यदि $\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^x(x+1)$ और $f(0)=0$ है,तो $\frac{d}{d x}\left(f(x) e^{-x}\right)+\frac{d}{d x}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=$

List-$I$ में दिए गए प्रत्येक फलन को List-$II$ में दिए गए उसके अवकलज (derivative) से सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ के लिए } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

सही मिलान है:

मान लीजिए $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ और $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$ है। यदि $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ है,तो $f(\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=0$,$f(\frac{\pi}{2})=3$ और $f^{\prime}(0)=1$. यदि $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ जहाँ $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$,तो $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=$

यदि $f(x) = \begin{cases} ax+b, & \text{यदि } x \leq 1 \\ ax^2+c, & \text{यदि } 1 < x \leq 2 \\ \frac{dx^2+1}{x}, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है,तो $ad-bc = $

एक वक्र समीकरणों $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $t$ एक प्राचल है। यदि वक्र पर बिंदु $P$ पर जहाँ $t = \pi / 4$ है,स्पर्श रेखा वक्र को पुनः बिंदु $Q$ पर मिलती है,तो $|PQ|$ का मान ज्ञात कीजिए।