रेखा 2x + y = 1 अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - fra | vedclass

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Question

(B) रेखा $2x + y = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा है। नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e}$ है। रेखा बिंदु $(\frac{a}{e

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$2$

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(B) रेखा $2x + y = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा है। नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e}$ है। रेखा बिंदु $(\frac{a}{e}, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $2(\frac{a}{e}) + 0 = 1$,जिससे $2a = e$ प्राप्त होता है। रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है। यहाँ,$y = -2x + 1$,इसलिए $m = -2$ और $c = 1$ है। अतः,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,जो $4a^2 - b^2 = 1$ में सरल हो जाता है। हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है। स्पर्शरेखा की शर्त में $b^2$ का मान रखने पर: $4a^2 - a^2(e^2 - 1) = 1$। चूंकि $e = 2a$,हमारे पास $a = \frac{e}{2}$ है,इसलिए $a^2 = \frac{e^2}{4}$। $a^2$ का मान रखने पर: $4(\frac{e^2}{4}) - \frac{e^2}{4}(e^2 - 1) = 1$। $e^2 - \frac{e^4}{4} + \frac{e^2}{4} = 1$। $4$ से गुणा करने पर: $4e^2 - e^4 + e^2 = 4$। $e^4 - 5e^2 + 4 = 0$। $(e^2 - 4)(e^2 - 1) = 0$। अतिपरवलय के लिए $e > 1$ होता है,इसलिए $e^2 = 4$,अतः $e = 2$।

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