सामान्य संकेतों वाले त्रिभुज ABC में,यदि cot | vedclass

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Question

(C) अर्ध-कोण सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करते हुए।दिया है $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$,ज्या नियम $a = 2

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एक समकोण त्रिभुज।

Vedclass · Answer

(C) अर्ध-कोण सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करते हुए।दिया है $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$,ज्या नियम $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर।तब $\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$.चूंकि $A+B+C = \pi$,$\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.अतः,$\frac{b+c}{a} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.इसे $\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$ के बराबर रखने पर,हमें $\cos \frac{B-C}{2} = \cos \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $\frac{A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$,इसलिए $\cos \frac{B-C}{2} = \sin \frac{B+C}{2}$.यह दर्शाता है कि $\cos \frac{B-C}{2} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}) = \cos (\frac{A}{2})$.इससे $\frac{B-C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = \frac{\pi}{2}$,अर्थात त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

सामान्य संकेतों वाले त्रिभुज $ABC$ में,यदि $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$ है,तो त्रिभुज $ABC$ है

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