Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Gujarati

(A) અંતર્ગોળ બ્રિજના સૌથી નીચલા બિંદુએ,વાહન પર લાગતા બળોમાં લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ (દબાણ) ઉપરની તરફ અને વજનબળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે.
વાહન $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતું હોવાથી,પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ એ લંબ પ્રતિક્રિયા અને વજનબળના તફાવત દ્વારા મળે છે.
$N - mg = \frac{mv^2}{r}$
તેથી,રસ્તા પર લાગતું દબાણ $N$ નીચે મુજબ મળે:
$N = mg + \frac{mv^2}{r}$

(A) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગથી ગતિ કરતા $m$ દળ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડતું દોરીનું તણાવ $T = m\omega^2r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m$ અને $r$ અચળ હોવાથી,$T \propto \omega^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\omega \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2 = \frac{T_1}{4}$ છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $\omega_1 = 10\, rpm$ અને અંતિમ ઝડપ $\omega_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{\omega_2}{10} = \sqrt{\frac{T_1/4}{T_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\omega_2 = 10 \times \frac{1}{2} = 5\, rpm$.

(A) જ્યારે ડ્રાઇવર બ્રેક લગાવે છે,ત્યારે કાર ઘર્ષણ બળ $F$ ની અસર હેઠળ સ્થિર થાય તે પહેલાં $x$ અંતર કાપે છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$\frac{1}{2}mv^2 = Fx$,જે આપે છે $x = \frac{mv^2}{2F}$.
જ્યારે ડ્રાઇવર તીવ્ર વળાંક લે છે,ત્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ઘર્ષણ બળ $F$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. આમ,$\frac{mv^2}{r} = F$,જે આપે છે $r = \frac{mv^2}{F}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x = \frac{r}{2}$.
કારણ કે $x < r$,કારને સુરક્ષિત રીતે વળાંક લેવા માટે જરૂરી ત્રિજ્યા કરતા બ્રેક લગાવીને ઓછા અંતરમાં રોકી શકાય છે. તેથી,ડ્રાઇવરે જોરથી બ્રેક મારવી જોઈએ.

(C) સિસ્ટમનું કુલ વજન પક્ષી અને પાંજરાના વજનનો સરવાળો છે,જે $2 \ kg + 1 \ kg = 3 \ kg$ છે.
જ્યારે પક્ષી બંધ પાંજરાની અંદર ઉડવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તે તેના ઉડાનને જાળવી રાખવા માટે તેના વજન જેટલું બળ હવા પર નીચેની તરફ લગાડે છે.
આ નીચેની તરફનું બળ હવાનું દબાણ દ્વારા પાંજરાના તળિયે સ્થાનાંતરિત થાય છે.
તેથી,વજન કાંટા પર નોંધાયેલું કુલ વજન બદલાતું નથી,કારણ કે સિસ્ટમ બંધ છે અને આંતરિક બળો સિસ્ટમ પર કાર્યરત ચોખ્ખા બાહ્ય બળને બદલતા નથી.
આમ,સંગઠનનું કુલ વજન $3 \ kg$ જ રહે છે.

(D) ધારો કે પેરાશૂટિસ્ટનું દળ $m$ છે. પેરાશૂટિસ્ટનું વજન $w = mg$ છે.
જ્યારે પેરાશૂટિસ્ટ જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેના પર બે બળો લાગે છે: જમીન દ્વારા લાગતું ઉપરની તરફનું લંબબળ $N$ અને નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $w$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = N - w = ma$ છે.
અહીં ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a = 3g$ આપેલ છે,તેથી:
$N - w = m(3g)$
$w = mg$ હોવાથી,$m = w/g$ થાય.
સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા:
$N - w = (w/g) \times 3g$
$N - w = 3w$
$N = 3w + w = 4w$.
આમ,જમીન દ્વારા લાગતું બળ $4w$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોય અને તેના પર વિરુદ્ધ દિશામાં બળ (વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું બળ) લગાડવામાં આવે,ત્યારે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે,જેને પ્રતિપ્રવેગ (retardation) કહેવામાં આવે છે.
આ પ્રતિપ્રવેગને કારણે પદાર્થનો વેગ સમય જતાં ઘટતો જાય છે.
તેથી,પદાર્થની ઝડપ ચોક્કસપણે ઘટશે.

(C) ધારો કે વિસ્ફોટ પછી $m_1$ અને $m_2$ દળ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલા વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,જેનો અર્થ છે કે $v_1/v_2 = m_2/m_1$.
જ્યારે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $\mu$ ઘર્ષણાંક ધરાવતી સપાટી પર ગતિ કરે છે,ત્યારે ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય $W = -\mu m g s = -\frac{1}{2} m v^2$ છે. આના પરથી $s = \frac{v^2}{2 \mu g}$ મળે છે.
અહીં $\mu$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$s \propto v^2$ થાય.
તેથી,$\frac{s_2}{s_1} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2$.
વેગમાન સંરક્ષણના ગુણોત્તરને મૂકતા,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{m_1}{m_2} \right)^2$.
આમ,$s_2 = \left( \frac{m_1}{m_2} \right)^2 s_1$.

(D) સપાટી પર લાગતું બળ એ દડાઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
એક દડા માટે વેગમાનમાં ફેરફાર = $mv - (-mv) = 2mv$.
કુલ બળ $F = n \times (2mv)$,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ દડાઓની સંખ્યા છે $(10,000 = 10^4 \, s^{-1})$,$m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,અને $v = 100 \, m/s$.
$F = 10^4 \times 2 \times 10^{-3} \times 100 = 2000 \, N$.
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{2000}{10^{-4}} = 2 \times 10^7 \, N/m^2$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પંખો હવાને સઢ તરફ ફૂંકવા માટે તેના પર બળ લગાડે છે.
તે જ સમયે,હવા પંખા (અને આમ હોડી) પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે.
જો કે,જ્યારે હવા સઢ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે સઢ પર હવાની દિશામાં બળ લગાડે છે.
પંખો અને સઢ બંને એક જ હોડી સાથે જોડાયેલા હોવાથી,આ બળો સિસ્ટમ માટે આંતરિક છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,સિસ્ટમની ગતિની સ્થિતિ બદલવા માટે બાહ્ય બળની જરૂર હોય છે.
હોડી પર કોઈ ચોખ્ખું બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,હોડી સ્થિર રહેશે.

(A) જ્યારે કોઈ માણસ પ્લેટફોર્મ પરથી કૂદકો મારવા માંગે છે,ત્યારે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ ઉપરની તરફ વેગ મેળવવા માટે તેણે પ્લેટફોર્મ પર વધારાનું નીચેની તરફ બળ લગાડવું પડે છે.
આ વધારાના બળને કારણે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ ક્ષણિક રીતે વધે છે.
જેમ માણસ પ્લેટફોર્મ છોડે છે,તેમ સંપર્ક બળ શૂન્ય થઈ જાય છે અને પરિણામે,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ ઘટીને શૂન્ય થઈ જાય છે.

(C) જ્યારે ઠંડા સોફ્ટ ડ્રિંકનું ઢાંકણું ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે બોટલની અંદર રહેલો દબાયેલો વાયુ નોંધપાત્ર વેગ સાથે ઉપરની દિશામાં બહાર નીકળે છે. ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ,વાયુ બોટલ પર નીચેની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ (પ્રતિક્રિયા બળ) લગાડે છે. આ વધારાનું નીચેની તરફનું બળ ત્રાજવા પરના અવલોકનને ક્ષણિક રીતે વધારે છે. જેમ જેમ વાયુ બહાર નીકળી જાય છે અને બોટલની અંદરનું દબાણ સ્થિર થાય છે,તેમ વાયુના નુકસાનને કારણે બોટલનું દળ ઘટે છે,જેનાથી અંતિમ અવલોકન પ્રારંભિક અવલોકન કરતા ઓછું થઈ જાય છે. તેથી,વજનનું અવલોકન પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(B) પાંજરું એ એક બંધ સિસ્ટમ છે જેમાં પક્ષી,હવા અને પાંજરું પોતે સમાવિષ્ટ છે.
જ્યારે પક્ષી $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ઉડે છે,ત્યારે તે હવા પર નીચેની તરફ બળ લગાડે છે,જે બદલામાં પક્ષી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં ઉપરનું બળ લગાડે છે.
જો કે,કારણ કે સિસ્ટમ બંધ છે અને બાહ્ય બળોથી અલગ છે,સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દ્વારા નોંધાયેલ કુલ વજન સિસ્ટમના કુલ દળ (પક્ષી + પાંજરું + હવા) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ અચળ રહેતું હોવાથી અને સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ કાર્ય કરતું ન હોવાથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ બદલાતું નથી.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $25 \, N$ વજન નોંધવાનું ચાલુ રાખશે.

(A) કણ સ્થિર રહે તે માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{F_1} = -(\vec{F_2} + \vec{F_3})$.
જેহেতু $F_2$ અને $F_3$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી પરિણામી બળ $(\vec{F_2} + \vec{F_3})$ નું મૂલ્ય $\sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ થાય.
આમ,$F_1$ નું મૂલ્ય $F_1 = \sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ છે.
જ્યારે $F_1$ બળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કણ પર લાગતું બાકીનું ચોખ્ખું બળ $\vec{F_2} + \vec{F_3}$ છે.
આ ચોખ્ખા બળનું મૂલ્ય $\sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ છે,જે $F_1$ જેટલું જ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{F_1}{m}$ મળે છે.

(C) બાજુના દળ $m$ સંતુલનમાં રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ એ દળના વજનબળ જેટલું હોવું જોઈએ: $T = mg$.
હવે,મધ્યના દળ $\sqrt{2}m$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતા બળો નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\sqrt{2}mg$ અને બે દોરીઓ દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતા તણાવબળ $T$ ના ઘટકો છે.
તણાવબળ $T$ ને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા,આપણને મળે છે: $2T \cos \theta = \sqrt{2}mg$.
સમીકરણમાં $T = mg$ મૂકતા:
$2(mg) \cos \theta = \sqrt{2}mg$
$2 \cos \theta = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\theta = 45^\circ$.

(D) ગરગડી પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીના આડા ભાગમાં તણાવ $T$,જ્યાં $T = Mg$.
$2$. દોરીના ઉભા ભાગમાં તણાવ $T$,જ્યાં $T = Mg$.
$3$. ગરગડીનું વજન $mg$,જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$4$. ક્લેમ્પ દ્વારા ગરગડી પર લાગતું બળ $F_{pc}$.
ગરગડી સંતુલનમાં રહે તે માટે,બધા બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ. ગરગડી પર લાગતા બળો આડા તણાવ $T$ (ડાબી તરફ),ઉભા તણાવ $T$ (નીચેની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
કુલ આડું બળ $F_x = T = Mg$.
કુલ ઉભું બળ $F_y = T + mg = Mg + mg = (M + m)g$.
ક્લેમ્પ દ્વારા ગરગડી પર લાગતા બળનું મૂલ્ય આ બે લંબ બળોનું પરિણામી બળ છે:
$F_{pc} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$
$F_{pc} = \sqrt{(Mg)^2 + ((M + m)g)^2}$
$F_{pc} = \sqrt{M^2 + (M + m)^2} g$

(D) જો લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ બ્લોક $A$ અને $B$ વચ્ચેના સીમાંત ઘર્ષણ $f_l$ કરતા ઓછું હોય,તો બંને બ્લોક્સ સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.
$a_A = a_B = \frac{F}{m_A + m_B}$
જેમ કે $F$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી સામાન્ય પ્રવેગ પણ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જ્યારે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_l$ કરતા વધી જાય છે,ત્યારે બ્લોક્સ એકબીજાની સાપેક્ષમાં સરકવાનું શરૂ કરે છે.
બ્લોક $B$ માટે,ચોખ્ખું બળ $F - f_k$ છે,જ્યાં $f_k$ એ ગતિક ઘર્ષણ છે. આમ,$B$ નો પ્રવેગ $a_B = \frac{F - f_k}{m_B}$ છે. જેમ $F$ વધતું જાય છે,તેમ $a_B$ અગાઉ કરતા વધુ તીવ્ર ઢાળ સાથે વધે છે.
બ્લોક $A$ માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ બ્લોક $B$ દ્વારા લગાડવામાં આવતું ગતિક ઘર્ષણ $f_k$ છે. આમ,$A$ નો પ્રવેગ $a_A = \frac{f_k}{m_A}$ છે. $f_k$ અચળ હોવાથી,સરકવાનું શરૂ થયા પછી $a_A$ અચળ રહે છે.
ઢાળ અને વર્તણૂકની સરખામણી કરતા,આલેખ $D$ આને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે: જ્યાં સુધી સરકવાનું શરૂ ન થાય ત્યાં સુધી બંને પ્રવેગ સાથે વધે છે,ત્યારબાદ $a_B$ વધવાનું ચાલુ રાખે છે જ્યારે $a_A$ અચળ રહે છે.

(D) . બોલ બેરિંગ સરકતા ઘર્ષણને લોટણ ઘર્ષણમાં રૂપાંતરિત કરે છે,જે ઘણું ઓછું હોય છે. લ્યુબ્રિકેશન સપાટીઓ વચ્ચે એક પાતળું પડ બનાવે છે જેથી સીધો સંપર્ક અટકે છે,અને પોલિશિંગ સપાટીની ખરબચડી ઘટાડે છે,આ બંને પદ્ધતિઓ ઘર્ષણને અસરકારક રીતે ઘટાડે છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
લોટણ ઘર્ષણ એ સરકતા ઘર્ષણ કરતા ઘણું ઓછું હોય છે કારણ કે લોટણ ગતિમાં સંપર્ક વિસ્તાર સરકતી ગતિ કરતા ઘણો ઓછો હોય છે.
તેથી,'લોટણ ઘર્ષણ એ સરકતા ઘર્ષણ કરતા વધારે હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(D) ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ પર આધાર રાખે છે.
$1$. ઋણ: મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં,ગતિક ઘર્ષણ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે કાર્ય ઋણ મળે છે.
$2$. ધન: જ્યારે કોઈ બ્લોકને ગતિ કરતા ટ્રક પર રાખવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ ટ્રકની ગતિની દિશામાં હોય છે,જે બ્લોકને પ્રવેગિત કરે છે. અહીં,બ્લોક પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન છે.
$3$. શૂન્ય: જો કોઈ પદાર્થને સપાટી પર ધકેલવામાં આવે પણ તે ગતિ ન કરે,તો સ્થાનાંતર $0$ છે,તેથી ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $0$ છે. તેમજ,જો ઘર્ષણ બળ સ્થાનાંતરને લંબ રૂપે લાગતું હોય,તો પણ કાર્ય $0$ થાય છે.
આમ,પરિસ્થિતિ મુજબ ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(C) બ્લોક $B$ ને ગતિમાં લાવવા માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ તેના પર લાગતા ઘર્ષણ બળોને પાર કરવું આવશ્યક છે.
બ્લોક $B$ ની ગતિનો વિરોધ કરતા બે ઘર્ષણ બળો છે:
$1$. બ્લોક $A$ અને બ્લોક $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ $(f_{AB})$,જે $B$ પર તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
$f_{AB} = \mu_{AB} \cdot N_A = \mu_{AB} \cdot m_A \cdot g = 0.2 \times 100 \times 10 = 200\, N$.
$2$. બ્લોક $B$ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ $(f_{BG})$,જે $B$ પર તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
જમીન પરનું લંબબળ એ બંને બ્લોકના વજનનો સરવાળો છે: $N_G = (m_A + m_B)g = (100 + 200) \times 10 = 3000\, N$.
$f_{BG} = \mu_{BG} \cdot N_G = 0.3 \times 3000 = 900\, N$.
તેથી,બ્લોક $B$ ને ખસેડવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F$ એ આ બે ઘર્ષણ બળોનો સરવાળો છે:
$F = f_{AB} + f_{BG} = 200\, N + 900\, N = 1100\, N$.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
તેલ અને ગ્રેફાઇટ જેવા લુબ્રિકન્ટ્સનો ઉપયોગ સપાટીઓ વચ્ચે એક લીસી સ્તર બનાવીને ઘર્ષણ ઘટાડવા માટે થાય છે.
બોલ બેરિંગ્સનો ઉપયોગ સરકતા ઘર્ષણને રોલિંગ ઘર્ષણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે થાય છે,જે ઘણું ઓછું હોય છે.
રેતીનો ઉપયોગ ઘર્ષણ વધારવા માટે થાય છે,ઉદાહરણ તરીકે,લપસણા રસ્તાઓ પર અથવા પકડ સુધારવા માટે.

(C) ધારો કે ગાડીઓને આપવામાં આવેલ પ્રારંભિક વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,તેથી $v_1 / v_2 = m_2 / m_1$ થાય.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $f_k \cdot s = \frac{1}{2} m v^2$.
અહીં $f_k = \mu m g$ હોવાથી,$\mu m g s = \frac{1}{2} m v^2$,જેનું સાદું રૂપ $s = \frac{v^2}{2 \mu g}$ થાય છે.
આમ,$s \propto v^2$. કારણ કે $v \propto 1/m$,તેથી $s \propto (1/m)^2 = 1/m^2$ મળે.
તેથી,$s_2 / s_1 = (m_1 / m_2)^2$ થાય.
અહીં $m_1 = 200 \, kg$,$m_2 = 300 \, kg$,અને $s_1 = 36 \, m$ આપેલ છે:
$s_2 = s_1 \times (m_1 / m_2)^2 = 36 \times (200 / 300)^2 = 36 \times (2/3)^2 = 36 \times (4/9) = 16 \, m$.

(D) તંત્રનું કુલ દળ (ઘોડો + ગાડી) $M = 500 \, kg + 1500 \, kg = 2000 \, kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = 1 \, m/s^2$ છે.
તંત્ર પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu Mg$ છે,જ્યાં $\mu = 0.2$ અને $g = 10 \, m/s^2$ છે.
$f = 0.2 \times 2000 \times 10 = 4000 \, N$.
તંત્રને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી ચોખ્ખું બળ $F_{net} = Ma = 2000 \times 1 = 2000 \, N$ છે.
ઘોડા દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ $(F)$ એ ઘર્ષણ બળને દૂર કરીને ચોખ્ખો પ્રવેગ આપવા માટે હોવું જોઈએ: $F = F_{net} + f$.
$F = 2000 \, N + 4000 \, N = 6000 \, N$.

(A) સીમાંત ઘર્ષણ બળ $F_l = \mu mg = 0.6 \times 1 \times 9.8 = 5.88 \; N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રકના સંદર્ભમાં બ્લોક પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo force) $F_p = ma = 1 \times 5 = 5 \; N$ છે.
કારણ કે આભાસી બળ $(5 \; N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(5.88 \; N)$ કરતા ઓછું છે,તેથી બ્લોક ટ્રકની સાપેક્ષમાં સરકશે નહીં.
તેથી,બ્લોક પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ લાગુ પડેલા આભાસી બળ જેટલું જ હશે,જે $5 \; N$ છે.

(A) પગલું $1$: ઢળતી સપાટીના તળિયે વેગની ગણતરી કરો.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા,લીસા ઢાળ પર પ્રવેગ $a = g \sin 30^\circ = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s^2$ છે.
$v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$a = 5 \, m/s^2$,અને $s = 2 \, m$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \times 5 \times 2 = 20 \, m^2/s^2$.
પગલું $2$: ખરબચડી સપાટી પર કાપેલું અંતર $S$ શોધો.
ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર,માત્ર ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg$ લાગે છે.
મંદન $a' = \frac{f}{m} = \mu g = 0.25 \times 10 = 2.5 \, m/s^2$ છે.
$v_f^2 = v^2 - 2a'S$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 0$ (સ્થિર થાય છે):
$0 = 20 - 2 \times 2.5 \times S$
$5S = 20$
$S = 4 \, m$.

(C) સપાટી દ્વારા વસ્તુ પર લાગતું કુલ બળ $F$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નું પરિણામી બળ છે.
વસ્તુ સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી,લંબ પ્રતિક્રિયા $R = Mg$ થાય છે.
સપાટી દ્વારા લાગતું કુલ બળ $F = \sqrt{f^2 + R^2}$ છે.
જ્યારે વસ્તુ ગતિ કરતી નથી,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f$ નું મૂલ્ય $0$ થી લઈને સીમાંત ઘર્ષણ $\mu R$ સુધી હોઈ શકે છે,એટલે કે $0 \le f \le \mu Mg$.
જ્યારે $f = 0$ હોય,ત્યારે $F = \sqrt{0^2 + (Mg)^2} = Mg$.
જ્યારે $f = \mu Mg$ (સીમાંત ઘર્ષણ) હોય,ત્યારે $F = \sqrt{(\mu Mg)^2 + (Mg)^2} = Mg\sqrt{\mu^2 + 1}$.
આમ,$F$ નું મૂલ્ય $Mg$ અને $Mg\sqrt{1 + \mu^2}$ ની વચ્ચે હશે,એટલે કે $Mg \le F \le Mg\sqrt{1 + \mu^2}$.

(D) ઘર્ષણ બળની દિશા સાયકલની ગતિની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે.
$1$. જ્યારે પેડલ મારવામાં આવે છે: પાછળનું પૈડું ચેઈન દ્વારા ફરે છે,જે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે,તેથી જમીન પાછળના પૈડાં પર આગળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ લગાડે છે. આગળનું પૈડું મુક્ત રીતે ગબડે છે,તેથી તે તેની ગતિનો વિરોધ કરવા માટે પાછળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ અનુભવે છે.
$2$. જ્યારે પેડલ મારવાનું બંધ કરવામાં આવે છે (કોસ્ટિંગ): બંને પૈડાં મુક્ત રીતે ગબડે છે. આ કિસ્સામાં,બંને પૈડાં તેમની આગળની ગતિનો વિરોધ કરવા માટે જમીન તરફથી પાછળની દિશામાં ઘર્ષણ બળ અનુભવે છે.
પ્રશ્ન સાયકલની સામાન્ય ગતિ વિશે પૂછે છે,જે બંને પરિસ્થિતિઓને આવરી લે છે. તેથી,$(a)$ અને $(c)$ બંને વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં પૈડાં પર લાગતા ઘર્ષણ બળનું સાચું વર્ણન છે.

(D) કોઈપણ પદાર્થનો પ્રવેગ એ સમયની સાપેક્ષે વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $a = \frac{dv}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને અવલોકનકારો એકબીજાની સાપેક્ષે અચળ વેગથી ગતિ કરતા હોવાથી,તેઓ જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં છે.
શાસ્ત્રીય યંત્રશાસ્ત્ર મુજબ,જડત્વીય ફ્રેમ વચ્ચે ગેલિલિયન રૂપાંતરણ દરમિયાન પદાર્થનો પ્રવેગ બદલાતો નથી (અચળ રહે છે).
તેથી,બંને અવલોકનકારો બ્લોક માટે સમાન પ્રવેગનું અવલોકન કરશે.
ગતિઊર્જા,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય અને કુલ કાર્ય એ વેગ અને સ્થાનાંતર પર આધાર રાખે છે,જે નિર્દેશ ફ્રેમ પર આધારિત રાશિઓ છે.

(D) ધારો કે ટુકડાનું દળ $m = 2 \ kg$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 100 \ N/m$,ઢોળાવનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ અને ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2\sqrt{3}$ છે.
ટુકડો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે અને સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી સંકોચે છે જ્યાં સુધી તેનો વેગ ફરીથી $0$ ન થાય.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ,ઘર્ષણ અને સ્પ્રિંગ બળ) દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $0$ છે (કારણ કે પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગ $0$ છે).
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = \Delta K = 0$
$mg \sin \theta \cdot x - \mu mg \cos \theta \cdot x - \frac{1}{2} k x^2 = 0$
$x = \frac{2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)}{k}$
કિંમતો મૂકતા: $m = 2 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 30^\circ$,$\mu = 0.2\sqrt{3}$,$k = 100 \ N/m$:
$x = \frac{2 \times 2 \times 10 \times (\sin 30^\circ - 0.2\sqrt{3} \cos 30^\circ)}{100} = 0.08 \ m = 8 \ cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો જવાબ $13 \ cm$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,બોલ લિફ્ટના તળિયે અથડાય તે પહેલાં તેનો વેગ શોધો. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $h = 5 \ m$ છે:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 \ m/s$ (નીચેની તરફ).
નીચેની દિશાને ઋણ અને ઉપરની દિશાને ધન ગણીએ. તેથી,અથડામણ પહેલાં બોલનો વેગ $v_b = -10 \ m/s$ છે.
લિફ્ટનો વેગ $v_e = +1 \ m/s$ છે.
અથડામણ પહેલાં લિફ્ટની સાપેક્ષમાં બોલનો વેગ $v_{rel} = v_b - v_e = -10 - 1 = -11 \ m/s$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ધારતા,બોલ વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન સાપેક્ષ ઝડપ સાથે પાછો ફરે છે: $v'_{rel} = +11 \ m/s$.
હવે,આને ફરીથી જમીનના સંદર્ભમાં ફેરવતા: $v'_{b} = v'_{rel} + v_e = 11 + 1 = 12 \ m/s$.

(C) ટ્રક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_{forward} - F_{friction} = 1200 \ N - 500 \ N = 700 \ N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{700 \ N}{2800 \ kg} = 0.25 \ m/s^2$ મળે.
અંતર શોધવા માટે ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 15 \ m/s$,$t = 10 \ s$,અને $a = 0.25 \ m/s^2$ છે:
$s = (15 \times 10) + \frac{1}{2} \times 0.25 \times (10)^2$
$s = 150 + 0.125 \times 100$
$s = 150 + 12.5 = 162.5 \ m$.

(A) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $v_1 / v_2 = -m_2 / m_1$ થાય.
જ્યારે ગાડાઓ અટકે છે,ત્યારે તેમની ગતિઊર્જા ઘર્ષણ બળ વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં વપરાય છે: $\frac{1}{2} m v^2 = \mu m g S$.
આના પરથી $S = \frac{v^2}{2 \mu g}$ મળે છે.
તેથી,કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{18}{S_2} = \left( \frac{300}{100} \right)^2 = 3^2 = 9$.
આમ,$S_2 = \frac{18}{9} = 2 \ m$.

(A) પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_{applied} - f_k$ છે.
અહીં $F_{applied} = 7 \ N$,$m = 2 \ kg$,$\mu_k = 0.1$,અને $g = 9.8 \ m/s^2$ આપેલ છે.
ઘર્ષણબળ $f_k = \mu_k mg = 0.1 \times 2 \times 9.8 = 1.96 \ N$ થાય.
પરિણામી બળ $F_{net} = 7 - 1.96 = 5.04 \ N$ મળે.
પદાર્થનો પ્રવેગ $a = F_{net} / m = 5.04 / 2 = 2.52 \ m/s^2$ થાય.
$10 \ s$ માં પદાર્થનું સ્થાનાંતર $S = ut + (1/2)at^2 = 0 + (1/2) \times 2.52 \times (10)^2 = 126 \ m$ મળે.
આપેલા બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W_a = F_{applied} \times S = 7 \times 126 = 882 \ J$ થાય.
ઘર્ષણબળ દ્વારા થતું કાર્ય $W_f = -f_k \times S = -1.96 \times 126 = -246.96 \ J \approx -247 \ J$ થાય.
માત્ર મૂલ્ય લેતા,ઘર્ષણબળ દ્વારા થતું કાર્ય $247 \ J$ છે.

(C) સ્પ્રિંગ બંને ગાડીઓ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં આઘાત (impulse) લગાડે છે,તેથી દરેક ગાડીને મળતું વેગમાન $p$ સમાન હોય છે $(p_1 = p_2 = p)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $\mu mg S = \frac{p^2}{2m}$.
સ્થાનાંતર $S$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$S = \frac{p^2}{2\mu g m^2}$ મળે છે.
અહીં $p$,$\mu$ અને $g$ બંને ગાડીઓ માટે સમાન હોવાથી,સ્થાનાંતર $S$ એ દળના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $S \propto \frac{1}{m^2}$.
તેથી,સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S_2} = \frac{m_2^2}{m_1^2} = \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2$ થાય.
સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S_2} = -\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2$ થશે.

(C) બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે,લગાડેલ બળ $F$ એ તેના પર લાગતા ઘર્ષણ બળોને પાર કરવું જોઈએ.
બ્લોક $B$ પર લગાડેલ બળ $F$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં બે ઘર્ષણ બળો લાગે છે:
$1$. બ્લોક $A$ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $(f_{AB})$: $f_{AB} = \mu_{AB} m_A g = 0.2 \times 100 \times 10 = 200 \, N$.
$2$. જમીન દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $(f_{BG})$: $f_{BG} = \mu_{BG} (m_A + m_B) g = 0.3 \times (100 + 200) \times 10 = 0.3 \times 300 \times 10 = 900 \, N$.
બ્લોક $B$ ને ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી કુલ બળ $F = f_{AB} + f_{BG} = 200 \, N + 900 \, N = 1100 \, N$ છે.

(C) વિસ્ફોટ દ્વારા $m$ દળની ટ્રોલીને આપવામાં આવતી ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ છે,જ્યાં $P$ એ વેગમાન છે.
વિસ્ફોટ બંને ટ્રોલીને સમાન આઘાત (impulse) આપે છે,તેથી બંને માટે વેગમાન $P$ સમાન રહેશે.
ટ્રોલીને રોકવા માટે ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય $W = f \cdot s = \mu mg \cdot s$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$K = W$,તેથી $\frac{P^2}{2m} = \mu mg \cdot s$.
આના પરથી $s = \frac{P^2}{2 \mu g m^2}$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે $s \propto \frac{1}{m^2}$.
તેથી,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{m_1}{m_2} \right)^2$.
અહીં $m_1 = 200 \, kg$,$s_1 = 36 \, m$,અને $m_2 = 300 \, kg$ આપેલ છે:
$\frac{s_2}{36} = \left( \frac{200}{300} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.
$s_2 = 36 \times \frac{4}{9} = 16 \, m$.

(B) એન્જિન દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = F_{engine} \times v$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $v$ એ વેગ છે.
$30 \times 10^3 \ W = F_{engine} \times 30 \ m/s$.
તેથી,એન્જિન દ્વારા લાગતું બળ $F_{engine} = \frac{30000}{30} = 1000 \ N$ છે.
કાર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ એ એન્જિનના બળ અને અવરોધક બળનો તફાવત છે: $F_{net} = F_{engine} - F_{resistive}$.
$F_{net} = 1000 \ N - 750 \ N = 250 \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = m \times a$,જ્યાં $m = 1250 \ kg$ છે.
$250 = 1250 \times a$.
$a = \frac{250}{1250} = 0.2 \ m/s^2$.

(D) $1$. તણાવ $T_3$ એ વજન $W_2$ ને સીધું આધાર આપે છે,તેથી $T_3 = W_2$.
$2$. ગરગડી $P_2$ પરથી પસાર થતી દોરી એ જ દોરી છે જે $T_2$ અને $T_3$ તણાવ આપે છે. ગરગડી આદર્શ (દળરહિત અને ઘર્ષણરહિત) હોવાથી,દોરીમાં તણાવ સમાન રહે છે,તેથી $T_2 = T_3$.
$3$. જ્યાં $W_1$ લટકાવેલું છે તે બિંદુએ,$T_1$ અને $T_2$ ના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને સંતુલિત કરે છે $(T_1 \sin \theta = T_2 \sin \theta)$,જે સૂચવે છે કે $T_1 = T_2$.
$4$. તેથી,$T_1 = T_2 = T_3$.

(A) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,તણાવ $T_1$ અને $T_2$ ના ઉર્ધ્વ ઘટકો વજન $W_1$ ને સંતુલિત કરવા જોઈએ.
$T_1 \cos \theta + T_2 \cos \theta = W_1$
જેમ કે એક જ દોરી ગરગડી પરથી પસાર થાય છે,તણાવ $T_2$ એ વજન $W_2$ જેટલું છે,એટલે કે $T_2 = W_2$. વળી,સંમિતિ મુજબ,$T_1 = T_2 = W_2$.
આ કિંમતોને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$W_2 \cos \theta + W_2 \cos \theta = W_1$
$2W_2 \cos \theta = W_1$
તેથી,$W_2 = \frac{W_1}{2\cos \theta}$.

(B) બ્લોક $B$ સમતોલનમાં રહે તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તણાવ $T_1$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T_1 \sin \theta_1 = mg$ ... $(i)$
શિરોલંબ ઘટક: $T_1 \cos \theta_1 = mg$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$T_1^2 \sin^2 \theta_1 + T_1^2 \cos^2 \theta_1 = (mg)^2 + (mg)^2$
$T_1^2 (\sin^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_1) = 2(mg)^2$
કારણ કે $\sin^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_1 = 1$,તેથી:
$T_1^2 = 2(mg)^2$
$T_1 = \sqrt{2} \, mg$

(B) બ્લોક $B$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. બ્લોક $B$ પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T_1$,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,અને જમણી તરફ લાગતું આડું બળ $mg$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,આડી અને ઊભી બંને દિશામાં કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તણાવ $T_1$ ના ઘટકો પાડતા,આપણને મળે છે:
આડો ઘટક: $T_1 \sin {\theta _1} = mg$
ઊભો ઘટક: $T_1 \cos {\theta _1} = mg$
આડા ઘટકના સમીકરણને ઊભા ઘટકના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{{{T_1}\sin {\theta _1}}}{{{T_1}\cos {\theta _1}}} = \frac{{mg}}{{mg}}$
$\tan {\theta _1} = 1$
તેથી,${\theta _1} = 45^\circ$.

(D) બ્લોક $B$ (દળ $m$) માટે:
ક્ષૈતિજ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા: $T_1 \sin \theta_1 = mg$
શિરોલંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા: $T_1 \cos \theta_1 = mg$
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $T_1^2 (\sin^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_1) = (mg)^2 + (mg)^2 = 2(mg)^2$
આમ,$T_1 = \sqrt{2} mg$.
બ્લોક $A$ (દળ $m$) માટે:
ક્ષૈતિજ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા: $T_2 \sin \theta_2 = T_1 \sin \theta_1 = mg$
શિરોલંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા: $T_2 \cos \theta_2 = mg + T_1 \cos \theta_1 = mg + \sqrt{2} mg \cos(45^\circ) = mg + \sqrt{2} mg (1/\sqrt{2}) = 2mg$
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $T_2^2 (\sin^2 \theta_2 + \cos^2 \theta_2) = (mg)^2 + (2mg)^2 = 5(mg)^2$
તેથી,$T_2 = \sqrt{5} mg$.

(D) બ્લોક $B$ (દળ $m$) ના સંતુલનનો વિચાર કરો:
ક્ષૈતિજ બળ: $T_1 \sin \theta_1 = mg$
લંબ બળ: $T_1 \cos \theta_1 = mg$
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા,$\tan \theta_1 = 1 \Rightarrow \theta_1 = 45^o$ મળે.
વળી,$T_1 = \sqrt{(mg)^2 + (mg)^2} = \sqrt{2}mg$ થાય.
હવે,બ્લોક $A$ અને $B$ બંને ધરાવતી સિસ્ટમ (કુલ દળ $2m$) ના સંતુલનનો વિચાર કરો:
ક્ષૈતિજ બળ: $T_2 \sin \theta_2 = mg$ (માત્ર બ્લોક $B$ પર લાગતું ક્ષૈતિજ બળ $mg$ છે)
લંબ બળ: $T_2 \cos \theta_2 = 2mg$ ($A$ અને $B$ નું કુલ વજન)
ક્ષૈતિજ બળને લંબ બળ વડે ભાગતા:
$\frac{T_2 \sin \theta_2}{T_2 \cos \theta_2} = \frac{mg}{2mg}$
$\tan \theta_2 = \frac{1}{2}$
$\therefore \theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(D) પ્રારંભિક સ્થિતિમાં,બ્લોક $M_2$ શિરોલંબ લટકે છે અને $M_1$ ઢળતી સપાટી પર છે. પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{M_2 - M_1 \sin \theta}{M_1 + M_2} g$
$M_2 = 2M_1$ અને $\theta = 30^\circ$ મૂકતા:
$a = \frac{2M_1 - M_1 \sin 30^\circ}{M_1 + 2M_1} g = \frac{2M_1 - 0.5M_1}{3M_1} g = \frac{1.5}{3} g = \frac{g}{2}$
જ્યારે બ્લોકના સ્થાન ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે $M_1$ શિરોલંબ લટકે છે અને $M_2$ ઢળતી સપાટી પર છે. તંત્રનો નવો પ્રવેગ $a'$ નીચે મુજબ છે:
$a' = \frac{M_1 - M_2 \sin \theta}{M_1 + M_2} g$
$M_2 = 2M_1$ અને $\theta = 30^\circ$ મૂકતા:
$a' = \frac{M_1 - 2M_1 \sin 30^\circ}{M_1 + 2M_1} g = \frac{M_1 - 2M_1(0.5)}{3M_1} g = \frac{M_1 - M_1}{3M_1} g = 0$
તંત્રનો પ્રવેગ $0$ હોવાથી,$M_2$ નો પ્રવેગ $0$ થશે.

(A) પ્રારંભિક ગોઠવણી માટે જ્યાં $M_1$ ઢળતી સપાટી પર છે અને $M_2$ શિરોલંબ લટકે છે:
તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{M_1 M_2 (1 + \sin \theta)}{M_1 + M_2} g$ છે.
આપેલ છે કે $M_2 = 2M_1$,તેથી સમીકરણમાં $M_2 = 2M_1$ મૂકતા:
$T = \frac{M_1 (2M_1) (1 + \sin \theta)}{M_1 + 2M_1} g = \frac{2 M_1^2 (1 + \sin \theta)}{3 M_1} g = \frac{2}{3} M_1 g (1 + \sin \theta)$.
હવે,જો બ્લોકના સ્થાન અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો $M_2$ ઢળતી સપાટી પર છે અને $M_1$ શિરોલંબ લટકે છે:
નવું તણાવ $T'$ નું સૂત્ર $T' = \frac{M_2 M_1 (1 + \sin \theta)}{M_2 + M_1} g$ છે.
આ સમીકરણમાં $M_2 = 2M_1$ મૂકતા:
$T' = \frac{(2M_1) M_1 (1 + \sin \theta)}{2M_1 + M_1} g = \frac{2 M_1^2 (1 + \sin \theta)}{3 M_1} g = \frac{2}{3} M_1 g (1 + \sin \theta)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T' = T$.

(C) સિસ્ટમ $(a)$ માટે,દળના પ્રવેગનું સૂત્ર એટવુડ મશીન માટે નીચે મુજબ છે:
$a_1 = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g = \frac{2m - m}{m + 2m}g = \frac{m}{3m}g = \frac{g}{3}$ ... $(i)$
સિસ્ટમ $(b)$ માટે,દોરીના એક છેડે અચળ બળ $F = 2mg$ લગાડવામાં આવે છે. દળ $m$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$ma_2 = T - mg$
અહીં દોરીમાં તણાવ $T$ એ લગાડેલા બળ $2mg$ જેટલું હોવાથી:
$ma_2 = 2mg - mg$
$ma_2 = mg$
$a_2 = g$ ... (ii)
પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{g/3}{g} = \frac{1}{3}$

(A) કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સંબંધ મુજબ,જો $m_1$ ઉપરની તરફ $x$ અંતર કાપે,તો $m_2$ ઉપરની તરફ $2x$ અંતર કાપશે. તેથી,$m_2$ નો પ્રવેગ $2a$ થશે.
$m_1$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ: $2T - m_1g = m_1a$ (ઉપરની દિશા ધન લેતા).
$m_2$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ: $T - m_2g = m_2(2a)$.
$m_1 = 4m_2$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2T - 4m_2g = 4m_2a \implies T - 2m_2g = 2m_2a$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(T - 2m_2g) - (T - m_2g) = 2m_2a - 2m_2a \implies -m_2g = 0$,જે દર્શાવે છે કે તંત્ર સંતુલનમાં છે અથવા પ્રવેગ $a$ બાહ્ય બળ દ્વારા નક્કી થાય છે. આપેલ આકૃતિ મુજબ,$m_1$ શરૂઆતમાં જમીનથી $20 \, cm$ ની ઊંચાઈ પર છે.
$m_2$ દ્વારા કપાયેલ અંતર $S = \frac{1}{2} (2a) t^2$ છે. $t = 0.4 \, s$ અને કન્સ્ટ્રેઇન્ટ $a = g/4$ લેતા,$S = a(0.4)^2 = (g/4)(0.16) = 0.04g \approx 0.4 \, m = 40 \, cm$.

(B) આપેલ ગરગડીની સિસ્ટમ માટે કન્સ્ટ્રેઇન્ટ સંબંધ મુજબ,$m_1$ $(x_1)$ અને $m_2$ $(x_2)$ ના સ્થાનાંતર વચ્ચેનો સંબંધ $x_2 = 2x_1$ છે.
સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $v_2 = 2v_1$ અને $a_2 = 2a_1$ મળે છે.
આપેલ છે કે $m_1 = 4m_2$,$m_1$ માટે ગતિનું સમીકરણ $m_1g - 2T = m_1a_1$ છે.
$m_2$ માટે,સમીકરણ $T - m_2g = m_2a_2 = m_2(2a_1)$ છે.
$T = m_2(g + 2a_1)$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $4m_2g - 2m_2(g + 2a_1) = 4m_2a_1$.
$4g - 2g - 4a_1 = 4a_1 \implies 2g = 8a_1 \implies a_1 = g/4 = 10/4 = 2.5 \, m/s^2$.
તેથી,$a_2 = 2a_1 = 5 \, m/s^2$.
$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $t = 0.4 \, s$:
$v_2 = 0 + 5 \times 0.4 = 2 \, m/s = 200 \, cm/s$.

(B) આપેલ તંત્ર માટે,$m_1$ નો પ્રવેગ $a_1 = \frac{m_1g - 2T}{m_1}$ અને $m_2$ નો પ્રવેગ $a_2 = \frac{T - m_2g}{m_2}$ છે.
કન્સ્ટ્રેઇન્ટ ગતિ પરથી,$a_1 = a_2/2$. ધારો કે $a_2 = a$,તો $a_1 = a/2$.
$m_1 = 4m_2$ નો ઉપયોગ કરતા,ગતિના સમીકરણો:
$4m_2g - 2T = 4m_2(a/2) = 2m_2a \implies 2m_2g - T = m_2a$
$T - m_2g = m_2a$
બંનેનો સરવાળો કરતા,$m_2g = 2m_2a \implies a = g/2 = 5 \, m/s^2$.
$m_1$ ઉપરની તરફ $20 \, cm = 0.2 \, m$ અંતર કાપે છે. જ્યારે તે ઉપર પહોંચે ત્યારે તેનો વેગ $v^2 = u^2 + 2as = 0 + 2(5)(0.2) = 2 \implies v = \sqrt{2} \, m/s$.
$a_1 = a_2/2$ હોવાથી,$m_2$ નો વેગ $v_2 = 2v = 2\sqrt{2} \, m/s$ થશે.
જ્યારે $m_1$ અટકી જાય,ત્યારે $m_2$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ ચાલુ રાખે છે. $m_2$ દ્વારા કપાતું વધારાનું અંતર $h = v_2^2 / (2g) = (2\sqrt{2})^2 / (2 \times 10) = 8 / 20 = 0.4 \, m = 40 \, cm$.

(C) આપેલ છે:
દડાનું દળ,$m = 0.5\, kg$
દડાની ઝડપ,$v = 12\, m/s$
દીવાલ સાથેનો ખૂણો,$\theta = 30^\circ$
સંપર્ક સમય,$\Delta t = 0.25\, s$
દીવાલને સમાંતર વેગમાનનો ઘટક બદલાતો નથી. દીવાલને લંબ વેગમાનનો ઘટક દિશા બદલે છે.
દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાન: $p_i = -mv \sin \theta$ (દીવાલ તરફની દિશાને ઋણ લેતા).
દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાન: $p_f = mv \sin \theta$ (દીવાલથી દૂરની દિશાને ધન લેતા).
વેગમાનમાં ફેરફાર,$\Delta p = p_f - p_i = mv \sin \theta - (-mv \sin \theta) = 2mv \sin \theta$.
સરેરાશ બળ,$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv \sin \theta}{\Delta t}$
$F = \frac{2 \times 0.5 \times 12 \times \sin 30^\circ}{0.25}$
$F = \frac{2 \times 0.5 \times 12 \times 0.5}{0.25}$
$F = \frac{6}{0.25} = 24\, N$.