मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ और $g(x) = x f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: $(i)$ $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। $(ii)$ $g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है,लेकिन $g'(x)$,$x = 0$ पर सतत नहीं है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

• A
  $(i)$ सत्य है; लेकिन $(ii)$ असत्य है
• B
  $(i)$ और $(ii)$ दोनों सत्य हैं
• C
  $(i)$ असत्य है,लेकिन $(ii)$ सत्य है
• D
  $(i)$ और $(ii)$ दोनों असत्य हैं