Conservation of Linear Momentum Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $m = 80 \, kg$ એ માણસનું દળ છે અને $M = 320 \, kg$ એ ટ્રોલીનું દળ છે.
સિસ્ટમ ઘર્ષણરહિત પાટા પર હોવાથી,સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી. તેથી,સિસ્ટમનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં,સિસ્ટમ સ્થિર છે,તેથી કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે $v_m$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ છે અને $v_t$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં ટ્રોલીનો વેગ છે.
આપેલ છે કે ટ્રોલીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_{rel} = 1 \, m/s$ છે,તેથી $v_m - v_t = 1$,જેનો અર્થ છે $v_m = 1 + v_t$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_m + M v_t = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $80(1 + v_t) + 320 v_t = 0$.
$80 + 80 v_t + 320 v_t = 0 \implies 400 v_t = -80 \implies v_t = -0.2 \, m/s$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે ટ્રોલી માણસની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_m = 1 + (-0.2) = 0.8 \, m/s$ છે.
$t = 4 \, s$ માં જમીનની સાપેક્ષમાં માણસનું સ્થાનાંતર $d = v_m \times t = 0.8 \times 4 = 3.2 \, m$ છે.

(B) સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,વ્યક્તિને ખસેડવા માટે કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લગાવી શકાતું નથી.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
થૂંકીને,છીંક ખાઈને અથવા કોઈ વસ્તુને એક દિશામાં ફેંકીને,વ્યક્તિ તે પદાર્થને વેગમાન આપે છે.
તંત્રના કુલ વેગમાનને (જે શરૂઆતમાં શૂન્ય છે) જાળવી રાખવા માટે,વ્યક્તિએ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં વેગમાન મેળવવું પડે છે,જેના કારણે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
આમ,થૂંકીને અથવા છીંક ખાઈને,વ્યક્તિ ઘર્ષણરહિત સપાટી પરથી બહાર નીકળી શકે છે.

(D) ન્યુટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયા માટે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા હોય છે.
જ્યારે બે પદાર્થો આંતરક્રિયા કરે છે,ત્યારે પદાર્થ $A$ દ્વારા પદાર્થ $B$ પર લાગતું બળ $(F_{AB})$ એ પદાર્થ $B$ દ્વારા પદાર્થ $A$ પર લાગતા બળ $(F_{BA})$ ના મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે,એટલે કે $F_{AB} = -F_{BA}$.
બળ એ વેગમાનના ફેરફારનો દર હોવાથી $(F = \frac{dp}{dt})$,આ સૂચવે છે કે પદાર્થ $A$ ના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ પદાર્થ $B$ ના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તેથી,તંત્રના કુલ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
આમ,ન્યુટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ તરફ દોરી જાય છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
તળાવ ઘર્ષણરહિત હોવાથી,માણસ કિનારાની વિરુદ્ધ દિશામાં કોઈ વસ્તુ અથવા દ્રવ્યમાન ફેંકીને પોતાના વેગમાનમાં ફેરફાર કરી શકે છે.
કિનારાથી દૂરની દિશામાં આડું થૂંકવાથી,માણસ લાળ પર બળ લગાડે છે અને ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,લાળ માણસ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે.
આ બળ માણસને કિનારા તરફ થોડો વેગ આપે છે,જેનાથી તે કિનારા સુધી પહોંચી શકે છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,કણ પર લાગતું બળ $F$ એ તેના રેખીય વેગમાન $P$ ના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,જે $F = \frac{dP}{dt}$ છે.
જો કણનું વેગમાન $P$ અચળ રહેતું હોય,તો સમયની સાપેક્ષે તેનું વિકલન શૂન્ય થાય,એટલે કે $\frac{dP}{dt} = 0$.
તેથી,આ સ્થિતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ $F$ શૂન્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,પદાર્થને અંદર નાખતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને પદાર્થને અંદર નાખ્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_1 \times v_1 = 1000\, kg \times 50\, km/h = 50000\, kg \cdot km/h$.
અંતિમ દળ $M = m_1 + m_2 = 1000\, kg + 250\, kg = 1250\, kg$.
ધારો કે અંતિમ વેગ $v$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = M \times v = 1250\, kg \times v$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $50000 = 1250 \times v$.
$v = \frac{50000}{1250} = 40\, km/h$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 100\, g = 0.1\, kg$,વેગ $v = 10\, m/s$,સંપર્ક સમય $\Delta t = 0.1\, s$,દીવાલ સાથેનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$.
અથડામણ દરમિયાન દીવાલને લંબ વેગમાનનો ઘટક બદલાય છે. દીવાલના લંબ સાથે વેગ સદિશનો ખૂણો $\phi = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p$ એ દીવાલને લંબ વેગમાનના ઘટકમાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta p = p_f - p_i = (-mv \cos \phi) - (mv \cos \phi) = -2mv \cos \phi$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 2mv \cos 60^\circ$ છે.
બળ $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2mv \cos 60^\circ}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{2 \times 0.1\, kg \times 10\, m/s \times \cos 60^\circ}{0.1\, s} = \frac{2 \times 0.1 \times 10 \times 0.5}{0.1} = 10\, N$.

(B) પદાર્થનું વેગમાન $p$ એ તેના દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો વેગમાન $p$ અચળ હોય અને પદાર્થનું દળ $m$ અચળ માનવામાં આવે,તો વેગ $v = p/m$ પણ અચળ હોવો જોઈએ.
વેગ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a = dv/dt$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F = ma$ પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,જો વેગમાન અચળ હોય,તો વેગ અચળ હોવો જોઈએ.

(C) રોકેટની ગતિ ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ અને રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
જ્યારે રોકેટ પાછળની દિશામાં ખૂબ જ વેગથી વાયુઓ બહાર કાઢે છે,ત્યારે રોકેટ આગળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ વેગમાન મેળવે છે.
સિસ્ટમ (રોકેટ + બળતણ) પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને ગોળી છોડ્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
શરૂઆતનું વેગમાન = $0$.
અંતિમ વેગમાન = $m_B v_B + m_G v_G = 0$.
અહીં,$m_B = 200 \,g = 0.2 \,kg$,$v_B = 5 \,m/s$,અને $m_G = 1 \,kg$ છે.
$0.2 \times 5 + 1 \times v_G = 0$.
$1 + v_G = 0$.
$v_G = -1 \,m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંદૂક ગોળીની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછળની તરફ ધકેલાય છે.
તેથી,બંદૂકના રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $1 \,m/s$ છે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળીબાર પહેલાનું કુલ વેગમાન અને ગોળીબાર પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = $0$.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $m_B v_B + m_G v_G = 0$.
અહીં,$m_B = 5 \,g = 5 \times 10^{-3} \,kg$,$v_B = 500 \,m/s$,અને $m_G = 5 \,kg$ છે.
$5 \times 10^{-3} \times 500 + 5 \times v_G = 0$.
$2.5 + 5 \times v_G = 0$.
$v_G = -\frac{2.5}{5} = -0.5 \,m/s$.
આમ,રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $0.5 \,m/s$ છે.

(C) સ્થિર હોવાથી પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે ત્રણ ટુકડાઓના દળ $m_1 = M/4$,$m_2 = M/4$ અને $m_3 = M - (M/4 + M/4) = M/2$ છે.
પ્રથમ બે ટુકડાઓના વેગમાન $p_1 = (M/4) \times 3$ અને $p_2 = (M/4) \times 4$ પરસ્પર લંબ દિશામાં છે.
આ બે ટુકડાઓનું પરિણામી વેગમાન $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(\frac{3M}{4})^2 + (\frac{4M}{4})^2} = \sqrt{\frac{9M^2}{16} + \frac{16M^2}{16}} = \sqrt{\frac{25M^2}{16}} = \frac{5M}{4}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વેગમાન શૂન્ય રહેવું જોઈએ. તેથી,ત્રીજા ટુકડાનું વેગમાન $p_3$ એ $p_{12}$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
$p_3 = \frac{5M}{4} = m_3 \times v = \frac{M}{2} \times v$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \frac{5M/4}{M/2} = \frac{5}{4} \times 2 = 2.5 \, m/s$.

(C) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ તંત્રનું કુલ વેગમાન સમય સાથે અચળ રહે છે (સંરક્ષિત રહે છે).
અલગ અથવા બંધ તંત્ર એટલે એવું તંત્ર કે જેમાં દળ અચળ રહે છે અને તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ $0$ હોય છે.
તેથી,તંત્રનું કુલ વેગમાન ત્યારે જ સંરક્ષિત રહે છે જ્યારે તંત્ર પર કોઈ પરિણામી બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રક્ષેપણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને પ્રક્ષેપણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
શરૂઆતમાં ટેન્ક અને પદાર્થ બંને સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે $M = 100 \, kg$ એ ટેન્કનું દળ છે અને $m = 0.25 \, kg$ એ પદાર્થનું દળ છે.
ધારો કે $V$ એ ટેન્કનો રિકોઈલ વેગ છે અને $v = 100 \, m/s$ એ પદાર્થનો વેગ છે.
$M \times V + m \times v = 0$
$100 \times V + 0.25 \times 100 = 0$
$100 \times V = -25$
$V = -25 / 100 = -0.25 \, m/s$.
રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $0.25 \, m/s$ છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,ગોળીબાર પહેલાનું કુલ વેગમાન એ ગોળીબાર પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
શરૂઆતમાં,બંદૂક અને ગોળી બંને સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે $m_B = 0.1\,kg$ એ ગોળીનું દળ છે,$v_B = 100\,m/s$ એ ગોળીનો વેગ છે,$m_G = 50\,kg$ એ બંદૂકનું દળ છે,અને $v_G$ એ બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ છે.
વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ: $m_G v_G + m_B v_B = 0$.
$v_G = -\frac{m_B v_B}{m_G}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_G = -\frac{0.1 \times 100}{50} = -\frac{10}{50} = -0.2\,m/s$.
આમ,રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $0.2\,m/s$ છે.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોય છે.
તેથી,બંદૂકનું વેગમાન અને ગોળીનું વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ.
$m_G v_G = m_B v_B$
અહીં,$m_G = 1\, kg$ (બંદૂકનું દળ),$v_G = 5\, m/s$ (બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ),અને $m_B = 10\, g = 10 \times 10^{-3}\, kg = 0.01\, kg$ (ગોળીનું દળ).
કિંમતો મૂકતા:
$1 \times 5 = 0.01 \times v_B$
$v_B = \frac{5}{0.01} = 500\, m/s$.
આમ,ગોળીનો મઝલ વેગ $500\, m/s$ છે.

(C) જેટ એન્જિન $Newton$ ના ગતિના ત્રીજા નિયમ અને રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
જેટ એન્જિનમાં હવા અંદર લેવામાં આવે છે,તેને દબાવવામાં આવે છે,બળતણ સાથે મિશ્ર કરવામાં આવે છે અને સળગાવવામાં આવે છે. પરિણામે ઉત્પન્ન થતા ઉચ્ચ દબાણ અને ઉચ્ચ તાપમાનવાળા વાયુઓ એક્ઝોસ્ટ નોઝલ દ્વારા ખૂબ જ ઝડપથી બહાર ફેંકાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં તંત્ર (એન્જિન + વાયુઓ) નું વેગમાન અચળ રહે છે. બહાર ફેંકાતા વાયુઓનું પાછળની તરફનું વેગમાન એન્જિન પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં આગળની તરફનું વેગમાન (થ્રસ્ટ) ઉત્પન્ન કરે છે,જે વિમાનને આગળ ધપાવે છે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,પદાર્થ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $P_{initial} = 0$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,જો બે ટુકડાઓના દળ $m_1$ અને $m_2$ હોય અને વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ હોય,તો $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $m_1 v_1 = -m_2 v_2$.
મૂલ્ય લેતા,$|p_1| = |p_2|$.
આમ,બંને ભાગોનું વેગમાન આંકડાકીય રીતે સમાન હશે,પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન અને અંતિમ વેગમાન સમાન હોય છે.
ટેન્ક શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે $M = 125000 \ lb$ એ ટેન્કનું દળ છે,$m = 25 \ lb$ એ ગોળાનું દળ છે,$v = 1000 \ ft/sec$ એ ગોળાનો વેગ છે અને $V$ એ ટેન્કનો રિકોઈલ વેગ છે.
વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ: $M \times V + m \times v = 0$.
$125000 \times V + 25 \times 1000 = 0$.
$125000 \times V = -25000$.
$V = -\frac{25000}{125000} = -0.2 \ ft/sec$.
આમ,રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $0.2 \ ft/sec$ છે.

(D) બોમ્બનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,વિસ્ફોટ પછી બંને ભાગો સમાન અને વિરુદ્ધ વેગમાન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
ધારો કે $m_A = 4 \, kg$ અને $m_B = 8 \, kg$.
આપેલ છે કે $v_B = 6 \, m/s$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_A v_A = m_B v_B$
$4 \times v_A = 8 \times 6$
$4 \times v_A = 48$
$v_A = 12 \, m/s$
$4 \, kg$ દળની ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{2} m_A v_A^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2$
$K.E. = 2 \times 144 = 288 \, J$.

(A) કોઈપણ પદાર્થની ગતિઊર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ વેગમાન છે અને $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે રાઈફલમાંથી ગોળી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે રાઈફલનું વેગમાન અને ગોળીનું વેગમાન સમાન હોય છે $(P_{rifle} = P_{bullet} = P)$.
અહીં $P$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto \frac{1}{m})$.
રાઈફલનું દળ $(M)$ એ ગોળીના દળ $(m)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,રાઈફલની ગતિઊર્જા ગોળીની ગતિઊર્જા કરતા ઘણી ઓછી હશે.

(A) બોમ્બનું કુલ દળ $M = 12 \ kg$ છે. તે બે ભાગ $m_1$ અને $m_2$ માં વિભાજિત થાય છે જેથી $m_1 + m_2 = 12$ અને $m_1/m_2 = 1/3$ થાય.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $m_1 = 3 \ kg$ (નાનો ભાગ) અને $m_2 = 9 \ kg$ (મોટો ભાગ) મળે છે.
નાના ભાગની ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = 216 \ J$ છે.
$m_1 = 3 \ kg$ મૂકતા,$\frac{1}{2} \times 3 \times v_1^2 = 216$,જે આપણને $v_1^2 = 144$ આપે છે,તેથી $v_1 = 12 \ m/s$.
નાના ભાગનું વેગમાન $p_1 = m_1 v_1 = 3 \times 12 = 36 \ kg \cdot m/s$ થાય.
બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,બંને ભાગોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_1 = p_2 = 36 \ kg \cdot m/s$.
આમ,મોટા ભાગનું વેગમાન $36 \ kg \cdot m/s$ છે.

(C) બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m_1 = 3\,kg$ અને $m_2 = 6\,kg.$ ધારો કે $v_1 = 1.6\,m/s$ એ $3\,kg$ દળનો વેગ છે અને $v_2$ એ $6\,kg$ દળનો વેગ છે.
$m_1v_1 + m_2v_2 = 0$
$3 \times (-1.6) + 6 \times v_2 = 0$
$-4.8 + 6v_2 = 0$
$6v_2 = 4.8$
$v_2 = 0.8\,m/s$
$6\,kg$ દળની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}m_2v_2^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 6 \times (0.8)^2 = 3 \times 0.64 = 1.92\,J.$

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં કણ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
તેથી,બંને કણોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_1 = p_2 = p$.
કોઈપણ કણની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં વેગમાન $p$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{m}$.
આમ,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ થશે.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાં કુલ વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી બંને ટુકડાઓ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં વેગમાન ધરાવતા હોવા જોઈએ: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
અહીં $m_1 = 1.0 \, kg$,$v_1 = 80 \, m/s$,અને $m_2 = 2.0 \, kg$ આપેલ છે.
$1.0 \times 80 = 2.0 \times v_2 \implies v_2 = 40 \, m/s$.
ટુકડાઓને મળેલી કુલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ છે.
$K = \frac{1}{2} \times 1.0 \times (80)^2 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (40)^2$.
$K = \frac{1}{2} \times 6400 + 1.0 \times 1600 = 3200 + 1600 = 4800 \, J$.
$kJ$ માં ફેરવતા,$K = 4.8 \, kJ$ મળે છે.

(C) $3\,m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે કારણ કે તે સ્થિર છે.
વિસ્ફોટને કારણે,આ દળ $m$ દળના ત્રણ સમાન ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
ધારો કે ત્રીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{V}$ છે.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $m\vec{V} + m(v\hat{i}) + m(v\hat{j})$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ:
$0 = m\vec{V} + mv\hat{i} + mv\hat{j}$
$m\vec{V} = -mv\hat{i} - mv\hat{j}$
$\vec{V} = -v(\hat{i} + \hat{j})$

(B) ધારો કે પદાર્થનું પ્રારંભિક દળ $m$ છે.
પ્રારંભિક રેખીય વેગમાન = $mv$.
જ્યારે તે બે સમાન દળમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $\frac{m}{2}$ થાય છે.
એક ટુકડો $v$ વેગ સાથે પાછળની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી તેનો વેગ $-v$ છે.
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$mv = \frac{m}{2}(-v) + \frac{m}{2}(v_2)$
$mv = -\frac{mv}{2} + \frac{mv_2}{2}$
$mv + \frac{mv}{2} = \frac{mv_2}{2}$
$\frac{3mv}{2} = \frac{mv_2}{2}$
$v_2 = 3v$.
પરિણામ ધન હોવાથી,બીજો ટુકડો $3v$ વેગ સાથે આગળની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(A) જ્યારે તોપનો ગોળો હવામાં ફાટે છે,ત્યારે વિસ્ફોટક પદાર્થમાં સંગ્રહિત આંતરિક રાસાયણિક ઊર્જાનું યાંત્રિક ઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
આ ઊર્જાના મુક્ત થવાને કારણે ટુકડાઓની કુલ ગતિઊર્જામાં વધારો થાય છે.
જોકે,વિસ્ફોટ આંતરિક બળોને કારણે થતો હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોમ્બનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
તેથી,બંને ટુકડાઓનું અંતિમ વેગમાન મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m_A = 18 \, kg$,$v_A = 6 \, m/s$ અને $m_B = 12 \, kg$.
$m_A v_A = m_B v_B$
$18 \times 6 = 12 \times v_B$
$v_B = \frac{108}{12} = 9 \, m/s$
$12 \, kg$ દળના ટુકડાની ગતિઊર્જા નીચે મુજબ મળે:
$K.E. = \frac{1}{2} m_B v_B^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 12 \times (9)^2$
$K.E. = 6 \times 81 = 486 \, J$

(A) અથડામણ દરમિયાન,તંત્ર પર બાહ્ય આઘાતી બળો કાર્ય કરી શકે છે. આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ આઘાત જેટલો હોય છે,જે $\int F_{ext} dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો અથડામણનો સમય $\Delta t$ અત્યંત નાનો હોય,તો બાહ્ય બળો દ્વારા આપવામાં આવતો આઘાત અથડામણના આંતરિક બળોની તુલનામાં નગણ્ય બની જાય છે. તેથી,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શેલ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી તેનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,કુલ વેગમાન $0$ રહેવું જોઈએ.
ધારો કે બે ટુકડાઓના દળ $m_1 = m_2 = m$ છે.
ધારો કે તેમના વેગ $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = 0$.
આ સૂચવે છે કે $\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$.
દળ સમાન હોવાથી,તેમના વેગના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ $(|v_1| = |v_2|)$,અને ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તેઓ એકબીજાની બિલકુલ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરશે.

(B) ધારો કે તોપના ગોળાનું દળ $m$ છે. મહત્તમ બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ છે,અને સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 200 \cos 60^{\circ} = 200 \times 0.5 = 100 \, m/s$ છે.
આમ,મહત્તમ બિંદુએ તોપના ગોળાનું વેગમાન $\vec{P} = m \times 100 \hat{i}$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,દળ $3$ સમાન ટુકડાઓમાં વહેંચાય છે,દરેકનું દળ $m/3$ છે.
ધારો કે ત્રીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j}$ છે.
ટુકડાઓના વેગ $\vec{v}_1 = 100 \hat{j}$,$\vec{v}_2 = -100 \hat{j}$,અને $\vec{v}_3 = V_x \hat{i} + V_y \hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$.
$m(100 \hat{i}) = \frac{m}{3}(100 \hat{j}) + \frac{m}{3}(-100 \hat{j}) + \frac{m}{3}(V_x \hat{i} + V_y \hat{j})$.
$100 \hat{i} = \frac{1}{3}(V_x \hat{i} + V_y \hat{j})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા: $V_x = 300 \, m/s$ અને $V_y = 0$.
તેથી,ત્રીજો ટુકડો સમક્ષિતિજ દિશામાં $300 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરશે.

(D) કુલ દળ $M = 5 \,kg$ આપેલ છે. ટુકડાઓના દળનો ગુણોત્તર $1:1:3$ છે,તેથી ટુકડાઓના દળ $m_1 = 1 \,kg$,$m_2 = 1 \,kg$,અને $m_3 = 3 \,kg$ થશે.
$1 \,kg$ દળ ધરાવતા બે ટુકડાઓ પરસ્પર લંબ દિશામાં $v = 21 \,m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે.
પ્રથમ ટુકડાનું વેગમાન $P_x = m_1 v = 1 \times 21 = 21 \,kg \cdot m/s$ ($x$-અક્ષની દિશામાં).
બીજા ટુકડાનું વેગમાન $P_y = m_2 v = 1 \times 21 = 21 \,kg \cdot m/s$ ($y$-અક્ષની દિશામાં).
આ બે ટુકડાઓનું પરિણામી વેગમાન $P_{res} = \sqrt{P_x^2 + P_y^2} = \sqrt{21^2 + 21^2} = 21\sqrt{2} \,kg \cdot m/s$ થશે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિર પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. તેથી,ત્રીજા (સૌથી ભારે) ટુકડાનું વેગમાન પ્રથમ બે ટુકડાઓના પરિણામી વેગમાન જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
$P_3 = P_{res} = 21\sqrt{2} \,kg \cdot m/s$.
$P_3 = m_3 v_3$ હોવાથી,$3 \times v_3 = 21\sqrt{2}$ મળે.
$v_3 = \frac{21\sqrt{2}}{3} = 7\sqrt{2} \,m/s$.

(C) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને ગોળી છોડ્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન (બંદૂક + ગોળી) = $0$.
અંતિમ વેગમાન = $m_G v_G + m_B v_B = 0$.
તેથી,બંદૂકના વેગમાનનું મૂલ્ય એ ગોળીના વેગમાનના મૂલ્ય જેટલું થાય છે: $m_G v_G = m_B v_B$.
આપેલ છે:
ગોળીનું દળ $(m_B)$ = $50 \, g = 0.05 \, kg$.
ગોળીનો વેગ $(v_B)$ = $30 \, m/s$.
બંદૂકનો વેગ $(v_G)$ = $1 \, m/s$.
$m_G = \frac{m_B v_B}{v_G} = \frac{0.05 \times 30}{1} = 1.5 \, kg$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ વિસ્ફોટ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = mv$.
વિસ્ફોટ પછી,શેલ બે ટુકડાઓમાં વહેંચાય છે: એક $m_1 = m/4$ દળનો જેનો વેગ $v_1 = 0$ છે,અને બીજો $m_2 = m - m/4 = 3m/4$ દળનો જેનો વેગ $v_2$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m/4)(0) + (3m/4)v_2 = (3m/4)v_2$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$mv = (3m/4)v_2$
$v = (3/4)v_2$
$v_2 = \frac{4}{3}v$.
તેથી,બીજા શેલનો વેગ $\frac{4}{3}v$ છે.

(C) પદાર્થ સ્થિર હોવાથી અને બે સમાન ટુકડાઓમાં વિસ્ફોટ પામતો હોવાથી,વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટુકડાઓ સમાન ઝડપથી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરશે. ધારો કે દરેક ટુકડાની ઝડપ $v = 10 \, m/s$ છે.
ધારો કે વિસ્ફોટનું બિંદુ $A$ છે. $t$ સમય પછી,ટુકડાઓ એવી સ્થિતિમાં હશે કે જ્યાં $A$ થી તેમના ત્રિજ્યા સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ બને. સંમિતિને કારણે,દરેક ત્રિજ્યા સદિશ $A$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા સાથે $45^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે $D$ એ $A$ ની બરાબર નીચેનું બિંદુ છે જે $t$ સમયે ટુકડાઓના શિરોલંબ સ્તર પર છે. દરેક ટુકડા દ્વારા કાપેલું શિરોલંબ અંતર $h = \frac{1}{2}gt^2 = 5t^2$ છે ($g = 10 \, m/s^2$ લેતા).
એક ટુકડા દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x = vt = 10t$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર અને સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $45^o$ છે. તેથી,$\tan(45^o) = \frac{\text{સમક્ષિતિજ અંતર}}{\text{શિરોલંબ અંતર}} = \frac{x}{h}$.
$\tan(45^o) = 1$ હોવાથી,$x = h$ મળે.
$10t = 5t^2$
$5t^2 - 10t = 0 \Rightarrow 5t(t - 2) = 0$.
$t \neq 0$ હોવાથી,આપણને $t = 2 \, s$ મળે છે.

(A) $50 \, kg$ દળના પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u = 100 \, m/s$ છે. $v = u - gt$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = 5 \, s$ પછી વેગ $v = 100 - 9.8 \times 5 = 51 \, m/s$ મળે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m \times v = 50 \times 51 = 2550 \, kg \cdot m/s$ (ઉપરની તરફ).
ધારો કે $30 \, kg$ ના ટુકડાનો વેગ $V$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$P_i = P_f$.
$2550 = (20 \times 150) + (30 \times V)$.
$2550 = 3000 + 30V$.
$30V = 2550 - 3000 = -450$.
$V = -15 \, m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે $30 \, kg$ નો ટુકડો $15 \, m/s$ ના વેગથી નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને વિસ્ફોટ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ.
અવકાશયાનનું પ્રારંભિક વેગમાન = $MV$.
વિસ્ફોટ પછી,અવકાશયાન બે ભાગમાં વહેંચાય છે: એક $m$ દળનો અને બીજો $(M - m)$ દળનો.
$m$ દળનો ભાગ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તેનો વેગ $0$ છે.
ધારો કે $(M - m)$ દળના બાકીના ભાગનો વેગ $v$ છે.
અંતિમ વેગમાન = $m \times 0 + (M - m) \times v = (M - m)v$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$MV = (M - m)v$
$v = \frac{MV}{M - m}$.

(D) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને ગોળી છોડ્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = $0$.
અંતિમ વેગમાન = $m_B v_B + m_G v_G = 0$,જ્યાં $m_B$ એ ગોળીનું દળ છે,$v_B$ એ ગોળીનો વેગ છે,$m_G$ એ બંદૂકનું દળ છે અને $v_G$ એ બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ છે.
આપેલ છે: $m_B = 50 \, g = 0.05 \, kg$,$v_B = 1 \, km/s = 1000 \, m/s$,$m_G = 5 \, kg$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.05 \, kg) \times (1000 \, m/s) + (5 \, kg) \times v_G = 0$.
$50 + 5 v_G = 0$.
$5 v_G = -50$.
$v_G = -10 \, m/s$.
રિકોઈલ ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,જે $10 \, m/s$ છે.

(D) શરૂઆતમાં પદાર્થ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા બે ભાગો $x$ અને $y$ અક્ષ પર $\vec{v}_1 = 12\hat{i} \, m/s$ અને $\vec{v}_2 = 12\hat{j} \, m/s$ વેગથી ગતિ કરે છે.
આ બે ભાગોનું પરિણામી વેગમાન $\vec{P}_{12} = m(12\hat{i}) + m(12\hat{j}) = 12m(\hat{i} + \hat{j})$ છે.
આ પરિણામી વેગમાનનું મૂલ્ય $P_{12} = \sqrt{(12m)^2 + (12m)^2} = 12m\sqrt{2}$ છે.
ધારો કે ત્રીજા ભાગનું દળ $3m$ અને વેગ $\vec{V}$ છે. કુલ વેગમાન શૂન્ય થવા માટે,ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{P}_3$ એ $\vec{P}_{12}$ ની વિરુદ્ધ અને સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$3m \times V = 12m\sqrt{2}$.
$V = \frac{12m\sqrt{2}}{3m} = 4\sqrt{2} \, m/s$.
આ વેગની દિશા પ્રથમ બે ભાગોના પરિણામી વેગમાનની વિરુદ્ધ છે,જે પ્રથમ બે ભાગો સાથે $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = Mv$.
વિસ્ફોટ પછી,અવકાશયાન $m$ દળના બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે. એક ટુકડો સ્થિર છે $(v_1 = 0)$,અને બીજો ટુકડો $v_2$ વેગથી ગતિ કરે છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m(0) + m(v_2) = m v_2$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $Mv = m(0) + (M - m)v_2$.
તેથી,$v_2 = \frac{Mv}{M - m}$.

(A) ધારો કે બે ટુકડાઓનું દળ $m$ છે અને ત્રીજા ટુકડાનું દળ $3m$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે ટુકડાઓના વેગ $\vec{v}_1 = 30\hat{i} \, m/s$ અને $\vec{v}_2 = 30\hat{j} \, m/s$ છે.
આ બે ટુકડાઓનું વેગમાન $\vec{p}_1 = m(30\hat{i})$ અને $\vec{p}_2 = m(30\hat{j})$ છે.
આ બે ટુકડાઓનું પરિણામી વેગમાન $\vec{p}_{12} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 30m\hat{i} + 30m\hat{j}$ છે.
આ પરિણામી વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{12} = \sqrt{(30m)^2 + (30m)^2} = 30m\sqrt{2}$ છે.
કુલ વેગમાન શૂન્ય રહે તે માટે,ત્રીજા ટુકડાનું વેગમાન $\vec{p}_3$ એ $\vec{p}_{12}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
તેથી,$3m \cdot V = 30m\sqrt{2}$,જ્યાં $V$ એ ત્રીજા ટુકડાના વેગનું મૂલ્ય છે.
$V = \frac{30m\sqrt{2}}{3m} = 10\sqrt{2} \, m/s$.
ત્રીજા ટુકડાની દિશા પ્રથમ બે ટુકડાઓના પરિણામી વેગમાનની વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ. બે લંબ ટુકડાઓનું પરિણામી વેગમાન દરેક સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ત્રીજો ટુકડો પ્રથમ બે ટુકડાઓ સાથે $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવશે.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન તેના કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$ છે.
ધારો કે બે ટુકડાઓના દળ $m_1$ અને $m_2$ છે,અને તેમના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
આપેલ છે કે એક ટુકડો $v_0$ વેગ સાથે ઉર્ધ્વ શિરોલંબ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $v_1 = v_0$ (ઉર્ધ્વ દિશા ધન લેતા).
$m_1 v_0 + m_2 v_2 = 0$
$v_2 = -(m_1 / m_2) v_0$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બીજો ટુકડો પ્રથમ ટુકડાની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે અધોદિશામાં શિરોલંબ રીતે ગતિ કરશે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આંતરિક બળો હંમેશા સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાની જોડીમાં હોય છે.
તંત્ર પર લાગતું કુલ આંતરિક બળ $\vec{F}_{int} = \sum \vec{F}_{ij} = 0$ હોવાથી,રેખીય વેગમાનના ફેરફારનો દર $\frac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}_{ext} + \vec{F}_{int} = \vec{F}_{ext}$ થાય છે.
જો તંત્ર પર માત્ર આંતરિક બળો જ લાગતા હોય,તો $\vec{F}_{ext} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$.
તેથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન $\vec{P}$ અચળ રહે છે,એટલે કે તે સંરક્ષી રહે છે.

(D) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે કોઈ તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,ત્યારે તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
બે પદાર્થો વચ્ચેની અથડામણ દરમિયાન,અથડામણના ટૂંકા સમયગાળામાં લાગતા આંતરિક બળો,કોઈપણ બાહ્ય બળો (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ) કરતા ઘણા વધારે હોય છે.
તેથી,અથડામણ દરમિયાન તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે,પછી ભલે તે અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય કે અસ્થિતિસ્થાપક.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) બોમ્બનું કુલ દળ $M = 60 \ kg$ છે. તે સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $m_1 v_1 = -m_2 v_2$.
મૂલ્ય લેતા,$p_1 = p_2 = p$ મળે.
ગતિ ઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
તેથી,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$.
અહીં $m_1 = 40 \ kg$ અને $m_2 = 60 \ kg - 40 \ kg = 20 \ kg$ છે.
આપેલ છે કે $K_1 = 96 \ J$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{96}{K_2} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$K_2 = 96 \times 2 = 192 \ J$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને ગોળી છોડ્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
શરૂઆતનું વેગમાન = $0$.
અંતિમ વેગમાન = $m_b v_b + m_g v_g = 0$.
અહીં,$m_b = 50 \ g = 0.05 \ kg$,$v_b = 30 \ m \ s^{-1}$,અને $v_g = -1 \ m \ s^{-1}$ (પાછળની તરફનો વેગ).
$0.05 \times 30 + m_g \times (-1) = 0$.
$1.5 - m_g = 0$.
$m_g = 1.5 \ kg$.

(D) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બંદૂક અને ગોળીનું વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ,એટલે કે $m_b v_b = M_r V_r$,જ્યાં $m_b$ અને $v_b$ એ ગોળીનું દળ અને વેગ છે,અને $M_r$ અને $V_r$ એ બંદૂકનું દળ અને પ્રત્યાઘાતી વેગ છે.
બંદૂકનું દળ $M_r$ એ ગોળીના દળ $m_b$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી $(M_r \gg m_b)$,બંદૂકનો પ્રત્યાઘાતી વેગ $V_r$ એ ગોળીના વેગ $v_b$ કરતા ઘણો ઓછો હોય છે.
ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
બંનેના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવાથી $(p_b = p_r = p)$,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(K \propto \frac{1}{m})$.
$M_r > m_b$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $K_r < K_b$.
તેથી,પ્રત્યાઘાતી બંદૂકની ગતિઊર્જા ગોળીની ગતિઊર્જા કરતા ઓછી હોય છે.

(A) ધારો કે ગોળાનું દળ $2m$ છે. સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ,ગોળાનો વેગ સમક્ષિતિજ દિશામાં $v_x = v \cos \theta$ હોય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને વિસ્ફોટ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = (2m)(v \cos \theta)$.
વિસ્ફોટ પછી,$m$ દળનો એક ટુકડો તેના પથ પર પાછો ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ $-v \cos \theta$ છે.
ધારો કે $m$ દળના બીજા ટુકડાનો વેગ $v'$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $(2m)(v \cos \theta) = m(-v \cos \theta) + m(v')$.
$m$ વડે ભાગતા: $2v \cos \theta = -v \cos \theta + v'$.
તેથી,$v' = 3v \cos \theta$.

(C) ગુરૂત્વમુક્ત ઓરડામાં,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે જ્યારે માણસ $u$ વેગથી બોલને નીચે ફેંકે છે ત્યારે તે $v$ વેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે:
$m_1 v - m_2 u = 0 \implies v = \frac{m_2 u}{m_1}$.
બોલને તળિયા સુધી પહોંચતા લાગતો સમય $t = \frac{h}{u}$ છે.
આ સમય દરમિયાન,માણસ $d = v \times t = \left( \frac{m_2 u}{m_1} \right) \times \left( \frac{h}{u} \right) = \frac{m_2}{m_1} h$ જેટલું ઉપર તરફ ગતિ કરશે.
માણસની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h$ હતી. તે $\frac{m_2}{m_1} h$ જેટલો ઉપર જતો હોવાથી,તેનું તળિયાથી નવું અંતર $h + \frac{m_2}{m_1} h = \left( 1 + \frac{m_2}{m_1} \right) h$ થશે.