Tangent and normal to a circle Questions in Hindi

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(2, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = 5$ है।
चूंकि रेखा $3x - 4y - \lambda = 0$ वृत्त को स्पर्श करती है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी।
$\frac{|3(2) - 4(4) - \lambda|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5$.
$\frac{|-10 - \lambda|}{5} = 5$.
$|-10 - \lambda| = 25$.
अतः,$-10 - \lambda = 25$ या $-10 - \lambda = -25$.
इस प्रकार,$\lambda = -35$ या $\lambda = 15$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + b^2 = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें केंद्र $(g, f) = (a, b)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{a^2 + b^2 - b^2} = \sqrt{a^2} = |a|$ प्राप्त होती है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से खींची गई स्पर्श रेखाएं लंबवत होंगी यदि केंद्र $(a, b)$ से मूल बिंदु की दूरी $\sqrt{2} \times r$ के बराबर हो।
$(0, 0)$ से $(a, b)$ की दूरी $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।
अतः,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2} \times |a|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2 + b^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $b^2 = a^2$ या $a^2 = b^2$ हो जाता है।

(A) एक रेखा वृत्त का अभिलंब होती है यदि और केवल यदि वह वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ का केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि रेखा $lx + my + n = 0$ वृत्त का अभिलंब है,इसलिए बिंदु $(-g, -f)$ को रेखा के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
रेखा के समीकरण में $x = -g$ और $y = -f$ रखने पर:
$l(-g) + m(-f) + n = 0$
$-lg - mf + n = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$lg + mf - n = 0$.

(B) दी गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण $2x - 4y - 9 = 0$ और $6x - 12y + 7 = 0$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों को समान करने के लिए,पहले समीकरण को $3$ से गुणा करें: $6x - 12y - 27 = 0$।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ समानांतर हैं,इसलिए उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास $d$ है।
दो समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 6, B = -12, C_1 = -27, C_2 = 7$ है।
$d = \frac{|-27 - 7|}{\sqrt{6^2 + (-12)^2}} = \frac{|-34|}{\sqrt{36 + 144}} = \frac{34}{\sqrt{180}} = \frac{34}{6\sqrt{5}} = \frac{17}{3\sqrt{5}}$।
त्रिज्या $r$ व्यास की आधी होती है: $r = \frac{d}{2} = \frac{17}{2 \times 3\sqrt{5}} = \frac{17}{6\sqrt{5}}$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $a$ है।
$y = mx + c$ के समांतर रेखा का समीकरण $y = mx + k$ के रूप में होगा।
यदि यह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $mx - y + k = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी का सूत्र $d = \frac{|m(0) - (0) + k|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = a$ है।
यह $\frac{|k|}{\sqrt{m^2 + 1}} = a$ में सरल होता है,जिससे $|k| = a\sqrt{1 + m^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \pm a\sqrt{1 + m^2}$।
इस प्रकार,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2}$ है।

(A) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ दिया गया है।
रेखा $x = 7$ के साथ स्पर्श बिंदु ज्ञात करने के लिए,वृत्त के समीकरण में $x = 7$ प्रतिस्थापित करें:
${(7)^2} + {y^2} - 4(7) - 6y - 12 = 0$
$49 + {y^2} - 28 - 6y - 12 = 0$
${y^2} - 6y + 9 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है:
${(y - 3)^2} = 0$
$y = 3$
अतः,स्पर्श बिंदु $(7, 3)$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = b^2$ की किसी भी स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm b\sqrt{1 + m^2}$ होता है।
चूंकि दी गई स्पर्शरेखा $y = mx - b\sqrt{1 + m^2}$ है,यह पहले वृत्त की स्पर्शरेखा है।
इस रेखा के दूसरे वृत्त $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ की स्पर्शरेखा होने के लिए,केंद्र $(a, 0)$ से रेखा $mx - y - b\sqrt{1 + m^2} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $b$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|ma - 0 - b\sqrt{1 + m^2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = b$.
चूंकि $a > 2b$,हमारे पास $ma > b\sqrt{1 + m^2}$ है,इसलिए $ma - b\sqrt{1 + m^2} = b\sqrt{m^2 + 1}$.
$ma = 2b\sqrt{1 + m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$m^2 a^2 = 4b^2(1 + m^2) = 4b^2 + 4b^2 m^2$.
$m^2(a^2 - 4b^2) = 4b^2$.
$m^2 = \frac{4b^2}{a^2 - 4b^2}$.
$m$ का धनात्मक मान लेने पर,$m = \frac{2b}{\sqrt{a^2 - 4b^2}}$।

(B) माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।
चूंकि $P$ रेखा $x + 2y + 12 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $x_1 + 2y_1 = -12$ $(i)$.
रेखा $x + 2y + 12 = 0$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
त्रिज्या $OP$ स्पर्श रेखा के लंबवत है,इसलिए $OP$ की ढाल $m_1 = -\frac{1}{m_2} = 2$ है।
$OP$ की ढाल $\frac{y_1 - 1}{x_1 + 1}$ भी है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{y_1 - 1}{x_1 + 1} = 2$ $\Rightarrow y_1 - 1 = 2x_1 + 2$ $\Rightarrow 2x_1 - y_1 = -3$ $(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
समीकरण $(ii)$ से,$y_1 = 2x_1 + 3$.
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x_1 + 2(2x_1 + 3) = -12$ $\Rightarrow x_1 + 4x_1 + 6 = -12$ $\Rightarrow 5x_1 = -18$ $\Rightarrow x_1 = -\frac{18}{5}$.
अतः $y_1 = 2(-\frac{18}{5}) + 3 = -\frac{36}{5} + \frac{15}{5} = -\frac{21}{5}$.
इस प्रकार,स्पर्श बिंदु $\left( -\frac{18}{5}, -\frac{21}{5} \right)$ है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = a^2$ होता है।
बिंदु $(h, h)$ रखने पर,हमें $hx + hy = a^2$ प्राप्त होता है,जिसे $hx + hy - a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $Ax + By + C = 0$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = -\frac{A}{B}$ होती है।
अतः,ढाल $m = -\frac{h}{h} = -1$ (जहाँ $h \neq 0$)।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $2(x^2 + y^2) = 5$ है,जिसे $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे मानक रूप $x^2 + y^2 = r^2$ से तुलना करने पर,त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{5}{2}}$ प्राप्त होती है।
वृत्त का केंद्र $(0, 0)$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त को स्पर्श करती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर हो।
अतः,$\frac{|4(0) + 3(0) + \lambda|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.
$\frac{|\lambda|}{5} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.
$|\lambda| = 5 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{10}}{2}$.
अतः,$\lambda = \pm \frac{5\sqrt{10}}{2}$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 2x + 4y + 3 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = 1$ और $f = 2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1, -2)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
अतः,अभिलंब बिंदुओं $(-1, -2)$ और $(-2, -3)$ से होकर गुजरता है।
अभिलंब की प्रवणता $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $m = \frac{-3 - (-2)}{-2 - (-1)} = \frac{-3 + 2}{-2 + 1} = \frac{-1}{-1} = 1$।
इसलिए,अभिलंब की प्रवणता $1$ है।

(B) दी गई रेखा $y = mx + c$ है। इस रेखा की ढाल $m$ है।
इस पर लंब रेखा की ढाल $-1/m$ होगी।
माना स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{m}x + k$ है,जिसे $x + my - mk = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त यह है कि केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|-mk|}{\sqrt{1^2 + m^2}} = a$।
$|mk| = a\sqrt{1 + m^2}$,इसलिए $mk = \pm a\sqrt{1 + m^2}$।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $x + my = \pm a\sqrt{1 + m^2}$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का केंद्र $C = (a, b)$ है और यह मूल बिंदु $O = (0, 0)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $OC$ की ढाल $m_{radius} = \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$ है।
मूल बिंदु पर स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु $(0, 0)$ पर त्रिज्या $OC$ के लंबवत होती है।
इसलिए,स्पर्श रेखा की ढाल $m_{tangent}$ त्रिज्या की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है:
$m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{a}{b}$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{a}{b}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 0 = -\frac{a}{b}(x - 0)$
$y = -\frac{a}{b}x$
$by = -ax$
$ax + by = 0$.

(A) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 6 = 0$ है,जहाँ $g = 1$,$f = -3$,और $c = -6$ है।
बिंदु $(4, 5)$ है,इसलिए $x_1 = 4$ और $y_1 = 5$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $= \sqrt{4^2 + 5^2 + 2(4) - 6(5) - 6}$
$= \sqrt{16 + 25 + 8 - 30 - 6}$
$= \sqrt{49 - 36}$
$= \sqrt{13}$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
$x + 2y + 3 = 0$ के समांतर किसी भी रेखा को $x + 2y + \lambda = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा के वृत्त की स्पर्श रेखा होने के लिए,केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 2$ के बराबर होनी चाहिए।
$(x_1, y_1)$ से $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{|1(0) + 2(0) + \lambda|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = 2$
$\frac{|\lambda|}{\sqrt{5}} = 2$
$|\lambda| = 2\sqrt{5}$
$\lambda = \pm 2\sqrt{5}$
$\lambda$ का मान रेखा के समीकरण में रखने पर,हमें $x + 2y \pm 2\sqrt{5} = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $x + 2y = \pm 2\sqrt{5}$।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $2x^2 + 2y^2 - 2x - 5y + 3 = 0$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 - x - \frac{5}{2}y + \frac{3}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - \frac{1}{2}(x + x_1) - \frac{5}{4}(y + y_1) + \frac{3}{2} = 0$ है।
$(1, 1)$ प्रतिस्थापित करने पर,$x + y - \frac{1}{2}(x + 1) - \frac{5}{4}(y + 1) + \frac{3}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
$4$ से गुणा करने पर,$4x + 4y - 2x - 2 - 5y - 5 + 6 = 0$,जो सरल होकर $2x - y - 1 = 0$ हो जाता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 2$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ है।
बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$ है।
$2y - 2 = -x + 1$,जिससे $x + 2y = 3$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया बिंदु $(3, -4)$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0$ है।
माना $L$ स्पर्श रेखा की लंबाई है।
$L^2 = x_1^2 + y_1^2 - 4x_1 - 6y_1 + 3$
$x_1 = 3$ और $y_1 = -4$ रखने पर:
$L^2 = (3)^2 + (-4)^2 - 4(3) - 6(-4) + 3$
$L^2 = 9 + 16 - 12 + 24 + 3$
$L^2 = 40$.
अतः,स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $40$ है।

(C) किसी रेखा के वृत्त को स्पर्श करने के लिए,वृत्त के केंद्र से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ है,इसलिए इसका केंद्र $(0, 0)$ है और त्रिज्या $a$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ की लंबवत दूरी है:
$d = \frac{|(0)\cos \alpha + (0)\sin \alpha - p|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}}$
चूंकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए:
$d = \frac{|-p|}{\sqrt{1}} = |p|$
दूरी को त्रिज्या के बराबर रखने पर $(d = a)$:
$|p| = a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
${p^2} = {a^2}$

(B) रेखा का समीकरण $3x - 2y = k$ है,जिसे $y = \frac{3}{2}x - \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,$m = \frac{3}{2}$ और $c = -\frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4{r^2}$ की त्रिज्या $a = 2r$ है।
रेखा $y = mx + c$ वृत्त ${x^2} + {y^2} = a^2$ की स्पर्शरेखा होती है यदि $c^2 = a^2(1 + m^2)$ हो।
मान रखने पर,$\left(-\frac{k}{2}\right)^2 = (2r)^2 \left(1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right)$।
$\frac{k^2}{4} = 4{r^2} \left(1 + \frac{9}{4}\right)$।
$\frac{k^2}{4} = 4{r^2} \left(\frac{13}{4}\right)$।
$\frac{k^2}{4} = 13{r^2}$।
अतः,${k^2} = 52{r^2}$।

(C) वृत्त ${x^2} + {y^2} = 25$ के बिंदु $P(3, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ के अनुसार $3x + 4y = 25$ है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखने पर $3x = 25$,जिससे $x = \frac{25}{3}$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $A$ $(\frac{25}{3}, 0)$ है।
$x = 0$ रखने पर $4y = 25$,जिससे $y = \frac{25}{4}$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $B$ $(0, \frac{25}{4})$ है।
स्पर्श रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज $\Delta OAB$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसका आधार $OA = \frac{25}{3}$ और ऊँचाई $OB = \frac{25}{4}$ है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times \frac{25}{4} = \frac{625}{24}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 16$ है,जो $x^2 + y^2 = a^2$ के रूप में है,जहाँ $a = 4$ है।
रेखा $y = mx + c$,वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्शरेखा होती है यदि $c^2 = a^2(1 + m^2)$ हो।
यहाँ,$m = 2$ और $a = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$c^2 = 4^2(1 + 2^2) = 16(1 + 4) = 16(5) = 80$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = \pm \sqrt{80} = \pm 4\sqrt{5}$।
दिए गए विकल्पों में से $4\sqrt{5}$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया वृत्त $5x^2 + 5y^2 = 1$ है,जिसे $x^2 + y^2 = \frac{1}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $x^2 + y^2 = r^2$ से तुलना करने पर,$r^2 = \frac{1}{5}$,अतः $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
रेखा $3x + 4y = 1$ के समांतर रेखा का रूप $3x + 4y + k = 0$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होती है।
सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{|k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
$\frac{|k|}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow |k| = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$।
अतः,$k = \pm \sqrt{5}$।
इसलिए स्पर्श रेखाओं के समीकरण $3x + 4y = \pm \sqrt{5}$ हैं।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ होनी चाहिए।
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर $x = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ में $x = 0$ रखने पर,$y^2 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \pm 1$।
अतः,दो बिंदु $(0, 1)$ और $(0, -1)$ हैं जहाँ स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है।
इसलिए,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 6y - 6 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16 = 4^2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, -3)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
$3x - 4y + 7 = 0$ के समांतर स्पर्शरेखा का समीकरण $3x - 4y + k = 0$ के रूप में है।
केंद्र $(1, -3)$ से स्पर्शरेखा $3x - 4y + k = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 4$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = r$ का उपयोग करने पर,$\frac{|3(1) - 4(-3) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 4$ प्राप्त होता है।
$\frac{|15 + k|}{5} = 4$.
$|15 + k| = 20$.
इससे $15 + k = 20$ या $15 + k = -20$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 5$ या $k = -35$।

(A) वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ है,जिसका केंद्र $(1, 2)$ और त्रिज्या $r$ है।
यदि कोई रेखा $Ax + By + C = 0$ वृत्त को स्पर्श करती है,तो वृत्त के केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ तक की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $r = \frac{|3(1) + 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$।
$r = \frac{|3 + 8 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$।
अतः,$r$ का मान $2$ है।

(D) दी गई रेखाएँ ${x^2 - 3xy - 3x + 9y = 0}$ हैं,जिन्हें ${x(x - 3y) - 3(x - 3y) = 0}$ अर्थात ${(x - 3)(x - 3y) = 0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,अभिलंब ${x = 3}$ और ${x = 3y}$ हैं।
इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु अभीष्ट वृत्त का केंद्र है,जो ${(3, 1)}$ है।
दिया गया वृत्त ${x^2 + y^2 - 6x + 6y + 17 = 0}$ है,जिसे ${(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका केंद्र ${C_1 = (3, -3)}$ और त्रिज्या ${r_1 = 1}$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र ${C_2 = (3, 1)}$ और त्रिज्या ${r_2}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी ${C_1C_2 = \sqrt{(3 - 3)^2 + (1 - (-3))^2} = 4}$ है।
चूँकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,${C_1C_2 = r_1 + r_2}$।
${4 = 1 + r_2 \implies r_2 = 3}$।
वृत्त का समीकरण ${(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 3^2}$ है।
${x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 9}$।
${x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0}$।

(C) परवलय $y = x^2 + 6$ के बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{1}{2}(y + 7) = x(1) + 6$ है।
इसे सरल करने पर,$y + 7 = 2x + 12$,अर्थात $y = 2x + 5$ $(i)$ प्राप्त होता है।
यह स्पर्श रेखा वृत्त $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ $(ii)$ को स्पर्श करती है।
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (2x + 5)^2 + 16x + 12(2x + 5) + c = 0$
$5x^2 + 60x + (85 + c) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा है,इसलिए विविक्तकर शून्य होगा:
$D = (60)^2 - 4(5)(85 + c) = 0 \implies c = 95$।
द्विघात समीकरण $5x^2 + 60x + 180 = 0$ अर्थात $x^2 + 12x + 36 = 0$ बन जाता है।
$(x + 6)^2 = 0 \implies x = -6$।
$x = -6$ को $(i)$ में रखने पर,$y = 2(-6) + 5 = -7$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(-6, -7)$ है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण ${y^2} = 2(x - 3)$ है .....$(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$।
किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -y$ होती है।
दी गई रेखा $y - 2x + 1 = 0$ है,जिसे $y = 2x - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $2$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-y = 2 \implies y = -2$।
समीकरण $(i)$ में $y = -2$ रखने पर:
$(-2)^2 = 2(x - 3)$
$4 = 2(x - 3)$
$2 = x - 3$
$x = 5$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5, -2)$ है।

(A) दिया गया वक्र $x^2 = 3 - 2y$ है ...$(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = -2 \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = -x$
वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -x$ है।
दी गई रेखा $x + y = 2$ है,जिसे $y = -x + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $-1$ है।
चूंकि रेखा वक्र को स्पर्श करती है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल,रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए:
$-x = -1$
$x = 1$
$x = 1$ को वक्र के समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(1)^2 = 3 - 2y$
$1 = 3 - 2y$
$2y = 2$
$y = 1$
अतः,स्पर्श बिंदु $(1, 1)$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + 2px + y^2 - 2qy + q^2 = 0$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं के लंबवत होने की शर्त $g^2 + f^2 = 2c$ है।
यहाँ $2g = 2p \Rightarrow g = p$,$2f = -2q \Rightarrow f = -q$ और $c = q^2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $p^2 + (-q)^2 = 2(q^2)$ $\Rightarrow p^2 + q^2 = 2q^2$ $\Rightarrow p^2 = q^2$ $\Rightarrow p^2 - q^2 = 0$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 8 = 0$ है।
केंद्र $(1, 0)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2 + 0^2 - (-8)} = \sqrt{9} = 3$ है।
रेखा $3x + 4y - m = 0$ वृत्त को स्पर्श करती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर हो।
$\frac{|3(1) + 4(0) - m|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 3$.
$|3 - m| = 15$.
$3 - m = 15$ या $3 - m = -15$.
$m = -12$ या $m = 18$.

(A) माना वृत्त $S = x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, 1)$ के लिए,$S_1 = 0^2 + 1^2 - 2(0) + 4(1) = 5$ है।
स्पर्श रेखा $T$ का समीकरण $x x_1 + y y_1 - (x + x_1) + 2(y + y_1) = 0$ है।
$(0, 1)$ का मान रखने पर,$T = x(0) + y(1) - (x + 0) + 2(y + 1) = -x + 3y + 2$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ है।
$5(x^2 + y^2 - 2x + 4y) = (-x + 3y + 2)^2$।
$5x^2 + 5y^2 - 10x + 20y = x^2 + 9y^2 + 4 - 6xy - 4x + 12y$।
$4x^2 - 4y^2 + 6xy - 6x + 8y - 4 = 0$।
इस व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(2x - y + 1)(x + 2y - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $2x - y + 1 = 0$ और $x + 2y - 2 = 0$ हैं।

(C) दी गई रेखा $lx + my + n = 0$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा तभी होती है यदि केंद्र $(0, 0)$ से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई वृत्त की त्रिज्या $r$ के बराबर हो।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $lx + my + n = 0$ की लंबवत दूरी $d$ है:
$d = \frac{|l(0) + m(0) + n|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = \frac{|n|}{\sqrt{l^2 + m^2}}$
$d = r$ रखने पर:
$\frac{|n|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = r$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{n^2}{l^2 + m^2} = r^2$
अतः,$n^2 = r^2(l^2 + m^2)$।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(1, 3)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{1^2 + 3^2 - 9} = \sqrt{1 + 9 - 9} = 1$ है।
चूंकि केंद्र $(1, 3)$ है और त्रिज्या $1$ है,इसलिए वृत्त $y$-अक्ष (रेखा $x = 0$) को बिंदु $(0, 3)$ पर स्पर्श करता है।

(C) वृत्त $(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$ है। केंद्र $C(7, -1)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
मूलबिंदु $O(0, 0)$ से केंद्र $C(7, -1)$ तक की दूरी $d$ है।
$d = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\sin(\theta / 2) = \frac{r}{d} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta / 2 = 45^\circ = \pi / 4$.
इसलिए,$\theta = 2 \times (\pi / 4) = \pi / 2$.

(C) रेखा $y = x + c$,वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ को दो संपाती बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है यदि यह वृत्त की स्पर्शरेखा हो।
रेखा $y = mx + c$ के वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्शरेखा होने का प्रतिबंध $c^2 = r^2(1 + m^2)$ है।
यहाँ,$m = 1$ और $r^2 = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$c^2 = 1(1 + 1^2) = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = \pm \sqrt{2}$।

(B) मान लीजिए $C$ वृत्त का केंद्र है और $T_1$ स्पर्श बिंदु है। केंद्र $C$ $(-g, -f)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PT_1C$ में,$P$ पर कोण $\frac{\theta}{2}$ है।
अतः,$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{PT_1}{CT_1}$ है।
यहाँ,$PT_1$ बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई है,जो $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ है।
$CT_1$ त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
इसलिए,$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{g^2 + f^2 - c}}$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 22x - 4y + 25 = 0$ है। केंद्र $(11, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{11^2 + 2^2 - 25} = 10$ है।
$5x + 12y + 8 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $12x - 5y + k = 0$ के रूप में होगा।
चूंकि यह एक स्पर्श रेखा है,केंद्र $(11, 2)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 10$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|12(11) - 5(2) + k|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = 10$
$\frac{|122 + k|}{13} = 10$
$|122 + k| = 130$
$k = 8$ या $k = -252$
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $12x - 5y + 8 = 0$ और $12x - 5y - 252 = 0$ अर्थात $12x - 5y = 252$ हैं।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(h, k)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{h}{k}$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के किसी बिंदु $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x \cos \theta + y \sin \theta = a$ होता है।
वृत्त $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 1$ के लिए,यदि हम $X = x - 3$ और $Y = y - 3$ प्रतिस्थापित करें,तो समीकरण $X^2 + Y^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
अतः,इसकी स्पर्श रेखा $X \cos \theta + Y \sin \theta = 1$ होगी,जो मान वापस रखने पर $(x - 3) \cos \theta + (y - 3) \sin \theta = 1$ बन जाती है।
इस प्रकार,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ का सही स्पष्टीकरण है।

(B) माना बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से वृत्त $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएं $PT$ और $PQ$ हैं,और $\angle TPQ = \theta$ है।
यदि $O$ वृत्त का केंद्र है,तो $\angle TPO = \angle QPO = \theta/2$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle OTP$ में:
$\tan(\theta/2) = \frac{OT}{PT} = \frac{a}{\sqrt{S_1}}$,जहाँ $S_1 = \alpha^{2} + \beta^{2} - a^{2}$ है।
इसलिए,$\theta/2 = \tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{S_1}}\right)$।
अतः,$\theta = 2\tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{S_1}}\right)$।

(C) माना $P = (x_1, y_1)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:
$xx_1 + yy_1 + 3(x + x_1) + 3(y + y_1) - 2 = 0$
$x(x_1 + 3) + y(y_1 + 3) + 3x_1 + 3y_1 - 2 = 0 \dots (i)$
चूंकि $Q$,$y$-अक्ष पर स्थित है,इसका $x$-निर्देशांक $0$ है। $Q$ स्पर्श रेखा और रेखा $5x - 2y + 6 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए रेखा के समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$5(0) - 2y + 6 = 0 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. अतः,$Q = (0, 3)$ है।
चूंकि $Q$ स्पर्श रेखा $(i)$ पर स्थित है,$(0, 3)$ को $(i)$ में रखने पर:
$0(x_1 + 3) + 3(y_1 + 3) + 3x_1 + 3y_1 - 2 = 0$
$3y_1 + 9 + 3x_1 + 3y_1 - 2 = 0 \implies 3x_1 + 6y_1 + 7 = 0$.
$PQ^2 = (x_1 - 0)^2 + (y_1 - 3)^2 = x_1^2 + y_1^2 - 6y_1 + 9$.
चूंकि $P(x_1, y_1)$ वृत्त पर स्थित है,$x_1^2 + y_1^2 = 2 - 6x_1 - 6y_1$.
इसे $PQ^2$ के व्यंजक में रखने पर:
$PQ^2 = (2 - 6x_1 - 6y_1) - 6y_1 + 9 = 11 - 6x_1 - 12y_1 = 11 - 2(3x_1 + 6y_1)$.
$3x_1 + 6y_1 = -7$ का उपयोग करने पर:
$PQ^2 = 11 - 2(-7) = 11 + 14 = 25$.
अतः,$PQ = 5$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 5x + 2y - 48 = 0$ है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (-g, -f) = (2.5, -1)$ प्राप्त होता है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
$(5, 6)$ और $(2.5, -1)$ से गुजरने वाले अभिलंब की ढाल $m = \frac{6 - (-1)}{5 - 2.5} = \frac{7}{2.5} = \frac{14}{5}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 6 = \frac{14}{5}(x - 5)$ है।
$5(y - 6) = 14(x - 5)$
$5y - 30 = 14x - 70$
$14x - 5y - 40 = 0$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ है। केंद्र $A(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
$B(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा $y = 7$ है।
$D(4, -2)$ पर स्पर्श रेखा $3x - 4y = 20$ है।
इन दोनों स्पर्श रेखाओं को हल करने पर $C(16, 7)$ प्राप्त होता है।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= AB \times BC$ होगा।
$AB = 5$ और $BC = \sqrt{(16-1)^2 + (7-7)^2} = 15$.
अतः,क्षेत्रफल $= 5 \times 15 = 75$ वर्ग इकाई।

(D) दी गई रेखा $12x - 5y + 9 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{12}{5}$ है।
इसके लंबवत रेखा की ढाल $m = -\frac{5}{12}$ होगी।
वृत्त $x^2 + y^2 = 2^2$ के लिए त्रिज्या $r = 2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $5x + 12y = \pm 26$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(\frac{-ar^2}{c}, \frac{-br^2}{c})$ सूत्र के अनुसार,बिंदु $\left( \pm \frac{10}{13}, \pm \frac{24}{13} \right)$ प्राप्त होते हैं। विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $D$ है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ है,जिसका केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $3x - 4y = 0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|3(0) - 4(0)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{0}{5} = 0$.
चूंकि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $0$ है,इसलिए रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाली कोई भी रेखा उस वृत्त का अभिलंब होती है।
अतः,रेखा $3x - 4y = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ का अभिलंब है।

(A) आयत का केंद्र $(0, 0)$ और $(8, 6)$ को जोड़ने वाले विकर्ण का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{0+8}{2}, \frac{0+6}{2}) = (4, 3)$ है।
विकर्ण की लंबाई $\sqrt{(8-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ है।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{10}{2} = 5$ है।
परिवृत्त का समीकरण $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ में सरल हो जाता है।
विकर्ण की ढाल $m = \frac{6-0}{8-0} = \frac{3}{4}$ है।
विकर्ण के समानांतर स्पर्श रेखाओं का रूप $y = \frac{3}{4}x + c$ अर्थात $3x - 4y + 4c = 0$ है।
केंद्र $(4, 3)$ से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या $R = 5$ के बराबर होती है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{|3(4) - 4(3) + 4c|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5$.
$\frac{|12 - 12 + 4c|}{5} = 5 \implies |4c| = 25 \implies 4c = \pm 25$.
$4c$ का मान $3x - 4y + 4c = 0$ में रखने पर,हमें $3x - 4y \pm 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -3, f = 2, c = -12$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-g, -f) = (3, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 - (-12)} = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5$ है।
स्पर्श रेखा $4x + 3y + 5 = 0$ के समांतर है,इसलिए इसका समीकरण $4x + 3y + k = 0$ के रूप में होगा।
केंद्र $(3, -2)$ से स्पर्श रेखा $4x + 3y + k = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 5$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|4(3) + 3(-2) + k|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5$.
$\frac{|6 + k|}{5} = 5$.
$|6 + k| = 25$.
$6 + k = 25$ या $6 + k = -25$.
$k = 19$ या $k = -31$.
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $4x + 3y + 19 = 0$ और $4x + 3y - 31 = 0$ हैं।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसका केंद्र $C(-g, -f)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
दी गई रेखा $(x + g) \cos \theta + (y + f) \sin \theta = k$ है,जिसे $x \cos \theta + y \sin \theta + (g \cos \theta + f \sin \theta - k) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र $C(-g, -f)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$r = \left| \frac{(-g) \cos \theta + (-f) \sin \theta + g \cos \theta + f \sin \theta - k}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} \right|$.
अंश को सरल करने पर,हमें $r = \left| \frac{-k}{1} \right| = |k|$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{g^2 + f^2 - c} = |k|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $g^2 + f^2 - c = k^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $g^2 + f^2 = k^2 + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ है।
इसे मानक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -2$,$f = -4$,और $c = -5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = \sqrt{25} = 5$ है।
एक रेखा $Ax + By + C = 0$ वृत्त को स्पर्श करती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर हो।
रेखा $3x - 4y - \lambda = 0$ है।
दूरी $d = \frac{|3(2) - 4(4) - \lambda|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 16 - \lambda|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-10 - \lambda|}{5}$ है।
$d = r$ रखने पर,$\frac{|-10 - \lambda|}{5} = 5$,जिसका अर्थ है $|-10 - \lambda| = 25$।
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $-10 - \lambda = 25 \Rightarrow \lambda = -35$ या $-10 - \lambda = -25 \Rightarrow \lambda = 15$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $15$ है।