Third Law of Motion and Momentum and Impulse Questions in Gujarati

(A) ધારો કે દીવાલનો લંબ $y$-અક્ષ પર છે અને દીવાલ $x$-અક્ષ પર છે.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = v \sin \theta \hat{i} - v \cos \theta \hat{j}$ છે.
અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = v \sin \theta \hat{i} + v \cos \theta \hat{j}$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_1 = m\vec{v}_1 = m v \sin \theta \hat{i} - m v \cos \theta \hat{j}$ છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{P}_2 = m\vec{v}_2 = m v \sin \theta \hat{i} + m v \cos \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{P} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1$ છે.
$\Delta \vec{P} = (m v \sin \theta \hat{i} + m v \cos \theta \hat{j}) - (m v \sin \theta \hat{i} - m v \cos \theta \hat{j}) = 2 m v \cos \theta \hat{j}$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = 2 m v \cos \theta$ છે.

(C) આપેલ રેખીય વેગમાન સદિશ $\overrightarrow{P} = P_x \hat{i} + P_y \hat{j} = (2\cos t) \hat{i} + (2\sin t) \hat{j}$ છે.
બળ $\overrightarrow{F}$ એ રેખીય વેગમાનના ફેરફારનો દર છે: $\overrightarrow{F} = \frac{d\overrightarrow{P}}{dt}$.
વિકલન કરતા: $\overrightarrow{F} = \frac{d}{dt}(2\cos t) \hat{i} + \frac{d}{dt}(2\sin t) \hat{j} = (-2\sin t) \hat{i} + (2\cos t) \hat{j}$.
$\overrightarrow{F}$ અને $\overrightarrow{P}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{P} = |\overrightarrow{F}| |\overrightarrow{P}| \cos \theta$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{P} = (-2\sin t)(2\cos t) + (2\cos t)(2\sin t) = -4\sin t \cos t + 4\sin t \cos t = 0$.
જેથી ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = 0$,તેથી $\theta = 90^o$.

(C) આવેગ એ બળ અને સમયના ગાળાનો ગુણાકાર છે.
$\text{આવેગ} = \text{બળ} \times \text{સમય}$
બળનો એકમ $kg \cdot m/s^2$ (ન્યૂટન) છે અને સમયનો એકમ $s$ છે:
$\text{આવેગનો એકમ} = (kg \cdot m/s^2) \times s = kg \cdot m/s$
તેથી,સાચો એકમ $kg \cdot m/s$ છે.

(A) વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $p = mv = [M][L][T^{-1}] = [MLT^{-1}]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઘાત એ બળ અને સમયનો ગુણાકાર છે,$I = F \times \Delta t$.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે અને સમયનું $[T]$ છે.
તેથી,આઘાતનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$ થાય છે.
આમ,આઘાત અને વેગમાન બંનેના પારિમાણિક સૂત્રો $[MLT^{-1}]$ હોવાથી,તેઓ સમાન છે.

(B) જ્યારે દોરી $C$ ને અચાનક ઝટકો આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર એક આઘાતી બળ લાગે છે. $1 \ kg$ દળના જડત્વને કારણે,તે તરત જ ગતિ કરતું નથી.
આ આઘાતી બળ દોરી $C$ માં ખૂબ જ ઊંચું તણાવ ઉત્પન્ન કરે છે જે તેની તોડવાની ક્ષમતા કરતા વધી જાય છે.
આઘાત સીધો $C$ પર લાગતો હોવાથી અને દળ એક અવરોધક તરીકે કામ કરતું હોવાથી,તણાવ તરત જ દોરી $A$ સુધી પહોંચતું નથી.
તેથી,આઘાત $A$ સુધી પહોંચે તે પહેલાં જ દોરી $C$ તૂટી જાય છે.

(B) પદાર્થ પર લાગતો આઘાત $J$ એ તેના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે,જે $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $v_i = 10 \, m/s$,અને અંતિમ વેગ $v_f = -2 \, m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
કિંમતો મૂકતા: $J = 10 \times (-2 - 10) = 10 \times (-12) = -120 \, N \cdot s$.
આમ,પદાર્થ પર લાગતો આઘાત $-120 \, N \cdot s$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 250\, g = 0.25\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = -10\, m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે),અને સમયગાળો $\Delta t = 0.01\, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{0.25 \times (-10 - 10)}{0.01}$
$F = \frac{0.25 \times (-20)}{0.01}$
$F = \frac{-5}{0.01} = -500\, N$
બોલ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $500\, N$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતો આઘાત (Impulse) એ તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આઘાત $(J)$ એ બળ $(F)$ અને તે લાગતા સમયગાળા $(\Delta t)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
બળ $(F)$ = $10 \, N$
સમયગાળો $(\Delta t)$ = $10 \, s$
વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ = $F \times \Delta t$
$\Delta p = 10 \, N \times 10 \, s = 100 \, kg \cdot m/s$.
તેથી,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $100 \, kg \cdot m/s$ છે.

(B) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 150 \, g = 0.15 \, kg$.
પ્રારંભિક વેગ,$u = 20 \, m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 0 \, m/s$ (કારણ કે દડો પકડાઈ જાય છે).
લાગતો સમય,$\Delta t = 0.1 \, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \, N$.
આમ,દડા દ્વારા હાથ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $30 \, N$ છે.

(D) મશીન ગન દ્વારા લાગતું બળ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = v \cdot \frac{dm}{dt}$
અહીં,$v = 1200\,m/s$ એ ગોળીનો વેગ છે.
ધારો કે $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે.
એક ગોળીનું દળ $m = 40\,g = 40 \times 10^{-3}\,kg = 0.04\,kg$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતું કુલ દળ $\frac{dm}{dt} = n \times m$ છે.
મહત્તમ બળ $F = 144\,N$ આપેલ છે,તેથી:
$144 = 1200 \times (n \times 0.04)$
$144 = 1200 \times 0.04 \times n$
$144 = 48 \times n$
$n = \frac{144}{48} = 3$.
તેથી,વ્યક્તિ પ્રતિ સેકન્ડ વધુમાં વધુ $3$ ગોળીઓ છોડી શકે છે.

(B) પદાર્થનું વેગમાન $p$ એ તેના દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $p = mv$ છે.
કારણ કે પદાર્થનું દળ $m$ અચળ રહે છે,તેથી વેગમાન $p$ એ ઝડપ $v$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(p \propto v)$.
જ્યારે ઝડપ બમણી કરવામાં આવે $(v' = 2v)$,ત્યારે નવું વેગમાન $p'$ એ $p' = m(2v) = 2(mv) = 2p$ થાય છે.
તેથી,પદાર્થનું વેગમાન બમણું થાય છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ એ $4$ ગણી વધશે,$2$ ગણી નહીં.

(A) પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = mv$ છે (દીવાલ તરફની દિશાને ધન લેતા).
અથડામણ પછી,પદાર્થ વિરુદ્ધ દિશામાં તેટલી જ ઝડપ $v$ સાથે પાછો ફરે છે,તેથી અંતિમ વેગમાન $p_f = -mv$ થાય.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ એ અંતિમ વેગમાન અને પ્રારંભિક વેગમાનનો તફાવત છે:
$\Delta p = p_f - p_i$
$\Delta p = (-mv) - (mv) = -2\,mv$.
અહીં વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય માંગેલું હોવાથી,આપણે તેનું માન લઈએ છીએ: $|\Delta p| = 2\,mv$.

(A) દીવાલ દ્વારા ગોળીઓ પર લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
દરેક ગોળીનું દળ $m$ અને વેગ $v$ છે,તેથી એક ગોળીનું વેગમાન $p = mv$ થાય.
દર સેકન્ડે $n$ ગોળીઓ દીવાલ સાથે અથડાતી હોવાથી,પ્રતિ સેકન્ડ વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર $\Delta p = n \times (mv - 0) = nmv$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $F = \frac{dp}{dt} = nmv$.
આમ,દીવાલ દ્વારા આપવામાં આવતું પ્રતિક્રિયા બળ $nmv$ છે.

(A) દડા દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ એ દડાના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
દડાનું પ્રારંભિક વેગમાન,$p_i = mv$.
પરાવર્તન પછી દડાનું અંતિમ વેગમાન,$p_f = -mv$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,$\Delta p = p_f - p_i = -mv - mv = -2mv$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 2mv$ છે.
દીવાલ પર લાગતું બળ $F = \frac{|\Delta p|}{t} = \frac{2mv}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 0.5\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 2\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = -2\, m/s$ (કારણ કે તે પાછો ફરે છે),અને સંપર્ક સમય $\Delta t = 1\, ms = 10^{-3}\, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સરેરાશ બળ $F_{av}$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે:
$F_{av} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F_{av} = \frac{0.5 \times (-2 - 2)}{10^{-3}}$
$F_{av} = \frac{0.5 \times (-4)}{10^{-3}} = \frac{-2}{10^{-3}} = -2000\, N$.
દીવાલ દ્વારા દડા પર લાગતા સરેરાશ બળનું મૂલ્ય $2000\, N$ છે.

(A) આપેલ રેખીય વેગમાન સદિશ $\vec{p} = p_x \hat{i} + p_y \hat{j} = (2\cos t) \hat{i} + (2\sin t) \hat{j}$ છે.
બળ $\vec{F}$ એ રેખીય વેગમાનના ફેરફારનો દર છે,તેથી $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
વિકલન કરતા: $\vec{F} = \frac{d}{dt}(2\cos t) \hat{i} + \frac{d}{dt}(2\sin t) \hat{j} = (-2\sin t) \hat{i} + (2\cos t) \hat{j}$.
$\vec{F}$ અને $\vec{p}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધીએ: $\vec{F} \cdot \vec{p} = [(-2\sin t)(2\cos t)] + [(2\cos t)(2\sin t)]$.
$\vec{F} \cdot \vec{p} = -4\sin t \cos t + 4\sin t \cos t = 0$.
કારણ કે અદિશ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot \vec{p} = |\vec{F}| |\vec{p}| \cos \theta = 0$ છે,અને કોઈ પણ સદિશ શૂન્ય સદિશ નથી,તેથી $\cos \theta = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^o$.

(A) $1$. બેટ સાથે અથડાતી વખતે દડાનો વેગ:
$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10\, m/s$ (નીચેની તરફ).
$2$. બેટથી છૂટા પડ્યા પછી દડાનો વેગ:
$v_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = 20\, m/s$ (ઉપરની તરફ).
$3$. આઘાત-વેગમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$F_{avg} \times \Delta t = m(v_{final} - v_{initial})$
ઉપરની દિશાને ધન (+) લેતા,$v_{final} = +20\, m/s$ અને $v_{initial} = -10\, m/s$ મળે.
અહીં $m = 400\, g = 0.4\, kg$ અને $F_{avg} = 100\, N$ છે.
$100 \times \Delta t = 0.4 \times (20 - (-10))$
$100 \times \Delta t = 0.4 \times 30$
$100 \times \Delta t = 12$
$\Delta t = 0.12\, s$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લાગુ પાડેલ બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$\vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$
આપેલ છે:
બળ,$F = 2 \, N$
વેગમાનમાં ફેરફાર,$\Delta p = 0.4 \, kg \cdot m/s$
સમય $\Delta t$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta t = \frac{\Delta p}{F}$
$\Delta t = \frac{0.4}{2} = 0.2 \, s$
તેથી,જરૂરી સમય $0.2 \, s$ છે.

(C) તરવું એ ન્યૂટનના ગતિના $\text{ત્રીજા}$ નિયમને કારણે શક્ય છે.
જ્યારે તરવૈયા તેના હાથ અને પગ વડે પાણીને પાછળની તરફ ધકેલે છે, ત્યારે પાણી તરવૈયા પર આગળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે.
આ ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડી તરવૈયાને પાણીમાં આગળ વધવામાં મદદ કરે છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયા માટે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા હોય છે.
જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ હોડીમાંથી આગળની તરફ કૂદકો મારે છે,ત્યારે તે વ્યક્તિ હોડી પર આગળની દિશામાં બળ લગાડે છે (ક્રિયા).
તેના જવાબમાં,હોડી વ્યક્તિ પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે,અને વ્યક્તિ હોડી પર પાછળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે (પ્રતિક્રિયા).
તેથી,હોડી પાછળની તરફ ગતિ કરે છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે.
સંપૂર્ણપણે લીસી (ઘર્ષણરહિત) સપાટી પર,માણસ સામાન્ય રીતે ચાલી શકતો નથી કારણ કે જરૂરી પ્રતિક્રિયાબળ આપવા માટે ત્યાં કોઈ ઘર્ષણ હોતું નથી.
જો કે,જો માણસ કિનારાની વિરુદ્ધ દિશામાં કોઈ વસ્તુ ફેંકે,તો તે વસ્તુ માણસ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે.
આ પ્રતિક્રિયાબળ માણસને કિનારા તરફ ધકેલે છે,જેનાથી તે ઘર્ષણના અભાવે પણ ગતિ કરી શકે છે.

(C) જ્યારે તોપમાંથી ગોળો છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તોપ ગોળા પર મોટું બળ લગાડે છે,જેના કારણે ગોળો લાંબા અંતર સુધી ગતિ કરે છે. આ બળને 'ક્રિયા' કહેવાય છે.
તે જ સમયે,ગોળો તોપ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જેના કારણે તોપ પાછળની તરફ ધકેલાય છે (રિકોઈલ થાય છે). આ બળને 'પ્રતિક્રિયા' કહેવાય છે.
આ ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડી હોવાથી,તે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ પર આધારિત છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયા માટે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા હોય છે. આ બંને બળો હંમેશા એકસાથે જુદા જુદા પદાર્થો પર કાર્ય કરે છે. તેથી,તેઓ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરતા નથી.

(D) ગનને સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે:
પ્રતિ સેકન્ડ ગોળીઓની સંખ્યા $(n)$ = $20 \, s^{-1}$
દરેક ગોળીનું દળ $(m)$ = $150 \, g = 0.15 \, kg$
દરેક ગોળીનો વેગ $(v)$ = $800 \, m/s$
બળ $(F)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$F = n \times m \times v$
$F = 20 \times 0.15 \times 800$
$F = 20 \times 120$
$F = 2400 \, N.$

(D) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે.
પુસ્તક દ્વારા ટેબલ પર લાગતું ક્રિયાબળ નીચેની તરફ લાગે છે.
ટેબલ દ્વારા પુસ્તક પર લાગતું પ્રતિક્રિયાબળ ઉપરની તરફ લાગે છે.
આ બંને બળો એક જ રેખા પર પરંતુ એકબીજાની બિલકુલ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરતા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^o$ થાય છે.

(D) ન્યુટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. જ્યારે વિદ્યાર્થી તેના વાળ ખેંચે છે,ત્યારે તે તેના વાળ પર બળ લગાડે છે અને તેના વાળ તેના હાથ પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે. વિદ્યાર્થી અને તેના વાળ બંને એક જ સિસ્ટમનો ભાગ હોવાથી,આ બળો આંતરિક બળો છે. આંતરિક બળો સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિની સ્થિતિ બદલી શકતા નથી. તેથી,વિદ્યાર્થી પોતાની જાતને ઉપર ઉઠાવી શકતો નથી.

(A) પદાર્થ પર લાગતો આઘાત (Impulse) તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ:
$Impulse = F \times \Delta t = \Delta p$
આપેલ છે:
બળ $(F)$ = $250\, N$
વેગમાનમાં ફેરફાર $(\Delta p)$ = $125\, kg \cdot m/s$
આપણે સમયનો ગાળો $(\Delta t)$ શોધવાનો છે:
$\Delta t = \frac{\Delta p}{F}$
$\Delta t = \frac{125}{250} = 0.5\, s$
તેથી,પદાર્થ પર બળ $0.5\, s$ સમય માટે લાગે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 150\,g = 0.15\,kg$,પ્રવેગ $a = 20\,m/s^2$,સમય $t = 0.1\,s$.
આઘાત (Impulse) એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,જે બળ અને સમયના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = F \times t = (m \times a) \times t$.
કિંમતો મૂકતા: $J = 0.15\,kg \times 20\,m/s^2 \times 0.1\,s$.
$J = 3\,N \times 0.1\,s = 0.3\,N-s$.
તેથી,આઘાતી બળ $0.3\,N-s$ છે.

(B) આઘાત (Impulse) ને પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગાણિતિક રીતે,તે $J = \Delta p = F \times \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઘાત સીધી રીતે વેગમાનના ફેરફાર જેટલું હોવાથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી તે સૌથી નજીકથી સંબંધિત રાશિ છે.
બળ એ વેગમાનના ફેરફારનો દર છે $(F = \frac{dp}{dt})$,જેમાં સમયનો ભાગાકાર તરીકે ઉપયોગ થાય છે.
ગતિઊર્જા $(K.E. = \frac{p^2}{2m})$ એ વેગમાન અને દળ બંને પર આધાર રાખે છે.
પાવર એ કાર્ય કરવાનો દર છે અને તે આઘાતની જેમ વેગમાન સાથે સીધી રીતે મૂળભૂત રીતે સંબંધિત નથી.
તેથી,આઘાત એ સાચો જવાબ છે.

(C) આઘાત $(I)$ એ બળ $(F)$ અને તે લાગતા સમયગાળા $(\Delta t)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
બળ $(F)$ = $50\, dynes = 50 \times 10^{-5}\, N$ (કારણ કે $1\, dyne = 10^{-5}\, N$)
સમયગાળો $(\Delta t)$ = $3\, s$
આઘાત $(I)$ = $F \times \Delta t$
$I = (50 \times 10^{-5}\, N) \times (3\, s)$
$I = 150 \times 10^{-5}\, Ns$
$I = 1.5 \times 10^{-3}\, Ns$

(C) ગોળી પર લાગતું બળ $F = 600 - 2 \times 10^5 t$ છે.
જ્યારે ગોળી બેરલ છોડે છે,ત્યારે બળ શૂન્ય થાય છે,તેથી $F = 0$.
$600 - 2 \times 10^5 t = 0$
$2 \times 10^5 t = 600$
$t = \frac{600}{2 \times 10^5} = 3 \times 10^{-3} \ s$.
ઈમ્પલ્સ $I$ એ સમયની સાપેક્ષમાં બળનું સંકલન છે: $I = \int_{0}^{t} F \ dt$.
$I = \int_{0}^{3 \times 10^{-3}} (600 - 2 \times 10^5 t) \ dt$
$I = [600t - 10^5 t^2]_{0}^{3 \times 10^{-3}}$
$I = 600(3 \times 10^{-3}) - 10^5(3 \times 10^{-3})^2$
$I = 1.8 - 10^5(9 \times 10^{-6})$
$I = 1.8 - 0.9 = 0.9 \ N-s$.

(C) સાચો સંબંધ $\overrightarrow{F} \Delta t = m \Delta \overrightarrow{v}$ છે,જે વેગમાનના ફેરફાર અને આઘાત (impulse) વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $F = \frac{m \Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$.
જ્યારે તમે જમીન પર ઉતરો ત્યારે તમારા ઘૂંટણને વાળવાથી,જે સમયગાળામાં તમારો વેગ શૂન્ય થાય છે તે સમય $\Delta t$ વધે છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $m \Delta \overrightarrow{v}$ અચળ હોવાથી,સમય $\Delta t$ વધારવાથી તમારા ઘૂંટણ પર લાગતું આઘાતી બળ $F$ ઘટે છે,જેનાથી ઈજા થવાનું જોખમ ઓછું થાય છે.

(B) કણ પર લાગતો આઘાત તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
સ્થાન-સમય આલેખ પરથી,વેગ $v$ એ રેખાનો ઢાળ છે.
$t = 0$ થી $t = 2 \,s$ માટે,વેગ $v_i = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2 \,m/s$.
$t > 2 \,s$ માટે,સ્થાન અચળ છે $(x = 4 \,m)$,તેથી વેગ $v_f = 0 \,m/s$.
કણનું દળ $m = 0.1 \,kg$ છે.
તેથી,$t = 2 \,s$ સમયે આઘાત $J = 0.1 \,kg \times (0 \,m/s - 2 \,m/s) = -0.2 \,kg \,m \,s^{-1}$ થાય.

(D) કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $(\Delta p)$ એ આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે,જે બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta p = \int F \, dt = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
આપેલ આલેખમાં,$t = 2 \ s$ થી $t = 6 \ s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ સમય અક્ષની ઉપર છે,જે ધન આઘાત દર્શાવે છે.
$t = 0 \ s$ થી $t = 2 \ s$ અને $t = 6 \ s$ થી $t = 8 \ s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ સમય અક્ષની નીચે છે,જે ઋણ આઘાત દર્શાવે છે.
વક્રની સંમિતિને કારણે,ધન ક્ષેત્રફળ ($2 \ s$ અને $6 \ s$ ની વચ્ચે) નું મૂલ્ય કુલ ઋણ ક્ષેત્રફળ ($0$ થી $2 \ s$ અને $6$ થી $8 \ s$ સુધી) ના મૂલ્ય જેટલું જ છે.
તેથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $0$ થી $8 \ s$ ના સમયગાળામાં કણ દ્વારા મેળવેલ ચોખ્ખું વેગમાન $0 \ N-s$ હશે.

(C) પદાર્થ પર લાગતો આઘાત (Impulse) તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે: $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$ ... $(i)$
આઘાત એ બળ-સમયના આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલો પણ હોય છે:
ક્ષેત્રફળ $= \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} (0-2s) + \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} (2-4s) + \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} (4-4.5s) + \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} (4.5-6.5s)$
ક્ષેત્રફળ $= (\frac{1}{2} \times 2 \times 4) + (2 \times 4) + (\frac{1}{2} \times (4 + 2.5) \times 0.5) + (2 \times 2.5)$
ક્ષેત્રફળ $= 4 + 8 + 1.625 + 5 = 18.625\, Ns$
સમીકરણ $(i)$ અને ગણતરી કરેલ આઘાતને સરખાવતા:
$m(v_f - v_i) = 18.625$
$2(v_f - 5) = 18.625$
$v_f - 5 = 9.3125$
$v_f = 14.3125\, ms^{-1}$
*નોંધ: આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$14.25$ એ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.*

(C) કણ પર લાગતો આઘાત તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે。
કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી, અંતિમ વેગમાન $p = mu$ એ આઘાત જેટલું હોય છે, જે $F-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે。
આલેખ એક અર્ધવર્તુળ છે જેની ત્રિજ્યા $r_1 = F_0$ (ઊંચાઈ) અને $r_2 = T/2$ (પાયાની પહોળાઈ) છે。
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi r_1 r_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
તેથી, $mu = \frac{1}{2} \pi (F_0) (T/2)$.
$mu = \frac{\pi F_0 T}{4}$.
વેગ $u$ માટે ઉકેલતા, આપણને $u = \frac{\pi F_0 T}{4m}$ મળે છે。

(D) પદાર્થ પર લાગતો આઘાત તેના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે. આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,આઘાત એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત = $F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ
આલેખ $t = 0$ થી $t = 2\,s$ સુધી એક ત્રિકોણ અને $t = 2\,s$ થી $t = 6\,s$ સુધી એક લંબચોરસ ધરાવે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 2\,s \times 10\,N = 10\,N-s$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (6 - 2)\,s \times 10\,N = 4\,s \times 10\,N = 40\,N-s$.
મેળવેલ કુલ વેગમાન = કુલ ક્ષેત્રફળ = $10\,N-s + 40\,N-s = 50\,N-s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ઈમ્પલ્સ (આઘાત) એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(I)$ (લંબચોરસ) માટે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 1.0 \times 0.25 = 0.25 \text{ એકમ}$.
આકૃતિ $(II)$ (ત્રિકોણ) માટે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0.3 = 0.3 \text{ એકમ}$.
આકૃતિ $(III)$ (ત્રિકોણ) માટે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 1.0 = 0.5 \text{ એકમ}$.
આકૃતિ $(IV)$ (ત્રિકોણ) માટે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 1.0 = 0.5 \text{ એકમ}$.
ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા,આકૃતિ $(III)$ અને $(IV)$ માટે ઈમ્પલ્સ સૌથી વધુ છે.

(D) પ્રારંભિક વેગમાન $P_1 = 10 \, kg \cdot m/s$.
બળ $F = 0.2 \, N$ સમય $t = 10 \, s$ માટે લાગે છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta P = F \times t = 0.2 \times 10 = 2 \, kg \cdot m/s$.
અંતિમ વેગમાન $P_2 = P_1 + \Delta P = 10 + 2 = 12 \, kg \cdot m/s$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$.
ગતિઊર્જામાં વધારો $\Delta K = \frac{P_2^2 - P_1^2}{2m}$.
$\Delta K = \frac{12^2 - 10^2}{2 \times 5} = \frac{144 - 100}{10} = \frac{44}{10} = 4.4 \, J$.

(C) પદાર્થ પર લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે: $\vec{F} = \frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t}$.
ધારો કે દીવાલ $y$-અક્ષ પર છે. પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_i = v \sin \theta \hat{i} + v \cos \theta \hat{j}$ છે.
અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v}_f = -v \sin \theta \hat{i} + v \cos \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{P} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i) = m(-2v \sin \theta \hat{i}) = -2mv \sin \theta \hat{i}$ છે.
અહીં $m = 0.1\,kg$,$v = 5\,m/s$,$\theta = 60^\circ$,અને $\Delta t = 2 \times 10^{-3}\,s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta P_x = -2 \times 0.1 \times 5 \times \sin(60^\circ) = -1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.5\sqrt{3}\,kg\cdot m/s$.
બળ $\vec{F} = \frac{-0.5\sqrt{3}}{2 \times 10^{-3}} = -250\sqrt{3}\,N$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દીવાલ દ્વારા પદાર્થ પર લાગતું બળ ડાબી દિશામાં છે.

(C) વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{P} = \vec{P}_{final} - \vec{P}_{initial}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સીસાના દડા માટે,તે દીવાલ સાથે અથડાઈને નીચે પડે છે,તેથી તેનો અંતિમ વેગ $0$ છે. આમ,$\Delta \vec{P}_{lead} = 0 - m\vec{v} = -m\vec{v}$. ફેરફારનું મૂલ્ય $m\vec{v}$ છે.
ટેનિસના દડા માટે,તે વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન વેગ $\vec{v}$ સાથે પાછો ફેંકાય છે,તેથી તેનો અંતિમ વેગ $-\vec{v}$ છે. આમ,$\Delta \vec{P}_{tennis} = m(-\vec{v}) - m\vec{v} = -2m\vec{v}$. ફેરફારનું મૂલ્ય $2m\vec{v}$ છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$|\Delta \vec{P}_{tennis}| > |\Delta \vec{P}_{lead}|$. તેથી,ટેનિસના દડાના વેગમાનમાં મોટો ફેરફાર થાય છે.

(D) પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = Mv$ છે (પ્રારંભિક દિશાને ધન લેતા).
પદાર્થ તે જ ઝડપે પાછો ફરતો હોવાથી,અંતિમ વેગ $-v$ થશે.
તેથી,અંતિમ વેગમાન $p_f = M(-v) = -Mv$ થશે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = p_f - p_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta p = -Mv - (Mv) = -2Mv$.

(B) દીવાલ પર લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = m \times v = 2 \, kg \times 100 \, m/s = 200 \, kg \cdot m/s$.
અંતિમ વેગમાન $p_f = m \times (-v) = 2 \, kg \times (-100 \, m/s) = -200 \, kg \cdot m/s$ (ધારો કે દીવાલ ધન દિશામાં છે).
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = p_f - p_i = -200 - 200 = -400 \, kg \cdot m/s$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 400 \, kg \cdot m/s$ છે.
આપેલ સંપર્ક સમય $\Delta t = 1/50 \, s$.
બળ $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{400}{1/50} = 400 \times 50 = 20,000 \, N = 2 \times 10^4 \, N$.

(B) આઘાત એટલે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર.
સૂત્ર: $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$
આપેલ છે:
દળ $m = 0.1 \, kg$
અંતિમ વેગ $v_f = 40 \, m/s$ (ધન લેતા)
પ્રારંભિક વેગ $v_i = -30 \, m/s$ (કારણ કે તે અંતિમ વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં છે)
ગણતરી:
$J = 0.1 \times (40) - 0.1 \times (-30)$
$J = 4 + 3 = 7 \, N \cdot s$
તેથી,સાચું પદ $0.1 \times (40) - 0.1 \times (-30)$ છે.

(A) આઘાત (Impulse) એ પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m = 0.06 \,kg$ છે.
પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $v_i = 4 \,m/s$ અને બીજા દડાનો વેગ $-4 \,m/s$ છે.
અથડામણ પછી,દડાઓ સમાન ઝડપે પાછા ફેંકાય છે,તેથી પ્રથમ દડાનો અંતિમ વેગ $v_f = -4 \,m/s$ અને બીજા દડાનો વેગ $4 \,m/s$ થાય છે.
એક દડા માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v_f - v_i)$ છે.
$\Delta p = 0.06 \times (-4 - 4) = 0.06 \times (-8) = -0.48 \,kg \cdot m/s$.
દરેક દડાને મળતા આઘાતનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 0.48 \,kg \cdot m/s$ છે.

(C) દડાનો વેગ $v_i = 10 \ m/s$ થી બદલાઈને $v_f = -10 \ m/s$ થાય છે (દીવાલ તરફની દિશાને ધન લેતા).
વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,દિશામાં ફેરફારનો અર્થ વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = m(v_f - v_i) = m(-10 - 10) = -20m$.
અથડામણ દરમિયાન નિશ્ચિત સમયગાળામાં વેગમાનમાં ફેરફાર થતો હોવાથી,દડા પર બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી અથડામણ દરમિયાન દડો પ્રવેગ અનુભવે છે.

(B) દડા દ્વારા અનુભવાતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે: દળ $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$,વેગ $v = 10 \, m/s$,દીવાલ સાથેનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$,અને સમય $t = 0.1 \, s$.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ એ દીવાલને લંબ ઘટક દ્વારા મળે છે: $\Delta p = 2mv \sin \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta p = 2 \times 0.1 \times 10 \times \sin 30^\circ = 2 \times 0.1 \times 10 \times 0.5 = 1 \, kg \cdot m/s$.
બળ $F = \frac{\Delta p}{t} = \frac{1}{0.1} = 10 \, N$.

(C) $t = 0$ સમયે બે કણોની સિસ્ટમનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_i = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$ છે.
બે કણો વચ્ચેની અથડામણ એ આંતરિક ક્રિયાપ્રતિક્રિયા છે અને તે સિસ્ટમના કુલ વેગમાનને અસર કરતી નથી.
સિસ્ટમ પર લાગતું એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે $\vec{F}_{ext} = (m_1 + m_2)g$ નીચેની તરફ લાગે છે.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{P}$ એ બાહ્ય બળના આઘાત જેટલો હોય છે: $\Delta \vec{P} = \int_{0}^{2t_0} \vec{F}_{ext} dt$.
બળ અચળ હોવાથી,$\Delta \vec{P} = (m_1 + m_2)g \times (2t_0 - 0) = 2(m_1 + m_2)gt_0$.
તેથી,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|(m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2') - (m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2)| = 2(m_1 + m_2)gt_0$ થાય છે.

(B) રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ એ આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે,જે બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$\Delta p = \int F \, dt = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
આલેખ વર્તુળાકાર વિભાગોનો બનેલો છે. $t = 0$ થી $t = 2$ સુધી,ક્ષેત્રફળ એ સમય અક્ષની નીચે ત્રિજ્યા $r = 2$ વાળું એક ચતુર્થાંશ વર્તુળ છે. ક્ષેત્રફળ $= -\frac{1}{4} \pi r^2 = -\frac{1}{4} \pi (2)^2 = -\pi$.
$t = 2$ થી $t = 6$ સુધી,ક્ષેત્રફળ એ સમય અક્ષની ઉપર ત્રિજ્યા $r = 2$ વાળું અર્ધવર્તુળ છે. ક્ષેત્રફળ $= +\frac{1}{2} \pi r^2 = +\frac{1}{2} \pi (2)^2 = +2\pi$.
$t = 6$ થી $t = 8$ સુધી,ક્ષેત્રફળ એ સમય અક્ષની નીચે ત્રિજ્યા $r = 2$ વાળું એક ચતુર્થાંશ વર્તુળ છે. ક્ષેત્રફળ $= -\frac{1}{4} \pi r^2 = -\frac{1}{4} \pi (2)^2 = -\pi$.
કુલ ક્ષેત્રફળ (ચોખ્ખો આઘાત) $= -\pi + 2\pi - \pi = 0$.
તેથી,$0$ અને $8$ સેકન્ડની વચ્ચે મેળવેલ રેખીય વેગમાન $0 \, N \cdot s$ છે.

(C) પદાર્થનું વેગમાન $p = mv$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ (અથવા ઝડપ) છે.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો નવો વેગ $v' = 2v$ થાય છે.
આ કિંમતને વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા: $p' = m(2v) = 2(mv) = 2p$.
તેથી,વેગમાન બમણું થાય છે.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $v$ બમણું થાય,તો $K.E.' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 4(\frac{1}{2}mv^2) = 4K.E.$ થાય,એટલે કે ગતિઊર્જા ચાર ગણી થાય છે.