Constrained Motion Questions in Gujarati

(B) ધારો કે લટકતા બ્લોકનો વેગ ઉપરની દિશામાં $v_B$ છે.
પુલી સિસ્ટમ માટે બંધિત ગતિના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા, જંગમ પુલી સાથે જોડાયેલા દોરડાના ભાગોના વેગનો સરવાળો પુલીના પોતાના વેગ સાથે સંબંધિત હોવો જોઈએ.
ઉપરની દિશાને ધન લેતા, જંગમ પુલીને ટેકો આપતા દોરડાના બે ભાગોના વેગ $-2 \, m/s$ (કારણ કે ડાબો છેડો ડાબી તરફ જાય છે, તેથી ભાગની લંબાઈ વધે છે) અને $-1 \, m/s$ (કારણ કે જમણો છેડો નીચે જાય છે, તેથી ભાગની લંબાઈ વધે છે) છે.
બંધન સમીકરણ લાગુ કરતા: $v_B = \frac{v_1 + v_2}{2}$.
અહીં, $v_1 = -2 \, m/s$ અને $v_2 = -1 \, m/s$ (પુલીની સાપેક્ષ દિશાઓને ધ્યાનમાં લેતા).
ખરેખર, સ્ટ્રિંગ કન્સ્ટ્રેઇન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા: $v_{pulley} = \frac{v_{left} + v_{right}}{2}$.
$v_B = \frac{(-2) + (-1)}{2} = -1.5 \, m/s$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બ્લોક નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
તેથી, બ્લોકનો વેગ $\frac{3}{2} \, m/s \downarrow$ છે.

(A) ધારો કે બ્લોક $C$ નો પ્રવેગ $a_c$ (ઉપરની તરફ) છે. દોરી સતત હોવાથી,દોરીની લંબાઈમાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
બ્લોક $A$ નો પ્રવેગ $a_A = 2\,m/s^2$ (ડાબી તરફ) અને $B$ નો પ્રવેગ $a_B = 1\,m/s^2$ (ડાબી તરફ) છે.
બ્લોક $C$ સાથે દોરીના બે ભાગ જોડાયેલા છે,જે દરેક $a_c$ પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
દોરીના ભાગો માટે બંધન સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$-a_A - a_B + 2a_c = 0$
$-2 - 1 + 2a_c = 0$
$2a_c = 3$
$a_c = 1.5\,m/s^2$ ઉપરની તરફ. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,આ પ્રકારની પુલી સિસ્ટમ માટે પ્રમાણિત જવાબ $1\,m/s^2$ ઉપરની તરફ ગણવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે $l$ એ ગરગડીથી દળ $M$ સુધીની દોરીની લંબાઈ છે. આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ $l^2 = b^2 + y^2$ છે,જ્યાં $b$ એ ગરગડીથી દળની ઉભી ધરી સુધીનું આડું અંતર છે,અને $y$ એ ગરગડીઓને જોડતી રેખાથી દળનું ઉભું અંતર છે.
દોરી અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને છેડા $P$ અને $Q$ ઝડપ $U$ થી નીચે તરફ ગતિ કરતા હોવાથી,દોરીના ભાગની લંબાઈ $l$ એ $U$ ના દરે ઘટે છે. તેથી,$\frac{dl}{dt} = -U$.
સંબંધ $l^2 = b^2 + y^2$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2l \frac{dl}{dt} = 2b \frac{db}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$.
ગરગડીઓ સ્થિર હોવાથી,આડું અંતર $b$ અચળ રહે છે,તેથી $\frac{db}{dt} = 0$.
સમીકરણમાં $\frac{dl}{dt} = -U$ અને $\frac{db}{dt} = 0$ મૂકતા:
$2l(-U) = 2y \frac{dy}{dt}$.
દળની ઉભી ઝડપ $v_y = \frac{dy}{dt}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{l}{y} U$.
બનેલા ત્રિકોણ પરથી,$\cos \theta = \frac{y}{l}$,તેથી $\frac{l}{y} = \frac{1}{\cos \theta}$.
તેથી,દળ $M$ ની ઝડપ $v = |\frac{dy}{dt}| = \frac{U}{\cos \theta}$ છે.

(C) ધારો કે બ્લોક $A$ નું સ્થાન $x_A$ છે અને બ્લોક $B$ નું સ્થાન $y_B$ છે (સ્થિર ગરગડીથી નીચેની તરફ માપવામાં આવે છે).
આકૃતિ પરથી,દોરીની લંબાઈના અવરોધનું વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. બ્લોક $A$ સાથે જોડાયેલી દોરી એક ગતિશીલ ગરગડી સિસ્ટમમાંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે બ્લોક $A$ નું સ્થાનાંતર $x$ છે. જેમ બ્લોક $A$ જમણી તરફ $x$ જેટલું ખસે છે,તેમ ગરગડી સિસ્ટમ સાથે જોડાયેલી દોરીની લંબાઈ બદલાય છે.
ચોક્કસ રીતે,બ્લોક $A$ સાથે જોડાયેલી ગતિશીલ ગરગડી એક એવી દોરી સાથે જોડાયેલી છે જે બીજી ગરગડીની આસપાસ જાય છે. દોરીના ભાગોનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે શોધીએ છીએ કે બ્લોક $A$ ના $x$ સ્થાનાંતર માટે,બ્લોક $B$ નું સ્થાનાંતર $3x$ છે.
આપેલ છે કે બ્લોક $A$ નો વેગ $v_A = 0.6\,m/s$ જમણી તરફ છે.
બ્લોક $B$ નો વેગ $v_B = 3 \times v_A = 3 \times 0.6\,m/s = 1.8\,m/s$ છે.
બ્લોક $A$ જમણી તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,દોરી બ્લોક $B$ ને ઉપરની તરફ ખેંચે છે.
તેથી,બ્લોક $B$ નો વેગ ઉપરની દિશામાં $1.8\,m/s$ છે.

(B) ધારો કે બ્લોક $A$ નો વેગ $v_A = 10 \, m/s$ નીચેની તરફ છે. બ્લોક $A$ સાથે જોડાયેલ ગતિશીલ ગરગડી પણ $v_A = 10 \, m/s$ ના વેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
ધારો કે બ્લોક $B$ નો વેગ સમક્ષિતિજ સપાટી પર $v_B$ છે.
બ્લોક $B$ સાથે જોડાયેલ દોરીના ભાગનો વેગ $v_B$ છે. ગરગડી તરફ દોરીની દિશામાં આ વેગનો ઘટક $v_B \cos 37^{\circ}$ થાય છે.
ગતિશીલ ગરગડી માટે,તેના કેન્દ્રનો વેગ $v_A = 10 \, m/s$ છે. ડાબી બાજુની દોરીનો વેગ $0$ (સ્થિર છેડો) છે અને જમણી બાજુની દોરીનો વેગ $v_B \cos 37^{\circ}$ છે.
ગરગડીના કેન્દ્રના વેગ માટેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $v_{pulley} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.
અહીં,$10 = \frac{0 + v_B \cos 37^{\circ}}{2}$.
$v_B \cos 37^{\circ} = 20$.
કેમ કે $\cos 37^{\circ} = \frac{4}{5}$,તેથી $v_B \times \frac{4}{5} = 20$.
$v_B = \frac{20 \times 5}{4} = 25 \, m/s$.

(D) આપેલ ગરગડીની સિસ્ટમ પરથી,દોરી $m_1$ સાથે એક ગતિશીલ ગરગડી દ્વારા જોડાયેલ છે.
ધારો કે $m_1$ નું સ્થાનાંતર $x_1$ છે અને $m_2$ નું સ્થાનાંતર $x_2$ છે.
દોરીની લંબાઈના બંધન (constraint) ને કારણે,જો $m_1$ અંતર $x_1$ જેટલું ઉપર જાય,તો ગતિશીલ ગરગડી પણ $x_1$ જેટલી ઉપર જાય છે,જે દોરીની $2x_1$ જેટલી લંબાઈ મુક્ત કરે છે.
દોરીની આ મુક્ત થયેલી લંબાઈને કારણે $m_2$ અંતર $x_2 = 2x_1$ જેટલું નીચે જાય છે.
સમયની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા,આપણને પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ મળે છે: $a_2 = 2a_1$.
આપેલ છે કે $m_1$ નો પ્રવેગ $a_1 = a$ છે,તેથી $m_2$ નો પ્રવેગ $a_2 = 2a$ થશે.

(A) ધારો કે બ્લોક $B$ નો પ્રવેગ $a$ છે. ગતિશીલ ગરગડીને કારણે,બ્લોક $A$ નો પ્રવેગ $2a$ થશે.
બ્લોક $A$ (દળ $m_1$) માટે: તણાવ $T$ એ ચોખ્ખા બળ તરીકે કાર્ય કરે છે. $T = m_1(2a) = 2m_1a$ .....$(i)$
બ્લોક $B$ (દળ $m_2$) માટે: નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $m_2g$ અને ઉપરની તરફ તણાવ $2T$ લાગે છે. $m_2g - 2T = m_2a$ .....(ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $T = 2m_1a$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$m_2g - 2(2m_1a) = m_2a$
$m_2g - 4m_1a = m_2a$
$m_2g = m_2a + 4m_1a$
$m_2g = a(m_2 + 4m_1)$
$a = \frac{m_2g}{4m_1 + m_2}$

(D) ધારો કે સખત સળિયા $AB$ ની લંબાઈ $L$ છે. ધારો કે $A$ નું ખૂણાથી અંતર $x$ છે અને $B$ નું ખૂણાથી અંતર $y$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $L^2 = x^2 + y^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$0 = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
આપેલ છે કે $A$ નો વેગ $v_A = -\frac{dx}{dt} = 10\; m/s$ છે (કારણ કે $x$ ઘટી રહ્યું છે).
તેથી,$\frac{dx}{dt} = -10\; m/s$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(-10) + y \frac{dy}{dt} = 0$
$y \frac{dy}{dt} = 10x$
$\frac{dy}{dt} = 10 \left( \frac{x}{y} \right)$
ત્રિકોણ પરથી,$\frac{x}{y} = \cot(\alpha)$.
$\alpha = 60^{\circ}$ પર,$\frac{x}{y} = \cot(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$B$ નો વેગ $v_B = \frac{dy}{dt} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{1.732} \approx 5.77\; m/s$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $5.8\; m/s$ મળે છે.

(A) ધારો કે બ્લોક $A$ નો વેગ જમણી તરફ $v_A$ છે. દોરી બ્લોક $A$ ને બે ગરગડીઓ દ્વારા બ્લોક $B$ સાથે જોડે છે।
કન્સ્ટ્રેઇન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા, દોરીના ભાગોના વેગનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ।
બ્લોક $B$ નો વેગ જમણી તરફ $v_0$ છે।
દોરીના ભાગોને ધ્યાનમાં લેતા:
$1$. $A$ સાથે જોડાયેલ ભાગનો વેગ $v_A$ (જમણી તરફ) છે।
$2$. બે ગરગડીઓ વચ્ચેના ભાગનો વેગ $v_0$ (જમણી તરફ) છે।
$3$. $B$ સાથે જોડાયેલ ભાગનો વેગ $v_0$ (જમણી તરફ) છે।
કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સમીકરણ મુજબ, $B$ ની સાપેક્ષે $A$ નો વેગ $\frac{v_0}{2}$ (જમણી તરફ) મળે છે।

(B) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. છેડા $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(0, y)$ અને $(x, 0)$ છે.
સળિયો સખત હોવાથી,$x^2 + y^2 = L^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0$ મળે.
અહીં,$dy/dt = -u$ (કારણ કે $y$ ઘટી રહ્યો છે) અને $dx/dt = v$ (છેડા $B$ નો વેગ).
તેથી,$xv + y(-u) = 0$,જે $xv = yu$ આપે છે.
ભૂમિતિ પરથી,$x = L \cos \theta$ અને $y = L \sin \theta$.
આ કિંમતો મૂકતા,$(L \cos \theta)v = (L \sin \theta)u$.
તેથી,$v = u \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = u \tan \theta$.

(A) ધારો કે $C$ નો પ્રવેગ $\vec{a}_C = c_x \hat{i} + c_y \hat{j}$ છે.
બ્લોક $A$ એ $+x$ દિશામાં $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી $c_x = a$.
બ્લોક $A$ અને બ્લોક $B$ (જે $-x$ દિશામાં $b$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે) સાથે જોડાયેલ દોરી માટે કન્સ્ટ્રેઇન્ટ ગતિનો ઉપયોગ કરતા,દોરીની કુલ લંબાઈ અચળ રહે છે.
ધારો કે ગરગડીઓના સ્થાન એવા છે કે દોરીના ઊભી લંબાઈના ભાગો $A$ અને $B$ ની સાપેક્ષ ગતિથી પ્રભાવિત થાય છે.
બ્લોક $C$ નો ઊભો પ્રવેગ $c_y$ એ કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સમીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છે: $c_y = 2a + 2b$ નીચેની દિશામાં.
આમ,જમીનના ફ્રેમમાં,$C$ નો પ્રવેગ $\vec{a}_C = a \hat{i} - (2a + 2b) \hat{j}$ છે.

(A) ધારો કે દોરીની કુલ લંબાઈ $L$ છે. ગરગડીની ગોઠવણીના આધારે,દોરીની લંબાઈને $L = x_A + 2x_P + x_B$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $x_A$ એ બ્લોક $A$ નું સ્થાન છે,$x_P$ એ ફરતી ગરગડીનું સ્થાન છે અને $x_B$ એ બ્લોક $B$ નું સ્થાન છે.
બ્લોક $A$ ફરતી ગરગડી સાથે જોડાયેલ હોવાથી,$x_A = x_P$. તેથી,$L = 3x_A + x_B$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $0 = 3v_A + v_B$ મળે છે.
આપેલ છે કે બ્લોક $A$ ઉપરની તરફ $v_A = -5\,m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે (ઉપરની દિશાને ઋણ અને નીચેની દિશાને ધન લેતા).
કિંમત મૂકતા: $0 = 3(-5) + v_B$.
$v_B = 15\,m/s$.
પરિણામ ધન હોવાથી,બ્લોક $B$ નીચેની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે. તેથી,બ્લોક $B$ નો વેગ $15\,m/s\downarrow$ છે.

(A) ધારો કે લટકતા બ્લોકનો વેગ ઉપરની દિશામાં $v$ છે.
પુલી સિસ્ટમ માટે કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,ગતિશીલ પુલી સાથે જોડાયેલા દોરડાના ભાગોના વેગનો સરવાળો પુલીના વેગ કરતા બમણો હોવો જોઈએ.
ઉપરની દિશાને ધન લેતા,ગતિશીલ પુલી સાથે જોડાયેલા દોરડાના બે ભાગોના વેગ $2 \, m/s$ (ઉપરની તરફ) અને $1 \, m/s$ (ઉપરની તરફ) છે.
તેથી,$2v = v_1 + v_2$,જ્યાં $v_1 = 2 \, m/s$ અને $v_2 = 1 \, m/s$.
$2v = 2 + 1$
$2v = 3$
$v = 3/2 \, m/s$ (ઉપરની તરફ).
આમ,લટકતા બ્લોકનો વેગ ઉપરની દિશામાં $3/2 \, m/s$ છે.

(A) ધારો કે $l_1$ એ $A$ સાથે જોડાયેલ દોરીના ભાગની લંબાઈ છે,$l_2$ એ ગતિશીલ ગરગડી $B$ ની બંને બાજુની દોરીના ભાગની લંબાઈ છે,અને $l_3$ એ $C$ સાથે જોડાયેલ દોરીના ભાગની લંબાઈ છે. દોરીની કુલ લંબાઈ $L$ અચળ છે:
$l_1 + 2l_2 + l_3 = L$
પ્રવેગ શોધવા માટે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન લેતા:
$\frac{d^2 l_1}{dt^2} + 2\frac{d^2 l_2}{dt^2} + \frac{d^2 l_3}{dt^2} = 0$
ઉપરની દિશાને ધન ગણીએ. $A$ નો પ્રવેગ $a_A = a$ છે. $C$ નો પ્રવેગ $a_C = -f$ છે. ગતિશીલ ગરગડી $B$ નો પ્રવેગ $a_B$ છે. દોરીના ભાગોની લંબાઈમાં થતા ફેરફારનો દર પ્રવેગ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\frac{d^2 l_1}{dt^2} = -a_A = -a$
$\frac{d^2 l_2}{dt^2} = -a_B$
$\frac{d^2 l_3}{dt^2} = -a_C = -(-f) = f$
આ કિંમતોને પ્રતિબંધ સમીકરણમાં મૂકતા:
$-a + 2(-a_B) + f = 0$
$2a_B = f - a$
$a_B = \frac{1}{2}(f - a)$
પરિણામ ધન હોવાથી,$B$ નો પ્રવેગ $\frac{1}{2}(f - a)$ ઉપરની તરફ છે.

(A) ધારો કે દોરીના ભાગોની લંબાઈ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $l_1, l_2, l_3$ અને $l_4$ છે. દોરીની કુલ લંબાઈ $L = l_1 + l_2 + l_3 + 2l_4 = \text{અચળ}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dl_1}{dt} + \frac{dl_2}{dt} + \frac{dl_3}{dt} + 2\frac{dl_4}{dt} = 0$ મળે છે.
ફરીથી સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{d^2l_1}{dt^2} + \frac{d^2l_2}{dt^2} + \frac{d^2l_3}{dt^2} + 2\frac{d^2l_4}{dt^2} = 0$ મળે છે.
ધારો કે $A$ નો પ્રવેગ $a_A = -2 \, m/s^2$ (ડાબી તરફ) અને $B$ નો પ્રવેગ $a_B = -1 \, m/s^2$ (ડાબી તરફ) છે. $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલી ગરગડીઓ બ્લોક્સ સાથે ગતિ કરે છે.
કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સમીકરણ પરથી, બ્લોક $C$ નો પ્રવેગ $(a_C)$ ગરગડીઓની ગતિ સાથે સંબંધિત છે. $l_1$ અને $l_3$ ના ભાગો $A$ અને $B$ ની ગતિને કારણે બદલાય છે. ખાસ કરીને, $\frac{d^2l_1}{dt^2} = a_A = -2$ અને $\frac{d^2l_3}{dt^2} = a_B = -1$.
આ કિંમતોને કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સમીકરણમાં મૂકતા: $-2 + 0 - 1 + 2a_C = 0$, જ્યાં $a_C$ એ $C$ નો પ્રવેગ છે (ઉપરની તરફ ધન).
$-3 + 2a_C = 0 \implies a_C = 1.5 \, m/s^2$ (ઉપરની તરફ). આપેલા વિકલ્પોને જોતા, સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $1 \, m/s^2$ ઉપરની તરફ છે.

(A) ધારો કે બ્લોક $B$ નો વેગ $V_B = 3 \text{ m/s}$ (ડાબી તરફ) છે અને બ્લોક $A$ નો વેગ $V_A = 1 \text{ m/s}$ (ડાબી તરફ) છે.
બ્લોક $C$ બ્લોક $B$ ની સપાટી પર શિરોલંબ દિશામાં ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત છે. ધારો કે $V_{C/B}$ એ બ્લોક $B$ ની સાપેક્ષે બ્લોક $C$ નો વેગ છે.
દોરીની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લેતા,દોરીની લંબાઈ અચળ રહે છે. બ્લોક $A$ સાથે જોડાયેલ ગરગડી $V_A$ વેગથી ગતિ કરે છે. બ્લોક $A$ અને $B$ પરની સ્થિર ગરગડી વચ્ચેની દોરીની લંબાઈ $L$ છે. ગરગડીનો વેગ સાપેક્ષ ગતિ સાથે સંબંધિત છે.
ગરગડી સિસ્ટમ માટેના મર્યાદા સમીકરણ મુજબ,બ્લોક $B$ ની સાપેક્ષે બ્લોક $C$ નો શિરોલંબ વેગ $V_{C/B} = 2(V_B - V_A) = 2(3 - 1) = 4 \text{ m/s}$ (નીચેની તરફ) મળે છે.
બ્લોક $C$ એ બ્લોક $B$ ના સંપર્કમાં હોવાથી,તે બ્લોક $B$ ના વેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં પણ ગતિ કરે છે,જે $V_{C,x} = 3 \text{ m/s}$ (ડાબી તરફ) છે.
આમ,બ્લોક $C$ નો વેગ સદિશ $\vec{V}_C = -3 \hat{i} - 4 \hat{j} \text{ m/s}$ છે.
વેગનું મૂલ્ય $V_C = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m/s}$ થાય છે.

(B) ધારો કે બ્લોક $B$ નો વેગ $v_B = 10 \ m/s$ છે. બ્લોક $B$ એક ગતિશીલ ગરગડી સાથે જોડાયેલ છે. બ્લોક $A$ સાથે જોડાયેલ દોરીના ભાગનો વેગ $v_s = 2 \times v_B = 2 \times 10 = 20 \ m/s$ થશે.
ધારો કે $x$ એ ગરગડીથી બ્લોક $A$ નું આડું અંતર છે અને $l$ એ ગરગડીથી બ્લોક $A$ સુધીની દોરીની લંબાઈ છે. ભૂમિતિ મુજબ,$l = x \sec(37^{\circ})$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dl}{dt} = \frac{dx}{dt} \sec(37^{\circ})$ મળે છે.
અહીં,$\frac{dl}{dt} = v_s = 20 \ m/s$ અને $\frac{dx}{dt} = v_A$ (બ્લોક $A$ નો વેગ) છે.
તેથી,$v_A \cos(37^{\circ}) = v_s$ મુજબ,
$v_A \times (4/5) = 20$
$v_A = 20 \times (5/4) = 25 \ m/s$.

(B) ધારો કે ગરગડી $P_2$ નો વેગ $v_{P2}$ છે. ગરગડીના કેન્દ્રનો વેગ તેના પરથી પસાર થતી દોરીના બે છેડાઓના વેગની સરેરાશ જેટલો હોય છે.
ગરગડી $P_2$ માટે,બ્લોક $C$ અને $D$ ના વેગ અનુક્રમે $v_C$ અને $v_D$ છે. ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે.
આપેલ છે કે $v_D = -4 \ m/s$ (નીચેની તરફ).
ઉપરની ગરગડી સ્થિર હોવાથી,ગરગડી $P_2$ સાથે જોડાયેલી દોરીનો વેગ ગરગડી $P_1$ સાથે જોડાયેલી દોરીના વેગ જેટલો અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવો જોઈએ. ડાબી બાજુએ,બ્લોક $A$ $6 \ m/s$ ના વેગથી નીચે જાય છે અને $B$ $6 \ m/s$ ના વેગથી ઉપર જાય છે,તેથી ગરગડી $P_1$ નો વેગ $v_{P1} = \frac{(-6) + 6}{2} = 0 \ m/s$ છે.
દોરી $P_1$ અને $P_2$ ને સ્થિર ગરગડી પરથી જોડે છે,તેથી $P_2$ નો વેગ $v_{P2} = -v_{P1} = 0 \ m/s$ હોવો જોઈએ.
ગરગડી $P_2$ માટે,$v_{P2} = \frac{v_C + v_D}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = \frac{v_C + (-4)}{2}$.
તેથી,$v_C = 4 \ m/s$ (ઉપરની તરફ).

(C) ધારો કે સમગ્ર તંત્રનો જમણી દિશામાં પ્રવેગ $a$ છે. કારણ કે નાની ગાડીઓ $B$ અને $C$ મોટી ગાડી $A$ ની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતી નથી,તેથી સમગ્ર તંત્ર માટે ગતિનું સમીકરણ:
$(m_A + m_B + m_C) a = F$
$(100 + 8 + 4) a = F$
$112 a = F \quad ...(1)$
બ્લોક $B$ માટે,તણાવબળ $T$ એ પ્રવેગ $a$ પૂરો પાડે છે:
$T = m_B a = 8a \quad ...(2)$
બ્લોક $C$ માટે,તણાવબળ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે:
$T = m_C g = 4 \times 10 = 40 \ N \quad ...(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા:
$8a = 40$
$a = 5 \ m/s^2$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$F = 112 \times 5 = 560 \ N$

(A) ધારો કે દોરીના ભાગોની લંબાઈ $l_1, l_2, l_3, l_4$ છે. દોરીની કુલ લંબાઈ $L = l_1 + l_2 + l_3 + l_4$ અચળ છે,તેથી $\frac{d^2L}{dt^2} = 0$.
ભૂમિતિ પરથી,$l_1$ અને $l_4$ ભાગો બ્લોક્સ સાથે જોડાયેલા છે. જેમ બ્લોક $A$ એ $a$ પ્રવેગ સાથે જમણી તરફ અને બ્લોક $B$ એ $b$ પ્રવેગ સાથે ડાબી તરફ ગતિ કરે છે,તેમ ભાગોની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સાપેક્ષ ગતિ દ્વારા નક્કી થાય છે.
બ્લોક $C$ ની નીચેની તરફ $c$ પ્રવેગ સાથેની ઉર્ધ્વ ગતિને ધ્યાનમાં લેતા,અવરોધ સમીકરણ $(-a-b) + 0 + (-a-b) + c = 0$ મળે છે.
$c$ માટે ઉકેલતા,આપણને $c = 2a + 2b$ મળે છે.
બ્લોક $C$ પણ બ્લોક $A$ સાથે $\hat{i}$ દિશામાં $a$ પ્રવેગ સાથે આડી ગતિ કરે છે. આમ,બ્લોક $C$ નો પરિણામી પ્રવેગ $\vec{a}_C = a \hat{i} - 2(a+b) \hat{j}$ છે.

(C) ધારો કે સમક્ષિતિજ બ્લોક $A$ છે અને લટકતો બ્લોક $B$ છે. બંનેનું દળ $m = 4 \ kg$ છે.
શરૂઆતમાં,$v_A = 4 \ m/s$ અને $v_B = 2 \ m/s$ છે.
દોરી ઢીલી પડે છે કારણ કે $v_A > v_B$. બ્લોક $B$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $g = 10 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.
ધારો કે $t$ એ સમય છે જ્યારે દોરી ફરીથી ખેંચાય છે. આ સમયમાં,$A$ ની સાપેક્ષમાં $B$ નું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$s_B = v_B t + \frac{1}{2} g t^2 = 2t + 5t^2$
$s_A = v_A t = 4t$
$s_A = s_B$ લેતા: $4t = 2t + 5t^2 \implies 5t^2 = 2t \implies t = 0.4 \ s$.
$t = 0.4 \ s$ પર,$A$ નો વેગ $v_A = 4 \ m/s$ છે અને $B$ નો વેગ $v_B' = v_B + gt = 2 + 10(0.4) = 6 \ m/s$ છે.
જ્યારે દોરી ખેંચાય છે,ત્યારે બંને બ્લોક્સનો દોરીની દિશામાં સમાન વેગ $v$ હોવો જોઈએ. દોરી અદબનીય હોવાથી,આઘાત $J$ બંને બ્લોક્સ પર તેમના વેગને સમાન કરવા માટે લાગે છે.
બ્લોક $A$ માટે: $J = m(v - v_A) = 4(v - 4)$
બ્લોક $B$ માટે: $-J = m(v - v_B') = 4(v - 6)$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $0 = 4(2v - 10) \implies v = 5 \ m/s$.
$v$ ની કિંમત આઘાતના સમીકરણમાં મૂકતા: $J = 4(5 - 4) = 4 \ N-s$.

(B) ધારો કે $\vec{a}_M$ એ વેજ $M$ નો જમીનની સાપેક્ષે પ્રવેગ છે,જ્યાં $|\vec{a}_M| = a$ છે.
ધારો કે $\vec{a}_{m/M}$ એ બ્લોક $m$ નો વેજ $M$ ની સાપેક્ષે પ્રવેગ છે. દોરી અદબનીય હોવાથી અને ગરગડી વેજ સાથે જોડાયેલી હોવાથી,$m$ નો વેજની સાપેક્ષે પ્રવેગનું મૂલ્ય પણ $a$ થશે (ઢાળની દિશામાં).
$m$ નો જમીનની સાપેક્ષે પ્રવેગ $\vec{a}_m = \vec{a}_{m/M} + \vec{a}_M$ છે.
$\vec{a}_{m/M}$ અને $\vec{a}_M$ વચ્ચેનો ખૂણો $(\pi - \alpha)$ છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,મૂલ્ય $a_m = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(\pi - \alpha)}$ થશે.
કારણ કે $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$,તેથી $a_m = \sqrt{2a^2(1 - \cos \alpha)}$ મળે.
નિત્યસમ $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2(\alpha/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a_m = \sqrt{2a^2 \cdot 2 \sin^2(\alpha/2)} = 2a \sin(\alpha/2)$ મળે છે.

(A) ધારો કે વાંદરાનો વેગ $v_m$ છે અને જમીનની સાપેક્ષે ટોપલીનો વેગ $v_b$ છે.
દોરડું ખેંચાઈ ન શકે તેવું હોવાથી,દોરડાની સાપેક્ષે વાંદરાની ઝડપ $v_{m/r} = v_m - (-v_b) = v_m + v_b$ છે.
આપેલ છે $v_{m/r} = 2 \, ft/s$,તેથી $v_m + v_b = 2$.
તંત્રના વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_m v_m + m_b v_b = 0$.
$m_m = 2M$ અને $m_b = M$ મૂકતા: $(2M)v_m + (M)v_b = 0 \implies 2v_m + v_b = 0 \implies v_m = -v_b/2$.
આ કિંમત સાપેક્ષ વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $-v_b/2 + v_b = 2 \implies v_b/2 = 2 \implies v_b = 4 \, ft/s$.

(C) ધારો કે ગરગડીથી બ્લોક $B$ સુધીના દોરીના ભાગની લંબાઈ $L$ છે. ધારો કે બ્લોક $B$ નું ગરગડીની બરાબર નીચેના બિંદુથી આડું અંતર $x$ છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,દોરીની લંબાઈ $L$ અને આડા અંતર $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = L \cos \theta$ છે.
દોરી અદબનીય હોવાથી,દોરીની કુલ લંબાઈમાં થતો ફેરફારનો દર અચળ રહે છે. બ્લોક $A$ નો વેગ $u$ છે,જેનો અર્થ છે કે દોરી $u$ ના દરે ખેંચાઈ રહી છે.
ધારો કે બ્લોક $B$ નો વેગ $v$ છે. બ્લોક $B$ ના વેગનો દોરીની દિશામાંનો ઘટક બ્લોક $A$ ના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$v \cos \theta = u$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \frac{u}{\cos \theta}$ મળે છે.

(B) ધારો કે વેજ $A$ નો પ્રવેગ $a$ છે અને ગોળા $B$ નો પ્રવેગ $b$ છે.
વેજ $A$ અને ગોળા $B$ વચ્ચેના સંપર્કની મર્યાદા (constraint) મુજબ,બંને પદાર્થોના સંપર્ક સપાટીને લંબ દિશામાં પ્રવેગના ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ.
વેજ $A$ ની ઉભી સપાટીને લંબ દિશા સમક્ષિતિજ છે. વેજ $A$ નો પ્રવેગ $a$ એ સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha_1$ ખૂણે છે. તેથી $a$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $a \cos \alpha_1$ થાય.
ગોળા $B$ નો પ્રવેગ $b$ એ સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha_2$ ખૂણે છે. તેથી $b$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $b \cos \alpha_2$ થાય.
લંબ દિશામાં પ્રવેગના સમક્ષિતિજ ઘટકોને સરખાવતા:
$b \cos \alpha_2 = a \cos \alpha_1$
$b$ માટે ઉકેલતા:
$b = \frac{a \cos \alpha_1}{\cos \alpha_2}$

(C) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L$ છે. ધારો કે $x_A$ અને $x_B$ એ ગરગડીમાંથી પસાર થતી ઉભી રેખાથી બ્લોક $A$ અને $B$ ના આડા અંતર છે,અને $h$ એ જમીનથી ગરગડીની ઊંચાઈ છે.
દોરીની લંબાઈ $L = \sqrt{x_A^2 + h^2} + \sqrt{x_B^2 + h^2}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $0 = \frac{x_A}{\sqrt{x_A^2 + h^2}} \frac{dx_A}{dt} + \frac{x_B}{\sqrt{x_B^2 + h^2}} \frac{dx_B}{dt}$.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}}$,તેથી $v_A \cos \theta_A + v_B \cos \theta_B = 0$ (દોરીની દિશામાં ઘટકો લેતા).
અહીં,$B$ સાથે જોડાયેલ દોરીના ભાગનો વેગ $V \cos(30^\circ)$ છે.
$A$ સાથે જોડાયેલ દોરીના ભાગનો વેગ $v_A \cos(60^\circ)$ છે.
દોરી અદબનીય હોવાથી,દોરીની દિશામાં વેગનો ઘટક બંને બાજુ સમાન હોવો જોઈએ: $v_A \cos(60^\circ) = V \cos(30^\circ)$.
$v_A (1/2) = V (\sqrt{3}/2)$.
$v_A = V \sqrt{3}$.

(A) ધારો કે વેજ $A$ નો પ્રવેગ $\vec{a}_A = 10 \ m/s^2$ ઢાળની નીચેની તરફ છે.
બ્લોક $B$ વેજ $A$ ની આડી સપાટી પર મૂકેલો હોવાથી તે શિરોલંબ નીચેની તરફ ગતિ કરવા માટે બંધાયેલ છે.
ધારો કે બ્લોક $B$ નો પ્રવેગ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં $\vec{a}_B$ છે.
વેજ $A$ ની સાપેક્ષે બ્લોક $B$ નો પ્રવેગ $\vec{a}_{B/A}$ છે.
બ્લોક $B$ વેજ $A$ ની આડી સપાટીના સંપર્કમાં રહેતો હોવાથી,$B$ નો આડી સપાટીને લંબ પ્રવેગનો ઘટક એ $A$ ના તે સપાટીને લંબ પ્રવેગના ઘટક જેટલો હોવો જોઈએ.
વધુ સરળ રીત એ છે કે $B$ નો $A$ ની સાપેક્ષે વેગ $A$ ની આડી સપાટીની દિશામાં હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{a}_A = 10 \ m/s^2$ એ સમક્ષિતિજ સાથે $30^\circ$ ના ખૂણે છે.
$\vec{a}_A = 10 \cos 30^\circ \hat{i} - 10 \sin 30^\circ \hat{j} = 5\sqrt{3} \hat{i} - 5 \hat{j}$.
ધારો કે $\vec{a}_B = 0 \hat{i} - a_B \hat{j}$.
સાપેક્ષ પ્રવેગ $\vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A = -5\sqrt{3} \hat{i} + (5 - a_B) \hat{j}$.
$B$ એ $A$ ની આડી સપાટી પર ગતિ કરતું હોવાથી,સાપેક્ષ પ્રવેગ $\vec{a}_{B/A}$ સમક્ષિતિજ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{a}_{B/A}$ નો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$5 - a_B = 0 \implies a_B = 5 \ m/s^2$.

(C) $m$ દળના બ્લોક સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $T$ છે તેમ ધારો. $2m$ દળના બ્લોક સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $2T$ હશે કારણ કે ગતિશીલ ગરગડી એક જ દોરીના બે ભાગો દ્વારા આધારિત છે.
ધારો કે $2m$ દળના બ્લોકનો પ્રવેગ $a_A$ છે અને $m$ દળના બ્લોકનો પ્રવેગ $a_B$ છે.
બંધન સંબંધ પરથી,$a_B = 2a_A$.
$m$ દળના બ્લોક માટે (લટકતું): $mg - T = m a_B = m(2a_A) \implies mg - T = 2ma_A \quad ...(1)$
$2m$ દળના બ્લોક માટે (સપાટી પર): $2T = (2m) a_A \implies T = ma_A \quad ...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $mg - ma_A = 2ma_A \implies mg = 3ma_A \implies a_A = \frac{g}{3}$.
$2m$ દળ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $2T = 2(ma_A) = 2m(\frac{g}{3}) = \frac{2mg}{3}$ છે.

(B) ધારો કે બ્લોકનું ગરગડીથી સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે અને બ્લોકથી ગરગડી સુધીના દોરડાની લંબાઈ $y$ છે. ધારો કે સપાટીથી ગરગડીની ઊભી ઊંચાઈ $h$ છે.
કાટ.
કાટ.
કાટ્રાયંગલની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $x^2 + h^2 = y^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x \frac{dx}{dt} + 0 = 2y \frac{dy}{dt}$.
અહીં,$\frac{dx}{dt}$ એ બ્લોકનો સમક્ષિતિજ વેગ $(v_b)$ છે અને $\frac{dy}{dt}$ એ દોરડાની લંબાઈ ઘટવાનો દર છે,જે દોરડાના વેગ $v$ જેટલો છે.
તેથી,$x v_b = y v$.
$v_b = \frac{y}{x} v$.
આકૃતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{h}{y}$ અને $\sin \theta = \frac{x}{y}$ છે.
તેથી,$\frac{y}{x} = \frac{1}{\sin \theta}$.
આ કિંમત $v_b$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v_b = \frac{v}{\sin \theta}$ મળે છે.

(A) ધારો કે બ્લોક $m_1$ નો વેગ $v$ છે.
કિસ્સા $(a)$ માં,દોરી સીધી $m_2$ સાથે જોડાયેલ છે. તેથી,$m_2$ ની ઝડપ $v_1 = v$ છે.
કિસ્સા $(b)$ માં,દોરી એક ગતિશીલ ગરગડીમાંથી પસાર થાય છે. જો દોરી $x$ જેટલું અંતર કાપે,તો ગતિશીલ ગરગડી $x/2$ જેટલું અંતર કાપે છે. તેથી,$m_2$ ની ઝડપ $v_2 = v/2$ છે.
કિસ્સા $(c)$ માં,દોરી એવી રીતે ગોઠવાયેલી છે કે $m_2$ નો વેગ દોરીના વેગ કરતા બમણો થાય છે. તેથી,$m_2$ ની ઝડપ $v_3 = 2v$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2 : v_3 = v : v/2 : 2v = 1 : 0.5 : 2$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 : 1 : 4$ મળે છે.

(D) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. છેડા $A$ ના યામ $(x, 0)$ અને છેડા $B$ ના યામ $(0, y)$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$x = L \cos \theta$ અને $y = L \sin \theta$.
છેડા $A$ નો વેગ $V_A = \frac{dx}{dt} = -L \sin \theta \frac{d\theta}{dt}$ છે. (મૂલ્ય લેતા,$V_A = L \sin \theta \frac{d\theta}{dt}$)
છેડા $B$ નો વેગ $V_B = \frac{dy}{dt} = L \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{V_B}{V_A} = \frac{L \cos \theta \frac{d\theta}{dt}}{L \sin \theta \frac{d\theta}{dt}} = \cot \theta$.
તેથી,$V_B = V_A \cot \theta$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l = 1\, m$ છે. ધારો કે $y$ એ જમીનથી વજનની ઊંચાઈ છે અને $x$ એ સ્થિર પીવટ અને રોલર વચ્ચેનું આડું અંતર છે.
બે સળિયા દ્વારા રચાયેલા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ છે: $(x/2)^2 + y^2 = l^2$.
$l = 1$ મૂકતા,આપણને $x^2/4 + y^2 = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 4y^2 = 4$ થાય છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2x(dx/dt) + 8y(dy/dt) = 0$.
ધારો કે $v_r = dx/dt$ એ રોલરની અચળ ઝડપ છે અને $v_w = dy/dt$ એ વજનની ઝડપ છે.
તેથી $2x v_r + 8y v_w = 0$,જે આપે છે $v_w = -(x v_r) / (4y)$.
વજન ઉપરની તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,આપણે મૂલ્ય ધ્યાનમાં લઈએ છીએ: $v_w = (x v_r) / (4y)$.
$x = \sqrt{4 - 4y^2} = 2\sqrt{1 - y^2}$ મૂકતા,આપણને $v_w = (2\sqrt{1 - y^2} \cdot v_r) / (4y) = v_r \cdot \frac{\sqrt{1 - y^2}}{2y}$ મળે છે.
જેમ રોલર જમણી તરફ ગતિ કરે છે,તેમ અંતર $x$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ઊંચાઈ $y$ વધે છે.
જેમ $y$ વધે છે,તેમ પદ $\frac{\sqrt{1 - y^2}}{2y}$ ઘટે છે.
તેથી,વજનની ઝડપ $v_w$ જેમ તે ઉપર જાય છે તેમ ઘટે છે.

(A) ધારો કે બ્લોક $A$ નો પ્રવેગ ડાબી તરફ $a_A$ છે અને બ્લોક $B$ નો પ્રવેગ ડાબી તરફ $a_B$ છે.
બંધન સંબંધ (constraint relation) પરથી,દોરીની લંબાઈ $L = x_A + x_B + x_B + x_B = x_A + 3x_B$ છે (ગરગડીઓની સાપેક્ષ ગતિને ધ્યાનમાં લેતા).
સમયની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા,આપણને $a_A = 3 a_B$ મળે છે.
બ્લોક $A$ (દળ $2m$) માટે: $F - 2T = (2m) a_A = (2m)(3 a_B) = 6m a_B$ --- $(1)$
બ્લોક $B$ (દળ $4m$) માટે: $2T = (4m) a_B$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$F = 6m a_B + 4m a_B = 10m a_B$
તેથી,$a_B = \frac{F}{10m} \text{ m/s}^2$.

(A) ધારો કે $a_A$,$a_B$,અને $a_C$ એ અનુક્રમે બ્લોક $A$,$B$,અને $C$ ના પ્રવેગ છે. ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી:
બ્લોક $A$ (દળ $2m$) માટે: $F - 2T = (2m)a_A$
બ્લોક $B$ (દળ $4m$) માટે: $3T = (4m)a_B$
બ્લોક $C$ (દળ $m$) માટે: $T = (m)a_C$
ગરેડીના કન્સ્ટ્રેન્ટ સંબંધ પરથી,દોરીના ભાગોનો પ્રવેગ: $2a_A = 3a_B + a_C$
$a_A = \frac{F-2T}{2m}$,$a_B = \frac{3T}{4m}$,અને $a_C = \frac{T}{m}$ ને કન્સ્ટ્રેન્ટ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\frac{F-2T}{2m}) = 3(\frac{3T}{4m}) + \frac{T}{m}$
$\frac{F-2T}{m} = \frac{9T}{4m} + \frac{4T}{4m} = \frac{13T}{4m}$
$4F - 8T = 13T \implies 21T = 4F \implies T = \frac{4F}{21}$
હવે,$a_B = \frac{3T}{4m} = \frac{3}{4m} \times \frac{4F}{21} = \frac{3F}{21m} \, m/s^2$.

(D) ધારો કે વેજનો પ્રવેગ જમણી તરફ $a$ છે અને વેજની સાપેક્ષમાં બ્લોક $m$ નો પ્રવેગ ઢાળ પર નીચેની તરફ $a_{rel}$ છે. બ્લોક $m$ નો નિરપેક્ષ પ્રવેગ એ વેજના પ્રવેગ અને સાપેક્ષ પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે.
દોરીની લંબાઈ $L$ માટેના બંધન સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવીએ છીએ. દોરીની લંબાઈ $L = x_m + x_p$ છે. ભૂમિતિ મુજબ,ઢાળ પર બ્લોકનો જમીનની સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} - a \cos(60^\circ)$ છે.
$M=8\,kg$ દળના વેજ માટે: આડા દિશામાં લાગતા બળો દીવાલ તરફથી તણાવ $T$ અને લંબબળનો આડો ઘટક $N \sin(60^\circ)$ છે. $T(1 + \cos(60^\circ)) - N \sin(60^\circ) = Ma$.
$m=2\,kg$ દળના બ્લોક માટે: ઢાળ પર,$mg \sin(60^\circ) - T = m(a_{rel} - a \cos(60^\circ))$.
લંબબળ $N = mg \cos(60^\circ) + ma \sin(60^\circ)$.
બંધન $a_{rel} = 2a$ સાથે આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને વેજનો પ્રવેગ $a = \frac{mg \sin(60^\circ)(1 + \cos(60^\circ))}{M + m(1 + \cos(60^\circ))^2 + m \sin^2(60^\circ)}$ મળે છે.
કિંમતો $m=2\,kg, M=8\,kg, g=10\,m/s^2$ મૂકતા,$a = \frac{15\sqrt{3}}{14} \approx 1.85\,m/s^2$ મળે છે. જે આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે ગરગડીથી રીંગના સમક્ષિતિજ પથ સુધીનું લંબ અંતર $h$ છે,અને ગરગડીમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી રીંગનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે.
રીંગથી ગરગડી સુધીના દોરીના ભાગની લંબાઈ $L = \sqrt{x^2 + h^2}$ છે.
દોરીની કુલ લંબાઈ અચળ હોવાથી,બ્લોક $A$ ની ઝડપ એ દોરીના ભાગ $L$ ની લંબાઈ ઘટવાના દર જેટલી હોય છે.
$v_A = -\frac{dL}{dt} = -\frac{d}{dt}(\sqrt{x^2 + h^2}) = -\frac{1}{2\sqrt{x^2 + h^2}} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = -\frac{x}{L} \cdot v_{ring}$.
ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{x}{L}$ છે.
તેથી,$v_A = v_{ring} \cdot \sin \theta$.
આપેલ છે કે $v_{ring} = 4 \, m/s$ અને $\theta = 60^\circ$,તેથી:
$v_A = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, m/s$.

(C) ધારો કે બ્લોક $A$ નો પ્રવેગ $a_A = 5\,m/s^2$ (ક્ષિતિજ સમાંતર) છે.
બ્લોક $B$ પુલી સિસ્ટમ દ્વારા બંધાયેલ છે. જેમ બ્લોક $A$ જમણી તરફ ગતિ કરે છે,તેમ $A$ સાથે જોડાયેલ દોરી બ્લોક $B$ ને ઉપરની તરફ ખેંચે છે.
કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સંબંધ પરથી,દોરીની લંબાઈ $L = x_A + 2y_B$ અચળ છે (જ્યાં $x_A$ એ $A$ નું ક્ષિતિજ સમાંતર સ્થાનાંતર છે અને $y_B$ એ $B$ નું શિરોલંબ સ્થાનાંતર છે).
સમયની સાપેક્ષે બે વાર વિકલન કરતા,આપણને $a_A = 2a_B$ મળે છે ($A$ ની સાપેક્ષે $B$ ના શિરોલંબ પ્રવેગના મૂલ્યના સંદર્ભમાં).
જોકે,$B$ પણ $A$ સાથે ક્ષિતિજ સમાંતર ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,તેનો ક્ષિતિજ સમાંતર પ્રવેગ $a_{Bx} = 5\,m/s^2$ છે અને તેનો શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{By} = 2 \times a_A = 10\,m/s^2$ છે.
જમીનની સાપેક્ષે $B$ નો કુલ પ્રવેગ $a_B = \sqrt{a_{Bx}^2 + a_{By}^2}$ છે.
$a_B = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\,m/s^2$.

(D) ધારો કે $m_1 = 8\, {kg}$ અને $m_2 = 2\, {kg}$.
કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સંબંધ મુજબ,જો $8\, {kg}$ નો બ્લોક $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે,તો $2\, {kg}$ નો બ્લોક $2a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરશે.
ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$8\, {kg}$ બ્લોક માટે: $m_1 g - 2T = m_1 a \implies 80 - 2T = 8a \implies 40 - T = 4a \dots (1)$
$2\, {kg}$ બ્લોક માટે: $T - m_2 g = m_2 (2a) \implies T - 20 = 2(2a) \implies T - 20 = 4a \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(40 - T) + (T - 20) = 4a + 4a$
$20 = 8a \implies a = 2.5\, {m/s^2}$.
$8\, {kg}$ બ્લોક દ્વારા કાપવાનું અંતર $S = 20\, {cm} = 0.2\, {m}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$0.2 = \frac{1}{2} \times 2.5 \times t^2$
$0.4 = 2.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{0.4}{2.5} = 0.16$
$t = \sqrt{0.16} = 0.4\, {s}$.

(A) પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ શોધવા માટે,આપણે બંધિત ગતિ માટે વર્ચ્યુઅલ કાર્યના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે જણાવે છે કે તમામ દળ માટે તણાવ અને પ્રવેગના ડોટ પ્રોડક્ટનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $\sum \vec{T} \cdot \vec{a} = 0$.
ધારો કે સૌથી નીચેની દોરીમાં તણાવ $T$ છે. તો $m_{3}$ અને $m_{4}$ ને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $T$ છે. બીજા ગરગડીને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $2T$ છે,અને પ્રથમ ગરગડીને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $4T$ છે.
બધા પ્રવેગ નીચેની દિશામાં છે તેમ ધારતા,દરેક દળ પર તણાવ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય:
$m_{1}$ માટે: $-4T a_{1}$
$m_{2}$ માટે: $-2T a_{2}$
$m_{3}$ માટે: $-T a_{3}$
$m_{4}$ માટે: $-T a_{4}$
આનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $-4T a_{1} - 2T a_{2} - T a_{3} - T a_{4} = 0$.
$-T$ વડે ભાગતા,આપણને સંબંધ મળે છે: $4 a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} + a_{4} = 0$.

(B) $4 \, kg$ ના બ્લોક સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $T$ ધારો. ગરગડી દળરહિત હોવાથી,ગતિશીલ ગરગડીની ગોઠવણીને કારણે $8 \, kg$ ના બ્લોક સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $2T$ થશે.
$8 \, kg$ ના બ્લોક માટે:
$2T = 8 a_2 \implies T = 4 a_2 \dots (i)$
$4 \, kg$ ના બ્લોક માટે:
$4g - T = 4 a_1 \dots (ii)$
ગતિશીલ ગરગડી માટેના અવરોધ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
જો $8 \, kg$ નો બ્લોક $x$ જેટલું અંતર કાપે,તો ગતિશીલ ગરગડી $x$ જેટલું અંતર કાપે છે,અને દોરીની લંબાઈના અવરોધ મુજબ $4 \, kg$ નો બ્લોક $2x$ જેટલું અંતર કાપે છે. તેથી,પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ $a_1 = 2 a_2$ છે.

(C) ધારો કે ઉપરના છેડાનું સ્થાન $(0, y)$ છે અને નીચલા છેડાનું સ્થાન $(x, 0)$ છે. સળિયાની લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી, $x^2 + y^2 = L^2$ મળે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0$ મળે.
ધારો કે ઉપરના છેડાનો વેગ $v = -dy/dt$ (નીચેની તરફ) છે અને નીચલા છેડાનો વેગ $v' = dx/dt$ (જમણી તરફ) છે.
આ કિંમતો મૂકતા, $x v' - y v = 0$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $v' = v(y/x)$.
અહીં $y/x = \tan \theta$ છે, જ્યાં $\theta$ એ સળિયાએ ભોંયતળિયા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે, તેથી $v' = v \tan \theta$ મળે.
જેમ ઉપરનો છેડો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે, તેમ ખૂણો $\theta$ ઘટે છે. જેમ $\theta \to 0$, તેમ $\tan \theta \to 0$, અને પરિણામે $v' \to 0$ થાય.
આમ, નીચલા છેડાની ઝડપ ઘટે છે અને જ્યારે ઉપરનો છેડો જમીનને સ્પર્શે છે ત્યારે તે શૂન્ય થઈ જાય છે.

(C) ધારો કે લિફ્ટ $2\,m/s \uparrow$ ના વેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,એટલે કે $\vec{v}_{L,g} = 2\,m/s \uparrow$.
બ્લોક $A$ લિફ્ટની સાપેક્ષે $2\,m/s \downarrow$ ના વેગથી નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,એટલે કે $\vec{v}_{A,L} = 2\,m/s \downarrow$.
દોરી મોટર શાફ્ટ પર $2\,m/s$ ના દરે વીંટળાઈ રહી છે,જેનો અર્થ છે કે બ્લોક $A$ ની બાજુની દોરીની લંબાઈ $2\,m/s$ ના દરે ઘટી રહી છે. ગરગડી લિફ્ટ સાથે જોડાયેલી હોવાથી,દોરીની લંબાઈ જાળવી રાખવા માટે બ્લોક $B$ નો લિફ્ટની સાપેક્ષે વેગ $(\vec{v}_{B,L})$ $2\,m/s$ ઉપરની તરફ હોવો જોઈએ.
હવે,સાપેક્ષ વેગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{v}_{B,g} = \vec{v}_{B,L} + \vec{v}_{L,g}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}_{B,g} = 2\,m/s \uparrow + 2\,m/s \uparrow = 4\,m/s \uparrow$.

(B) ધારો કે $4 \,kg$ ના બ્લોકનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે। કન્સ્ટ્રેઇન્ટ (બંધન) ને કારણે, $2 \,kg$ ના બ્લોકનો ઢળતી સપાટી પર ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $2a$ થશે。
$4 \,kg$ ના બ્લોક માટે: $4g - 2T = 4a \Rightarrow 2g - T = 2a$ (સમીકરણ $1$)
$2 \,kg$ ના બ્લોક માટે: $T - m_2g \sin(30^{\circ}) = m_2(2a) \Rightarrow T - 2g(0.5) = 2(2a) \Rightarrow T - g = 4a$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(2g - T) + (T - g) = 2a + 4a \Rightarrow g = 6a \Rightarrow a = \frac{g}{6}$.
તેથી, $2 \,kg$ ના બ્લોકનો પ્રવેગ $2a = 2(\frac{g}{6}) = \frac{g}{3}$ થશે.

(D) બ્લોક $Q$ અને પદાર્થ $P$ થી બનેલી સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન સમક્ષિતિજ દિશામાં બદલાતું નથી.
ધારો કે બ્લોક $Q$ ડાબી તરફ $x$ અંતર કાપે છે. પદાર્થ $P$ સમક્ષિતિજ દિશામાં બ્લોક $Q$ ની સાપેક્ષે $L \cos \theta$ અંતર કાપે છે.
તેથી,જમીનની સાપેક્ષે $P$ નું સમક્ષિતિજ દિશામાં સ્થાનાંતર જમણી તરફ $(L \cos \theta - x)$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $M(-x) + m(L \cos \theta - x) = 0$.
$-Mx + mL \cos \theta - mx = 0$.
$mL \cos \theta = (M + m)x$.
$x = \frac{mL \cos \theta}{M + m}$.

(D) ધારો કે ખૂણા $O$ થી છેડા $A$ નું અંતર $x$ છે અને ખૂણા $O$ થી છેડા $B$ નું અંતર $y$ છે.
સળિયાની લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી,આપણી પાસે સંબંધ છે: $x^2 + y^2 = L^2$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$.
આપેલ છે કે છેડો $A$ વેગ $v$ થી ડાબી તરફ ખેંચાય છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -v$ (કારણ કે $x$ ઘટી રહ્યું છે).
ધારો કે છેડા $B$ નો નીચેની તરફનો વેગ $v^{\prime}$ છે,તેથી $\frac{dy}{dt} = -v^{\prime}$ (કારણ કે $y$ ઘટી રહ્યું છે).
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x(-v) + 2y(-v^{\prime}) = 0$
$-xv - yv^{\prime} = 0$
$yv^{\prime} = -xv$
આપણે નીચેની તરફના વેગ $v^{\prime}$ નું મૂલ્ય શોધી રહ્યા હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v^{\prime} = \frac{x}{y} v$.
સળિયા,દીવાલ અને ભોંયતળિયા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $\cot \theta = \frac{x}{y}$ છે.
તેથી,$v^{\prime} = v \cot \theta$.

(B) ધારો કે $m_A = m$ અને $m_B = 2m$. સળિયો $B$ અને બ્લોક $C$ સંતુલનમાં હોવાથી,તેમને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $T$ તેમના વજનને સંતુલિત કરે છે. આકૃતિ પરથી,ગતિશીલ ગરગડી $B$ અને $C$ બંનેને ટેકો આપે છે,તેથી $2T = (m_B + m_C)g$. જો $m_B = m_C = 2m$ લઈએ,તો $2T = 4mg$,એટલે કે $T = 2mg$.
દળ $A$ માટે,ગતિનું સમીકરણ $2T - m_Ag = m_Aa$ છે. $T = 2mg$ મૂકતા,$2(2mg) - mg = ma$,જેનું સાદું રૂપ $3mg = ma$ થાય છે,તેથી $a = 3g = 30 \text{ m/s}^2$.
જોકે,સળિયા $B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ ધ્યાનમાં લેવો પડે. સળિયા $B$ નો પ્રવેગ $a/2$ (નીચેની તરફ) છે. સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a + a/2 = 3a/2$ થાય. $s = \frac{1}{2} a_{rel} t^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$s = 5 \text{ m}$ અને $a = 6 \text{ m/s}^2$ માટે,$t = \sqrt{2s/a_{rel}} = \sqrt{10/9} \approx 1.05 \text{ s}$. આમ,સમય આશરે $1.0 \text{ s}$ છે.

(A) ધારો કે સળિયો $AB$ છે જેની લંબાઈ $l = 1.5 \,m$ છે. છેડા $A$ ને $v_A = 3 \,m/s$ ના અચળ વેગથી શિરોલંબ ઉપર ખેંચવામાં આવે છે. સમય $t$ પર છેડા $A$ ની શિરોલંબ ઊંચાઈ $y = v_A t = 3t$ છે. ધારો કે સમય $t$ પર છેડા $B$ નું $A$ ની નીચેના બિંદુથી આડું અંતર $x$ છે. સળિયાની લંબાઈ $l$ અચળ રહે છે, તેથી પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $x^2 + y^2 = l^2$. $y = 3t$ અને $l = 1.5$ મૂકતા, $x^2 + (3t)^2 = (1.5)^2$, જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 9t^2 = 2.25$ થાય છે. સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x \frac{dx}{dt} + 18t = 0$. છેડા $B$ ની ઝડપ $v_B = |\frac{dx}{dt}| = \frac{18t}{2x} = \frac{9t}{x}$ છે. આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $v_B = v_A = 3 \,m/s$ થાય. તેથી, $\frac{9t}{x} = 3 \Rightarrow x = 3t$. હવે $x = 3t$ ને $x^2 + 9t^2 = 2.25$ માં મૂકતા: $(3t)^2 + 9t^2 = 2.25 \Rightarrow 9t^2 + 9t^2 = 2.25 \Rightarrow 18t^2 = 2.25 \Rightarrow t^2 = \frac{2.25}{18} = \frac{1}{8}$. આમ, $t = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \,s$.