \sin \theta$.
એન્જિન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = F \times v$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = (mg \sin \theta) \times v$.
$P = 10,000 \times 10 \times \frac{1}{50} \times 10$.
$P = 10,000 \times 10 \times 0.02 \times 10 = 20,000\, W$.
$1\, kW = 1,000\, W$ હોવાથી,$P = 20\, kW$ મળે છે.

(B) $1$. વેજ (wedge) પર મૂકેલા $m = 2.5 \text{ kg}$ દળના બ્લોકની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો.
$2$. વેજ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ એ ઢળતી સપાટીને લંબ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરે છે: $N = mg \cos 37^{\circ}$.
$3$. આપેલ છે કે $m = 2.5 \text{ kg}$, $g = 10 \text{ m/s}^2$, અને $\cos 37^{\circ} = 0.8$, તેથી $N = 2.5 \times 10 \times 0.8 = 20 \text{ N}$.
$4$. હવે, વેજને ધ્યાનમાં લો. બ્લોક વેજ પર ઢાળને લંબ દિશામાં લંબબળ $N$ લગાડે છે. આ બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $N \sin 37^{\circ}$ (અથવા $N \cos 53^{\circ}$) છે.
$5$. વેજ સંતુલનમાં હોવાથી, સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ એ આ સમક્ષિતિજ ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F_s = N \sin 37^{\circ}$.
$6$. કિંમતો મૂકતા: $F_s = 20 \times 0.6 = 12 \text{ N}$.
$7$. આમ, સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $12 \text{ N}$ છે.

(A) બ્લોક $A$ અને $B$ માટે ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ લાગતું બળ:
$F_{A} = M g \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} M g \approx 0.866 M g$
$F_{B} = M g \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} M g = 0.5 M g$
બ્લોક્સ એક દોરી વડે ગરગડી પર જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ મોટા બળની દિશામાં ગતિ કરશે.
$F_{A} > F_{B}$ હોવાથી,પરિણામી બળને કારણે બ્લોક $A$ ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ ગતિ કરશે અને બ્લોક $B$ ઉપર તરફ ગતિ કરશે.

(A) ધારો કે ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = \sin^{-1}(1/l)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 1/l$ થાય.
ઢળતા સમતલની સાપેક્ષમાં વસ્તુને સ્થિર રાખવા માટે,સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું આભાસી બળ $ma$ એ ઢળતા સમતલ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ અને ઉપરની તરફ લાગતો આભાસી બળનો ઘટક $ma \cos \theta$ છે.
વસ્તુ સ્થિર રહે તે માટે,આ બળો સમાન હોવા જોઈએ: $mg \sin \theta = ma \cos \theta$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $a = g \tan \theta$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta = 1/l$,તેથી $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} = \frac{1/l}{\sqrt{1 - 1/l^2}} = \frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}$ થાય.
આ કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $a = \frac{g}{\sqrt{l^2 - 1}}$ મળે છે.

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે,જેથી $M_2$ એ $\beta$ ખૂણાવાળા સમતલ પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે અને $M_1$ એ $\alpha$ ખૂણાવાળા સમતલ પર ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
દળ $M_2$ માટે,ગતિનું સમીકરણ: $M_2 g \sin \beta - T = M_2 a$ --- $(1)$
દળ $M_1$ માટે,ગતિનું સમીકરણ: $T - M_1 g \sin \alpha = M_1 a$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(M_2 g \sin \beta - T) + (T - M_1 g \sin \alpha) = M_2 a + M_1 a$
$M_2 g \sin \beta - M_1 g \sin \alpha = (M_1 + M_2) a$
$a = \frac{(M_2 \sin \beta - M_1 \sin \alpha)g}{M_1 + M_2}$

(C) ધારો કે $m_1 = 8\,kg$ એ ઢળતી સપાટી પરનું દળ છે અને $m_2 = 4\,kg$ એ લટકતું દળ છે.
$m_2$ પર લાગતા બળો નીચેની તરફ $m_2g$ અને ઉપરની તરફ તણાવબળ $T$ છે. ગતિનું સમીકરણ: $m_2g - T = m_2a$ ... $(i)$
$m_1$ પર ઢળતી સપાટીની દિશામાં લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવબળ $T$ અને નીચેની તરફ વજનનો ઘટક $m_1g \sin 30^{\circ}$ છે. ગતિનું સમીકરણ: $T - m_1g \sin 30^{\circ} = m_1a$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(m_2g - T) + (T - m_1g \sin 30^{\circ}) = (m_1 + m_2)a$
$a = \frac{m_2 - m_1 \sin 30^{\circ}}{m_1 + m_2} g$
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{4 - 8 \times \sin 30^{\circ}}{8 + 4} g = \frac{4 - 8 \times 0.5}{12} g = \frac{4 - 4}{12} g = 0\,m/s^2$.

(A) વેજ પર $\theta_1 = 37^\circ$ અને $\theta_2 = 53^\circ$ ખૂણે રહેલા $M$ દળના બે પદાર્થોના તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ એ કુલ બળ ભાગ્યા કુલ દળ દ્વારા મળે છે.
ચોખ્ખું બળ $F_{net} = Mg \sin 53^\circ - Mg \sin 37^\circ$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M + M = 2M$ છે.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = (2M)a$.
તેથી,$a = \frac{Mg \sin 53^\circ - Mg \sin 37^\circ}{2M} = \frac{g}{2} (\sin 53^\circ - \sin 37^\circ)$.
અહીં $\sin 53^\circ \approx 0.8$ અને $\sin 37^\circ \approx 0.6$ છે,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા:
$a = \frac{10}{2} (0.8 - 0.6) = 5 \times 0.2 = 1 \ m/s^2$.

(D) $h$ ઊંચાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળા લીસા ઢળતા સમતલ પર સરકતા બ્લોક માટે:
પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
સમતલ પર કાપેલું અંતર $s = h / \sin \theta$ છે.
$s = \frac{1}{2} a t_s^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$h / \sin \theta = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_s^2$ મળે.
આમ,$t_s = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અંતિમ ઝડપ $v_s = \sqrt{2as} = \sqrt{2(g \sin \theta)(h / \sin \theta)} = \sqrt{2gh}$ છે.
મુક્ત પતન કરતા બ્લોક માટે:
પ્રવેગ $a = g$ છે.
અંતર $h$ છે.
$h = \frac{1}{2} g t_f^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$t_f = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે.
અંતિમ ઝડપ $v_f = \sqrt{2gh}$ છે.
સમયની સરખામણી કરતા: $t_f / t_s = \sin \theta$. કારણ કે $\sin \theta < 1$,તેથી $t_f < t_s$,એટલે કે મુક્ત પતન કરતો બ્લોક પહેલા જમીન પર પહોંચશે.
ઝડપની સરખામણી કરતા: $v_f = v_s = \sqrt{2gh}$.
તેથી,બંને સમાન ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચે છે,પરંતુ મુક્ત પતન કરતો બ્લોક પહેલા પહોંચે છે.

(C) પદાર્થ $l$ લંબાઈ અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા અને $\theta$ ખૂણે નમેલા લીસા ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકે છે.
ઢાળ પર પદાર્થનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના બીજા સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S = l$ અને $u = 0$ છે:
$l = 0 + \frac{1}{2}(g \sin \theta)t^2$
$t^2 = \frac{2l}{g \sin \theta}$
ઢળતા સમતલની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{h}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $l = \frac{h}{\sin \theta}$.
$t^2$ ના સમીકરણમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$t^2 = \frac{2(h / \sin \theta)}{g \sin \theta} = \frac{2h}{g \sin^2 \theta}$
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.

(N/A) ના,તીવ્ર ઢાળ પર નીચે ગતિ કરતો પથ્થર પહેલા તળિયે પહોંચશે. હા,પથ્થરો સમાન ઝડપ $v_{B} = v_{C} = 14 \; m/s$ સાથે તળિયે પહોંચશે. લીધેલો સમય $t_{1} = 2.86 \; s$ અને $t_{2} = 1.65 \; s$ છે.
$1$. ઝડપ:
ટ્રેક ઘર્ષણરહિત હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. બંને પથ્થરો સમાન ઊંચાઈ $h$ થી શૂન્ય પ્રારંભિક વેગ સાથે શરૂ થાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14 \; m/s$.
બંને પથ્થરો સમાન ઊભી ઊંચાઈ $h$ કાપતા હોવાથી,તેઓ સમાન ઝડપ $v = 14 \; m/s$ સાથે તળિયે પહોંચે છે.
$2$. સમય:
ઢળતા સમતલ પર પથ્થરનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
ટ્રેક $AB$ પર પથ્થર $I$ માટે: $a_{1} = g \sin 30^{\circ} = 9.8 \times 0.5 = 4.9 \; m/s^2$.
ટ્રેક $AB$ ની લંબાઈ $L_{1} = h / \sin 30^{\circ} = 10 / 0.5 = 20 \; m$ છે.
$s = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$t_{1} = \sqrt{2L_{1}/a_{1}} = \sqrt{2 \times 20 / 4.9} \approx 2.86 \; s$.
ટ્રેક $AC$ પર પથ્થર $II$ માટે: $a_{2} = g \sin 60^{\circ} = 9.8 \times 0.866 = 8.49 \; m/s^2$.
ટ્રેક $AC$ ની લંબાઈ $L_{2} = h / \sin 60^{\circ} = 10 / 0.866 \approx 11.55 \; m$ છે.
$t_{2} = \sqrt{2L_{2}/a_{2}} = \sqrt{2 \times 11.55 / 8.49} \approx 1.65 \; s$.
$a_{2} > a_{1}$ હોવાથી,તીવ્ર ટ્રેક પરનો પથ્થર પહેલા તળિયે પહોંચે છે.

(N/A) ઢળતા સમતલ પર પદાર્થની ગતિનો અભ્યાસ કરવા માટે ગેલિલિયોએ બે પ્રયોગો કર્યા હતા.
પ્રથમ પ્રયોગ:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,તેણે બે સમતલોને સમાન ઢાળ પર ગોઠવ્યા અને એક ગોળાકાર પદાર્થને ઢાળ પર ગતિ કરવા દીધી. તેના અવલોકનો નીચે મુજબ હતા:
$(1)$ ઢાળ પર નીચે તરફ ગતિ કરતા ગોળાની ગતિ પ્રવેગિત હોય છે,તેથી તેનો વેગ વધે છે.
$(2)$ ઢાળ પર ઉપર તરફ ગતિ કરતા ગોળાની ગતિ પ્રતિપ્રવેગી હોય છે,તેથી તેનો વેગ ઘટે છે.
$(3)$ સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરતા ગોળા માટે,તે મધ્યવર્તી સ્થિતિ છે. આના પરથી ગેલિલિયોએ તારણ કાઢ્યું કે ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરતા પદાર્થમાં કોઈ પ્રવેગ કે પ્રતિપ્રવેગ હોતો નથી. તેણે તારણ કાઢ્યું કે પદાર્થ અચળ વેગથી પોતાની ગતિ ચાલુ રાખશે.
બીજો પ્રયોગ:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,અમુક ઢાળ ધરાવતા બે સમતલો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થને સ્થિર સ્થિતિમાંથી ઢાળ પર ગતિ કરવા દેવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો વેગ વધે છે અને સામેના ઢાળ પર તેનો વેગ ઘટે છે.
જો બંને સમતલો લીસા હોય,તો બીજા સમતલ પર પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ તે ઊંચાઈ જેટલી હશે જ્યાંથી તેને છોડવામાં આવ્યો હતો. (તે ઓછી હોઈ શકે છે,પરંતુ તે ઊંચાઈ કરતા ક્યારેય વધારે હોઈ શકતી નથી જ્યાંથી તેને છોડવામાં આવ્યો હતો.)
આદર્શ સ્થિતિમાં,જ્યારે ઘર્ષણ ન હોય,ત્યારે દડા દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ પ્રારંભિક ઊંચાઈ જેટલી જ હશે.

(B) જ્યારે $m$ દળના પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા ઢાળ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થનું વજનબળ $mg$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
આ વજનબળને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. ઢાળને લંબ ઘટક $mg \cos \theta$.
$2$. ઢાળને સમાંતર ઘટક $mg \sin \theta$.
લંબબળ $N$ એ ઢાળની સપાટીને લંબ રૂપે ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
પદાર્થ ઢાળને લંબ દિશામાં સંતુલિત હોવાથી,લંબબળ એ વજનબળના લંબ ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$N = mg \cos \theta$.

(B) પર્વતીય રસ્તાઓને વાંકાચૂકા બનાવવામાં આવે છે જેથી રસ્તાની લંબાઈ વધારી શકાય.
ઢળતા સમતલના સિદ્ધાંત મુજબ,વાહનને ઢાળ પર ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી બળ $F = mg sin( heta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ઢાળનો ખૂણો છે.
રસ્તાને વાંકાચૂકા બનાવીને,સીધા અને તીવ્ર ચઢાણની તુલનામાં ઢાળનો ખૂણો $\theta$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડવામાં આવે છે.
$\theta$ માં આ ઘટાડો ચઢાણ ચઢવા માટે જરૂરી બળ ઘટાડે છે,જેનાથી વાહનનું એન્જિન એન્જિન ગરમ થયા વિના અથવા બંધ પડ્યા વિના સરળતાથી ભાર ખેંચી શકે છે.

(C) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દરેક બ્લોક પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ઢાળવાળા સમતલ પરના બ્લોક $A$ માટે,ઢાળની નીચેની તરફ લાગતો વજનનો ઘટક $W_A \sin \theta$ છે,જ્યાં $W_A = 100 \, N$ અને $\theta = 30^{\circ}$ છે.
દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ આ ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$T = W_A \sin 30^{\circ} \quad \dots (i)$
ઊભી રીતે લટકતા બ્લોક $B$ માટે,તણાવ $T$ તેના વજન $w$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$T = w \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$w = W_A \sin 30^{\circ}$
$w = 100 \times \sin 30^{\circ}$
$w = 100 \times \frac{1}{2}$
$w = 50 \, N$
આમ,સંતુલન માટે જરૂરી વજન $w = 50 \, N$ છે.

(B) ઢળતી સપાટી પર પદાર્થ પર લાગતું બળ એ તેના વજનનો સપાટીને સમાંતર ઘટક છે.
અહીં દળ $m = 5 \ kg$ અને ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પર લાગતું બળ $F$ એ સપાટીની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક જેટલું હોય છે:
$F = mg \sin \theta$
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા:
$F = 5 \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$F = 50 \times \frac{1}{2} = 25 \ N$
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $25 \ N$ માપશે.

(C) કારના ફ્રેમમાં,બોબ ઢાળની નીચેની તરફ આભાસી બળ $ma$ અનુભવે છે. અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકો $mg \sin 30^{\circ}$ (ઢાળની નીચે) અને $mg \cos 30^{\circ}$ (ઢાળને લંબ) છે.
ધારો કે $\alpha$ એ દોરીએ ઢળેલા સમતલના લંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. કારની ફ્રેમમાં બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. આભાસી બળ $ma$ (ઢાળની નીચે).
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ (ઢાળની નીચે).
$3$. ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos 30^{\circ}$ (ઢાળને લંબ).
લંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ આ રીતે મળે છે: $\tan \alpha = \frac{ma + mg \sin 30^{\circ}}{mg \cos 30^{\circ}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \alpha = \frac{10m + 10m \sin 30^{\circ}}{10m \cos 30^{\circ}} = \frac{10 + 5}{5\sqrt{3}} = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha = 60^{\circ}$.
દોરી શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = \alpha - 30^{\circ} = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.

(A) બ્લોકનું દળ $m = 200\, g = 0.2\, kg$ છે. બ્લોકનું વજન $W = mg = 0.2 \times 10 = 2\, N$ છે ($g = 10\, m/s^2$ લેતા).
બ્લોક લીસા ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રહે તે માટે,સમતલની સમાંતર લાગતા બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતો વજનનો ઘટક $mg \sin 60^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ બળ $F$ નો ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગતો ઘટક $F \cos 60^{\circ}$ છે.
સંતુલન માટે આ બળોને સરખાવતા: $F \cos 60^{\circ} = mg \sin 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $F \times \frac{1}{2} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$F = 2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$.
આપેલ છે કે $F = \sqrt{x}$,તેથી $\sqrt{x} = \sqrt{12}$,એટલે કે $x = 12$.