Solution of trigonometrical equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{2} x - \cos 2 x = 2 - \sin 2 x$
નિત્યસમ $\cos 2 x = 1 - 2 \sin ^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{2} x - (1 - 2 \sin ^{2} x) = 2 - \sin 2 x$
$3 \sin ^{2} x - 1 = 2 - \sin 2 x$
$3 \sin ^{2} x + \sin 2 x - 3 = 0$
$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 = \sin ^{2} x + \cos ^{2} x$ હોવાથી,$3 = 3(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)$ લખી શકાય:
$3 \sin ^{2} x + 2 \sin x \cos x - 3(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) = 0$
$2 \sin x \cos x - 3 \cos ^{2} x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 3 \cos x) = 0$
આથી $\cos x = 0$ અથવા $2 \sin x = 3 \cos x$.
શરત $3 \cos x \neq 2 \sin x$ આપેલ હોવાથી,$\cos x = 0$ મળે.
$\cos x = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + \frac{\pi}{2}, n \in Z$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan 2\theta = \tan 3\theta$.
નિત્યસમ $\tan 3\theta = \tan(2\theta + \theta) = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\tan \theta + \tan 2\theta = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$.
આથી $(\tan \theta + \tan 2\theta) \left(1 - \frac{1}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}\right) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\tan \theta + \tan 2\theta = 0$ $\Rightarrow \frac{\sin 3\theta}{\cos \theta \cos 2\theta} = 0$ $\Rightarrow 3\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $1 - \tan 2\theta \tan \theta = 1 \Rightarrow \tan 2\theta \tan \theta = 0$.
આનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 0$ અથવા $\tan 2\theta = 0$.
જો $\tan \theta = 0$,તો $\theta = n\pi$.
જો $\tan 2\theta = 0$,તો $2\theta = k\pi \Rightarrow \theta = \frac{k\pi}{2}$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi$ અથવા $\theta = \frac{p\pi}{3}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{2} x \sec x = \tan x - \sin x + 1$
$\cos x$ વડે ગુણતા $(\cos x \neq 0)$:
$\sin^{2} x = \sin x - \sin x \cos x + \cos x$
$\sin^{2} x - \sin x + \sin x \cos x - \cos x = 0$
$\sin x(\sin x - 1) + \cos x(\sin x - 1) = 0$
$(\sin x + \cos x)(\sin x - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin x = 1 \implies x = 2n \pi + \frac{\pi}{2} = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{2}$ ($n \in \mathbb{Z}$ માટે).
કિસ્સો $2$: $\sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = m \pi - \frac{\pi}{4} = m \pi + \frac{3 \pi}{4}$ ($m \in \mathbb{Z}$ માટે).
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{2}$ અથવા $x = m \pi + \frac{3 \pi}{4}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos^{2} \theta + 3 \cos \theta = 2$
પદોને ગોઠવતા: $2 \cos^{2} \theta + 3 \cos \theta - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2 \cos^{2} \theta + 4 \cos \theta - \cos \theta - 2 = 0$
$2 \cos \theta(\cos \theta + 2) - 1(\cos \theta + 2) = 0$
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 2) = 0$
આથી બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $\cos \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = -2$
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\cos \theta = -2$ શક્ય નથી.
તેથી,શક્ય કિંમત $\cos \theta = \frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં,સાઈન વિધેય અ-ઋણ છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નું સમાધાન કરતા $\theta$ ના મૂલ્યો $\theta = \frac{\pi}{4}$ અને $\theta = \frac{3\pi}{4}$ છે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
$\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
આનો અર્થ છે કે $\sin 3x = 0$ અથવા $\cos 2x = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\sin 3x = 0 \implies 3x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{3}$.
$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ માટે,શક્ય કિંમતો $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ છે.
કિસ્સો $2$: $\cos 2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ માટે,શક્ય કિંમતો $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,અલગ ઉકેલો $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ છે.
આમ,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\tan 2\theta = 1$ છે.
$\tan 2\theta$ ધન હોવાથી,$2\theta$ પ્રથમ અથવા ત્રીજા ચરણમાં આવે છે.
મુખ્ય ઉકેલો માટે,આપણે $0 \le \theta < 2\pi$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $0 \le 2\theta < 4\pi$.
તેથી,$2\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$ મળે છે.
આમ,કુલ $4$ મુખ્ય ઉકેલો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan^2 x = 1$ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\tan x = \pm 1$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x = \tan \alpha$ હોય તો $x = n \pi + \alpha$ થાય.
$\tan x = 1$ માટે,$x = n \pi + \frac{\pi}{4}$.
$\tan x = -1$ માટે,$x = n \pi - \frac{\pi}{4}$.
આ બંને પરિણામોને જોડતા,વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ મળે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin 2x + \cos 2x = 0$ છે.
$\cos 2x$ વડે ભાગતા,$\tan 2x = -1$ મળે.
$\tan \theta = -1$ હોવાથી $\theta = n\pi - \frac{\pi}{4}$ થાય,તેથી $2x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
આમ,$x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{(4n - 1)\pi}{8}$.
$\pi < x < 2\pi$ માટે:
જો $n = 3$ હોય,તો $x = \frac{11\pi}{8}$.
જો $n = 4$ હોય,તો $x = \frac{15\pi}{8}$.
બંને કિંમતો $(\pi, 2\pi)$ અંતરાલમાં આવેલી છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$ જ્યાં $x \in [0, 2 \pi]$.
પગલું $1$: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ અને $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ મૂકતા:
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
પગલું $2$: $\cos x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $\cos x \neq 0$):
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
પગલું $3$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x) \implies 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
પગલું $4$: અવયવ પાડતા:
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -1$
પગલું $5$: ઉકેલ મેળવતા:
$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$.
$\sin x = -1 \implies x = \frac{3 \pi}{2}$ (અહીં $\tan x$ અને $\sec x$ અવ્યાખ્યાયિત છે).
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3 \sin^2 x - 6 \sin x - \sin x + 2 = 0$.
$3 \sin x(\sin x - 2) - 1(\sin x - 2) = 0$.
$(3 \sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
આથી $\sin x = \frac{1}{3}$ અથવા $\sin x = 2$ મળે.
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,આપણે $\sin x = \frac{1}{3}$ ઉકેલીએ.
અંતરાલ $(0, 2 \pi)$ માં $\sin x = \frac{1}{3}$ માટે $2$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $(0, 4 \pi)$ માં $2 \times 2 = 4$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $(4 \pi, 5 \pi)$ માં $1$ ઉકેલ મળે છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $(0, 5 \pi)$ માં $2 + 2 + 2 = 6$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $\cot \theta = \sqrt{3}$ અને $\sqrt{3} \sec \theta + 2 = 0$ છે.
$\cot \theta = \sqrt{3}$ પરથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે. આ સૂચવે છે કે $\theta$ એ $1^{\text{st}}$ અથવા $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં છે.
$\sqrt{3} \sec \theta + 2 = 0$ પરથી,$\sec \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos \theta$ ઋણ હોવાથી,$\theta$ એ $2^{\text{nd}}$ અથવા $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવો જોઈએ.
બંને શરતોને જોડતા,$\theta$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવો જોઈએ.
$3^{\text{rd}}$ ચરણમાં,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2 \theta = \sin \theta$
નિત્યસમ $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2 \theta = \sin \theta$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -1$ મળે.
$(0, 2 \pi)$ માં $\sin \theta = \frac{1}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ મળે.
$(0, 2 \pi)$ માં $\sin \theta = -1$ માટે,$\theta = \frac{3 \pi}{2}$ મળે.
આમ,ઉકેલો $\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3} \sec x + 2 = 0$ છે.
$\sqrt{3} \sec x = -2$
$\sec x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
કારણ કે $\cos x$ બીજા અને ત્રીજા ચરણમાં ઋણ છે,આપણે $[0, 2\pi]$ માં કિંમતો શોધીએ છીએ.
બીજા ચરણમાં: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
ત્રીજા ચરણમાં: $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{5\pi}{6}$ અને $\frac{7\pi}{6}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \sec \theta = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow \sin \theta + 1 = 2 \cos^2 \theta$
$\Rightarrow \sin \theta + 1 = 2(1 - \sin^2 \theta)$
$\Rightarrow 2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
$\Rightarrow (2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
$\therefore \sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -1$
$\theta \in (0, 2\pi)$ માટે:
જો $\sin \theta = \frac{1}{2}$,તો $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
જો $\sin \theta = -1$,તો $\theta = \frac{3\pi}{2}$.
જોકે,$\theta = \frac{3\pi}{2}$ પર $\tan \theta$ અને $\sec \theta$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,માન્ય ઉકેલો $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x)[1 - 2(1 - \sin x)] = 0$
$\Rightarrow (1 + \sin x)(2 \sin x - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $1 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1$. આનો અર્થ એ છે કે $x = \frac{3 \pi}{2}$,પરંતુ $x = \frac{3 \pi}{2}$ પર $\tan x$ અને $\sec x$ અવ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,આ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
$[0, 2 \pi]$ અંતરાલમાં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5 \pi}{6}$ પર મળે છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $16^{\sin^2 x} + 16^{\cos^2 x} = 10$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ હોવાથી:
$16^{\sin^2 x} + 16^{1 - \sin^2 x} = 10$
$16^{\sin^2 x} + \frac{16}{16^{\sin^2 x}} = 10$
ધારો કે $t = 16^{\sin^2 x}$. તેથી $t + \frac{16}{t} = 10$,જેનો અર્થ છે $t^2 - 10t + 16 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(t - 8)(t - 2) = 0$,તેથી $t = 8$ અથવા $t = 2$.
કિસ્સો $1$: $16^{\sin^2 x} = 2$ $\Rightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^1$ $\Rightarrow 4\sin^2 x = 1$ $\Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\sin x = \pm \frac{1}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ ($4$ ઉકેલો મળે છે).
કિસ્સો $2$: $16^{\sin^2 x} = 8$ $\Rightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^3$ $\Rightarrow 4\sin^2 x = 3$ $\Rightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ ($4$ ઉકેલો મળે છે).
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $4 + 4 = 8$.

(D) આપેલ છે કે $\cos 2\theta = \sin \alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
તેથી,$\cos 2\theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos x = \cos y$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm y$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આ મુજબ,$2\theta = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\theta = n\pi \pm (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$ મળે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \tan \alpha$ નો અર્થ $\theta = n\pi + \alpha$ થાય છે,જ્યાં $n \in Z$.
આપેલ છે કે $\tan 3x = 1$.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,તેથી $\tan 3x = \tan \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$3x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ મળે છે,જ્યાં $n \in Z$.

(A) આપેલ છે $\cos x = |\sin x|$.
$|\sin x| \ge 0$ હોવાથી,$\cos x \ge 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x$ પ્રથમ અથવા ચોથા ચરણમાં છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2 x = \sin^2 x$ મળે.
આથી $\tan^2 x = 1$,એટલે કે $\tan x = \pm 1$.
$\tan x = 1$ માટે,$x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ અને $\tan x = -1$ માટે,$x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
આથી $x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
પરંતુ,$\cos x \ge 0$ શરત મુજબ,માત્ર $n$ બેકી હોય તેવા ઉકેલો જ માન્ય રહેશે.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$\cot \theta + \tan \theta = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$
$\Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \sin 2 \theta = 1 = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે,જો $\sin x = \sin \alpha$ હોય,તો $x = n \pi + (-1)^n \alpha$
તેથી,$2 \theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{4}$

(A) આપેલ છે,$\sin x - \cos x = \sqrt{2}$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1$
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = 1$
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$
$\sin \theta = 1$ હોવાથી $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ થાય:
$x - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$
$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$
$x = 2n\pi + \frac{3\pi}{4}$

(D) આપેલ છે,$\sin 2x = 4 \cos x$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x \cos x = 4 \cos x$
$2 \sin x \cos x - 4 \cos x = 0$
$2 \cos x (\sin x - 2) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $\cos x = 0$ અથવા $\sin x = 2$.
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = 2$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$\cos x = 0$.
$\cos x = 0$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ છે,જેને $x = n \pi + \frac{\pi}{2}$ અથવા $x = 2n \pi \pm \frac{\pi}{2}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $n \in Z$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5\theta - \sin 3\theta + \sin \theta = 0$ જ્યાં $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$.
પદોને ગોઠવતા: $(\sin 5\theta + \sin \theta) = \sin 3\theta$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 3\theta \cos 2\theta = \sin 3\theta$.
$2 \sin 3\theta \cos 2\theta - \sin 3\theta = 0$.
$\sin 3\theta (2 \cos 2\theta - 1) = 0$.
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 3\theta = 0$ $\Rightarrow 3\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos 2\theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
$2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\theta$ ની કિંમતો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{\pi}{3}$ છે. વિકલ્પો મુજબ,$\frac{\pi}{6}$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $1+\sin ^{2} x=3 \sin x \cdot \cos x$,જ્યાં $\tan x \neq \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $\cos ^{2} x$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\cos ^{2} x} + \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} = 3 \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^{2} x}$
$\sec ^{2} x + \tan ^{2} x = 3 \tan x$
$\sec ^{2} x = 1 + \tan ^{2} x$ હોવાથી:
$1 + \tan ^{2} x + \tan ^{2} x = 3 \tan x$
$2 \tan ^{2} x - 3 \tan x + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 \tan ^{2} x - 2 \tan x - \tan x + 1 = 0$
$2 \tan x(\tan x - 1) - 1(\tan x - 1) = 0$
$(\tan x - 1)(2 \tan x - 1) = 0$
તેથી,$\tan x = 1$ અથવા $\tan x = \frac{1}{2}$.
શરત $\tan x \neq \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\tan x = 1$ લેતા.
$\tan x = 1$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + \frac{\pi}{4}$,જ્યાં $n \in Z$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 2x + \cos 4x = 2$
નિત્યસમ $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2x + 1 - 2\sin^2 2x = 2$
પદોને ગોઠવતા:
$2\sin^2 2x - \sin 2x + 1 = 0$
ધારો કે $t = \sin 2x$. સમીકરણ $2t^2 - t + 1 = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,$t$ માટે કોઈ વાસ્તવિક કિંમતો નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
તેથી,$x$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ છે,$|\sin x| = \cos x$.
$|\sin x| \ge 0$ હોવાથી,$\cos x \ge 0$ હોવું જોઈએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sin^2 x = \cos^2 x$ મળે.
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos^2 x = \cos^2 x$ મળે.
આથી $2 \cos^2 x = 1$,અથવા $\cos^2 x = \frac{1}{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos x \ge 0$ હોવાથી,આપણે ઋણ કિંમતને અવગણીએ છીએ,તેથી $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos x = \cos \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
અહીં,$\cos x = \cos(\frac{\pi}{4})$,તેથી $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.

(D) આપેલ છે $\sin 3 \theta = \sin \theta$.
$\sin 3 \theta - \sin \theta = 0$
સૂત્ર $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 2 \theta \sin \theta = 0$
આનો અર્થ એ કે $\cos 2 \theta = 0$ અથવા $\sin \theta = 0$.
જો $\sin \theta = 0$ હોય,તો $\theta = n \pi$.
$0 \le \theta \le 2 \pi$ માટે,ઉકેલો $\theta = 0, \pi, 2 \pi$ છે.
જો $\cos 2 \theta = 0$ હોય,તો $2 \theta = (2n+1) \frac{\pi}{2} \implies \theta = (2n+1) \frac{\pi}{4}$.
$0 \le \theta \le 2 \pi$ માટે,ઉકેલો $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3 + 4 = 7$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = \sin \alpha$.
બંને બાજુથી $\sin \alpha$ બાદ કરતા,આપણને $\sin \theta - \sin \alpha = 0$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) \sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$.
આ ગુણાકાર શૂન્ય થાય જો કાં તો $\cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0$ અથવા $\sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$ હોય.
જો $\cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0$ હોય,તો $\frac{\theta+\alpha}{2} = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\theta+\alpha}{2}$ એ $\frac{\pi}{2}$ નો એકી ગુણક છે.
જો $\sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$ હોય,તો $\frac{\theta-\alpha}{2} = n\pi$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\theta-\alpha}{2}$ એ $\pi$ નો ગુણક છે.
આમ,શરત એ છે કે $\frac{\theta+\alpha}{2}$ એ $\frac{\pi}{2}$ નો એકી ગુણક છે અથવા $\frac{\theta-\alpha}{2}$ એ $\pi$ નો ગુણક છે.

(D) આપેલ છે કે $\sin \left(5 x+\frac{\pi}{4}\right)=0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = 0$ નો અર્થ છે $\theta = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
તેથી,$5x + \frac{\pi}{4} = n\pi$.
બંને બાજુથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા,$5x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
$5$ વડે ભાગતા,$x = \frac{n\pi}{5} - \frac{\pi}{20}$.
આમ,$x = \frac{-\pi}{20} + \frac{n\pi}{5}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(C) આપેલ છે કે $2 \sin 2 \theta = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin 2 \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\sin 2 \theta = \sin 60^{\circ}$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,$2 \theta = 60^{\circ}$.
તેથી,$\theta = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
વધુ સરળ રીતે:
$2 \cos(x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$.
$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$.
તેથી,$x - \frac{\pi}{6} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin(2x) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(18^\circ) = \sin(\frac{\pi}{10}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
તેથી,$\sin(2x) = \sin(\frac{\pi}{10})$.
$\sin(\theta) = \sin(\alpha)$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n\alpha$ છે.
$2x = \frac{\pi}{10}$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$2x = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{10})$.
$2$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n(\frac{\pi}{20})$.
આપેલ સ્વરૂપ $x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n(m)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \frac{\pi}{20}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan 2\theta + \sqrt{3} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{3}$
પદોને ગોઠવતા: $\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{3}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$
બંને બાજુ $(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$ વડે ભાગતા: $\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{3}$
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\tan(3\theta) = \sqrt{3}$
$\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\tan(3\theta) = \tan(\frac{\pi}{3})$
વ્યાપક ઉકેલ: $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}, n \in Z$
$3$ વડે ભાગતા: $\theta = (3n+1) \frac{\pi}{9}, n \in Z$
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 5x + 3 \sin 3x = 0$
સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 3x \cos 2x + 3 \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 3) = 0$
કારણ કે $2 \cos 2x + 3 = 0$ નો અર્થ છે $\cos 2x = -\frac{3}{2}$,જે અશક્ય છે કારણ કે $-1 \le \cos 2x \le 1$,તેથી $\sin 3x = 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$3x = n\pi$,અથવા $x = \frac{n\pi}{3}$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\sin x$ માટેના મૂલ્યોનો ગણ $\{\sin(0), \sin(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{2\pi}{3}), \sin(\pi), \sin(\frac{4\pi}{3}), \sin(\frac{5\pi}{3})\}$ છે.
આની ગણતરી કરતા: $\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\}$.
અલગ મૂલ્યોનો ગણ $\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ છે.

(C) આપેલ છે $3 \operatorname{cosec} x = 4 \sin x$
$\Rightarrow \frac{3}{\sin x} = 4 \sin x$
$\Rightarrow 4 \sin^2 x = 3$
$\Rightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
તેથી,$x$ ના મૂલ્યો $\pm \frac{\pi}{3}$ છે.

(C) આપેલ છે,$\cos 2\theta = \cos \theta + \sin \theta$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos \theta + \sin \theta$
$(\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta) = \cos \theta + \sin \theta$
$(\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta - 1) = 0$
આથી $\cos \theta + \sin \theta = 0$ અથવા $\cos \theta - \sin \theta = 1$.
કિસ્સો $1$: $\cos \theta + \sin \theta = 0 \Rightarrow \tan \theta = -1$.
$\theta \in [0, 2\pi]$ માટે,$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\cos \theta - \sin \theta = 1$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
તેથી,$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$n=0$ માટે,$\theta = 0$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{2}$.
$n=1$ માટે,$\theta = 2\pi$ અથવા $\theta = \pi$ (જે ઉકેલ નથી).
શક્ય કિંમતો $\theta \in \{0, \frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi\}$ છે.
સરવાળો $= 0 + \frac{3\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3 \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1$
$\cos^4 \theta = (1 - \sin^2 \theta)^2 = 1 - 2\sin^2 \theta + \sin^4 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \sin^4 \theta + (1 - 2\sin^2 \theta + \sin^4 \theta) = 1$
$4 \sin^4 \theta - 2\sin^2 \theta = 0$
$2 \sin^2 \theta (2 \sin^2 \theta - 1) = 0$
આથી $\sin^2 \theta = 0$ અથવા $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$ મળે.
કિસ્સો $1$: $\sin^2 \theta = 0$ $\Rightarrow \sin \theta = 0$ $\Rightarrow \theta = n\pi$.
કિસ્સો $2$: $\sin^2 \theta = \frac{1}{2} = \sin^2(\frac{\pi}{4}) \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(5+4 \cos \theta)(2 \cos \theta+1)=0$
કારણ કે $5+4 \cos \theta$ ક્યારેય $0$ ન હોઈ શકે (કારણ કે $-1 \le \cos \theta \le 1$,તેથી $1 \le 5+4 \cos \theta \le 9$),તેથી આપણી પાસે હોવું જોઈએ:
$2 \cos \theta + 1 = 0$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\theta$ ની કિંમતો જેના માટે $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ થાય છે તે છે:
$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ અને $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin 2x + \cos 4x = 2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે અને $\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
બે વિધેયોનો સરવાળો $2$ થવા માટે,બંને વિધેયોએ એકસાથે તેમની મહત્તમ કિંમત $1$ પ્રાપ્ત કરવી આવશ્યક છે.
તેથી,$\sin 2x = 1$ અને $\cos 4x = 1$ હોવું જોઈએ.
$\sin 2x = 1$ પરથી,$2x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
$x \in [-\pi, \pi]$ માટે,શક્ય કિંમતો $x = -\frac{3\pi}{4}$ અને $x = \frac{\pi}{4}$ છે.
હવે,આ કિંમતોને $\cos 4x = 1$ માં તપાસો:
જો $x = -\frac{3\pi}{4}$ હોય,તો $4x = -3\pi$,અને $\cos(-3\pi) = -1 \neq 1$.
જો $x = \frac{\pi}{4}$ હોય,તો $4x = \pi$,અને $\cos(\pi) = -1 \neq 1$.
કોઈપણ $x$ બંને સમીકરણોને એકસાથે સંતોષતું નથી,તેથી ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos x + \cos 3x = \sin x + \sin 3x$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 2x \cos x = 2 \sin 2x \cos x$
$2 \cos x (\cos 2x - \sin 2x) = 0$
$\tan 2x = 1$
$2x = n \pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{8}$.

(C) આપેલ છે કે $\sin x = -\frac{3}{5}$ અને $\cos x = -\frac{4}{5}$.
અહીં $\sin x$ અને $\cos x$ બંને ઋણ હોવાથી,$x$ ત્રીજા ચરણમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.
$\tan x = \tan \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \alpha$ છે,જ્યાં $n \in Z$.
તેથી,$x = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \cos 2x - 4 \sqrt{3} \sin 2x + \cos 3x - \sqrt{3} \sin 3x + \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $4(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x) + (\cos 3x + \cos x) - \sqrt{3}(\sin 3x + \sin x) = 0$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $4(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x) + 2 \cos 2x \cos x - 2 \sqrt{3} \sin 2x \cos x = 0$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $2(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x)(2 + \cos x) = 0$
કારણ કે $2 + \cos x \neq 0$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,તેથી $\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x = 0$
$\Rightarrow \cos 2x = \sqrt{3} \sin 2x$ $\Rightarrow \tan 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 2x = n \pi + \frac{\pi}{6}$
$\Rightarrow x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{12}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos^2 x - 2 \tan x + 1 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$.
આ કિંમત મૂકતા,$1 + \cos 2x - 2 \tan x + 1 = 0$,જે $\cos 2x - 2 \tan x + 2 = 0$ માં પરિણમે છે.
$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} - 2(\tan x - 1) = 0$.
$(\tan x - 1)$ સામાન્ય લેતા,$(\tan x - 1) [\frac{1 + \tan x}{1 + \tan^2 x} + 2] = 0$.
કિસ્સો $1$: $\tan x - 1 = 0$ $\Rightarrow \tan x = 1$ $\Rightarrow x = n \pi + \frac{\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $2 \tan^2 x + \tan x + 3 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 1^2 - 4(2)(3) = -23 < 0$ હોવાથી,આ કિસ્સામાં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cot \frac{x}{2} - \cot x = \operatorname{cosec} \frac{x}{2}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin(x/2)}$
$\sin(x/2)$ વડે ગુણતા (ધારો કે $\sin(x/2) \neq 0$):
$\cos(x/2) - \frac{\cos x \cdot \sin(x/2)}{\sin x} = 1$
$\cos(x/2) - \frac{\cos x \cdot \sin(x/2)}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = 1$
$\cos(x/2) - \frac{\cos x}{2 \cos(x/2)} = 1$
$2 \cos^2(x/2) - \cos x = 2 \cos(x/2)$
$2 \cos^2(x/2) = 1 + \cos x$ હોવાથી:
$1 + \cos x - \cos x = 2 \cos(x/2)$
$1 = 2 \cos(x/2) \Rightarrow \cos(x/2) = \frac{1}{2}$
$\cos(x/2) = \cos(\frac{\pi}{3})$
$\frac{x}{2} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$x = 4n\pi \pm \frac{2\pi}{3}, n \in Z$

(C) આપેલ સમીકરણ $\cos(x) - \sin(x) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\cos(x) = \sin(x)$ મળે છે.
બંને બાજુ $\cos(x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan(x) = 1$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(x) = 1 = \tan(\frac{\pi}{4})$.
$\tan(x) = \tan(\alpha)$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \alpha$ છે,જ્યાં $n \in Z$.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ છે,જ્યાં $n \in Z$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 2\cos 2x \cos x + \cos 2x$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $\sin 2x(2\cos x + 1) = \cos 2x(2\cos x + 1)$
ગોઠવણી કરતા: $(\sin 2x - \cos 2x)(2\cos x + 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 2x - \cos 2x = 0 \implies \tan 2x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$
કિસ્સો $2$: $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$
$x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$ અને $x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$,જ્યાં $n \in Z$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે $\sec \theta - 1 = (\sqrt{2} - 1) \tan \theta$ જ્યાં $\cos \theta \neq 0$.
$\Rightarrow \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} = (\sqrt{2} - 1) \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$\cos \theta \neq 0$ હોવાથી,$1 - \cos \theta = (\sqrt{2} - 1) \sin \theta$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (\sqrt{2} - 1) 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$\Rightarrow 2 \sin \frac{\theta}{2} [\sin \frac{\theta}{2} - (\sqrt{2} - 1) \cos \frac{\theta}{2}] = 0$
આથી કાં તો $\sin \frac{\theta}{2} = 0$ અથવા $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{2} - 1$.
કિસ્સો $1$: $\sin \frac{\theta}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{\theta}{2} = n \pi$ $\Rightarrow \theta = 2 n \pi, n \in Z$.
કિસ્સો $2$: $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{2} - 1$. $\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$ હોવાથી,$\frac{\theta}{2} = n \pi + \frac{\pi}{8} \Rightarrow \theta = 2 n \pi + \frac{\pi}{4}, n \in Z$.
આમ,$\theta = 2 n \pi + \frac{\pi}{4} \text{ અથવા } 2 n \pi, n \in Z$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5x = \cos 2x$.
આપણે $\cos 2x$ ને $\sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$\sin 5x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$.
$\sin \theta = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
આનો ઉપયોગ કરતા,$5x = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{2} - 2x)$.
$5x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2} - (-1)^n 2x$.
$5x + (-1)^n 2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$.
$x(5 + 2(-1)^n) = \frac{\pi}{2}(2n + (-1)^n)$.
$x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2n + (-1)^n}{5 + 2(-1)^n}$.
આને $x = a_n \cdot \frac{\pi}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_n = \frac{2n + (-1)^n}{5 + 2(-1)^n}$ મળે છે.