Motion of Body (or Connected Bodies in horizontal or vertical) (by String or Contact) Questions in Gujarati

(D) ધારો કે કણોની કોણીય ઝડપ $\omega$ છે.
કેન્દ્ર $O$ થી કણો $A, B,$ અને $C$ ના અંતર અનુક્રમે $l, 2l,$ અને $3l$ છે.
દરેક કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ દોરીમાં રહેલા તણાવ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કણ $C$ (સૌથી બહારનો) માટે: તણાવ $T_3$ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T_3 = m\omega^2(3l) = 3m\omega^2l$.
કણ $B$ માટે: ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ $T_2 - T_3 = m\omega^2(2l)$ છે. $T_3$ ની કિંમત મૂકતા,$T_2 = 2m\omega^2l + 3m\omega^2l = 5m\omega^2l$ મળે છે.
કણ $A$ માટે: ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ $T_1 - T_2 = m\omega^2(l)$ છે. $T_2$ ની કિંમત મૂકતા,$T_1 = m\omega^2l + 5m\omega^2l = 6m\omega^2l$ મળે છે.
તણાવનો ગુણોત્તર $T_3 : T_2 : T_1 = 3m\omega^2l : 5m\omega^2l : 6m\omega^2l = 3:5:6$ થાય છે.

(A) લિફ્ટ પર લાગતા બળોમાં ઉપરની દિશામાં તણાવબળ $T$ અને નીચેની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ પરિણામી બળ: $F_{net} = T - mg = ma$ થાય.
તણાવબળ માટે સૂત્ર: $T = m(g + a)$.
અહીં $m = 500\, kg$,$g = 10\, m/s^2$,અને $a = 2\, m/s^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 500(10 + 2) = 500 \times 12 = 6000\, N$.

(A) આપેલ દળ $m = 1\, kg$ અને પ્રવેગ $a = 4.9\, m/s^2$ છે. $g = 9.8\, m/s^2$ લેતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a = g/2$ થાય.
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે પદાર્થને $a$ પ્રવેગથી ઉપર તરફ ખેંચવામાં આવે,ત્યારે તણાવ $T_1 = m(g + a)$ મળે.
$T_1 = 1 \times (g + g/2) = 3g/2$.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે પદાર્થને $a$ પ્રવેગથી નીચે તરફ લાવવામાં આવે,ત્યારે તણાવ $T_2 = m(g - a)$ મળે.
$T_2 = 1 \times (g - g/2) = g/2$.
તણાવ બળોનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3g/2}{g/2} = \frac{3}{1}$ થાય.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, g$,તંત્રનો પ્રવેગ $a = 400 \, cm/s^2$ (નીચેની તરફ),અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 980 \, cm/s^2$.
જ્યારે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ દોરી વડે લટકાવેલ હોય અને તંત્ર $a$ પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરતું હોય,ત્યારે દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$T = m(g - a)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T = 10 \, g \times (980 \, cm/s^2 - 400 \, cm/s^2)$
$T = 10 \times 580 \, dyne$
$T = 5800 \, dyne$
આમ,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $5800 \, dyne$ છે.

(C) દોરી સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $25\,kg$ દળના વજન જેટલું હોય છે: $T_{max} = 25 \times g = 25 \times 10 = 250\,N$.
જ્યારે $m = 20\,kg$ દળનો વાંદરો $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે,ત્યારે દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ: $T = m(g + a)$.
મહત્તમ પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે તણાવને બ્રેકિંગ ફોર્સ જેટલું લઈએ છીએ: $20(10 + a) = 250$.
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા: $10 + a = 12.5$.
તેથી,$a = 12.5 - 10 = 2.5\,m/s^2$.

(C) ધારો કે ફાયરમેનનું દળ $m$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે.
ફાયરમેનનું વજન $W = mg$ છે.
દોરડાની તોડવાની ક્ષમતા $T_{max} = \frac{2}{3}mg$ આપેલી છે.
જ્યારે ફાયરમેન $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે,ત્યારે દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = m(g - a)$ થાય છે.
દોરડું તૂટે નહીં તે માટે,તણાવબળ તેની તોડવાની ક્ષમતા કરતા વધવું જોઈએ નહીં,એટલે કે $T \leq T_{max}$.
ન્યૂનતમ પ્રવેગ $a$ માટે,આપણે $T = T_{max}$ લઈએ છીએ:
$m(g - a) = \frac{2}{3}mg$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$g - a = \frac{2}{3}g$
$a = g - \frac{2}{3}g = \frac{1}{3}g$.

(C) તંત્રનું કુલ દળ $(M + m)$ છે.
તંત્ર પર $P$ બળ લગાડવામાં આવતું હોવાથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{P}{M + m}$ થશે.
દોરડા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ $M$ દળના બ્લોકને $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ છે.
તેથી,બળ $F = M \cdot a = M \cdot \left( \frac{P}{M + m} \right) = \frac{PM}{M + m}$.

(B) $1$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ આખા દોરડાનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M}$ છે.
$2$. દોરડાના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L}$ છે.
$3$. ધારો કે $x$ અંતરે રહેલા બિંદુએ તણાવબળ $T$ છે,જે $(L - x)$ લંબાઈના ભાગને ખેંચે છે. આ ભાગનું દળ $m = \lambda(L - x) = \frac{M(L - x)}{L}$ થશે.
$4$. આ ભાગ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ વાપરતા: $T = m \cdot a$.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $T = \left[ \frac{M(L - x)}{L} \right] \cdot \left( \frac{F}{M} \right) = \frac{F(L - x)}{L}$.

(B) ધારો કે $m_1 = 4\, kg$ એ ટેબલ પરનું દળ છે અને $m_2 = 5\, kg$ એ લટકતું દળ છે.
ટેબલ અને ગરગડી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,સિસ્ટમને ગતિ આપતું એકમાત્ર બળ લટકતા દળ $m_2$ નું વજન છે.
સિસ્ટમ માટે ગતિનું સમીકરણ $m_2 g = (m_1 + m_2) a$ છે.
તેથી,પ્રવેગ $a$ ને $a = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \times g$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$a = \frac{5}{4 + 5} \times 9.8 = \frac{5}{9} \times 9.8 = \frac{49}{9} \approx 5.44\, m/s^2$.

(B) તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B + m_C = 1 + 8 + 27 = 36 \, kg$ છે.
આપેલ છે કે બળ ${T_3} = 36 \, N$,તેથી તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{T_3}{M} = \frac{36}{36} = 1 \, m/s^2$ મળે.
તણાવ ${T_2}$ એ બ્લોક્સ $A$ અને $B$ ને ખેંચે છે. તેથી,બ્લોક્સ $A$ અને $B$ માટે ગતિનું સમીકરણ ${T_2} = (m_A + m_B) \times a$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને ${T_2} = (1 + 8) \times 1 = 9 \, N$ મળે છે.

(C) તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3$ છે.
ઘર્ષણરહિત સપાટી પર તંત્રને $T$ બળ વડે ખેંચવામાં આવતું હોવાથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{T}{m_1 + m_2 + m_3}$ થાય.
$m_2$ અને $m_3$ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T'$ શોધવા માટે,આપણે $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા તંત્રને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે આ તણાવ $T'$ દ્વારા ખેંચાય છે.
આ ઉપતંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $T' = (m_1 + m_2) a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $T' = (m_1 + m_2) \times \frac{T}{m_1 + m_2 + m_3}$.
આમ,તણાવ $\frac{m_1 + m_2}{m_1 + m_2 + m_3} T$ છે.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3 = 10 + 6 + 4 = 20 \, kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{40}{20} = 2 \, m/s^2$ છે.
$m_1$ અને $m_2$ વચ્ચેનું તણાવબળ $T_2$ એ $m_1$ દળના બ્લોકને ખેંચે છે. તેથી,$T_2 = m_1 \times a$.
$T_2 = 10 \times 2 = 20 \, N$.

(A) ટેબલ પર રહેલા $m_1$ દળના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ $T = m_1 a$ છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
લટકાવેલા $m_2$ દળના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ $m_2 g - T = m_2 a$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $m_2 g = (m_1 + m_2) a$ મળે છે.
તેથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}$ થાય છે.

(B) ધારો કે બ્લોક $A$ નું દળ $m_1 = 7 \, kg$ અને પદાર્થ $B$ નું દળ $m_2 = 3 \, kg$ છે.
ટેબલ ઘર્ષણરહિત હોવાથી,તંત્રને પ્રવેગિત કરતું એકમાત્ર બળ પદાર્થ $B$ નું વજનબળ છે.
તંત્ર માટે ગતિનું સમીકરણ $m_2 g = (m_1 + m_2) a$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10 = (7 + 3) a$.
$30 = 10 a$.
$a = 3 \, m \, s^{-2}$.

(C) સૌ પ્રથમ,સમગ્ર તંત્રનો પ્રવેગ $a$ શોધો.
કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3 = 2 \, kg + 3 \, kg + 5 \, kg = 10 \, kg$.
લાગતું કુલ બળ $F = 10 \, N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = Ma$,તેથી $10 = 10 \times a$,એટલે કે $a = 1 \, m/s^2$.
હવે,તણાવ $T_1$ શોધવા માટે $2 \, kg$ ના બ્લોકની પાછળ રહેલા બે બ્લોક ($3 \, kg$ અને $5 \, kg$) ના તંત્રનો વિચાર કરો.
તણાવ $T_1$ એ $3 \, kg$ અને $5 \, kg$ ના બ્લોકના સંયુક્ત દળને ખેંચવા માટે જવાબદાર છે.
$T_1 = (m_2 + m_3) \times a = (3 \, kg + 5 \, kg) \times 1 \, m/s^2 = 8 \, N$.

(C) સ્પ્રિંગ બેલેન્સ હલકા (દળરહિત) હોવાથી,સમગ્ર સિસ્ટમમાં તણાવ સમાન રહે છે.
$m = 4 \,kg$ દળના બ્લોક માટે,નીચેની તરફ લાગતું બળ $mg = 4g \,N$ છે.
આ બળ સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $B$ માં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,તેથી $T_B = 4g \,N$.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $B$ દળરહિત હોવાથી,તેના ઉપરના છેડે પણ તણાવ $T_B = 4g \,N$ હોય છે.
આ તણાવ સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $A$ માં પણ વહન પામે છે,તેથી $T_A = 4g \,N$.
તેથી,બંને સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $4 \,kg$ ને અનુરૂપ વજન દર્શાવશે.

(C) એન્જિન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = F_{engine} \cdot v$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $P = 30 \ kW = 30,000 \ W$ અને $v = 30 \ m/s$ આપેલ છે.
એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું આગળની દિશાનું બળ $F_{engine} = P / v = 30,000 / 30 = 1000 \ N$ છે.
કાર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ એ એન્જિન બળ અને અવરોધક બળનો તફાવત છે: $F_{net} = F_{engine} - F_{resistive} = 1000 \ N - 750 \ N = 250 \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = m \cdot a$,તેથી પ્રવેગ $a = F_{net} / m$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$a = 250 / 1250 = 1 / 5 = 0.2 \ m/s^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે ટેબલ પર રહેલા બ્લોકનું દળ $m_1 = 2m$ ($W_2$ દ્વારા જોડાયેલા બે બ્લોક) છે અને લટકતા બ્લોકનું દળ $m_2 = m$ છે.
તાર $W_2$ માં તણાવ $T$ એ ડાબી બાજુના $m$ દળના બ્લોકને ખેંચતું બળ છે. તંત્ર માટે ગતિનું સમીકરણ $T = m_2 a_{sys}$ છે,જ્યાં $a_{sys} = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} = \frac{mg}{2m + m} = \frac{g}{3}$ છે.
તેથી,$T = m \times \frac{g}{3} = \frac{mg}{3}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ડાબી બાજુના $m$ દળના બ્લોકને ધ્યાનમાં લેતા,તાર $W_2$ માં તણાવ $T$ તેને પ્રવેગિત કરવા માટેનું બળ પૂરું પાડે છે: $T = m a_{sys} = m(\frac{g}{3}) = \frac{mg}{3}$.
તાર $W_2$ માં પ્રતિબળ $\sigma = \frac{T}{a} = \frac{mg}{3a}$ છે.
વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\sigma}{Y} = \frac{mg}{3aY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) આ તંત્રમાં $m_1 = 6 \, kg$ અને $m_2 = 4 \, kg$ દળના બે બ્લોક સંપર્કમાં છે,જેના પર $F = 5 \, N$ નું બળ લાગે છે.
સૌ પ્રથમ,તંત્રનો સામાન્ય પ્રવેગ $a$ શોધો:
$a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{5}{6 + 4} = \frac{5}{10} = 0.5 \, m/s^2$.
$4 \, kg$ ના બ્લોક પર લાગતું સંપર્ક બળ $F_c$ એ તેને $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ છે:
$F_c = m_2 \times a = 4 \times 0.5 = 2 \, N$.

(B) કિસ્સો $1$: $2m$ દળના બ્લોક પર $F$ બળ લગાડવામાં આવે છે. તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{2m + m} = \frac{F}{3m}$ થાય.
$m$ દળના બ્લોક પર લાગતું સંપર્કબળ $f_1 = m \cdot a = m \cdot \frac{F}{3m} = \frac{F}{3}$ થાય.
કિસ્સો $2$: $m$ દળના બ્લોક પર $F$ બળ લગાડવામાં આવે છે. તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m + 2m} = \frac{F}{3m}$ થાય.
$2m$ દળના બ્લોક પર લાગતું સંપર્કબળ $f_2 = 2m \cdot a = 2m \cdot \frac{F}{3m} = \frac{2F}{3}$ થાય.
આમ,સંપર્કબળનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{F/3}{2F/3} = \frac{1}{2}$ થાય.

(C) દોરડું સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{max} = 25 \, kgf = 25 \times 10 \, N = 250 \, N$ છે.
ધારો કે વાંદરાનો પ્રવેગ $a$ છે.
વાંદરા માટે ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ થાય,જે $T = m(g + a)$ તરીકે લખી શકાય.
મહત્તમ તણાવ $T = 250 \, N$ અને દળ $m = 20 \, kg$ મૂકતા:
$250 = 20(10 + a)$
$12.5 = 10 + a$
$a = 12.5 - 10 = 2.5 \, m/s^2$.
આમ,મહત્તમ પ્રવેગ $2.5 \, m/s^2$ છે.

(C) આ સિસ્ટમમાં ત્રણ દળ $m_1 = 2 \, kg$,$m_2 = 3 \, kg$,અને $m_3 = 5 \, kg$ છે જે દોરી વડે જોડાયેલા છે અને $F = 10 \, N$ ના બળ દ્વારા ખેંચાય છે.
સૌ પ્રથમ,સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ શોધો:
$a = \frac{F}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{10}{2 + 3 + 5} = \frac{10}{10} = 1 \, m/s^2$.
તણાવ $T_1$ એ $m_2$ અને $m_3$ દળ ધરાવતી સિસ્ટમ પર લાગે છે (કુલ દળ $m_2 + m_3 = 3 + 5 = 8 \, kg$).
આ સબસિસ્ટમ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T_1 = (m_2 + m_3) \times a = (3 + 5) \times 1 = 8 \, N$.

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને પ્રવેગ $a$ છે.
બ્લોકનું વજન $W = mg$ છે.
દોરડામાં તણાવ $T = 5mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઉપરની તરફ ગતિ માટે:
$T - mg = ma$
$T$ ની કિંમત મૂકતા:
$5mg - mg = ma$
$4mg = ma$
$a = 4g$
તેથી,બ્લોકને $4g$ જેટલા પ્રવેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરાવી શકાય છે.

(C) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે અને નીચે તરફનો પ્રવેગ $a$ છે.
જ્યારે માણસ નીચે ઉતરે ત્યારે દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = m(g - a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરડાની તૂટવાની ક્ષમતા $T = \frac{2}{3}mg$ આપેલી છે.
બંનેને સરખાવતા,$m(g - a) = \frac{2}{3}mg$ મળે.
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા,$g - a = \frac{2}{3}g$ મળે.
$a$ ને કર્તા બનાવતા,$a = g - \frac{2}{3}g = \frac{1}{3}g$ મળે.

(B) આપેલ છે:
લિફ્ટનું દળ,$M = 2000 \, kg$
કેબલમાં તણાવ,$T = 28000 \, N$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \, m/s^2$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લિફ્ટ પર લાગતું પરિણામી બળ $T - Mg = Ma$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$28000 - (2000 \times 10) = 2000 \times a$
$28000 - 20000 = 2000 \times a$
$8000 = 2000 \times a$
$a = \frac{8000}{2000} = 4 \, m/s^2$
અહીં તણાવ બળ વજનબળ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રવેગ ઉપરની દિશામાં હશે.

(A) સૌ પ્રથમ,સમગ્ર તંત્રને એક ગણીએ. તંત્રનું કુલ દળ $(M + m)$ છે.
સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ તંત્રનો પ્રવેગ $a$ આ મુજબ મળે: $F = (M + m)a$,એટલે કે $a = \frac{F}{M + m}$.
હવે,$M$ દળ માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ વિચારીએ. $M$ દળ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ છે.
$M$ દળ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $T = M \times a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $T = M \times \left( \frac{F}{M + m} \right) = \frac{FM}{M + m}$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ તેના દળ અને પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે $(F_{net} = ma)$.
દળ $m$ માટે,તેના પર લાગતા બળો આગળની દિશામાં લાગતું બળ $F$ અને પાછળની દિશામાં દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ છે.
તેથી,દળ $m$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - T$ થશે.
ન્યૂટનનો બીજો નિયમ દળ $m$ માટે લાગુ પાડતા:
$ma = F - T$
$a = \frac{F - T}{m}$

(B) આપેલ છે: દોરડાનું દળ $M = 5 \,kg$,ઉપરની તરફનું બળ $F_1 = 100 \,N$,નીચેની તરફનું બળ $F_2 = 70 \,N$. ધારો કે $g = 10 \,m/s^2$.
આખા દોરડા માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F_{net} = Ma$
$F_1 - F_2 - Mg = Ma$
$100 - 70 - (5 \times 10) = 5a$
$30 - 50 = 5a$
$-20 = 5a \implies a = -4 \,m/s^2$ (ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ નીચેની તરફ છે).
હવે,દોરડાના નીચેના અડધા ભાગને ધ્યાનમાં લો (દળ $m = M/2 = 2.5 \,kg$). ધારો કે $T$ એ મધ્યબિંદુએ તણાવબળ છે.
નીચેના અડધા ભાગ પર લાગતા બળો: તણાવબળ $T$ ઉપરની તરફ,વજન $mg$ નીચેની તરફ અને બળ $F_2 = 70 \,N$ નીચેની તરફ.
નીચેના અડધા ભાગ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા: $T - mg - F_2 = ma$
$T - (2.5 \times 10) - 70 = 2.5 \times (-4)$
$T - 25 - 70 = -10$
$T - 95 = -10$
$T = 95 - 10 = 85 \,N$.

(A) ધારો કે સમક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલા દોરડા $AB$ ની લંબાઈ $x$ છે. આ ભાગનું દળ $m_x = (M/2) \cdot (x/L)$ થાય.
પ્રવેગિત થતી સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_{total} = M + m_x + M/2 = M + (M/2)(x/L) + M/2 = 1.5M + (M/2)(x/L)$ છે.
ચાલક બળ એ લટકતા દળ $M/2$ નું વજન છે,જે $F = (M/2)g$ છે.
પ્રવેગ $a = F / M_{total} = [(M/2)g] / [1.5M + (M/2)(x/L)]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $x = L$ (પ્રારંભિક સ્થિતિ),ત્યારે $a = [(M/2)g] / [1.5M + 0.5M] = (0.5Mg) / (2M) = g/4$.
જ્યારે $x = 0$ (અંતિમ સ્થિતિ),ત્યારે ગણતરી મુજબ પ્રવેગ $g/2$ મળે છે.

(A) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિમાં બ્લોક $A$ નો વેગ $v_A$ છે અને જમીનની સાપેક્ષે દડા $B$ નો વેગ $v_B$ છે.
કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ ન હોવાથી,તંત્રનું સમક્ષિતિજ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે: $m v_A + m v_B = 0 \implies v_A = -v_B$.
ધારો કે બ્લોકનો વેગ $v$ $(v_A = v)$ છે અને બ્લોકની સાપેક્ષે દડાનો વેગ $u$ $(v_{B/A} = u)$ છે. તો જમીનની સાપેક્ષે દડાનો વેગ $v_B = v - u$ (વિરુદ્ધ દિશામાં) થશે.
વેગમાન સંરક્ષણ પરથી: $m v + m(v - u) = 0 \implies 2v = u \implies v = u/2$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દડા દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ તંત્ર દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે: $mgL(1-cos\theta) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m (v-u)^2$.
$u = 2v$ મૂકતા: $mgL(1-cos\theta) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m (v-2v)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2$.
આમ,$v^2 = gL(1-cos\theta) \implies v = [gL(1-cos\theta)]^{1/2}$.

(B) ધારો કે વેજ $A$ પ્રવેગ સાથે ડાબી તરફ ગતિ કરે છે. બ્લોક $m$ નો વેજની સાપેક્ષે પ્રવેગ $a'$ ઢાળની દિશામાં (ક્ષિતિજ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે) છે.
બ્લોક $m$ નો નિરપેક્ષ પ્રવેગ એ વેજનો પ્રવેગ અને વેજની સાપેક્ષે બ્લોકનો પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે $\vec{a}_w = -A \hat{i}$ અને $\vec{a}_{m/w} = a' \cos 45^\circ \hat{i} - a' \sin 45^\circ \hat{j}$.
બ્લોકના નિરપેક્ષ પ્રવેગનો ક્ષૈતિજ ઘટક $a_x = a' \cos 45^\circ - A = \frac{a'}{\sqrt{2}} - A$ છે.
ક્ષૈતિજ દિશામાં વેજ પરના બળના સમીકરણ પરથી,બ્લોક દ્વારા વેજ પર લાગતું લંબબળ $N$ નો ક્ષૈતિજ ઘટક $N_x = N \sin 45^\circ$ છે.
વેજ ડાબી તરફ પ્રવેગિત થતો હોવાથી,$N \sin 45^\circ = MA$.
બ્લોક માટે,ઢાળની દિશામાં બળનું સમીકરણ $mg \sin 45^\circ - N \cos 45^\circ = m(a' - A \cos 45^\circ)$ છે.
$N = \frac{MA}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} MA$ મૂકતા,આપણને $mg \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} MA \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = m(a' - \frac{A}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
$g/\sqrt{2} - A = a' - A/\sqrt{2} \implies a' = g/\sqrt{2} - A(1 - 1/\sqrt{2})$.
ઘટકોનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણને $A < \frac{a'}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) બ્લોક $(m)$ અને વેજ $(M)$ ના તંત્રને ધ્યાનમાં લો. બધી સપાટીઓ ઘર્ષણરહિત હોવાથી અને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડા બળો લાગતા ન હોવાથી,તંત્રનું આડું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે જમીનની સાપેક્ષે બ્લોકનો વેગ $v$ છે અને કોઈપણ ક્ષણે જમીનની સાપેક્ષે વેજનો વેગ $V$ છે.
આડા વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $mv_x + MV = 0$,જ્યાં $v_x$ એ બ્લોકના વેગનો આડો ઘટક છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$.
વેગમાન સંરક્ષણ પરથી,$V = -\frac{mv_x}{M}$.
જ્યારે બ્લોક નીચે પહોંચે ત્યારે વેજ $M$ નો વેગ $V = \sqrt{\frac{2m^2gh}{M(M+m)}}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ અભિવ્યક્તિ મેળવેલા પરિણામ સાથે મેળ ખાતી નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે વેજ $A$ પ્રવેગ સાથે ડાબી તરફ ગતિ કરે છે. બ્લોક $m$ નો વેજની સાપેક્ષે ઢાળ પર (ક્ષિતિજ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે) પ્રવેગ $a'$ છે.
વેજ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $N \sin 45^\circ = MA$,જ્યાં $N$ એ બ્લોક અને વેજ વચ્ચેનું લંબબળ છે.
બ્લોક $m$ માટે,બળો $mg$ (નીચેની તરફ) અને $N$ (ઢાળને લંબ) છે. બ્લોકનો પ્રવેગ એ વેજનો પ્રવેગ $A$ અને સાપેક્ષ પ્રવેગ $a'$ નો સદિશ સરવાળો છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બ્લોક દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા $mgh$ એ મહત્તમ સંકોચન સમયે સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $\frac{1}{2}kx^2$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આમ,$mgh = \frac{1}{2}kx_{max}^2$,જે આપે છે $x_{max} = \sqrt{\frac{2mgh}{k}}$.
સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું મહત્તમ બળ $F_{max} = k x_{max} = k \sqrt{\frac{2mgh}{k}} = \sqrt{2mghk}$ છે.
વેજ સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા પ્રતિપ્રવેગિત થતો હોવાથી,મહત્તમ પ્રતિપ્રવેગ $a_{max} = \frac{F_{max}}{M} = \frac{\sqrt{2mghk}}{M} = \sqrt{\frac{2mghk}{M^2}}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. દોરી અદ્રશ્ય હોવાથી,બ્લોક $m$ નીચેની તરફ $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,અને બ્લોક $M$ અને $m_0$ આડા સમતલમાં જમણી તરફ સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે.
બ્લોક $m$ માટે: લાગતા બળો નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને ઉપરની તરફ તણાવ $T$ છે. ગતિનું સમીકરણ $mg - T = ma$ ... $(1)$ છે.
બ્લોક $M$ અને $m_0$ ના સંયુક્ત તંત્ર માટે: આડી સપાટી દ્વારા $M$ પર લાગતું લંબબળ $N = (M + m_0)g$ છે. $M$ પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu(M + m_0)g$ છે.
તંત્ર $(M + m_0)$ પર લાગતું આડું બળ તણાવ $T$ છે. ગતિનું સમીકરણ $T - f_k = (M + m_0)a$ છે,જે $T - \mu(M + m_0)g = (M + m_0)a$ આપે છે ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(mg - T) + (T - \mu(M + m_0)g) = ma + (M + m_0)a$
$mg - \mu(M + m_0)g = (m + M + m_0)a$
$a = \frac{m - \mu(M + m_0)}{m + M + m_0}g$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $(M + m_0 + m)$ છે.
ચાલક બળ લટકતા બ્લોક $m$ નું વજન છે,જે $mg$ છે.
આખા તંત્ર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $mg = (M + m_0 + m)a$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{mg}{M + m_0 + m}$.
હવે,$m$ દળના બ્લોકનો વિચાર કરો. તેના પર નીચેની તરફ તેનું વજન $mg$ અને ઉપરની તરફ તણાવ $T$ લાગે છે.
બ્લોક $m$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા: $mg - T = ma$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $T = mg - m\left( \frac{mg}{M + m_0 + m} \right)$.
$T = mg \left( 1 - \frac{m}{M + m_0 + m} \right) = mg \left( \frac{M + m_0 + m - m}{M + m_0 + m} \right)$.
$T = \frac{mg(M + m_0)}{M + m_0 + m}$.

(D) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. બ્લોકો સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા હોવાથી અને લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,બંને બ્લોકોનો પ્રવેગ $a$ સમાન હશે.
બે બ્લોકોના તંત્ર માટે,કુલ બળ $F$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = (m + M)a$,તેથી $a = \frac{F}{m + M}$ મળે.
$m$ દળના બ્લોક પર લાગતું બળ એ સ્પ્રિંગ બળ $T$ છે. $m$ દળના બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ વાપરતા,$T = ma$ મળે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$T = m \left( \frac{F}{m + M} \right) = \frac{mF}{m + M}$ મળે.

(B) ધારો કે જ્યારે $m$ દળનો બ્લોક જમીન પર પહોંચે છે ત્યારે $M$ દળના વેજનો વેગ $V_w$ છે. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ ન હોવાથી, તંત્રનું સમક્ષિતિજ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર છે, તેથી કુલ પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગમાન $0$ છે.
આમ, $m v_x + M V_w = 0$, જ્યાં $v_x$ એ $m$ દળના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે. આનો અર્થ એ છે કે $v_x = -\frac{M V_w}{m}$.
બ્લોક $m$ માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય અને લંબ બળ $N$ દ્વારા થયેલ કાર્યનો સરવાળો $m$ ની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
$W_g + W_N = \frac{1}{2} m V^2$.
$W_g = mgh$ હોવાથી, $W_N = \frac{1}{2} m V^2 - mgh$.
વૈકલ્પિક રીતે, વેજને ધ્યાનમાં લો. વેજ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ બ્લોક દ્વારા લાગતું લંબ બળ છે. વેજ પર લંબ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{N'} = \Delta K_w = \frac{1}{2} M V_w^2$ છે.
બ્લોક પર લાગતું લંબ બળ વેજ પર લાગતા લંબ બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, બ્લોક પર લંબ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_N = -\frac{1}{2} M V_w^2$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $B$ છે.

(B) ધારો કે સાંકળનું દળ $m$ અને તેની લંબાઈ $L$ છે.
સાંકળના એકમ લંબાઈનું દળ $\lambda = m/L$ છે.
જ્યારે સાંકળનો $x$ લંબાઈનો ભાગ લટકે છે,ત્યારે પરિસ્થિતિ $(a)$ માં સાંકળનો પ્રવેગ $a = \frac{(\lambda x) g}{m} = \frac{gx}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે $x = L/2$ હોય,ત્યારે પ્રવેગ $g/2$ હોય છે,અને જેમ $x$ વધે છે તેમ તે વધે છે.
પરિસ્થિતિ $(b)$ માં,જ્યારે બે સમાન દળ $M$ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સિસ્ટમનું કુલ દળ $m + 2M$ થાય છે. પ્રવેગ પેદા કરતું બળ એ લટકતી સાંકળના ભાગનું વજન અને લટકતા છેડા પરના દળ $M$ નું વજન છે. ટેબલ પરનું દળ $M$ પ્રેરક બળમાં ફાળો આપતું નથી પરંતુ જડત્વ વધારે છે.
પરિસ્થિતિ $(b)$ માં પ્રવેગ $a'$ એ $a' = \frac{(\lambda x) g + Mg}{m + 2M} = \frac{g(mx/L + M)}{m + 2M}$ છે.
$a$ અને $a'$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે ગતિના સમગ્ર ગાળા માટે $a > a'$ છે. પરિસ્થિતિ $(a)$ માં પ્રવેગ પરિસ્થિતિ $(b)$ કરતા સતત વધારે હોવાથી,ટેબલ પરથી સરકી જવામાં લાગતો સમય પરિસ્થિતિ $(a)$ માં ઓછો હશે.
તેથી,$t_a < t_b$.

(D) $1$. $M$ દળના વેજ માટે,આડું બળ એ લંબબળ $N_1$ ના આડા ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. $N_1$ નો આડો ઘટક $N_1 \sin \theta$ છે. તેથી,$N_1 \sin \theta = M|\vec a_1|$. આ સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$2$. $m$ દળના બ્લોક માટે,ઢળતી સપાટીને લંબ ગતિનું સમીકરણ $mg \cos \theta - N_1 = m a_{1y}$ છે,જ્યાં $a_{1y}$ એ વેજની સાપેક્ષે બ્લોકના પ્રવેગનો શિરોલંબ ઘટક છે. પ્રવેગનું વિભાજન કરતા,આપણને $N_1 = m(g \cos \theta - |\vec a_1| \sin \theta)$ મળે છે. આ સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. સમગ્ર તંત્ર માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો શિરોલંબ પ્રવેગ નીચેની તરફ છે. તેથી,જમીન દ્વારા લાગતું લંબબળ $N_2$ એ કુલ વજન $(M+m)g$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. આ સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$4$. તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ફક્ત બાહ્ય બળોને કારણે જ ગતિ કરે છે. તંત્ર પરનું આડું બાહ્ય બળ શૂન્ય છે. તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો આડો પ્રવેગ શૂન્ય છે: $M\vec a_1 + m\vec a_{2x} = 0$. વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે $m\vec a_2 = -M\vec a_1$,જે સૂચવે છે કે બ્લોકનો કુલ પ્રવેગ વેજના પ્રવેગ સાથે એવી રીતે સંબંધિત છે જે સાપેક્ષ ગતિના ઘટકને અવગણે છે. આ ખોટું છે.

(A) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર હોવાથી કુલ વેગમાન $0$ છે. તેથી,$mv_1 = 2mv_2$,જે આપે છે $v_1 = 2v_2$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા બ્લોક્સની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(2m)v_2^2$.
ઉર્જા સમીકરણમાં $v_1 = 2v_2$ મૂકતા: $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m(2v_2)^2 + mv_2^2 = \frac{1}{2}m(4v_2^2) + mv_2^2 = 3mv_2^2$.
$v_2$ માટે ઉકેલતા: $v_2^2 = \frac{kx^2}{6m} \Rightarrow v_2 = x\sqrt{\frac{k}{6m}}$.
તેથી $v_1 = 2v_2 = 2x\sqrt{\frac{k}{6m}} = x\sqrt{\frac{4k}{6m}} = x\sqrt{\frac{2k}{3m}}$.
સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = 2x\sqrt{\frac{k}{6m}} + x\sqrt{\frac{k}{6m}} = 3x\sqrt{\frac{k}{6m}} = x\sqrt{\frac{9k}{6m}} = x\sqrt{\frac{3k}{2m}}$.

(A) સળિયા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 - F_2$ છે (કારણ કે $F_1 > F_2$).
સળિયાનો પ્રવેગ $a = \frac{F_1 - F_2}{M}$ છે.
છેડા $A$ થી $y$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયાના ભાગને ધ્યાનમાં લો. આ ભાગનું દળ $m' = \frac{M}{L}y$ છે.
આ ભાગ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F_1 - T = m'a$
$F_1 - T = \left( \frac{M}{L}y \right) \left( \frac{F_1 - F_2}{M} \right)$
$F_1 - T = \frac{y}{L}(F_1 - F_2)$
$T = F_1 - \frac{y}{L}F_1 + \frac{y}{L}F_2$
$T = F_1 \left( 1 - \frac{y}{L} \right) + F_2 \left( \frac{y}{L} \right)$.

(A) ધારો કે લિફ્ટનો ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે.
$M$ દળનો બ્લોક અને $(L-l)$ લંબાઈ ધરાવતા દોરીના નીચેના ભાગને એક તંત્ર તરીકે ગણો.
દોરીના આ નીચેના ભાગનું દળ $m' = \frac{m}{L}(L-l)$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M_{sys} = M + \frac{m}{L}(L-l)$ છે.
આ તંત્ર પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું વજન $(M + m')g$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $T - (M + m')g = (M + m')a$.
$m' = \frac{m}{L}(L-l)$ મૂકતા:
$T - (M + \frac{m}{L}(L-l))g = (M + \frac{m}{L}(L-l))a$.
$T = (M + m - \frac{ml}{L})(a + g)$.
$a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{T}{M + m - \frac{ml}{L}} - g$.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = 3\,kg + 2\,kg + 5\,kg = 10\,kg$ છે.
ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F = 140\,N$ છે અને નીચેની તરફ લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = Mg = 10\,kg \times 10\,m/s^2 = 100\,N$ છે.
આખા તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F - Mg = Ma$.
$140 - 100 = 10a \implies 40 = 10a \implies a = 4\,m/s^2$.
હવે,$2\,kg$ અને $5\,kg$ ના બ્લોક્સને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T$ શોધવા માટે,$5\,kg$ ના બ્લોકની ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો.
$5\,kg$ ના બ્લોક પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજન $5g$ છે.
$T - 5g = 5a$.
$T - 50 = 5 \times 4$.
$T - 50 = 20 \implies T = 70\,N$.

(D) ધારો કે દળ $m_1 = 8\,kg$ અને $m_2 = 2\,kg$ છે. બંને બ્લોક $\theta = 30^o$ ખૂણાવાળા સમાન ઢળતા સમતલ પર છે.
ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા કોઈપણ બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બ્લોક માટે,પ્રવેગ $a = g \sin 30^o = 10 \times 0.5 = 5\,m/s^2$ છે.
કારણ કે બંને બ્લોકનો પ્રવેગ સમાન છે અને તેઓ સાથે ગતિ કરી રહ્યા છે,તેમને જોડતી દોરી ઢીલી રહે છે અથવા તેના પર કોઈ ખેંચાણ બળ લાગતું નથી.
વૈકલ્પિક રીતે,સિસ્ટમ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $(m_1 + m_2)g \sin \theta = (m_1 + m_2)a$,જે $a = g \sin \theta$ આપે છે.
$2\,kg$ ના બ્લોક માટે: $m_2 g \sin \theta - T = m_2 a$.
$a = g \sin \theta$ મૂકતા,આપણને $m_2 g \sin \theta - T = m_2 (g \sin \theta)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T = 0$.
તેથી,દોરીમાં તણાવ $0\,N$ છે.

(B) આ સિસ્ટમ $m_1 = 5\, kg$,$m_2 = 1\, kg$,અને $m_3 = 4\, kg$ દળ ધરાવતા ત્રણ બ્લોકની બનેલી છે. સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 5 + 1 + 4 = 10\, kg$ છે.
ચાલક બળ એ $4\, kg$ ના બ્લોકના વજનનો ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતો ઘટક છે: $F = m_3 g \sin(30^\circ) = 4 \times 10 \times 0.5 = 20\, N$.
સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે: $a = \frac{F}{M} = \frac{20\, N}{10\, kg} = 2\, m/s^2$.
$5\, kg$ અને $1\, kg$ ના બ્લોકને જોડતા દોરડામાં તણાવ $T$ શોધવા માટે,આપણે $5\, kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $T = m_1 a = 5\, kg \times 2\, m/s^2 = 10\, N$.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = m + 2m + 3m = 6m$ છે.
લાગુ પાડવામાં આવેલ બાહ્ય બળ $F = 2mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{F}{M} = \frac{2mg}{6m} = \frac{g}{3}$.
હવે,$m$ દળ ધરાવતા બ્લોકને ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ તણાવ $T_2$ છે.
આ બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T_2 = m \times a = m \times \frac{g}{3} = \frac{mg}{3}$.

(B) $1$. સૌ પ્રથમ,તંત્રનું કુલ દળ શોધો: $M_{total} = 5 \ kg + 6 \ kg + 4 \ kg + 5 \ kg = 20 \ kg$.
$2$. તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બળ શોધો: $F_{net} = 90 \ N - 10 \ N = 80 \ N$.
$3$. તંત્રનો પ્રવેગ શોધો: $a = F_{net} / M_{total} = 80 \ N / 20 \ kg = 4 \ m/s^2$.
$4$. $6 \ kg$ અને $4 \ kg$ ના બ્લોક વચ્ચેનું સંપર્ક બળ શોધવા માટે,જમણી બાજુના $4 \ kg$ અને $5 \ kg$ ના બ્લોકના તંત્રને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $F_{contact}$ એ $6 \ kg$ ના બ્લોક દ્વારા $4 \ kg$ ના બ્લોક પર લાગતું બળ છે.
$5$. $4 \ kg$ અને $5 \ kg$ ના બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા (કુલ દળ $9 \ kg$): $F_{contact} - 10 \ N = (4 \ kg + 5 \ kg) \times a$.
$6$. $F_{contact} - 10 \ N = 9 \ kg \times 4 \ m/s^2 = 36 \ N$.
$7$. $F_{contact} = 36 \ N + 10 \ N = 46 \ N$.

(B) ધારો કે $m_A = 250 \ kg$ એ પ્લેટફોર્મ અને છોકરાનું કુલ દળ છે,અને $m_B = 500 \ kg$ એ બોક્સનું દળ છે.
છોકરા દ્વારા દોરડા પર લગાડવામાં આવતું બળ $F = 50 \ N$ છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દોરડામાં તણાવબળ $T = 50 \ N$ હશે.
પ્લેટફોર્મ $A$ માટે,બળ $T$ જમણી તરફ લાગે છે: $a_A = \frac{T}{m_A} = \frac{50}{250} = 0.2 \ m/s^2$.
બોક્સ $B$ માટે,બળ $T$ ડાબી તરફ લાગે છે: $a_B = \frac{T}{m_B} = \frac{50}{500} = 0.1 \ m/s^2$.
તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a_A - (-a_B) = 0.2 + 0.1 = 0.3 \ m/s^2$ થશે.
$t = 5 \ s$ પછી,સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = a_{rel} \times t = 0.3 \times 5 = 1.5 \ m/s$ થશે.

(B) આ સિસ્ટમ ત્રણ બ્લોકની બનેલી છે જે એક હરોળમાં જોડાયેલા છે અને ઘર્ષણરહિત સપાટી પર $T_3$ બળ દ્વારા ખેંચાય છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3 = 1 + 8 + 27 = 36 \, kg$ છે.
સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{T_3}{M} = \frac{36 \, N}{36 \, kg} = 1 \, m/s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તણાવ $T_2$ એ બ્લોક $m_1$ અને $m_2$ ને ખેંચે છે. તેથી,સંયુક્ત દળ $(m_1 + m_2)$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$T_2 = (m_1 + m_2) \times a$
$T_2 = (1 + 8) \times 1 = 9 \, N$.

(B) તંત્રનું કુલ દળ $M = 3\, kg + 2\, kg + 1\, kg = 6\, kg$ છે.
લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = 12\, N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{12\, N}{6\, kg} = 2\, m/s^2$ મળે છે.
બધા બ્લોક સંપર્કમાં હોવાથી અને સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,દરેકનો પ્રવેગ $a = 2\, m/s^2$ સમાન રહેશે.
તેથી,$2\, kg$ ના બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = m \times a = 2\, kg \times 2\, m/s^2 = 4\, N$ થાય.