Second Law of Motion Questions in Gujarati

(A) બળ સદિશ $\vec F = 6\hat i - 8\hat j + 10\hat k$ નું મૂલ્ય $|\vec F| = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 10^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec F| = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\;N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી દળ $m = \frac{|\vec F|}{a}$.
અહીં પ્રવેગ $a = 1\;m/s^2$ આપેલ છે,તેથી દળ $m = \frac{10\sqrt{2}}{1} = 10\sqrt{2}\;kg$ થાય.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું બળ $F = m \times a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
કારણ કે બળ $F$ અચળ રહે છે,તેથી $a \propto \frac{1}{m}$ થાય.
શરૂઆતમાં,દળ $m$ છે અને પ્રવેગ $a_1 = 4\,m/s^2$ છે.
જ્યારે કાર સમાન દળની બીજી કારને ખેંચે છે,ત્યારે કુલ દળ $M = m + m = 2m$ થાય છે.
ધારો કે નવો પ્રવેગ $a_2$ છે. $F = m \times a_1 = 2m \times a_2$ હોવાથી,આપણને $a_2 = \frac{a_1}{2}$ મળે છે.
કિંમત મૂકતા,$a_2 = \frac{4}{2} = 2\,m/s^2$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,દળ $m = 0.9 \,kg$,સમય $t = 10 \,s$,અંતર $S = 250 \,m$.
ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
કિંમતો મૂકતા: $250 = (0)(10) + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$.
$250 = 50a \Rightarrow a = \frac{250}{50} = 5 \,m/s^2$.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = ma$.
$F = 0.9 \,kg \times 5 \,m/s^2 = 4.5 \,N$.

(B) આપેલ છે:
પદાર્થનું દળ,$m = 5 \, kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 20 \, m/s$
લગાડેલ બળ,$F = 100 \, N$
સમયગાળો,$t = 10 \, s$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{100}{5} = 20 \, m/s^2$ થાય.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = 20 + (20 \times 10)$
$v = 20 + 200 = 220 \, m/s$.
આમ,પદાર્થનો અંતિમ વેગ $220 \, m/s$ થશે.

(B) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m = 5 \,g = 5 \times 10^{-3} \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 100 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$,અને અંતર $s = 6 \,cm = 0.06 \,m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 + 2as$:
$0^2 = (100)^2 + 2 \times a \times 0.06$
$0 = 10000 + 0.12a$
$a = -\frac{10000}{0.12} = -\frac{1000000}{12} \,m/s^2$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$:
$F = (5 \times 10^{-3} \,kg) \times \left(\frac{1000000}{12} \,m/s^2\right)$
$F = \frac{5000}{12} \approx 416.67 \,N \approx 417 \,N$.

(B) ન્યુટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે બળની દિશામાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\overrightarrow{F}$ એ બળ છે,$m$ એ દળ છે,અને $\overrightarrow{a}$ એ પ્રવેગ છે.
તેથી,બીજો નિયમ બળનું માત્રાત્મક માપ આપે છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ એ તેના દળ $m$ અને પ્રવેગ $a$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,જે $F = m \times a$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક બળ $F_1 = m_1 \times a_1$ છે.
જો દળ બમણું કરવામાં આવે $(m_2 = 2m_1)$ અને પ્રવેગ પણ બમણો કરવામાં આવે $(a_2 = 2a_1)$,તો નવું બળ $F_2$ નીચે મુજબ થશે:
$F_2 = m_2 \times a_2 = (2m_1) \times (2a_1) = 4 \times (m_1 \times a_1) = 4F_1$.
તેથી,બળ તેના અગાઉના મૂલ્ય કરતા ચાર ગણું વધે છે.

(B) આપેલ છે: બળ $(F)$ = $5 \, N$,વજન $(W)$ = $9.8 \, N$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વજન $(W)$ = $m \times g$,જ્યાં $g = 9.8 \, m/s^2$.
તેથી,દળ $(m)$ = $W / g = 9.8 / 9.8 = 1 \, kg$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \times a$.
પ્રવેગ $(a)$ = $F / m = 5 \, N / 1 \, kg = 5 \, m/s^2$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $a$ એ સૂત્ર $a = \frac{F}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે,બળ $F = 1\,N$ અને દળ $m = 1\,kg$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{1\,N}{1\,kg} = 1\,m/s^2$.
તેથી,પદાર્થ $1\,m/s^2$ નો પ્રવેગ પ્રાપ્ત કરે છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 10\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = -2\, m/s$ (વિરુદ્ધ દિશા),સમય $t = 4\, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{m(v - u)}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{10 \times (-2 - 10)}{4}$
$F = \frac{10 \times (-12)}{4}$
$F = \frac{-120}{4} = -30\, N$.
આમ,પદાર્થ પર લાગતું બળ $-30\, N$ છે.

(C) આપેલ છે:
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
બળ $F = 5\,kg-wt = 5 \times 10\,N = 50\,N$
દળ $m = 10\,kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 0\,m/s$
સમય $t = 4\,s$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{F}{m} = \frac{50\,N}{10\,kg} = 5\,m/s^2$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + (5\,m/s^2 \times 4\,s) = 20\,m/s$
તેથી,$4\,s$ પછી પદાર્થનો વેગ $20\,m/s$ થશે.

(A) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 0.2 \, kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 20 \, m/s$
અંતિમ વેગ,$v = 0 \, m/s$ (કારણ કે તે અટકી જાય છે)
લાગતો સમય,$\Delta t = 0.1 \, s$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{0.2 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.2 \times (-20)}{0.1}$
$F = \frac{-4}{0.1} = -40 \, N$
બળનું મૂલ્ય $40 \, N$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 100\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 5\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$,સમય $t = \frac{1}{10}\, s = 0.1\, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,જરૂરી બળ $F = m \times a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રવેગ (અથવા પ્રતિપ્રવેગ) છે.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 5}{0.1} = -50\, m/s^2$ છે.
વાહનને અટકાવવા માટે જરૂરી બળનું મૂલ્ય $F = |m \times a| = 100\, kg \times 50\, m/s^2 = 5000\, N$ છે.

(A) બળ સદિશ $\vec{F} = 6\hat{i} - 8\hat{j} + 10\hat{k}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$|\vec{F}| = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2 + (10)^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = ma$,જ્યાં $a = 1 \, m/s^2$ છે:
$m = \frac{F}{a} = \frac{\sqrt{200}}{1} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \, kg$.
તેથી,પદાર્થનું દળ $10\sqrt{2} \, kg$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 65 \,cm/s = 0.65 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 15 \,cm/s = 0.15 \,m/s$,સમય $t = 0.2 \,s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = m \cdot a = m \cdot \left( \frac{v - u}{t} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 5 \cdot \left( \frac{0.15 - 0.65}{0.2} \right)$.
$F = 5 \cdot \left( \frac{-0.50}{0.2} \right) = 5 \cdot (-2.5) = -12.5 \,N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે આ બળ અવરોધક બળ છે (ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં).
તેથી,સરેરાશ અવરોધક બળનું મૂલ્ય $12.5 \,N$ છે.

(C) આપેલ છે:
વાહનનું દળ,$m = 1000\, kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 10\, m/s$
આગળની દિશામાં બળ,$F_{forward} = 1000\, N$
અવરોધક બળ,$F_{friction} = 500\, N$
સમય,$t = 10\, s$
વાહન પર લાગતું પરિણામી બળ,$F_{net} = F_{forward} - F_{friction} = 1000 - 500 = 500\, N$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{500}{1000} = 0.5\, m/s^2$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$
$v = 10 + (0.5 \times 10)$
$v = 10 + 5 = 15\, m/s$
તેથી,$10\, s$ પછીનો વેગ $15\, m/s$ થશે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 8 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t = 4 \, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = m \times a = m \times \frac{(v - u)}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 2 \times \frac{(0 - 8)}{4}$
$F = 2 \times (-2) = -4 \, N$.
પદાર્થને સ્થિર કરવા માટે જરૂરી બળનું મૂલ્ય $4 \, N$ છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F$ એ તેના રેખીય વેગમાન $p$ ના સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$F = \frac{dp}{dt}$.
વેગમાન માટેનું આપેલ સમીકરણ $p = a + bt^2$ છે.
આ સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$F = \frac{d}{dt}(a + bt^2)$.
અહીં $a$ અચળ હોવાથી,તેનું વિકલન $0$ થાય છે.
$F = 0 + b(2t) = 2bt$.
અહીં $2$ અને $b$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $F \propto t$.
તેથી,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $t$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) આપેલ છે:
બળ $(F)$ = $100 \, dynes$
દળ $(m)$ = $5 \, g$
સમય $(t)$ = $10 \, s$
પ્રારંભિક વેગ $(u)$ = $0 \, cm/s$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = F/m$.
$a = 100 \, dynes / 5 \, g = 20 \, cm/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$v = 0 + (20 \, cm/s^2) \times (10 \, s) = 200 \, cm/s$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતો વેગ $200 \, cm/s$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 30\hat{i} + 40\hat{j}\,m/s$,અને બળ $\vec{F} = -1\hat{i} - 5\hat{j}\,N$.
આપણે ગતિના $y$-ઘટક માટે ગણતરી કરવાની છે.
વેગનો પ્રારંભિક $y$-ઘટક $u_y = 40\,m/s$ છે.
બળનો $y$-ઘટક $F_y = -5\,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$y$-દિશામાં પ્રવેગ:
$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{-5\,N}{5\,kg} = -1\,m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v_y = u_y + a_y t$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ $y$-વેગ $v_y = 0$ લેતા:
$0 = 40 + (-1)t$
$t = 40\,s$.
આમ,વેગનો $y$-ઘટક શૂન્ય થવા માટે લાગતો સમય $40\,s$ છે.

(B) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 150\; g = 0.15\; kg$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 20\; m/s$
અંતિમ વેગ,$v = 0\; m/s$ (કારણ કે દડો પકડાઈ જાય છે)
લાગતો સમય,$\Delta t = 0.1\; s$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1} = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30\; N$
આમ,ક્રિકેટર દ્વારા અનુભવાતા બળનું મૂલ્ય $30\; N$ છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,તાત્કાલિક બળ $F$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{dp}{dt}$
આ સમીકરણ વેગમાન-સમય $(p-t)$ આલેખનો ઢાળ દર્શાવે છે.
તેથી,તાત્કાલિક બળ ત્યાં મહત્તમ હોય છે જ્યાં $p-t$ આલેખનો ઢાળ મહત્તમ હોય.
આપેલ વક્રને જોતા,બિંદુ $R$ પર ઢાળ સૌથી વધુ છે,જે તે બિંદુ છે જ્યાં વક્ર અંતર્મુખમાંથી બહિર્મુખમાં પરિવર્તિત થાય છે.
આમ,બિંદુ $R$ પર બળ મહત્તમ છે.

(A) આપેલ છે: બળ $F = 6 \; N$,દળ $m = 1 \; kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \; m/s$,અને અંતિમ વેગ $v = 30 \; m/s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{6 \; N}{1 \; kg} = 6 \; m/s^2$ થાય.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમય $t$ શોધી શકીએ છીએ:
$30 = 0 + 6 \times t$
$t = \frac{30}{6} = 5 \; s$.
તેથી,પદાર્થ પર બળ $5 \; seconds$ માટે લાગે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 100 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t = 0.1 \, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = m \cdot a = m \cdot \frac{(v - u)}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 100 \cdot \frac{(0 - 5)}{0.1}$
$F = 100 \cdot \frac{-5}{0.1}$
$F = -5000 \, N$
કારને સ્થિર કરવા માટે જરૂરી બળનું મૂલ્ય $5000 \, N$ છે.

(C) આપેલ બળ સદિશ $\vec F = 6\hat i - 8\hat j + 10\hat k$ છે.
બળનું મૂલ્ય $|\vec F| = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt 2 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
આપેલ પ્રવેગ $a = 1\, m/s^2$ છે.
તેથી,$m = \frac{F}{a} = \frac{10\sqrt 2}{1} = 10\sqrt 2 \,kg$ થાય.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
પદાર્થનું દળ $m$ અચળ હોવાથી અને લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a = F/m$ પણ અચળ રહેવો જોઈએ.
પ્રવેગ શૂન્ય ન હોવાથી વેગ બદલાય છે,અને વેગ બદલાતો હોવાથી વેગમાન $p = mv$ પણ બદલાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ દળ $m = 1 \, kg$ અને બળ $\vec{F} = 2 \sin(3 \pi t) \hat{i} + 3 \cos(3 \pi t) \hat{j}$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = 2 \sin(3 \pi t) \hat{i} + 3 \cos(3 \pi t) \hat{j}$.
વેગ $\vec{v} = \int \vec{a} dt = \int (2 \sin(3 \pi t) \hat{i} + 3 \cos(3 \pi t) \hat{j}) dt = -\frac{2}{3\pi} \cos(3\pi t) \hat{i} + \frac{3}{3\pi} \sin(3\pi t) \hat{j} + \vec{C}_1$.
$t=0$ સમયે,$\vec{v}=0$,તેથી $0 = -\frac{2}{3\pi} \hat{i} + \vec{C}_1 \implies \vec{C}_1 = \frac{2}{3\pi} \hat{i}$.
આમ,$\vec{v} = \left( \frac{2}{3\pi} - \frac{2}{3\pi} \cos(3\pi t) \right) \hat{i} + \frac{1}{\pi} \sin(3\pi t) \hat{j}$.
સ્થાન $\vec{r} = \int \vec{v} dt = \left( \frac{2t}{3\pi} - \frac{2}{9\pi^2} \sin(3\pi t) \right) \hat{i} - \frac{1}{3\pi^2} \cos(3\pi t) \hat{j} + \vec{C}_2$.
$t=0$ સમયે,$\vec{r}=0$,તેથી $0 = 0 \hat{i} - \frac{1}{3\pi^2} \hat{j} + \vec{C}_2 \implies \vec{C}_2 = \frac{1}{3\pi^2} \hat{j}$.
સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \left( \frac{2t}{3\pi} - \frac{2}{9\pi^2} \sin(3\pi t) \right) \hat{i} + \left( \frac{1}{3\pi^2} - \frac{1}{3\pi^2} \cos(3\pi t) \right) \hat{j}$ છે.
$t=1 \, s$ સમયે,$\vec{r}(1) = \left( \frac{2}{3\pi} - 0 \right) \hat{i} + \left( \frac{1}{3\pi^2} - \frac{1}{3\pi^2} (-1) \right) \hat{j} = \frac{2}{3\pi} \hat{i} + \frac{2}{3\pi^2} \hat{j}$.
આ પરિણામ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ બળ $F = Be^{-Ct}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $ma = Be^{-Ct}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{B}{m} e^{-Ct}$.
સમય $t = 0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{v} dv = \int_{0}^{t} \frac{B}{m} e^{-Ct} dt$.
$v = \frac{B}{m} \left[ \frac{e^{-Ct}}{-C} \right]_{0}^{t} = \frac{B}{mC} (1 - e^{-Ct})$.
ટર્મિનલ વેગ એ $t \to \infty$ સમયનો વેગ છે.
જેમ $t \to \infty$,તેમ $e^{-Ct} \to 0$ થાય છે.
તેથી,$v_{terminal} = \frac{B}{mC} (1 - 0) = \frac{B}{mC}$.

(D) આપેલ છે કે બળ $F(t) = F_0e^{-bt}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \frac{dv}{dt}$.
તેથી,$m \frac{dv}{dt} = F_0e^{-bt}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\frac{dv}{dt} = \frac{F_0}{m} e^{-bt}$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $t$ સુધી અને વેગ $v$ માટે $0$ થી $v(t)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^{v(t)} dv = \int_0^t \frac{F_0}{m} e^{-bt} dt$.
$v(t) = \frac{F_0}{m} \left[ \frac{e^{-bt}}{-b} \right]_0^t$.
$v(t) = \frac{F_0}{m} \left( \frac{e^{-bt}}{-b} - \frac{e^0}{-b} \right)$.
$v(t) = \frac{F_0}{mb} (1 - e^{-bt})$.
જેમ $t \to \infty$,તેમ $v(t) \to \frac{F_0}{mb}$.
આ એક ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ વક્ર દર્શાવે છે જે $v = \frac{F_0}{mb}$ પર આડી અનંતસ્પર્શક (asymptote) તરફ જાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વક્ર $D$ આ વર્તણૂક દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 150 \ g = 0.15 \ kg$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 20 \ m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 0 \ m/s$ (કારણ કે દડો પકડાઈ જાય છે).
લાગતો સમય,$t = 0.1 \ s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{m(v - u)}{t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1}$
$F = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$.
આમ,દડા દ્વારા હાથ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $30 \ N$ છે.

(D) આપેલ છે,બળ $F(t) = F_0e^{-bt}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma = m \frac{dv}{dt}$.
તેથી,$m \frac{dv}{dt} = F_0e^{-bt}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $t$ સુધી બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^v dv = \int_0^t \frac{F_0}{m} e^{-bt} dt$.
$v(t) = \frac{F_0}{m} \left[ \frac{e^{-bt}}{-b} \right]_0^t$.
$v(t) = \frac{F_0}{m} \left( \frac{e^{-bt} - 1}{-b} \right) = \frac{F_0}{mb} (1 - e^{-bt})$.
જ્યારે $t \to 0$,ત્યારે $v(t) \to 0$.
જ્યારે $t \to \infty$,ત્યારે $v(t) \to \frac{F_0}{mb}$.
વિધેય $v(t) = \frac{F_0}{mb} (1 - e^{-bt})$ એ વધતો વક્ર દર્શાવે છે જે અનંતે $\frac{F_0}{mb}$ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે.
આ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,બળને વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $F = \frac{dp}{dt}$.
વેગમાન-સમય $(p-t)$ ના આલેખમાં,બળ $F$ એ આલેખના ઢાળ (slope) ને અનુરૂપ છે.
ઋણ બળ ત્યાં જોવા મળે છે જ્યાં આલેખનો ઢાળ ઋણ હોય છે,જે $t = 4 \ s$ થી $t = 8 \ s$ ના સમયગાળામાં છે.
આ સમયગાળામાં ઢાળની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1} = \frac{0 - 20}{8 - 4} = \frac{-20}{4} = -5 \ N$.
આમ,ઋણ બળનું મૂલ્ય $|-5 \ N| = 5 \ N$ થાય છે.

(C) આપેલ છે:
દળ $m = 5\,kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 5\,ms^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 10\,ms^{-1}$
સમય $t = 10\,s$
સૌ પ્રથમ,$a = \frac{v - u}{t}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો:
$a = \frac{10\,ms^{-1} - 5\,ms^{-1}}{10\,s} = \frac{5\,ms^{-1}}{10\,s} = 0.5\,ms^{-2}$
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ નો ઉપયોગ કરીને બળ $F$ શોધો:
$F = (5\,kg) \times (0.5\,ms^{-2}) = 2.5\,N$
તેથી,પદાર્થ પર લાગતું બળ $2.5\,N$ છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ એ તેના દળ $m$ અને પ્રવેગ $a$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,જેનું સૂત્ર: $F = m \times a$ છે.
દળ $m$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ: $m = \frac{F}{a}$.
આપેલ કિંમતો છે: બળ $F = 10 \; N$ અને પ્રવેગ $a = 1 \; m/s^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $m = \frac{10 \; N}{1 \; m/s^2} = 10 \; kg$.
તેથી,પદાર્થનું દળ $10 \; kg$ છે.

(A) આપેલ છે: બળ $\vec{F} = 6\hat{i} - 8\hat{j} \text{ N}$ અને પ્રવેગ $a = 5 \text{ m s}^{-2}$.
સૌ પ્રથમ,બળ સદિશ $\vec{F}$ નું મૂલ્ય $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$F = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ N}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી દળ $m = \frac{F}{a}$.
કિંમતો મૂકતા,$m = \frac{10 \text{ N}}{5 \text{ m s}^{-2}} = 2 \text{ kg}$.
આમ,પદાર્થનું દળ $2 \text{ kg}$ છે.

(A) આપેલ માહિતી:
દળ $m = 5\, kg$
$t = 0\, s$ સમયે વેગ $\vec{u} = (6\hat i - 2\hat j)\, m/s$
$t = 10\, s$ સમયે વેગ $\vec{v} = 6\hat j\, m/s$
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t}$
$\vec{a} = \frac{6\hat j - (6\hat i - 2\hat j)}{10} = \frac{-6\hat i + 8\hat j}{10} = (-0.6\hat i + 0.8\hat j)\, m/s^2$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $\vec{F} = m\vec{a}$
$\vec{F} = 5 \times (-0.6\hat i + 0.8\hat j) = (-3\hat i + 4\hat j)\, N$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર લાગુ પડેલા બળ જેટલો હોય છે:
$\frac{dp}{dt} = F = kt$
બંને બાજુએ સમય $t = 0$ થી $t = T$ અને વેગમાન $p$ થી $3p$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{p}^{3p} dp = \int_{0}^{T} kt \, dt$
$[p]_{p}^{3p} = k \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{T}$
$3p - p = k \left( \frac{T^2}{2} - 0 \right)$
$2p = \frac{kT^2}{2}$
$4p = kT^2$
$T^2 = \frac{4p}{k}$
$T = 2\sqrt{\frac{p}{k}}$

(B) આપેલ છે કે કણ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{P}{m}$ થાય.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = 0 + (\frac{P}{m})t = \frac{Pt}{m}$ મળે.
ગતિઊર્જા $KE$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,$KE = \frac{1}{2}m(\frac{Pt}{m})^2$ મળે.
$KE = \frac{1}{2}m(\frac{P^2 t^2}{m^2}) = \frac{P^2 t^2}{2m}$.

(A) આપેલ દળ $m = 3\,kg$ અને બળ $\vec{F} = (6t^2\hat{i} + 4t\hat{j})\,N$ છે.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{6t^2\hat{i} + 4t\hat{j}}{3} = (2t^2\hat{i} + \frac{4}{3}t\hat{j})\,m/s^2$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી $\vec{v}(0) = 0$. $t$ સમયે વેગ $\vec{v} = \int_{0}^{t} \vec{a} dt$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \int_{0}^{3} (2t^2\hat{i} + \frac{4}{3}t\hat{j}) dt$.
$\vec{v} = [\frac{2t^3}{3}\hat{i} + \frac{4t^2}{6}\hat{j}]_{0}^{3}$.
$\vec{v} = [\frac{2(3)^3}{3}\hat{i} + \frac{4(3)^2}{6}\hat{j}] = [\frac{54}{3}\hat{i} + \frac{36}{6}\hat{j}] = 18\hat{i} + 6\hat{j}\,m/s$.

(A) પદાર્થ $S_1$ ફ્રેમમાં સ્થિર રાખવામાં આવ્યો છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો કોઈ પદાર્થ ચોક્કસ સંદર્ભ ફ્રેમમાં સ્થિર હોય,તો તે ફ્રેમની સાપેક્ષમાં તેનો પ્રવેગ શૂન્ય $(a_{rel} = 0)$ હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = m \times a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $S_1$ ફ્રેમમાં સ્થિર હોવાથી,$S_1$ ની સાપેક્ષમાં પદાર્થનો પ્રવેગ $0 \, m/s^2$ છે.
તેથી,$S_1$ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = 2 \, kg \times 0 \, m/s^2 = 0 \, N$ થાય.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2\, kg$,સ્થાન $x = at + bt^2 + ct^3$,$a = 3\, m/s$,$b = 4\, m/s^2$,$c = 5\, m/s^3$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = a + 2bt + 3ct^2$.
પ્રવેગ $a_c = \frac{dv}{dt} = 2b + 6ct$.
$t = 2\, s$ સમયે,પ્રવેગ $a_c = 2(4) + 6(5)(2) = 8 + 60 = 68\, m/s^2$.
બળ $F = m \times a_c = 2 \times 68 = 136\, N$.

(B) આપેલ છે: થ્રસ્ટ બળ $F = 10^5\, N$,અંતિમ વેગ $v = 1\, km/s = 1000\, m/s$,સમય $t = 10\, s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m/s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$.
$1000 = 0 + a \times 10$.
$a = \frac{1000}{10} = 100\, m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = ma$.
$m = \frac{F}{a} = \frac{10^5}{100} = 10^3\, kg$.

(C) બ્લોકનો પ્રવેગ $0\,m/s^{2}$ છે.
પ્રશ્નમાં કોઈ બાહ્ય બળ કે ઘર્ષણાંકનો ઉલ્લેખ નથી,અને જો આપણે ધારીએ કે બ્લોક સમક્ષિતિજ સપાટી પર સ્થિર છે અને તેના પર કોઈ બળ લાગતું નથી,તો બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ $0\,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$,જ્યાં $m = 5\,kg$ છે.
જો $F_{net} = 0$ હોય,તો $a = 0/5 = 0\,m/s^{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે રેખીય વેગમાન $p = 5t^2 + t + 5$ અને દળ $m = 5 \,kg$ છે.
વેગમાન અને વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $p = mv$ હોવાથી,$v = \frac{p}{m} = \frac{5t^2 + t + 5}{5} = t^2 + 0.2t + 1$ મળે.
પ્રવેગ $a$ એ વેગના સમયની સાપેક્ષે ફેરફારનો દર છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + 0.2t + 1) = 2t + 0.2$.
જેમ જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ પ્રવેગ $a = 2t + 0.2$ પણ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
તેથી,પદાર્થ એવા ચલિત પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે જે સમય સાથે વધતો જાય છે.

(A) કણનું સ્થાન સમીકરણ $y = ut + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન $y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(ut + \frac{1}{2}gt^2) = u + gt$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(u + gt) = g$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કણ પર લાગતું બળ $F = ma$ છે.
પ્રવેગની કિંમત મૂકતા,આપણને $F = m \times g = mg$ મળે છે.

(A) પ્રતિરોધક બળ,$F = -50\; N$
પદાર્થનું દળ,$m = 20\; kg$
પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 15\; m/s$
પદાર્થનો અંતિમ વેગ,$v = 0\; m/s$
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $(a)$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$F = ma$
$-50 = 20 \times a$
$\therefore a = \frac{-50}{20} = -2.5\; m/s^2$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,પદાર્થને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય $(t)$:
$v = u + at$
$0 = 15 + (-2.5)t$
$2.5t = 15$
$\therefore t = \frac{15}{2.5} = 6\; s$

(A) બળનું મૂલ્ય $0.18 \, N$ છે અને તેની દિશા પદાર્થની ગતિની દિશામાં છે.
આપેલ છે:
પદાર્થનું દળ,$m = 3.0 \, kg$
પ્રારંભિક ઝડપ,$u = 2.0 \, m/s$
અંતિમ ઝડપ,$v = 3.5 \, m/s$
સમય,$t = 25 \, s$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને,પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $(a)$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$v = u + at$
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{3.5 - 2.0}{25} = \frac{1.5}{25} = 0.06 \, m/s^2$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $(F)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F = m \times a$
$F = 3.0 \, kg \times 0.06 \, m/s^2 = 0.18 \, N$
કારણ કે પદાર્થની ઝડપ વધે છે અને ગતિની દિશા બદલાતી નથી,તેથી બળ પદાર્થની ગતિની દિશામાં જ લાગતું હોવું જોઈએ.

(N/A) બે લંબ બળો માટે પરિણામી બળ $R$ નું મૂલ્ય પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \sqrt{(8 \; N)^2 + (6 \; N)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \; N$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a$ નું મૂલ્ય:
$a = \frac{F}{m} = \frac{10 \; N}{5 \; kg} = 2 \; m/s^2$
$8 \; N$ ના બળની સાપેક્ષમાં પ્રવેગની દિશા $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{6 \; N}{8 \; N} = 0.75$
$\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$
આમ,પદાર્થનો પ્રવેગ $8 \; N$ ના બળ સાથે $36.87^{\circ}$ ના ખૂણે $2 \; m/s^2$ છે.

(D) થ્રી-વ્હીલરની પ્રારંભિક ઝડપ,$u = 36\; km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10\; m/s$.
થ્રી-વ્હીલરની અંતિમ ઝડપ,$v = 0\; m/s$.
સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય,$t = 4.0\; s$.
સિસ્ટમનું કુલ દળ,$M = 400\; kg + 65\; kg = 465\; kg$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 10}{4} = -2.5\; m/s^2$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રતિરોધક બળ $F$:
$F = M \times |a| = 465 \times 2.5 = 1162.5\; N$.