Tension Force and Pulley Block System Questions in Gujarati

(A) જ્યારે દોરી $C$ ને ધીમેથી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ક્ષણે તંત્ર સંતુલનમાં રહે છે.
ધારો કે દોરી $C$ માં તણાવ $T_C$ છે અને દોરી $A$ માં તણાવ $T_A$ છે.
$m = 1 \ kg$ દળ માટે,નીચેની તરફ લાગતું તણાવ $T_C$,નીચેની તરફ લાગતું વજન $mg$ અને ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ $T_A$ છે.
સંતુલનમાં,$T_A = T_C + mg$ થાય છે.
$T_A = T_C + mg$ હોવાથી,ઉપરની દોરી $A$ માં તણાવ હંમેશા નીચેની દોરી $C$ ના તણાવ કરતા દળના વજન જેટલો વધારે હોય છે.
તેથી,જેમ તણાવ વધે છે,તેમ દોરી $A$ માં તણાવ દોરી $C$ કરતા વહેલો તેના બ્રેકિંગ પોઈન્ટ (તૂટવાની મર્યાદા) સુધી પહોંચે છે.
આમ,ઉપરની દોરી $A$ પહેલા તૂટી જશે.

(D) કેબલમાં તણાવ $T$ એ $1000 \,kg$ વજન જેટલું આપેલું છે,જે $mg$ જેટલું છે (જ્યાં $m = 1000 \,kg$ અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે).
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લિફ્ટ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = T - mg = ma$ છે.
અહીં $T = mg$ હોવાથી,$mg - mg = ma$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $ma = 0$.
દળ $m$ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં,તેથી પ્રવેગ $a$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
શૂન્ય પ્રવેગ ધરાવતી વસ્તુ કાં તો સ્થિર હોય અથવા સમાન વેગથી (સીધી રેખામાં અચળ ઝડપે) ગતિ કરતી હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) લોલકનું દળ $m = 50 \,g = 50 \times 10^{-3} \,kg = 0.05 \,kg$ છે.
લિફ્ટ સમાન વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી,તેનો પ્રવેગ $a = 0$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લોલક પર લાગતું તણાવ બળ $T$ ઉપરની તરફ અને વજન બળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે.
ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ છે.
$a = 0$ મૂકતા,આપણને $T = mg$ મળે છે.
$g = 10 \,m/s^2$ લેતા,$T = 0.05 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 0.5 \,N$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) લિફ્ટ પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ લાગતું તણાવબળ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું વજનબળ $mg$ છે.
લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ પરિણામી બળ: $F_{net} = T - mg = ma$.
તણાવબળ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $T = m(g + a)$.
આપેલ કિંમતો: $m = 1000\,kg$,$g = 9.8\,m/s^2$,અને $a = 1\,m/s^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 1000(9.8 + 1) = 1000(10.8) = 10800\,N$.
તેથી,કેબલમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $10800\,N$ છે.

(B) સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દળરહિત હોવાથી,તેઓ સિસ્ટમ દ્વારા માપવામાં આવતા વજનમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
જ્યારે $M$ દળનો બ્લોક નીચેના સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્પ્રિંગમાં રહેલા તણાવને માપે છે,જે બ્લોકના વજન $Mg$ જેટલું હોય છે. તેથી,નીચેનું સ્કેલ $M \, kg$ દર્શાવે છે.
ઉપરનું સ્પ્રિંગ બેલેન્સ નીચેના સ્પ્રિંગ બેલેન્સ અને બ્લોક સહિતની સમગ્ર સિસ્ટમને ટેકો આપે છે. નીચેનું સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દળરહિત હોવાથી,ઉપરના સ્પ્રિંગ બેલેન્સમાં રહેલું તણાવ પણ બ્લોકના વજન $Mg$ જેટલું જ હોય છે. તેથી,ઉપરનું સ્કેલ પણ $M \, kg$ દર્શાવે છે.
આમ,બંને સ્કેલ $M \, kg$ દર્શાવે છે.

(C) આલેખ પરથી,$t = 11\, s$ સમયે,લિફ્ટ મંદન (retardation) અવસ્થામાં છે ($t = 10\, s$ અને $t = 12\, s$ ની વચ્ચે).
પ્રવેગ $a$ એ વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે:
$a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{0 - 3.6}{12 - 10} = \frac{-3.6}{2} = -1.8\, m/s^2$.
ઉપર તરફ જતી લિફ્ટ માટે ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે.
$T = m(g + a)$.
$g = 9.8\, m/s^2$ લેતા:
$T = 1500 \times (9.8 + (-1.8)) = 1500 \times 8.0 = 12000\, N$.

(C) ધારો કે દોરડાની કુલ લંબાઈ $L = 5\,m$ છે અને લગાડવામાં આવેલું બળ $F = 5\,N$ છે.
દોરડાની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{m}{L}$ છે.
દોરડાનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{F}{\lambda L}$ છે.
બળ લગાડવામાં આવે છે તે છેડાથી $x = 1\,m$ અંતરે તણાવ $T$ શોધવા માટે,આ બિંદુની પાછળના દોરડાના ભાગને ધ્યાનમાં લો. આ ભાગની લંબાઈ $(L - x) = (5 - 1) = 4\,m$ છે.
આ ભાગનું દળ $m' = \lambda(L - x)$ છે.
તણાવ $T$ એ આ દળ $m'$ ને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ પૂરું પાડે છે: $T = m'a = \lambda(L - x) \cdot \frac{F}{\lambda L} = \frac{F(L - x)}{L}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{5(5 - 1)}{5} = \frac{5 \times 4}{5} = 4\,N$.

(A) ધારો કે નીચેના બ્લોકનું દળ $m_2 = 4\,kg$ અને ઉપરના બ્લોકનું દળ $m_1 = 2\,kg$ છે. પ્રવેગ $a = 2\,m/s^2$ ઉપરની તરફ છે.
નીચેના બ્લોક $(4\,kg)$ માટે:
લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T'$ અને નીચેની તરફ વજન $m_2g$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $T' - m_2g = m_2a$
$T' - 4 \times 9.8 = 4 \times 2$
$T' - 39.2 = 8$
$T' = 47.2\,N$
ઉપરના બ્લોક $(2\,kg)$ માટે:
લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$,નીચેની તરફ તણાવ $T'$ અને નીચેની તરફ વજન $m_1g$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $T - T' - m_1g = m_1a$
$T - 47.2 - 2 \times 9.8 = 2 \times 2$
$T - 47.2 - 19.6 = 4$
$T - 66.8 = 4$
$T = 70.8\,N$

(B) ધારો કે દરેક વજનનું દળ $m = 2\, kg$ છે. આ તંત્ર ડાબી બાજુ $m$ દળ અને જમણી બાજુ કુલ $2m$ દળ ધરાવે છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{(2m - m)g}{2m + m} = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3} = \frac{9.8}{3} \approx 3.27\, m/s^2$.
હવે,વજન $C$ (દળ $m$) માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો:
તેના પર લાગતા બળો નીચેની તરફ તેનું વજન $mg$ અને ઉપરની તરફ $B$ અને $C$ ને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
તંત્ર જમણી બાજુ નીચેની તરફ પ્રવેગિત થતું હોવાથી,$C$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma$
$T = m(g - a) = m(g - g/3) = m(2g/3) = \frac{2mg}{3}$.
$m = 2\, kg$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 2 \times 9.8}{3} = \frac{39.2}{3} \approx 13.07\, N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તણાવ $13\, N$ મળે છે.

(D) આપેલ દળ $m_1 = 2 \, kg$ અને $m_2 = 3 \, kg$ છે.
સ્થિર ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલા બે દળના તંત્ર માટે,તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 2 \times 3}{2 + 3}g = \frac{12}{5}g$.
તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)g$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \left( \frac{3 - 2}{3 + 2} \right)g = \frac{1}{5}g = \frac{g}{5}$.
આમ,તણાવ $\frac{12g}{5}$ અને પ્રવેગ $\frac{g}{5}$ છે.

(C) ઘર્ષણરહિત ગરગડી પર લટકાવેલા $m_1$ અને $m_2$ દળના તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{(m_2 - m_1)}{(m_2 + m_1)} g$
અહીં $m_1 = 3\, kg$,$m_2 = 4\, kg$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(4 - 3)}{(4 + 3)} \times 9.8$
$a = \frac{1}{7} \times 9.8$
$a = 1.4\, m/s^2$
આમ,તંત્રનો પ્રવેગ $1.4\, m/s^2$ છે.

(A) ધારો કે $m_1 = 2 \, kg$ એ ટેબલ પરનો બ્લોક છે અને $m_2 = 1 \, kg$ એ લટકતું દળ છે.
ટેબલ લીસું હોવાથી,ઘર્ષણ બળ શૂન્ય છે.
ટેબલ પરના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $T = m_1 a$ છે.
લટકતા દળ માટે ગતિનું સમીકરણ $m_2 g - T = m_2 a$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $m_2 g = (m_1 + m_2) a$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \times g = \frac{1}{2 + 1} \times 9.8 = \frac{9.8}{3} \approx 3.27 \, m/s^2$.
હવે,$a$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $T = m_1 a = 2 \times 3.27 = 6.54 \, N$.

(D) ઘર્ષણરહિત ગરગડી પરથી પસાર થતી હલકી દોરી સાથે જોડાયેલા બે દળ $m_1$ અને $m_2$ માટે,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$
આપેલ છે:
$m_1 = 6\, kg$
$m_2 = 10\, kg$
$g = 9.8\, m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 6 \times 10}{6 + 10} \times 9.8$
$T = \frac{120}{16} \times 9.8$
$T = 7.5 \times 9.8 = 73.5\, N$
તેથી,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $73.5\, N$ છે.

(C) ધારો કે દળ $m_1 = 5 \ kg$ અને $m_2 = 10 \ kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{10 - 5}{10 + 5} g$
$a = \frac{5}{15} g$
$a = \frac{g}{3}$

(C) $m_1$ અને $m_2$ $(m_1 > m_2)$ દળ ધરાવતી એટવુડ મશીન માટે,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
અહીં $m_1 = 10 \ kg$,$m_2 = 6 \ kg$,અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે:
$a = \left( \frac{10 - 6}{10 + 6} \right) \times 10$
$a = \left( \frac{4}{16} \right) \times 10$
$a = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \ m/s^2$

(C) ધારો કે માણસનું દળ $m = 60 \ kg$ છે અને દોરડું સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{max} = 360 \ N$ છે.
જ્યારે માણસ $a$ પ્રવેગ સાથે દોરડા પર ઉપર ચઢે છે,ત્યારે દોરડામાં તણાવ $T = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ સુરક્ષિત પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે $T = T_{max} = 360 \ N$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$ લઈએ છીએ.
$360 = 60(10 + a)$
$6 = 10 + a$
$a = 6 - 10 = -4 \ m \ s^{-2}$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે જો તણાવની મર્યાદા $360 \ N$ હોય તો માણસ ઉપર ચઢી શકતો નથી,કારણ કે તેનું વજન $(mg = 600 \ N)$ દોરડાની ક્ષમતા કરતા વધારે છે.
જો કે,જો માણસ નીચે ઉતરી રહ્યો હોય,તો સમીકરણ $T = m(g - a)$ છે.
$360 = 60(10 - a)$
$6 = 10 - a$
$a = 4 \ m \ s^{-2}$.
આમ,માણસ $4 \ m \ s^{-2}$ ના મહત્તમ પ્રવેગ સાથે સુરક્ષિત રીતે નીચે ઉતરી શકે છે.

(A) બે દળ $m_1$ અને $m_2$ ધરાવતી એટવુડ મશીન માટે,જે ઘર્ષણરહિત ગરગડી પર દોરી વડે જોડાયેલ છે,સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
આપેલ છે:
$m_1 = 5\,kg$
$m_2 = 4.8\,kg$
$g = 9.8\,m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a = \left( \frac{5 - 4.8}{5 + 4.8} \right) \times 9.8$
$a = \left( \frac{0.2}{9.8} \right) \times 9.8$
$a = 0.2\,m/s^2$
તેથી,દળનો પ્રવેગ $0.2\,m/s^2$ છે.

(A) ધારો કે દળ $m_1 = M$ અને $m_2 = M/2$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
કિંમતો મૂકતા:
$a = \left( \frac{M - M/2}{M + M/2} \right) g$
$a = \left( \frac{M/2}{3M/2} \right) g$
$a = \frac{1}{3} g = g/3$
આમ,નાનું દળ $g/3$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જશે.

(B) ધારો કે દળ $m_1 = 3m$ અને $m_2 = m$ છે. બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(3m - m)g}{3m + m} = \frac{2mg}{4m} = \frac{g}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ છે.
ભારે દળ $(3m)$ માટે નીચેની દિશાને ધન લેતા,તેનો પ્રવેગ $a_1 = g/2$ છે. હલકું દળ $(m)$ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $a_2 = -g/2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $a_{cm} = \frac{3m(g/2) + m(-g/2)}{3m + m} = \frac{1.5mg - 0.5mg}{4m} = \frac{mg}{4m} = \frac{g}{4}$.

(B) ધારો કે દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 3m$ છે. એટવુડ મશીનમાં દળનો પ્રવેગ $a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g = \frac{3m - m}{3m + m} g = \frac{2m}{4m} g = \frac{g}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3m$ માટે નીચેની દિશાને ધન અને $m$ માટે ઉપરની દિશાને ધન લેતા,પ્રવેગ સદિશો $\vec{a}_1 = \frac{g}{2} \hat{j}$ અને $\vec{a}_2 = -\frac{g}{2} \hat{j}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{a}_{cm} = \frac{m(\frac{g}{2}) + 3m(-\frac{g}{2})}{m + 3m} = \frac{\frac{mg}{2} - \frac{3mg}{2}}{4m} = \frac{-mg}{4m} = -\frac{g}{4}$.

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. કારણ કે સમાન દોરી ગરગડીઓ પરથી પસાર થાય છે,તેથી તણાવ $T$ સમગ્ર દોરીમાં સમાન રહેશે.
તેથી,$T_1 = T_2 = T = W$ (કારણ કે વજન $W$ ગરગડી $P_1$ પર લટકે છે અને બીજો છેડો પણ વજન $W$ ને ટેકો આપે છે).
ક્ષૈતિજ દિશામાં ગરગડી $P_1$ ના સંતુલન માટે:
$T_1 \cos \theta = T_2 \cos \theta$
આ શરત સંતોષાય છે કારણ કે $T_1 = T_2 = W$.
શિરોલંબ દિશામાં ગરગડી $P_1$ ના સંતુલન માટે:
$T_1 \sin \theta + T_2 \sin \theta = W$
કારણ કે $T_1 = T_2 = W$,તેથી:
$W \sin \theta + W \sin \theta = W$
$2W \sin \theta = W$
$\sin \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^\circ$

(B) $m$ દળ ધરાવતા માણસ અને $M$ દળ ધરાવતા પ્લેટફોર્મથી બનેલા તંત્રનો વિચાર કરો.
તંત્ર પર લાગતું કુલ અધોદિશામાં બળ એ માણસ અને પ્લેટફોર્મનું વજન છે,જે $(M + m)g$ છે.
દોરડું પ્લેટફોર્મ સાથે જોડાયેલું છે અને માણસ દ્વારા પણ પકડાયેલું છે. દોરડું એક સ્થિર ગરગડી પરથી પસાર થતું હોવાથી,તણાવ $T$ પ્લેટફોર્મ પર ઉપરની તરફ અને માણસના હાથ પર પણ ઉપરની તરફ લાગે છે.
આમ,દોરડાના બે ભાગ તંત્રને ઉપરની તરફ ખેંચે છે,જે દરેક $T$ જેટલું તણાવ ધરાવે છે.
તંત્ર સમતોલન સ્થિતિમાં રહે તે માટે,કુલ ઉપરની તરફનું બળ એ કુલ નીચેની તરફના બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$2T = (M + m)g$
તેથી,દોરડામાં તણાવ:
$T = \frac{(M + m)g}{2}$

(D) જ્યારે કોઈ તંત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્તપતન કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો હોય છે,એટલે કે $a = g$ (નીચેની તરફ).
ધારો કે $10 \, kg$ અને $5 \, kg$ ના દળ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
$5 \, kg$ ના દળ માટે મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો.
તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન ($mg = 5g$ નીચેની તરફ) અને તણાવ ($T$ ઉપરની તરફ) છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $mg - T = ma$.
તંત્ર મુક્તપતન કરતું હોવાથી,$a = g$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $5g - T = 5g$.
તેથી,$T = 5g - 5g = 0 \, N$.

(B) જ્યારે બ્લોક $A$ સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોય અને બ્લોક $B$ ગરગડી પરથી લટકતો હોય ત્યારે તંત્ર માટે:
તંત્રને પ્રવેગિત કરતું બળ બ્લોક $B$ નું વજન $m_B g$ છે.
કુલ દળ જે પ્રવેગિત થાય છે તે $(m_A + m_B)$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = m_{total} a$.
$m_B g = (m_A + m_B) a$
$a = \frac{m_B g}{m_A + m_B}$
અહીં $m_A = 7\,kg$,$m_B = 3\,kg$,અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે:
$a = \frac{3 \times 10}{7 + 3} = \frac{30}{10} = 3\,m/s^2$.

(C) આ તંત્રમાં બે દળ $m_1 = 10 \ kg$ અને $m_2 = 6 \ kg$ એક દોરી વડે ઘર્ષણરહિત ગરગડી પરથી પસાર થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \, g$
અહીં $g = 10 \ m/s^2$ લેતા:
$a = \left( \frac{10 - 6}{10 + 6} \right) \times 10$
$a = \left( \frac{4}{16} \right) \times 10$
$a = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \ m/s^2$
આમ,તંત્રનો પ્રવેગ $2.5 \ m/s^2$ છે.

(A) સ્થિર ફ્રેમમાં $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતી પુલી પરની દોરીમાં તણાવ $T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પુલીને $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવામાં આવે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
અહીં $a = g$ આપેલ હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + g = 2g$ થશે.
આ કિંમતને તણાવના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}(2g) = \frac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g$.
$W = mg$ હોવાથી,$m = W/g$ લખી શકાય.
$m_1 = W_1/g$ અને $m_2 = W_2/g$ મૂકતા:
$T = \frac{4(W_1/g)(W_2/g)}{(W_1/g + W_2/g)}g = \frac{4W_1W_2}{g(W_1 + W_2)}g = \frac{4W_1W_2}{W_1 + W_2}$.

(C) કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સંબંધ મુજબ,જો $m_1$ પ્રવેગ $a$ સાથે ઉપર જાય,તો $m_2$ પ્રવેગ $2a$ સાથે ઉપર જાય છે.
બ્લોક $m_1$ માટે: $2T - m_1g = m_1a$ .....$(i)$
બ્લોક $m_2$ માટે: $T - m_2g = m_2(2a)$ .....(ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$T = m_2(g + 2a)$.
$T$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2[m_2(g + 2a)] - m_1g = m_1a$
આપેલ છે કે $m_1 = 4m_2$,તેથી:
$2m_2g + 4m_2a - 4m_2g = 4m_2a$
$2m_2g - 4m_2g = 4m_2a - 4m_2a$
$-2m_2g = 0$ (આ સૂચવે છે કે સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે).
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $a = g/4$ છે.

(D) કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સંબંધ પરથી,જો $m_1$ પ્રવેગ $a$ સાથે ઉપર જાય,તો $m_2$ પ્રવેગ $2a$ સાથે ઉપર જાય છે.
બ્લોક $m_1$ માટે: $m_1g - 2T = m_1a$ (નીચેની ગતિ ધન લેતા).
બ્લોક $m_2$ માટે: $T - m_2g = m_2(2a)$.
આપેલ છે કે $m_1 = 4m_2$,તેથી પ્રથમ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4m_2g - 2T = 4m_2a \implies 2m_2g - T = 2m_2a$.
હવે બે સમીકરણો છે:
$1$) $2m_2g - T = 2m_2a$
$2$) $T - m_2g = 2m_2a$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2m_2g - T) + (T - m_2g) = 2m_2a + 2m_2a \implies m_2g = 4m_2a \implies a = g/4$.
$a$ ની કિંમત $T - m_2g = m_2(2a)$ માં મૂકતા: $T = m_2g + 2m_2(g/4) = m_2g + m_2g/2 = \frac{3}{2}m_2g$.

(B) મુક્ત પદાર્થ આકૃતિઓ $(FBD)$ પરથી:
$m_1$ માટે: $2T - m_1g = m_1a$ .....$(i)$
$m_2$ માટે: $T - m_2g = m_2(2a)$ .....(ii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$T = m_2(g + 2a)$.
$T$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $2[m_2(g + 2a)] - m_1g = m_1a$.
$m_1 = 4m_2$ હોવાથી,$2[m_2(g + 2a)] - 4m_2g = 4m_2a$.
પ્રવેગ $a = g/4$ મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h = 0.2 \text{ m}$:
$t = \sqrt{\frac{2h}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.2}{g/4}} = \sqrt{\frac{0.4}{10/4}} = \sqrt{\frac{0.4}{2.5}} = \sqrt{0.16} = 0.4 \text{ sec}$.

(B) સ્પ્રિંગ બેલેન્સ સ્પ્રિંગમાં રહેલા તણાવને માપે છે.
જ્યારે $2\, kg$ ના બે દળને ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરીના છેડે લટકાવવામાં આવે છે અને તે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ સાથે જોડાયેલ હોય છે,ત્યારે આખી સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોય છે.
દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ લટકાવેલા દળ પૈકીના એકના વજન જેટલું હોય છે,કારણ કે બીજું દળ સિસ્ટમ માટે સ્થિર આધાર બિંદુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$T = m \times g = 2\, kg \times g$.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ તણાવ $T$ ને અનુરૂપ દળ દર્શાવવા માટે કેલિબ્રેટ કરેલું હોય છે.
આમ,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $2\, kg$ હશે.

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને દરેક બ્લોક પર લાગતું અચળ અવરોધક બળ $F$ છે.
બંને બ્લોક અચળ વેગથી ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ શૂન્ય છે $(a = 0)$.
બ્લોક $A$ (આડી સપાટી પર) માટે,આડી દિશામાં લાગતા બળો તણાવ $T$ (આગળની તરફ) અને અવરોધક બળ $F$ (પાછળની તરફ) છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $T - F = 0$,જેનો અર્થ છે કે $T = F$.
બ્લોક $B$ (લટકતો) માટે,લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ (નીચેની તરફ),તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) અને અવરોધક બળ $F$ (ઉપરની તરફ,કારણ કે તે નીચેની તરફના વેગનો વિરોધ કરે છે) છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $mg - T - F = 0$.
બીજા સમીકરણમાં $T = F$ મૂકતા: $mg - T - T = 0$,જે $mg - 2T = 0$ આપે છે.
તેથી,$2T = mg$,અથવા $T = mg/2$.

(B) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થોમાંથી એકનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતા બળો નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને ઉપરની તરફ લાગતું દોરીનું તણાવ બળ $T$ છે.
સિસ્ટમ સ્થિર હોવાથી,દરેક દળ પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T - mg = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T = mg$.
દોરી સતત છે અને ઘર્ષણરહિત ગરગડીઓ પરથી પસાર થાય છે,તેથી તણાવ $T$ સમગ્ર દોરીમાં સમાન રહે છે.
તેથી,દોરીમાં તણાવ બરાબર $mg$ છે.

(B) જ્યારે ક્લેમ્પ લગાવેલો હોય,ત્યારે તંત્ર સ્થિર છે. પલ્લા પર લાગતું કુલ અધોદિશામાં બળ એ વજનનો સરવાળો છે: $T_{initial} = (m_1 + m_2)g$.
જ્યારે ક્લેમ્પ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે દળ $m_1$ અને $m_2$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે. એટવુડ મશીન માટે દોરીમાં તણાવ $T = \frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરી ગરગડી પરથી પસાર થતી હોવાથી,પલ્લા પર લાગતું કુલ અધોદિશામાં બળ $2T$ છે (દોરીની દરેક બાજુ માટે એક તણાવ): $T_{final} = 2 \times \frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2} = \frac{4m_1m_2g}{m_1+m_2}$.
સંતુલન જાળવવા માટે જરૂરી બળમાં ફેરફાર $\Delta F = T_{initial} - T_{final} = (m_1+m_2)g - \frac{4m_1m_2g}{m_1+m_2}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\Delta F = g \left[ \frac{(m_1+m_2)^2 - 4m_1m_2}{m_1+m_2} \right] = g \left[ \frac{m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2 - 4m_1m_2}{m_1+m_2} \right] = \frac{(m_1-m_2)^2 g}{m_1+m_2}$.
આમ,જરૂરી સામેના દળમાં ફેરફાર $\frac{(m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}$ છે.

(C) જ્યારે ક્લેમ્પ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે દળ $m_1$ અને $m_2$ એ $a = \frac{|m_1 - m_2|}{m_1 + m_2} g$ જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{cm})$ એ $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,જો $m_1 > m_2$ હોય,તો $a_1 = a$ (નીચેની તરફ) અને $a_2 = -a$ (ઉપરની તરફ) થાય.
તેથી,$a_{cm} = \frac{m_1 a - m_2 a}{m_1 + m_2} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) a$.
$a = \frac{|m_1 - m_2|}{m_1 + m_2} g$ કિંમત મૂકતા,આપણને $a_{cm} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 g$ મળે છે.

(B) બ્લોક $A$ માટે,સંપૂર્ણ તણાવ $T$ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે,જેના કારણે સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_A = T/m$ મળે છે.
બ્લોક $B$ માટે,તણાવ $T$ દોરીની દિશામાં લાગે છે. જેમ બ્લોક $B$ ગતિ કરે છે,તેમ દોરી અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ વધે છે. તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક $T \cos \theta$ છે. કારણ કે $\theta > 0$ માટે $\cos \theta < 1$ હોય છે,તેથી $B$ પર લાગતું અસરકારક સમક્ષિતિજ બળ $T \cos \theta < T$ થાય છે.
આમ,$B$ નો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_B = (T \cos \theta)/m < a_A$ છે.
બંને બ્લોક સમાન સમક્ષિતિજ અંતર $l$ કાપે છે,અને બ્લોક $A$ નો સરેરાશ સમક્ષિતિજ પ્રવેગ બ્લોક $B$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક $A$ ઓછા સમયમાં ગરગડી સુધી પહોંચશે.
તેથી,$t_A < t_B$.

(C) ધારો કે વેજ $D$ ની સાપેક્ષમાં બ્લોક $C$ નો પ્રવેગ $a$ છે. દોરીઓ અદબનીય હોવાથી,બ્લોક $A$ અને $B$ નો વેજ $D$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવેગ પણ સમક્ષિતિજ દિશામાં $a$ હશે.
બ્લોક $C$ (દળ $m_C = 2 \, kg$) માટે: નીચે તરફનું બળ $m_C g = 20 \, N$ છે. બે દોરીઓ તેને તણાવ $T$ સાથે ઉપર ખેંચે છે. ગતિનું સમીકરણ: $20 - 2T = m_C a = 2a$ ---$(1)$
બ્લોક $A$ (દળ $m_A = 1 \, kg$) માટે: એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ તણાવ $T$ છે. ગતિનું સમીકરણ: $T = m_A a = 1a$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $T = a$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $20 - 2a = 2a \Rightarrow 4a = 20 \Rightarrow a = 5 \, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$a = 5 \, m/s^2$,અને $s = x_0 = 0.1 \, m$:
$v^2 = 0 + 2 \times 5 \times 0.1 = 1 \Rightarrow v = 1 \, m/s$.
આમ,$D$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો વેગ $v_A = 1 \, m/s$ (કેન્દ્ર તરફ) અને $D$ ની સાપેક્ષમાં $B$ નો વેગ $v_B = 1 \, m/s$ (કેન્દ્ર તરફ) છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો વેગ $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ છે. તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,મૂલ્ય $v_{AB} = v_A + v_B = 1 + 1 = 2 \, m/s$ થશે.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું આડું અંતર $2l$ છે. ધારો કે $AB$ રેખાની નીચે $C$ નું ઊભું અંતર $y$ છે. દોરીના ભાગ $AC$ ની લંબાઈ $\eta l$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,મધ્યબિંદુ $O$ થી $C$ નું આડું અંતર $x = \sqrt{(\eta l)^2 - y^2}$ છે.
દળ $m$ અને $M$ એકબીજાને ઓળંગે તે માટે,દળ $m$ એ $C$ ના સ્તરથી નીચે તરફ ગતિ કરવા સક્ષમ હોવું જોઈએ. જ્યારે દોરીમાં તણાવ $T$ વજનને સંતુલિત કરે ત્યારે તંત્ર સંતુલનમાં હોય છે. બિંદુ $C$ પર,$2T \cos \theta = Mg$,જ્યાં $\cos \theta = y/(\eta l)$. તેથી $T = Mg \eta l / (2y)$.
બિંદુ $O$ પર,દળ $m$ ને ઊભી દોરીમાં રહેલા તણાવ દ્વારા ટેકો મળે છે. $m$ ને નીચે તરફ ગતિ કરવા માટે,તેનું વજન $mg$ એ $O$ પર દોરી દ્વારા લાગતા ઉપરના બળ કરતા વધારે હોવું જોઈએ. જેમ $m$ નીચે જાય છે,તેમ ખૂણો $\theta$ બદલાય છે. $m$ ને $C$ સુધી પહોંચવા માટેની શરત સ્થિતિ ઊર્જા અથવા બળ સંતુલન પરથી મેળવવામાં આવે છે. સાચી શરત $\frac{m}{M} > 2\sqrt{\frac{\eta+1}{\eta+3}} - 1$ છે.

(A) ધારો કે $\lambda$ એ સાંકળની રેખીય દળ ઘનતા છે. સાંકળનું કુલ દળ $M = \lambda(2L)$ છે.
જ્યારે સાંકળને $x$ જેટલી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે જમણી બાજુની સાંકળની લંબાઈ $(L+x)$ અને ડાબી બાજુની લંબાઈ $(L-x)$ થાય છે.
જમણી બાજુનું દળ $m_R = \lambda(L+x)$ અને ડાબી બાજુનું દળ $m_L = \lambda(L-x)$ છે.
આખી સાંકળ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા (તેને એક તંત્ર તરીકે ગણતા):
ચોખ્ખું બળ એ વજન વચ્ચેનો તફાવત છે: $F_{net} = m_R g - m_L g = \lambda(L+x)g - \lambda(L-x)g = 2\lambda x g$.
તંત્રનું કુલ દળ $M = 2\lambda L$ છે.
$F_{net} = M a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\lambda x g = (2\lambda L) a$
$a = \frac{2\lambda x g}{2\lambda L} = \frac{x}{L} g$.

(C) ધારો કે $\lambda$ એ સાંકળની રેખીય દળ ઘનતા છે. કુલ લંબાઈ $2L$ છે,તેથી દળ $M = 2L\lambda$.
જ્યારે છેડા $B$ ને $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે જમણી બાજુની લંબાઈ $L+x$ અને ડાબી બાજુની લંબાઈ $L-x$ થાય છે.
સાંકળ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ એ બંને બાજુના વજનનો તફાવત છે:
$F_{net} = \lambda(L+x)g - \lambda(L-x)g = 2\lambda xg$.
સાંકળનું કુલ દળ $M = 2L\lambda$ છે. તેથી,પ્રવેગ $a$ છે:
$a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{2\lambda xg}{2L\lambda} = \frac{xg}{L}$.
સંબંધ $v \frac{dv}{dx} = a$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલન કરીએ છીએ:
$\int_{0}^{v} v \, dv = \int_{0}^{L} \frac{g}{L} x \, dx$.
$\frac{v^2}{2} = \frac{g}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{g}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{gL}{2}$.
$v^2 = gL \Rightarrow v = \sqrt{gL}$.

(C) સૂત્ર $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}$ એ એટવુડ મશીન માટે મેળવવામાં આવે છે.
આ મેળવવા માટે,આપણે નીચેની ધારણાઓ કરીએ છીએ:
$1$. દોરી દળરહિત છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે તણાવ $T$ સમગ્ર દોરીમાં સમાન રહે.
$2$. દોરી અસ્થિતિસ્થાપક છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે બંને દળનો પ્રવેગ સમાન મૂલ્યનો હોય.
$3$. ગગડી ઘર્ષણરહિત છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે ગગડીની બંને બાજુએ તણાવ સમાન રહે.
$4$. ગગડીને દળરહિત માનવામાં આવે છે જેથી તેની જડત્વની આઘૂર્ણને અવગણી શકાય. જો કે,જો ગગડીને દળ હોય,તો તેને ફેરવવા માટે ટોર્કની જરૂર પડે,જે બંને બાજુના તણાવમાં ફેરફાર કરે. પરંતુ આ ચોક્કસ સૂત્રના પ્રમાણિત તારણમાં,ગગડીને માત્ર દિશા બદલવા માટેના આદર્શ બિંદુ તરીકે ગણવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ગગડી દળરહિત છે તેવી ધારણા આ પ્રવેગના સૂત્રને તારવવા માટે સખત રીતે જરૂરી નથી જો આપણે ફક્ત બ્લોક્સની સ્થાનાંતરિત ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ,જ્યારે અન્ય ત્રણ પ્રમાણિત તારણ માટે પાયાની જરૂરિયાતો છે.

(D) ધારો કે દોરડા $A$ માં તણાવ $T$ છે. ચિત્રકાર દોરડા $A$ ને $T$ બળથી નીચે ખેંચે છે,અને દોરડું ચિત્રકારને $T$ બળથી ઉપર ખેંચે છે. પ્લેટફોર્મ પણ દોરડા $A$ ના બીજા છેડા દ્વારા આધારિત છે,જે પ્લેટફોર્મ પર $T$ જેટલું ઉપરનું બળ લગાડે છે. આમ,સિસ્ટમ (ચિત્રકાર + પ્લેટફોર્મ) પર કુલ ઉપરનું બળ $2T$ છે.
દોરડું $B$ ગરગડીને ટેકો આપે છે,તેથી દોરડા $B$ માં તણાવ $T_B = 2T$ છે. આપેલ છે કે દોરડું $B$ મહત્તમ $300 \, N$ તણાવ સહન કરી શકે છે,તેથી $2T_{\max} = 300 \, N$,જેનો અર્થ છે $T_{\max} = 150 \, N$.
$(i)$ મહત્તમ ઉપરના પ્રવેગ $a_{\max}$ માટે:
સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $2T_{\max} - mg = m a_{\max}$.
$mg = 200 \, N$ આપેલ છે,તેથી $m = \frac{200}{g} \approx 20 \, kg$ ($g = 10 \, m/s^2$ લેતા).
$300 - 200 = 20 a_{\max} \implies 100 = 20 a_{\max} \implies a_{\max} = 5 \, m/s^2$. આમ,$(A)$ સાચું છે.
$(ii)$ જ્યારે ચિત્રકાર સ્થિર હોય,ત્યારે સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોય છે:
$2T = mg = 200 \, N \implies T = 100 \, N$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) ધારો કે બે માણસોના દળ $m_1$ અને $m_2$ છે જ્યાં $m_1 > m_2$. ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે.
$1$. જો હલકો માણસ $(m_2)$ સ્થિર હોય,તો તણાવ $T = m_2 g$ થાય. કારણ કે $m_1 > m_2$,ભારે માણસ પર લાગતું પરિણામી બળ $m_1 g - T = m_1 g - m_2 g = (m_1 - m_2)g$ થાય. આમ,ભારે માણસ $a = (m_1 - m_2)g / m_1$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે. આ શક્ય છે.
$2$. જો ભારે માણસ $(m_1)$ સ્થિર હોય,તો તણાવ $T = m_1 g$ થાય. હલકા માણસ પર લાગતું પરિણામી બળ $T - m_2 g = m_1 g - m_2 g = (m_1 - m_2)g$ થાય. આમ,હલકો માણસ $a = (m_1 - m_2)g / m_2$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે. આ શક્ય છે.
$3$. જો બંને માણસો એવી રીતે ચઢે કે સરકે કે જેથી તેઓ સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રવેગ જાળવી રાખે,તો સિસ્ટમ બંનેને સમાન મૂલ્યના પ્રવેગ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ પણ શક્ય છે.
આમ,બધી પરિસ્થિતિઓ ભૌતિક રીતે શક્ય હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે તંત્ર $(M_0 + M + m)$ નો જમણી તરફનો પ્રવેગ $a$ છે. તેથી $F = (M_0 + M + m)a$,એટલે કે $a = F / (M_0 + M + m)$.
બ્લોક્સ $M$ અને $m$ ને બ્લોક $M_0$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેવા માટે,તેમની પાસે $M_0$ જેટલો જ પ્રવેગ $a$ હોવો જોઈએ.
બ્લોક $M$ માટે (આડી સપાટી પર): એકમાત્ર આડું બળ દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે. તેથી,$T = Ma$.
બ્લોક $m$ માટે (ઊભી સપાટી પર): ઊર્ધ્વ બળોમાં નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને ઉપરની તરફ તણાવ $T$ છે. $M_0$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેવા માટે,તેણે ઊભી દિશામાં ગતિ ન કરવી જોઈએ,તેથી $T = mg$.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $Ma = mg$,જેનો અર્થ છે કે $a = g$.
$F$ ના સમીકરણમાં $a = g$ મૂકતા: $F = (M_0 + M + m)g$.
કારણ કે સંતુલન માટે $a = g$ એ એક નિશ્ચિત મૂલ્ય છે,તેથી $F$ નું માત્ર એક જ અનન્ય મૂલ્ય આ શરતને સંતોષે છે. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
જો $F = 0$ હોય,તો $a = 0$ થાય. $M$ અને $m$ ને સ્થિર રહેવા માટે,આપણી પાસે $T = Ma = 0$ અને $T = mg$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ થાય કે $mg = 0$,જે અશક્ય છે. તેથી,જો $F = 0$ હોય,તો બ્લોક્સ સ્થિર રહી શકતા નથી. વિધાન $(A)$ પણ સાચું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) દોરી કાપતા પહેલા,તંત્ર સંતુલનમાં છે. જ્યારે દોરી કાપવામાં આવે ત્યારે સ્પ્રિંગ બળ તરત જ બદલાતું નથી. તેથી,દોરી કાપ્યા પછી તરત જ $m_1$,$m_2$,અને $m_3$ પર લાગતા બળો બદલાતા નથી. આમ,$m_1$,$m_2$,અને $m_3$ સ્થિર રહે છે (વિધાન $I$ સાચું છે).
કારણ કે $m_1$,$m_2$,અને $m_3$ સ્થિર છે,તેમનો પ્રવેગ $0$ છે. બ્લોક $m_4$ હવે સ્પ્રિંગ બળ (જે તેના વજન અને તણાવને સંતુલિત કરતું હતું) અને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ છે. તેથી,$m_4$ પ્રવેગિત થશે (વિધાન $IV$ સાચું છે).
કારણ કે આપણે તમામ બ્લોક્સ પર લાગતા બળોની ગણતરી કરી શકીએ છીએ,તેથી તમામ $4$ બ્લોક્સનો પ્રવેગ નક્કી કરી શકાય છે (વિધાન $II$ સાચું છે).
તેથી,વિધાનો $I$,$II$,અને $IV$ સાચા છે.

(A) ધારો કે $m_1$ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $T$ છે. ગતિશીલ ગરગડીને કારણે $m_2$ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $T/2$ છે.
$m_1$ નો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a_1$ અને $m_2$ નો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a_2$ છે.
$m_1$ માટે: $m_1 g - 2T = m_1 a_1 \Rightarrow 2g - 2T = 2a_1 \Rightarrow g - T = a_1 \dots(1)$
$m_2$ માટે: $m_2 g - T/2 = m_2 a_2 \Rightarrow 2g - T/2 = 2a_2 \Rightarrow g - T/4 = a_2 \dots(2)$
બંધન સંબંધ મુજબ,$2a_1 + a_2 = 0$ મળે છે.
સમીકરણો ઉકેલતા,$a_1 = -2\,m/s^2$ (ઉપરની તરફ) અને $a_2 = 4\,m/s^2$ (નીચેની તરફ) મળે છે.
$m_1$ નો $m_2$ ની સાપેક્ષે પ્રવેગ $\vec{a}_{12} = \vec{a}_1 - \vec{a}_2 = 2\uparrow - (-4\downarrow) = 6\,m/s^2 \uparrow$ થાય છે.

(C) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
દોરી દ્વારા ક્લેમ્પ પર લાગતા બળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $T \sin 30^{\circ} = \frac{T}{2}$ છે.
આપેલ છે કે ક્લેમ્પ મહત્તમ $40 \ N$ નું ઉર્ધ્વ બળ સહન કરી શકે છે,તેથી:
$\frac{T}{2} = 40 \ N \implies T = 80 \ N$.
$m = 5 \ kg$ દળ ધરાવતા વાંદરા માટે જે $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે,ગતિનું સમીકરણ:
$T - mg = ma$
કિંમતો મૂકતા:
$80 - (5 \times 10) = 5a$
$80 - 50 = 5a$
$30 = 5a$
$a = 6 \ m/s^2$.
આમ,મહત્તમ પ્રવેગ $6 \ m/s^2$ છે.

(B) ધારો કે $m_1 = 3\,kg$ એ ટેબલ પરનું દળ છે અને $m_2 = 2\,kg$ એ લટકતું દળ છે.
ટેબલ લીસું હોવાથી,ત્યાં કોઈ ઘર્ષણ નથી.
તંત્રને પ્રવેગિત કરતું બળ એ લટકતા દળનું વજન છે,$F = m_2g = 2g$.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 3 + 2 = 5\,kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{2g}{5} = \frac{2}{5}g\,m/s^2$ છે.
દોરડું હલકું અને ગરગડી લીસી હોવાથી,બંને પદાર્થો સમાન પ્રવેગ $a = \frac{2}{5}g\,m/s^2$ થી ગતિ કરે છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
દોરડામાં તણાવ $T$ એ $3\,kg$ દળ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: $T = m_1a = 3 \times \frac{2g}{5} = \frac{6g}{5}\,N$. તેથી,વિધાન $(E)$ સાચું છે.
દોરડું હલકું હોવાથી,સમગ્ર દોરડામાં તણાવ સમાન હોય છે,તેથી વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $(C)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે એક દોરડું છે જેના બંને છેડા પર બે માણસો વિરુદ્ધ દિશામાં $F$ મૂલ્યના બળથી ખેંચાણ કરે છે.
દોરડાના કોઈપણ બિંદુએ તણાવ શોધવા માટે,આપણે ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
કલ્પના કરો કે દોરડાને કોઈપણ બિંદુએથી કાપવામાં આવે છે. દોરડાનો દરેક અડધો ભાગ એક છેડે માણસ દ્વારા $F$ બળથી ખેંચાય છે અને બીજા છેડે કાપેલા ભાગ દ્વારા તણાવ $T$ અનુભવે છે.
કારણ કે દોરડું સંતુલિત અવસ્થામાં છે (તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે),તેથી કોઈપણ અડધા ભાગ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$F - T = 0$,જેનો અર્થ છે કે $T = F$.
આમ,દોરડામાં તણાવ $F$ છે.

(A) મુક્ત કરવામાં આવે ત્યારે,તંત્રની ગતિ આકૃતિ મુજબ હશે. દળ $m_1$ માટે,ગતિનું સમીકરણ છે:
$m_1 g - T = m_1 a$ ... $(i)$
દળ $m_2$ માટે,ગતિનું સમીકરણ છે:
$T - m_2 g = m_2 a$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(m_1 - m_2) g = (m_1 + m_2) a$
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$ ... $(iii)$
આપેલ છે: $m_1 = 5\, kg$,$m_2 = 4.8\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$.
સમીકરણ $(iii)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$a = \left( \frac{5 - 4.8}{5 + 4.8} \right) \times 9.8$
$a = \left( \frac{0.2}{9.8} \right) \times 9.8$
$a = 0.2\, m/s^2$.

(A) સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે. આપણે તણાવ $T = 60\,N$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
સમક્ષિતિજ બળ $F_1$ (અથવા $F_3$) માટે:
$F_1 = T \cos 45^{\circ} = 60 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
તે જ રીતે,શિરોલંબ સંતુલન માટે,વજન $W$ એ તણાવના શિરોલંબ ઘટક દ્વારા સપોર્ટેડ છે:
$W = T \cos 45^{\circ} = 60 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
આમ,જરૂરી સમક્ષિતિજ બળનું મૂલ્ય $\frac{60}{\sqrt{2}}\,N$ છે.