Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Gujarati

(C) ધારો કે દોરડાની કુલ લંબાઈ $l$ છે અને તેનું કુલ દળ $M$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{l}$ છે.
ધારો કે $l_1$ એ ટેબલ પરથી લટકતા દોરડાની લંબાઈ છે. ટેબલ પર રહેલા દોરડાની લંબાઈ $(l - l_1)$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m_1 = \lambda l_1 = \frac{M}{l} l_1$ છે. આ ભાગનું વજન બળ તરીકે કાર્ય કરે છે: $F_g = m_1 g = \frac{M g l_1}{l}$.
ટેબલ પર રહેલા ભાગનું દળ $m_2 = \lambda (l - l_1) = \frac{M}{l} (l - l_1)$ છે. આ ભાગ પર લાગતું લંબબળ $N = m_2 g = \frac{M g (l - l_1)}{l}$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu \frac{M g (l - l_1)}{l}$ છે.
દોરડું સરક્યા વિના સંતુલનમાં રહે તે માટે,ખેંચતું બળ એ મહત્તમ ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ: $F_g = f_{max}$.
$\frac{M g l_1}{l} = \mu \frac{M g (l - l_1)}{l}$.
$l_1 = \mu (l - l_1)$.
$l_1 = \mu l - \mu l_1$.
$l_1 (1 + \mu) = \mu l$.
$l_1 = \frac{\mu l}{1 + \mu}$.

(A) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને તેનું કુલ દળ $M$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L$ છે.
ધારો કે $x$ એ ટેબલની ધાર પર લટકતી સાંકળની લંબાઈ છે. તેથી ટેબલ પર રહેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - x)$ થશે.
લટકતા ભાગનું દળ $m_h = \lambda x$ અને ટેબલ પરના ભાગનું દળ $m_t = \lambda (L - x)$ છે.
સાંકળને નીચે ખેંચતું બળ એ લટકતા ભાગનું વજન છે: $F_g = m_h g = \lambda x g$.
ટેબલ પરના ભાગ પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - x) g$ છે.
સાંકળ સરકવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે,ખેંચતું બળ એ મહત્તમ ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ: $\lambda x g = \mu \lambda (L - x) g$.
બંને બાજુ $\lambda g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $x = \mu (L - x)$.
$\mu = 0.25$ મૂકતા: $x = 0.25(L - x) \implies x = 0.25L - 0.25x \implies 1.25x = 0.25L$.
આમ,અપૂર્ણાંક $x/L = 0.25 / 1.25 = 1/5 = 0.20$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,આ ભાગ $20\%$ થાય છે.

(C) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda$ છે.
ટેબલ પરથી લટકતી સાંકળની લંબાઈ $l$ છે.
ટેબલ પર પડેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - l)$ છે.
લટકતા ભાગનું વજન,જે ખેંચાણ બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તે $F_g = (\lambda l)g$ છે.
ટેબલ પર રહેલી સાંકળ પર લાગતું લંબબળ $N = (\lambda(L - l))g$ છે.
સાંકળ સંતુલનમાં રહે તે માટે,સીમાંત ઘર્ષણ લટકતા ભાગના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $f_{max} = \mu N = F_g$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu (\lambda(L - l))g = (\lambda l)g$.
$\mu$ માટે ઉકેલતા: $\mu = \frac{l}{L - l}$.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને ઢળતી સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે જે ખૂણે તે સરકવાનું શરૂ કરે છે તેને વિરામ કોણ $(\theta)$ કહેવામાં આવે છે.
આ ખૂણે,સપાટીની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે.
$mg \sin \theta = \mu_s mg \cos \theta$
તેથી,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = \tan \theta$.
આપેલ છે કે ઢાળનો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે,
$\mu_s = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને તેનું કુલ દળ $M$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L$ છે.
જ્યારે લંબાઈનો $1/3$ ભાગ ધાર પરથી લટકે છે,ત્યારે લટકતા ભાગની લંબાઈ $L_h = L/3$ અને ટેબલ પર રહેલા ભાગની લંબાઈ $L_t = 2L/3$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m_h = \lambda (L/3) = M/3$ છે.
ટેબલ પર રહેલા ભાગનું દળ $m_t = \lambda (2L/3) = 2M/3$ છે.
સાંકળને નીચે ખેંચતું બળ એ લટકતા ભાગનું વજન છે: $F_g = m_h g = (M/3)g$.
ટેબલ પર રહેલા સાંકળના ભાગ પરનું લંબબળ $N = m_t g = (2M/3)g$ છે.
સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_s = \mu_s N = \mu_s (2M/3)g$ છે.
સરકવાની શરૂઆત થાય ત્યારે,ખેંચતું બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $F_g = f_s$.
$(M/3)g = \mu_s (2M/3)g$.
$\mu_s$ માટે ઉકેલતા: $\mu_s = (M/3) / (2M/3) = 1/2$.

(B) જ્યારે પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર સ્થિર હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું ઘર્ષણ બળ સ્થિત ઘર્ષણ હોય છે.
સ્થિત ઘર્ષણ એ સ્વયં-સંતુલિત બળ છે જે સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક $(mg \sin \theta)$ ને સંતુલિત કરે છે.
પદાર્થ ગતિ કરતો ન હોવાથી,સ્થિત ઘર્ષણ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(f_s \leq \mu R)$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.
તેથી,સામાન્ય કિસ્સામાં જ્યાં પદાર્થ સરકવાની અણી પર ન હોય,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $\mu R$ કરતા ઓછું હોય છે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે,જે $\theta$ ખૂણે નમેલા સમતલ પર છે અને ઘર્ષણાંક $\mu$ છે,સમતલની દિશામાં લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ નીચેની તરફ અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
લંબબળ $N$ નું મૂલ્ય $N = mg \cos \theta$ છે.
સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = mg \sin \theta - f = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{\text{net}} = ma$ હોવાથી,$ma = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મળે છે.
તેથી,પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ થાય છે.

(C) જ્યારે કોઈ બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$,લંબબળ $(N)$ અને સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_s)$ છે.
ઢાળની દિશામાં વજનનો ઘટક $mg \sin \alpha$ છે અને ઢાળને લંબ ઘટક $mg \cos \alpha$ છે.
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f_s = mg \sin \alpha$ અને લંબબળ $N = mg \cos \alpha$ થાય.
જ્યારે નમનકોણ એ વિરામકોણ $\theta$ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે. આ બિંદુએ,સ્થિત ઘર્ષણ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર પહોંચે છે,$f_{s,max} = \mu_s N$.
સરકવાની શરૂઆતના બિંદુએ બળોને સરખાવતા: $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$.
બંને બાજુને $mg \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ મળે છે.
આમ,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\tan \theta$ છે.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,તેથી $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$,નમનકોણ $\theta$ અને ઘર્ષણાંક $\mu$ છે.
પદાર્થને સમતલ પર ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા માટે,લાગુ પાડેલ બળ $F_{up}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $mg \sin \theta$ અને ઘર્ષણ બળ $\mu mg \cos \theta$ બંનેને દૂર કરવું પડે.
તેથી,$F_{up} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
પદાર્થને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે,લાગુ પાડેલ બળ $F_{dn}$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $mg \sin \theta$ અને ઘર્ષણ બળ $\mu mg \cos \theta$ (જે સરકવાની વિરુદ્ધ દિશામાં ઉપરની તરફ લાગે છે) ના તફાવતને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$F_{dn} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
આપેલ છે કે $F_{up} = 2F_{dn}$,તેથી:
$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
$mg$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin \theta + \mu \cos \theta = 2\sin \theta - 2\mu \cos \theta$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$3\mu \cos \theta = \sin \theta$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 3\mu$.
અહીં $\mu = 0.25$ આપેલ છે,તેથી $\tan \theta = 3 \times 0.25 = 0.75$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.8^\circ$.

(A) ઘર્ષણવાળા ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ સરકતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ શોધવાનું સૂત્ર: $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
આપેલ છે: $g = 9.8\,m/s^2$,$\theta = 45^o$,અને $\mu = 0.5$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = 9.8(\sin 45^o - 0.5 \cos 45^o)$
કારણ કે $\sin 45^o = \cos 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$a = 9.8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$a = 9.8 \left( \frac{1 - 0.5}{\sqrt{2}} \right)$
$a = 9.8 \left( \frac{0.5}{\sqrt{2}} \right)$
$a = \frac{4.9}{\sqrt{2}}\,m/s^2$.

(D) વિશ્રામકોણ એ ઢળતી સપાટીનો તે લઘુત્તમ ખૂણો છે જેના પર મૂકવામાં આવેલી વસ્તુ આપમેળે નીચે સરકવાનું શરૂ કરે છે.
જો ઢાળનો ખૂણો $\theta$ એ વિશ્રામકોણ $\alpha$ જેટલો હોય,તો પદાર્થ સરકવાની તૈયારીમાં હોય છે.
જો ઢાળનો ખૂણો $\theta$ એ વિશ્રામકોણ $\alpha$ કરતા વધારે હોય,તો પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે આપમેળે નીચે સરકવા લાગે છે.
અહીં બોક્સને નીચે ધકેલવું પડે છે,જેનો અર્થ છે કે બોક્સ પોતાની મેળે સરકતું નથી. આ સૂચવે છે કે તેને નીચે ખેંચતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું છે.
તેથી,ઢાળનો ખૂણો વિશ્રામકોણ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $1$. સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta = 102 \times 9.8 \times \sin 30^{\circ} = 102 \times 9.8 \times 0.5 = 499.8 \, N \approx 500 \, N$ છે.
$2$. લગાડવામાં આવેલ બળ $P = 750 \, N$ સમતલની ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સમતલ પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F_{\text{net}} = P - mg \sin \theta = 750 - 500 = 250 \, N$ છે.
$4$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R = mg \cos \theta = 102 \times 9.8 \times \cos 30^{\circ} = 102 \times 9.8 \times 0.866 \approx 865.6 \, N$ છે.
$5$. સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{l} = \mu_s R = 0.4 \times 865.6 = 346.24 \, N$ છે.
$6$. કારણ કે ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $(250 \, N)$ એ સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ $(346.24 \, N)$ કરતા ઓછું છે,તેથી બ્લોક સંતુલનમાં રહેશે.
$7$. સ્થિત ઘર્ષણના નિયમ મુજબ,વાસ્તવિક ઘર્ષણ બળ ચોખ્ખા બાહ્ય બળને સંતુલિત કરવા માટે પોતાની જાતે ગોઠવાય છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ $250 \, N$ છે જે સમતલની નીચેની તરફ લાગે છે.

(C) ઘર્ષણવાળી ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ સરકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
આપેલ કિંમતો છે: $g = 10\,m/s^2$,$\theta = 60^\circ$,અને $\mu = 0.25$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = 10 \times (\sin 60^\circ - 0.25 \times \cos 60^\circ)$
$a = 10 \times (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0.25 \times \frac{1}{2})$
$a = 10 \times (0.866 - 0.125)$
$a = 10 \times 0.741$
$a \approx 7.4\,m/s^2$.

(B) ઢાળવાળા સમતલ પર નીચે સરકતા પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $F_k$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_k = \mu N$,જ્યાં $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
ઢાળવાળા સમતલ માટે,લંબ પ્રતિક્રિયા $N = mg \cos \theta$ થાય છે.
આપેલ છે: દળ $m = 100\, g = 0.1\, kg$,ઢાળ $\theta = 30^\circ$,$\mu = 1.7$,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $F_k = 1.7 \times (0.1\, kg) \times (10\, m/s^2) \times \cos 30^\circ$.
$F_k = 1.7 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.7 \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2}\,N$.

(A) ધારો કે ઢળતા સમતલની લંબાઈ $L$ છે અને ખૂણો $\theta = 30^\circ$ છે.
ઘર્ષણરહિત સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ છે.
ઘર્ષણાંક $\mu$ વાળા ખરબચડા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = 2t_1$,તેથી $\frac{t_2}{t_1} = 2$,એટલે કે $\frac{t_2^2}{t_1^2} = 4$.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = 4$.
$\sin \theta = 4 \sin \theta - 4 \mu \cos \theta \implies 4 \mu \cos \theta = 3 \sin \theta$.
$\mu = \frac{3}{4} \tan \theta = \frac{3}{4} \tan 30^\circ = \frac{3}{4} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ સરકવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તે સ્થિરતાના ખૂણે (angle of repose) હોય છે.
સ્થિરતાના ખૂણે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ સમતલની દિશામાં લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક જેટલું હોય છે.
સમતલની દિશામાં લાગતું વજનનું ઘટક $mg \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,ખૂણો $\theta = 45^\circ$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $f = mg \sin \theta = 2 \times 9.8 \times \sin 45^\circ = 19.6 \sin 45^\circ$ થાય.

(D) ધારો કે ઢળતા સમતલની કુલ લંબાઈ $l$ છે. ઉપરના અડધા ભાગની લંબાઈ $l/2$ છે અને તે લીસો છે,જ્યારે નીચેના અડધા ભાગની લંબાઈ $l/2$ છે અને તે $\mu$ ઘર્ષણાંક ધરાવે છે.
ઉપરના અડધા ભાગ માટે (લીસો):
પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી શરૂ કરતા,મધ્યબિંદુ પર વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે:
$v^2 = u^2 + 2 a_1 (l/2) = 0 + 2(g \sin \theta)(l/2) = gl \sin \theta$.
નીચેના અડધા ભાગ માટે (ખરબચડો):
પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. પદાર્થ $v$ વેગથી શરૂ કરે છે અને $l/2$ અંતર કાપ્યા પછી તળિયે સ્થિર $(v_f = 0)$ થાય છે:
$v_f^2 = v^2 + 2 a_2 (l/2) = 0$.
$v^2 = gl \sin \theta$ અને $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મૂકતા:
$gl \sin \theta + 2[g(\sin \theta - \mu \cos \theta)](l/2) = 0$.
$gl \sin \theta + gl(\sin \theta - \mu \cos \theta) = 0$.
$2 \sin \theta - \mu \cos \theta = 0$.
$\mu \cos \theta = 2 \sin \theta$.
$\mu = 2 \tan \theta$.

(C) ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N = mg \cos \theta$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ એ પરિણામી અધોગામી બળ કરતાં બમણું છે:
$mg \cos \theta = 2 \times mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા:
$\cos \theta = 2(\sin \theta - 0.5 \cos \theta)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$\cos \theta = 2 \sin \theta - 1.0 \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા:
$2 \cos \theta = 2 \sin \theta$.
$2 \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$1 = \tan \theta$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^o$.

(B) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર $\mu$ ઘર્ષણાંક સાથે ઉપરની તરફ ખેંચવા માટે જરૂરી બળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$F = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$
આપેલ છે:
$m = 10\, kg$
$\theta = 30^\circ$
$\mu = 0.5$
$g = 9.8\, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 10 \times 9.8 \times (\sin 30^\circ + 0.5 \cos 30^\circ)$
$F = 98 \times (0.5 + 0.5 \times 0.866)$
$F = 98 \times (0.5 + 0.433)$
$F = 98 \times 0.933 = 91.434\, N$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $91.4\, N$ છે.

(C) ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $(W_f)$ એ ઘર્ષણ બળ $(f_k)$ અને સ્થાનાંતર $(S)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$
આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$,ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.5$,ખૂણો $\theta = 60^\circ$,અને લંબાઈ $S = 1 \,m$.
$g = 9.8 \,m/s^2$ લેતા:
$W_f = f_k \times S = (\mu_k mg \cos \theta) \times S$
$W_f = 0.5 \times 1 \times 9.8 \times \cos(60^\circ) \times 1$
$\cos(60^\circ) = 0.5$ હોવાથી:
$W_f = 0.5 \times 9.8 \times 0.5 \times 1 = 2.45 \,J$.

(D) બ્લોક ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ સરકવાની તૈયારીમાં છે. આ સ્થિતિમાં,સપાટી પર નીચે તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
સપાટી પર નીચે તરફ લાગતું બળ $F = mg \sin \theta$ છે.
અહીં $m = 10\, kg$,$\theta = 30^\circ$ અને $g \approx 9.8\, m/s^2$ આપેલ છે.
સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s = mg \sin 30^\circ = 10 \times 9.8 \times 0.5 = 49\, N$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, kg\, wt = 9.8\, N$,તેથી $kg\, wt$ માં બળ $f_s = \frac{49}{9.8} = 5\, kg\, wt$ મળે.

(A) વિશ્રામ કોણ (angle of repose) $\alpha = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(0.8) \approx 38.6^{\circ}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ એ વિશ્રામ કોણ $\alpha$ કરતા ઓછો હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.
ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રહેલા બ્લોક માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ઢળતા સમતલની દિશાના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$f_s = mg \sin \theta$
આપેલ છે કે $f_s = 10 \, N$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$:
$10 = m \times 10 \times \sin(30^{\circ})$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = 2 \, kg$.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. અંતર $s$ ને $s = \frac{1}{2} a_1 t^2 = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t^2$ દ્વારા દર્શાવી શકાય.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. અંતર $s$ ને $s = \frac{1}{2} a_2 (2t)^2 = \frac{1}{2} g(\sin \theta - \mu \cos \theta) (4t^2)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય.
$s$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} g \sin \theta t^2 = 2 g(\sin \theta - \mu \cos \theta) t^2$.
$g t^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2} \sin \theta = 2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
$\frac{1}{4} \sin \theta = \sin \theta - \mu \cos \theta$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta - \frac{1}{4} \sin \theta = \frac{3}{4} \sin \theta$.
તેથી,$\mu = \frac{3}{4} \tan \theta$.

(B) ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ નીચેની તરફ અને ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$.
આમ,બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને અંતર $s = l$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \cdot g(\sin \theta - \mu \cos \theta) \cdot l$.
તેથી,તળિયે વેગ $v = \sqrt{2gl(\sin \theta - \mu \cos \theta)}$ થશે.

(B) દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $R$ એ લાગુ પાડેલા સમક્ષિતિજ બળ જેટલું હોય છે,તેથી $R = 5 \, N$.
સીમાંત ઘર્ષણ $F_l$ એ $F_l = \mu R = 0.5 \times 5 = 2.5 \, N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નીચેની તરફ લાગતું બ્લોકનું વજન $W = mg = 0.1 \times 9.8 = 0.98 \, N$ છે.
કારણ કે નીચેની તરફ લાગતું બળ (વજન) એ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા ઓછું છે $(0.98 \, N < 2.5 \, N)$,તેથી બ્લોક સ્થિર રહે છે.
સંતુલનમાં રહેલા બ્લોક માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $F_s$ એ નીચેની તરફ લાગતા વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$F_s = W = 0.98 \, N$.

(A) ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતો વજનનો ઘટક $F_{applied} = mg \sin \theta = 2 \times 9.8 \times \sin 30^\circ = 2 \times 9.8 \times 0.5 = 9.8 \, N$ છે.
સીમાંત ઘર્ષણ $F_l = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F_l = 0.7 \times 2 \times 9.8 \times \cos 30^\circ = 0.7 \times 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 11.88 \, N$.
અહીં લાગતું બળ $(9.8 \, N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(11.88 \, N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.
તેથી,સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતા વજનના ઘટક જેટલું જ હશે,જે $9.8 \, N$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,ઢાળની લંબાઈ $S = 8 \ m$,ઊંચાઈ $h = 1 \ m$,ઘર્ષણ ગુણાંક $\mu = 0.2$,$g = 10 \ m/s^2$.
ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = h/S = 1/8$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \sqrt{1 - (1/8)^2} = \sqrt{63/64} = \sqrt{63}/8 \approx 0.992$.
પદાર્થને અચળ વેગથી ઉપર લઈ જવા માટે,લગાડવું પડતું બળ $F$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક અને ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
થતું કાર્ય $W = F \times S = (mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta) \times S$.
$W = mgS \sin \theta + \mu mgS \cos \theta = mgh + \mu mgS \cos \theta$.
$W = (2 \times 10 \times 1) + (0.2 \times 2 \times 10 \times 8 \times 0.992) = 20 + 31.74 = 51.74 \ J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત લેતા,સાચો જવાબ $51 \ J$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1000 \; kg$,ઝડપ $v = 36 \; km/h = 36 \times (5/18) = 10 \; m/s$,$\tan \theta = 1/2$,$\mu = 1/\sqrt{3}$.
ત્રિકોણ પરથી,$\sin \theta = 1/\sqrt{5}$ અને $\cos \theta = 2/\sqrt{5}$.
એન્જિનને અચળ ઝડપે ઢળતા સમતલ પર ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી બળ $F = mg \sin \theta + f_k = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
$F = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 1000 \times 9.8 \times (1/\sqrt{5} + (1/\sqrt{3}) \times (2/\sqrt{5}))$.
$F = 9800 \times (1/\sqrt{5} + 2/\sqrt{15}) = 9800 \times (0.4472 + 0.5164) \approx 9800 \times 0.9636 \approx 9443 \; N$.
પાવર $P = F \times v = 9443 \times 10 = 94430 \; W = 94.4 \times 10^3 \; W$.

(A) જ્યારે કોઈ બ્લોક અચળ વેગથી ઢાળ પર નીચે તરફ ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઢાળની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક એ ગતિક ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
ધારો કે $m$ એ દળ છે,$\theta$ એ ઢાળનો ખૂણો છે,અને $\mu_k$ એ ગતિક ઘર્ષણાંક છે.
ઢાળની નીચે તરફ લાગતું બળ $mg \sin \theta$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $mg \sin \theta = \mu_k mg \cos \theta$.
તેથી,$\mu_k = \tan \theta$.
અહીં $\theta = 30^\circ$ આપેલ હોવાથી,$\mu_k = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) ધારો કે ઢાળની કુલ લંબાઈ $L$ છે. દરેક અડધા ભાગની લંબાઈ $l = L/2$ છે.
ઘર્ષણરહિત ઉપરના અડધા ભાગ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u=0)$ શરૂ કરીને,મધ્યબિંદુ પર વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે:
$v^2 = u^2 + 2 a_1 l = 0 + 2(g \sin \theta)(L/2) = gL \sin \theta$.
રફ નીચેના અડધા ભાગ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. બ્લોક નીચે પહોંચતા સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $0$ છે. $v_f^2 = v^2 + 2 a_2 l$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = gL \sin \theta + 2[g(\sin \theta - \mu \cos \theta)](L/2)$.
$0 = gL \sin \theta + gL \sin \theta - gL \mu \cos \theta$.
$2 \sin \theta = \mu \cos \theta$.
તેથી,$\mu = 2 \tan \theta$.

(C) જ્યારે બ્લોક ઢાળ પર ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રતિપ્રવેગ $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u - at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ),$u = 5 \, m/s$,અને $t = 0.5 \, s$ છે:
$0 = u - at \implies a = \frac{u}{t} = \frac{5}{0.5} = 10 \, m/s^2$.
હવે,$a = 10 \, m/s^2$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $\theta = 30^o$ ને પ્રતિપ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$10 = 10(\sin 30^o + \mu \cos 30^o)$.
$1 = 0.5 + \mu (\frac{\sqrt{3}}{2})$.
$0.5 = \mu (0.866)$.
$\mu = \frac{0.5}{0.866} \approx 0.577$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $0.6$ છે.

(A) કુલ કાર્ય $(W_{total})$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $(W_g)$ અને ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $(W_f)$ નો સરવાળો છે.
$W_{total} = W_g + W_f$
આપેલ છે: $m = 2\,kg$,$h = 10\,m$,$g = 10\,m/s^2$,$W_{total} = 300\,J$.
ગુરુત્વાકર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_g = mgh = 2 \times 10 \times 10 = 200\,J$ છે.
તેથી,ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_f = W_{total} - W_g$ થશે.
$W_f = 300\,J - 200\,J = 100\,J$.

(A) કોઈ પદાર્થ ઢળતી સપાટી પર સ્થિર રહે તે માટે,ઢાળનો ખૂણો $\alpha$ એ વિરામકોણ $\theta$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\tan \theta = \mu$ થાય.
અહીં સપાટી વક્ર છે અને ખૂણો $\alpha$ શિરોલંબ સાથે માપવામાં આવે છે.
કીડી પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ),લંબબળ ($N$ સપાટીને લંબ) અને ઘર્ષણ ($f$ સ્પર્શકની દિશામાં) છે.
સરકવાની સ્થિતિમાં,ઘર્ષણ સીમાંત હોય છે,તેથી $f = \mu N$.
સપાટીને સમાંતર અને લંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
$mg \sin \alpha = f = \mu N$
$mg \cos \alpha = N$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \alpha = \mu$
આપેલ છે કે $\mu = 1/3$,તેથી $\tan \alpha = 1/3$.
તેથી,$\cot \alpha = 1/\tan \alpha = 3$.

(A) ધારો કે ચેઇનની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને તેનું કુલ દળ $M$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = M/L$ છે.
ધારો કે ટેબલની બહાર લટકતી ચેઇનની લંબાઈ $l$ છે. ટેબલ પર રહેલી ચેઇનની લંબાઈ $(L - l)$ થશે.
લટકતા ભાગનું વજન $W_h = (\lambda l)g$ છે,જે ખેંચાણ બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ટેબલ પર રહેલી ચેઇન પર લાગતું લંબબળ $N = (\lambda(L - l))g$ છે.
સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu \lambda(L - l)g$ છે.
ચેઇન સંતુલનમાં રહે તે માટે,ખેંચાણ બળ અને સીમાંત ઘર્ષણ બળ સમાન હોવા જોઈએ:
$\lambda l g = \mu \lambda(L - l)g$
$l = \mu(L - l)$
$l = \mu L - \mu l$
$l(1 + \mu) = \mu L$
$l/L = \mu / (1 + \mu)$
અહીં $\mu = 0.25$ આપેલ છે:
$l/L = 0.25 / (1 + 0.25) = 0.25 / 1.25 = 1/5 = 0.20$.
આમ,લટકતી લંબાઈની ટકાવારી $0.20 \times 100 = 20\%$ છે.

(A) ઘર્ષણરહિત ઢાળ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢાળ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = n t_1$,તેથી $\frac{t_2}{t_1} = n$.
આમ,$\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = n^2$.
$\mu$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\theta = 30^{\circ}$ અને $n = 2$ કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \tan 30^{\circ} \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(D) બાળક દોરડા પર નીચે તરફ સરકે છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ અને ઘર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે.
બાળકનું વજન,$W = mg = 25 \times 9.8 = 245$ $N$.
ઘર્ષણ બળ,$f = 2$ $N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = W - f$.
$ma = mg - f$
$25 \times a = 245 - 2$
$25a = 243$
$a = \frac{243}{25} = 9.72$ $m/s^2$.
તેથી,બાળકની પ્રવેગ $9.72$ $m/s^2$ છે.

(B) ધારો કે બંને ખાંચાની લંબાઈ $L$ છે. શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલા લીસા ખાંચા પર નીચે સરકતા કણનો પ્રવેગ $a = g \cos \theta$ છે.
શિરોલંબ જીવા $AB$ માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = 0^\circ$ છે. તેથી,$a_{AB} = g \cos 0^\circ = g$.
લાગતો સમય $t_{AB} = \sqrt{\frac{2L}{a_{AB}}} = \sqrt{\frac{2L}{g}}$ છે.
જીવા $CD$ માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 60^\circ$ છે. તેથી,$a_{CD} = g \cos 60^\circ = g/2$.
લાગતો સમય $t_{CD} = \sqrt{\frac{2L}{a_{CD}}} = \sqrt{\frac{2L}{g/2}} = \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{t_{AB}}{t_{CD}} = \frac{\sqrt{2L/g}}{2\sqrt{L/g}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) બ્લોક અને સમતલ વચ્ચેનું સંપર્ક બળ $F_c$ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નું પરિણામી બળ છે.
$F_c = \sqrt{N^2 + f^2}$.
ઢળતા સમતલ પરના બ્લોક માટે,લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે બ્લોક સ્થિર હોય (સ્થિત ઘર્ષણ),ત્યારે $f = mg \sin \theta$.
તેથી $F_c = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = \sqrt{m^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = mg$.
આ સ્થિતિ વિરામકોણ $\theta_r$ સુધી જળવાય છે,જ્યાં $\tan \theta_r = \mu$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે (ગતિ ઘર્ષણ),ત્યારે $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$.
તેથી $F_c = \sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (\mu mg \cos \theta)^2} = mg \cos \theta \sqrt{1 + \mu^2}$.
જેમ જેમ $\theta$ ને $0^o$ થી $\theta_r$ સુધી વધારવામાં આવે છે,તેમ $F_c$ એ $mg$ જેટલું અચળ રહે છે.
જેમ જેમ $\theta$ ને $\theta_r$ થી $90^o$ સુધી વધારવામાં આવે છે,તેમ $F_c = mg \cos \theta \sqrt{1 + \mu^2}$ ઘટે છે કારણ કે $\cos \theta$ ઘટે છે.
તેથી,સંપર્ક બળ પહેલા અચળ રહે છે અને પછી ઘટે છે.

(A) ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ પરથી,ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $(mg \sin 37^{\circ})$ અને ઘર્ષણ બળ $(f = \mu N = \mu mg \cos 37^{\circ})$ બંને ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે.
તેથી,જ્યારે બ્લોક સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તે અચળ પ્રતિપ્રવેગ $(a)$ અનુભવે છે:
$ma = mg \sin 37^{\circ} + \mu mg \cos 37^{\circ}$
$a = g(\sin 37^{\circ} + \mu \cos 37^{\circ})$
અહીં $g = 10 \ m/s^2$,$\sin 37^{\circ} \approx 0.6$,$\cos 37^{\circ} \approx 0.8$,અને $\mu = 0.5$ આપેલ છે:
$a = 10(0.6 + 0.5 \times 0.8) = 10(0.6 + 0.4) = 10 \ m/s^2$
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ વેગ $v = 0$ અને પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \ m/s$ છે:
$0 = (5)^2 - 2(10)S$
$20S = 25$
$S = 1.25 \ m$

(C) $1$. $5 \, kg$ ના બ્લોક પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરો: સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T$ એ $5 \, kg$ ના બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે. તેથી,$T = m_2g = 5 \times 10 = 50 \, N$.
$2$. ઢળતી સપાટી પર $10 \, kg$ ના બ્લોક પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરો: ઢળતી સપાટીની નીચેની તરફ લાગતો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $m_1g \sin(37^\circ) = 10 \times 10 \times 0.6 = 60 \, N$ છે.
$3$. ઘર્ષણની દિશા નક્કી કરો: ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $(60 \, N)$ એ બ્લોકને ઉપર ખેંચતા તણાવ $(50 \, N)$ કરતા વધારે છે. તેથી,બ્લોક નીચે તરફ સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે. સંતુલન જાળવવા માટે,ઘર્ષણ બળ ઢળતી સપાટીની ઉપરની તરફ લાગવું જોઈએ.
$4$. ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરો: ધારો કે $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે. ઢળતી સપાટી પર સંતુલન માટે,$T + f = m_1g \sin(37^\circ)$. કિંમતો મૂકતા,$50 + f = 60$,જે આપે છે $f = 10 \, N$ ઢળતી સપાટીની ઉપરની તરફ.

(B) જ્યારે પદાર્થ લીસા ઢળતા સમતલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે આઘાત (impulse) સમતલની સપાટીને લંબ રૂપે લાગે છે. તેથી,ઢળતા સમતલને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v = 3\, m/s$ છે જે શિરોલંબ નીચેની તરફ છે.
સમક્ષિતિજ સાથે ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
ઢળતા સમતલને સમાંતર પ્રારંભિક વેગ $v$ નો ઘટક $v_{\parallel} = v \sin 30^{\circ}$ છે.
અથડામણ પછી,પદાર્થ $v_f$ વેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે. ઢળતા સમતલને સમાંતર આ અંતિમ વેગ $v_f$ નો ઘટક $v_{f\parallel} = v_f \cos 30^{\circ}$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,સમતલને સમાંતર કોઈ બળ લાગતું નથી,તેથી સમતલને સમાંતર વેગનો ઘટક અચળ રહે છે:
$v \sin 30^{\circ} = v_f \cos 30^{\circ}$
$v_f = v \tan 30^{\circ}$
કિંમતો $v = 3\, m/s$ અને $\tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$ મૂકતા:
$v_f = 3 \times (1/\sqrt{3}) = \sqrt{3}\, m/s$.

(D) ઢળતી સપાટી પર બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ સમાન હોવાથી,જે બ્લોકનો ઘર્ષણાંક $(\mu)$ ઓછો હશે તેનો ઢાળ પર નીચે તરફનો પ્રવેગ વધુ હશે.
જો $\mu_1 > \mu_2$ હોય,તો બ્લોક $B$ (જેનો ઘર્ષણાંક $\mu_2$ છે) બ્લોક $A$ (જેનો ઘર્ષણાંક $\mu_1$ છે) કરતા વધુ ઝડપથી પ્રવેગિત થવાનો પ્રયત્ન કરશે. $B$ એ $A$ ની પાછળ હોવાથી,તેઓ સંપર્કમાં રહેશે.
જો $\mu_1 < \mu_2$ હોય,તો બ્લોક $A$ એ બ્લોક $B$ કરતા વધુ ઝડપથી પ્રવેગિત થશે. $A$ એ $B$ ની આગળ હોવાથી,તેઓ અલગ થઈ જશે અને અલગ-અલગ પ્રવેગ સાથે નીચે સરકશે.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(C) તંત્ર પ્રવેગિત થાય તે માટે,પ્રેરક બળ બ્લોક $M$ પર લાગતા સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
$1$. બ્લોક $M$ પર લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu M g$ છે,જ્યાં $N = M g$ એ લંબબળ છે.
$2$. તંત્ર પર લાગતું પ્રેરક બળ લટકતા બ્લોક $m$ નું વજન છે,જે $m g$ છે.
$3$. તંત્ર ત્યારે જ પ્રવેગિત થવાનું શરૂ કરશે જ્યારે પ્રેરક બળ સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા વધી જાય:
$m g > \mu M g$
$4$. બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$m > \mu M$
તેથી,તંત્ર ત્યારે જ પ્રવેગિત થશે જ્યારે $m > \mu M$ હોય.

(A) ઢળતા સમતલ પર $d$ લંબાઈ સુધી સરકતા બ્લોક દ્વારા ઘર્ષણને કારણે ગુમાવેલી ઊર્જા $(E)$ એ ઘર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે。
ઘર્ષણ બળ $f = \mu_k N$ છે, જ્યાં $N = mg \cos \theta$ એ લંબબળ છે。
આમ, ગુમાવેલી ઊર્જા $E = f \cdot d = \mu_k (mg \cos \theta) d$ છે。
ચલનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. નમનકોણ $(\theta)$ વધારતા: જેમ $\theta$ વધે છે, તેમ $\cos \theta$ ઘટે છે, તેથી ગુમાવેલી ઊર્જા ઘટે છે。
$2$. અંતર $(d)$ વધારતા: ગુમાવેલી ઊર્જા $d$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે。
$3$. ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ વધારતા: ગુમાવેલી ઊર્જા $g$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે。
$4$. દળ $(m)$ વધારતા: ગુમાવેલી ઊર્જા $m$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે。
તેથી, નમનકોણ વધારવાથી ગુમાવેલી ઊર્જામાં વધારો થતો નથી; તે ઘટે છે。

(A) ઢળતી સપાટી પર રહેલી ઈંટનો વિચાર કરો. ઈંટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે. ઈંટ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઢળતી સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ એવા બિંદુએ લાગવું જોઈએ કે જેથી તે બિંદુની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતું ટોર્ક શૂન્ય થાય.
ઈંટ ઢાળ પર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કને સંતુલિત કરવા માટે લંબબળ નીચેની ધાર (આકૃતિમાં ડાબી બાજુ) તરફ ખસેડવામાં આવે છે.
કારણ કે લંબબળ પાયાના ડાબા અડધા ભાગ તરફ વધુ વિતરિત થાય છે,તેથી ઈંટનો ડાબો અડધો ભાગ ઢળતી સપાટી પર વધુ દબાણ લગાડે છે.