Block on Block System, psudo force and Constrained Motion In Friction Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પદાર્થ $A$ નું દળ $m_A$ છે અને પદાર્થ $B$ નું દળ $m_B$ છે. ટેબલ લીસું હોવાથી,$B$ અને ટેબલ વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ નથી.
જ્યારે પદાર્થ $B$ ને $a$ જેટલો પ્રવેગ આપવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ $A$ પર $B$ ની સાપેક્ષમાં પાછળની દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = m_A a$ લાગે છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચે ઉપલબ્ધ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu m_A g$ છે,જ્યાં $N = m_A g$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું લંબબળ છે.
જ્યારે સ્યુડો બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા વધી જાય ત્યારે સરકવાની (slipping) ઘટના થશે.
તેથી,સરકવા માટેની શરત $m_A a > \mu m_A g$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $a > \mu g$ મળે છે.
આમ,સરકવાની શરૂઆત કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ પ્રવેગ $a = \mu g$ છે.

(A) $1$. બ્લોક $(m_A = 10 \,kg)$ અને સ્લેબ $(m_B = 40 \,kg)$ વચ્ચેનું સીમાંત ઘર્ષણ બળ શોધો:
$f_{s,max} = \mu_s m_A g = 0.60 \times 10 \times 9.8 = 58.8 \,N$.
$2$. લગાડેલા બળ $(F = 100 \,N)$ ની સીમાંત ઘર્ષણ બળ સાથે સરખામણી કરો:
અહીં $F > f_{s,max}$ $(100 \,N > 58.8 \,N)$ હોવાથી,બ્લોક સ્લેબ પર સરકશે.
$3$. બ્લોક અને સ્લેબ વચ્ચે લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ શોધો:
$f_k = \mu_k m_A g = 0.40 \times 10 \times 9.8 = 39.2 \,N$.
$4$. આ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ સ્લેબ પર લગાડેલા બળની દિશામાં લાગે છે,જેના કારણે સ્લેબ પ્રવેગિત થાય છે:
$F_{net, slab} = f_k = 39.2 \,N$.
$5$. સ્લેબનો પ્રવેગ $(a_B)$ શોધો:
$a_B = \frac{F_{net, slab}}{m_B} = \frac{39.2}{40} = 0.98 \,m/s^2$.

(A) ધારો કે $m_A = 2 \ kg$ અને $m_B = 8 \ kg$. લગાડવામાં આવેલ બળ $F = 25 \ N$ છે.
પ્રથમ,તપાસો કે શું તંત્ર ગતિ કરે છે. બ્લોક $B$ અને જમીન વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ $f_{g,max} = \mu_B (m_A + m_B)g = 0.5 \times (2 + 8) \times 10 = 50 \ N$ છે.
અહીં લગાડવામાં આવેલ બળ $F = 25 \ N$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ $f_{g,max} = 50 \ N$ કરતા ઓછું હોવાથી,આખું તંત્ર સ્થિર રહેશે.
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી અને બ્લોક $A$ ને બ્લોક $B$ ની સાપેક્ષે ગતિ કરાવવા માટે કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,બંને બ્લોક વચ્ચેનું ઘર્ષણબળ $0 \ N$ થશે.

(B) બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $P$ એ તેના પર લાગતા ઘર્ષણ બળોને દૂર કરવું જોઈએ.
$1$. બ્લોક $A$ અને બ્લોક $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ $(F_{AB})$ એ બ્લોક $B$ ની ઉપરની સપાટી પર ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. બ્લોક $A$ સ્થિર હોવાથી,$F_{AB} = \mu_{AB} \cdot N_A = \mu_{AB} \cdot m_A \cdot g = 0.25 \times 100 \times 10 = 250 \, N$.
$2$. બ્લોક $B$ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ $(F_{BS})$ એ બ્લોક $B$ ની નીચેની સપાટી પર લાગે છે. જમીન પરનું લંબબળ એ બંને બ્લોકના વજનનો સરવાળો છે: $N_{ground} = (m_A + m_B)g = (100 + 200) \times 10 = 3000 \, N$. તેથી,$F_{BS} = \mu_{BS} \cdot N_{ground} = (1/3) \times 3000 = 1000 \, N$.
$3$. જરૂરી કુલ બળ $P$ એ આ બંને ઘર્ષણ બળોનો સરવાળો છે: $P = F_{AB} + F_{BS} = 250 + 1000 = 1250 \, N$.

(C) ધારો કે દળ $m_3 = 3 \ kg$,$m_2 = 2 \ kg$,અને $m_1 = 1 \ kg$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ છે.
$1$. $3 \ kg$ અને $2 \ kg$ ના બ્લોક વચ્ચે સરકવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ:
$F_{s1} = \mu_1 \cdot m_3 \cdot g = 0.5 \times 3 \times 10 = 15 \ N$.
$2$. $2 \ kg$ અને $1 \ kg$ ના બ્લોક વચ્ચે સરકવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ:
$F_{s2} = \mu_2 \cdot (m_3 + m_2) \cdot g = 0.3 \times (3 + 2) \times 10 = 0.3 \times 50 = 15 \ N$.
$3$. $1 \ kg$ ના બ્લોક અને જમીન વચ્ચે સરકવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ:
$F_{s3} = \mu_3 \cdot (m_3 + m_2 + m_1) \cdot g = 0.1 \times (3 + 2 + 1) \times 10 = 0.1 \times 60 = 6 \ N$.
સરકવાની શરૂઆત કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $1 \ kg$ ના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેની સપાટી માટે સૌથી ઓછું $(6 \ N)$ હોવાથી,ત્યાં સૌથી પહેલા સરકવાની શરૂઆત થશે.

(D) $1$. $2 \ kg$ અને $3 \ kg$ ના બ્લોક વચ્ચેના ઘર્ષણનું વિશ્લેષણ કરો: મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max1} = \mu_1 N_1 = 0.2 \times 2 \times 10 = 4 \ N$ છે. $2 \ kg$ ના બ્લોક પર લાગતું બળ $5 \ N$ છે. $5 \ N > 4 \ N$ હોવાથી,બ્લોક એકબીજાની સાપેક્ષ સરકશે. ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = 4 \ N$ છે.
$2$. $3 \ kg$ ના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેના ઘર્ષણનું વિશ્લેષણ કરો: લંબબળ $N_2 = (2 + 3) \times 10 = 50 \ N$ છે. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max2} = \mu_2 N_2 = 0.1 \times 50 = 5 \ N$ છે.
$3$. $2 \ kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ $(a_1)$ ગણો: પરિણામી બળ $F_{net1} = 5 \ N - 4 \ N = 1 \ N$ છે. તેથી,$a_1 = 1 \ N / 2 \ kg = 0.5 \ m/s^2$.
$4$. $3 \ kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ $(a_2)$ ગણો: $3 \ kg$ ના બ્લોક પર લાગતા બળો $10 \ N$ નું લાગુ પાડેલ બળ,$2 \ kg$ ના બ્લોકથી મળતું ગતિક ઘર્ષણ $(4 \ N)$ અને જમીનનું ઘર્ષણ $(5 \ N)$ છે. પરિણામી બળ $F_{net2} = 10 \ N + 4 \ N - 5 \ N = 9 \ N$ છે. તેથી,$a_2 = 9 \ N / 3 \ kg = 3 \ m/s^2$.

$(A)$ ધારો કે $m_1 = 10 \text{ kg}$ (ઉપરનો બ્લોક) અને $m_2 = 5 \text{ kg}$ (નીચેનો બ્લોક) છે. બ્લોક્સ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_1 = 0.1$ છે અને નીચેના બ્લોક તથા જમીન વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_2 = 0.3$ છે. $g = 10 \text{ m/s}^2$ લેતા.
બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ: $f_{1,max} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10 \text{ N}$.
નીચેના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ: $f_{2,max} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45 \text{ N}$.
જ્યારે ઉપરના બ્લોક પર $F = 2 \text{ N}$ નું બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે, ત્યારે સિસ્ટમ ત્યારે જ ગતિ કરશે જો $F > f_{2,max}$ હોય. અહીં $F = 2 \text{ N}$ એ $f_{1,max}$ અને $f_{2,max}$ બંને કરતા ઓછું હોવાથી, આખી સિસ્ટમ સ્થિર રહેશે.
સિસ્ટમ સંતુલનમાં રહે તે માટે, જમીન દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ બળ એ લગાડેલા બળ $F$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી, $5 \text{ kg}$ ના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ એ લગાડેલા બળ $F = 2 \text{ N}$ જેટલું જ હશે.

(A) ધારો કે $m_1 = 10 \text{ kg}$ અને $m_2 = 5 \text{ kg}$ છે. બ્લોક્સ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_1 = 0.1$ છે અને $5 \text{ kg}$ ના બ્લોક તથા જમીન વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_2 = 0.3$ છે.
પ્રથમ,$10 \text{ kg}$ અને $5 \text{ kg}$ ના બ્લોક વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ શોધો: $f_{max1} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10 \text{ N}$.
ત્યારબાદ,$5 \text{ kg}$ ના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ શોધો: $f_{max2} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45 \text{ N}$.
અહીં લાગુ પાડેલ બળ $F = 2 \text{ N}$ એ $f_{max1} = 10 \text{ N}$ કરતા ઓછું હોવાથી,$10 \text{ kg}$ નો બ્લોક $5 \text{ kg}$ ના બ્લોક પર સરકશે નહીં.
તેથી,બ્લોક્સ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ એ લાગુ પાડેલ બળ $F$ જેટલું જ હશે,જે $2 \text{ N}$ છે.

(A) ધારો કે $m_1 = 10 \ kg$ (ઉપરનો બ્લોક) અને $m_2 = 5 \ kg$ (નીચેનો બ્લોક). બ્લોક્સ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_1 = 0.1$ છે અને નીચેના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_2 = 0.3$ છે.
સિસ્ટમ સ્થિર રહે તે માટે,બળ $F$ ને નીચેના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત કરવું આવશ્યક છે.
નીચેના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max, ground} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45 \ N$ છે.
જો કે,આપણે એ પણ સુનિશ્ચિત કરવું જોઈએ કે ઉપરનો બ્લોક નીચેના બ્લોક પર સરકે નહીં. બે બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max, block} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10 \ N$ છે.
જો $F > 10 \ N$ હોય,તો ઉપરનો બ્લોક નીચેના બ્લોકની સાપેક્ષમાં ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.
તેથી,કોઈપણ ગતિ પેદા કર્યા વિના લગાવી શકાય તેવું મહત્તમ બળ $F = 10 \ N$ છે.

(C) ધારો કે $10\, kg$ નો બ્લોક $m_1$ છે અને $5\, kg$ નો બ્લોક $m_2$ છે. $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_1 = 0.1$ છે,અને $m_2$ તથા જમીન વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_2 = 0.3$ છે.
$m_1$ અને $m_2$ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{1,max} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10\, N$ છે.
$m_2$ અને જમીન વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{2,max} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45\, N$ છે.
$5\, kg$ ના બ્લોક $(m_2)$ ને ગતિ કરાવવા માટે,$10\, kg$ ના બ્લોક દ્વારા તેના પર લાગતું બળ (જે ઘર્ષણ $f_1$ છે) જમીન દ્વારા લાગતા મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_{2,max} = 45\, N)$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
કારણ કે $m_1$ દ્વારા $m_2$ પર લાગતું મહત્તમ બળ $f_{1,max} = 10\, N$ છે,અને $10\, N < 45\, N$ હોવાથી,$10\, kg$ ના બ્લોક પર ગમે તેટલું બળ $F$ લગાડવામાં આવે તો પણ $5\, kg$ નો બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
તેથી,$5\, kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ $0\, m/s^2$ છે.

(A) આપેલ છે: ઉપરના બ્લોકનું દળ $m_1 = 10\, kg$,નીચેના બ્લોકનું દળ $m_2 = 5\, kg$,બ્લોક્સ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_1 = 0.1$,નીચેના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_2 = 0.3$,અને લગાડેલ બળ $F = 30\, N$.
પ્રથમ,બે બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ શોધો: $f_{max1} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10\, N$.
ત્યારબાદ,નીચેના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ શોધો: $f_{max2} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45\, N$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 30\, N$ એ સમગ્ર તંત્રને ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ $(f_{max2} = 45\, N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,નીચેનો બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
હવે,તપાસો કે ઉપરનો બ્લોક નીચેના બ્લોકની સાપેક્ષમાં ગતિ કરે છે કે નહીં: લગાડેલ બળ $F = 30\, N$ એ બ્લોક્સ વચ્ચેના મહત્તમ ઘર્ષણ $f_{max1} = 10\, N$ કરતા વધારે છે.
તેથી,ઉપરનો બ્લોક નીચેના બ્લોક પર સરકશે. $10\, kg$ ના બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_{max1} = 30 - 10 = 20\, N$.
$10\, kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m_1} = \frac{20}{10} = 2\, m/s^2$ થાય.

(C) ધારો કે $m_1 = 4 \, kg$ (ઉપરનો બ્લોક $P$) અને $m_2 = 5 \, kg$ (નીચેનો બ્લોક $Q$).
$P$ અને $Q$ વચ્ચે ઘર્ષણાંક $\mu_1 = 0.2$ છે. $Q$ અને જમીન વચ્ચે ઘર્ષણાંક $\mu_2 = 0.1$ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચે મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{1,max} = \mu_1 m_1 g = 0.2 \times 4 \times 10 = 8 \, N$ છે.
$Q$ અને જમીન વચ્ચે મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{2,max} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.1 \times (4 + 5) \times 10 = 9 \, N$ છે.
સિસ્ટમને ગતિમાં લાવવા માટે,લાગુ પાડેલ બળ $F$ એ $f_{2,max} = 9 \, N$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ. આમ,લઘુત્તમ બળ $9 \, N$ છે. વિધાન $A$ ખોટું છે.
જો $F = 4 \, N < 9 \, N$ હોય,તો સિસ્ટમ સ્થિર રહે છે. જમીનનું ઘર્ષણ $F$ ને સંતુલિત કરે છે,તેથી $f_2 = 4 \, N$. $P$ ને $Q$ ની સાપેક્ષ ગતિ કરવાની કોઈ વૃત્તિ નથી,તેથી $f_1 = 0$. વિધાન $B$ ખોટું છે.
$P$ નો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = f_{1,max} / m_1 = 8 / 4 = 2 \, m/s^2$ છે. વિધાન $C$ સાચું છે.
સરકવાની શરૂઆત ત્યારે થાય છે જ્યારે $Q$ નો પ્રવેગ $2 \, m/s^2$ થી વધી જાય. આખી સિસ્ટમ માટે,$F - f_{2,max} = (m_1 + m_2) a$. જ્યારે $a = 2 \, m/s^2$ હોય,ત્યારે $F - 9 = (9) \times 2 \Rightarrow F = 27 \, N$. વિધાન $D$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે $M$ અને $m_0$ બ્લોક્સની સિસ્ટમનું સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રવેગ $a$ છે અને $m$ દળના બ્લોકનો ઉર્ધ્વ દિશામાં પ્રવેગ $a$ છે. દોરી અદ્રશ્ય હોવાથી,બધા બ્લોક્સનો પ્રવેગ સમાન $a$ હશે.
$(M + m_0)$ સિસ્ટમ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T = (M + m_0)a$.
$m$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $mg - T = ma$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $mg = (M + m_0 + m)a$,તેથી $a = \frac{mg}{M + m_0 + m}$.
બ્લોક $m_0$ ને $M$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ એ જરૂરી સ્યુડો બળ પૂરું પાડવું જોઈએ: $f = m_0 a$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu m_0 g$ છે.
$m_0$ ને સરકતું અટકાવવા માટે,$f \le f_{max}$ હોવું જોઈએ,તેથી $m_0 a \le \mu m_0 g$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $m_0 \left( \frac{mg}{M + m_0 + m} \right) \le \mu m_0 g$.
આમ,$\mu \ge \frac{m}{M + m_0 + m}$.
આ અભિવ્યક્તિ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. ત્રણેય બ્લોક સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ સમાન $a$ હશે. તંત્રનું કુલ દળ $(M + m_0 + m)$ છે. પ્રેરક બળ $m$ બ્લોકનું વજન $mg$ છે. આખા તંત્ર માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $mg = (M + m_0 + m)a$,તેથી $a = \frac{mg}{M + m_0 + m}$.
હવે,$m_0$ બ્લોકનો વિચાર કરો. $m_0$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ બ્લોક $M$ દ્વારા લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ છે. $m_0$ ને $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરવા માટે,$f = m_0 a$ હોવું જોઈએ.
સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય $f_{max} = \mu N = \mu m_0 g$ છે,જ્યાં $N = m_0 g$ એ $m_0$ અને $M$ વચ્ચેનું લંબબળ છે.
બ્લોક્સ સાથે ગતિ કરે તે માટે,જરૂરી ઘર્ષણ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ કરતા વધવું ન જોઈએ: $f \le f_{max}$.
પદો મૂકતા: $m_0 a \le \mu m_0 g$.
$a \le \mu g$.
$\frac{mg}{M + m_0 + m} \le \mu g$.
$\mu \ge \frac{m}{M + m_0 + m}$.
આમ,$\mu$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{m}{M + m_0 + m}$ છે.

(A) ધારો કે સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a = F / (M + m + M_0)$ છે.
બ્લોક $m$ એ $M_0$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,$M_0$ દ્વારા $m$ પર લાગતું લંબબળ $N$ એ પ્રવેગ $a$ પૂરો પાડવો જોઈએ. તેથી,$N = ma$.
$m$ પર લાગતા ઊર્ધ્વ બળો નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને ઉપરની તરફ ઘર્ષણ $f$ છે. સંતુલન માટે,$f = mg$.
કારણ કે $f \le \mu N$,આપણી પાસે $mg \le \mu (ma)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a \ge g / \mu$.
જો $F = 0$ હોય,તો $a = 0$ થાય,તેથી $f = mg$ સંતુલિત થઈ શકતું નથી,જેનો અર્થ છે કે બ્લોક્સ સ્થિર રહી શકતા નથી. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$f = 0$ માટે,આપણને $mg = 0$ ની જરૂર પડે,જે અશક્ય છે. તેથી,$(C)$ ખોટું છે.
$F$ ના એવા વિસ્તાર માટે કે જ્યાં $a \ge g / \mu$ હોય,બ્લોક્સ સ્થિર રહી શકે છે,માત્ર એક અનન્ય મૂલ્ય માટે નહીં. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $(A)$ સાચું છે.

(D) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. કારણ કે $M$ અને $m$ એ $M_0$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે,તેથી આખું તંત્ર $a = \frac{F}{M_0 + M + m}$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.
બ્લોક $M$ માટે: સ્યુડો બળ $Ma$ જમણી તરફ લાગે છે. દોરીમાં તણાવ $T$ તેને જમણી તરફ ખેંચે છે. તેથી,$T = Ma$.
બ્લોક $m$ માટે: વજન $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે. ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે. સ્યુડો બળ $ma$ એ $m$ પર ઊભી સપાટીની વિરુદ્ધ આડી દિશામાં લાગે છે,તેથી $N = ma$.
$m$ સ્થિર રહે તે માટે,ઊભી દિશાના બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ: $f = mg \implies \mu N = mg \implies \mu(ma) = mg \implies a = \frac{g}{\mu}$.
$a$ ની કિંમત તંત્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{F}{M_0 + M + m} = \frac{g}{\mu} \implies F = (M_0 + M + m) \frac{g}{\mu}$.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બ્લોક $D$ નું દળ $M$ છે. બ્લોક $A, B, C$ પ્રવેગ $a$ સાથે એકસાથે ગતિ કરે છે. બ્લોક $B$ અને $C$ સરક્યા વગર ગતિ કરી શકે તે માટેનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ ઘર્ષણ બળ દ્વારા નક્કી થાય છે. બ્લોક $C$ માટે,મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu mg$ છે. તેથી,$a_{max} = \frac{f_{max}}{m} = \mu g$.
બ્લોક $(A+B+C)$ ની સિસ્ટમ માટે,કુલ દળ $3m$ છે. દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ પ્રવેગ આપે છે:
$T = (3m)a = (3m)(\mu g) = 3m\mu g$.
નીચે તરફ ગતિ કરતા $M$ દળના બ્લોક $D$ માટે:
$Mg - T = Ma$
$Mg - 3m\mu g = M(\mu g)$
$Mg - M\mu g = 3m\mu g$
$Mg(1 - \mu) = 3m\mu g$
$M = \frac{3m\mu}{1 - \mu}$.

(D) બ્લોક્સ વચ્ચે લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = 0.3 \times (2 \times 10) = 6\ N$ છે.
$2\ kg$ ના બ્લોક માટે,પરિણામી બળ $F_{net,1} = 10 - 6 = 4\ N$ છે. તેનો પ્રવેગ $a_1 = \frac{4}{2} = 2\ m s^{-2}$ છે.
$8\ kg$ ના બ્લોક માટે,એકમાત્ર આડું બળ ઘર્ષણ બળ $f_k = 6\ N$ છે જે આગળની દિશામાં લાગે છે. તેનો પ્રવેગ $a_2 = \frac{6}{8} = 0.75\ m s^{-2}$ છે.
$8\ kg$ ના બ્લોકની સાપેક્ષમાં $2\ kg$ ના બ્લોકનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a_1 - a_2 = 2 - 0.75 = 1.25\ m s^{-2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2} a_{rel} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = 3.0\ m$ અને $u = 0$ છે:
$3.0 = 0 + \frac{1}{2} \times 1.25 \times t^2$
$t^2 = \frac{3.0 \times 2}{1.25} = \frac{6}{1.25} = 4.8$
$t = \sqrt{4.8} \approx 2.19\ s$.

(C) ધારો કે $m_1 = 10 \ kg$ અને $m_2 = 20 \ kg$ છે. ઘર્ષણાંક $\mu_1 = 0.3$ અને $\mu_2$ છે.
સીમાંત સંતુલન સ્થિતિમાં,ઢાળની દિશામાં લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બંને બ્લોક પર લાગતા મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળોના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$(m_1 + m_2) g \sin \theta = (\mu_1 m_1 g \cos \theta + \mu_2 m_2 g \cos \theta)$
$(10 + 20) g \sin \theta = (0.3 \times 10 \times g \cos \theta + \mu_2 \times 20 \times g \cos \theta)$
$g \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$30 \tan \theta = 3 + 20 \mu_2$
અહીં $\tan \theta = 1/2$ આપેલ છે,તેથી $30(1/2) = 3 + 20 \mu_2$
$15 = 3 + 20 \mu_2$
$12 = 20 \mu_2$
$\mu_2 = 12/20 = 0.6$

(B) બે બ્લોક્સ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = 0.5 \times 4 \times 10 = 20\ N$ છે.
$4\ kg$ ના બ્લોક માટે (જમણી તરફ $12\ m/s$ ના વેગથી): $a_2 = -f/m_2 = -20/4 = -5\ m/s^2$.
$2\ kg$ ના બ્લોક માટે (ડાબી તરફ $6\ m/s$ ના વેગથી): $a_1 = +f/m_1 = +20/2 = +10\ m/s^2$.
સાપેક્ષ ગતિ ત્યારે બંધ થાય જ્યારે $v_1 = v_2$:
$-6 + 10t = 12 - 5t$
$15t = 18 \implies t = 1.2\ s$. (વિધાન $ii$ સાચું છે).
સામાન્ય વેગ $v = 12 - 5(1.2) = 6\ m/s$ (જમણી તરફ). (વિધાન $iii$ ખોટું છે).
$4\ kg$ ના બ્લોકનું સ્થાનાંતર: $s = ut + 0.5at^2 = 12(1.2) + 0.5(-5)(1.2)^2 = 14.4 - 3.6 = 10.8\ m$. (વિધાન $iv$ સાચું છે).
આમ,વિધાન $ii$ અને $iv$ સાચા છે.

(C) બ્લોક $m$ ને વેજ $M$ સાથે ગતિ કરવા માટે, ઉર્ધ્વ બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ। $m$ પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo force) $F_p = ma$ પાછળની દિશામાં છે. આ આભાસી બળ $m$ અને $M$ વચ્ચે લંબબળ $N$ તરીકે કાર્ય કરે છે, તેથી $N = ma = 1 \times 20 = 20\, N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = 0.6 \times 20 = 12\, N$ છે.
બ્લોકનું વજન $mg = 1 \times 10 = 10\, N$ છે.
કારણ કે $f_{max} > mg$, બ્લોક $m$ નીચે સરકશે નહીં. સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરે છે, તેથી $f = mg = 10\, N$.
જ્યાં સુધી બ્લોક સરકતો નથી, ત્યાં સુધી ઘર્ષણ બળ $f$ એ $mg$ જેટલું અચળ રહે છે, પ્રવેગ $a$ માં નાના ફેરફારો છતાં, જો $f_{max} \ge mg$ હોય (એટલે કે $\mu ma \ge mg \implies a \ge g/\mu = 10/0.6 = 16.67\, m/s^2$).
હાલનો પ્રવેગ $20\, m/s^2 > 16.67\, m/s^2$ હોવાથી, ઘર્ષણ બળ $10\, N$ પર અચળ રહે છે.

(C) $1$. ઘર્ષણ બળોની ગણતરી કરો:
- $A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ: $f_1 = \mu_1 m_A g = 0.4 \times 5 \times 10 = 20 \ N$.
- $B$ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ: $f_2 = \mu_2 (m_A + m_B) g = 0.2 \times (5 + 4) \times 10 = 0.2 \times 90 = 18 \ N$.
$2$. પ્રવેગની ગણતરી કરો:
- બ્લોક $A$ માટે: $a_A = f_1 / m_A = 20 / 5 = 4 \ m/s^2$ (જમણી તરફ).
- બ્લોક $B$ માટે: $F - f_1 - f_2 = m_B a_B \Rightarrow 62 - 20 - 18 = 4 a_B \Rightarrow 24 = 4 a_B \Rightarrow a_B = 6 \ m/s^2$ (જમણી તરફ).
$3$. સાપેક્ષ ગતિ:
- સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{B/A} = a_B - a_A = 6 - 4 = 2 \ m/s^2$ (જમણી તરફ).
- $s = ut + 1/2 a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = 16 \ m$,$u = 0$,$a = 2 \ m/s^2$:
- $16 = 0 + 1/2 \times 2 \times t^2 \Rightarrow 16 = t^2 \Rightarrow t = 4 \ \text{સેકન્ડ}$.

(B) ધારો કે દળ $m_1 = 1 \ kg$ અને $m_2 = 2 \ kg$ છે. લગાડેલું બળ $F = 0.5 \ N$ છે.
ધારો કે બંને બ્લોક $a$ પ્રવેગ સાથે સાથે ગતિ કરે છે,તો તંત્ર માટે ગતિનું સમીકરણ $F = (m_1 + m_2)a$ થાય.
$0.5 = (1 + 2)a \Rightarrow 0.5 = 3a \Rightarrow a = \frac{0.5}{3} = \frac{1}{6} \ m/s^2$.
નીચેના બ્લોક $(m_2)$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = m_2 a = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \ N$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu_s m_1 g = 0.1 \times 1 \times 10 = 1 \ N$ છે.
અહીં $f = \frac{1}{3} \ N < f_{max} = 1 \ N$ હોવાથી,બંને બ્લોક સાથે ગતિ કરે છે તે ધારણા સાચી છે.
નીચેનો બ્લોક,ઉપરના બ્લોક પર પાછળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ $f$ લગાડે છે.
નીચેના બ્લોક દ્વારા ઉપરના બ્લોક પર થયેલું કાર્ય $W = -f \times d$,જ્યાં $d = 3 \ m$ છે.
$W = -(\frac{1}{3}) \times 3 = -1 \ J$.

(D) બંને બ્લોક સાથે ગતિ કરે તે માટે,બ્લોક $A$ એ બ્લોક $B$ જેટલા જ પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરવી જોઈએ। બ્લોક $A$ પર પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરતું એકમાત્ર બળ બ્લોક $B$ દ્વારા લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ છે।
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_2 m_A g = 0.3 \times 20 \times 10 = 60 \text{ N}$ છે।
બ્લોક $A$ નો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \frac{f_{s,max}}{m_A} = \frac{60}{20} = 3 \text{ m/s}^2$ છે।
હવે,બંને બ્લોક $(A+B)$ ના તંત્રને $a_{max} = 3 \text{ m/s}^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતા ધ્યાનમાં લો। બાહ્ય બળ $F$ એ બ્લોક $B$ અને જમીન વચ્ચેના ગતિક ઘર્ષણ $f_k$ ને પાર કરવું જોઈએ।
જમીન પરનું લંબબળ $N = (m_A + m_B)g = (20 + 40) \times 10 = 600 \text{ N}$ છે।
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_1 N = 0.2 \times 600 = 120 \text{ N}$ છે।
તંત્ર $(A+B)$ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - f_k = (m_A + m_B) a_{max}$
$F - 120 = (20 + 40) \times 3$
$F - 120 = 60 \times 3$
$F - 120 = 180$
$F = 300 \text{ N}$.

(A) $1$. પ્રથમ,બ્લોકો વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ શોધો: $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s m_B g = 0.4 \times 5 \times 10 = 20\, N$.
$2$. જો બંને બ્લોક $a$ પ્રવેગથી સાથે ગતિ કરે,તો $F = (m_A + m_B) a$. તેથી,$175 = (30 + 5) a \Rightarrow a = 175 / 35 = 5\, m/s^2$.
$3$. બ્લોક $A$ ને $5\, m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ $F_A = m_A a = 30 \times 5 = 150\, N$ છે. કારણ કે $150\, N > f_{s,max} (20\, N)$,બ્લોકો વચ્ચે સરકણ (slipping) થશે.
$4$. જ્યારે તેઓ સરકે છે,ત્યારે ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k m_B g = 0.3 \times 5 \times 10 = 15\, N$ બ્લોક $A$ પર લાગશે.
$5$. બ્લોક $A$ નો પ્રવેગ $a_A = f_k / m_A = 15 / 30 = 0.5\, m/s^2$ થશે.

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. $4 \ kg$ નો બ્લોક $8 \ kg$ ના બ્લોક સાથે સરક્યા વગર ગતિ કરે તે માટે,મહત્તમ ઘર્ષણ બળ જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડવો જોઈએ.
$4 \ kg$ ના બ્લોક પર લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu N = \mu mg = 0.4 \times 4 \times 10 = 16 \ N$ છે.
આ ઘર્ષણ બળ $4 \ kg$ ના બ્લોકને પ્રવેગ આપે છે: $f_{max} = m_1 a \Rightarrow 16 = 4a \Rightarrow a = 4 \ m/s^2$.
હવે,$(4 \ kg + 8 \ kg)$ ના સંપૂર્ણ તંત્રને ધ્યાનમાં લેતા જે બળ $F$ હેઠળ $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે:
$F = (m_1 + m_2) a = (4 + 8) \times 4 = 12 \times 4 = 48 \ N$.
આમ,મહત્તમ બળ $F$ એ $48 \ N$ છે.

(A) $1$. ધારો કે બંને બ્લોક $A$ અને $B$ સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B = 1 + 2 = 3\,kg$ છે.
$2$. લગાડવામાં આવેલ બાહ્ય બળ $F = 5\,N$ છે. તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{5}{3}\,m/s^2$ છે.
$3$. બ્લોક $A$ ને આ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ $f = m_A \cdot a = 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}\,N$ છે.
$4$. $A$ અને $B$ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu \cdot m_A \cdot g = 0.2 \cdot 1 \cdot 10 = 2\,N$ છે.
$5$. અહીં જરૂરી બળ $f = \frac{5}{3}\,N \approx 1.67\,N$ એ $f_{max} = 2\,N$ કરતા ઓછું હોવાથી,બંને બ્લોક સાથે ગતિ કરશે.
$6$. તેથી,$A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ એ $A$ ને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ જેટલું જ હશે,જે $\frac{5}{3}\,N$ છે.

(C) ધારો કે બ્લોક $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે. બ્લોક $A$ અને $B$ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu m_A g = \mu \times 4 \times 10 = 40\mu$ છે.
જ્યારે $A$ પર $F_A = 12\, N$ બળ લગાડવામાં આવે,ત્યારે તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F_A}{m_A + m_B} = \frac{12}{4 + 5} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\, m/s^2$ થાય.
બ્લોક $A$ એ $B$ સાથે ગતિ કરે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ $A$ ને પ્રવેગ પૂરો પાડવો જોઈએ: $f = m_A a = 4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}\, N$.
આ સીમાંત કિસ્સો હોવાથી,$f = f_{max} \Rightarrow 40\mu = \frac{16}{3} \Rightarrow \mu = \frac{16}{120} = \frac{2}{15}$.
હવે,ધારો કે બ્લોક $B$ પર મહત્તમ બળ $F_B$ લગાડવામાં આવે છે. તંત્રનો પ્રવેગ $a' = \frac{F_B}{m_A + m_B} = \frac{F_B}{9}$ થાય.
બ્લોક $A$ એ $B$ સાથે ગતિ કરે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ $A$ ને પ્રવેગ પૂરો પાડવો જોઈએ: $f = m_A a' = 4 \times \frac{F_B}{9}$.
$f \le f_{max}$ હોવાથી,$4 \times \frac{F_B}{9} \le 40 \times \frac{2}{15} \Rightarrow F_B \le 40 \times \frac{2}{15} \times \frac{9}{4} = 12\, N$. જો કે,જો બળ ફક્ત $B$ પર લાગે તો $F_B - f = m_B a'$ અને $f = m_A a'$ થાય. $F_B = (m_A + m_B) a' = 9a'$. $f = 4a' = 40(1/6) = 20/3 \Rightarrow a' = 5/3$. તેથી $F_B = 9(5/3) = 15\, N$.

(B) બ્લોક $A$ એ $B$ પર સરકે નહીં તે માટે,તંત્રનો મહત્તમ પ્રવેગ $a$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેના ઘર્ષણ દ્વારા મર્યાદિત છે.
$A$ પર લાગતું મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu_1 m_A g = 0.2 \times 1 \times 10 = 2\,N$ છે.
આ ઘર્ષણ બ્લોક $A$ ને મહત્તમ પ્રવેગ આપે છે: $a_{max} = \frac{f_{max}}{m_A} = \frac{2}{1} = 2\,m/s^2$.
હવે,આખા તંત્ર $(A+B)$ ને $a_{max}$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતું ગણો. બાહ્ય બળ $F$ એ $B$ અને ટેબલની સપાટી વચ્ચેના ઘર્ષણ $(f_{table})$ ને દૂર કરવું જોઈએ અને બંને બ્લોક્સને જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડવો જોઈએ.
$B$ અને ટેબલ વચ્ચેનું ઘર્ષણ $f_{table} = \mu_2 (m_A + m_B) g = 0.2 \times (1 + 3) \times 10 = 0.2 \times 4 \times 10 = 8\,N$ છે.
તંત્ર $(A+B)$ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F - f_{table} = (m_A + m_B) a_{max}$.
$F - 8 = (1 + 3) \times 2$.
$F - 8 = 4 \times 2 = 8$.
$F = 8 + 8 = 16\,N$.

(D) આપેલ છે: બ્લોક $A$ નું દળ,$m_{A} = \frac{m}{2}$. બ્લોક $B$ નું દળ,$m_{B} = m$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક,$\mu_{A} = 0.2$. $B$ અને જમીન વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક,$\mu_{B} = 0.1$.
બંને બ્લોક સાથે ગતિ કરે તે માટે,મહત્તમ પ્રવેગ $a$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેના ઘર્ષણ દ્વારા મળે છે.
$f_{max} = \mu_{A} m_{A} g = m_{A} a$
$a = \mu_{A} g = 0.2 g$.
હવે,બંને બ્લોકને એક તંત્ર તરીકે ગણતા,કુલ દળ $M = m_{A} + m_{B} = \frac{m}{2} + m = \frac{3m}{2}$ થાય.
બળ $F$ એ $B$ અને જમીન વચ્ચેના ઘર્ષણને દૂર કરવું જોઈએ અને તંત્રને પ્રવેગ $a$ આપવો જોઈએ.
$F - \mu_{B} (m_{A} + m_{B}) g = (m_{A} + m_{B}) a$
$F = (m_{A} + m_{B}) a + \mu_{B} (m_{A} + m_{B}) g$
$F = (\frac{3m}{2})(0.2 g) + (0.1)(\frac{3m}{2}) g$
$F = 0.3 mg + 0.15 mg = 0.45 mg$.
આમ,મહત્તમ બળ $0.45 mg$ છે.

(B) મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\mu_s = 0.6$,$m = 1\, kg$,અને $g = 9.8\, m/s^2$ આપેલ છે.
$f_{max} = 0.6 \times 1 \times 9.8 = 5.88\, N$.
ટ્રકના પ્રવેગને કારણે બ્લોક પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo force) $F_{pseudo} = ma = 1 \times 5 = 5\, N$ છે.
અહીં લાગતું આભાસી બળ $(5\, N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(5.88\, N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક ટ્રકની સાપેક્ષમાં સરકશે નહીં.
તેથી,સ્થિત ઘર્ષણ બળ આભાસી બળને સંતુલિત કરવા માટે પોતાની જાતે ગોઠવાઈ જશે.
આમ,બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $5\, N$ છે.

(C) બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે,લાગુ પાડેલ બળ $F$ એ તેના પર લાગતા ઘર્ષણ બળોને દૂર કરવું આવશ્યક છે.
$1$. બ્લોક $A$ અને બ્લોક $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ $(f_{AB})$: જ્યારે બ્લોક $B$ જમણી તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તેની ઉપરની સપાટી પર લાગતું આ સીમાંત ઘર્ષણ છે. બ્લોક $A$ દીવાલ સાથે બાંધેલો હોવાથી તે સ્થિર રહે છે. $A$ પરનું લંબબળ $N_A = m_A g = 100 \times 10 = 1000\, N$ છે. તેથી,$f_{AB} = \mu_{AB} N_A = 0.2 \times 1000 = 200\, N$.
$2$. બ્લોક $B$ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ $(f_{BS})$: આ બ્લોક $B$ ની નીચેની સપાટી પર લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ છે. જમીન પરનું લંબબળ $N_G = (m_A + m_B) g = (100 + 200) \times 10 = 3000\, N$ છે. તેથી,$f_{BS} = \mu_{BS} N_G = 0.3 \times 3000 = 900\, N$.
$3$. જરૂરી કુલ બળ $F$: બળ $F$ એ બંને ઘર્ષણ બળોને દૂર કરવું જોઈએ.
$F = f_{AB} + f_{BS} = 200\, N + 900\, N = 1100\, N$.

(C) બ્લોક $B$ પર લાગતું મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max}$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા મળે છે.
$f_{max} = \mu m_B g = 0.4 \times 3 \times 10 = 12 \, N$.
આ ઘર્ષણ બળ બ્લોક $B$ ને મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ આપે છે જેથી તે $A$ પર સરકે નહીં.
$a_{max} = \frac{f_{max}}{m_B} = \frac{12}{3} = 4 \, m/s^2$.
બંને બ્લોક અલગ થયા વગર સાથે ગતિ કરે તે માટે,સમગ્ર તંત્ર આ મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ થી ગતિ કરવું જોઈએ.
બ્લોક $A$ અને $B$ ના સંયુક્ત તંત્ર માટે ન્યુટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F = (m_A + m_B) a_{max} = (6 + 3) \times 4 = 9 \times 4 = 36 \, N$.

(C) બ્લોક્સ અલગ થયા વગર સાથે ગતિ કરે તે માટે,મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ એ બ્લોક $A$ અને બ્લોક $B$ વચ્ચેના સીમાંત ઘર્ષણ દ્વારા નક્કી થાય છે.
બ્લોક $B$ પર લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu m_B g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f_{max} = 0.4 \times 3 \times 10 = 12\, N$.
આ ઘર્ષણ બળ બ્લોક $B$ ને જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે. તેથી,$f_{max} = m_B a_{max}$.
$12 = 3 \times a_{max} \implies a_{max} = 4\, m/s^2$.
હવે,બંને બ્લોક્સને એક તંત્ર તરીકે ગણતા,તેમને $a_{max}$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી કુલ બળ $F = (m_A + m_B) a_{max}$ છે.
$F = (6 + 3) \times 4 = 9 \times 4 = 36\, N$.

(A) $m$ દળના બ્લોકે $M$ દળના બ્લોકની સાથે ગતિ કરવા માટે,તેમની વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $m$ દળના બ્લોકને જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડવો જોઈએ.
$m$ દળના બ્લોક પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે.
બ્લોક $m$ એ $M$ ની ઉપર હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય છે.
તેથી,મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આ ઘર્ષણ બળ દ્વારા $m$ દળના બ્લોકને આપી શકાતો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ એ $f_{\max} = m a_{\max}$ છે.
$f_{\max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\mu mg = m a_{\max}$ મળે છે.
$a_{\max}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $a_{\max} = \mu g$ મળે છે.

(A) બ્લોક $A$ ને બ્લોક $B$ સાથે કોઈ પણ સાપેક્ષ ગતિ વગર ગતિ કરાવવા માટે,તંત્રનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેના ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે.
બ્લોક $A$ પર લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N_A = \mu m_A g$ છે.
બ્લોક $A$ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ વાપરતા,$f_{max} = m_A a_{max}$.
તેથી,$m_A a_{max} = \mu m_A g$,જે $a_{max} = \mu g$ આપે છે.
અહીં $\mu = 0.60$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $a_{max} = 0.60 \times 10 = 6\,m/s^2$.
હવે,બ્લોક $A$ અને $B$ બંનેને $(m_A + m_B)$ દળના એક તંત્ર તરીકે ગણતા,$B$ પર લગાવી શકાય તેવું મહત્તમ બળ $F_{max} = (m_A + m_B) a_{max}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$F_{max} = (2 + 5) \times 6 = 7 \times 6 = 42\,N$.

(B) ધારો કે $m_1 = 10 \, kg$ (ઉપરનો બ્લોક) અને $m_2 = 5 \, kg$ (નીચેનો બ્લોક) છે.
બ્લોક્સ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_1 = 0.1$ છે અને નીચેના બ્લોક તથા જમીન વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu_2 = 0.3$ છે.
બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{1 \max} = \mu_1 m_1 g = 0.1 \times 10 \times 10 = 10 \, N$ છે.
નીચેના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{2 \max} = \mu_2 (m_1 + m_2) g = 0.3 \times (10 + 5) \times 10 = 0.3 \times 150 = 45 \, N$ છે.
જ્યારે ઉપરના બ્લોક પર બાહ્ય બળ $F = 2 \, N$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રને ગતિ કરાવવા માટેનું બળ $F = 2 \, N$ છે.
અહીં $F < f_{1 \max}$ $(2 \, N < 10 \, N)$ હોવાથી,ઉપરનો બ્લોક નીચેના બ્લોકની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતો નથી.
પરિણામે,આખું તંત્ર $(15 \, kg)$ સ્થિર રહે છે કારણ કે લગાડેલું બળ $F = 2 \, N$ એ $f_{2 \max} = 45 \, N$ કરતા ઓછું છે.
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી,$5 \, kg$ ના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ લગાડેલા બળ $F$ ને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$5 \, kg$ ના બ્લોક અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $2 \, N$ છે.

(A) $1$. $10\,kg$ ના બ્લોક અને $5\,kg$ ના બ્લોક વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ શોધો: $f_{max} = \mu_s N = 0.1 \times (10\,kg \times 10\,m/s^2) = 10\,N$.
$2$. લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = 2\,N$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = 10\,N$ કરતા ઓછું છે.
$3$. કારણ કે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ સ્થિત ઘર્ષણને દૂર કરવા માટે પૂરતું નથી,તેથી બ્લોક્સ એકબીજાની સાપેક્ષમાં ગતિ કરશે નહીં.
$4$. તેથી,બ્લોક્સ વચ્ચે લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ લાગુ પાડવામાં આવેલા બળ જેટલું જ હશે,જે $2\,N$ છે.

(C) $1$. $10\,kg$ અને $5\,kg$ ના બ્લોક્સ વચ્ચેનું સીમાંત ઘર્ષણ બળ ગણો: $f_{1} = \mu_1 N_1 = 0.1 \times 10 \times 10 = 10\,N$.
$2$. $10\,kg$ ના બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_1 = 30\,N - 10\,N = 20\,N$ છે.
$3$. $10\,kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{20\,N}{10\,kg} = 2\,m/s^2$ થાય.

(C) બોક્સનું દળ,$m = 40 \;kg$.
ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.15$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 0$.
ટ્રકનો પ્રવેગ,$a = 2 \;m s^{-2}$.
ટ્રકના છેડાથી બોક્સનું અંતર,$s' = 5 \;m$.
ટ્રકના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,બોક્સ પાછળની દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ $F_p = ma$ અનુભવે છે.
$F_p = 40 \times 2 = 80 \;N$.
આગળની દિશામાં લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg = 0.15 \times 40 \times 10 = 60 \;N$ છે.
બોક્સ પર પાછળની દિશામાં લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_p - f = 80 - 60 = 20 \;N$ છે.
ટ્રકની સાપેક્ષમાં બોક્સનો પાછળની તરફનો પ્રવેગ $a_{rel} = \frac{F_{net}}{m} = \frac{20}{40} = 0.5 \;m s^{-2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s' = u t + \frac{1}{2} a_{rel} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 = 0 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times t^2$
$5 = 0.25 \times t^2$
$t^2 = 20$
$t = \sqrt{20} \;s$.
$t$ સમયમાં ટ્રક દ્વારા કાપેલું અંતર $s$ છે:
$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (\sqrt{20})^2$
$s = 20 \;m$.

(C) બ્લોક્સ એકસાથે ગતિ કરે તે માટે,સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી નાના બ્લોક $m$ પરનું ઘર્ષણ બળ તેના પ્રવેગ માટે પૂરતું હોય.
મહત્તમ ઉપલબ્ધ ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N = \mu mg$ છે.
બ્લોક $m$ લપસ્યા વિના જે મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ મેળવી શકે તે $a_{\max} = \frac{f_{\max}}{m} = \mu g$ છે.
અહીં $\mu = \frac{3}{7}$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી:
$a_{\max} = \frac{3}{7} \times 9.8 = 3 \times 1.4 = 4.2\, m/s^2$.
હવે,$(M + m)$ દળની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ માટે,બળ $F$ લાગુ કરવામાં આવે છે:
$F = (M + m) a_{\max}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = (4.5 + 0.5) \times 4.2 = 5 \times 4.2 = 21\, N$.
આમ,મહત્તમ આડું બળ $21\, N$ છે.

(D) ધારો કે ઉપરના બ્લોકનું દળ $m_1 = 1 \, kg$ અને નીચેના બ્લોકનું દળ $m_2 = 2 \, kg$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 3 \, kg$ છે.
બ્લોક્સ સાથે ગતિ કરે તે માટે,ઉપરના બ્લોકે નીચેના બ્લોક જેટલા જ પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરવી જોઈએ. ઉપરના બ્લોકને પ્રવેગિત કરતું એકમાત્ર બળ બે બ્લોક્સ વચ્ચેનું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu m_1 g = 0.5 \times 1 \times 10 = 5 \, N$ છે.
આ ઘર્ષણ બળ $1 \, kg$ ના બ્લોકને મહત્તમ પ્રવેગ આપે છે: $f_{s,max} = m_1 a \Rightarrow 5 = 1 \times a \Rightarrow a = 5 \, m/s^2$.
હવે,$3 \, kg$ ના સમગ્ર તંત્રને $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતા ધ્યાનમાં લેતા,લાગુ પાડેલ બળ $F = (m_1 + m_2) a = 3 \times 5 = 15 \, N$ મળે છે.

(C) $m$ દળના બ્લોક માટે સરક્યા વગર પ્રાપ્ત કરી શકાય તેવો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s, \max} = \mu_s N = \mu_s mg$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$m$ દળના બ્લોક માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f_{s, \max} = m a_{\max} \implies \mu_s mg = m a_{\max} \implies a_{\max} = \mu_s g$.
અહીં $\mu_s = 0.5$ અને $g = 9.8 \; m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $a_{\max} = 0.5 \times 9.8 = 4.9 \; m/s^2$.
બંને બ્લોક સાથે ગતિ કરે તે માટે,સમગ્ર સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a \le a_{\max}$ હોવો જોઈએ.
$(m + M)$ દળની સંયુક્ત સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F = (m + M) a_{\max} = (2 + 8) \times 4.9 = 10 \times 4.9 = 49 \; N$.

(A) ધારો કે બ્લોક $X$ અને $Y$ ના તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે.
બ્લોક્સ સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,કુલ દળ $M = m_X + m_Y = 8 \,kg + 2 \,kg = 10 \,kg$ થાય.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{F}{10} \,ms^{-2}$ દ્વારા મળે છે.
બ્લોક $Y$ ને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ તેના વજન $m_Y g$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f = m_Y g = 2 \times 10 = 20 \,N$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu R$ દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $R$ એ બ્લોક $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું લંબબળ છે.
બ્લોક $Y$ ની સમક્ષિતિજ ગતિ પરથી,લંબબળ $R$ એ બ્લોક $Y$ ને જરૂરી પ્રવેગ $a$ પૂરો પાડે છે:
$R = m_Y a = 2 \times \frac{F}{10} = \frac{F}{5}$.
ઘર્ષણના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$f = \mu R \Rightarrow 20 = 0.5 \times \frac{F}{5}$.
$20 = \frac{F}{10} \Rightarrow F = 200 \,N$.
આમ,$F$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $200 \,N$ છે.

(A) પેન અને કાગળ વચ્ચેનું સીમાંત ઘર્ષણ $f_1 = \mu_1 mg$ છે.
પેન લપસવાનું શરૂ કરે તે માટે,પેન પર લાગતું બળ ઓછામાં ઓછું $f_1$ હોવું જોઈએ. આ બળ કાગળ દ્વારા લાગતા ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે પેન પરના ઘર્ષણ બળ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,પેનનો પ્રવેગ $a = \frac{f_1}{m} = \mu_1 g$ છે.
પેન લપસે તે માટે,કાગળનો પ્રવેગ ઓછામાં ઓછો $a = \mu_1 g$ હોવો જોઈએ.
હવે,$M$ દળના કાગળ માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. કાગળ પર લાગતા બળો લાગુ પાડેલ બળ $F$,પેન દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ $f_1$ (પાછળની તરફ) અને ટેબલ દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ $f_2$ (પાછળની તરફ) છે.
ટેબલ પરનું લંબબળ $N = (M+m)g$ છે,તેથી $f_2 = \mu_2(M+m)g$.
કાગળ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - f_1 - f_2 = Ma$
$F = Ma + f_1 + f_2$
કિંમતો મૂકતા:
$F = M(\mu_1 g) + \mu_1 mg + \mu_2(M+m)g$
$F = (M+m)\mu_1 g + (M+m)\mu_2 g$
$F = (M+m)(\mu_1 + \mu_2)g$.

(D) ધારો કે બંને બ્લોક $a$ પ્રવેગ સાથે સાથે ગતિ કરે છે.
બ્લોક $M_2$ માટે,પ્રવેગ આપતું એકમાત્ર આડું બળ ઘર્ષણ બળ $f_r$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{r,max} = \mu N = \mu M_2 g$ છે.
તેથી,બ્લોક $M_2$ નો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \frac{f_{r,max}}{M_2} = \frac{\mu M_2 g}{M_2} = \mu g$ થશે.
બંને બ્લોકના સમગ્ર તંત્ર $(M_1 + M_2)$ ને આ મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ સાથે ગતિ કરાવવા માટે,$M_1$ પર લગાડવામાં આવતું બળ $F$ નીચે મુજબ હોવું જોઈએ:
$F = (M_1 + M_2) a_{max}$
$F = (M_1 + M_2) \mu g$
$F = \mu(M_1 + M_2) g$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) બ્લોક્સ વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ ન થાય તે માટે,બંને બ્લોક્સ સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરવા જોઈએ.
$m_2$ દળ ધરાવતા બ્લોકને ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ એ બ્લોક $m_1$ દ્વારા લગાડવામાં આવતું ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
તેથી,$f = m_2 a$.
ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય $f_{\text{max}} = \mu N = \mu m_1 g$ છે.
તેથી,બ્લોક $m_2$ નો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\text{max}}$ એ $m_2 a_{\text{max}} = \mu m_1 g$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a_{\text{max}} = \mu \frac{m_1}{m_2} g$.
હવે,બંને બ્લોક્સ $(m_1 + m_2)$ ની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લો. બાહ્ય બળ $F$ એ $m_1$ પર લગાડવામાં આવે છે.
આખી સિસ્ટમ માટે,$F = (m_1 + m_2) a$.
$a_{\text{max}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F_{\text{max}} = (m_1 + m_2) \mu \frac{m_1}{m_2} g$ મળે છે.
$F_{\text{max}} = \mu m_1 g \left(\frac{m_1 + m_2}{m_2}\right) = \mu m_1 g \left(\frac{m_1}{m_2} + 1\right)$.

(C) બ્લોક $A$ (દળ $m_A = 5 \, kg$) પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ એ બ્લોક $B$ દ્વારા લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ તેના દળ અને પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે $(F_{net} = m \cdot a)$.
અહીં,ઘર્ષણ બળ $f$ એ બ્લોક $A$ ને $a_A = 2 \, m/s^2$ નો પ્રવેગ આપે છે.
તેથી,$f = m_A \cdot a_A$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f = 5 \, kg \times 2 \, m/s^2 = 10 \, N$.
આમ,બ્લોક $B$ દ્વારા બ્લોક $A$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $10 \, N$ છે.

(A) બ્લોક $A$ ને બ્લોક $B$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. બ્લોક $B$ પર બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે. બ્લોક $A$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચે લાગતા ઘર્ષણ બળને કારણે ગતિ કરે છે.
આલેખ પરથી,બ્લોક $A$ નો પ્રવેગ $4.9 \ m/s^2$ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી રેખીય રીતે વધે છે. આ બિંદુએ,બ્લોક $A$ એ બ્લોક $B$ ની સાપેક્ષમાં સરકવાની તૈયારીમાં છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max}$ એ બ્લોક $A$ ને મહત્તમ પ્રવેગ આપે છે:
$f_{max} = m_A a_{max} = \mu_k m_A g$
જ્યાં $m_A$ એ બ્લોક $A$ નું દળ છે,$a_{max} = 4.9 \ m/s^2$ એ સરકતા પહેલાનો મહત્તમ પ્રવેગ છે,અને $g = 9.8 \ m/s^2$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$a_{max} = \mu_k g$
$4.9 = \mu_k \times 9.8$
$\mu_k = \frac{4.9}{9.8} = 0.5$
આમ,ગતિક ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય $0.5$ છે.

(C) ધારો કે બ્લોક $A$ $(5 \,kg)$ પર બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ સરક્યા વગર ગતિ થતી હોવાથી,બંને બ્લોક સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરશે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = 5 \,kg + 3 \,kg = 8 \,kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{F}{8}$ થશે.
ઉપરના બ્લોક $B$ $(3 \,kg)$ માટે,પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
તેથી,$f = m_B \cdot a = 3 \cdot \left(\frac{F}{8}\right) = \frac{3F}{8}$.
સ્થિત ઘર્ષણ બળનું મહત્તમ મૂલ્ય $f_{max} = \mu \cdot N = \mu \cdot m_B \cdot g = 0.5 \cdot 3 \cdot 10 = 15 \,N$ છે ($g = 10 \,m/s^2$ લેતા).
સાપેક્ષ સરક્યા વગર ગતિ માટે,$f \leq f_{max}$ હોવું જોઈએ,તેથી $\frac{3F}{8} \leq 15$.
$3F \leq 120 \implies F \leq 40 \,N$.
$1 \,kg \,wt. = 10 \,N$ હોવાથી,$kg \,wt.$ માં મહત્તમ બળ $\frac{40}{10} = 4 \,kg \,wt.$ થાય.