ऐसे f: Z rightarrow Z द्विआधारी (bijective) फ | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ सभी $x, y \in Z$ के लिए है। $x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है

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दो

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(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ सभी $x, y \in Z$ के लिए है। $x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(0) + f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0) = 0$। किसी भी $n \in Z^+$ के लिए,आगमन द्वारा,$f(nx) = nf(x)$। मान लीजिए $f(1) = k$,जहाँ $k \in Z$ है। तब सभी $n \in Z$ के लिए $f(n) = nk$ होगा। चूंकि $f(x+y) = f(x) + f(y)$,इसलिए सभी $x \in Z$ के लिए $f(x) = kx$ होगा। $f$ को $Z$ से $Z$ पर एक द्विआधारी (bijective) फलन होने के लिए,इसे एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों होना चाहिए। यदि $f(x) = kx$ है,तो $f$ एकैकी तभी होगा जब $k 
eq 0$ हो। $f$ के आच्छादक होने के लिए,इसका परिसर (range) $Z$ होना चाहिए। $f(x) = kx$ का परिसर $k$ के सभी गुणजों का समुच्चय है,अर्थात $\{..., -2k, -k, 0, k, 2k, ...\}$। इस समुच्चय को $Z$ के बराबर होने के लिए,$k = 1$ या $k = -1$ होना चाहिए। यदि $k = 1$ है,तो $f(x) = x$,जो कि तत्समक फलन (bijective) है। यदि $k = -1$ है,तो $f(x) = -x$,जो कि द्विआधारी भी है। अतः,ऐसे कुल दो फलन संभव हैं।

ऐसे $f: Z \rightarrow Z$ द्विआधारी (bijective) फलनों की संख्या क्या है जिनके लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in Z$ के लिए सत्य है?

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यदि $f: Z \rightarrow Z$ को $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f$ है

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $f(-1) + f(2) + f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$R \backslash \{0\}$ पर परिभाषित वास्तविक मान फलन $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$ है

यदि एक वास्तविक मान वाला फलन $f$,$f(x) = \frac{ax + \sqrt{a^2 - x^2}}{bx}$ द्वारा परिभाषित है,तो $f$ है

निम्नलिखित में से कौन सा/से फलन ट्रांससेंडेंटल (transcendental) है/हैं?

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