Third Law of Motion and Momentum and Impulse Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બોલનું દળ $m$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $v_1$ છે.
ધાતુના બોલ માટે,અંતિમ વેગ $v_2 = 0$ છે (કારણ કે તે પાછો ફરતો નથી).
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = m(v_2 - v_1) = m(0 - v_1) = -mv_1$ છે.
ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = mv_1$ છે.
રબ્બરના બોલ માટે,અંતિમ વેગ $v_2' = -v_1$ છે (કારણ કે તે સમાન વેગથી પાછો ફરે છે).
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p' = m(v_2' - v_1) = m(-v_1 - v_1) = -2mv_1$ છે.
ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p'| = 2mv_1$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$|\Delta p'| > |\Delta p|$.
તેથી,રબ્બરનો બોલ વેગમાનમાં વધુ ફેરફાર અનુભવે છે.

(A) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોલ સમાન ખૂણે અને ઝડપે પાછો ફરતો હોવાથી,દિવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી,જ્યારે દિવાલને લંબ ઘટક વિરુદ્ધ દિશામાં જાય છે.
ધારો કે દિવાલ $y$-અક્ષ પર છે. પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = (v \cos 60^\circ) \hat{i} - (v \sin 60^\circ) \hat{j}$ છે.
અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = -(v \cos 60^\circ) \hat{i} - (v \sin 60^\circ) \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i) = m(-2v \cos 60^\circ) \hat{i}$ છે.
વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 2mv \cos 60^\circ$ છે.
અહીં $m = 3 \ kg$,$v = 10 \ m/s$,અને $\cos 60^\circ = 0.5$ આપેલ છે.
$|\Delta p| = 2 \times 3 \times 10 \times 0.5 = 30 \ kg \cdot m/s$.

(C) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ એ બળ-સમય આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આલેખ પરથી,$t = 0$ થી $t = 3 \ s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ એ $3 \ s$ પાયો અને $4 \ N$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ$_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ N \cdot s$.
$t = 3 \ s$ થી $t = 4.5 \ s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ એ $1.5 \ s$ પાયો અને $-2 \ N$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે (કારણ કે સમાન ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ $t = 4.5 \ s$ સમયે બળ $-2 \ N$ છે),તેથી ક્ષેત્રફળ$_2 = \frac{1}{2} \times 1.5 \times (-2) = -1.5 \ N \cdot s$.
કુલ વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = 6 - 1.5 = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $p = 4.5 \ kg \cdot m/s$.
ગતિઉર્જા $K = \frac{p^2}{2m} = \frac{(4.5)^2}{2 \times 2} = \frac{20.25}{4} = 5.0625 \ J \approx 5.06 \ J$.

(D) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે: $\Delta P = F \times t$
અહીં $F = 0.2 \ N$ અને $t = 10 \ s$ આપેલ છે,તેથી વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = 0.2 \times 10 = 2 \ kg \cdot m/s$
પ્રારંભિક વેગમાન $P_1 = 10 \ kg \cdot m/s$
અંતિમ વેગમાન $P_2 = P_1 + \Delta P = 10 + 2 = 12 \ kg \cdot m/s$
ગતિ ઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_1 = \frac{P_1^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 5} = \frac{100}{10} = 10 \ J$
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K_2 = \frac{P_2^2}{2m} = \frac{12^2}{2 \times 5} = \frac{144}{10} = 14.4 \ J$
ગતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta K = K_2 - K_1 = 14.4 - 10 = 4.4 \ J$ થાય.

(B) દર સેકન્ડે દિવાલ સાથે અથડાતા પાણીનું દળ $m = A \cdot v \cdot \rho$ છે.
દિવાલ સાથે અથડાતા પાણીનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m \cdot v = Av^2 \rho$ છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,પાણી સમાન વેગ $v$ થી $\theta$ ખૂણે પાછું ફરે છે. દિવાલને લંબ વેગમાનનો ઘટક $P \cos \theta$ છે.
દિવાલ દ્વારા પાણી પર લાગતું બળ (દર સેકન્ડે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર) $\Delta P = P_{final, x} - P_{initial, x}$ છે.
દિવાલ તરફની દિશાને ધન લેતા,પ્રારંભિક વેગમાન ઘટક $P_i \cos \theta$ છે અને અંતિમ વેગમાન ઘટક $-P_i \cos \theta$ છે.
તેથી,પાણી દ્વારા દિવાલ પર લાગતું બળ $F = |\Delta P| = |(-P_i \cos \theta) - (P_i \cos \theta)| = 2P_i \cos \theta$ છે.
$P_i = Av^2 \rho$ મૂકતા,આપણને $F = 2Av^2 \rho \cos \theta$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1$ છે અને અંતિમ વેગ $\vec{v}_2$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_1 = m\vec{v}_1 = -mv \sin \theta \hat{i} - mv \cos \theta \hat{j}$ છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{P}_2 = m\vec{v}_2 = mv \sin \theta \hat{i} - mv \cos \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{P} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1$ છે.
$\Delta \vec{P} = (mv \sin \theta \hat{i} - mv \cos \theta \hat{j}) - (-mv \sin \theta \hat{i} - mv \cos \theta \hat{j})$.
$\Delta \vec{P} = 2mv \sin \theta \hat{i}$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = 2mv \sin \theta$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 60 \ g = 60 \times 10^{-3} \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $v_i = 4 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v_f = -4 \ m/s$ (કારણ કે તે પાછો ફરે છે).
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m \times v_i = (60 \times 10^{-3}) \times 4 = 0.24 \ kg \cdot m/s$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m \times v_f = (60 \times 10^{-3}) \times (-4) = -0.24 \ kg \cdot m/s$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = P_f - P_i = -0.24 - 0.24 = -0.48 \ kg \cdot m/s$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta P| = 0.48 \ kg \cdot m/s$ થાય.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 150 \, g = 0.15 \, kg$.
પ્રારંભિક વેગ $u = -12 \, m/s$ (બેટ તરફની દિશાને ઋણ લેતા).
અંતિમ વેગ $v = +20 \, m/s$ (બેટથી દૂરની દિશાને ધન લેતા).
સમયગાળો $\Delta t = 0.01 \, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (20 - (-12))}{0.01}$
$F = \frac{0.15 \times (20 + 12)}{0.01}$
$F = \frac{0.15 \times 32}{0.01}$
$F = 15 \times 32 = 480 \, N$.
આમ,બેટ દ્વારા લાગતું બળ $480 \, N$ છે.

(C) આઘાત $J$ એ બળ $F$ અને તે લાગતા સમયગાળા $\Delta t$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $J = F \times \Delta t$
આપેલ છે: બળ $F = 50 \, dynes$
$1 \, N = 10^5 \, dynes$ હોવાથી,આપણે બળને $SI$ એકમમાં ફેરવીએ: $F = 50 \times 10^{-5} \, N = 5 \times 10^{-4} \, N$
સમય $\Delta t = 3 \, s$
આઘાત $J = (5 \times 10^{-4} \, N) \times (3 \, s) = 15 \times 10^{-4} \, N \cdot s = 1.5 \times 10^{-3} \, N \cdot s$

(B) આઘાત (Impulse) એટલે પદાર્થના રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર.
પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન,$P_i = MV$.
પદાર્થ વિરુદ્ધ દિશામાં તેટલા જ વેગ $V$ થી પાછો ફરતો હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $P_f = -MV$ થશે.
આઘાત $J = \Delta P = P_f - P_i$.
$J = (-MV) - (MV) = -2MV$.
આમ,પદાર્થ દ્વારા અનુભવાતા આઘાતનું મૂલ્ય $2MV$ છે.

(C) કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે,જે બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર = $F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ
$= \text{ત્રિકોણ } ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \text{લંબચોરસ } CDEF \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \text{લંબચોરસ } FGHI \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$= (\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}) + (\text{પહોળાઈ} \times \text{લંબાઈ}) + (\text{પહોળાઈ} \times \text{લંબાઈ})$
$= (\frac{1}{2} \times 2 \times 6) + (2 \times -3) + (4 \times 3)$
$= 6 - 6 + 12$
$= 12 \, N-s$.

(C) દીવાલ દ્વારા દડા પર આપવામાં આવેલ આઘાત એ દડાના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i$ છે અને અંતિમ વેગ $\vec{v}_f$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m\vec{v}_i$ છે અને અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = m\vec{v}_f$ છે.
દીવાલને લંબ દિશાને $x$-અક્ષ તરીકે લેતા,પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $v_{ix} = v \cos 60^\circ$ (દીવાલ તરફ) અને $v_{iy} = v \sin 60^\circ$ (દીવાલને સમાંતર) છે.
અંતિમ વેગના ઘટકો $v_{fx} = -v \cos 60^\circ$ (દીવાલથી દૂર) અને $v_{fy} = v \sin 60^\circ$ (દીવાલને સમાંતર) છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$.
$\Delta p_x = m(v_{fx} - v_{ix}) = m(-v \cos 60^\circ - v \cos 60^\circ) = -2mv \cos 60^\circ = -2mv(0.5) = -mv$.
$\Delta p_y = m(v_{fy} - v_{iy}) = m(v \sin 60^\circ - v \sin 60^\circ) = 0$.
આઘાતનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = |-mv| = mv$ થાય.

(C) આઘાત (Impulse) એ બળ અને સમયગાળાનો ગુણાકાર છે: $J = F \times \Delta t$.
આપેલ બળ $F = 50 \text{ dynes}$. આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ dyne} = 10^{-5} \text{ N}$,તેથી $F = 50 \times 10^{-5} \text{ N} = 5 \times 10^{-4} \text{ N}$.
સમયગાળો $\Delta t = 3 \text{ s}$ છે.
તેથી,આઘાત $J = (5 \times 10^{-4} \text{ N}) \times (3 \text{ s}) = 15 \times 10^{-4} \text{ N-s} = 1.5 \times 10^{-3} \text{ N-s}$.

(B) કણ પર લાગતો આઘાત $J$ એ બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
આલેખ પરથી, $t = 0$ થી $t = 10\, s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ એ $10\, s$ પાયો અને $20\, N$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે।
ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100\, Ns$.
આ ક્ષેત્રફળ ધન છે, તેથી આ સમયગાળા દરમિયાન વેગ વધે છે.
$t = 10\, s$ પર, વેગ $v_{10}$ એ $m(v_{10} - v_i) = A_1$ દ્વારા મળે છે.
$1 \times (v_{10} - 10) = 100 \implies v_{10} = 110\, ms^{-1}$.
$t = 10\, s$ થી $t = 20\, s$ સુધી, બળ $-10\, N$ છે (એક લંબચોરસ).
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = (20 - 10) \times (-10) = 10 \times (-10) = -100\, Ns$.
બળ ઋણ હોવાથી, $t = 10\, s$ પછી વેગ ઘટે છે.
તેથી, મહત્તમ વેગ $t = 10\, s$ પર પ્રાપ્ત થાય છે, જે $110\, ms^{-1}$ છે.

(C) કણ પર લાગતો આઘાત $J$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta p = mv_f - mv_i$ જેટલો હોય છે. કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી $v_i = 0$,તેથી $mv_f = \int_{0}^{T} F(t) dt$.
આપેલ બળનું સમીકરણ મૂકતા:
$mv_f = \int_{0}^{T} F_0 \left[ 1 - \left( \frac{2t - T}{T} \right)^2 \right] dt$.
ધારો કે $u = \frac{2t - T}{T}$,તેથી $du = \frac{2}{T} dt$,અથવા $dt = \frac{T}{2} du$.
જ્યારે $t = 0, u = -1$. જ્યારે $t = T, u = 1$.
$mv_f = F_0 \int_{-1}^{1} (1 - u^2) \frac{T}{2} du = \frac{F_0 T}{2} \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1}$.
$mv_f = \frac{F_0 T}{2} \left[ (1 - 1/3) - (-1 + 1/3) \right] = \frac{F_0 T}{2} \left[ 2/3 + 2/3 \right] = \frac{F_0 T}{2} \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{2F_0 T}{3}$.
તેથી,$v_f = \frac{2F_0 T}{3m}$.

(C) આઘાત $J$ એ સરેરાશ બળ $F$ અને તે બળ જેટલા સમય $\Delta t$ માટે લાગે છે તેના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $J = F \cdot \Delta t$।
પ્રથમ કિસ્સામાં,આઘાત $J = F \cdot \Delta t$ છે।
બીજા કિસ્સામાં,બળ $F$ સમાન રહે છે,પરંતુ સંપર્ક સમય બમણો થાય છે,એટલે કે $\Delta t' = 2 \Delta t$।
તેથી,નવો આઘાત $J'$ એ $J' = F \cdot (2 \Delta t) = 2(F \cdot \Delta t) = 2J$ દ્વારા મળે છે।
આમ,નવો આઘાત એ મૂળ આઘાત કરતા બમણો છે।

(A) કોઈપણ પદાર્થનું વેગમાન તેના દળ અને વેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે $(p = mv)$.
અથડામણ પહેલાં,ડિસ્ક પૂર્વ દિશામાં $1 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે. તેથી,તેના પ્રારંભિક વેગમાનનો પૂર્વ દિશાનો ઘટક $p_{i,E} = 4 \ kg \times 1 \ m/s = 4 \ kg \cdot m/s$ છે.
અથડામણ પછી,ડિસ્ક ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરે છે. પૂર્વ દિશામાં તેનો કોઈ વેગનો ઘટક ન હોવાથી,તેના અંતિમ વેગમાનનો પૂર્વ દિશાનો ઘટક $p_{f,E} = 0 \ kg \cdot m/s$ છે.
વેગમાનના પૂર્વ દિશાના ઘટકમાં થતો ફેરફાર $\Delta p_E = p_{f,E} - p_{i,E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta p_E = 0 - 4 = -4 \ kg \cdot m/s$ મળે છે.

(C) આઘાત $J$ એ રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર બરાબર હોય છે,$\Delta p = m(v_f - v_i)$.
આલેખ પરથી,ગતિ અચળ વેગ ધરાવતા વિભાગોની બનેલી છે.
સમયગાળા $t = 0$ થી $t = 2 \; s$ માટે,સ્થાનાંતર $2 \; m$ છે. તેથી,પ્રારંભિક વેગ $v_i = \frac{2 \; m}{2 \; s} = 1 \; m/s$.
સમયગાળા $t = 2 \; s$ થી $t = 4 \; s$ માટે,સ્થાનાંતર $-2 \; m$ છે. તેથી,અંતિમ વેગ $v_f = \frac{-2 \; m}{2 \; s} = -1 \; m/s$.
પદાર્થનું દળ $m = 0.4 \; kg$ છે.
દરેક અથડામણ સમયે ($t = 2, 6, 10, 14 \; s$ પર) આઘાત $J$ નીચે મુજબ મળે:
$J = m(v_f - v_i) = 0.4 \; kg \times (-1 \; m/s - 1 \; m/s) = 0.4 \times (-2) = -0.8 \; kg \cdot m/s$.
આઘાતનું મૂલ્ય $|J| = |-0.8| = 0.8 \; N \cdot s$ થાય.

(D) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p}$ એ આઘાત $\vec{J} = \int \vec{F} dt$ જેટલો હોય છે. આ દરેક ઘટક માટે બળ-સમયના આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$x$-ઘટક માટે: $\Delta p_x = \text{ક્ષેત્રફળ} = 30\,N \times 0.1\,s = 3\,N\cdot s$.
$y$-ઘટક માટે: $\Delta p_y = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 80\,N \times 0.1\,s = 4\,N\cdot s$.
$z$-ઘટક માટે: $\Delta p_z = \text{ક્ષેત્રફળ} = -50\,N \times 0.1\,s = -5\,N\cdot s$.
વેગમાનમાં થતા કુલ ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta p = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2 + (\Delta p_z)^2}$ છે.
$\Delta p = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,kg\,m/s$.

(B) દડાનું દળ $m = 40 \ g = 0.04 \ kg$ છે.
અથડામણ પહેલાનો પ્રારંભિક વેગ $v_i = -10 \ m/s$ છે (નીચેની દિશાને ઋણ લેતા).
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી (યાંત્રિક ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી),અથડામણ પછીનો અંતિમ વેગ $v_f = +10 \ m/s$ થશે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.04 \times (10 - (-10)) = 0.04 \times 20 = 0.8 \ kg \cdot m/s$ છે.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,આઘાત $J = F_{avg} \times \Delta t = \Delta p$.
અહીં $F_{avg} = 16 \ N$ આપેલ છે,તેથી $16 \times \Delta t = 0.8$.
$\Delta t = \frac{0.8}{16} = 0.05 \ s$.
મિલીસેકન્ડમાં ફેરવતા,$\Delta t = 0.05 \times 1000 = 50 \ ms$.

(C) ધારો કે દોરીમાં ઉદ્ભવતું આઘાતી તણાવ $J$ છે। દરેક કણ દ્વારા દોરીની દિશામાં ગોળા પર લાગતું આઘાતી બળ $m u \cos 60^{\circ}$ છે।
બંને કણો વિરુદ્ધ દિશામાંથી એકસાથે અથડાતા હોવાથી, દોરીની દિશામાં ગોળા પર લાગતું કુલ આઘાતી બળ $2 \times (m u \cos 60^{\circ})$ થશે।
શિરોલંબ દિશામાં (દોરીની દિશામાં) આઘાત-વેગમાનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$J - 2mu \cos 60^{\circ} = 0$ (કારણ કે ગોળો દોરી દ્વારા બાંધેલો છે અને શિરોલંબ દિશામાં ગતિ કરી શકતો નથી)।
$J = 2mu \times \frac{1}{2} = mu$.
આમ, દોરીમાં ઉદ્ભવતું આઘાતી તણાવ $mu$ છે।

(C) રેખીય વેગમાન સદિશ $\vec P = P_x \hat i + P_y \hat j = (2 \cos t) \hat i + (2 \sin t) \hat j$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $\vec F$ એ રેખીય વેગમાનનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec F = \frac{d\vec P}{dt}$.
$\vec F = \frac{d}{dt} (2 \cos t \hat i + 2 \sin t \hat j) = -2 \sin t \hat i + 2 \cos t \hat j$.
$\vec F$ અને $\vec P$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) કરીએ: $\vec F \cdot \vec P = (-2 \sin t)(2 \cos t) + (2 \cos t)(2 \sin t) = -4 \sin t \cos t + 4 \sin t \cos t = 0$.
કારણ કે અદિશ ગુણાકાર $\vec F \cdot \vec P = |\vec F| |\vec P| \cos \theta = 0$ છે,તેથી $\cos \theta = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^\circ$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \ ms^{-1}$.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ બળ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$\Delta p = J = \int F \, dt = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
ક્ષેત્રફળ = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $(0-2 \ s)$ + લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(2-4 \ s)$ + સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $(4-4.5 \ s)$ + લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(4.5-6.5 \ s)$.
ક્ષેત્રફળ = $\left(\frac{1}{2} \times 2 \times 4\right) + (2 \times 4) + \left(\frac{1}{2} \times (4 + 2.5) \times 0.5\right) + (2 \times 2.5)$.
ક્ષેત્રફળ = $4 + 8 + 1.625 + 5 = 18.625 \ N \cdot s$.
$\Delta p = m(v - u) = 18.625$ હોવાથી,
$2(v - 5) = 18.625$.
$v - 5 = 9.3125$.
$v = 14.3125 \ ms^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકનો જવાબ $14.25$ છે.

(A) દીવાલ દ્વારા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર લાગતો આઘાત $\vec{I}$ એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે: $\vec{I} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$.
ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની પ્રારંભિક દિશા ધન ($+x$ દિશા) છે.
કિસ્સો $A$: પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = mv \hat{i}$,અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = -mv \hat{i}$. આઘાત $I_A = |(-mv) - (mv)| = |-2mv| = 2mv$.
કિસ્સો $B$: પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = mv \hat{i}$,અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = 0$. આઘાત $I_B = |0 - mv| = |-mv| = mv$.
કિસ્સો $C$: પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = mv \hat{i}$,અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = \frac{mv}{2} \hat{i}$. આઘાત $I_C = |\frac{mv}{2} - mv| = |-\frac{mv}{2}| = \frac{mv}{2}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $2mv > mv > \frac{mv}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $I_A > I_B > I_C$.

(A) દરેક મણકાનો ત્રાજવા પર અથડાતા પહેલાનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
અહીં $g = 10 \ m/s^2$ અને $h = 5 \ m$ આપેલ છે, તેથી $v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 \ m/s$.
મણકા તેમની મૂળ ઊંચાઈ પર પાછા ઉછળે છે, તેથી અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક છે અને અથડામણ પછીનો વેગ પણ $v = 10 \ m/s$ ઉપરની તરફ હશે.
એક મણકા માટે વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = m(v - (-v)) = 2mv$ છે.
અહીં $m = 15 \ g = 0.015 \ kg$ આપેલ છે, તેથી $\Delta p = 2 \times 0.015 \times 10 = 0.3 \ kg \ m/s$.
$n = 100 \ \text{મણકા પ્રતિ સેકન્ડ}$ દ્વારા ત્રાજવા પર લાગતું બળ (વેગમાનમાં ફેરફારનો દર) $F = n \times \Delta p = 100 \times 0.3 = 30 \ N$ છે.
કાંટાને શૂન્ય પર રાખવા માટે, બીજા પલ્લામાં મૂકેલા દળ $M$ નું વજન આ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $Mg = F$.
$M \times 10 = 30 \implies M = 3 \ kg$.

(D) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે.
પુસ્તક દ્વારા ટેબલ પર લાગતું ક્રિયાબળ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
ટેબલ દ્વારા પુસ્તક પર લાગતું પ્રતિક્રિયાબળ ઉપરની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આ બંને બળો મૂલ્યમાં સમાન છે અને એક જ રેખા પર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ અથવા $\pi \ rad$ છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઘોડા દ્વારા ગાડા પર લગાડવામાં આવતું બળ $(T)$ અને ગાડા દ્વારા ઘોડા પર લગાડવામાં આવતું બળ $(T)$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. આ બળો અલગ-અલગ પદાર્થો પર કાર્ય કરે છે,તેથી તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરતા નથી.
ગાડાને આગળ વધવા માટે,ઘોડા દ્વારા ગાડા પર લગાડવામાં આવતું આગળનું બળ $(T)$ એ ગાડા પર લાગતા વિરોધી ઘર્ષણ બળ $(f_w)$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
ઘોડાને આગળ વધવા માટે,ઘોડો તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે,અને જમીન ઘોડા પર આગળની તરફ ઘર્ષણ બળ $(f_M)$ લગાડે છે. જો આ આગળનું ઘર્ષણ બળ $(f_M)$ એ ગાડા દ્વારા લગાડવામાં આવતા પાછળના તણાવ $(T)$ કરતા વધારે હોય,તો ઘોડો આગળ વધે છે.
તેથી,એ વિધાન કે ઘોડાનું ગાડા પરનું બળ એ ગાડાનું ઘોડા પરના બળ જેટલું જ મજબૂત હોય છે,તે સાચું છે,કારણ કે તે ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીનું વર્ણન કરે છે.

(A) હવાઈ અવરોધ ન હોવાથી,સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી,તેથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
ધારો કે જમીન પર અંતિમ ઝડપ $V_1$ છે.
$V \cos 30^{\circ} = V_1 \cos 45^{\circ}$
$V \frac{\sqrt{3}}{2} = V_1 \frac{1}{\sqrt{2}}$
$V_1 = V \sqrt{\frac{3}{2}}$
આઘાત $J$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે: $\vec{J} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$.
સમક્ષિતિજ વેગમાન અચળ હોવાથી,આઘાત ફક્ત ઉર્ધ્વ દિશામાં જ લાગે છે.
$J = |p_{fy} - p_{iy}| = |m(-V_1 \sin 45^{\circ}) - m(V \sin 30^{\circ})|$
$J = m |V \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + V \cdot \frac{1}{2}|$
$J = m |V \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{V}{2}| = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1) mV$.

(C) જ્યારે બ્લોકને સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે જ્યાં સુધી દોરી ખેંચાઈ ન જાય.
બ્લોક દ્વારા કાપવામાં આવેલ શિરોલંબ અંતર $h = 5\, m$ છે.
દોરી ખેંચાય તે પહેલાં બ્લોકનો વેગ $v_i$ ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ દ્વારા મળે છે:
$v_i = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10\, m/s$ (શિરોલંબ નીચેની તરફ).
જ્યારે દોરી ખેંચાઈ જાય છે,ત્યારે દોરીમાં લાગતું આઘાતી તણાવ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે,જે વેગના શિરોલંબ ઘટકને ત્વરિત શૂન્ય કરી દે છે.
આમ,અંતિમ શિરોલંબ વેગ $v_f = 0$ થાય છે.
આઘાત $I$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$I = m(v_f - v_i) = 2(0 - 10) = -20\, N-s$.
આમ,આઘાતનું મૂલ્ય $20\, N-s$ છે.

(A) કણનું દળ $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$ છે.
સ્થાન-સમયના આલેખ પરથી,વેગ $v$ એ રેખાનો ઢાળ છે.
$t < 5 \ s$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $v_i$ એ $(0, 20)$ થી $(5, 10)$ સુધીની રેખાનો ઢાળ છે:
$v_i = \frac{10 - 20}{5 - 0} = \frac{-10}{5} = -2 \ m/s$.
$t > 5 \ s$ માટે,અંતિમ વેગ $v_f$ એ $(5, 10)$ થી $(15, 20)$ સુધીની રેખાનો ઢાળ છે:
$v_f = \frac{20 - 10}{15 - 5} = \frac{10}{10} = 1 \ m/s$.
આઘાત $I$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$I = \Delta p = m(v_f - v_i) = 0.1 \times [1 - (-2)] = 0.1 \times 3 = 0.3 \ N-s$.

(C) આઘાત $J$ એ બળ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આઘાત $J = \int F \, dt = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
$t=0$ થી $t=2 \ s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $10 \ N \times 2 \ s = 20 \ N \cdot s$ છે.
$t=2$ થી $t=3 \ s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ $-10 \ N \times 1 \ s = -10 \ N \cdot s$ છે.
કુલ આઘાત $J_{total} = 20 - 10 = 10 \ N \cdot s$.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,$J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
અહીં $m = 2 \ kg$ અને $v_i = 0$ આપેલ છે,તેથી $10 = 2(v_f - 0)$,જે આપણને $v_f = 5 \ m/s$ આપે છે.
બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 - 0 = 25 \ J$.

(B) ધારો કે ટ્રેન $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $v_A$ અને $v_B$ છે,જ્યાં $v_A > v_B$ છે.
જ્યારે $m$ દળનું પેકેટ $A$ થી $B$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે તે ટ્રેન $B$ પર $m v_A$ જેટલું આડું વેગમાન લાવે છે.
$v_A > v_B$ હોવાથી,પેકેટ ટ્રેન $B$ પર તેની ગતિની દિશામાં આઘાતી બળ લગાડે છે,જેના કારણે $B$ પ્રવેગિત થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,$B$ થી $A$ માં સ્થાનાંતરિત પેકેટ $m v_B$ જેટલું વેગમાન ધરાવે છે. $v_B < v_A$ હોવાથી,આ પેકેટ ટ્રેન $A$ પર મંદક બળ લગાડે છે.
તેથી,ટ્રેન $B$ વેગમાન મેળવે છે (પ્રવેગિત થાય છે) અને ટ્રેન $A$ વેગમાન ગુમાવે છે (મંદ પડે છે).

(C) આપેલ છે: દળ $m = 140\,g = 0.140\,kg$.
પ્રારંભિક વેગ $v_i = 39.0\,m/s$.
અંતિમ વેગ $v_f = -39.0\,m/s$ (વિરુદ્ધ દિશા).
અથડામણનો સમય $\Delta t = 1.20\,ms = 1.20 \times 10^{-3}\,s$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = m(v_f - v_i)$.
$\Delta p = 0.140 \times (-39.0 - 39.0) = 0.140 \times (-78.0) = -10.92\,kg\cdot m/s$.
સરેરાશ બળ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
$F = \frac{-10.92}{1.20 \times 10^{-3}} = -9100\,N$.
દડા પર લાગતા સરેરાશ બળનું મૂલ્ય $9100\,N$ છે.

(B) કોઈ પદાર્થ દ્વારા મેળવેલ આઘાત $J$ એ તેના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે,જે $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ દળના કણ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $v_i = (3\hat{i} + 2\hat{j}) \ m/s$.
અંતિમ વેગ $v_f = (-2\hat{i} + \hat{j}) \ m/s$.
$m$ દ્વારા મેળવેલ આઘાત $= m(v_f - v_i) = m[(-2\hat{i} + \hat{j}) - (3\hat{i} + 2\hat{j})] = m[-5\hat{i} - \hat{j}]$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$M$ દળ દ્વારા મેળવેલ આઘાત એ $m$ દળ દ્વારા મેળવેલ આઘાત જેટલો અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે:
$M$ દ્વારા મેળવેલ આઘાત $= -(m \text{ દ્વારા મેળવેલ આઘાત}) = -m[-5\hat{i} - \hat{j}] = m[5\hat{i} + \hat{j}]$.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે $m$ દ્વારા મેળવેલ આઘાત $m[-5\hat{i} - \hat{j}]$ છે.

(D) આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર (આઘાત) એ લાગુ પાડેલા બળ અને તે સમયગાળાના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$\Delta P = F \times \Delta t$
આપેલ છે:
બળ $(F)$ = $30 \, N$
સમયગાળો $(\Delta t)$ = $2 \, sec$
તેથી,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર:
$\Delta P = 30 \, N \times 2 \, sec = 60 \, kg \cdot m/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ન્યુટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. આ નિયમ બે પદાર્થો વચ્ચેની તમામ આંતરક્રિયાઓને લાગુ પડે છે,પછી ભલે અથડામણ સીધી હોય કે ત્રાંસી.
બંને કિસ્સાઓ $(i)$ અને $(ii)$ માં,જ્યારે પદાર્થ $A$ અને પદાર્થ $B$ અથડાય છે,ત્યારે તેઓ એકબીજા પર બળ લગાડે છે. $A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $(F_{AB})$ હંમેશા $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતા બળ $(F_{BA})$ ના મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે,એટલે કે $F_{AB} = -F_{BA}$.
તેથી,તેઓ બંને પરિસ્થિતિઓમાં એકબીજા પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે.

(B) આઘાત $J$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta p = m(v_f - v_i)$ જેટલો હોય છે.
સ્થાન-સમયના આલેખ પરથી,$0 < t < 2\, s$ માટે વેગ $v_i$ એ રેખાનો ઢાળ છે:
$v_i = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2\, m/s$.
$t > 2\, s$ માટે,સ્થાન અચળ $(x = 4\, m)$ છે,તેથી અંતિમ વેગ $v_f = 0\, m/s$ થાય.
$t = 2\, s$ સમયે આઘાત:
$J = m(v_f - v_i) = 0.1\, kg \times (0 - 2)\, m/s = -0.2\, kg\, m/s$.

(B) આપેલ છે કે,દળ $m = 2\, kg$ અને સ્થાનાંતર $s = (2t^3 + 2)\, m$.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરના સમયની સાપેક્ષે ફેરફારનો દર છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 + 2) = 6t^2\, m/s$.
$t = 0\, s$ સમયે,પ્રારંભિક વેગ $v_i = 6(0)^2 = 0\, m/s$.
$t = 1\, s$ સમયે,અંતિમ વેગ $v_f = 6(1)^2 = 6\, m/s$.
આઘાત $J$ એ રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta P$ જેટલો હોય છે:
$J = \Delta P = m(v_f - v_i)$.
કિંમતો મૂકતા:
$J = 2\, kg \times (6\, m/s - 0\, m/s) = 2 \times 6 = 12\, N-s$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 500\, g = 0.5\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 15\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = -15\, m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે),અને સમય $\Delta t = 0.01\, s$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta P = m(v - u) = 0.5 \times (-15 - 15) = 0.5 \times (-30) = -15\, kg\cdot m/s$.
દડા પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = |\frac{\Delta P}{\Delta t}| = |\frac{-15}{0.01}| = 1500\, N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બેટ પર લાગતું બળ દડા પર લાગતા બળ જેટલું જ હોય છે,જે $1500\, N$ છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા બળો હંમેશા અલગ-અલગ પદાર્થો પર લાગે છે અને તે મૂલ્યમાં સમાન તથા દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
$1$. $\vec F_4$ એ ફુગ્ગાનું વજન દર્શાવે છે,જે પૃથ્વી દ્વારા ફુગ્ગા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે. આ બળની પ્રતિક્રિયા એ ફુગ્ગા દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે પૃથ્વી પર લાગે છે.
$2$. તેથી,$\vec F_4$ અને ફુગ્ગા દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડી બનાવે છે.
$3$. અન્ય વિકલ્પો ખોટા છે કારણ કે $\vec F_1, \vec F_2, \vec F_3$ એ એક જ પદાર્થ (ફુગ્ગા) પર લાગતા સંપર્ક બળો છે અને તે એકબીજા સાથે ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડી બનાવતા નથી.

(B) મણકાઓની ગતિ માટે ઉપલબ્ધ કુલ લંબાઈ $L_{eff} = L - 2nr$ છે,કારણ કે $n$ મણકાઓમાંથી દરેક $2r$ જેટલી લંબાઈ રોકે છે.
જ્યારે એક મણકો $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે અને આધાર સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે,ત્યારે એક અથડામણ માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ છે.
બે આધાર વચ્ચે મુસાફરી કરીને પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = \frac{2(L - 2nr)}{v}$ છે.
દરેક આધાર પર લાગતું સરેરાશ બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv}{2(L - 2nr) / v} = \frac{mv^2}{L - 2nr}$.

(B) સપાટી પર પ્રવાહીના પ્રવાહ દ્વારા લાગતું બળ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $t$ સમયમાં સપાટી સાથે અથડાતા પાણીનું દળ $M$ છે.
પાણીના પ્રવાહનો વેગ $v$ છે અને સપાટી સાથે અથડાયા પછી તે સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = v - 0 = v$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m = \frac{M}{L}$ તરીકે આપેલ છે,જ્યાં $L$ એ પાણીના પ્રવાહની લંબાઈ છે.
$t$ સમયમાં,સપાટી સાથે અથડાતા પાણીના પ્રવાહની લંબાઈ $L = v \cdot t$ છે.
તેથી,$t$ સમયમાં સપાટી સાથે અથડાતા પાણીનું દળ $M = m \cdot L = m \cdot v \cdot t$ છે.
બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારનો દર છે: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{M \cdot v}{t}$.
બળના સમીકરણમાં $M = m \cdot v \cdot t$ મૂકતા:
$F = \frac{(m \cdot v \cdot t) \cdot v}{t} = m \cdot v^2$.
આમ,સપાટી પર લાગતું બળ $mv^2$ છે.

(A) આઘાત (Impulse) એ પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આઘાત $J = \Delta p = p_f - p_i$.
અહીં પ્રારંભિક વેગ $v_1$ અને અંતિમ વેગ $v_2$ આપેલ છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = m v_1$ અને અંતિમ વેગમાન $p_f = m v_2$ થાય.
તેથી,આઘાત $J = m v_2 - m v_1 = m(v_2 - v_1)$.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સરેરાશ બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
સૂત્ર: $F_{ave} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
આપેલ છે:
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = 50 \ N-s$ (કારણ કે હથોડાને $50 \ N-s$ વેગમાનમાંથી સ્થિર કરવામાં આવે છે).
સમયગાળો $\Delta t = 0.25 \ s$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_{ave} = \frac{50}{0.25} = \frac{5000}{25} = 200 \ N$.
તેથી,જરૂરી સરેરાશ બળ $200 \ N$ છે.

(C) વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા આપવામાં આવેલા આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે.
દડા પર લાગતું બળ તેનું વજન છે,$F = mg$,જે નીચેની તરફ લાગે છે.
આ બળ જેટલા સમય માટે લાગે છે તે કુલ ઉડ્ડયન સમય છે,$T = \frac{2v \sin \theta}{g}$.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ આઘાત જેટલો હોય છે,જે અચળ બળ અને સમયગાળાનો ગુણાકાર છે.
$\Delta p = F \times T = (mg) \times T$.
તેથી,વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર એ દડાના વજન અને કુલ ઉડ્ડયન સમયના ગુણાકાર જેટલો છે.

(C) સરેરાશ બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
અહીં દળ $m = 140\, g = 0.140\, kg$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 39.0\, m/s$ (ધારો કે આ ધન દિશામાં છે).
અંતિમ વેગ $v_2 = -39.0\, m/s$ (વિરુદ્ધ દિશામાં).
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = m(v_2 - v_1) = 0.140 \times (-39.0 - 39.0) = 0.140 \times (-78.0) = -10.92\, kg \cdot m/s$.
અથડામણનો સમય $\Delta t = 1.20\, ms = 1.20 \times 10^{-3}\, s$.
સરેરાશ બળનું મૂલ્ય $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{10.92}{1.20 \times 10^{-3}} = \frac{10.92}{0.0012} = 9100\, N$.

(C) પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_i = v_0 \cos 37^{\circ} \hat{i} + v_0 \sin 37^{\circ} \hat{j} = \frac{4}{5} v_0 \hat{i} + \frac{3}{5} v_0 \hat{j}$ છે.
અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v}_f = -(\frac{3}{4} v_0) \cos 53^{\circ} \hat{i} + (\frac{3}{4} v_0) \sin 53^{\circ} \hat{j}$ છે.
$\cos 53^{\circ} = \frac{3}{5}$ અને $\sin 53^{\circ} = \frac{4}{5}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\vec{v}_f = -\frac{3}{4} v_0 (\frac{3}{5}) \hat{i} + \frac{3}{4} v_0 (\frac{4}{5}) \hat{j} = -\frac{9}{20} v_0 \hat{i} + \frac{3}{5} v_0 \hat{j}$ મળે છે.
આઘાત $\vec{J}$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે: $\vec{J} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$.
$\vec{J} = m [(-\frac{9}{20} v_0 \hat{i} + \frac{3}{5} v_0 \hat{j}) - (\frac{4}{5} v_0 \hat{i} + \frac{3}{5} v_0 \hat{j})]$.
$\vec{J} = m [(-\frac{9}{20} - \frac{16}{20}) v_0 \hat{i} + (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}) v_0 \hat{j}] = m [-\frac{25}{20} v_0 \hat{i}] = -\frac{5}{4} mv_0 \hat{i}$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ $m_1$ દ્વારા પદાર્થ $m_2$ પર લાગતું બળ અને પદાર્થ $m_2$ દ્વારા પદાર્થ $m_1$ પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
ધારો કે બળનું મૂલ્ય $F$ છે.
પદાર્થ $m_2$ માટે,બળ $F = m_2 a_2$ છે.
પદાર્થ $m_1$ માટે,બળ $F = m_1 a_1$ છે.
બંને બળોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,$m_1 a_1 = m_2 a_2$ થાય.
તેથી,પદાર્થ $m_1$ નો પ્રવેગ $a_1 = \frac{m_2 a_2}{m_1}$ મળે છે.

(C) પાણી દ્વારા બોલ પર લાગતું આઘાત બળ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$
અહીં,$\Delta p$ એ $\Delta t$ સમય દરમિયાન $v$ ઝડપે બોલ સાથે અથડાતા $\Delta m$ દળના પાણીના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે. અથડામણ પછી પાણી સ્થિર થઈ જતું હોવાથી,તેનો અંતિમ વેગ $0$ છે.
તેથી,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = \Delta m \cdot v - 0 = \Delta m \cdot v$ થાય.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{\Delta m \cdot v}{\Delta t} = v \left( \frac{\Delta m}{\Delta t} \right)$
જ્યાં $\frac{\Delta m}{\Delta t}$ એ નોઝલમાં પાણીના પ્રવાહનો દર છે. બોલ હવામાં સંતુલિત અવસ્થામાં હોવાથી,પાણી દ્વારા લાગતું ઉપરની તરફનું બળ બોલના વજન બળને સંતુલિત કરે છે:
$F = mg$
$F$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$v \left( \frac{\Delta m}{\Delta t} \right) = mg$
પ્રવાહના દર માટે ઉકેલતા:
$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{mg}{v}$

(A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે ઘોડો તેના ખરી વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે,ત્યારે જમીન ઘોડા પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે. જમીન દ્વારા લાગતું આ પ્રતિક્રિયા બળ જ ઘોડાને આગળ વધવા માટે જવાબદાર છે.