Tangent and normal to a circle Questions in Hindi

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 40x + 10y = 153$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = -40 \Rightarrow g = -20$ और $2f = 10 \Rightarrow f = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (20, -5)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
इसलिए,अभिलंब वह रेखा है जो $(4, -1)$ और $(20, -5)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{-5 - (-1)}{20 - 4} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$ है।
$(4, -1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{4}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 4)$
$4(y + 1) = -(x - 4)$
$4y + 4 = -x + 4$
$x + 4y = 0$.
अतः,अभिलंब का समीकरण $x + 4y = 0$ है।

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(5, 3)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + ky + 17 = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{5^2 + 3^2 + k(3) + 17} = 7$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $25 + 9 + 3k + 17 = 49$ प्राप्त होता है।
$51 + 3k = 49$.
$3k = 49 - 51$.
$3k = -2$.
$k = -2/3$.

(B) वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ के लिए,$r^2 = 25$ है।
अतः $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = 25$ है।
इस समीकरण की तुलना दी गई रेखा $3x + 4y = 25$ से करने पर,हमें $x_1 = 3$ और $y_1 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः स्पर्श बिंदु $(3, 4)$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है। बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = r^2$ के अनुसार $\sqrt{3}x + y = 4$ है।
इस स्पर्शरेखा $PT$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
रेखा $L$,$PT$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ या $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ है।
यह रेखा वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ की स्पर्शरेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी: $\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$,जिसे हल करने पर $x - \sqrt{3}y = 1$ या $x - \sqrt{3}y = 5$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार,$x + \sqrt{3}y = 4$ स्पर्शरेखा $PT$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 2qx \cos \alpha - 2qy \sin \alpha = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -q \cos \alpha$ और $f = -q \sin \alpha$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (q \cos \alpha, q \sin \alpha)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{q^2 \cos^2 \alpha + q^2 \sin^2 \alpha} = |q|$ है।
यदि रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ वृत्त की स्पर्शरेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|(q \cos \alpha)(\cos \alpha) + (q \sin \alpha)(\sin \alpha) - p|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = |q - p|$।
$d = r$ रखने पर,$|q - p| = |q|$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $q - p = q$ या $q - p = -q$।
अतः,$p = 0$ या $p = 2q$।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$ है।
दिया गया है कि रेखा $y = c$ वृत्त की बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा है।
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ स्पर्श रेखा $y = c$ पर स्थित है,इसलिए हम बिंदु के $y$-निर्देशांक को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
$1 = c$.
अतः,$c$ का मान $1$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$ होता है।
$m = \sqrt{3}$ और $r = 5$ रखने पर:
$y = \sqrt{3}x \pm 5\sqrt{1 + (\sqrt{3})^2}$
$y = \sqrt{3}x \pm 5\sqrt{1 + 3}$
$y = \sqrt{3}x \pm 5\sqrt{4}$
$y = \sqrt{3}x \pm 5(2)$
$y = \sqrt{3}x \pm 10$.

(A) परवलय $y = x^2 + 6$ के बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{1}{2}(y + 7) = x(1) + 6$ है,जो $y = 2x + 5$ में सरल हो जाता है ... $(i)$
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ की भी स्पर्श रेखा है ... (ii)
वृत्त के समीकरण में $y = 2x + 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (2x + 5)^2 + 16x + 12(2x + 5) + c = 0$
$5x^2 + 60x + (85 + c) = 0$ ... (iii)
चूंकि रेखा वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:
$D = (60)^2 - 4(5)(85 + c) = 0$
$3600 - 20(85 + c) = 0 \Rightarrow 85 + c = 180$
समीकरण (iii) में $85 + c = 180$ रखने पर:
$5x^2 + 60x + 180 = 0$
$x^2 + 12x + 36 = 0$ $\Rightarrow (x + 6)^2 = 0$ $\Rightarrow x = -6$
$y = 2x + 5$ में $x = -6$ रखने पर,$y = 2(-6) + 5 = -7$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(-6, -7)$ हैं।

(C) एक रेखा वृत्त का अभिलंब होती है यदि और केवल यदि वह वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ का केंद्र $(0, 0)$ है।
चूंकि रेखा $ax + by + c = 0$ एक अभिलंब है,इसलिए इसे $(0, 0)$ से गुजरना होगा,जिसका अर्थ है $c = 0$।
यह रेखा केंद्र से गुजरती है,इसलिए यह वृत्त का व्यास है।
व्यास द्वारा बनाई गई जीवा की लंबाई वृत्त के व्यास के बराबर होती है।
वृत्त का व्यास $2r$ है।
अतः,अंतःखंड की लंबाई $2r$ है।

(C) वक्र का दिया गया समीकरण $x^2(x - y) + a^2(x + y) = 0$ है,जिसे $x^3 - x^2y + a^2x + a^2y = 0$ के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए,हम सबसे कम घात वाले पदों को शून्य के बराबर रखते हैं।
समीकरण में सबसे कम घात वाले पद $a^2x + a^2y = 0$ हैं।
$a^2$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए),हमें $x + y = 0$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3x^2 - (2xy + x^2 \frac{dy}{dx}) + a^2 + a^2 \frac{dy}{dx} = 0$।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर,यह $0 - 0 + a^2 + a^2 \frac{dy}{dx} = 0$ हो जाता है।
$a^2 \frac{dy}{dx} = -a^2$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -1$।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 0 = -1(x - 0)$ है,जो सरल होकर $y = -x$ या $x + y = 0$ हो जाता है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $x^2 + y^2 = a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ है।
बिंदु $\left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$ पर,ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{a/\sqrt{2}}{a/\sqrt{2}} = -1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - \frac{a}{\sqrt{2}} = -1 \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$.
$y - \frac{a}{\sqrt{2}} = -x + \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$x + y = \frac{2a}{\sqrt{2}}$.
$x + y = a\sqrt{2}$.

(C) वक्र का समीकरण $x^2 = y - 6$ है,जिसे $y = x^2 + 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2x$।
बिंदु $(1, 7)$ पर ढाल $m = 2(1) = 2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 7 = 2(x - 1)$ है,जो $2x - y + 5 = 0$ में सरल हो जाता है।
इस रेखा के वृत्त $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ को स्पर्श करने के लिए,केंद्र $(-8, -6)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{64 + 36 - c} = \sqrt{100 - c}$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी $\frac{|2(-8) - (-6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ है।
अतः,$\sqrt{5} = \sqrt{100 - c}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $5 = 100 - c$,जिससे $c = 95$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय ${y^2} = 8ax$ की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2a}{m}$ होता है।
यह रेखा वृत्त ${x^2} + {y^2} = 2{a^2}$ की भी स्पर्श रेखा है।
वृत्त के केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $mx - y + \frac{2a}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{2}a$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|\frac{2a}{m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}a$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4a^2}{m^2(m^2 + 1)} = 2a^2$.
यह $m^4 + m^2 - 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(m^2 - 1)(m^2 + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$m^2 = 1$ लेने पर,$m = \pm 1$ मिलता है।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण $y = \pm (x + 2a)$ है।

(A) अभिलंब का दिया गया समीकरण $y^2 - 2y + 4x - 2xy = 0$ है।
इसके गुणनखंड करने पर $(y - 2)(y - 2x) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिलंब रेखाएं $y = 2$ और $y = 2x$ हैं।
इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
$y = 2$ और $y = 2x$ को हल करने पर,$x = 1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है।
केंद्र $(1, 2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 - r^2 = 0$ हो जाता है।
वृत्त $(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $(2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 = r^2 \Rightarrow r^2 = 2$।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{13}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ और केंद्र $(2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = 3/2$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $3/2$ होने के कारण,बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2x_1 + 3y_1 = 13$ प्राप्त होता है।
यह बिंदु वृत्त पर स्थित है,इसे हल करने पर हमें $(-1, 5)$ और $(5, 1)$ बिंदु प्राप्त होते हैं।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ है। केंद्र $(3, -2)$ है और त्रिज्या $r = 4$ है।
$(7, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 4 = m(x - 7)$ है,जिसे $mx - y + (4 - 7m) = 0$ लिखा जा सकता है।
केंद्र $(3, -2)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $4$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|3m + 2 + 4 - 7m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4 \Rightarrow |6 - 4m| = 4\sqrt{m^2 + 1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(6 - 4m)^2 = 16(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 36 - 48m + 16m^2 = 16m^2 + 16$ $\Rightarrow m = 5/12$.
इससे रेखा $5x - 12y + 13 = 0$ प्राप्त होती है।
साथ ही,ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 7$ भी $(7, 4)$ से गुजरती है और केंद्र $(3, -2)$ से इसकी दूरी $4$ है,इसलिए यह भी एक स्पर्श रेखा है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $(x_1 - 4)(x - 4) + (y_1 - 8)(y - 8) = 20$ है।
चूंकि यह स्पर्शरेखा $(-2, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $(x_1 - 4)(-2 - 4) + (y_1 - 8)(0 - 8) = 20$,जो सरल होकर $-6(x_1 - 4) - 8(y_1 - 8) = 20$ हो जाता है।
$-2$ से विभाजित करने पर,$3(x_1 - 4) + 4(y_1 - 8) = -10$,अतः $3x_1 - 12 + 4y_1 - 32 = -10$,या $3x_1 + 4y_1 = 34$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$P(x_1, y_1)$ वृत्त $(x_1 - 4)^2 + (y_1 - 8)^2 = 20$ पर स्थित है।
$y_1 = \frac{34 - 3x_1}{4}$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(x_1 - 4)^2 + \left(\frac{34 - 3x_1}{4} - 8\right)^2 = 20$.
$(x_1 - 4)^2 + \left(\frac{2 - 3x_1}{4}\right)^2 = 20$.
$16(x_1^2 - 8x_1 + 16) + (4 - 12x_1 + 9x_1^2) = 320$.
$25x_1^2 - 140x_1 - 60 = 0 \implies 5x_1^2 - 28x_1 - 12 = 0$.
$(5x_1 + 2)(x_1 - 6) = 0$.
अतः,$x_1 = 6$ या $x_1 = -\frac{2}{5}$.
यदि $x_1 = 6$,तो $y_1 = \frac{34 - 18}{4} = 4$. बिंदु $(6, 4)$ है।
यदि $x_1 = -\frac{2}{5}$,तो $y_1 = \frac{34 - 3(-2/5)}{4} = \frac{44}{5}$. बिंदु $\left(-\frac{2}{5}, \frac{44}{5}\right)$ है।
इस प्रकार,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ के बिंदु $(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(1) + y(-2) = 5$ है,जो $x - 2y - 5 = 0$ के रूप में सरल होता है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ को स्पर्श करती है। इस वृत्त का केंद्र $(4, -3)$ है।
स्पर्श बिंदु,केंद्र $(4, -3)$ से रेखा $x - 2y - 5 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। गुणधर्म $\frac{x_1 - 4}{1} = \frac{y_1 + 3}{-2} = -\frac{4 - 2(-3) - 5}{1^2 + (-2)^2} = -\frac{5}{5} = -1$ का उपयोग करने पर।
अतः,$x_1 - 4 = -1 \implies x_1 = 3$ और $y_1 + 3 = 2 \implies y_1 = -1$.
स्पर्श बिंदु $(3, -1)$ है।

(B) दिए गए परवलय $(y - 2)^2 = 16(x - 1)$ की नाभि $(5, 2)$ है।
नाभि $(5, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $(y - 2) = m(x - 5)$ है,जिसे $mx - y + (2 - 5m) = 0$ लिखा जा सकता है।
दिए गए वृत्त का केंद्र $(7, 2)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ है।
चूंकि रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी।
$\frac{|7m - 2 + 2 - 5m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4m^2 = 2(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 2m^2 = 2$ $\Rightarrow m = \pm 1$।

(C) वृत्त $S: x^2 + y^2 = 1$ की $P(0, -1)$ पर स्पर्शरेखा $y = -1$ है।
आपतित किरण $(-3, -1)$ से गुजरती है और स्पर्शरेखा $y = -1$ को $(-3, -1)$ पर टकराती है।
माना परावर्तित किरण $y + 1 = m(x + 3)$ है,जिसे $mx - y + 3m - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह परावर्तित किरण वृत्त $S: x^2 + y^2 = 1$ की स्पर्शरेखा है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 1$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(0) - (0) + 3m - 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$
$|3m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m - 1)^2 = m^2 + 1$
$9m^2 - 6m + 1 = m^2 + 1$
$8m^2 - 6m = 0$
$2m(4m - 3) = 0$
अतः,$m = 0$ या $m = \frac{3}{4}$।
यदि $m = 0$ है,तो रेखा $y = -1$ प्राप्त होती है,जो स्वयं स्पर्शरेखा है। इसलिए परावर्तित किरण के लिए $m = \frac{3}{4}$ लेने पर:
$y + 1 = \frac{3}{4}(x + 3)$
$4y + 4 = 3x + 9$
$3x - 4y + 5 = 0$.

(B) माना $A$ और $B$ दो वृत्तों के केंद्र हैं।
चूंकि रेखा $12x + 5y - 7 = 0$ बिंदु $(1, -1)$ पर स्पर्शरेखा है,इसलिए केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $AB$ स्पर्शरेखा के लंबवत है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{12}{5}$ है।
अतः,रेखा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{5}{12}$ है।
माना $\tan \theta = \frac{5}{12}$,जिससे $\cos \theta = \frac{12}{13}$ और $\sin \theta = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
केंद्र $A$ और $B$ बिंदु $(1, -1)$ से $13$ इकाई की दूरी पर स्थित हैं।
प्राचलिक रूप का उपयोग करने पर,निर्देशांक $(1 \pm 13 \cos \theta, -1 \pm 13 \sin \theta)$ प्राप्त होते हैं।
मान रखने पर: $(1 \pm 13 \cdot \frac{12}{13}, -1 \pm 13 \cdot \frac{5}{13}) = (1 \pm 12, -1 \pm 5)$.
इस प्रकार,दो केंद्र $(13, 4)$ और $(-11, -6)$ प्राप्त होते हैं।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है। स्पर्श बिंदु $P(1, \sqrt{3})$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ है,अतः $x(1) + y(\sqrt{3}) = 4$,जो $x + \sqrt{3}y = 4$ है।
स्पर्श रेखा के लिए,$y=0$ रखने पर $x$-अंतःखंड $x=4$ प्राप्त होता है। अतः स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर मिलती है।
वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब केंद्र $(0, 0)$ से होकर गुजरता है। $(1, \sqrt{3})$ पर अभिलंब $(0, 0)$ और $(1, \sqrt{3})$ से गुजरने वाली रेखा $y = \sqrt{3}x$ है।
अभिलंब $x$-अक्ष को मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर मिलता है।
त्रिभुज बिंदुओं $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ और $P(1, \sqrt{3})$ द्वारा बनता है।
$x$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $OA = 4$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $\sqrt{3}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(B) सबसे पहले,रेखाओं $2x - 3y + 1 = 0$ और $3x - 2y - 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $x = 1$ और $y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
अब,जाँचें कि क्या $(1, 1)$ वृत्त $x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$ पर स्थित है।
वृत्त के समीकरण में $(1, 1)$ रखने पर: $(1)^2 + (1)^2 + 2(1) - 4(1) = 1 + 1 + 2 - 4 = 0$।
चूँकि बिंदु $(1, 1)$ वृत्त पर स्थित है,इस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$g = 1, f = -2, c = 0, x_1 = 1, y_1 = 1$ है।
इन मानों को रखने पर: $x(1) + y(1) + 1(x + 1) - 2(y + 1) + 0 = 0$।
$x + y + x + 1 - 2y - 2 = 0$।
$2x - y - 1 = 0$।

(C) माना वृत्त $S: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0$ है। वृत्त का केंद्र $C(2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{5}$ है।
चूँकि $AP$ और $AQ$ स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $\angle APC = 90^{\circ}$ और $\angle AQC = 90^{\circ}$ है।
अतः,बिंदु $P$ और $Q$,$AC$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त पर स्थित हैं।
$AC$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण: $(x + 2)(x - 2) + (y - 1)(y - 3) = 0$
$x^2 - 4 + y^2 - 4y + 3 = 0$
$x^2 + y^2 - 4y - 1 = 0$.

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $T = 0$ अर्थात $x x_1 + y y_1 = r^2$ है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ रखने पर,हमें $\sqrt{3}x + y = 4$ या $\sqrt{3}x + y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
यह रेखा दूसरे वृत्त $x^2 + (y - 3)^2 = \lambda$ की भी स्पर्श रेखा है। इस वृत्त का केंद्र $(0, 3)$ है और त्रिज्या $\sqrt{\lambda}$ है।
केंद्र $(0, 3)$ से रेखा $\sqrt{3}x + y - 4 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{\lambda}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|\sqrt{3}(0) + 1(3) - 4|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|3 - 4|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{|-1|}{2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $d^2 = \lambda$,इसलिए $\lambda = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 4$ प्राप्त होता है। परवलय की नाभि $(4, 0)$ है।
$(4, 0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = m(x - 4)$ अर्थात $mx - y - 4m = 0$ है।
यह रेखा वृत्त $(x-6)^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है। वृत्त का केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
केंद्र $(6, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$
$4m^2 = 2m^2 + 2$
$2m^2 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$.

(C) दिया गया वक्र $xy = (x + c)^2$ है,जिसे $y = \frac{(x + c)^2}{x} = x + 2c + \frac{c^2}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{c^2}{x^2} = \frac{x^2 - c^2}{x^2}$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{dx}{dy} = -\frac{x^2}{x^2 - c^2} = \frac{x^2}{c^2 - x^2}$ होती है।
अभिलंब निर्देशांक अक्षों पर संख्यात्मक रूप से समान अंतःखंड काटता है,जिसका अर्थ है कि अभिलंब की ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।
स्थिति $1$: $\frac{x^2}{c^2 - x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = c^2 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = c^2 \Rightarrow x = \pm \frac{c}{\sqrt{2}}$.
स्थिति $2$: $\frac{x^2}{c^2 - x^2} = -1 \Rightarrow x^2 = -(c^2 - x^2) \Rightarrow x^2 = -c^2 + x^2 \Rightarrow 0 = -c^2$,जो $c \neq 0$ के लिए संभव नहीं है।
अतः,भुज $\pm \frac{c}{\sqrt{2}}$ हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4 = 0$ है।
तुलना करने पर $g = 2, f = 1, c = -4$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ है।
बिंदु $P(1, 1/2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{1^2 + (1/2)^2 + 4(1) + 2(1/2) - 4} = 3/2$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\tan(\theta/2) = \frac{r}{\sqrt{S_1}} = \frac{3}{3/2} = 2$ है।
अतः,$\theta = 2 \tan^{-1}(2) = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ है। केंद्र $(2, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = 5$ है।
चूंकि रेखा $3x - 4y - k = 0$ स्पर्श रेखा है,केंद्र $(2, 4)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $5$ के बराबर है।
$\frac{|3(2) - 4(4) - k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5$
$\frac{|6 - 16 - k|}{5} = 5$
$|-10 - k| = 25$
चूंकि $k > 0$,इसलिए $10 + k = 25$,जिससे $k = 15$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $3x - 4y - 15 = 0$ है।
$(a, b)$ पर अभिलंब केंद्र $(2, 4)$ से गुजरता है और स्पर्श रेखा के लंबवत है। स्पर्श रेखा की ढाल $3/4$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-4/3$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)$ है,जो $4x + 3y = 20$ में सरल हो जाता है।
समीकरणों को हल करने पर:
$3x - 4y = 15$ $(i)$
$4x + 3y = 20$ (ii)
हल करने पर $x = a = 5$ और $y = b = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$k + a + b = 15 + 5 + 0 = 20$.

(C) वृत्त का समीकरण $(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 25$ है। केंद्र $C(7, -1)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
माना $O$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है। मूल बिंदु से केंद्र $C$ की दूरी $d = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। मूल बिंदु और केंद्र को जोड़ने वाली रेखा और एक स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\frac{\theta}{2}$ है।
समकोण त्रिभुज में,$\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{r}{d} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) $\Delta OAB$ में,$\angle OAB = 90^{\circ}$ (क्योंकि $AB$,$A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है)।
दिया है $\angle AOB = 60^{\circ}$ और त्रिज्या $OA = 2$ है।
$\Delta OAB$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{OA}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AB}{2}$ $\Rightarrow AB = 2\sqrt{3}$।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times OA \times AB = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$।
त्रिज्यखंड $OAC$ का क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi (2)^2 = \frac{1}{6} \times 4\pi = \frac{2\pi}{3}$।
छायांकित भाग,$\Delta OAB$ के क्षेत्रफल में से त्रिज्यखंड $OAC$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है,जो $2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$ है।
अछायांकित भाग त्रिज्यखंड $OAC$ का क्षेत्रफल है,जो $\frac{2\pi}{3}$ है।
अनुपात = $\frac{\text{छायांकित}}{\text{अछायांकित}} = \frac{2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\pi} - 1$।

(A) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - (x + x_1) - 1 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$2x + y - (x + 2) - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x + y - 3 = 0$ हो जाता है।
यह रेखा वृत्त $C_2$ (केंद्र $(3, -2)$) के लिए जीवा का कार्य करती है।
केंद्र $(3, -2)$ से रेखा $x + y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3 - 2 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
जीवा की लंबाई $l = 4$ है,इसलिए जीवा की आधी लंबाई $\frac{l}{2} = 2$ है।
वृत्त $C_2$ की त्रिज्या $r = \sqrt{(\frac{l}{2})^2 + d^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$।

(A) वृत्त का केंद्र रेखाओं $x - y = 1$ और $2x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y) + (2x + y) = 1 + 3 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}$.
$x = \frac{4}{3}$ को $x - y = 1$ में रखने पर: $\frac{4}{3} - y = 1 \implies y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
अतः,केंद्र $O$ बिंदु $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ है।
स्पर्श बिंदु $P(1, -1)$ है।
त्रिज्या $OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{\frac{1}{3} - (-1)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = 4$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{m_{OP}} = -\frac{1}{4}$ होगी।
बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $-\frac{1}{4}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 1)$
$4(y + 1) = -(x - 1)$
$4y + 4 = -x + 1$
$x + 4y + 3 = 0$.

(D) दिया गया शांकव $y - 6 = x^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 10)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 2(2) = 4$ है।
$(2, 10)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 10 = 4(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $4x - y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा वृत्त $x^2 + y^2 + 8x - 2y = k$ को $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए बिंदु $(\alpha, \beta)$ स्पर्श रेखा पर स्थित है,अतः $4\alpha - \beta + 2 = 0$,या $\beta = 4\alpha + 2$ है।
वृत्त के बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $x^2 + y^2 + 8x - 2y = k$ का अवकलन करने पर प्राप्त होती है,जो $2x + 2y \frac{dy}{dx} + 8 - 2 \frac{dy}{dx} = 0$ है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{-(x + 4)}{y - 1}$ है।
$(\alpha, \beta)$ पर ढाल $4$ है,इसलिए $\frac{-(\alpha + 4)}{\beta - 1} = 4$,जिसका अर्थ है $-\alpha - 4 = 4\beta - 4$,या $\alpha = -4\beta$ है।
$\alpha = -4\beta$ को $\beta = 4\alpha + 2$ में रखने पर,$\beta = 4(-4\beta) + 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\beta = -16\beta + 2$,जो $17\beta = 2$ देता है,अतः $\beta = \frac{2}{17}$ है।
तब $\alpha = -4 \left( \frac{2}{17} \right) = -\frac{8}{17}$ है।
अतः,बिंदु $(\alpha, \beta)$ का मान $\left( -\frac{8}{17}, \frac{2}{17} \right)$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 4^2$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $P(0, h)$ से खींची गई स्पर्श रेखा $y-$अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाती है, इसलिए $\sin \alpha = \frac{r}{OP} = \frac{4}{h}$।
मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है, तो $\theta = 90^\circ - \alpha$, इसलिए $\cos \theta = \sin \alpha = \frac{4}{h}$।
$B$ का $x-$निर्देशांक $OB = \frac{r}{\sin \theta} = \frac{4}{\cos \alpha} = \frac{4h}{\sqrt{h^2 - 16}}$ है।
$\Delta APB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{\text{आधार}} \times \text{\text{ऊंचाई}} = \frac{1}{2} \times (2 \cdot OB) \times h = OB \times h = \frac{4h^2}{\sqrt{h^2 - 16}}$।
क्षेत्रफल को न्यूनतम करने के लिए, $f(h) = \frac{16h^4}{h^2 - 16}$ का अवकलन करने पर $h^2 = 32$ प्राप्त होता है।
अतः, $h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a = 1$) की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
इसे $m^2x - my + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 6x = 0$ का केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा है,केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $m^2x - my + 1 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $3$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|3m^2 + 1|}{\sqrt{m^4 + m^2}} = 3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m^2 + 1)^2 = 9(m^4 + m^2)$
$9m^4 + 6m^2 + 1 = 9m^4 + 9m^2$
$3m^2 = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,समीकरण $\sqrt{3}y = x + 3$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा $x + 2y = 1$,$x$-अक्ष को $A(1, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 1/2)$ पर काटती है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$,$A(1, 0)$ और $B(0, 1/2)$ से होकर गुजरता है,और त्रिभुज $OAB$ मूल बिंदु पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $AB$ वृत्त का व्यास है।
व्यास $AB$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1/2) = 0$ है,जो $x^2 + y^2 - x - \frac{1}{2}y = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $x^2$ को $x \cdot 0$ से,$y^2$ को $y \cdot 0$ से,$x$ को $\frac{x+0}{2}$ से और $y$ को $\frac{y+0}{2}$ से बदलकर प्राप्त किया जा सकता है।
इससे $0 + 0 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} = 0$ प्राप्त होता है,जो $-\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 0$ या $2x + y = 0$ में सरल हो जाता है।
$A(1, 0)$ से रेखा $2x + y = 0$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|2(1) + 0|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
$B(0, 1/2)$ से रेखा $2x + y = 0$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|2(0) + 1/2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ है।
दूरियों का योग $d_1 + d_2 = \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{4+1}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।

(D) मान लीजिए वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $O(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है। बिंदु $P$ $(\sqrt{3}, 1)$ है।
$P$ पर अभिलंब वह रेखा है जो $O(0, 0)$ और $P(\sqrt{3}, 1)$ से होकर गुजरती है। इसका समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ या $x - \sqrt{3}y = 0$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ के अनुसार $\sqrt{3}x + y = 4$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटती है। स्पर्श रेखा के समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$\sqrt{3}x = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$। अतः,$Q = (\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ है।
त्रिभुज मूल बिंदु $O(0, 0)$,बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ और बिंदु $Q(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ द्वारा बनता है।
त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
आधार $OQ = \frac{4}{\sqrt{3}}$ और ऊंचाई ($P$ का $y$-निर्देशांक) $= 1$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई।

(D) रेखा $L: x - y = 0$ को बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + \lambda(x - y) = 0$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, -3)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1 - 1)^2 + (-3 - 1)^2 + \lambda(1 - (-3)) = 0$
$0 + 16 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -4$.
समीकरण में $\lambda = -4$ रखने पर:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 4(x - y) = 0$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 2 = 0$.
वृत्त का केंद्र $(3, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=1$ है। बिंदु $P\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल अवकलन द्वारा प्राप्त होती है: $2x+2yy'=0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$.
$P$ पर,ढाल $m_{L1} = -\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = -1$.
चूँकि रेखा $y=mx+c$,$L_{1}$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{1}{m_{L1}} = -\frac{1}{-1} = 1$.
अतः,रेखा $y=x+c$ या $x-y+c=0$ है।
यह रेखा वृत्त $(x-3)^{2}+y^{2}=1$ की स्पर्शरेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $x-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|3-0+c|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = 1 \Rightarrow |3+c| = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3+c)^{2} = 2$ $\Rightarrow 9+6c+c^{2} = 2$ $\Rightarrow c^{2}+6c+7=0$.

(C) $y$-अक्ष को $(0,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x-0)^2 + (y-4)^2 + \lambda x = 0$ है।
यह $(2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=2$ और $y=0$ रखने पर:
$(2-0)^2 + (0-4)^2 + \lambda(2) = 0$ $\Rightarrow 4 + 16 + 2\lambda = 0$ $\Rightarrow 2\lambda = -20$ $\Rightarrow \lambda = -10$.
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 10x - 8y + 16 = 0$ है।
केंद्र $(5,4)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ स्पर्श रेखा होगी यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $5$ हो।
विकल्प $C$ के लिए: $|4(5) + 3(4) - 8| / 5 = 24/5 = 4.8 \neq 5$,इसलिए यह स्पर्श रेखा नहीं है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 = 0$
$2y \frac{dy}{dx} = 2 - 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{y}$.
स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष के समांतर होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{1-x}{y} = 0$,जिसका अर्थ है $1-x = 0$,या $x = 1$.
$x = 1$ को वक्र के समीकरण में रखने पर:
$(1)^{2} + y^{2} - 2(1) - 3 = 0$
$1 + y^{2} - 2 - 3 = 0$
$y^{2} - 4 = 0$
$y^{2} = 4$
$y = \pm 2$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण: $x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(2y - 4) = 2 - 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(1-x)}{2(y-2)} = \frac{1-x}{y-2}$
चूंकि स्पर्श रेखाएं $y$-अक्ष के समानांतर हैं,इसलिए ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ को मूल समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x^{2} + (2)^{2} - 2x - 4(2) + 1 = 0$
$x^{2} + 4 - 2x - 8 + 1 = 0$
$x^{2} - 2x - 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 3)(x + 1) = 0$
$x = 3$ या $x = -1$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 2)$ और $(-1, 2)$ हैं।

(C) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ के शीर्ष $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,और $D(0,1)$ हैं।
वृत्त $C_{1}$ का केंद्र $A(0,0)$ और त्रिज्या $1$ है,अतः इसका समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है।
मान लीजिए वृत्त $C_{2}$ का केंद्र $(r,r)$ और त्रिज्या $r$ है क्योंकि यह $AD$ $(x=0)$ और $AB$ $(y=0)$ को स्पर्श करता है।
चूंकि $C_{2}$,$C_{1}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर है: $\sqrt{r^2 + r^2} = 1 + r$.
$\sqrt{2}r = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \sqrt{2}+1$. लेकिन वृत्त वर्ग के अंदर है,इसलिए $r = \sqrt{2}-1$ होगा।
$C_{2}$ का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है जहाँ $r = \sqrt{2}-1$ है।
बिंदु $C(1,1)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y-1 = m(x-1)$ या $mx - y + (1-m) = 0$ है।
चूंकि यह रेखा $C_{2}$ को स्पर्श करती है,$(r,r)$ से रेखा की लंबवत दूरी $r$ होगी:
$\frac{|mr - r + 1 - m|}{\sqrt{m^2+1}} = r \Rightarrow |(m-1)(r-1) + 1| = r\sqrt{m^2+1}$.
$r = \sqrt{2}-1$ रखने पर,$r-1 = \sqrt{2}-2$.
$|(m-1)(\sqrt{2}-2) + 1| = (\sqrt{2}-1)\sqrt{m^2+1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करके $m$ के लिए हल करने पर $m = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा के $AB$ को $E$ पर मिलने के लिए,$m = -(2+\sqrt{3})$ या ज्यामिति के अनुसार उचित मान लेने पर,$y-1 = m(x-1)$ में $y=0$ रखने पर $x = 1 - \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
$m = -(2+\sqrt{3})$ के लिए,$x = 1 - \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = 3-\sqrt{3}$.
$EB = 1 - x = 1 - (3-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$ (यह रूप में नहीं है)। दूसरी स्पर्शरेखा लेने पर $EB = 2-\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 2, \beta = -1$. इसलिए $\alpha+\beta = 2-1 = 1$.

(A) माना वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $x - 2y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $h - 2k = 4$,जिसका अर्थ है $k = \frac{h - 4}{2}$।
अतः,केंद्र $O(h, \frac{h - 4}{2})$ है।
रेखा $2x - y + 1 = 0$ बिंदु $A(2, 5)$ पर स्पर्श रेखा है। त्रिज्या $OA$ स्पर्श रेखा के लंबवत है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 2$ है।
त्रिज्या $OA$ की ढाल $m_2 = \frac{\frac{h - 4}{2} - 5}{h - 2} = \frac{h - 14}{2(h - 2)}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $2 \times \frac{h - 14}{2(h - 2)} = -1$ है।
$\frac{h - 14}{h - 2} = -1 \implies h - 14 = -h + 2 \implies 2h = 16 \implies h = 8$।
तब $k = \frac{8 - 4}{2} = 2$।
केंद्र $(8, 2)$ है।
त्रिज्या $r$,$(8, 2)$ और $(2, 5)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+ax+2ay+c=0$ है।
$x$-अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^{2}-c} = 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-c} = 2\sqrt{2}$ है।
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{4}-c = 2 \quad \dots(1)$
$y$-अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^{2}-c} = 2\sqrt{a^{2}-c} = 2\sqrt{5}$ है।
$\Rightarrow a^{2}-c = 5 \quad \dots(2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(a^{2}-c) - (\frac{a^{2}}{4}-c) = 5-2$ $\Rightarrow \frac{3a^{2}}{4} = 3$ $\Rightarrow a^{2} = 4$.
चूंकि $a < 0$,इसलिए $a = -2$ है।
$a = -2$ को $(2)$ में रखने पर: $(-2)^{2}-c = 5$ $\Rightarrow 4-c = 5$ $\Rightarrow c = -1$.
वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x-4y-1 = 0$ है,जो $(x-1)^{2}+(y-2)^{2} = 6$ है।
केंद्र $(1, 2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{6}$ है।
स्पर्श रेखा $x+2y=0$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = 2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-2) = 2(x-1) \pm \sqrt{6}\sqrt{1+2^{2}}$ है।
$y-2 = 2x-2 \pm \sqrt{30} \Rightarrow 2x-y \pm \sqrt{30} = 0$.
मूल बिंदु $(0,0)$ से स्पर्श रेखा $2x-y \pm \sqrt{30} = 0$ की दूरी $d = \frac{|\pm \sqrt{30}|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}} = \sqrt{6}$ है।

(B) माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{12}{5}$.
चूँकि $\tan \theta = \frac{12}{5}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{12}{13}$ और $\cos \theta = \frac{5}{13}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r=1$ है।
माना $\alpha = \theta/2$ है। $\tan \alpha = \frac{r}{PA} = \frac{1}{PA}$ है।
$\tan \theta = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{12}{5}$ से हल करने पर $PA = 3/2$ प्राप्त होता है।
$\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (PA)^2 \sin \theta = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left(\frac{12}{13}\right) = \frac{27}{26}$ है।
$\Delta CAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} r^2 \sin \theta = \frac{1}{2} (1)^2 \left(\frac{12}{13}\right) = \frac{6}{13}$ है।
अनुपात $= \frac{27/26}{6/13} = \frac{9}{4}$ है।

(C) बिंदु $R(3,4)$ पर वृत्त $x^{2}+y^{2}=25$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $3x+4y=25$ है।
स्पर्शरेखा जहाँ अक्षों से मिलती है,उन बिंदुओं $P$ और $Q$ को ज्ञात करने के लिए:
$P$ ($x$-अक्ष पर) के लिए,$y=0$ रखें: $3x=25 \implies x=\frac{25}{3}$. अतः,$P = (\frac{25}{3}, 0)$.
$Q$ ($y$-अक्ष पर) के लिए,$x=0$ रखें: $4y=25 \implies y=\frac{25}{4}$. अतः,$Q = (0, \frac{25}{4})$.
त्रिभुज $OPQ$ एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $O(0,0)$,$P(\frac{25}{3}, 0)$,और $Q(0, \frac{25}{4})$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $OP = \frac{25}{3}$,$OQ = \frac{25}{4}$,और $PQ = \sqrt{(\frac{25}{3})^{2} + (\frac{25}{4})^{2}} = \sqrt{\frac{625}{9} + \frac{625}{16}} = \frac{125}{12}$ है।
एक समकोण त्रिभुज का अंतःकेंद्र $I(a, b)$ जिसके शीर्ष $(0,0)$,$(x_1, 0)$,और $(0, y_1)$ हैं,$I = (r_{in}, r_{in})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_{in} = \frac{x_1 + y_1 - \sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{2}$ है।
यहाँ,$r_{in} = \frac{\frac{25}{3} + \frac{25}{4} - \frac{125}{12}}{2} = \frac{25}{12}$.
अतः,अंतःकेंद्र $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ है।
वृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ पर है।
त्रिज्या $r$ दूरी $OI = \sqrt{(\frac{25}{12}-0)^{2} + (\frac{25}{12}-0)^{2}} = \sqrt{2(\frac{25}{12})^{2}}$ है।
इसलिए,$r^{2} = 2 \times (\frac{25}{12})^{2} = 2 \times \frac{625}{144} = \frac{625}{72}$.

(D) वृत्त के अभिलंब उसके केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $z = x + iy$ है।
$(i)$ $(2-i)z = (2+i)\bar{z} \Rightarrow y = \frac{x}{2}$।
(ii) $(2+i)z + (i-2)\bar{z} - 4i = 0 \Rightarrow x + 2y = 2$।
$(i)$ और (ii) को हल करने पर: $x = 1, y = \frac{1}{2}$।
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, \frac{1}{2})$ है।
(iii) स्पर्श रेखा $iz + \bar{z} + 1 + i = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, \frac{1}{2})$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी है:
$r = \frac{|1 - \frac{1}{2} + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3/2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$।