$y + \frac{d}{dx}(xy) = x(\sin x + \log x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

मान लीजिए $y=f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ का हल है,जहाँ $-1 < x < 1$ और $f(0)=0$ है। यदि $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ है,तो $\alpha^2$ का मान . . . . . . है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{(\tan^{-1} y) - x}$ को हल कीजिए।

यदि $\int_{a}^{x} t y(t) dt = x^2 + y(x)$ है,तो $x$ के फलन के रूप में $y$ क्या है?

माना अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^{2}-1}=\frac{x^{4}+2x}{\sqrt{1-x^{2}}}, x \in(-1,1)$ का हल वक्र $y=f(x)$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तो $\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$,$(x > 1)$ का हल है। यदि $2y(2) = \ln 4 - 1$ है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।