Circular motion with Friction Questions in Gujarati

(B) સાયકલ સવાર માટે વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $r$ એ વળાંકની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બળ $F$ એ વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto v^2$.
જો ઝડપ $v$ બમણી કરવામાં આવે $(v' = 2v)$,તો નવું બળ $F'$ એ $F' \propto (2v)^2 = 4v^2$ થશે.
તેથી,$F' = 4F$.
આનો અર્થ એ છે કે પલટી જવાની વૃત્તિ મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણી થઈ જશે.

(B) જ્યારે કાર ક્ષિતિજ સમાંતર રસ્તા પર વળાંક લે છે,ત્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
જો કારની ઝડપ ખૂબ વધારે હોય અથવા ઘર્ષણ અપૂરતું હોય,તો જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $(F_c = \frac{mv^2}{r})$ જાળવી શકાતું નથી.
પરિણામે,કાર વર્તુળાકાર માર્ગ પર રહી શકતી નથી અને પૂરતા કેન્દ્રગામી બળના અભાવને કારણે રસ્તાની બહાર ફેંકાઈ જાય છે.

(A) જ્યારે કાર વળાંક લે છે,ત્યારે તેના ગુરુત્વકેન્દ્ર પર બહારની તરફ કેન્દ્રત્યાગી બળ લાગે છે.
આ બળ એક ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે જે કારને બહારના પૈડાંની આસપાસ ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
જેમ જેમ કારની ઝડપ વધે છે,તેમ અંદરના પૈડાં પરનું લંબબળ (normal reaction) ઘટતું જાય છે.
જ્યારે કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે ઉદ્ભવતું ટોર્ક કારના વજન દ્વારા મળતા સ્થિરતાના ટોર્ક કરતા વધી જાય છે,ત્યારે અંદરના પૈડાં પરનું લંબબળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,અંદરના પૈડાં સૌથી પહેલા જમીન સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે.

(B) મોટરસાયકલ સવારનો વેગ $v = 72\, km/h = 72 \times \frac{5}{18}\, m/s = 20\, m/s$ છે.
આપેલ વક્રતા ત્રિજ્યા $r = 20\, m$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ છે.
સપાટ રસ્તા પર વળાંક લેતી વખતે લપસી જવાથી બચવા માટે,શિરોલંબ સાથેનો બેંકિંગ ખૂણો $\theta$ સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{20^2}{20 \times 10} = \frac{400}{200} = 2$.
તેથી,ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(2)$ છે.

(B) જ્યારે કાર વર્તુળાકાર માર્ગ પર વળાંક લે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. આ એક ટોર્ક બનાવે છે જે કારને બહારની તરફ નમાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
સંતુલન જાળવવા માટે,બહારના પૈડા પરની લંબ પ્રતિક્રિયા વધે છે જ્યારે અંદરના પૈડા પરની લંબ પ્રતિક્રિયા ઘટે છે.
અંદરના પૈડા પરની પ્રતિક્રિયા $R_1 = \frac{1}{2}M \left[ g - \frac{v^2 h}{ra} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહારના પૈડા પરની પ્રતિક્રિયા $R_2 = \frac{1}{2}M \left[ g + \frac{v^2 h}{ra} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે,$2a$ એ બે પૈડાં વચ્ચેનું અંતર છે,$h$ એ કારના ગુરુત્વકેન્દ્રની ઊંચાઈ છે,$M$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,તે સ્પષ્ટ છે કે $R_1 < R_2$.

(A) ઘર્ષણ સાથેના ઢાળવાળા રસ્તા પર મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v = \sqrt{gr \left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$
આપેલ કિંમતો:
ત્રિજ્યા $r = 1000 \, m$
ઢાળકોણ $\theta = 45^\circ$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v^2 = 9.8 \times 1000 \times \left( \frac{0.5 + \tan 45^\circ}{1 - 0.5 \times \tan 45^\circ} \right)$
કારણ કે $\tan 45^\circ = 1$:
$v^2 = 9800 \times \left( \frac{0.5 + 1}{1 - 0.5 \times 1} \right)$
$v^2 = 9800 \times \left( \frac{1.5}{0.5} \right)$
$v^2 = 9800 \times 3 = 29400$
$v = \sqrt{29400} \approx 171.46 \, m/s \approx 172 \, m/s$.

(D) વર્તુળાકાર ટ્રેક પર ગતિ કરતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
લપસતા અટકાવવા માટે,મહત્તમ કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
$F_c \leq f_{s, \max}$
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$
$v^2 \leq \mu rg$
$v_{\max} = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ છે: $\mu = 0.2$,$r = 100 \, m$,અને $g = 9.8 \, m/s^2$.
$v_{\max} = \sqrt{0.2 \times 100 \times 9.8}$
$v_{\max} = \sqrt{20 \times 9.8}$
$v_{\max} = \sqrt{196}$
$v_{\max} = 14 \, m/s$.

(D) જ્યારે $M$ દળ ધરાવતી કાર $r$ ત્રિજ્યાવાળા બહિર્ગોળ પુલ પર $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે કાર પર લાગતા બળો તેનું વજન $Mg$ (નીચેની તરફ) અને પુલ દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ (ઉપરની તરફ) છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ એ વજન અને લંબ પ્રતિક્રિયાના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$Mg - N = \frac{Mv^2}{r}$
તેથી,કાર દ્વારા પુલ પર લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ નીચે મુજબ છે:
$N = Mg - \frac{Mv^2}{r}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) મહત્તમ ઘર્ષણ બળ કારને વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 100 \, kg$
વેગ $v = 9 \, m/s$
ત્રિજ્યા $r = 30 \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$F_c = \frac{100 \times (9)^2}{30}$
$F_c = \frac{100 \times 81}{30}$
$F_c = \frac{8100}{30} = 270 \, N$.
તેથી,મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $270 \, N$ છે.

(A) વળાંકવાળા રસ્તા પર કારની મહત્તમ ઝડપ શોધવા માટે,આપણે ઘર્ષણ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી સપાટ રસ્તા પરની સુરક્ષિત વર્તુળાકાર ગતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r)$ = $30\, m$
ઘર્ષણાંક $(\mu)$ = $0.4$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $9.8\, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{max} = \sqrt{0.4 \times 30 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{12 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{117.6}$
$v_{max} \approx 10.84\, m/s$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સપાટ રસ્તા પર વર્તુળાકાર વળાંક લેતા સાયકલ સવાર માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સાયકલના ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સુરક્ષિત વળાંક માટેની શરત સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v^2 \leq \mu rg$,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે,$\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ન્યૂનતમ ઘર્ષણાંક શોધવા માટે,આપણે વાપરીએ છીએ: $\mu = \frac{v^2}{rg}$.
આપેલ છે: $v = 4.9 \, m/s$,$r = 4 \, m$,અને $g = 9.8 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{(4.9)^2}{4 \times 9.8} = \frac{24.01}{39.2} = 0.6125$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\mu = 0.61$ મળે છે.

(B) સમતલ વર્તુળાકાર વળાંક પર લપસી ન જવા માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$v^2 = \mu rg$
$v = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 150 \, m$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.6$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{0.6 \times 150 \times 10}$
$v = \sqrt{900}$
$v = 30 \, m/s$
તેથી,મહત્તમ વેગ $30 \, m/s$ છે.

(D) સપાટ વર્તુળાકાર વળાંક પર ગતિ કરતી કાર માટે,વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
લપસતા અટકાવવા માટે,કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$
$v^2 \leq \mu rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ છે:
$\mu = 0.25$
$r = 40 \,m$
$g = 10 \,ms^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{max} = \sqrt{0.25 \times 40 \times 10}$
$v_{max} = \sqrt{10 \times 10}$
$v_{max} = 10 \,ms^{-1}$

(B) વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$v^2 = \mu rg$
$v = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ છે: $\mu = 0.5$,$r = 40 \, m$,અને $g = 9.8 \, m/s^2$ લેતા.
$v = \sqrt{0.5 \times 40 \times 9.8}$
$v = \sqrt{20 \times 9.8}$
$v = \sqrt{196}$
$v = 14 \, m/s$.

(A) ધારો કે મણકો $t$ સમય પછી સરકવાનું શરૂ કરે છે.
મણકો સરકે તે માટે,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
ભ્રમણ કરતી ફ્રેમમાં મણકા પર લાગતા બળો કેન્દ્રત્યાગી બળ $F_c = m\omega^2 L$ (ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ) અને સ્પર્શકીય બળ $F_t = m a_t = m \alpha L$ (સળિયાને લંબ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને અવગણતા,લંબબળ $N$ એ સળિયા દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા પ્રવેગ પર આધારિત છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,તર્ક એ છે કે $m\omega^2 L = \mu m \alpha L$,જે સૂચવે છે કે $\omega^2 = \mu \alpha$.
કારણ કે $\omega = \alpha t$,આપણને $(\alpha t)^2 = \mu \alpha$ મળે છે,તેથી $t^2 = \mu / \alpha$,અથવા $t = \sqrt{\mu / \alpha}$.

(D) વર્તુળાકાર અઢળક રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ધારો કે કારનું દળ $m$ છે,તેની ઝડપ $v$ છે અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે.
ઉપલબ્ધ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ છે,જ્યાં $N = mg$ એ લંબબળ છે.
લપસતા અટકાવવા માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{mv^2}{R} \leq \mu mg$
$v^2 \leq \mu Rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu Rg}$.

(A) સપાટ વર્તુળાકાર રસ્તા પર વળાંક લેતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$\frac{v^2}{r} = \mu g$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$r = \frac{v^2}{\mu g}$
આપેલ કિંમતો: $v = 10\,m/s$,$\mu = 0.5$,અને $g = 10\,m/s^2$ લેતા.
$r = \frac{10^2}{0.5 \times 10} = \frac{100}{5} = 20\,m$.
આમ,ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા $20\,m$ છે.

(C) બેંકિંગ વગરના વર્તુળાકાર રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર માટે,વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કાર લપસે નહીં તે માટે,મહત્તમ કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોવું જોઈએ:
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$
$v^2 \leq \mu gr$
$v_{max} = \sqrt{\mu gr}$
આપેલ છે: $\mu = 0.5$,$r = 40.0\, m$,અને $g = 9.8\, m/s^2$ લેતા:
$v_{max} = \sqrt{0.5 \times 9.8 \times 40.0}$
$v_{max} = \sqrt{196}$
$v_{max} = 14\, m/s$.

(B) સમતલ વર્તુળાકાર માર્ગ પર લપસ્યા વિના કારની મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ શોધવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ છે:
વળાંકની ત્રિજ્યા,$r = 30\,m$
ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.4$
ગુરુત્વ પ્રવેગ,$g = 9.8\,m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v_{max} = \sqrt{0.4 \times 30 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{12 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{117.6}$
$v_{max} \approx 10.84\,m/s$
તેથી,મહત્તમ ઝડપ $10.84\,m/s$ છે.

(A) વળાંકવાળા ટ્રેક પર લપસી જવાથી બચવા માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સપાટ વળાંકવાળા ટ્રેક પર મોટરસાઇકલ માટે,લપસ્યા વિના સુરક્ષિત રીતે વળવાની શરત $v \le \sqrt{\mu rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 500\,m$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{0.5 \times 500 \times 10}$
$v = \sqrt{2500}$
$v = 50\,m/s$
તેથી,લપસી જવાથી બચવા માટેની મહત્તમ ઝડપ $50\,m/s$ છે.

(C) સિક્કો રેકૉર્ડની સાથે સરક્યા વગર ભ્રમણ કરે તે માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત-ઘર્ષણબળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવવું જોઈએ.
સિક્કો રેકૉર્ડની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટેની શરત છે:
$f_s \ge F_c$
જ્યાં $f_s$ એ સ્થિત-ઘર્ષણબળ છે અને $F_c$ એ કેન્દ્રગામી બળ છે.
મહત્તમ સ્થિત-ઘર્ષણબળ $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = mr\omega^2$ છે.
તેથી,શરત નીચે મુજબ છે:
$\mu mg \ge mr\omega^2$
બંને બાજુને $m\omega^2$ વડે ભાગતા:
$r \le \frac{\mu g}{\omega^2}$

(D) વર્તુળાકાર માર્ગ પર વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\mu rg}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે,$r$ એ વળાંકની ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $v \propto \sqrt{\mu}$.
આપેલ પ્રારંભિક શરતો: $v_1 = 10\;m/s$ અને $\mu_1 = \mu$.
નવી શરતો: $\mu_2 = \frac{\mu}{2}$.
પ્રમાણસરતા $v_2 = v_1 \sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_2 = 10 \times \sqrt{\frac{\mu/2}{\mu}} = 10 \times \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $v_2 = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\;m/s$.

(D) સમતલ વર્તુળાકાર રોડ પર કારની મહત્તમ સલામત ઝડપ $v_{\max}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{\max} = \sqrt{\mu \, r \, g}$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 40 \, m$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.25$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m \, s^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{\max} = \sqrt{0.25 \times 40 \times 10}$
$v_{\max} = \sqrt{100}$
$v_{\max} = 10 \, m \, s^{-1}$
આમ,મહત્તમ સલામત ઝડપ $10 \, m \, s^{-1}$ છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 4 \; m$,મહત્તમ ઝડપ $v = 4.9 \; m/s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \; m/s^2$.
સમતલ વર્તુળાકાર રોડ પર ગતિ કરતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
તેથી,$F_c = F_f \implies \frac{mv^2}{r} = \mu mg$.
ઘર્ષણાંક $\mu$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\mu = \frac{v^2}{rg}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{4.9 \times 4.9}{4 \times 9.8}$.
કારણ કે $4.9 / 9.8 = 0.5$,તેથી $\mu = \frac{4.9 \times 0.5}{4} = \frac{2.45}{4} = 0.6125$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘર્ષણાંક $0.61$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: ઝડપ $v = 60 \; km/hr = 60 \times \frac{5}{18} \; m/s = \frac{50}{3} \; m/s$.
ત્રિજ્યા $r = 0.1 \; km = 100 \; m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \; m/s^2$.
બાઇક સ્લીપ થયા વગર વળાંક લે તે માટે શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{(50/3)^2}{100 \times 9.8}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left[ \frac{(50/3)^2}{100 \times 9.8} \right]$.

(C) આપેલ છે: દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $h = 2 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$,ટાયર વચ્ચેનું અંતર $2a = 1.5 \, m$ (તેથી $a = 0.75 \, m$),અને વળાંકની ત્રિજ્યા $r = 120 \, m$.
વળાંક લેતી વખતે પલટી ન જાય તે માટેની શરતનું સૂત્ર $v_{\max} = \sqrt{\frac{g \cdot r \cdot a}{h}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = \sqrt{\frac{10 \times 120 \times 0.75}{2}}$.
$v_{\max} = \sqrt{\frac{900}{2}} = \sqrt{450} \approx 21.2 \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $21 \, m/s$ છે.

(A) સમક્ષિતિજ વળાંકવાળા રસ્તા પર કારની મહત્તમ સલામત ઝડપ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \sqrt{\mu rg}$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 500\,m$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{0.5 \times 500 \times 10}$
$v = \sqrt{2500}$
$v = 50\,m/s$.

(A) રસ્તા પર ઉર્ધ્વ સંતુલન માટે:
$N \cos\theta = mg + f \sin\theta$
$mg = N \cos\theta - f \sin\theta$ ... $(i)$
સુરક્ષિત વળાંક માટે,કેન્દ્રગામી બળ લંબબળ અને ઘર્ષણબળના સમક્ષિતિજ ઘટકો દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$N \sin\theta + f \cos\theta = \frac{mv^2}{R}$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v^2}{Rg} = \frac{N \sin\theta + f \cos\theta}{N \cos\theta - f \sin\theta}$
મહત્તમ વેગ પર,ઘર્ષણબળ $f$ તેની સીમાવર્તી કિંમત $f = \mu_s N$ સુધી પહોંચે છે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{v_{\max}^2}{Rg} = \frac{N \sin\theta + \mu_s N \cos\theta}{N \cos\theta - \mu_s N \sin\theta}$
અંશ અને છેદને $N \cos\theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{v_{\max}^2}{Rg} = \frac{\tan\theta + \mu_s}{1 - \mu_s \tan\theta}$
તેથી,મહત્તમ સુરક્ષિત વેગ:
$v_{\max} = \sqrt{gR \left( \frac{\mu_s + \tan\theta}{1 - \mu_s \tan\theta} \right)}$

(B) મહત્તમ ઝડપ $v_{m}$ કે જેના પર સાયકલ સવાર લપસશે નહીં તે સૂત્ર $v_{m} = \sqrt{\mu r g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\mu = 0.2$,$r = 3 \; m$,અને $g = 10 \; m \cdot s^{-2}$.
$v_{m} = \sqrt{0.2 \times 3 \times 10} = \sqrt{6} \approx 2.45 \; m \cdot s^{-1}$.
આ ઝડપને $km \cdot h^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{18}{5}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$v_{m} = 2.45 \times 3.6 = 8.82 \; km \cdot h^{-1}$.
જો સાયકલ સવારની ઝડપ $8.82 \; km \cdot h^{-1}$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોય તો તે લપસશે નહીં.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$7.2 \; km \cdot h^{-1}$ એ એકમાત્ર ઝડપ છે જે $8.82 \; km \cdot h^{-1}$ કરતા ઓછી છે.

(C) સિક્કો લપસ્યા વિના રેકોર્ડ સાથે ફરે તે માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = mr\omega^2$ છે.
ઉપલબ્ધ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ છે.
સિક્કો તેની જગ્યાએ રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$f_{s,max} \ge F_c$
$\mu mg \ge mr\omega^2$
બંને બાજુને $m\omega^2$ વડે ભાગતા (જ્યાં $m$ એ સિક્કાનું દળ છે),આપણને મળે છે:
$r \le \frac{\mu g}{\omega^2}$

(D) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ રસ્તા અને ટાયર વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કાર લપસે નહીં તે માટેની શરત $f \leq \mu_s N$ છે.
માર્ગ સમતલ હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે.
મહત્તમ ઘર્ષણ બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા: $\mu_s mg = \frac{mv_{max}^2}{R}$.
$v_{max}$ માટે ઉકેલતા:
$v_{max}^2 = \mu_s Rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu_s Rg}$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ટ્રેક પર $\mu$ ઘર્ષણાંક સાથે સાયકલ સવાર માટે મહત્તમ વેગ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \sqrt{\mu r g}$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 100 \ m$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{0.2 \times 100 \times 10}$
$v = \sqrt{20 \times 10}$
$v = \sqrt{200}$
$v = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \ m/s$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત મુજબ,સાચો વેગ $14 \ m/s$ છે.

(C) સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતી કાર માટે,ઝડપ માટેની મર્યાદા લપસી જવું (skidding) અથવા પલટી જવું (overturning) છે.
$1$. લપસી જવાની શરત: કેન્દ્રગામી બળ ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,તેથી $mv^2/r \leq \mu mg$,જે $v \leq \sqrt{\mu gr}$ આપે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{0.8 \times 9.8 \times 15} = \sqrt{117.6} \approx 10.84 \ m/s$.
$2$. પલટી જવાની શરત: જો બહારના પૈડાં પર કેન્દ્રગામી બળને કારણે લાગતું ટોર્ક ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા ટોર્ક કરતા વધી જાય,તો કાર પલટી જશે. શરત $v \leq \sqrt{gr(w/2h)}$ છે,જ્યાં $w = 1.1 \ m$ અને $h = 0.62 \ m$ છે.
$v \leq \sqrt{9.8 \times 15 \times (1.1 / (2 \times 0.62))} = \sqrt{147 \times 0.887} \approx \sqrt{130.4} \approx 11.42 \ m/s$.
કારણ કે ઝડપે બંને શરતોનું પાલન કરવું આવશ્યક છે,તેથી મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ બંનેમાંથી નાની કિંમત એટલે કે $10.84 \ m/s$ છે.

(A) લપસતા અટકાવવા માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
લપસવા માટેની શરત છે: $F_c \leq f_s$
જ્યાં $F_c = m R \omega^2$ એ કેન્દ્રગામી બળ છે અને $f_s \leq \mu N$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ છે.
ડિસ્ક સમક્ષિતિજ હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય.
તેથી,$m R \omega^2 \leq \mu mg$.
બંને બાજુથી દળ $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $R \omega^2 \leq \mu g$ મળે છે.
$R$ માટે ઉકેલતા,$R \leq \frac{\mu g}{\omega^2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\mu = 0.5$,$\omega = 5 \ rad/s$,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા:
$R \leq \frac{0.5 \times 10}{5^2} = \frac{5}{25} = 0.2 \ m$.
આમ,માણસે કેન્દ્રથી $R \leq 0.2 \ m$ અંતરે ઊભા રહેવું જોઈએ.

(D) ઘર્ષણ સાથેના બેંકિંગવાળા વર્તુળાકાર ટ્રેક પર ગતિ કરતી કાર માટે,મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{max} = \sqrt{gR \left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$
અહીં બેંકિંગ ખૂણો $\theta = 30^o$ આપેલ છે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{max} = \sqrt{gR \left( \frac{\mu + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \mu \frac{1}{\sqrt{3}}} \right)}$
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$v_{max} = \sqrt{gR \left( \frac{\mu \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \mu} \right)}$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતો નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બિંદુ $P(a \cos \theta, a \sin \theta)$ પર કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = a \cos \theta \hat{i} + a \sin \theta \hat{j}$ છે.
તેનો એકમ ત્રિજ્યાવર્તી સદિશ $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ છે.
કણ વર્તુળાકાર ગતિ કરતો હોવાથી,વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે. ગતિની દિશા ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ હોવાથી,વેગ સદિશ $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ ની દિશામાં હોય છે.
ઘર્ષણ બળ કણની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. તેથી,ઘર્ષણની દિશા $-\hat{\theta} = \sin \theta \hat{i} - \cos \theta \hat{j}$ થશે.

(B) ધારો કે કણનું દળ $m$,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$,કોણીય ઝડપ $\omega$ અને અર્ધ-કોણ $\theta = 45^\circ$ છે. ઊંચાઈ $h = 1 \ m$ છે. $\tan \theta = r/h$ હોવાથી,$r = h \tan 45^\circ = 1 \ m$ મળે.
મહત્તમ કોણીય ઝડપ માટે,ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ કણને ઉપરની તરફ સરકતા અટકાવવા માટે ઢાળ પર નીચેની તરફ લાગે છે.
કણ પર લાગતા બળો: સપાટીને લંબ લંબબળ $N$,નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને ઢાળ પર નીચેની તરફ ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$.
ક્ષૈતિજ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $N \sin \theta + f \cos \theta = m \omega^2 r$.
શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $N \cos \theta - f \sin \theta = mg$.
$f = \mu N$ મૂકતા: $N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = m \omega^2 r$ અને $N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = mg$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{\omega^2 r}{g}$.
અહીં $\theta = 45^\circ$,$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = 1/\sqrt{2}$,અને $\mu = 0.5$:
$\frac{1/\sqrt{2} + 0.5/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - 0.5/\sqrt{2}} = \frac{\omega^2 (1)}{10} \implies \frac{1.5}{0.5} = \frac{\omega^2}{10} \implies 3 = \frac{\omega^2}{10}$.
તેથી,$\omega^2 = 30$,એટલે કે $\omega = \sqrt{30} \ \text{rad/s}$.

(D) દળ $M$ ને ફરતા નળાકારની અંદરની દીવાલ પર લટકતું રાખવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f_s \geqslant Mg$
ઘર્ષણ બળ $f_s = \mu N$ હોવાથી,જ્યાં $N$ એ નળાકારની દીવાલ દ્વારા આપવામાં આવતું લંબબળ છે,આપણી પાસે છે:
$\mu N \geqslant Mg$
લંબબળ $N$ એ દળ $M$ ને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$N = M R \omega^2$
આ કિંમતને અસમતામાં મૂકતા:
$\mu (M R \omega^2) \geqslant Mg$
$\mu \geqslant \frac{g}{R \omega^2}$
તેથી,સ્થિત ઘર્ષણાંકનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય:
$\mu_{\min} = \frac{g}{R \omega^2}$

(D) જ્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા વધી જાય ત્યારે પદાર્થ ડિસ્ક પરથી સરકી જાય છે.
$\frac{mv^2}{R} = \mu mg$
$v = \sqrt{\mu Rg}$
એકવાર પદાર્થ ડિસ્ક છોડી દે,પછી તે પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે જેમાં તેનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $v$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ શૂન્ય છે.
$h$ ઊંચાઈ નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $d = v \times t$ છે.
$d = \sqrt{\mu Rg} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2\mu Rh}$.

(A) જ્યારે કોઈ કણ અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર ઓવરબ્રિજ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,સ્પર્શકની દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,ઘર્ષણ બળ ગુરુત્વાકર્ષણના સ્પર્શકીય ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$f = mg \sin \theta$
જેમ જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0$ થી $\pi/2$ સુધી વધે છે,તેમ $\sin \theta$ નું મૂલ્ય $0$ થી $1$ સુધી વધે છે.
આમ,ઘર્ષણ બળ $f$ નું મૂલ્ય $\theta$ સાથે સાઈન વક્ર મુજબ વધે છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,જે આલેખ $\theta = 0$ પર શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને વધે છે તે $f = mg \sin \theta$ ને દર્શાવે છે.

(D) જ્યારે સાયકલ સવાર વળાંકવાળા રસ્તા પર વળે છે,ત્યારે સંતુલન જાળવવા માટે તેણે કેન્દ્રત્યાગી બળની વિરુદ્ધ અંદરની તરફ નમવું પડે છે.
ધારો કે સાયકલ સવારનું દળ $m$ છે,વેગ $v$ છે અને વળાંકની ત્રિજ્યા $R$ છે.
લંબબળ $N$ નો શિરોલંબ ઘટક સાયકલ સવારના વજનને સંતુલિત કરે છે: $N \cos \theta = mg$.
લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$.
બીજા સમીકરણને પહેલા સમીકરણ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^2 / R}{mg}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$.

(C) ઘર્ષણ સાથેના બેંકિંગવાળા રસ્તા પર મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v$ માટેનું સૂત્ર:
$v = \sqrt{gr \left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 1000 \, m$
બેંકિંગ ખૂણો $\theta = 45^o$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$v^2 = 9.8 \times 1000 \times \left( \frac{0.5 + \tan 45^o}{1 - 0.5 \times \tan 45^o} \right)$
$\tan 45^o = 1$ હોવાથી:
$v^2 = 9800 \times \left( \frac{0.5 + 1}{1 - 0.5 \times 1} \right)$
$v^2 = 9800 \times \left( \frac{1.5}{0.5} \right)$
$v^2 = 9800 \times 3 = 29400$
$v = \sqrt{29400} \approx 171.46 \, m/s \approx 172 \, m/s$.

(A) ભ્રમણ કરતી રીંગ માટે,રીંગમાં ઉદ્ભવતો તણાવ $T$,તેના રેખીય વેગ $v$ અને રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ સાથે $T = \mu v^2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં આપેલ છે કે,$T = 10\, N$ અને $\mu = 0.1\, kg/m$.
વેગ $v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100}$.
તેથી,મહત્તમ વેગ $v = 10\, m/s$ છે.

(B) મોટરસાયકલ સવાર "મોતના કૂવા" ની ઊભી દીવાલ પર નીચે સરક્યા વિના ટકી રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f = mg$
કારણ કે $f = \mu N$ અને લંબબળ $N$ એ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે $N = \frac{mv^2}{r}$,તેથી:
$\mu \left( \frac{mv^2}{r} \right) = mg$
$v^2 = \frac{rg}{\mu}$
$v = \sqrt{\frac{rg}{\mu}}$
અહીં વ્યાસ $d = 18\, m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 9\, m$.
આપેલ છે $\mu = 0.8$ અને $g = 10\, m/s^2$.
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10}{0.8}} = \sqrt{\frac{90}{0.8}} = \sqrt{112.5} \approx 10.6\, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $10.5\, m/s$ છે.

(A) બેંકિંગવાળા વળાંકવાળા રસ્તા પર ગતિ કરતા વાહન માટે,બેંકિંગની શરત $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$v$ એ વેગ છે,$R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે,અને $b$ એ રસ્તાની પહોળાઈ છે.
ધારો કે $h$ એ બહારની અને અંદરની ધાર વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત છે.
નાના બેંકિંગ ખૂણાઓ માટે,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{h}{b}$ થાય છે.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{h}{b} = \frac{v^2}{Rg}$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી ઊંચાઈનો તફાવત $h = \frac{v^2b}{Rg}$ થશે.

(D) સિક્કાને ડિસ્ક સાથે ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સિક્કો ડિસ્કની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ: $f = mr\omega^2$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\mu mg = mr\omega^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\mu = \frac{r\omega^2}{g}$ થાય છે.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $n = 3.5\,rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 3.5 = 7\pi\,rad/s$.
ત્રિજ્યા $r = 1.25\,cm = 1.25 \times 10^{-2}\,m$.
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{(1.25 \times 10^{-2}) \times (7\pi)^2}{10}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$(7\pi)^2 = (7 \times \frac{22}{7})^2 = 22^2 = 484$.
$\mu = \frac{1.25 \times 10^{-2} \times 484}{10} = \frac{1.25 \times 4.84}{10} = 0.605 \approx 0.6$.

(D) ગોળાકાર મોપ પર $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ પહોળાઈની એક નાની રીંગ ધારો. આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2\pi x dx$ છે. મોપનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે. કારણ કે બળ $F$ સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે,આ રીંગ પર લાગતું લંબબળ $dN = (F/A) dA = (F/(\pi R^2)) \times 2\pi x dx = (2F/R^2) x dx$ થશે. આ રીંગ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $df = \mu dN = \mu (2F/R^2) x dx$ છે. પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ આ ઘર્ષણ બળને કારણે લાગતું ટોર્ક $d\tau = x df = x \times \mu (2F/R^2) x dx = (2\mu F/R^2) x^2 dx$ છે. કુલ ટોર્ક $\tau$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = R$ સુધી $d\tau$ નું સંકલન કરીએ: $\tau = \int_0^R (2\mu F/R^2) x^2 dx = (2\mu F/R^2) [x^3/3]_0^R = (2\mu F/R^2) (R^3/3) = \frac{2}{3}\mu FR$.

(C) વર્તુળાકાર સમતલ રસ્તા પર કારની મહત્તમ ઝડપ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \sqrt{\mu r g}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે,$r$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ છે: $\mu = 0.3,$ $r = 300\,m,$ $g = 10\,m/s^2.$
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{0.3 \times 300 \times 10} = \sqrt{900} = 30\,m/s.$
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/hr$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
$v = 30 \times \frac{18}{5} = 6 \times 18 = 108\,km/hr.$

(C) અનબેન્ક્ડ વળાંક પર કાર માટે મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ નું સૂત્ર $v_{max} = \sqrt{\mu rg}$ છે.
અહીં,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.75$,ત્રિજ્યા $r = 60\,m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\,m/s^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{max} = \sqrt{0.75 \times 60 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{45 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{441}$
$v_{max} = 21\,m/s$.

(A) વસ્તુ સરકવાની શરૂઆત ત્યારે કરે છે જ્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય.
$F_{c} = f_{s,max}$
$m r \omega^{2} = \mu m g$
આના પરથી,આપણને સંબંધ $r \omega^{2} = \text{અચળ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r \propto \frac{1}{\omega^{2}}$.
તેથી,$\frac{r_{2}}{r_{1}} = \left( \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \right)^{2}$.
અહીં $r_{1} = 4\, cm$ અને $\omega_{2} = 2\omega_{1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_{2}}{4} = \left( \frac{\omega_{1}}{2\omega_{1}} \right)^{2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}$.
$r_{2} = 4 \times \frac{1}{4} = 1\, cm$.