Static and Limiting Friction and Minimum Force Required to Move Questions in Gujarati

(C) ઘર્ષણ કોણ $\lambda$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ અને સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f$ ના પરિણામી બળ દ્વારા લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નું પરિણામી બળ $R = \sqrt{N^2 + f^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N$,$f$ અને $R$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\tan \lambda = \frac{f}{N}$ છે.
ઘર્ષણાંકની વ્યાખ્યા $\mu = \frac{f}{N}$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $\tan \lambda = \mu$.

(D) પદાર્થને ગતિમાં લાવવા માટે જરૂરી બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે,$F_L = \mu_s R$.
અહીં,$F_L = 98 \, N$,દળ $m = 100 \, kg$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$ છે.
લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R = mg = 100 \times 9.8 = 980 \, N$ થાય.
સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ નું સૂત્ર $\mu_s = \frac{F_L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\mu_s = \frac{98}{980} = \frac{1}{10} = 0.1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ,જેને સીમાંત ઘર્ષણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે સૂત્ર $f_{max} = \mu_s N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
કારણ કે લંબબળ $N$ એ પદાર્થના વજન $(N = mg)$ પર આધાર રાખે છે અને સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ એ સંપર્કમાં રહેલા પદાર્થોની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે,તેથી મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓના દેખીતા ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ સંપર્કમાં રહેલી સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર છે.

(A) સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ સ્વયં-સંતુલિત બળ છે જે ચોક્કસ મર્યાદા સુધી લાગુ પડેલા બળને સંતુલિત કરે છે.
જેમ જેમ લાગુ પાડવામાં આવતું બળ વધે છે,તેમ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે સ્થિત ઘર્ષણ પણ વધે છે.
એક ચોક્કસ બિંદુએ,સ્થિત ઘર્ષણ તેના મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે,જેના પછી પદાર્થ સરકવાનું શરૂ કરે છે.
સ્થિત ઘર્ષણના આ મહત્તમ મૂલ્યને સીમાંત ઘર્ષણ (Limiting friction) કહેવામાં આવે છે.

(C) લંબ દિશામાં સંતુલન માટે,લંબબળ $N$ નીચે મુજબ મળે છે:
$N + F \sin \theta = W \Rightarrow N = W - F \sin \theta$
જ્યારે લાગુ પાડેલા બળ $F$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_{\max}$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય ત્યારે બ્લોક ગતિ કરશે:
$F \cos \theta \geq f_{\max}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $f_{\max} = \mu N$ અને $\mu = \tan \alpha$,તેથી:
$F \cos \theta \geq \tan \alpha (W - F \sin \theta)$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ મૂકતા:
$F \cos \theta \geq \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} (W - F \sin \theta)$
$F \cos \theta \cos \alpha \geq W \sin \alpha - F \sin \theta \sin \alpha$
$F (\cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha) \geq W \sin \alpha$
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F \cos (\theta - \alpha) \geq W \sin \alpha$
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ બળ:
$F = \frac{W \sin \alpha}{\cos (\theta - \alpha)}$

(C) બ્લોકની ગતિ શરૂ કરવા માટે જરૂરી સીમાંત ઘર્ષણ બળ ${F_l}$ એ ${F_l} = {\mu _s}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ લંબબળ છે.
બ્લોક સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,$R = mg = 10 \, N$ થાય.
તેથી,${F_l} = 0.4 \times 10 \, N = 4 \, N$.
આનો અર્થ એ છે કે સ્થિત ઘર્ષણને દૂર કરવા અને ગતિ શરૂ કરવા માટે ઓછામાં ઓછા $4 \, N$ બળની જરૂર છે.
અહીં લગાડવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ બળ $3 \, N$ છે.
કારણ કે લગાડવામાં આવેલ બળ $(3 \, N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(4 \, N)$ કરતા ઓછું છે,તેથી બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ એ બ્લોક $B$ ના વજનબળ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $T = m_B g = 5g$.
બ્લોક $A$ (જેની ઉપર બ્લોક $C$ મૂકેલો છે) સ્થિર રહે તે માટે,સીમાંત ઘર્ષણબળ $f_L$ એ તણાવબળ $T$ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ.
બ્લોક $A$ પર લાગતું લંબબળ $N = (m_A + m_C)g$ છે.
સીમાંત ઘર્ષણબળ $f_L = \mu N = \mu (m_A + m_C)g$ થાય.
$f_L = T$ લેતા,આપણને મળે છે $\mu (m_A + m_C)g = m_B g$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.2 \times (10 + m_C) = 5$.
$2 + 0.2 m_C = 5$.
$0.2 m_C = 3$.
$m_C = \frac{3}{0.2} = 15\, kg$.

(A) સીમાંત ઘર્ષણ એ સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય છે જે ત્યારે લાગે છે જ્યારે પદાર્થ ગતિ કરવાની અણી પર હોય છે.
એકવાર પદાર્થ સરકવાનું શરૂ કરે,પછી સંપર્ક સપાટીઓને સંપૂર્ણપણે એકબીજામાં ગોઠવાવા માટે પૂરતો સમય મળતો નથી.
આને કારણે,સ્થિર અવસ્થાની તુલનામાં સપાટીઓ દ્વારા આપવામાં આવતો અવરોધ ઘટી જાય છે.
તેથી,ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ (ગતિશીલ ઘર્ષણ) એ ગતિ શરૂ કરવા માટે જરૂરી બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) કરતા હંમેશા ઓછું હોય છે.
આમ,સીમાંત ઘર્ષણ હંમેશા ગતિશીલ ઘર્ષણ કરતા વધારે હોય છે.

(B) બ્લોકને દીવાલ પર સ્થિર રાખવા માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ બ્લોકના વજન $W = mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
આપેલ છે: દળ $m = 1\, kg$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
કારણ કે બળ $F$ દીવાલને લંબ રૂપે લગાડવામાં આવે છે,તેથી લંબબળ $N = F$ થશે.
સંતુલન માટે,$f = W$,જેનો અર્થ છે કે $\mu F = mg$.
કિંમતો મૂકતા: $0.2 \times F = 1 \times 9.8$.
$F = \frac{9.8}{0.2} = 49\, N$.

(A) ગતિ શરૂ કરવા માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ બ્લોક $A$ પર લાગતા સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m_A = 10 \, kg$ એ બ્લોક $A$ નું દળ છે અને $m_B$ એ બ્લોક $B$ નું દળ છે.
બ્લોક $A$ પરનું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu N = \mu m_A g$ છે,જ્યાં $\mu = 0.20$ એ ઘર્ષણાંક છે.
દોરીમાં તણાવ $T$ એ બ્લોક $B$ ના વજન દ્વારા મળે છે,તેથી $T = m_B g$.
ગતિ શરૂ કરવા માટે,$T = f_L$.
કિંમતો મૂકતા: $m_B g = \mu m_A g$.
$m_B = \mu m_A = 0.20 \times 10 \, kg = 2 \, kg$.
આમ,ગતિ શરૂ કરવા માટે જરૂરી $B$ નું લઘુત્તમ દળ $2 \, kg$ છે.

(A) બ્લોકને ગતિમાં લાવવા માટે જરૂરી બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ છે,$F_l = 75\, N$.
આડી સપાટી પર લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ એ $R = mg = 20\, kg \times 9.8\, m/s^2 = 196\, N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ ને $\mu_s = \frac{F_l}{R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\mu_s = \frac{75}{196} \approx 0.3826$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\mu_s = 0.38$ મળે છે.

(C) સાચો જવાબ $(C)$ છે.
બરફ પર ચાલતી વખતે લપસી ન જવાય તે માટે નાના ડગલાં ભરવા જોઈએ કારણ કે બૂટ અને બરફ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક ખૂબ જ ઓછો હોય છે.
જ્યારે આપણે ડગલું ભરીએ છીએ,ત્યારે આપણે જમીન પર બળ લગાડીએ છીએ. જમીન સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે. આ બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક લપસી જવાની વૃત્તિ માટે જવાબદાર છે. નાના ડગલાં ભરવાથી,બળ સદિશનો શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો ઘટે છે,જે બળના સમક્ષિતિજ ઘટકને ઘટાડે છે.
વધુમાં,નાના ડગલાં લેવાથી ગુરુત્વકેન્દ્રને આધારની અંદર જાળવી રાખવામાં મદદ મળે છે,જે લપસી જવાનું કારણ બનતા પાર્શ્વ બળોને ઘટાડે છે.

(A) આપેલ છે: બ્લોકનું દળ $m = 2 \, kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.4$,લગાડેલ બળ $F = 2.5 \, N$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
સીમાંત ઘર્ષણ (મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_{max} = 0.4 \times 2 \times 9.8 = 7.84 \, N$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 2.5 \, N$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_{max} = 7.84 \, N$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે લગાડેલ બળ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા ઓછું હોય,ત્યારે સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ લગાડેલ બળ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $2.5 \, N$ છે.

(A) મહત્તમ ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) નું સૂત્ર $f_{max} = \mu N$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
અહીં નિસરણી ભોંયતળિયા પર મૂકેલી હોવાથી,ભોંયતળિયા દ્વારા નિસરણી પર લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ એ નિસરણીના વજન $W = 250\,N$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે $\mu = 0.3$ અને $N = 250\,N$.
તેથી,$f_{max} = 0.3 \times 250\,N = 75\,N$.

(A) બ્લોકને દીવાલની સામે સ્થિર રાખવા માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન $W$) એ ઉપરની તરફ લાગતા સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_s)$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $(N)$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલા આડા બળ જેટલું હોય છે,તેથી $N = 10 \, N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = 0.2$ એ ઘર્ષણાંક છે.
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,$W = f_s$. મર્યાદિત સ્થિતિ $W = f_{s,max}$ છે.
તેથી,$W = 0.2 \times 10 \, N = 2 \, N$.

(D) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ એ બ્લોક $B$ ના વજન અને બ્લોક $A$ પર લાગતા સીમાંત ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બ્લોક $B$ માટે: $T = m_B g$
બ્લોક $A$ માટે: $T = f_s = \mu_s N = \mu_s m_A g$
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m_B g = \mu_s m_A g$
$m_B = \mu_s m_A$
અહીં $\mu_s = 0.2$ અને $m_A = 2\, kg$ આપેલ છે:
$m_B = 0.2 \times 2 = 0.4\, kg$
તેથી,બ્લોક $B$ નું મહત્તમ દળ $0.4\, kg$ છે.

(A) ગતિ શરૂ કરવા માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max}$ ને પાર કરવું જોઈએ.
ક્ષૈતિજ સપાટી પર રહેલા બ્લોક $A$ માટે,લંબબળ $N = m_A g$ થાય.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s m_A g$ છે.
લટકતા બ્લોક $B$ માટે,તણાવ $T = m_B g$ થાય.
ગતિ શરૂ થવાના સમયે,તંત્ર સીમાંત સંતુલનમાં હોય છે,તેથી $T = f_{s,max}$.
કિંમતો મૂકતા: $m_B g = \mu_s m_A g$.
$m_B = \mu_s m_A = 0.2 \times 10\,kg = 2\,kg$.
તેથી,ગતિ શરૂ કરવા માટે બ્લોક $B$ નું જરૂરી દળ $2\,kg$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 50 \, kg$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.6$,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$.
બ્લોક માત્ર સરકે તે માટે,બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$F \sin \theta = f_L = \mu R$
અહીં,$R$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે. શિરોલંબ બળોને સંતુલિત કરતા:
$R + F \cos \theta = mg$
$R = mg - F \cos \theta$
$R$ ની કિંમત ઘર્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F \sin \theta = \mu (mg - F \cos \theta)$
$F \sin \theta = \mu mg - \mu F \cos \theta$
$F (\sin \theta + \mu \cos \theta) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$
કિંમતો મૂકતા $(g = 9.81 \, m/s^2)$:
$F = \frac{0.6 \times 50 \times 9.81}{\sin 30^\circ + 0.6 \cos 30^\circ} = \frac{294.3}{0.5 + 0.5196} = \frac{294.3}{1.0196} \approx 288.6 \, N$.
નોંધ: જો $g = 10 \, m/s^2$ લેવામાં આવે,તો $F = \frac{300}{1.0196} \approx 294.2 \, N$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(C) સાચો સંબંધ ${\mu _r} < {\mu _k} < {\mu _s}$ છે.
$1$. સ્થિત ઘર્ષણ $({\mu _s})$ એ ગતિ શરૂ કરવા માટે જરૂરી બળ છે,જે સૌથી વધુ હોય છે કારણ કે તેણે સપાટીની અનિયમિતતાઓના મહત્તમ જોડાણને દૂર કરવું પડે છે.
$2$. ગતિજ (સરકતું) ઘર્ષણ $({\mu _k})$ એ ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ છે,જે સ્થિત ઘર્ષણ કરતા ઓછું હોય છે કારણ કે સપાટીઓને અસરકારક રીતે જોડાવા માટે પૂરતો સમય મળતો નથી.
$3$. લોટણ ઘર્ષણ $({\mu _r})$ સૌથી ઓછું હોય છે કારણ કે સંપર્ક વિસ્તાર ન્યૂનતમ હોય છે અને ગતિની પદ્ધતિમાં સરકવાને બદલે ગબડવાની ક્રિયાનો સમાવેશ થાય છે,જે ગતિ સામેના અવરોધને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.

(A) સંતુલન માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે બ્લોક પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. શિરોલંબ બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું વજન $mg$,બળ $Q$ નો શિરોલંબ ઘટક $Q\cos\theta$ જે નીચેની તરફ લાગે છે,અને ઉપરની તરફ લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ છે.
તેથી,$R = mg + Q\cos\theta$.
$2$. સમક્ષિતિજ બળોમાં એક દિશામાં લાગતું બળ $P$ અને બળ $Q$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $Q\sin\theta$ છે જે સમાન દિશામાં લાગે છે.
બ્લોકને ખસેડવા માટેનું કુલ સમક્ષિતિજ બળ $F_{net} = P + Q\sin\theta$ છે.
$3$. બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ કુલ સમક્ષિતિજ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ,એટલે કે $f = P + Q\sin\theta$.
$4$. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu R = \mu(mg + Q\cos\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$. સંતુલન માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $P + Q\sin\theta \leq \mu(mg + Q\cos\theta)$.
તેથી,ઘર્ષણાંક $\mu$ એ શરત સંતોષવી જોઈએ: $\mu \geq \frac{P + Q\sin\theta}{mg + Q\cos\theta}$.

(C) પદાર્થ પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,ઉપરની તરફ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$,સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતું બળ $P$ અને ગતિનો વિરોધ કરતું ઘર્ષણ બળ $F$ છે.
બળ $P$ ના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો લેતા,આપણને સમક્ષિતિજ દિશામાં $P \cos 30^{\circ}$ અને શિરોલંબ દિશામાં ઉપરની તરફ $P \sin 30^{\circ}$ મળે છે.
શિરોલંબ સંતુલન માટે,ઉપરની તરફ લાગતા બળોનો સરવાળો નીચેની તરફ લાગતા બળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$R + P \sin 30^{\circ} = mg$
$R = mg - P \sin 30^{\circ}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$R = mg - \frac{P}{2}$
સીમાંત ઘર્ષણ $F$ નું સૂત્ર $F = \mu R$ છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = \mu \left( mg - \frac{P}{2} \right)$.

(A) મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu N = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m = 2 \, kg$,$\mu = 0.4$,અને $g = 9.8 \, m/s^2$.
$f_{max} = 0.4 \times 2 \times 9.8 = 7.84 \, N$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 2.5 \, N$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_{max} = 7.84 \, N$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે પદાર્થ સ્થિર હોય ત્યારે ઘર્ષણબળ પોતાની જાતે લગાડેલા બળ જેટલું જ થઈ જાય છે.
તેથી,ઘર્ષણબળ $f = F = 2.5 \, N$ થશે.

(A) સીમાંત ઘર્ષણ બળ $F_l$ એ $F_l = \mu R = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
સપાટી સમાન હોવાથી,$\mu$ અચળ રહે છે. તેથી,$F_l \propto m$.
આપેલ છે કે,$m_1 = 10\, kg$ માટે,$F_{l1} = 19.6\, N$.
જ્યારે $5\, kg$ દળ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું દળ $m_2 = 10\, kg + 5\, kg = 15\, kg$ થાય છે.
પ્રમાણસરતા $F_{l2} / F_{l1} = m_2 / m_1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$F_{l2} = F_{l1} \times (m_2 / m_1) = 19.6 \times (15 / 10) = 19.6 \times 1.5 = 29.4\, N$.

(A) ઘર્ષણાંક,જેને $\mu$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે માત્ર સંપર્કમાં રહેલી બે સપાટીઓના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
તે ઘર્ષણ બળ $f$ અને લંબબળ $N$ ના ગુણોત્તર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\mu = f/N$ છે.
જ્યારે લંબબળ $N$ બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f$ પણ પ્રમાણસર રીતે બમણું થાય છે,જેનાથી ગુણોત્તર $\mu$ અચળ રહે છે.
તેથી,ઘર્ષણાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(C) ધારો કે $P$ એ સમક્ષિતિજ સાથે $30^\circ$ ના ખૂણે લાગતું બળ છે.
પદાર્થ ગતિની સ્થિતિમાં આવે તે માટે,બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરવો જોઈએ: $P \cos 30^\circ = f_k$.
સીમાંત ઘર્ષણ $f_k = \mu R$ છે,જ્યાં $R$ એ લંબબળ છે,તેથી $R = mg - P \sin 30^\circ$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $P \cos 30^\circ = \mu (mg - P \sin 30^\circ)$.
અહીં $m = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\mu = 1/\sqrt{3}$,અને $\theta = 30^\circ$ છે:
$P (\sqrt{3}/2) = (1/\sqrt{3}) (100 - P/2)$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા: $P (3/2) = 100 - P/2$.
$3P/2 + P/2 = 100$.
$2P = 100$.
$P = 50 \ N$.

(A) $1$. બ્લોક પર શિરોલંબ $(y)$ દિશામાં લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરો. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ($mg = 1 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 = 10 \text{ N}$ નીચેની તરફ),લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક ($F_y = 4 \text{ N}$ ઉપરની તરફ) અને લંબબળ ($N$ ઉપરની તરફ) છે.
$2$. શિરોલંબ દિશામાં સંતુલન: $N + F_y = mg \implies N + 4 = 10 \implies N = 6 \text{ N}$.
$3$. મહત્તમ સીમાંત ઘર્ષણ બળની ગણતરી: $f_{max} = \mu N = 0.3 \times 6 = 1.8 \text{ N}$.
$4$. સમક્ષિતિજ $(x)$ દિશામાં લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરો. લાગુ પાડેલું સમક્ષિતિજ બળ $F_x = 1 \text{ N}$ છે.
$5$. કારણ કે લાગુ પાડેલું સમક્ષિતિજ બળ $(1 \text{ N})$ એ મહત્તમ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $(1.8 \text{ N})$ કરતા ઓછું છે,તેથી બ્લોક સ્થિર રહેશે (સ્થિત સંતુલન).
$6$. સ્થિત સંતુલનમાં,ઘર્ષણ બળ એ લાગુ પાડેલા સમક્ષિતિજ બળને સંતુલિત કરે છે: $f = -F_x = -1 \hat{i} \text{ N}$.

(A) બ્લોક $m$ ને સ્થિર રાખવા માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ બ્લોક $m$ ના વજન જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $T = mg$.
બ્લોક $M$ (જેની ઉપર $m_0$ છે) ને સ્થિર રાખવા માટે,તણાવ $T$ એ બ્લોક $M$ અને સમક્ષિતિજ સપાટી વચ્ચે લાગતા મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max}$ દ્વારા સંતુલિત હોવું જોઈએ.
સપાટી પર લાગતું લંબબળ $N = (M + m_0)g$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu(M + m_0)g$ છે.
સંતુલન માટે,$T = f_{max}$,જેનો અર્થ છે કે $mg = \mu(M + m_0)g$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા,આપણને $m = \mu(M + m_0)$ મળે છે.
$m_0$ માટે પદ ગોઠવતા,આપણને $\frac{m}{\mu} = M + m_0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $m_0 = \frac{m}{\mu} - M$ થાય છે.

(A) બ્લોકને ગતિમાં લાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ છે,$f_L = \mu N = \mu Mg = 3Mg$ છે.
આપેલ છે કે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = \frac{4}{5} f_L = \frac{4}{5} (3Mg) = 2.4Mg$ છે.
જમીન દ્વારા લાગતું લંબબળ $N = Mg$ છે.
બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = F = 2.4Mg$ છે (કારણ કે $F < f_L$ છે).
જમીન દ્વારા બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ એ લંબબળ અને ઘર્ષણ બળનું પરિણામી બળ છે:
$R = \sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{(Mg)^2 + (2.4Mg)^2} = \sqrt{Mg^2 + 5.76Mg^2} = \sqrt{6.76Mg^2} = 2.6Mg$.

(C) ધારો કે $N$ એ દરેક પાના દ્વારા તાર પર લાગતું લંબબળ છે અને $f = \mu N$ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ છે.
તાર કાતરની ધરીથી દૂર સરકવાની સ્થિતિમાં હોય ત્યારે,કાતરની ધરીની દિશામાં બળોના ઘટકો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
લંબબળ $N$ પાનાને લંબ રૂપે લાગે છે,જે કાતરની ધરી સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે.
ઘર્ષણ બળ $f$ પાનાની દિશામાં લાગે છે,જે પણ કાતરની ધરી સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે.
કાતરની ધરીની દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
$N \sin \alpha = f \cos \alpha$
$f = \mu N$ મૂકતા:
$N \sin \alpha = \mu N \cos \alpha$
$\mu = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$
આમ,ઘર્ષણાંક $\tan \alpha$ છે.

(A) બ્લોકને સપાટી પર ખેંચવા માટે,લાગુ પડતા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક: $F_x = F \cos \theta = mg \cos \theta$
બળનો શિરોલંબ ઘટક: $F_y = F \sin \theta = mg \sin \theta$
લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$: $N = mg - F_y = mg - mg \sin \theta = mg(1 - \sin \theta)$
સીમાંત ઘર્ષણ: $f_L = \mu N = \mu mg(1 - \sin \theta)$
ગતિ માટેની શરત: $F_x \ge f_L$
$mg \cos \theta \ge \mu mg(1 - \sin \theta)$
$\cos \theta \ge \mu(1 - \sin \theta)$
આ શરતનું સાદું રૂપ આપતા,પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પરિણામ મુજબ $\tan \theta \ge \mu$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10\, kg$,બળ $F = 50\, N$,$\mu_s = 0.6$,$\mu_k = 0.4$,$g = 10\, m/s^2$.
સૌ પ્રથમ,બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ શોધો: $N = mg = 10 \times 10 = 100\, N$.
ત્યારબાદ,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s N = 0.6 \times 100 = 60\, N$ ગણો.
અહીં લાગુ પાડેલ બળ $F = 50\, N$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = 60\, N$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.
સ્થિર બ્લોક માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ એ લાગુ પાડેલ બળ $F$ ને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$f = F = 50\, N$.

(A) મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\mu = 0.2$,$m = 4\, kg$,અને $g = 10\, m/s^2$ આપેલ છે.
$f_{\max} = 0.2 \times 4 \times 10 = 8\, N$.
લગાડવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ બળ $F = 6\, N$ છે.
અહીં લગાડેલ બળ $F$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\max}$ કરતા ઓછું હોવાથી $(6\, N < 8\, N)$,પદાર્થ ગતિ કરશે નહીં.
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ $0\, m/s^2$ થશે.

(A) બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતા બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
બળ $Q$ ને તેના ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા,આપણી પાસે સમક્ષિતિજ ઘટક $Q \sin \theta$ અને શિરોલંબ ઘટક $Q \cos \theta$ નીચેની તરફ લાગે છે.
કુલ નીચેની તરફ લાગતું બળ $mg + Q \cos \theta$ છે. તેથી,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N = mg + Q \cos \theta$ થાય.
બ્લોક પર લાગતું કુલ સમક્ષિતિજ બળ $P + Q \sin \theta$ છે.
બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ સમક્ષિતિજ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ,તેથી $f = P + Q \sin \theta$.
$f \leq \mu N$ હોવાથી,આપણને $P + Q \sin \theta \leq \mu (mg + Q \cos \theta)$ મળે છે.
તેથી,ઘર્ષણાંક $\mu$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\mu \geq \frac{P + Q \sin \theta}{mg + Q \cos \theta}$ છે.

(C) બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ શિરોલંબ બળોને સંતુલિત કરીને મેળવી શકાય છે: $N = mg + F \cos \theta$. અહીં $F = mg$ હોવાથી,$N = mg + mg \cos \theta = mg(1 + \cos \theta)$ મળે.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$N = 2 mg \cos^2 \frac{\theta}{2}$ મળે.
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \sin \theta = mg \sin \theta$ છે.
ડબલ એંગલ નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$F_x = 2 mg \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ મળે.
બ્લોક ગતિ કરે તે માટે,સમક્ષિતિજ બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $F_x \ge \mu N$.
કિંમતો મૂકતા: $2 mg \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \ge \mu (2 mg \cos^2 \frac{\theta}{2})$.
બંને બાજુ $2 mg \cos \frac{\theta}{2}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\cos \frac{\theta}{2} \neq 0$),આપણને $\sin \frac{\theta}{2} \ge \mu \cos \frac{\theta}{2}$ મળે.
તેથી,$\tan \frac{\theta}{2} \ge \mu$.

(C) સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ તેના વજન જેટલું હોય છે: $N = mg = 70 \times 10 = 700\,N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu N = 0.4 \times 700 = 280\,N$ છે.
બ્લોક ગતિ કરતો ન હોવાથી,લાગુ પાડવામાં આવેલ આડું બળ $P$ એ $0 \le P \le 280\,N$ શરતનું પાલન કરે છે,અને સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ એવી રીતે ગોઠવાય છે કે $f = P$. આમ,$0 \le f \le 280\,N$.
સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું કુલ સંપર્ક બળ $F_{net}$ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નો સદિશ સરવાળો છે: $F_{net} = \sqrt{N^2 + f^2}$.
અહીં $N = 700\,N$ (અચળ) અને $0 \le f \le 280\,N$ હોવાથી,કુલ સંપર્ક બળની રેન્જ નીચે મુજબ છે:
ન્યૂનતમ મૂલ્ય: $f = 0 \Rightarrow F_{net} = \sqrt{700^2 + 0^2} = 700\,N$.
મહત્તમ મૂલ્ય: $f = 280\,N \Rightarrow F_{net} = \sqrt{700^2 + 280^2} = \sqrt{490000 + 78400} = \sqrt{568400} \approx 754\,N$.
તેથી,$700\,N \le F \le 754\,N$.

(B) ધારો કે $F$ એ આડી સપાટી સાથે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતું બળ છે.
લંબબળ $N$,લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin 60^{\circ}$ અને વજનબળ $mg$ એ શિરોલંબ દિશાના બળો છે.
શિરોલંબ બળોનું સંતુલન: $N + F \sin 60^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - F \sin 60^{\circ}$.
અહીં $m = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$N = 10 - \frac{\sqrt{3}}{2} F$ મળે.
જ્યારે લાગુ પાડેલા બળનો આડો ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે: $F \cos 60^{\circ} = \mu N$.
અહીં $\mu = 0.5$ અને $\cos 60^{\circ} = 0.5$ કિંમતો મૂકતા: $0.5 F = 0.5 (10 - \frac{\sqrt{3}}{2} F)$.
બંને બાજુ $0.5$ વડે ભાગતા: $F = 10 - \frac{\sqrt{3}}{2} F$.
પદોને ગોઠવતા: $F + \frac{\sqrt{3}}{2} F = 10 \Rightarrow F (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 10 \Rightarrow F (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}) = 10$.
આમ,$F = \frac{20}{2 + \sqrt{3}} \, N$ મળે.

(C) ઘર્ષણ કોણ $\theta = \tan^{-1}(\mu)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^{\circ}$.
ધારો કે પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha$ ખૂણે લાગતા બળ $F$ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N = mg - F \sin \alpha$ છે.
ઘર્ષણને દૂર કરવા માટે જરૂરી સમક્ષિતિજ બળ $F \cos \alpha = \mu N = \mu(mg - F \sin \alpha)$ છે.
$F$ ને કર્તા બનાવતા,$F = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$ મળે છે.
બળ $F$ લઘુત્તમ હોય તે માટે છેદ $(\cos \alpha + \mu \sin \alpha)$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
$\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $-\sin \alpha + \mu \cos \alpha = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\tan \alpha = \mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\alpha = 30^{\circ}$.
$\alpha = 30^{\circ}$ અને $\mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ની કિંમત $F$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F_{\min} = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot 25 \cdot g}{\cos 30^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{3}} \sin 30^{\circ}} = \frac{\frac{25g}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{25g}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{2\sqrt{3}}} = \frac{25g}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{50g}{4} = 12.5g$.
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ બળ $12.5 \ kgf$ છે.

(B) સિસ્ટમ સ્થિર રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ $20 \, kg$ ના બ્લોક પર લાગતા સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
તણાવ $T$ એ લટકતા બ્લોકના વજન જેટલું છે: $T = 10 \, g$.
$20 \, kg$ ના બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N = (m + 20) g$ છે.
સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu N = 0.25(m + 20) g$ છે.
સંતુલન માટે બળોને સરખાવતા: $T = f_L$.
$10 g = 0.25(m + 20) g$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $10 = 0.25(m + 20)$.
$10 = 0.25m + 5$.
$0.25m = 5$.
$m = \frac{5}{0.25} = 20 \, kg$.

(D) સમક્ષિતિજ સાથે $\theta_A = 30^\circ$ ના ખૂણે ધકેલવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F_A$ નીચે મુજબ છે:
$F_A = \frac{\mu mg}{\cos \theta_A - \mu \sin \theta_A}$
સમક્ષિતિજ સાથે $\theta_B = 60^\circ$ ના ખૂણે ખેંચવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F_B$ નીચે મુજબ છે:
$F_B = \frac{\mu mg}{\cos \theta_B + \mu \sin \theta_B}$
આપેલ છે કે $\mu = \frac{\sqrt{3}}{5}$,$\theta_A = 30^\circ$,અને $\theta_B = 60^\circ$:
$F_A = \frac{\mu mg}{\cos 30^\circ - \mu \sin 30^\circ} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} (1 - \frac{1}{5})} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5}} = \frac{\mu mg}{\frac{2\sqrt{3}}{5}}$
$F_B = \frac{\mu mg}{\cos 60^\circ + \mu \sin 60^\circ} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{2} + \frac{3}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{5+3}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{8}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{4}{5}}$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{\frac{\mu mg}{2\sqrt{3}/5}}{\frac{\mu mg}{4/5}} = \frac{4/5}{2\sqrt{3}/5} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(A) ધારો કે બળ $F$ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે લગાડવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે,$F \cos \theta = \mu R$ ... $(i)$
શિરોલંબ સંતુલન માટે,$R + F \sin \theta = W$,તેથી $R = W - F \sin \theta$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $R$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$F \cos \theta = \mu (W - F \sin \theta)$
$F \cos \theta = \mu W - \mu F \sin \theta$
$F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu W$
$F = \frac{\mu W}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$ ... $(iii)$
$F$ ન્યૂનતમ હોય તે માટે,છેદ $(\cos \theta + \mu \sin \theta)$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
$\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને તેને $0$ લેતા:
$\frac{d}{d\theta} (\cos \theta + \mu \sin \theta) = 0$
$-\sin \theta + \mu \cos \theta = 0$
$\tan \theta = \mu \implies \theta = \tan^{-1}(\mu)$
$\tan \theta = \mu$ પરથી,$\sin \theta = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ મળે.
આ કિંમતો $F$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{\min} = \frac{\mu W}{\frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}} + \mu \left(\frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}\right)} = \frac{\mu W}{\frac{1 + \mu^2}{\sqrt{1 + \mu^2}}} = \frac{\mu W}{\sqrt{1 + \mu^2}}$

(A) ઘર્ષણાંક $(\mu)$ એ એક એવો ગુણધર્મ છે જે ફક્ત સંપર્કમાં રહેલી સામગ્રીની પ્રકૃતિ (બ્લોકની સપાટી અને જમીન) પર આધાર રાખે છે.
તે લંબબળ $(N)$ અથવા ખસેડવામાં આવતી વસ્તુના દળથી સ્વતંત્ર છે.
જ્યારે $M/2$ દળનો બ્લોક મૂળ બ્લોકની ઉપર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ લંબબળ વધે છે,જેનાથી સીમિત ઘર્ષણ બળ $(f_L = \mu N)$ વધે છે.
જો કે,ઘર્ષણાંક પોતે બદલાતો નથી.
તેથી,ઘર્ષણાંક $\mu$ જ રહેશે.

(D) જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ખરબચડી સપાટી પર ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જમીન પગ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જે સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે અને તે આગળની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
વ્યક્તિનો તાત્કાલિક વેગ પણ ગતિની આગળની દિશામાં જ હોય છે.
ઘર્ષણ બળ અને વેગ બંને એક જ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0$ છે.

(C) મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{L} = \mu_{s} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = mg$.
આપેલ છે: $m = 2\,kg$,$\mu_{s} = 0.54$,અને $g = 10\,m/s^2$.
$f_{L} = 0.54 \times 2 \times 10 = 10.8\,N$.
લગાડવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ બળ $F_{applied} = 2.8\,N$ છે.
કારણ કે લગાડવામાં આવેલ બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા ઓછું છે $(F_{applied} < f_{L})$,તેથી બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે પદાર્થ સ્થિર હોય ત્યારે ઘર્ષણ બળ પોતાની જાતે લગાડવામાં આવેલા બળ જેટલું જ થઈ જાય છે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $2.8\,N$ હશે.

(A) ક્ષિતિજ સમાંતર ખરબચડી સપાટી પર સ્થિર પદાર્થને ગતિમાં લાવવા માટે, લગાડવામાં આવતું બળ $F$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળનું સૂત્ર $f_{s,max} = \mu_s N$ છે, જ્યાં $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
ક્ષિતિજ સમાંતર સપાટી માટે, લંબબળ $N$ એ પદાર્થના વજન $mg$ જેટલું હોય છે, એટલે કે $N = mg$.
આપેલ છે:
દળ $m = 1\, kg$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$N = mg = 1 \times 9.8 = 9.8\, N$
$F = f_{s,max} = \mu N = 0.1 \times 9.8 = 0.98\, N$
તેથી, પદાર્થને ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ $0.98\, N$ છે.

(B) સીમિત ઘર્ષણ $f_L$ એ સૂત્ર $f_L = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા છે.
$1$. ઘર્ષણાંક $\mu$ એ સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓના પ્રકાર અને પદાર્થોના દ્રવ્ય પર આધાર રાખે છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ એ પદાર્થના વજન અને સપાટીના નમન પર આધાર રાખે છે.
$3$. ઘર્ષણના નિયમો અનુસાર,જો લંબ પ્રતિક્રિયા અચળ રહેતી હોય,તો સીમિત ઘર્ષણ એ સંપર્કમાં રહેલી સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોય છે.

(D) બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$f = mg$ થાય.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ છે.
સ્પ્રિંગ $d$ જેટલા અંતરે સંકોચાયેલી છે,તેથી સ્પ્રિંગ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N = kd$ થાય.
સંતુલન માટે,ઘર્ષણ બળ $f \leq f_{\max}$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $mg \leq \mu N$.
$N = kd$ મૂકતા,આપણને $mg \leq \mu kd$ મળે છે.
$k$ ને કર્તા બનાવતા,$k \geq \frac{mg}{\mu d}$ મળે છે.
તેથી,બ્લોકને સંતુલનમાં રાખવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{\min} = \frac{mg}{\mu d}$ છે.

(C) પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ $N = mg$ છે.
પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે,જે લગાડવામાં આવેલા સમક્ષિતિજ બળને સંતુલિત કરે છે. પદાર્થ ગતિ કરતો ન હોવાથી,$f \leq \mu N = \mu mg$ થાય.
લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નું પરિણામી બળ $F$ એ સદિશ સરવાળો $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{f}$ દ્વારા મળે છે.
$N$ અને $f$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી બળનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{N^{2} + f^{2}}$ થાય.
$N = mg$ અને $f \leq \mu mg$ મૂકતા,આપણને $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(mg)^{2} + f^{2}}$ મળે છે.
$f^{2} \leq (\mu mg)^{2}$ હોવાથી,$|\overrightarrow{F}| \leq \sqrt{(mg)^{2} + (\mu mg)^{2}} = mg \sqrt{1 + \mu^{2}}$ થાય.

(N/A) બે સંપર્ક સપાટીઓ વચ્ચે થતી સાપેક્ષ ગતિ અથવા સાપેક્ષ ગતિની શક્યતાનો વિરોધ કરતા બળને ઘર્ષણ કહે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક પદાર્થને સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો છે. વજન $(W)$ અને લંબબળ $(N)$ એકબીજાને સંતુલિત કરે છે. ધારો કે પદાર્થ પર સમક્ષિતિજ બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે.
જો પદાર્થ પર માત્ર $F$ બળ લાગતું હોત,તો ખૂબ નાના મૂલ્ય માટે પણ પદાર્થ $a = F/m$ પ્રવેગથી ગતિ કરત. પરંતુ,અહીં પદાર્થ સ્થિર રહે છે,તેથી વિરુદ્ધ દિશામાં એક બળ હોવું જોઈએ જે પરિણામી બળને શૂન્ય બનાવે.
સંપર્ક સપાટીને સમાંતર લાગતા આ બળને ઘર્ષણ બળ $(f_s)$ કહે છે. જ્યારે પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે ઘર્ષણ બળ અસ્તિત્વમાં આવે છે.
જેમ બાહ્ય બળ $(F)$ વધે છે,તેમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ પણ એક ચોક્કસ મર્યાદા સુધી વધે છે અને પદાર્થને સ્થિર રાખે છે. ઘર્ષણ બળ એ 'થનારી ગતિ' (impending motion) નો વિરોધ કરે છે. થનારી ગતિ એટલે એવી ગતિ જે ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં થાત.
જેમ બાહ્ય બળનું મૂલ્ય વધે છે,તેમ ઘર્ષણ બળ પણ પોતાનું મૂલ્ય બદલે છે,તેથી તેને સ્વયં-સમાયોજિત બળ (self-adjusting force) કહે છે. જ્યારે પદાર્થ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે ઘર્ષણ બળ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર પહોંચે છે,જેને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_{s,max})$ કહે છે.
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમો:
$(1)$ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ સપાટીઓના સંપર્ક ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી.
$(2)$ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ લંબબળ $(N)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$f_{s,max} \propto N$,એટલે કે $f_{s,max} = \mu_s N$,જ્યાં $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે.
$\mu_s$ નું મૂલ્ય સંપર્ક સપાટીઓના પ્રકાર,પદાર્થ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તે એકમરહિત અને પરિમાણરહિત છે,જેનું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે $0.01$ થી $1.5$ ની વચ્ચે હોય છે. જો પદાર્થ ગતિ ન કરતો હોય,તો $f_s \leq \mu_s N$ થાય.

(N/A) ટ્રેનના ડબ્બાના ભોંયતળિયા પર પડેલા એક બોક્સનો વિચાર કરો.
જ્યારે ટ્રેન પ્રવેગિત થાય છે, ત્યારે ટ્રેનનું ભોંયતળિયું બોક્સની સાપેક્ષમાં આગળ વધવાનું વલણ ધરાવે છે.
જડત્વને કારણે, બોક્સ તેની મૂળ સ્થિતિમાં રહેવાનું વલણ ધરાવે છે, જે ભોંયતળિયાની સાપેક્ષમાં 'ગતિની શરૂઆત' (impending motion) છે.
સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_{s})$ બોક્સ અને ભોંયતળિયા વચ્ચે આગળની દિશામાં (ટ્રેનના પ્રવેગની દિશામાં) લાગે છે.
આ બળ બોક્સને ટ્રેનની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે.
જો ઘર્ષણ ન હોત, તો ભોંયતળિયું આગળ સરકી જાત અને બોક્સ ડબ્બાની સાપેક્ષમાં પાછળ જતું હોય તેવું લાગત.
કારણ કે બોક્સ સરક્યા વિના ટ્રેન સાથે ગતિ કરે છે, તેથી સ્થિત ઘર્ષણ બળ અસરકારક રીતે આ સાપેક્ષ સરકવાની વૃત્તિ (ગતિની શરૂઆત) નો વિરોધ કરે છે.
આમ, સ્થિત ઘર્ષણ બળ તે સાપેક્ષ ગતિને અટકાવવા માટે કાર્ય કરે છે જે સપાટીઓ ઘર્ષણરહિત હોત તો થાત.

(N/A) ઘર્ષણ એ એક સંપર્ક બળ છે જે સંપર્કમાં રહેલી બે સપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ અથવા સાપેક્ષ ગતિની વૃત્તિનો વિરોધ કરે છે. તે સપાટીઓને સમાંતર કાર્ય કરે છે અને સપાટીઓ વચ્ચેની સૂક્ષ્મ અનિયમિતતાઓ અને આંતર-આણ્વિય બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
અપેક્ષિત ગતિ (impending motion) એટલે એવી સ્થિતિ કે જેમાં પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે,પરંતુ પદાર્થ હજુ ગતિ કરવાનું શરૂ કરતું નથી. પદાર્થ સરકવાની અણી પર હોય છે,અને તેના પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચી ગયું હોય છે,જેને સીમાંત ઘર્ષણ (limiting friction) કહેવામાં આવે છે.