The Common Forces and Equilibrium of Concurrent Forces Questions in Gujarati

(D) ત્રણ બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,તેઓએ એક બંધ ત્રિકોણ બનાવવો જોઈએ. ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે ત્રણ બળો $F_1, F_2,$ અને $F_3$ છે. પરિણામી બળ શૂન્ય થવાની શરત $F_1 + F_2 \geq F_3$ છે (જ્યાં $F_3$ સૌથી મોટું બળ છે).
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $10 + 10 = 20 \geq 10$ (શક્ય છે)
$B$: $10 + 10 = 20 \geq 20$ (શક્ય છે)
$C$: $10 + 20 = 30 \geq 23$ (શક્ય છે)
$D$: $10 + 20 = 30 < 40$ (શક્ય નથી)
તેથી,બળોનો જે સમૂહ શૂન્ય પરિણામી બળ આપી શકતો નથી તે $10, 20, 40$ છે.

(D) ત્રણ બળોની અસર હેઠળ પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કોઈપણ એક બળનું મૂલ્ય બાકીના બે બળોના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય અને બાકીના બે બળોના તફાવત કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોય.
અહીં,બળો $F_1 = 50 \, N$,$F_2 = 30 \, N$ અને $F_3 = 15 \, N$ છે.
બે નાના બળોનો સરવાળો $30 \, N + 15 \, N = 45 \, N$ છે.
કેમ કે $50 \, N > 45 \, N$,આ ત્રણ બળો બંધ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી,જેનો અર્થ છે કે તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
પરિણામી બળ શૂન્ય ન હોવાથી,પદાર્થ પર ચોખ્ખું બળ લાગશે અને ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ તે પ્રવેગ સાથે ગતિ કરશે.

(D) પદાર્થ સ્થિર રહે તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સંતુલનની શરત મુજબ,$\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 = 0$.
અહીં $\vec F_1 = 4\hat i$ અને $\vec F_2 = 6\hat j$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $4\hat i + 6\hat j + \vec F_3 = 0$.
તેથી,$\vec F_3 = -(4\hat i + 6\hat j) = -4\hat i - 6\hat j$.

(A) જ્યારે સમાન મૂલ્યના $N$ બળો એક બિંદુ પર કાર્ય કરે છે અને તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય,ત્યારે કોઈપણ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\theta = \frac{360^\circ}{N} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$
જો આ ત્રણ સદિશોને ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો તેઓ એક બંધ લૂપ બનાવે છે. સદિશોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા $120^\circ$ હોવાથી,આ સદિશો દ્વારા બનતા ત્રિકોણના દરેક આંતરિક ખૂણા $60^\circ$ થશે,પરિણામે તે સમબાજુ ત્રિકોણ બનશે.

(C) લામીના પ્રમેય મુજબ,સંતુલનમાં રહેલા ત્રણ બળો માટે:
$\frac{P}{\sin \theta_R} = \frac{Q}{\sin \theta_P} = \frac{R}{\sin \theta_Q}$
આકૃતિ પરથી,$P$ ની સામેનો ખૂણો $\theta_1$ છે,$Q$ ની સામેનો ખૂણો $\theta_2$ છે,અને $R$ ની સામેનો ખૂણો $150^\circ$ છે.
તેથી,$\frac{P}{\sin \theta_1} = \frac{R}{\sin 150^\circ}$.
આપેલ છે કે $P = 1.9318 \, kg \, wt$ અને $\sin \theta_1 = 0.9659$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.9318}{0.9659} = \frac{R}{\sin 150^\circ}$
કારણ કે $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5$.
$2 = \frac{R}{0.5}$
$R = 2 \times 0.5 = 1 \, kg \, wt$.

(A) લામીના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ બિંદુ પર કાર્ય કરતા ત્રણ બળો સંતુલનમાં હોય,તો દરેક બળ બાકીના બે બળો વચ્ચેના ખૂણાના સાઈન (sine) ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ બળોની સિસ્ટમ $P, Q$ અને $R$ માટે,જેની સામેના ખૂણા અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે,પ્રમેય મુજબ:
$\frac{P}{\sin \alpha} = \frac{Q}{\sin \beta} = \frac{R}{\sin \gamma}$

(B) કોઈ પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતા તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum \vec{F} = 0$.
જો માત્ર બે જ બળો હોય,તો તેઓ એકબીજાને નાબૂદ કરવા માટે સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેઓ રેખીય (collinear) હોવા જોઈએ.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે બળો બિન-રેખીય છે,તેથી બે બળો સંતુલનની સ્થિતિને સંતોષી શકતા નથી.
તેથી,સદિશોનો બંધ ત્રિકોણ બનાવવા માટે ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિન-રેખીય બળોની જરૂર પડે છે,જેથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય.
આનું ઉદાહરણ $120^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતા ત્રણ સમાન બળો છે.
આમ,બળોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(B) બિંદુ $O$ પર,બળો સંતુલનમાં છે. દોરી $OA$ માં તણાવ $T$ ને આડા અને ઊભા ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
આડો ઘટક: $T \sin(30^{\circ}) = 30 \, N$
$T \times (1/2) = 30 \, N \implies T = 60 \, N$
ઊભો ઘટક: $T \cos(30^{\circ}) = W$
$60 \times (\sqrt{3}/2) = W \implies W = 30 \sqrt{3} \, N$
આમ,વજન $W = 30 \sqrt{3} \, N$ અને તણાવ $T = 60 \, N$ છે.

(C) બહુવિધ સદિશોનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,જ્યારે તેમને એકબીજાની પાછળ ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તેઓ એક બંધ બહુકોણ બનાવતા હોવા જોઈએ.
જો બળોના મૂલ્યો અલગ-અલગ હોય,તો તેઓ માત્ર બે સદિશો સાથે બંધ બહુકોણ બનાવી શકતા નથી,કારણ કે અલગ-અલગ મૂલ્યના બે સદિશો એકબીજાને નાબૂદ કરી શકતા નથી (તેમનો સરવાળો શૂન્યતર રહેશે).
અલગ-અલગ મૂલ્યના ત્રણ સદિશો સાથે,એવો ત્રિકોણ બનાવવો શક્ય છે કે જેથી તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય (ઉદાહરણ તરીકે,યોગ્ય ખૂણે કાર્ય કરતા $3 \ N$,$4 \ N$ અને $5 \ N$ મૂલ્યના બળો).
તેથી,શૂન્ય પરિણામી બળ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી અલગ-અલગ મૂલ્યના બળોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(D) ધાતુનો ગોળો ત્રણ બળોની અસર હેઠળ સંતુલનમાં છે: તણાવ બળ $\overrightarrow{T}$,આડું બળ $\overrightarrow{P}$,અને વજન બળ $\overrightarrow{W}$.
સંતુલન માટે,આ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\overrightarrow{T} + \overrightarrow{P} + \overrightarrow{W} = 0$.
તણાવ બળ $\overrightarrow{T}$ ને લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
ઊભો ઘટક: $T \cos \theta = W$ ... $(i)$
આડો ઘટક: $T \sin \theta = P$ ... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{P}{W} \implies \tan \theta = \frac{P}{W} \implies P = W \tan \theta$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(T \cos \theta)^2 + (T \sin \theta)^2 = W^2 + P^2$
$T^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = W^2 + P^2$
$T^2 = W^2 + P^2$.
આમ,વિધાન $T = P + W$ ખોટું છે.

(D) ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\sum \vec{F}}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sum \vec{F}$ એ પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
જો પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય (એટલે કે $\sum \vec{F} = 0$),તો પ્રવેગ $\vec{a}$ પણ શૂન્ય થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પદાર્થ સમક્ષિતિજ ઘર્ષણરહિત ટેબલ પર અચળ વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે.
વેગ અચળ હોવાથી,પદાર્થનો પ્રવેગ $a = 0$ છે.
પદાર્થ પર લાગતા બળો તેના વજન $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને ટેબલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $(N)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,શિરોલંબ દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય છે,તેથી $N = mg$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ટેબલ પર લાગતું બળ એ લંબબળ $N$ જેટલું જ હોય છે.
અહીં દળ $m = 40 \,g$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 980 \,cm/s^2$ આપેલ છે.
તેથી,ટેબલ પર લાગતું બળ $F = mg = 40 \times 980 = 39200 \,dyne$ થાય.

(C) બિંદુ $B$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે વિભાગ $BC$ અને $BF$ માં તણાવ અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ છે. વિભાગ $AB$ દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $T = 10 \,N$ છે.
બિંદુ $B$ પર લેમીના પ્રમેય મુજબ:
$\frac{T_1}{\sin 120^\circ} = \frac{T_2}{\sin 120^\circ} = \frac{T}{\sin 120^\circ}$
બળો વચ્ચેના ખૂણાઓ બધા $120^\circ$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$T_1 = T_2 = T = 10 \,N$.
તેથી,વિભાગ $BC$ અને $BF$ માં તણાવ બંને $10 \,N$ છે.

(A) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ $L$ છે. નિસરણી,દીવાલ અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$L = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \, m$.
ધારો કે નિસરણી જમીન સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી $\cos \theta = \frac{4}{L} = \frac{4}{\sqrt{52}}$ અને $\sin \theta = \frac{6}{L} = \frac{6}{\sqrt{52}}$.
ધારો કે $N_1$ એ જમીન દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા છે,$f$ એ જમીનનું ઘર્ષણ છે,અને $N_2$ એ ઘર્ષણરહિત દીવાલ દ્વારા લાગતી પ્રતિક્રિયા છે.
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $N_1 = 500 \, N$.
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે: $f = N_2$.
નીચેના છેડા (બિંદુ $A$) ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા: $\sum \tau_A = 0$.
વજન નીચેના છેડાથી $L/3$ અંતરે લાગે છે. વજનને કારણે ટોર્ક $500 \times (L/3) \cos \theta$ છે.
દીવાલની પ્રતિક્રિયા $N_2$ ને કારણે ટોર્ક $N_2 \times (6) = N_2 \times (L \sin \theta)$ છે.
ટોર્કને સરખાવતા: $N_2 (L \sin \theta) = 500 (L/3) \cos \theta$.
$N_2 = \frac{500}{3} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{500}{3} \times \frac{4/L}{6/L} = \frac{500}{3} \times \frac{4}{6} = \frac{2000}{18} = \frac{1000}{9} \approx 111.11 \, N$.

(C) ત્રાજવા દ્વારા માપવામાં આવતું વજન એ ત્રાજવા દ્વારા માણસ પર લાગતા લંબબળ (normal force) જેટલું હોય છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આ બળ માણસ દ્વારા ત્રાજવા પર લાગતા બળ જેટલું જ હોય છે. માણસ સંતુલિત સ્થિતિમાં હોવાથી અને કુલ અધોગામી બળ (તેનું વજન $Mg$) પ્લેટફોર્મ પર તેની હિલચાલ છતાં અચળ રહેતું હોવાથી,ત્રાજવાનું રીડિંગ સમાન રહેશે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય અસંતુલિત બળ ન લાગે ત્યાં સુધી પદાર્થ સ્થિર અથવા અચળ વેગથી ગતિમાન રહે છે.
જો પદાર્થ સ્થિર હોય,તો તેનો પ્રવેગ $0$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$.
અહીં $a = 0$ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ પર લાગતા તમામ વ્યક્તિગત બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય છે,જે સૂચવે છે કે બળો એકબીજાને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બે બળો $F$ અને $2F$ છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ધારો કે પરિણામી બળ $R$ એ નાના બળ $F$ ને લંબ છે. પરિણામી બળ $R$ અને બળ $F$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ$ છે.
પરિણામી બળની દિશા માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{2F \sin \theta}{F + 2F \cos \theta}$ છે.
કારણ કે $\alpha = 90^\circ$,$\tan 90^\circ = \infty$,જેનો અર્થ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$F + 2F \cos \theta = 0$
$F(1 + 2 \cos \theta) = 0$
$1 + 2 \cos \theta = 0$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
$\theta = 120^\circ$.

(D) ત્રણ સંગામી બળો સંતુલનમાં હોય તે માટે,કોઈપણ એક બળનું મૂલ્ય બાકીના બે બળોના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું અને બાકીના બે બળોના તફાવત કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,બળો $F_1, F_2, F_3$ માટે,શરત $|F_1 - F_2| \leq F_3 \leq F_1 + F_2$ છે.
અહીં $F_1 = 3 \, N$ અને $F_2 = 5 \, N$ આપેલ છે,તેથી ત્રીજા બળ $F_3$ માટે સંતુલન જાળવવા માટેની રેન્જ $|5 - 3| \leq F_3 \leq 5 + 3$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2 \, N \leq F_3 \leq 8 \, N$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(a)$ $9 \, N$ એ $[2, 8]$ ની રેન્જની બહાર છે.
$(b)$ $1 \, N$ એ $[2, 8]$ ની રેન્જની બહાર છે.
$(c)$ $15 \, N$ એ $[2, 8]$ ની રેન્જની બહાર છે.
$(d)$ $6 \, N$ એ $[2, 8]$ ની રેન્જમાં છે.
આમ,$3 \, N, 5 \, N, 6 \, N$ બળોનો સમૂહ સંતુલનમાં હોઈ શકે છે.

(A) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો કણ પર લાગતા ત્રણ બળોને એક જ ક્રમમાં લેવાયેલા ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બળોને સદિશો $\vec{AB},$ $\vec{BC},$ અને $\vec{CA}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે. તેઓ ચક્રીય ક્રમમાં હોવાથી,તેમનો સરવાળો $\vec{F}_{net} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો કણ પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,કણનો વેગ $\vec{v}$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(A) ત્રણ બળો સંતુલનમાં હોય તે માટે,કોઈપણ બે બળોનો સરવાળો ત્રીજા બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,અને કોઈપણ બે બળોનો તફાવત ત્રીજા બળ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય બળોએ ત્રિકોણની અસમતાનું પાલન કરવું જોઈએ: $a + b \ge c$,જ્યાં $c$ એ સૌથી મોટું બળ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$: $3 + 4 = 7 \ge 5$ (સંતોષાય છે)
$B$: $4 + 5 = 9 < 10$ (સંતોષાતું નથી)
$C$: $30 + 40 = 70 < 80$ (સંતોષાતું નથી)
$D$: $1 + 3 = 4 < 5$ (સંતોષાતું નથી)
તેથી,માત્ર $3 \, N, 4 \, N, 5 \, N$ નો સમૂહ જ બંધ ત્રિકોણ બનાવી શકે અને સંતુલનમાં રહી શકે છે.

(A) બ્લોક્સ સંપર્કમાં હોવાથી અને એક સિસ્ટમ તરીકે સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ $a = F / (m_1 + m_2 + m_3)$ સમાન હોવો જોઈએ. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
દરેક બ્લોક પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = m_i \cdot a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં દળ $m_1 = 3 \ kg$,$m_2 = 2 \ kg$,અને $m_3 = 1 \ kg$ અલગ-અલગ હોવાથી,દરેક બ્લોક પરનું પરિણામી બળ અલગ-અલગ હશે ($F_1 = 3a$,$F_2 = 2a$,$F_3 = 1a$). તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર વિધાન $A$ સાચું છે.

(C) ધારો કે $T$ એ નમેલી દોરીમાં તણાવ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ગાંઠના સંતુલન માટે,તણાવ $T$ નો શિરોલંબ ઘટક પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરવો જોઈએ:
$T \sin 30^\circ = 2 \, kg-wt$
$T \times (1/2) = 2 \, kg-wt$
$T = 4 \, kg-wt$
તણાવ $T$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક આડી દોરીમાં રહેલા તણાવ $T_1$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ:
$T_1 = T \cos 30^\circ$
$T_1 = 4 \times (\sqrt{3}/2)$
$T_1 = 2\sqrt{3} \, kg-wt$

(D) સંતુલનમાં રહેલા ત્રણ બળોના તંત્ર માટે,લેમીના પ્રમેય મુજબ $\frac{P}{\sin \alpha} = \frac{Q}{\sin \beta} = \frac{R}{\sin \gamma}$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ અનુક્રમે બળો $P, Q, R$ ની સામેના ખૂણાઓ છે.
ધારો કે $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{PQ} = 150^{\circ}$ છે.
ધારો કે $\vec{Q}$ અને $\vec{R}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{QR} = 120^{\circ}$ છે.
$\vec{R}$ અને $\vec{P}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{RP} = 360^{\circ} - (150^{\circ} + 120^{\circ}) = 90^{\circ}$ થશે.
બળોની સામેના ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$\alpha = \theta_{QR} = 120^{\circ}$
$\beta = \theta_{RP} = 90^{\circ}$
$\gamma = \theta_{PQ} = 150^{\circ}$
લેમીનું પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$P : Q : R = \sin(120^{\circ}) : \sin(90^{\circ}) : \sin(150^{\circ})$
$P : Q : R = \frac{\sqrt{3}}{2} : 1 : \frac{1}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$P : Q : R = \sqrt{3} : 2 : 1$.

(B) ધારો કે $PQ$ દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ છે. બિંદુ $Q$ પર લાગતા બળોમાં દોરીનું તણાવબળ $T$,સમક્ષિતિજ બળ $F$ અને નીચેની તરફ લાગતું વજનબળ $Mg$ છે.
તણાવબળ $T$ ના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો લેતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T \sin \theta$ (ડાબી તરફ)
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta$ (ઉપરની તરફ)
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી,સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સમક્ષિતિજ બળોને સરખાવતા: $T \sin \theta = F$
તેથી,$PQ$ દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = \frac{F}{\sin \theta}$ થશે.

(B) કણની ગતિની દિશા શોધવા માટે,આપણે કણ પર લાગતું પરિણામી બળ ${\vec F_{net}}$ શોધીએ:
${\vec F_{net}} = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} + {\vec F_4}$
${\vec F_{net}} = (-4\hat i + 5\hat i - 3\hat i + 2\hat i) + (-5\hat j + 8\hat j + 4\hat j - 3\hat j) + (5\hat k + 6\hat k - 7\hat k - 2\hat k)$
${\vec F_{net}} = (0)\hat i + (4)\hat j + (2)\hat k$
${\vec F_{net}} = 4\hat j + 2\hat k$
અહીં પરિણામી બળના ઘટકો ફક્ત $y$ અને $z$ અક્ષ પર જ છે ($x$-ઘટક $0$ છે),તેથી કણ $y-z$ સમતલમાં ગતિ કરશે.

(A) ધારો કે $m$ અને $M$ દળ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T$ છે. સંતુલનમાં રહેલા દળ $m$ માટે:
$2T \sin 45^{\circ} = mg$
$2T \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = mg \implies T = \frac{mg}{\sqrt{2}}$
ધારો કે $M$ દળની ઉપરની દોરીમાં તણાવ $T_1$ છે. $M$ દળના જંકશન પર બળોનું વિભાજન કરતા:
ક્ષૈતિજ ઘટક: $T_1 \cos \theta = T \cos 45^{\circ} = \left(\frac{mg}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{mg}{2}$
શિરોલંબ ઘટક: $T_1 \sin \theta = Mg + T \sin 45^{\circ} = Mg + \left(\frac{mg}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = Mg + \frac{mg}{2}$
શિરોલંબ ઘટકને ક્ષૈતિજ ઘટક વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{Mg + \frac{mg}{2}}{\frac{mg}{2}} = \frac{Mg}{\frac{mg}{2}} + 1 = \frac{2M}{m} + 1$
આમ,$tan \theta = 1 + \frac{2M}{m}$.

(C) સાંકળનો અડધો ભાગ ધ્યાનમાં લો. આધાર પર તણાવનો ઉર્ધ્વ ઘટક સાંકળના અડધા વજનને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
$T \sin \theta = \frac{W}{2}$
સૌથી નીચલા બિંદુ (મધ્યબિંદુ) પર,તણાવ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,ધારો કે તે $T_0$ છે.
અડધી સાંકળના સંતુલન માટે,આધાર પર તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક સૌથી નીચલા બિંદુ પરના તણાવ જેટલો હોવો જોઈએ.
$T \cos \theta = T_0$
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$T = \frac{W}{2 \sin \theta}$.
આને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_0 = \left( \frac{W}{2 \sin \theta} \right) \cos \theta$
$T_0 = \frac{W}{2} \cot \theta$

(C) આપેલ છે: બળ $F = 40\, N$,ખૂણો $\theta = 30^o$,દળ $m = 5\, kg$,$g = 10\, ms^{-2}$.
$[1]$ બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos(30^o) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\, N$ થાય. તેથી,વિધાન $[1]$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં $20\, N$ આપેલ છે.
$[2]$ પદાર્થનું વજન $W = mg = 5 \times 10 = 50\, N$ હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. તેથી,વિધાન $[2]$ સાચું છે.
$[3]$ લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_y = F \sin(30^o) = 40 \times 0.5 = 20\, N$ (ઉપરની તરફ) છે. લંબબળ $N$ એ $N + F_y = mg$ દ્વારા મળે છે,તેથી $N = 50 - 20 = 30\, N$. પદાર્થ પર લાગતું કુલ શિરોલંબ બળ શૂન્ય છે કારણ કે તે શિરોલંબ દિશામાં સંતુલનમાં છે. વિધાન $[3]$ ખોટું છે.

(D) કિસ્સો $(i)$: ગોળો $A$ પર સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે અને $B$ પર ઢળતી સપાટીને સ્પર્શે છે. સંતુલનમાં હોવાથી,$B$ પરનું લંબબળ $R_B$ ઢાળને લંબ છે. બળોના ઘટકો લેતા,$R_B \sin 60^o = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R_B = 0$. આમ,$R_A = W = 10 \, N$.
કિસ્સો $(ii)$: ગોળો સંમિત $V$-ખાંચામાં છે. સંમિતિ મુજબ,$R_A = R_B = R$. શિરોલંબ સંતુલન માટે $2R \cos 30^o = W$. શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $30^o$ હોવાથી,$2R \cos 30^o = 10 \Rightarrow R = \frac{10}{\sqrt{3}} \, N$.
કિસ્સો $(iii)$: ગોળો એક શિરોલંબ દીવાલ ધરાવતા ખાંચામાં છે. સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ બળોના ઘટકો લેતા: $R_A \sin 60^o = W$ અને $R_A \cos 60^o = R_B$. તેથી,$R_A = \frac{10}{\sin 60^o} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, N$ અને $R_B = \frac{20}{\sqrt{3}} \cos 60^o = \frac{10}{\sqrt{3}} \, N$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ પરના લંબબળ અનુક્રમે $N_A$ અને $N_B$ છે.
સળિયો સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ બળ શૂન્ય થાય: $N_A + N_B = w$.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા,વજન $w$ ને કારણે લાગતું ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક એ $N_B$ ને કારણે લાગતા કાઉન્ટર-ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક જેટલું હોવું જોઈએ: $w \cdot x = N_B \cdot d$.
તેથી,$N_B = \frac{wx}{d}$.
બળના સમીકરણમાં $N_B$ ની કિંમત મૂકતા: $N_A = w - \frac{wx}{d} = w(1 - \frac{x}{d}) = \frac{w(d-x)}{d}$.
આમ,$A$ પરનું લંબબળ $\frac{w(d-x)}{d}$ અને $B$ પરનું લંબબળ $\frac{wx}{d}$ છે.
આથી,વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(D) પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ચોખ્ખું બળ $\vec{F}_{net} = 0$ અને કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં ચોખ્ખું ટોર્ક $\vec{\tau}_{net} = 0$ હોવું જોઈએ.
$1$. જો $3$ બળોની કાર્યરેખાઓ સમાંતર ન હોય અને એક જ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય,તો તેઓ બળોનો બંધ ત્રિકોણ બનાવી શકે છે,જેના પરિણામે પદાર્થ સંતુલનમાં રહે છે.
$2$. જો $3$ બળોની કાર્યરેખાઓ સમાંતર હોય,તો તેઓ સંતુલનમાં હોઈ શકે છે જો બે બળો એક દિશામાં અને ત્રીજું બળ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે,જેથી તેમના મૂલ્યો અને સ્થાન ચોખ્ખા બળ અને ચોખ્ખા ટોર્કની શૂન્ય હોવાની શરતોને સંતોષે.
$3$. જો $4$ બળોની કાર્યરેખાઓ સમાંતર હોય અને સમાન મૂલ્યના હોય,તો તેમને એવી રીતે ગોઠવી શકાય છે (દા.ત.,બે જોડી વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરતી હોય) કે જેથી સંતુલનની શરતો સંતોષાય.
આમ,આપેલી તમામ શરતો ($A$,$B$,અને $C$) પદાર્થને સંતુલનમાં રાખવા માટે સક્ષમ હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) કોઈ પદાર્થ ત્રણ બળોની અસર હેઠળ સંતુલનમાં હોય તે માટે, બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ $(\sum \vec{F} = 0)$. આનો અર્થ એ છે કે ત્રણ બળ સદિશોને એકબીજાની પાછળ ગોઠવતા એક બંધ ત્રિકોણ બનવો જોઈએ.
$2$. કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે પરિણામી ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ $(\sum \vec{\tau} = 0)$. આનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય બળોની કાર્યરેખાઓ સંગામી હોવી જોઈએ (એટલે કે, તેઓ એક જ બિંદુએ છેદવી જોઈએ) અથવા તેઓ સમાંતર હોવી જોઈએ.
આપેલ આકૃતિઓમાં, આપણે એવી ગોઠવણી શોધીએ છીએ જ્યાં ત્રણેય બળો $P$, $Q$ અને $R$ ની કાર્યરેખાઓ એક જ બિંદુએ છેદે છે. આકૃતિ $B$ માં, બળો $P$, $Q$ અને $R$ ની કાર્યરેખાઓને લંબાવતા તે એક સામાન્ય બિંદુએ મળે છે, જે શૂન્ય પરિણામી ટોર્કની શરતને સંતોષે છે. તેથી, તે સંતુલનની શક્ય સ્થિતિ દર્શાવે છે.

(C) સળિયા $(AB)$ સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ $\overrightarrow{F_{net}}$ અને પરિણામી ટોર્ક $\overrightarrow{\tau_{net}}$ શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$1$. સળિયા પર લાગતા બળો છે: બિંદુ $(A)$ પર દોરડામાં તણાવ $(T)$,સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતું વજન $(Mg)$,અને બિંદુ $(B)$ પર બરફ દ્વારા લાગતું લંબબળ $(N)$.
$2$. બરફ ઘર્ષણરહિત હોવાથી,લંબબળ $(N)$ શિરોલંબ હોવું જોઈએ.
$3$. કોઈપણ બિંદુની આસપાસ પરિણામી ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,ત્રણેય બળોની કાર્યરેખાઓ સંગામી (એક જ બિંદુએ છેદતી) હોવી જોઈએ અથવા બધી સમાંતર હોવી જોઈએ.
$4$. વજન $(Mg)$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. લંબબળ $(N)$ શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે. સળિયા સંતુલનમાં રહે તે માટે,તણાવ $(T)$ પણ એવી રેખા પર લાગવું જોઈએ જે $(Mg)$ અને $(N)$ ની કાર્યરેખાઓના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય.
$5$. $(Mg)$ અને $(N)$ બંને શિરોલંબ હોવાથી,તેઓ સમાંતર છે. સળિયા સંતુલનમાં રહે તે માટે,તણાવ $(T)$ પણ શિરોલંબ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે દોરડું $(AC)$ શિરોલંબ હોવું જોઈએ,જે આકૃતિ $816-$c142 માં દર્શાવેલ ગોઠવણીમાં જોવા મળે છે.

(B) કણ પર લાગતું પરિણામી બળ એ તમામ વ્યક્તિગત બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4$
$\vec{F}_{net} = (5 + 2 - 6 - 1)\hat{i} + (-5 + 8 + 4 - 3)\hat{j} + (5 + 6 - 7 - 2)\hat{k}$
$\vec{F}_{net} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$
કણ ઉગમબિંદુ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m}$ એ પરિણામી બળની દિશામાં હશે.
બળનો $x$-ઘટક $0$ હોવાથી,કણ $x$-અક્ષ પર ગતિ કરશે નહીં.
બળ સદિશ $Y-Z$ સમતલમાં છે કારણ કે તેના ઘટકો ફક્ત $y$ અને $z$ દિશામાં જ શૂન્યતર છે $(F_y = 4, F_z = 2)$.
તેથી,કણ $Y-Z$ સમતલમાં ગતિ કરશે.

(A) બીમ સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું ચોખ્ખું બળ અને ચોખ્ખો ટોર્ક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$1$. બીમ પર લાગતા બળો છે: દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર નીચેની તરફ લાગતું વજન $W$,દોરડામાં તણાવ $T$ જે દોરડાની દિશામાં લાગે છે,અને હિન્જ $H$ પર પ્રતિક્રિયા બળ $R$.
$2$. બીમ સંતુલનમાં હોવાથી,ત્રણેય બળોની કાર્યરેખાઓ એક જ બિંદુએ છેદવી જોઈએ.
$3$. વજન $W$ બીમના કેન્દ્રમાંથી નીચેની તરફ ઊભી દિશામાં લાગે છે. તણાવ $T$ દોરડાની સાથે દીવાલ તરફ લાગે છે.
$4$. વજન સદિશ અને તણાવ સદિશનું છેદબિંદુ બીમની ઉપર ક્યાંક આવેલું છે. પ્રતિક્રિયા બળ $R$ આ જ છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે,તેને ઉપરની તરફ અને જમણી તરફ નિર્દેશિત કરવું આવશ્યક છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) ગોળાનું વજન $W = mg = 50 \times 10 = 500\,N$ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
ધારો કે $N_A$ એ ઢાળ $A$ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે (ક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે) અને $N_B$ એ ઉભી દીવાલ $B$ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે (જે આડું લાગે છે).
સંતુલન માટે,શિરોલંબ બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$N_A \sin 60^{\circ} = W = 500\,N$
$N_A \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 500 \Rightarrow N_A = \frac{1000}{\sqrt{3}}\,N$
સંતુલન માટે,આડા બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$N_A \cos 60^{\circ} = N_B$
$N_B = \left( \frac{1000}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{500}{\sqrt{3}}\,N$
આમ,$N_A = \frac{1000}{\sqrt{3}}\,N$ અને $N_B = \frac{500}{\sqrt{3}}\,N$ છે.

(A) ધારો કે $N_1$ એ $30^{\circ}$ વાળા સમતલનું લંબબળ છે અને $N_2$ એ $45^{\circ}$ વાળા સમતલનું લંબબળ છે.
સંતુલન માટે,સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સમક્ષિતિજ બળોનું વિભાજન: $N_1 \cos(30^{\circ}) = N_2 \cos(45^{\circ})$
$N_1 (\frac{\sqrt{3}}{2}) = N_2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) \implies N_1 = N_2 \sqrt{\frac{2}{3}}$
શિરોલંબ બળોનું વિભાજન: $N_1 \sin(30^{\circ}) + N_2 \sin(45^{\circ}) = mg$
$N_1 (\frac{1}{2}) + N_2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 5 \times 9.8 = 49\,N$
$N_1$ ની કિંમત મૂકતા: $(N_2 \sqrt{\frac{2}{3}}) \times \frac{1}{2} + N_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 49$
આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $N_{30} \approx 96.59\,N$ અને $N_{45} \approx 136.6\,N$ મળે છે.

(A) ધારો કે વિકર્ણ દોરીમાં તણાવ $T = 60\,N$ છે. દોરી સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
તણાવ $T$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક $T_x = T \cos 45^{\circ} = 60 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
શિરોલંબ ઘટક $T_y = T \sin 45^{\circ} = 60 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
સિસ્ટમ સંતુલનમાં રહે તે માટે,સમક્ષિતિજ બળો $\overline{F}_1$ અને $\overline{F}_2$ એ તણાવના સમક્ષિતિજ ઘટકને સંતુલિત કરવા જોઈએ:
$F_1 = F_2 = T_x = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.
લટકાવેલા બ્લોકનું વજન $W$ એ તણાવના શિરોલંબ ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$W = T_y = \frac{60}{\sqrt{2}}\,N$.

(A) ધારો કે દોરી $AB$ માં તણાવ $T$ છે.
બિંદુ $B$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરી $AB$ માં તણાવ $T$,જે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે લાગે છે.
$2$. જમણી તરફ લાગતું સમક્ષિતિજ બળ $F$.
$3$. દળ $M$ ને આધાર આપતી શિરોલંબ દોરીમાં તણાવ $T'$,જ્યાં $T' = Mg$.
તણાવ $T$ ના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો લેતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T \sin \theta$
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta$
બિંદુ $B$ પર સંતુલન માટે:
સમક્ષિતિજ બળો: $T \sin \theta = F$
શિરોલંબ બળો: $T \cos \theta = Mg$
સમક્ષિતિજ સંતુલન સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે:
$T = \frac{F}{\sin \theta}$

(A) ધારો કે ગોળાનું કેન્દ્ર $O$ છે અને દીવાલ પર દોરી જ્યાં જોડાયેલ છે તે બિંદુ $A$ છે. ગોળો દીવાલને જે બિંદુએ સ્પર્શે છે તે $B$ છે. અંતર $OB$ એ ત્રિજ્યા $R = 3\,m$ છે. દોરીની લંબાઈ $OA$ એ $L = 2\,m$ છે. અંતર $AB$ એ ત્રિજ્યા $R = 3\,m$ છે.
ગોળાના કેન્દ્ર,દીવાલ પરના જોડાણ બિંદુ અને દીવાલ સાથેના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ એ દોરીની લંબાઈ $L = 2\,m$ વત્તા ત્રિજ્યા $R = 3\,m$ છે,તેથી કર્ણ $5\,m$ છે.
આ ત્રિકોણનો પાયો ત્રિજ્યા $R = 3\,m$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ દોરી દીવાલ સાથે બનાવતો ખૂણો છે. તો $\sin \theta = R / (R + L) = 3 / (3 + 2) = 3/5$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $\theta$ એ સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \theta = 3/5$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 4/5$.
ગોળા પરના બળોને જોતા: તણાવનો શિરોલંબ ઘટક $T \sin \theta$ એ વજન $W$ ને સંતુલિત કરે છે,તેથી $T \sin \theta = W$.
$\sin \theta = 4/5$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T (4/5) = W$ મળે છે,તેથી $T = 5\,W/4$.

(B) $1$. બિંદુ $P$ ને અલગ કરો જ્યાં ત્રણેય દોરીઓ મળે છે.
$2$. બિંદુ $P$ પર લાગતા બળો:
- દોરી $2$ માં તણાવ $T_2$ (શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે).
- દોરી $1$ માં તણાવ $T_1$ (શિરોલંબ નીચેની તરફ, જે પદાર્થ $B$ ના વજન $W$ જેટલું છે).
- આડી દોરીમાં તણાવ $T_h = 30\,N$ (આડી દિશામાં).
$3$. $T_2$ ના ઘટકો મેળવો:
- આડો ઘટક: $T_{2x} = T_2 \sin 45^{\circ}$
- શિરોલંબ ઘટક: $T_{2y} = T_2 \cos 45^{\circ}$
$4$. સંતુલનની શરતો લાગુ કરો ($\sum F_x = 0$ અને $\sum F_y = 0$):
- $\sum F_x = 0 \Rightarrow T_2 \sin 45^{\circ} = 30\,N$
- $\sum F_y = 0 \Rightarrow T_2 \cos 45^{\circ} = T_1 = W$
$5$. આડા સંતુલન સમીકરણ પરથી:
$T_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 30 \Rightarrow T_2 = 30\sqrt{2}\,N$
$6$. $T_2$ ની કિંમત શિરોલંબ સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = T_2 \cos 45^{\circ} = (30\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 30\,N$
આમ, પદાર્થ $B$ નું વજન $30\,N$ છે.

(B) $m$ દળ માટે,શિરોલંબ સંતુલન પરથી: $2 T \sin 45^{\circ} = m g$,જેનું સાદું રૂપ $2 T (\frac{1}{\sqrt{2}}) = m g$ થાય છે,તેથી $T = \frac{m g}{\sqrt{2}}$.
$M$ દળ માટે,જંકશન પર લાગતા બળો તણાવ $T$ ($45^{\circ}$ ના ખૂણે નીચેની તરફ),તણાવ $T'$ ($\theta$ ખૂણે ઉપરની તરફ) અને વજન $M g$ (નીચેની તરફ) છે.
ક્ષિતિજ સમાંતર બળોનું વિભાજન કરતા: $T' \cos \theta = T \cos 45^{\circ} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
શિરોલંબ બળોનું વિભાજન કરતા: $T' \sin \theta = T \sin 45^{\circ} + M g = \frac{T}{\sqrt{2}} + M g$.
શિરોલંબ સમીકરણને ક્ષિતિજ સમાંતર સમીકરણ વડે ભાગતા: $\tan \theta = \frac{\frac{T}{\sqrt{2}} + M g}{\frac{T}{\sqrt{2}}} = 1 + \frac{M g}{\frac{T}{\sqrt{2}}}$.
$T = \frac{m g}{\sqrt{2}}$ મુકતા: $\tan \theta = 1 + \frac{M g}{\frac{m g}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}} = 1 + \frac{M g}{\frac{m g}{2}} = 1 + \frac{2 M}{m}$.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ આધાર બિંદુઓ પર તણાવ $T$ છે. દરેક આધાર પર તણાવનો ઉર્ધ્વ ઘટક સાંકળના અડધા વજનને સંતુલિત કરવો જોઈએ. તેથી,$2T \sin \theta = W$,જે આપે છે $T \sin \theta = \frac{W}{2}$.
સાંકળના સૌથી નીચલા બિંદુ (મધ્ય બિંદુ) પર,તણાવ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,ધારો કે તે $T'$ છે.
સાંકળના અડધા ભાગના સંતુલનને ધ્યાનમાં લેતા,સમક્ષિતિજ બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ. આધાર પર તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક $T \cos \theta$ છે,જે સૌથી નીચલા બિંદુ પરના તણાવ $T'$ ની બરાબર હોવો જોઈએ.
તેથી,$T' = T \cos \theta$.
$T \sin \theta = \frac{W}{2}$ પરથી,આપણને $T = \frac{W}{2 \sin \theta}$ મળે છે.
આ કિંમતને $T'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $T' = \left( \frac{W}{2 \sin \theta} \right) \cos \theta = \frac{W}{2} \cot \theta$ મળે છે.

(B) આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$T_1$ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે (કારણ કે દીવાલ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે),અને $T_2$ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે (કારણ કે સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે).
ધારો કે શિરોલંબ અક્ષ $y$-અક્ષ છે અને સમક્ષિતિજ અક્ષ $x$-અક્ષ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં ($x$-અક્ષ) બળોનું વિભાજન કરતા:
$T_2 \sin 60^{\circ} - T_1 \sin 60^{\circ} = 0 \implies T_1 = T_2$.
શિરોલંબ દિશામાં ($y$-અક્ષ) બળોનું વિભાજન કરતા:
$T_1 \cos 60^{\circ} + T_2 \cos 60^{\circ} = mg$.
$T_1 = T_2$ મૂકતા:
$2 T_1 \cos 60^{\circ} = mg$
$2 T_1 (1/2) = mg$
$T_1 = mg$.
$T_1 = T_2$ હોવાથી,$T_2 = mg$ મળે છે.

(D) ધારો કે આડી દોરી $A$ માં તણાવ $T_A$ છે અને દોરી $B$ માં તણાવ $T_B$ છે,જે છત સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વજન પર લાગતા બળોને આડા અને ઊભા ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
ઊભી સંતુલન સ્થિતિ માટે: $T_B \sin 30^{\circ} = 100 \ N$.
$T_B \times (1/2) = 100 \implies T_B = 200 \ N$.
આડી સંતુલન સ્થિતિ માટે: $T_B \cos 30^{\circ} = T_A$.
$T_A = 200 \times (\sqrt{3}/2) = 100 \sqrt{3} \ N$.
$T_A = 100 \times 1.732 = 173.2 \ N$.

(B) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે. બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ,લંબબળ $N$ ઉપરની તરફ,અને લાગુ પાડેલ બળ $F$ જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
બ્લોક ભોંયતળિયાથી ઉપર ઉઠે તે માટે,લંબબળ $N$ શૂન્ય થવું જોઈએ. આ ક્ષણે,બળ $F$ નો ઉર્ધ્વ ઘટક બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$F \sin \theta = mg$
$F = \frac{mg}{\sin \theta}$
બ્લોક ભોંયતળિયાથી છૂટો પડે તે તરત જ,તેના પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ અને લાગુ પાડેલ બળ $F$ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે લાગે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં ચોખ્ખું બળ $F_x = F \cos \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_x$ નીચે મુજબ મળે:
$a_x = \frac{F \cos \theta}{m} = \frac{mg}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{m} = g \cot \theta$
ઉર્ધ્વ દિશામાં ચોખ્ખું બળ $F_y = F \sin \theta - mg$ છે. કારણ કે $F \sin \theta = mg$,તેથી ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $a_y = 0$ થાય.
આમ,બ્લોક ભોંયતળિયાથી છૂટો પડે તે તરત જ તેનો કુલ પ્રવેગ સમક્ષિતિજ દિશામાં $g \cot \theta$ હશે.

(A) બિંદુ $P$ સ્થિર હોવાથી, તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય છે $(\sum F = 0)$.
આપણે બળોને સમક્ષિતિજ $(x)$ અને શિરોલંબ $(y)$ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
$x$-દિશા માટે: $\sum F_x = 0$
$F_1 + 1 \sin 45^{\circ} - 2 \sin 45^{\circ} = 0$
$F_1 = 2 \sin 45^{\circ} - 1 \sin 45^{\circ} = (2 - 1) \sin 45^{\circ} = 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ N}$.
$y$-દિશા માટે: $\sum F_y = 0$
ઉપરની દિશાને ધન અને નીચેની દિશાને ઋણ લેતા:
$1 \cos 45^{\circ} + 2 \cos 45^{\circ} - F_2 = 0$
$F_2 = 1 \cos 45^{\circ} + 2 \cos 45^{\circ} = (1 + 2) \cos 45^{\circ} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \text{ N}$.
આમ, $F_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ N}$ અને $F_2 = \frac{3}{\sqrt{2}} \text{ N}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ગોળાનું કેન્દ્ર $O$ છે અને જે બિંદુએ દોરી દીવાલ સાથે જોડાયેલી છે તે બિંદુ $P$ છે. ગોળા અને દીવાલ વચ્ચેના સંપર્ક બિંદુને $Q$ કહો. ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 5\, cm$ છે. દોરીની લંબાઈ $l = 8\, cm$ છે.
ગોળાના કેન્દ્ર $O$,સંપર્ક બિંદુ $Q$ અને જોડાણ બિંદુ $P$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ $OP = l + r = 8 + 5 = 13\, cm$ થાય. પાયો $OQ = r = 5\, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,શિરોલંબ અંતર $PQ = \sqrt{OP^2 - OQ^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\, cm$ મળે.
ધારો કે દોરી શિરોલંબ દીવાલ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી $\cos \theta = \frac{PQ}{OP} = \frac{12}{13}$ થાય.
ગોળો સંતુલનમાં રહે તે માટે,તણાવ બળ $T$ નો શિરોલંબ ઘટક ગોળાના વજન $W$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ. તેથી,$T \cos \theta = W$.
$\cos \theta$ ની કિંમત મૂકતા,$T \times \frac{12}{13} = W$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{13}{12} W$.

(D) ધારો કે $T$ એ દોરડામાં તણાવ છે અને $F$ એ લગાડવામાં આવેલું આડું બળ છે. $m = 10\,kg$ દળ સંતુલનમાં છે.
બળોને આડા અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
શિરોલંબ ઘટક: $T\,cos\,45^o = mg$
આડો ઘટક: $T\,sin\,45^o = F$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T\,sin\,45^o}{T\,cos\,45^o} = \frac{F}{mg}$
$\tan\,45^o = \frac{F}{mg}$
કારણ કે $\tan\,45^o = 1$,તેથી $F = mg$.
આપેલ છે કે $m = 10\,kg$ અને $g = 10\,ms^{-2}$,તેથી $F = 10 \times 10 = 100\,N$.

(C) ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $W = mg = 50 \times 10 = 500 \, N$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઢાળ $A$ દ્વારા લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N_A$,જે ઢાળને લંબ છે.
$3$. ઉભી દીવાલ $B$ દ્વારા લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N_B$,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
શિરોલંબ દિશા માટે: $N_A \cos(30^{\circ}) = W = 500 \, N$.
તેથી,$N_A = \frac{500}{\cos(30^{\circ})} = \frac{500}{\sqrt{3}/2} = \frac{1000}{\sqrt{3}} \, N$.
સમક્ષિતિજ દિશા માટે: $N_B = N_A \sin(30^{\circ})$.
આમ,$A$ આગળનું સંપર્ક બળ $N_A = \frac{1000}{\sqrt{3}} \, N$ છે.