अवकल समीकरण (y^2-x^2) dx = xy dy (x neq 0) का | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2 - x^2) dx = xy dy$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$. यह एक समघातीय अवकल समीकरण ह

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$2x^2 \log |x| + y^2 + 2cx^2 = 0$,जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2 - x^2) dx = xy dy$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{xy}$. यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2 - x^2}{x(vx)} = \frac{v^2 - 1}{v}$. $x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 - 1}{v} - v = \frac{v^2 - 1 - v^2}{v} = -\frac{1}{v}$. चरों को पृथक करने पर: $v dv = -\frac{1}{x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v dv = -\int \frac{1}{x} dx$. $\frac{v^2}{2} = -\log |x| + c$. चूँकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{y^2}{2x^2} = -\log |x| + c$. $2x^2$ से गुणा करने पर: $y^2 = -2x^2 \log |x| + 2cx^2$. व्यवस्थित करने पर: $2x^2 \log |x| + y^2 - 2cx^2 = 0$. $-c$ को एक नए स्थिरांक $C$ के रूप में लेने पर,$2x^2 \log |x| + y^2 + 2Cx^2 = 0$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(y^2-x^2) dx = xy dy$ $(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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