Circular Motion Turning on Road without Friction Questions in Gujarati

(A) જ્યારે રેલ્વે ટ્રેકને બેંકિંગ આપવામાં આવે છે (બહારની પાટા ઊંચી કરવામાં આવે છે),ત્યારે પાટા દ્વારા પૈડાં પર લાગતું લંબબળ શિરોલંબ સાથે અમુક ખૂણે નમેલું હોય છે.
આ લંબબળને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: એક શિરોલંબ ઘટક જે ટ્રેનના વજનને સંતુલિત કરે છે,અને બીજો ક્ષિતિજ સમાંતર ઘટક જે વળાંકના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
આ ક્ષિતિજ સમાંતર અંદરની તરફનો ઘટક ટ્રેનને વળાંકવાળા માર્ગ પર ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વાહન ઘર્ષણ પર આધાર રાખ્યા વિના $R$ ત્રિજ્યાવાળા વળાંકવાળા રસ્તા પર સુરક્ષિત રીતે પસાર થઈ શકે તે માટે,રસ્તાને $\theta$ ખૂણે ઢાળ આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર ગતિના ડાયનેમિક્સ મુજબ,સુરક્ષિત બેંકિંગ માટેની શરત $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ છે.
ઢાળવાળા રસ્તાની ભૂમિતિ પરથી,જ્યાં $h$ એ બહારની ધારની ઊંચાઈ છે અને $b$ એ રસ્તાની પહોળાઈ છે,આપણી પાસે $\tan \theta = \frac{h}{b}$ છે (ધારી લઈએ કે $\theta$ નાનો છે).
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h}{b} = \frac{v^2}{Rg}$
તેથી,ઊંચાઈ $h$ નું મૂલ્ય $h = \frac{v^2 b}{Rg}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 50 \ m$,પહોળાઈ $l = 10 \ m$,ઊંચાઈ $h = 1.5 \ m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
ઘર્ષણરહિત ઢાળવાળા રોડ પર સુરક્ષિત વળાંક માટેની શરત $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ છે.
ઢાળવાળા રોડની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{h}{l}$ (નાના ખૂણાના અંદાજ મુજબ).
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે: $\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{l}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{\frac{hrg}{l}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{1.5 \times 50 \times 10}{10}} = \sqrt{75} \approx 8.66 \ m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $v = 8.6 \ m/s$ મળે છે.

(C) રોડના ઢાળ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ છે.
અહીં ઢાળનો ખૂણો $\theta$ અચળ હોવાથી,$r \propto v^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ અને અંતિમ ઝડપ $v_2 = v + 0.1v = 1.1v$ છે.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 20 \ m$ છે.
પ્રમાણસરતા $r_2 / r_1 = (v_2 / v_1)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r_2 / 20 = (1.1v / v)^2 = (1.1)^2 = 1.21$.
તેથી,$r_2 = 1.21 \times 20 = 24.2 \ m$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 1000\, kg$,ત્રિજ્યા $R = 90\, m$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m\,s^{-2}$.
ઘર્ષણરહિત ઢળતા રસ્તા પર કાર માટે સુરક્ષિત વળાંક લેવાની શરતનું સૂત્ર: $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ છે.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v = \sqrt{Rg \tan \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{90 \times 10 \times \tan 45^\circ}$.
કારણ કે $\tan 45^\circ = 1$,તેથી: $v = \sqrt{900 \times 1} = 30\, m\,s^{-1}$.

(A) વળાંકવાળા માર્ગો પર વાહનો સુરક્ષિત રીતે વળી શકે તે માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ (centripetal force) પૂરું પાડવા માટે રસ્તાઓને ઢળતા (banking) રાખવામાં આવે છે.
જ્યારે રસ્તો $\theta$ ખૂણે ઢળતો રાખવામાં આવે છે,ત્યારે લંબબળ $N$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $N \sin \theta$ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
આ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ પૂરું પાડે છે,જે વાહનને જડત્વને કારણે લપસતા અથવા બહારની તરફ ફેંકાતા અટકાવે છે.

(C) ઢળતા રસ્તા પર કારને ઘર્ષણનો અનુભવ ન થાય તે માટેની શરત નીચે મુજબ છે: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
આપેલ છે: $\theta = 30^o$,$r = 10\sqrt{3} \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 30^o = \frac{v^2}{(10\sqrt{3})(10)}$.
કારણ કે $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{v^2}{100\sqrt{3}}$.
$v^2$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 100$.
આમ,$v = 10 \ m/s$.
વેગને $km/hr$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણતા: $v = 10 \times \frac{18}{5} = 36 \ km/hr$.

(A) જ્યારે કોઈ વાહન બેંકિંગ કરેલા રસ્તા પર સુરક્ષિત ઝડપે (જ્યાં ઘર્ષણની જરૂર નથી) ગતિ કરે છે,ત્યારે વાહન પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને લંબબળ $(N)$ જે બેંકિંગ કરેલી સપાટીને લંબ લાગે છે.
લંબબળનો શિરોલંબ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે: $N \cos \theta = mg$.
લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N \sin \theta = m a_c$,જ્યાં $a_c$ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{m a_c}{mg}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\tan \theta = \frac{a_c}{g}$.
તેથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = g \tan \theta$ થાય.
અહીં બેંકિંગનો ખૂણો $\theta = 45^o$ આપેલ છે,તેથી $a_c = g \tan(45^o) = g(1) = g$.

(A) ધારો કે ટ્રેનનું દળ $m$,વળાંકની ત્રિજ્યા $R = 1000 \ m$ અને બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ છે.
ટ્રેનના ફ્રેમમાં,ઢળતી સપાટી પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$,કેન્દ્રત્યાગી બળ $\frac{mv^2}{R} \cos \theta$ અને રેલ દ્વારા લાગતું પાર્શ્વ બળ $F$ છે.
ઝડપ $v_1 = 10 \ ms^{-1}$ માટે,અંદરની રેલ પરનું પાર્શ્વ બળ $F_1$ નીચે મુજબ છે:
$F_1 + \frac{mv_1^2}{R} \cos \theta = mg \sin \theta \implies F_1 = mg \sin \theta - \frac{mv_1^2}{R} \cos \theta$
ઝડપ $v_2 = 20 \ ms^{-1}$ માટે,બહારની રેલ પરનું પાર્શ્વ બળ $F_2$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{mv_2^2}{R} \cos \theta = mg \sin \theta + F_2 \implies F_2 = \frac{mv_2^2}{R} \cos \theta - mg \sin \theta$
આપેલ છે કે $F_1 = F_2$,તેથી:
$mg \sin \theta - \frac{mv_1^2}{R} \cos \theta = \frac{mv_2^2}{R} \cos \theta - mg \sin \theta$
$2mg \sin \theta = \frac{m}{R} (v_1^2 + v_2^2) \cos \theta$
$2g \tan \theta = \frac{v_1^2 + v_2^2}{R} = \frac{10^2 + 20^2}{1000} = \frac{100 + 400}{1000} = \frac{500}{1000} = 0.5$
આમ,$\tan \theta = \frac{0.5}{2g} = \frac{1}{4g}$.
તેથી,$4g \tan \theta = 4g \times \frac{1}{4g} = 1$.

(B) ઘર્ષણરહિત ઢળતા રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર માટે,સુરક્ષિત વળાંક લેવાની શરત નીચે મુજબ છે: $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$.
અહીં,ઢળતા રસ્તાનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$,વળાંકની ત્રિજ્યા $R = 90\,m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan 45^\circ = \frac{v^2}{90 \times 10}$.
કારણ કે $\tan 45^\circ = 1$,તેથી:
$1 = \frac{v^2}{900}$.
$v^2 = 900$.
$v = \sqrt{900} = 30\,m/s$.
આમ,કારની મહત્તમ ઝડપ $30\,m/s$ છે.

(D) બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{h}{w}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 1.5\, m$ એ ઊંચાઈનો તફાવત છે અને $w = 10\, m$ એ રસ્તાની પહોળાઈ છે.
$\tan \theta = \frac{1.5}{10} = 0.15$.
બેંકિંગવાળા રસ્તા માટે,શ્રેષ્ઠ વેગ $v$ એ $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = 50\, m$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે અને $g = 9.8\, m/s^2$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{50 \times 9.8 \times 0.15}$.
$v = \sqrt{490 \times 0.15} = \sqrt{73.5} \approx 8.57\, m/s$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી યોગ્ય વેગ $8.5\, m/s$ છે.

(D) ઘર્ષણરહિત ઢળતા રસ્તા પર કાર માટે સુરક્ષિત વળાંક લેવાની શરત નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 90 \, m$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m \, s^{-2}$ લેતા.
વેગ $v$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $v = \sqrt{rg \tan \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{90 \times 10 \times \tan 45^\circ}$.
કારણ કે $\tan 45^\circ = 1$ છે,તેથી $v = \sqrt{900 \times 1} = 30 \, m \, s^{-1}$ મળે છે.

(C) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે જ્યારે વાહન બેંકિંગવાળા રસ્તા પર શ્રેષ્ઠ ઝડપ $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ થી ગતિ કરે છે,ત્યારે લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(N \sin \theta)$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $(mv^2/r)$ પૂરું પાડવા માટે પૂરતો હોય છે.
આ ચોક્કસ કિસ્સામાં,વર્તુળાકાર માર્ગ જાળવી રાખવા માટે ઘર્ષણ બળની જરૂર પડતી નથી.
$Reason$ ખોટું છે કારણ કે બેંકિંગવાળા રસ્તા પર,વાહન લપસ્યા વિના આપમેળે અંદરની તરફ રહેતું નથી; પરંતુ બેંકિંગનો ખૂણો ખાસ કરીને એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે કે જેથી ચોક્કસ ઝડપે લપસવાનું ટાળી શકાય.

(N/A) ઢળતી વર્તુળાકાર સડક પર વાહનનો વેગ નીચે મુજબના સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \left[ rg \left( \frac{\mu_s + \tan \theta}{1 - \mu_s \tan \theta} \right) \right]^{1/2}$
લીસી સપાટી માટે,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0$ છે.
સૂત્રમાં $\mu_s = 0$ મૂકતા:
$v_{\max} = \left[ rg \left( \frac{0 + \tan \theta}{1 - 0 \cdot \tan \theta} \right) \right]^{1/2}$
$v_{\max} = \left[ rg \tan \theta \right]^{1/2}$
તેથી,લીસી ઢળતી ટ્રેક પર મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{\max} = \sqrt{rg \tan \theta}$
આ ઝડપે,લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે અને કોઈ ઘર્ષણ બળની જરૂર પડતી નથી.

(N/A) ઢળતા વર્તુળાકાર રસ્તા પર વાહનનો વેગ નીચે મુજબના સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \left[ r g \left( \frac{\mu_{s} + \tan \theta}{1 - \mu_{s} \tan \theta} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$
ઇષ્ટતમ ઝડપ માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે રસ્તાની સપાટી લીસી છે,એટલે કે સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_{s} = 0$ છે.
સમીકરણમાં $\mu_{s} = 0$ મૂકતા:
$v_{0} = \left[ r g \left( \frac{0 + \tan \theta}{1 - 0 \cdot \tan \theta} \right) \right]^{\frac{1}{2}}$
$v_{0} = \sqrt{r g \tan \theta}$
આ ઝડપે,લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,અને કોઈ પણ ઘર્ષણ બળની જરૂર પડતી નથી. ઢળતા રસ્તા પર આ ઝડપે વાહન ચલાવવાથી ટાયરનો ઘસારો ન્યૂનતમ થાય છે. આ ચોક્કસ વેગ $v_{0}$ ને ઇષ્ટતમ ઝડપ કહેવામાં આવે છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યાના સમતલ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા વાહન માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ $f_s$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$f_s = \frac{mv^2}{r}$
સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ છે,જ્યાં $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે અને $m$ એ વાહનનું દળ છે.
સુરક્ષિત વળાંક માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu_s mg$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{v^2}{r} \leq \mu_s g$
$v^2 \leq \mu_s rg$
$v \leq \sqrt{\mu_s rg}$
અસમતાની બંને બાજુએથી દળ $m$ દૂર થઈ જતું હોવાથી,મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ એ વાહનના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) ઇષ્ટતમ ઝડપ એ એવી ઝડપ છે કે જેના પર વાહન ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેના ઘર્ષણ પર આધાર રાખ્યા વિના બેંકિંગવાળા વળાંક પર સુરક્ષિત રીતે ફરી શકે છે. આ ઝડપે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સંપૂર્ણપણે લંબબળના સમક્ષિતિજ ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
બેંકિંગ કોણ $(\theta)$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $(r)$ ધરાવતા બેંકિંગવાળા રસ્તા પર ઇષ્ટતમ ઝડપ $(v_0)$ માટેનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$v_0 = \sqrt{rg \tan \theta}$
જ્યાં:
$r$ = વળાંકની ત્રિજ્યા
$g$ = ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ
$\theta$ = બેંકિંગનો કોણ

(N/A) જ્યારે વાહન વળાંકવાળા રસ્તા પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. વર્તુળાકાર ગતિમાં,વાહન પર કેન્દ્રત્યાગી બળ (centrifugal force) લાગે છે,જે તેને બહારની તરફ ધકેલવાનો પ્રયત્ન કરે છે. વાહનને લપસી જતું અથવા પલટી જતું અટકાવવા માટે,તેને વળાંકવાળા માર્ગ પર રાખવા માટે કેન્દ્રગામી બળ (centripetal force) ની જરૂર પડે છે. રસ્તાને ઢાળવાળો (બહારની ધારને અંદરની ધાર કરતા ઊંચી) બનાવીને,લંબબળનો એક ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,જેનાથી ઘર્ષણ પરની નિર્ભરતા ઘટે છે.

(A) ઘર્ષણરહિત ઢળતા માર્ગ પર ગતિ કરતા વાહન માટે,વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ લંબબળના સમક્ષિતિજ ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ધારો કે $N$ એ લંબબળ છે અને $m$ એ વાહનનું દળ છે.
લંબબળનો શિરોલંબ ઘટક વજનબળને સંતુલિત કરે છે: $N \cos \theta = mg$.
લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$.
આથી $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ સલામત ઝડપ $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ છે.

(C) સમતલ રસ્તા પર $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર વાહનને ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા મળે છે.
રસ્તો લીસો (ઘર્ષણરહિત) હોવાથી, ઘર્ષણાંક $\mu = 0$ છે.
સમતલ વર્તુળાકાર રસ્તા પર મહત્તમ સલામત ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\mu rg}$ છે.
$\mu = 0$ મૂકતા, આપણને $v = \sqrt{0 \cdot rg} = 0$ મળે છે.
તેથી, સંપૂર્ણપણે લીસા સમતલ રસ્તા પર કોઈપણ વાહન શૂન્ય સિવાયની ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગ જાળવી રાખવું અશક્ય છે.

(B) ઢળતા રસ્તા પર,રસ્તા દ્વારા વાહન પર લાગતું લંબબળ $N$ એ રસ્તાની સપાટીને લંબ રૂપે લાગે છે.
આ લંબબળને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. શિરોલંબ ઘટક $N \cos \theta$,જે વાહનના વજન $(mg)$ ને સંતુલિત કરે છે.
$2$. સમક્ષિતિજ ઘટક $N \sin \theta$,જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
તેથી,લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક વાહનને ઘર્ષણ પર આધાર રાખ્યા વિના સુરક્ષિત રીતે વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.

(B) લીસા બેંકિંગવાળા રસ્તા માટે,બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$.
આપેલ છે: $v = 10\ m/s$,$R = 150\ m$,અને $g = 10\ m/s^2$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{10^2}{150 \times 10} = \frac{100}{1500} = \frac{1}{15}$.
બેંકિંગવાળા રસ્તાની ભૂમિતિ પરથી,જો $H$ એ બહારની ધારની ઊંચાઈ હોય અને $w$ એ રસ્તાની પહોળાઈ હોય,તો $\tan \theta = \frac{H}{w}$ થાય.
અહીં $w = 7.5\ m$ આપેલ છે,તેથી $\frac{H}{7.5} = \frac{1}{15}$ મળે.
$H$ માટે ઉકેલતા: $H = \frac{7.5}{15} = 0.5\ m$.

(A) બેંકિંગવાળા ટ્રેક માટે,બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રેકની ભૂમિતિ પરથી,જ્યાં $h$ એ ઊંચાઈ છે અને $d$ એ બે રેલ વચ્ચેનું અંતર છે,આપણી પાસે $\tan \theta = \frac{h}{d}$ છે.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{d}$
વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$r = \frac{v^2 d}{gh}$

(D) બેંકિંગ વાળા રસ્તા માટે, શ્રેષ્ઠ વેગ $v$ નું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{v^2}{Rg}$ છે.
અહીં, $\alpha$ એ બેંકિંગ ખૂણો છે, $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે, અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
રસ્તાની ભૂમિતિ પરથી, $\tan \alpha = \frac{h}{w}$, જ્યાં $h$ એ બહારની અને અંદરની ધાર વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત છે અને $w$ એ રસ્તાની પહોળાઈ છે.
$\tan \alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{v^2}{Rg} = \frac{h}{w}$.
$v$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $v = \sqrt{\frac{Rgh}{w}}$.
આપેલ છે: $R = 50 \text{ m}$, $h = 1.5 \text{ m}$, $w = 10 \text{ m}$, અને $g = 9.8 \text{ m/s}^2$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{50 \times 9.8 \times 1.5}{10}} = \sqrt{5 \times 9.8 \times 1.5} = \sqrt{73.5} \approx 8.57 \text{ m/s}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સૌથી યોગ્ય વેગ $8.5 \text{ m/s}$ છે.

(A) બેન્ક કરેલા ટ્રેક માટે,બેન્કિંગનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રેકની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{h}{\ell}$ થાય છે.
બેન્કિંગનો ખૂણો $\theta$ નાનો હોવાથી,આપણે $\tan \theta \approx \sin \theta$ લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{\ell}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = rg \left(\frac{h}{\ell}\right)$ મળે છે.
આમ,સુરક્ષિત ઝડપની મર્યાદા $v = \sqrt{rg \left(\frac{h}{\ell}\right)}$ છે.

(A) શંકુ આકારના લોલકમાં,લોલકનો ગોળો સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીમાં તણાવ $T$,જે દોરીની દિશામાં નિલંબન બિંદુ તરફ લાગે છે.
$2$. ગોળાનું વજન $mg$,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
તણાવ $T$ ને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
- શિરોલંબ ઘટક $T \cos \theta$ એ ગોળાના વજનને સંતુલિત કરે છે $(T \cos \theta = mg)$.
- સમક્ષિતિજ ઘટક $T \sin \theta$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે $(T \sin \theta = \frac{mv^2}{r})$.
ભ્રમણ કરતા સંદર્ભ ફ્રેમમાં (બિન-જડત્વીય ફ્રેમ),કેન્દ્રત્યાગી બળ બહારની તરફ લાગે છે,જે તણાવના સમક્ષિતિજ ઘટક દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,કેન્દ્રત્યાગી બળને સંતુલિત કરતો તણાવનો ઘટક $T \sin \theta$ છે.

(B) વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = 50 \ m$ છે.
લોરીનો વેગ $V = 20 \ ms^{-1}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$ છે.
રસ્તાના બેંકિંગ ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{(20)^2}{50 \times 10} = \frac{400}{500} = \frac{4}{5}$.
તેથી,બેંકિંગ ખૂણો $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{5} \right)$ થશે.

(D) આપેલ છે:
ટ્રકનું દળ, $M = 2000 \,kg$
વક્રતા ત્રિજ્યા, $R = 10 \,m$
બેંકિંગ ખૂણો, $\theta = 39^{\circ}$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,ms^{-2}$
$\tan 39^{\circ}$ નું મૂલ્ય $= 0.81$
બેંકિંગ કરેલા રસ્તા પર (ઘર્ષણ વગર) મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર:
$v = \sqrt{Rg \tan \theta}$
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{10 \times 10 \times 0.81}$
$v = \sqrt{100 \times 0.81}$
$v = \sqrt{81}$
$v = 9 \,ms^{-1}$
આમ, ટ્રકની મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપ $9 \,ms^{-1}$ છે।

(C) આપેલ છે, વક્રતા ત્રિજ્યા, $r = 250 \,m$.
ટ્રેનનો મહત્તમ વેગ, $v = 90 \,km/h$.
વેગને $m/s$ માં ફેરવતા: $v = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \,m/s$.
ધારો કે $\theta$ એ બેંકિંગ કોણ છે.
બેંકિંગ કોણ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{(25)^2}{250 \times 10} = \frac{625}{2500} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$.

(B) આપેલ છે,$v_1 = 14 \ m/s$ અને $v_2 = 28 \ m/s$.
બેંકિંગવાળા રસ્તા માટે,બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$,વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
ત્રિજ્યા માટે સૂત્ર બનાવતા,$r = \frac{v^2}{g \tan \theta}$.
રેમ્પ સમાન હોવાથી,બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે.
તેથી,$r \propto v^2$.
આમ,$\frac{r_2}{r_1} = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 = \left( \frac{28}{14} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આ સૂચવે છે કે $r_2 = 4r_1$.
તેથી,ત્રિજ્યામાં $4$ ના ગુણાંકનો વધારો કરવો જોઈએ.