MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ હોય છે.
તેથી,$0 = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -\Delta W$.
જ્યારે વાયુનું સંકોચન થાય છે,ત્યારે વાયુ પર કાર્ય થાય છે,તેથી $\Delta W$ ઋણ હોય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\Delta U = -(\text{ઋણ કિંમત})$,જે ધન $\Delta U$ આપે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ધન ફેરફાર $(\Delta U > 0)$ નો અર્થ છે કે વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધે છે.

(A) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2} MV^2$ છે.
આપેલ છે કે આ ઉર્જાના $75 \%$ ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = 0.75 \times K.E. = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} MV^2 = \frac{3}{8} MV^2$ છે.
ગોળીનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $H = M s \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $J$ નો ઉપયોગ કરતા,જૂલ $(W)$ માં ઉષ્મા ઉર્જા અને કેલરી $(Q)$ વચ્ચેનો સંબંધ $W = JQ$ છે.
અહીં,થયેલ કાર્ય (રૂપાંતરિત ઉર્જા) $W = \frac{3}{8} MV^2$ છે અને શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = M s \Delta T$ છે.
આમ,$\frac{3}{8} MV^2 = J (M s \Delta T)$.
તાપમાનમાં થતા વધારા $\Delta T$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta T = \frac{3 MV^2}{8 J M s} = \frac{3 V^2}{8 Js}$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ $\Delta Q = \Delta U + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta Q$ એ સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + W$.
તેથી,$\Delta U = -W$.

(A) વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = 2.5 PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = 2.5 P(V_f - V_i)$ છે।
અહીં $P = 10^5 \text{ N/m}^2$, $V_i = 1 \text{ લિટર} = 10^{-3} \text{ m}^3$, અને $V_f = 2 \text{ લિટર} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ આપેલ છે।
$\Delta U = 2.5 \times 10^5 \times (2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) = 2.5 \times 10^5 \times 10^{-3} = 250 \text{ J}$.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = 10^5 \times (2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) = 10^5 \times 10^{-3} = 100 \text{ J}$ છે।
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આપેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W$ છે।
$Q = 250 \text{ J} + 100 \text{ J} = 350 \text{ J}$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે અને તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે,લીધેલા પથ પર નહીં.
બંને પથ $abc$ અને $adc$ માટે,પ્રારંભિક અવસ્થા $a$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $c$ છે,તેથી $\Delta U$ સમાન રહે છે.
પથ $abc$ માટે:
$\Delta U = Q_{abc} - W_{abc} = 80 \ cal - 35 \ cal = 45 \ cal$.
પથ $adc$ માટે:
$\Delta U$ સમાન હોવાથી,$\Delta U = 45 \ cal$.
આપેલ છે કે $Q_{adc} = 65 \ cal$,આપણે ફરીથી ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\Delta U = Q_{adc} - W_{adc}$
$45 \ cal = 65 \ cal - W_{adc}$
$W_{adc} = 65 \ cal - 45 \ cal = 20 \ cal$.

(B) વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઉર્જાનો અંશ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ અને કુલ આપેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$
આદર્શ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉર્જાનો અંશ:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7}$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_H V_1^{\gamma-1} = T_C V_2^{\gamma-1}$,જ્યાં $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_C$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે વાયુ દ્વિ-પરમાણ્વિક છે,તેથી એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ છે.
કદ $V_1 = V$ થી બદલાઈને $V_2 = 32V$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_C}{T_H} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V}{32V}\right)^{1.4-1} = \left(\frac{1}{32}\right)^{0.4}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,આપણને મળે છે $\left(\frac{1}{2^5}\right)^{0.4} = \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ છે.
$\eta = 1 - 0.25 = 0.75$.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ અને $T_{H1} = 600 \ K$:
$0.4 = 1 - \frac{T_L}{600}$
$\frac{T_L}{600} = 1 - 0.4 = 0.6$
$T_L = 0.6 \times 600 = 360 \ K$.
હવે,ઇચ્છિત કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ માટે,સમાન સિંક તાપમાન $T_L = 360 \ K$ સાથે:
$0.6 = 1 - \frac{360}{T_{H2}}$
$\frac{360}{T_{H2}} = 1 - 0.6 = 0.4$
$T_{H2} = \frac{360}{0.4} = 900 \ K$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ નું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ છે.
આપેલ કિંમતો $T_H = 600 \ K$ અને $T_C = 300 \ K$ મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$.
કાર્યક્ષમતા એ કરેલા કાર્ય $(W)$ અને સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q)$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\eta = \frac{W}{Q}$.
અહીં $W = 1.5 \ kJ$ આપેલ છે,તેથી $Q$ શોધતા:
$0.5 = \frac{1.5}{Q}$.
$Q = \frac{1.5}{0.5} = 3.0 \ kJ$.
આમ,એન્જિનને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $3.0 \ kJ$ છે.

(C) સિલિન્ડર $A$ માં,પિસ્ટન મુક્ત હોવાથી વાયુ અચળ દબાણે વિસ્તરણ પામે છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_{A} = n C_{P} dT_{A}$ છે.
સિલિન્ડર $B$ માં,પિસ્ટન સ્થિર હોવાથી વાયુ અચળ કદે ગરમ થાય છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_{B} = n C_{V} dT_{B}$ છે.
આપેલ છે કે બંને સિલિન્ડરમાં સમાન ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,તેથી $Q_{A} = Q_{B}$.
તેથી,$n C_{P} dT_{A} = n C_{V} dT_{B}$.
$dT_{B}$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $dT_{B} = \frac{C_{P}}{C_{V}} dT_{A}$ મળે છે.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,તેથી સિલિન્ડર $B$ માં તાપમાનમાં થતો વધારો $dT_{B} = \gamma dT_{A}$ થશે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = \frac{1}{6}$,તેથી $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$,અથવા $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ (સમીકરણ $i$).
જ્યારે $T_2$ માં $62 \ K$ નો ઘટાડો થાય છે,ત્યારે નવું તાપમાન $(T_2 - 62) \ K$ થાય છે. નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
ગોઠવતા,$\frac{T_2 - 62}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આ સમીકરણમાં $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K$.
હવે,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ છે.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $\Delta W = nR \Delta T$ છે.
સંબંધ $\Delta Q = n C_p \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{7}{2} R$,આપણને $\Delta Q = \frac{7}{2} nR \Delta T$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\Delta W : \Delta U : \Delta Q$ આ મુજબ છે:
$\Delta W : \Delta U : \Delta Q = (nR \Delta T) : (\frac{5}{2} nR \Delta T) : (\frac{7}{2} nR \Delta T)$.
$nR \Delta T$ વડે ભાગતા,આપણને $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 : 5 : 7$ મળે છે.

(A) કાર્નોટ ચક્ર ચાર પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયાઓનું બનેલું છે:
$1$. સમતાપી વિસ્તરણ: વાયુ ઉચ્ચ તાપમાન $T_H$ પર સ્ત્રોતમાંથી ઉષ્મા $Q_H$ શોષીને વિસ્તરણ પામે છે.
$2$. નિરુદ્ધોષ્મ વિસ્તરણ: વાયુ ઉષ્માના વિનિમય વગર વિસ્તરણ પામે છે અને તેનું તાપમાન ઘટીને $T_L$ થાય છે.
$3$. સમતાપી સંકોચન: વાયુ નીચા તાપમાન $T_L$ પર સંકોચન પામે છે અને સિંકને ઉષ્મા $Q_L$ મુક્ત કરે છે.
$4$. નિરુદ્ધોષ્મ સંકોચન: વાયુ ઉષ્માના વિનિમય વગર તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો આવે છે અને તેનું તાપમાન વધીને ફરીથી $T_H$ થાય છે.
તેથી,પ્રથમ પ્રક્રિયા સમતાપી વિસ્તરણ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર:
$W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 1$
કાર્ય $W = 6R$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = T$
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = 5/3$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$6R = \frac{1 \cdot R(T - T_f)}{(5/3) - 1}$
$6R = \frac{R(T - T_f)}{2/3}$
$6R = \frac{3R(T - T_f)}{2}$
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા:
$6 = \frac{3(T - T_f)}{2}$
$12 = 3(T - T_f)$
$4 = T - T_f$
$T_f = T - 4$
તેથી,વાયુનું અંતિમ તાપમાન $(T - 4) \ K$ થશે.

(C) $P-V$ આલેખમાં,એડિબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યારે સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma > 1$ હોવાથી,એડિબેટિક વક્ર સમતાપી વક્ર કરતા વધુ તીવ્ર (steep) હોય છે.
આપેલ $P-V$ આલેખમાં,$AD$ અને $BC$ વિભાગો $AB$ અને $CD$ વિભાગોની તુલનામાં વધુ તીવ્ર ઢાળ ધરાવે છે.
તેથી,એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓ $AD$ અને $BC$ વિભાગો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: $PV = \frac{m}{M_{O_2}} RT_{O_2}$ --- $(i)$
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે: $PV = \frac{m}{M_{H_2}} RT_{H_2}$ --- $(ii)$
અહીં $P$,$V$ અને $m$ બંને વાયુઓ માટે સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{m}{M_{O_2}} RT_{O_2} = \frac{m}{M_{H_2}} RT_{H_2}$
$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$
$\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} = \frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}$
આપેલ છે કે $M_{O_2} = 32$ અને $M_{H_2} = 2$:
$\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} = \frac{32}{2} = \frac{16}{1}$
તેથી,તેમના નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(A) સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયામાં,સમગ્ર થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે. વ્યાખ્યા મુજબ,'iso' એટલે સમાન અને 'baric' એટલે દબાણ.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$. આપેલ છે કે $V_2 = \frac{V_1}{2}$,તેથી $P_{2,iso} = P_1 \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right) = 2 P_1$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$. તેથી $P_{2,adia} = P_1 \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^\gamma = 2^\gamma P_1$.
કોઈપણ વાયુ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી,$2^\gamma > 2$ થાય.
તેથી,$P_{2,adia} > P_{2,iso}$.
આનો અર્થ એ છે કે નમૂના $A$ (સમતાપી) નું અંતિમ દબાણ નમૂના $B$ (સમોષ્મી) ના અંતિમ દબાણ કરતા ઓછું છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ $C_p - C_v = R$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
અહીં $C_p$ અને $C_v$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા (એકમ દળ દીઠ) તરીકે આપેલ હોવાથી,આપણે $C_p - C_v = \frac{R}{M}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $M$ એ વાયુનું આણ્વીય દળ છે.
તેથી,$R = M(C_p - C_v)$.
આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ એ મોલની સંખ્યા છે.
સમીકરણમાં $n$ અને $R$ ની કિંમત મૂકતા: $PV = \frac{m}{M} \cdot M(C_p - C_v) \cdot T$.
સાદું રૂપ આપતા,$PV = m(C_p - C_v)T$ મળે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $P = \frac{m}{V}(C_p - C_v)T$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$\rho = \frac{P}{(C_p - C_v)T}$.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^{\gamma} P^{1-\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
ઘાતાંક $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ માં $\gamma$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$x = \frac{1.4}{1.4-1} = \frac{1.4}{0.4} = \frac{14}{4} = 3.5$.
આમ,$P \propto T^{3.5}$,તેથી $x$ નું મૂલ્ય $3.5$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે।
આના પરથી, આપણે $P = \frac{nRT}{V}$ લખી શકીએ।
પ્રક્રિયા માટે આપેલી શરત $PV^2 = \text{constant}$ છે।
આપેલ શરતમાં $P$ નું પદ મૂકતા:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^2 = \text{constant}$
$nRT V = \text{constant}$
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી, આપણને $TV = \text{constant}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{V}$।
જેમ વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે, તેમ કદ $V$ વધે છે।
$T$ એ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી, કદમાં વધારો થવાથી વાયુનું તાપમાન ઘટશે।

(D) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = nC_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,જ્યાં $\Delta U = nC_v \Delta T$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $W$ એ થયેલ કાર્ય છે.
આમ,$W = \Delta Q - \Delta U = nC_p \Delta T - nC_v \Delta T = n(C_p - C_v) \Delta T$.
ગુણોત્તર $\frac{W}{\Delta Q}$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{n(C_p - C_v) \Delta T}{nC_p \Delta T} = \frac{C_p - C_v}{C_p} = 1 - \frac{C_v}{C_p}$.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,તેથી $\frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ થાય.
તેથી,$\frac{W}{\Delta Q} = 1 - \frac{1}{\gamma} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$.

(A) આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_v \Delta T$ ... $(i)$
આપેલ છે કે $\frac{C_P}{C_v} = \gamma$ અને $C_P - C_v = R$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$.
અચળ દબાણ $P$ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$P \Delta V = nR \Delta T$ મળે છે.
$\Delta U$ ના સમીકરણમાં $nR \Delta T$ ની જગ્યાએ $P \Delta V$ મૂકતા: $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma - 1}$.
અહીં કદ $V$ થી બદલાઈને $2V$ થાય છે,તેથી $\Delta V = 2V - V = V$.
આમ,$\Delta U = \frac{PV}{\gamma - 1}$.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
ઉષ્મા અને કાર્યનો ગુણોત્તર $\frac{Q}{W} = \frac{n C_p \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{C_p}{R}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{R \gamma}{\gamma - 1}$ છે.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{Q}{W} = \frac{R \gamma / (\gamma - 1)}{R} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 100^{\circ} C = 373 \ K$. બંધ પાત્રમાં કદ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે $P \propto T$ થાય છે.
તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
દબાણમાં $4 \%$ નો વધારો થતો હોવાથી,$P_2 = P_1 + 0.04 P_1 = 1.04 P_1$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{T_2}{T_1} = 1.04$.
$T_2 = 1.04 \times 373 \ K = 387.92 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 387.92 \ K - 373 \ K = 14.92 \ K$.
કેલ્વિનમાં તાપમાનનો ફેરફાર એ સેલ્સિયસમાં તાપમાનના ફેરફાર જેટલો જ હોવાથી,$\Delta T = 14.92^{\circ} C$.

(D) સમદાબી પ્રક્રિયામાં, દબાણ અચળ રહે છે.
આપલે થયેલ ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, $R = C_p - C_v$.
તેથી, $W = n(C_p - C_v) \Delta T$.
કાર્ય અને ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{W}{Q} = \frac{n(C_p - C_v) \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_p - C_v}{C_p} = 1 - \frac{C_v}{C_p}$.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$, તેથી $\frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$.
આમ, $\frac{W}{Q} = 1 - \frac{1}{\gamma} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી:
$1$. આકૃતિ $(a)$ લંબચોરસ હાયપરબોલા દર્શાવે છે, જે સમતાપી પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક આકાર છે જ્યાં $T$ અચળ રહે છે, તેથી $PV = \text{અચળ}$.
$2$. આકૃતિ $(b)$ એક ઉભી રેખા દર્શાવે છે જ્યાં દબાણ $P$ બદલાય છે પરંતુ કદ $V$ અચળ રહે છે। આ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$3$. આકૃતિ $(c)$ એક આડી રેખા દર્શાવે છે જ્યાં કદ $V$ બદલાય છે પરંતુ દબાણ $P$ અચળ રહે છે। આ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
આમ, આકૃતિ $(a)$ સમતાપી છે, આકૃતિ $(b)$ સમકદ છે અને આકૃતિ $(c)$ સમદાબી છે. તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) પગલું $1$: $V$ થી $4V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે $P_1 = P$,$V_1 = V$,અને $V_2 = 4V$.
$P \times V = P_2 \times 4V$
$P_2 = \frac{P}{4}$.
પગલું $2$: $4V$ થી $V$ સુધી સમોષ્મી સંકોચન.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
આપેલ છે કે $P_2 = \frac{P}{4}$,$V_2 = 4V$,$V_3 = V$,અને $\gamma = \frac{3}{2}$.
$\frac{P}{4} \times (4V)^{3/2} = P_3 \times V^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times \frac{(4V)^{3/2}}{V^{3/2}}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times 4^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times (2^2)^{3/2} = \frac{P}{4} \times 2^3 = \frac{P}{4} \times 8$
$P_3 = 2P$.

$(B)$ સમકદ પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્રનું કદ અચળ રહે છે $(V = \text{constant})$.
દબાણ-કદ $(P-V)$ આલેખમાં, અચળ કદની પ્રક્રિયાને શિરોલંબ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, કારણ કે દબાણ બદલાય છે ત્યારે કદ બદલાતું નથી.
આપેલા વિકલ્પો જોતા, આલેખ $(B)$ દબાણ અક્ષને સમાંતર એક શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે, જે સૂચવે છે કે દબાણ $P$ ના તમામ મૂલ્યો માટે કદ $V$ અચળ છે.
તેથી, આલેખ $(B)$ સમકદ પ્રક્રિયાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^K$,તેથી $K = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = C_v + R$. આપેલ છે કે $R = 0.4 C_v$,તેથી $C_p = C_v + 0.4 C_v = 1.4 C_v$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{1.4 C_v}{C_v} = 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
$K$ ના સમીકરણમાં $\gamma = 7/5$ મૂકતા:
$K = \frac{7/5}{(7/5) - 1} = \frac{7/5}{2/5} = \frac{7}{2}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે. કારણ કે $n = \frac{m}{M}$,તેથી $PV = \frac{m}{M}RT$ થાય.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \rho \frac{RT}{M}$ મળે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
આમ,$M = \frac{\rho RT}{P}$ થાય.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{P_B}{P_A}$
આપેલ છે કે $P_A = 2P_B$ અને $\rho_A = 1.5\rho_B = \frac{3}{2}\rho_B$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{1.5\rho_B}{\rho_B} \times \frac{P_B}{2P_B} = 1.5 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
તેથી,$A$ અને $B$ ના આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર $3: 4$ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે (વાયુ $A$): $P_i V_i = P_f V_f$. આપેલ છે કે $V_f = V_i/8$,તેથી $P_i V_i = P_A (V_i/8) \implies P_A = 8 P_i$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે (વાયુ $B$): $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$. આપેલ છે કે $V_f = V_i/8$ અને $\gamma = 5/3$,તેથી $P_i V_i^{5/3} = P_B (V_i/8)^{5/3}$.
$P_B = P_i (8)^{5/3} = P_i (2^3)^{5/3} = P_i (2^5) = 32 P_i$.
વાયુ $A$ અને $B$ ના અંતિમ દબાણનો ગુણોત્તર $P_A / P_B = (8 P_i) / (32 P_i) = 8/32 = 1/4$ છે.

(A) $1$. પ્રક્રિયા $AB$ સમતાપી છે $(T = \text{અચળ})$. $p-T$ આલેખમાં, આ એક શિરોલંબ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $T$ અચળ રહે છે।
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ સમદાબી છે $(p = \text{અચળ})$. $p-T$ આલેખમાં, આ એક આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $p$ અચળ રહે છે।
$3$. પ્રક્રિયા $CA$ સમોષ્મી છે $(pV^{\gamma} = \text{અચળ})$. આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $p^{1-\gamma}T^{\gamma} = \text{અચળ}$ મળે છે, જે દર્શાવે છે કે આ વક્ર રેખીય નથી।
$4$. $p-V$ આલેખમાં ચક્રીય ક્રમ $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ ને અનુસરતા:
- $A \rightarrow B$: $p$ ઘટે છે, $V$ વધે છે (સમતાપી)।
- $B \rightarrow C$: $p$ અચળ રહે છે, $V$ ઘટે છે (સમદાબી)।
- $C \rightarrow A$: $p$ વધે છે, $V$ ઘટે છે (સમોષ્મી)।
$5$. આને $p-T$ આલેખ સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $(G)$ સાચો ક્રમ દર્શાવે છે।

(C) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
કાર્યમાં રૂપાંતરિત થતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{W}{\Delta Q} = \frac{\Delta Q - \Delta U}{\Delta Q} = 1 - \frac{\Delta U}{\Delta Q}$ છે.
કારણ કે $\Delta U = n C_v \Delta T$ અને $\Delta Q = n C_p \Delta T$,તેથી $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ મળે.
આમ,અંશ $1 - \frac{1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ થાય.

(B) આદર્શ દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2}R$ અને અચળ કદે $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ અને થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
થયેલ કાર્ય અને આપેલી ઉષ્માનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$
$C_p$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{2}{7}$

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ થાય.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આમ,$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ થાય.
વાયુ અચળ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા સિલિન્ડરમાં હોવાથી,કદ $V = A \times L$ થાય. તેથી,$V_1 = A L_1$ અને $V_2 = A L_2$.
આ કિંમતોને તાપમાનના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{A L_1}{A L_2}\right)^{2/3} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^{2/3}$.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$V_2 = (8/27) V_1$,અને $\gamma = 5/3$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_1}{(8/27)V_1}\right)^{(5/3)-1} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
$T_2 = 2.25 \times 300 \ K = 675 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 \ K - 300 \ K = 375 \ K$ થાય.

(C) તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ છે અને પ્રારંભિક કદ $V$ છે.
દબાણમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવું દબાણ $P_2 = P - 0.20P = 0.80P$ થશે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $P \times V = 0.80P \times V_2$.
$V_2$ માટે ઉકેલતા: $V_2 = \frac{V}{0.80} = 1.25V$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V = 1.25V - V = 0.25V$ છે.
કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 \%$ છે.
પરિણામ ધન હોવાથી,કદમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે.

(C) આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ પરથી, આપણને મળે છે $P = \frac{nRT}{V}$.
આપેલ પ્રક્રિયાનો નિયમ $VP^2 = \text{constant}$ છે.
આપેલ નિયમમાં $P$ ની કિંમત મૂકતા: $V \left(\frac{nRT}{V}\right)^2 = \text{constant}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $V \cdot \frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} = \text{constant}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{T^2}{V} = \text{constant}$.
તેથી, $\frac{T_1^2}{V_1} = \frac{T_2^2}{V_2}$.
અહીં $T_1 = T$, $V_1 = V$, અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{T^2}{V} = \frac{T_2^2}{2V}$.
$T_2^2 = 2T^2$.
$T_2 = \sqrt{2} T$.

(B) આપેલ તરંગો $Y_1 = a_1 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$ અને $Y_2 = a_2 \cos \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi\right)$ છે.
કળા (phase) ની સરખામણી કરવા માટે,આપણે કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં ફેરવીએ: $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$.
તેથી,$Y_2 = a_2 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right)$.
કળા તફાવત $\delta$ એ સાઇન વિધેયોના આર્ગ્યુમેન્ટ્સ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\delta = \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right) = \phi + \frac{\pi}{2}$.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\delta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \delta$ છે.
$\delta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \left(\phi + \frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: વેગ $v = 330 \,m/s$, પથ તફાવત $\Delta x = 40 \,cm = 0.4 \,m$, અને કળા તફાવત $\Delta \phi = 1.6 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કળા તફાવત અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\lambda = \frac{v}{f}$ મૂકતા, $\Delta \phi = \frac{2 \pi f}{v} \Delta x$ મળે.
આવૃત્તિ $f$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $f = \frac{\Delta \phi \cdot v}{2 \pi \cdot \Delta x}$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1.6 \pi \cdot 330}{2 \pi \cdot 0.4}$.
$f = \frac{1.6 \cdot 330}{0.8} = 2 \cdot 330 = 660 \,Hz$.

(A) આપેલ છે: કળા તફાવત $\phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$.
પથ તફાવત $x = 0.6 \text{ m}$.
આવૃત્તિ $n = 500 \text{ Hz}$.
પથ તફાવત $(x)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
$0.6 = \frac{\lambda}{6} \implies \lambda = 3.6 \text{ m}$.
તરંગનો વેગ $v = n \lambda$ છે.
$v = 500 \times 3.6 = 1800 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ માં ફેરવતા: $v = 1.8 \text{ km/s}$.

(D) પરકશન (તાલવાદ્ય) એવું સાધન છે જે અથડાવવાથી,ઘસવાથી અથવા હલાવવાથી અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે. ડફલી,સંબળ અને ઝાંઝ એ બધા તાલવાદ્યો છે.
બીજી તરફ,ક્લેરનેટ એ એક ફૂંકવાદ્ય (wind instrument) છે,તાલવાદ્ય નથી. જ્યારે તેમાં હવા ફૂંકવામાં આવે છે ત્યારે રીડના કંપન દ્વારા તે અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,ક્લેરનેટ એ સાચો જવાબ છે.

(D) બે બિંદુઓ કંપનની સમાન સ્થિતિમાં (સમાન કળામાં) ત્યારે હોય છે જ્યારે તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોય અને તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરતા હોય. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય.
આકૃતિ જોતા,બિંદુ $B$ એ પ્રથમ શૃંગના નીચે તરફના ઢાળ પર છે. બિંદુ $E$ એ ત્રીજા શૃંગના નીચે તરફના ઢાળ પર છે.
$B$ અને $E$ વચ્ચેનું અંતર બરાબર એક સંપૂર્ણ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું છે.
તેથી,બિંદુ $B$ અને $E$ સમાન કળામાં છે.

(C) ધ્વનિ તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે માધ્યમ (ઘન,પ્રવાહી અથવા વાયુ) ની જરૂર હોય છે. તેઓ માધ્યમના કણોને કંપિત કરીને ગતિ કરે છે. શૂન્યાવકાશમાં કોઈ પણ કણો હોતા નથી,તેથી ધ્વનિ તરંગો તેમાંથી પસાર થઈ શકતા નથી. તેથી,એ વિધાન કે ધ્વનિ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકે છે તે ખોટું છે.

(A) તરંગનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તણાવ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $T = v^2 \mu$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\mu = 10^{-6} \,kg/cm = 10^{-4} \,kg/m$.
આપેલ તરંગ સમીકરણ $Y = 0.2 \sin(2x + 80t)$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y = A \sin(Kx + \omega t)$ સાથે કરતા,આપણે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 80 \,rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $K = 2 \,rad/m$ મેળવીએ છીએ.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{K} = \frac{80}{2} = 40 \,m/s$ છે.
આ કિંમતોને તણાવના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = (40)^2 \times 10^{-4} = 1600 \times 10^{-4} = 0.16 \,N$.

(B) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
ધારો કે $T_1 = 225 \ N$ અને $T_2 = 256 \ N$ તણાવ પર તારની આવૃત્તિ અનુક્રમે $n_1$ અને $n_2$ છે.
તણાયેલા તારની આવૃત્તિ તણાવના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(n \propto \sqrt{T})$,આપણને મળે છે:
$n_1 = n - 6$
$n_2 = n + 6$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$
$\frac{n - 6}{n + 6} = \frac{15}{16}$
$16(n - 6) = 15(n + 6)$
$16n - 96 = 15n + 90$
$n = 186 \ Hz$

(B) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t)$ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$Y_1 = 0.25 \sin(316t)$,સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{316}{2\pi} \text{ Hz}$ થાય.
બીજા તરંગ માટે,$Y_2 = 0.25 \sin(310t)$,સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{310}{2\pi} \text{ Hz}$ થાય.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
$f_{beat} = \frac{316}{2\pi} - \frac{310}{2\pi} = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.

(B) ધારો કે $28$ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ વધતા ક્રમમાં $n_1, n_2, \dots, n_{28}$ છે.
દરેક ફોર્ક તેના અગાઉના ફોર્ક સાથે '$x$' બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી આવૃત્તિઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d = x$ છે.
આમ,$k^{\text{th}}$ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_k = n_1 + (k-1)x$ થાય.
$12^{\text{th}}$ ફોર્ક માટે: $n_{12} = n_1 + 11x = 152 \text{ Hz} \quad \dots(1)$.
$28^{\text{th}}$ ફોર્ક માટે: $n_{28} = n_1 + 27x$.
આપેલ છે કે છેલ્લો ફોર્ક પ્રથમ ફોર્કનો ઓક્ટેવ છે,તેથી $n_{28} = 2n_1$.
$n_{28}$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા: $2n_1 = n_1 + 27x \Rightarrow n_1 = 27x$.
સમીકરણ $(1)$ માં $n_1 = 27x$ મૂકતા:
$27x + 11x = 152$
$38x = 152$
$x = \frac{152}{38} = 4 \text{ Hz}$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરના સમીકરણો:
$x_1 = 2 \sin(1000 \pi t)$
$x_2 = 3 \sin(1006 \pi t)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિઓ: $\omega_1 = 1000 \pi$ અને $\omega_2 = 1006 \pi$.
કંપવિસ્તાર: $A_1 = 2$ અને $A_2 = 3$.
આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{1000 \pi}{2 \pi} = 500 \text{ Hz}$ અને $f_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{1006 \pi}{2 \pi} = 503 \text{ Hz}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|f_2 - f_1| = |503 - 500| = 3 \text{ બીટ્સ/સેકન્ડ}$ મળે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા મહત્તમ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(A_{\text{max}} = A_1 + A_2)$.
$A_{\text{max}} = 2 + 3 = 5$ એકમ.
મહત્તમ તીવ્રતા $\propto (A_{\text{max}})^2 = (5)^2 = 25$ એકમ.
તેથી,તરંગો $3$ બીટ્સ/સેકન્ડ અને $25$ એકમની મહત્તમ તીવ્રતા ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) $I$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારને કારણે $d$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તારની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ $P$ પર,દરેક તારથી અંતર $d$ છે.
પ્રથમ તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ પાનાની અંદરની દિશામાં).
બીજા તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ પાનાની બહારની દિશામાં).
વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન અને દિશાઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ છે.
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થશે.

(D) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I_1 I_2}{r}$
અહીં,$I_1 = I_2 = I$ અને અંતર $r = b$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I \cdot I}{b} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I^2}{b}$
આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I^2}{b}$ છે.

(A) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન દિશામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહો એકબીજાને આકર્ષે છે,જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહો એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
તાર $A$ માં $1 \text{ A}$ નીચેની તરફ,તાર $B$ માં $2 \text{ A}$ નીચેની તરફ અને તાર $C$ માં $3 \text{ A}$ ઉપરની તરફ પ્રવાહ વહે છે.
તાર $A$ ને કારણે $B$ પર લાગતું બળ $(F_{BA})$: $A$ અને $B$ માં પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાને આકર્ષે છે. તેથી,$F_{BA}$ એ $A$ તરફ લાગે છે.
તેનું મૂલ્ય $F_{BA} \propto (1 \text{ A} \times 2 \text{ A}) = 2$.
તાર $C$ ને કારણે $B$ પર લાગતું બળ $(F_{BC})$: $B$ અને $C$ માં પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાને અપાકર્ષે છે. તેથી,$F_{BC}$ એ $C$ થી દૂર એટલે કે $A$ તરફ લાગે છે.
તેનું મૂલ્ય $F_{BC} \propto (2 \text{ A} \times 3 \text{ A}) = 6$.
આમ,બંને બળો $F_{BA}$ અને $F_{BC}$ એ $A$ તરફ લાગતા હોવાથી,પરિણામી બળ $A$ તરફની દિશામાં હશે.

(A) દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
આપેલ છે કે $n_1 = 30 \text{ દોલનો/મિનિટ}$,તેથી આવર્તકાળ $T_1 = \frac{60}{30} = 2 \text{ s}$.
ધારો કે પ્રથમ જગ્યાએ ચુંબકીય પ્રેરણ $B_1$ છે અને બીજી જગ્યાએ $B_2 = 3B_1$ છે (પ્રશ્ન મુજબ વધારો).
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{B_1}{3B_1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$T_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ s}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સરળ આવર્ત ગતિ કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 6 \times 10^{-2} \text{ A m}^2$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 9.6 \times 10^{-5} \text{ kg m}^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.01 \text{ T}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{9.6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-2} \times 0.01}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{\frac{9.6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{0.16}$
$T = 6.28 \times 0.4 = 2.512 \text{ s}$
$10$ દોલનો માટે લાગતો સમય $= 10 \times T = 10 \times 2.512 = 25.12 \text{ s}$.

(A) $I$ પ્રવાહ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કોઈલ સમાન હોવાથી અને તેમના સમતલ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ ના મૂલ્યો સમાન હશે: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
સમતલ લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે: $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$.
$B_1 = B_2 = B$ મૂકતા,$B_{net} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2} B$.
$B$ ની કિંમત મૂકતા: $B_{net} = \sqrt{2} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} R}$.
આપેલ છે કે $I = \sqrt{2} \text{ A}$ અને $R = 1 \text{ m}$,તેથી $B_{net} = \frac{\mu_0 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times 1} = \mu_0$.

(D) ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવાનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$ છે.
આપેલ છે:
$I = 5 \ A$
$r = 20 \ cm = 0.2 \ m$
$N = 4000$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4000 \times 5}{2 \pi \times 0.2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20000}{0.2}$
$B = \frac{4 \times 10^{-3}}{0.2} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(D) એક પાતળી સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ફરતી રીંગ એ પ્રવાહધારિત લૂપ જેવું કાર્ય કરે છે.
પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ $(i)$
$N$ આવૃત્તિ (સેકન્ડ દીઠ પરિભ્રમણ) સાથે ફરતા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I$ છે:
$I = q \times N$
સમીકરણ $(i)$ માં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 (qN)}{2 R}$
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$q = \frac{2 RB}{\mu_0 N}$

(B) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો વીજભારિત કણ પ્રવાહધારિત લૂપ જેવું વર્તે છે.
ધારો કે વીજભાર $q = 100e$ અને પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = 1 \ Hz$ છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = q \times f = 100e \times 1 = 100e$ થાય.
અહીં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.8 \ m$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8}$
$B = \frac{\mu_0 \times 160 \times 10^{-19}}{1.6}$
$B = \mu_0 \times 100 \times 10^{-19} = 10^{-17} \mu_0$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ માટેનું સૂત્ર: $H = nI$,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $(n = N/L)$ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$H = 2.4 \times 10^3 \ A/m$
$L = 15 \ cm = 0.15 \ m$
$N = 60$
સંબંધ $H = \frac{NI}{L}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $I$ શોધી શકીએ છીએ:
$I = \frac{H \times L}{N}$
$I = \frac{2.4 \times 10^3 \times 0.15}{60}$
$I = \frac{360}{60} = 6 \ A$
તેથી,સોલેનોઇડમાં વહેતો પ્રવાહ $6 \ A$ છે.

(C) આદર્શ સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે $(n = N/L)$,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે અને $I$ એ સોલેનોઈડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સૂત્ર $B = \mu_0 (N/L) I$ એ આંટાની સંખ્યા $N$,લંબાઈ $L$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ તે સોલેનોઈડ બનાવવા માટે વપરાતા તારની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,ચુંબકીય પ્રેરણ તારની ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
શરૂઆતમાં,$B = \mu_0 n I$.
પ્રશ્ન મુજબ,આંટાની નવી સંખ્યા $n' = 3n$ છે અને નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I' = \frac{I}{4}$ છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \mu_0 n' I'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા,આપણને $B' = \mu_0 (3n) \left(\frac{I}{4}\right)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$B' = \frac{3}{4} (\mu_0 n I) = \frac{3}{4} B$ થાય છે.

(A) $I_c$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_0 I_c}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_w$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{wire} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપના કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય તે માટે,આ બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ અને તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ:
$B_{loop} = B_{wire}$
$\frac{\mu_0 I_c}{2 R} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$
બંને બાજુથી $\mu_0$ અને $2$ ને દૂર કરતા:
$\frac{I_c}{R} = \frac{I_w}{\pi d}$
$d$ માટે ઉકેલતા:
$d = \frac{R I_w}{\pi I_c}$

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર આંતરેલા $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$
અહીં આપેલ ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{8}$ રેડિયન છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \frac{\pi}{8}$
$B = \frac{\mu_0 I}{32 r}$
આમ,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ $\frac{\mu_0 I}{32 r}$ મળે છે.

(C) બિંદુ '$O$' પાસેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને એક ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
$1$. '$r$' અંતરે રહેલા અર્ધ-અનંત સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{wire} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે. અહીં બે આવા તાર ($AB$ અને $CD$) હોવાથી,તેમનું સંયુક્ત યોગદાન $B_{wires} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ થશે.
$2$. '$r$' ત્રિજ્યા ધરાવતા ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \theta$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે. તેથી,$B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ થશે.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = B_{wires} + B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{8 r}$.
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$B_{total} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left(\frac{4 \pi}{2 \pi} + \frac{4 \pi}{8}\right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$.

(A) $I_C$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C = \frac{\mu_0 I_C}{2R}$ છે.
$I_w$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_w = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$ છે.
લૂપના કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,લૂપ અને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન અને દિશા વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
તેથી,$B_C = B_w$.
$\frac{\mu_0 I_C}{2R} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$.
બંને બાજુથી $\mu_0$ અને $2$ દૂર કરતા,આપણને $\frac{I_C}{R} = \frac{I_w}{\pi d}$ મળે છે.
$d$ માટે ઉકેલતા,આપણને $d = \frac{R I_w}{\pi I_C}$ મળે છે.

(D) કેન્દ્ર $C$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સીધા ભાગ અને વર્તુળાકાર ભાગને કારણે હોય છે.
અનંત લંબાઈના સીધા તાર માટે,$r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
અર્ધ-વર્તુળાકાર ભાગ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 r}$ છે.
સીધા ભાગ અને વર્તુળાકાર ભાગ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = |B_2 - B_1| = |\frac{\mu_0 I}{4 r} - \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}|$
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\pi - 2)$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_1 = x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B$ છે.
ધારો કે $r_2 = \frac{x}{3}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $B_1 r_1 = B_2 r_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B \cdot x = B_2 \cdot \frac{x}{3}$.
$B_2$ માટે ઉકેલતા:
$B_2 = B \cdot \frac{x}{x/3} = 3B$.
તેથી,$\frac{x}{3}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $3B$ થશે.

(C) આપેલ માહિતી: $R_A = 0.20 \ m$,$I_A = 0.5 \ A$,$R_B = 0.10 \ m$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
ગૂંચળા $A$ માટે: $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 R_A}$.
ગૂંચળા $B$ માટે: $B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને ગૂંચળાઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ અને તેમની દિશા વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
ગૂંચળા $A$ માં પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં હોવાથી,ગૂંચળા $B$ માં પ્રવાહ સમઘડી દિશામાં હોવો જોઈએ.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{\mu_0 I_A}{2 R_A} = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$.
તેથી,$I_B = I_A \times \frac{R_B}{R_A} = 0.5 \times \frac{0.10}{0.20} = 0.25 \ A$.
આમ,ગૂંચળા $B$ માં વહેતો પ્રવાહ $0.25 \ A$ સમઘડી દિશામાં છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ પ્રવાહ ધરાવતા ગૂંચળા $P$ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B_P} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
$\sqrt{8} I$ પ્રવાહ ધરાવતા ગૂંચળા $Q$ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B_Q} = \frac{\mu_0 \sqrt{8} I}{2 R}$ છે.
ગૂંચળા પરસ્પર લંબ સમતલોમાં હોવાથી,તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રો $\vec{B_P}$ અને $\vec{B_Q}$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_{\text{net}} = \sqrt{B_P^2 + B_Q^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{\text{net}} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 \sqrt{8} I}{2 R}\right)^2}$.
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1^2 + (\sqrt{8})^2} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1 + 8} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{9} = \frac{3 \mu_0 I}{2 R}$.

(C) ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની અક્ષ પર ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 n I$
જ્યાં $n = \frac{N}{2 \pi r}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આ સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$
અહીં,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $r$ એ ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા છે.
જોકે,પ્રમાણિત સમીકરણ $B = \mu_0 n I$ માં,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા દર્શાવે છે. ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે. સમીકરણ $B = \mu_0 n I$ દર્શાવે છે કે ક્ષેત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ અને આંટાની ઘનતા પર આધાર રાખે છે. જો $n$ અચળ રાખવામાં આવે,તો ચુંબકીય પ્રેરણ ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા $r$ પર આધારિત નથી.
આમ,ચુંબકીય પ્રેરણ ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર છે.

(D) કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\theta}{2 \pi} \times \frac{\mu_0 I}{2 R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ચાપ એ પરિઘનો $\frac{3}{4}$ ભાગ છે,તેથી આંતરેલો ખૂણો $\theta = \frac{3}{4} \times 2 \pi = \frac{3 \pi}{2} \text{ રેડિયન}$ થાય.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{3 \pi / 2}{2 \pi} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{3}{4} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{3 \mu_0 I}{8 R}$.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહેતો હોવાથી,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉપરની દિશામાં હશે.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{\theta}{2 \pi} \right)$.
અહીં,કેન્દ્ર પર આંતરાતો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{\pi / 2}{2 \pi} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{1}{4} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I}{8 R}$.

(C) પ્રવાહધારિત ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = N I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે ગૂંચળા $A$ અને $B$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ સમાન છે,તેથી $m_A = m_B$.
તેથી,$N_A I_A A_A = N_B I_B A_B$.
ગૂંચળા વર્તુળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય. તેથી,$N_A I_A (\pi r_A^2) = N_B I_B (\pi r_B^2)$.
આપેલ ત્રિજ્યા $r_A = 10 \ cm$ અને $r_B = 20 \ cm$ મૂકતા:
$N_A I_A (10)^2 = N_B I_B (20)^2$.
$N_A I_A (100) = N_B I_B (400)$.
$N_A I_A = 4 \ N_B I_B$.

(C) ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = n I A = n I \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે શરૂઆતના આંટાની સંખ્યા $n_1 = n$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
શરૂઆતની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_1 = n I \pi R^2$ છે.
જ્યારે તારને ઉકેલીને ફરીથી વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે તારની કુલ લંબાઈ $L = n_1 (2 \pi R_1) = n_2 (2 \pi R_2)$ અચળ રહે છે.
અહીં $R_2 = \frac{R}{3}$ આપેલ છે,તેથી $n (2 \pi R) = n_2 (2 \pi \frac{R}{3})$,જે આપણને $n_2 = 3n$ આપે છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_2 = n_2 I \pi R_2^2 = (3n) I \pi (\frac{R}{3})^2 = 3n I \pi \frac{R^2}{9} = \frac{n I \pi R^2}{3}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\frac{n I \pi R^2}{3}}{n I \pi R^2} = \frac{1}{3}$ થાય.

(C) લાંબા સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA = \frac{\mu_0 NIA}{L}$ છે.
સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = NIA$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ફ્લક્સના સમીકરણમાં $M$ મૂકતા: $\phi = \frac{\mu_0 M}{L}$.
$M$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $M = \frac{\phi L}{\mu_0}$.
આપેલ છે કે $\phi = 1.57 \times 10^{-6} \text{ Wb}$, $L = 0.8 \text{ m}$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.8}{4 \times 3.14 \times 10^{-7}}$.
$M = \frac{1.57 \times 0.8 \times 10^{-6}}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{1.256 \times 10^{-6}}{1.256 \times 10^{-6}} = 1 \text{ Am}^2$.

(D) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
આના પરથી,પ્રવાહ $I$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$I = \frac{2Br}{\mu_0} \quad ...(i)$
$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \quad ...(ii)$
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = IA$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $I$ ની કિંમત અને સમીકરણ $(ii)$ માંથી $r$ ની કિંમત $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{2Br}{\mu_0} \right) \times A$
$M = \frac{2B}{\mu_0} \times \sqrt{\frac{A}{\pi}} \times A$
$M = \frac{2B}{\mu_0} \times \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \times A$
$M = \frac{2BA^{3/2}}{\mu_0 \pi^{1/2}}$

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ નું સૂત્ર $m = nIA$ છે,જ્યાં $n$ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક વર્તુળાકાર લૂપ $(n=1)$ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ થાય છે.
આથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{B \times 2R}{\mu_0}$ મળે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$m = I \times A = \left( \frac{B \times 2R}{\mu_0} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2 \pi B R^3}{\mu_0}$.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}}$ મળે.
પ્રવાહ $I$ માટે ઉકેલતા,$I = \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = I A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ નું પદ મૂકતા,$M = \left( \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સાયક્લોટ્રોન એ એક કણ પ્રવેગક છે જે વીજભારિત કણોને પ્રવેગિત કરવા માટે ચુંબકીય અને વિદ્યુત ક્ષેત્રોના સંયોજનનો ઉપયોગ કરે છે. તે મુખ્યત્વે પ્રોટોન,ડ્યુટેરોન અને આલ્ફા કણો જેવા ધન વીજભારિત કણોને ઉચ્ચ ઉર્જા સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે રચાયેલ છે. ન્યુટ્રોન પર કોઈ વિદ્યુત વીજભાર ન હોવાથી તેમને સાયક્લોટ્રોન દ્વારા પ્રવેગિત કરી શકાતા નથી.

(D) વર્તુળાકાર પથ પર ફરતા વીજભાર દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વીજભાર $q$ એ $f$ આવૃત્તિ સાથે ફરે છે, તેથી સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = qf$ થાય.
આપેલ છે: $q = 50e = 50 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 80 \times 10^{-19} \ C$, $r = 0.4 \ m$, અને $f = 1 \ r.p.s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 \times (80 \times 10^{-19}) \times 1}{2 \times 0.4}$
$B = \frac{80 \times 10^{-19} \mu_0}{0.8}$
$B = 100 \times 10^{-19} \mu_0$
$B = 10^{-17} \mu_0$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = qvB \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાની દિશામાં ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેના વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ થાય છે.
આ કિંમતને બળના સૂત્રમાં મૂકતા: $F = qvB \sin 0^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 0^{\circ} = 0$,તેથી ચુંબકીય બળ $F = 0$ થાય છે.

(D) ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F = qvB = \frac{mv^2}{R}$.
આના પરથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
આ દર્શાવે છે કે $R \propto \sqrt{K}$.
જો ઉર્જા બમણી કરવામાં આવે $(K' = 2K)$,તો નવી ત્રિજ્યા $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{R'}{R} = \sqrt{\frac{K'}{K}} = \sqrt{\frac{2K}{K}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$R' = \sqrt{2}R$.

(A) જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આ માર્ગની ત્રિજ્યા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$
જ્યાં $K$ એ કણની ગતિઊર્જા છે.
કણ $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતો હોવાથી,તેની ગતિઊર્જા $K = qV$ થાય છે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{\sqrt{2m(qV)}}{qB} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$R^2 = \frac{2mqV}{q^2 B^2} = \frac{2mV}{qB^2}$
અહીં ત્રિજ્યા $r$ આપેલી હોવાથી,$r^2 = \frac{2mV}{qB^2}$ થાય.
દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$m = \frac{r^2 q B^2}{2V}$

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ માટે,ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
$\therefore R = \frac{mv}{qB}$ ... $(i)$
અહીં નવી ઝડપ $v' = \frac{v}{2}$ અને નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = 2B$ આપેલ છે.
નવી ત્રિજ્યા $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$R' = \frac{mv'}{qB'} = \frac{m(v/2)}{q(2B)}$
$R' = \frac{mv}{4qB}$
સમીકરણ $(i)$ ને $R'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R' = \frac{R}{4}$

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $r \propto \sqrt{K}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
ધારો કે નવી ગતિઊર્જા $K_2 = 3K$ અને નવી ત્રિજ્યા $R_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $r \propto \sqrt{K}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_2}{R} = \sqrt{\frac{3K}{K}} = \sqrt{3}$.
તેથી,નવી ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{3} \cdot R$ થશે.

(B) જ્યારે કોઈ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થને તેના $Curie$ તાપમાન $(T_C)$ થી ઉપર ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરમાણુઓની ઉષ્મીય ઉર્જા એટલી વધી જાય છે કે તે એક્સચેન્જ કપલિંગ બળોને દૂર કરી શકે છે,જે ચુંબકીય મોમેન્ટ્સને ડોમેન્સની અંદર ગોઠવાયેલા રાખે છે.
પરિણામે,વ્યવસ્થિત ચુંબકીય ડોમેન્સ નાશ પામે છે અને ઉષ્મીય આંદોલનને કારણે ચુંબકીય મોમેન્ટ્સ અસ્તવ્યસ્ત (રેન્ડમ) દિશામાં ગોઠવાઈ જાય છે.
આથી,પદાર્થ તેના ફેરોમેગ્નેટિક ગુણધર્મો ગુમાવે છે અને પેરામેગ્નેટિક પદાર્થમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે ફેરોમેગ્નેટિક ડોમેન્સ રેન્ડમ બની જાય છે.

(A) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ પરમાણુમાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = (\frac{e}{T}) (\pi r^2) = \frac{e}{2\pi r/v} (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$.
આમ,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર $\gamma = \frac{M}{L} = \frac{evr/2}{mvr} = \frac{e}{2m}$.
બોહર મેગ્નેટોન $(\mu_B)$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટનો મૂળભૂત એકમ છે,જે $\mu_B = \frac{eh}{4\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર અને બોહર મેગ્નેટોન અનુક્રમે $\frac{e}{2m}$ અને $\frac{eh}{4\pi m}$ છે.

(A) આપેલ આલેખ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે મેગ્નેટિક હિસ્ટરિસીસ લૂપ (magnetic hysteresis loop) દર્શાવે છે.
$1$. રિટિન્ટિવિટી એ પદાર્થમાં રહેલી અવશેષ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $(B)$ છે જ્યારે મેગ્નેટાઇઝિંગ ફોર્સ $(H)$ શૂન્ય કરવામાં આવે છે. આલેખમાં,આ $B$-અક્ષ પરના છેદબિંદુને અનુરૂપ છે,જે બિંદુ $b$ છે.
$2$. કોર્સિવિટી એ અવશેષ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતાને શૂન્ય કરવા માટે જરૂરી વિરુદ્ધ દિશાનું મેગ્નેટાઇઝિંગ ફોર્સ $(H)$ છે. આલેખમાં,આ $H$-અક્ષ પરના છેદબિંદુને અનુરૂપ છે,જે બિંદુ $c$ છે.
તેથી,કોર્સિવિટી બિંદુ $c$ દ્વારા અને રિટિન્ટિવિટી બિંદુ $b$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. સાચો વિકલ્પ $A$ $(c, b)$ છે.

(B) ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ એ માપ છે કે કોઈ પદાર્થ લાગુ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કેટલું ચુંબકીય બને છે.
ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની અને ઋણ $(-1 \le \chi < 0)$ હોય છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની અને ધન $(\chi > 0)$ હોય છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ મોટી અને ધન $(\chi \gg 0)$ હોય છે.
તેથી, ઋણ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતા પદાર્થો ડાયામેગ્નેટિક છે.

(B) પદાર્થની અંદરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ બાહ્ય પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ અને પદાર્થના મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_m)$ નો સરવાળો છે.
$B = B_0 + B_m$
આપણે જાણીએ છીએ કે $B_0 = \mu_0 H$, જ્યાં $H$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા છે.
પદાર્થનું મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા સાથે $M = \chi H$ દ્વારા સંબંધિત છે, જ્યાં $\chi$ એ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી છે.
મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_m = \mu_0 M = \mu_0 \chi H$ છે.
આ કિંમતોને $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \mu_0 H + \mu_0 \chi H$
$B = \mu_0 H(1 + \chi)$
બંને બાજુ $H$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{B}{H} = \mu_0(1 + \chi)$

(B) નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu$,સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu_r$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\mu = \mu_r \mu_0 = (1 + \chi) \mu_0$
આપેલ છે:
$\chi = 599$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = (1 + 599) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \text{ T m/A}$
$\mu = 600 \times 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu = 2400 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu = 2.4 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$
આમ,નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $2.4 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$ છે.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય તીવ્રતા $H = 500 \,A/m$, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 2.4 \times 10^{-5} \,Wb$, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.4 \,cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \,m^2$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B = \frac{\phi}{A} = \frac{2.4 \times 10^{-5}}{0.4 \times 10^{-4}} = 0.6 \,T$.
ચુંબકીય પરમિએબિલિટી $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{B}{H}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{0.6}{500} = 1.2 \times 10^{-3} \,T \cdot m/A$.

(C) પદાર્થની અંદર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ બાહ્ય પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0 = \mu_0 H)$ અને મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_m = \mu_0 M)$ નો સરવાળો છે.
$B = B_0 + B_m = \mu_0 H + \mu_0 M = \mu_0(H + M)$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ એ ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ સાથે સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ દ્વારા $M = \chi H$ તરીકે સંબંધિત છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \mu_0(H + \chi H) = \mu_0 H(1 + \chi)$.
આને ફરીથી ગોઠવતા ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{B}{H} = \mu_0(1 + \chi)$.

(B) મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $(I)$ ને પદાર્થના એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $I = \frac{M}{V} = \frac{M}{A \times L}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ = $6 \text{ Am}^2$
લંબાઈ $(L)$ = $4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$
ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
ગણતરી:
કદ $(V)$ = $A \times L = (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (4 \times 10^{-2} \text{ m}) = 8 \times 10^{-6} \text{ m}^3$
$I = \frac{6 \text{ Am}^2}{8 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 0.75 \times 10^6 \text{ A/m} = 7.5 \times 10^5 \text{ A/m}$

(D) ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ એ $H = nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
અહીં $n = 400 \ m^{-1}$ અને $I = 0.5 \ A$ આપેલ છે,તેથી $H = 400 \times 0.5 = 200 \ Am^{-1}$ મળે.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu_r = 1 + \chi$ છે,તેથી $\chi = \mu_r - 1$.
અહીં $\mu_r = 400$ આપેલ છે,તેથી $\chi = 400 - 1 = 399$.
મેગ્નેટાઈઝેશન $M$ એ $M = \chi H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$M = 399 \times 200 = 79800 \ Am^{-1}$ મળે.
આ કિંમત આશરે $8 \times 10^4 \ Am^{-1}$ જેટલી છે.

(D) ઓક્સિજન આઈસોટોપ ${ }_{8}^{17}O$ માં પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 8$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $A - Z = 17 - 8 = 9$ છે.
ઘટક ન્યુક્લિયોન્સનું કુલ દળ $8 M_{p} + 9 M_{N}$ થાય.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના દળ અને ન્યુક્લિયસના દળ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta m = (8 M_{p} + 9 M_{N}) - M_{O}$.
બંધન ઉર્જા એ દળ ક્ષતિને સમતુલ્ય ઉર્જા છે,જેનું સૂત્ર $BE = [Z M_{p} + (A-Z) M_{N} - M_{O}] C^2$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,બંધન ઉર્જા દર્શાવતું યોગ્ય પદ $(M_{O} - 8 M_{p} - 9 M_{N}) C^2$ છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $n_{\alpha}$ એ ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા છે અને $n_{\beta}$ એ ઉત્સર્જિત $\beta$-કણોની સંખ્યા છે.
દળ ક્રમાંકમાં ફેરફાર માટે: $238 = 206 + 4n_{\alpha} + 0n_{\beta}$.
$4n_{\alpha} = 238 - 206 = 32 \implies n_{\alpha} = 8$.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં ફેરફાર માટે: $92 = 82 + 2n_{\alpha} - 1n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 8$ મૂકતા: $92 = 82 + 2(8) - n_{\beta}$.
$92 = 82 + 16 - n_{\beta} \implies 92 = 98 - n_{\beta}$.
$n_{\beta} = 98 - 92 = 6$.
આમ,$8$ $\alpha$-કણો અને $6$ $\beta$-કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(C) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t / T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
તત્વ $A$ માટે: $T_{1/2, A} = 30 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_A = 120 / 30 = 4$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_A = N_0 (1/2)^4 = N_0 / 16$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ $N'_A = N_0 - N_A = N_0 - N_0 / 16 = (15/16) N_0$.
તત્વ $B$ માટે: $T_{1/2, B} = 60 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n_B = 120 / 60 = 2$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસ $N'_B = N_0 - N_B = N_0 - N_0 / 4 = (3/4) N_0 = (12/16) N_0$.
$B$ અને $A$ ના ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $N'_B / N'_A = (12/16) N_0 / (15/16) N_0 = 12 / 15 = 4 / 5$ થાય છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ હાજર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
એક્ટિવિટીમાં થતા તત્કાલીન ફેરફારનો દર $\frac{dR}{dt} = \frac{d}{dt}(\lambda N) = \lambda \frac{dN}{dt}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$,તેથી $\frac{dR}{dt} = \lambda(-\lambda N) = -\lambda^2 N$.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $|\frac{dR}{dt}| = \lambda^2 N$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય સમય છે.
આ કિંમત મૂકતા,$|\frac{dR}{dt}| = (\frac{\ln 2}{T})^2 N = \frac{(\ln 2)^2 N}{T^2}$ મળે.
અહીં $(\ln 2)^2$ અને $N$ અચળ હોવાથી,$\frac{dR}{dt} \propto \frac{1}{T^2}$ અથવા $T^{-2}$ થાય.