MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) કેશિકા નળીમાં પાણીની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણી માટે,$\cos \theta \approx 1$,તેથી $h \propto \frac{1}{r}$.
જો નવી ત્રિજ્યા $r' = r/3$ હોય,તો નવી ઊંચાઈ $h' = 3h$ થશે.
કેશિકામાં પાણીનું દળ $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ છે.
નવી કેશિકા માટે,દળ $m' = \pi (r')^2 h' \rho$ થશે.
$r' = r/3$ અને $h' = 3h$ મૂકતા:
$m' = \pi (r/3)^2 (3h) \rho = \pi (r^2/9) (3h) \rho = \frac{1}{3} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{3}$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને એક નાના પાણીના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મોટા ટીપાનું કદ એ $n$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \Rightarrow R = n^{1/3} r$
$n$ નાના ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_n = n \times (4 \pi r^2 T)$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = 4 \pi R^2 T$ છે.
$n$ ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા અને મોટા ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_n}{E} = \frac{n \times 4 \pi r^2 T}{4 \pi R^2 T} = \frac{n r^2}{R^2}$
$R = n^{1/3} r$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{E_n}{E} = \frac{n r^2}{(n^{1/3} r)^2} = \frac{n r^2}{n^{2/3} r^2} = n^{1 - 2/3} = n^{1/3} = \sqrt[3]{n}$
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt[3]{n}: 1$ છે.

(A) કેશ નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $r$ એ કેશ નળીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે સંપર્કકોણ $\theta = 90^{\circ}$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{2T \cos 90^{\circ}}{\rho g r}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$h = 0$
આમ,પ્રવાહી કેશ નળીમાં ઉપર કે નીચે જશે નહીં.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આપેલ છે કે આંતરિક વ્યાસ સમાન છે,તેથી ત્રિજ્યા સમાન છે: $r_A = r_B$.
ધારો કે સંપર્કકોણ લગભગ સમાન છે: $\theta_A = \theta_B$.
આમ,ઊંચાઈ $h$ એ $\frac{T}{\rho}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
તેથી,ઊંચાઈનો ગુણોત્તર: $\frac{h_A}{h_B} = \frac{T_A}{T_B} \times \frac{\rho_B}{\rho_A}$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{4}{3}$ અને $\frac{T_A}{T_B} = \frac{6}{5}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{h_A}{h_B} = \frac{6}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$.
તેથી,ગુણોત્તર $9:10$ છે.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
પાણી માટે: $h_1 = 6 \ cm$,$\theta_1 = 0^{\circ}$,$\rho_1 = 1 \ g/cm^3$,$T_1 = T$.
$6 = \frac{2T \cos 0^{\circ}}{r \cdot 1 \cdot g} \implies 6 = \frac{2T}{rg} \implies rg = \frac{2T}{6} = \frac{T}{3}$.
બીજા પ્રવાહી માટે: $T_2 = 2T$,$\theta_2 = 60^{\circ}$,$\rho_2 = 2 \ g/cm^3$.
$h_2 = \frac{2T_2 \cos \theta_2}{r \rho_2 g} = \frac{2(2T) \cos 60^{\circ}}{r \cdot 2 \cdot g} = \frac{4T \cdot 0.5}{2rg} = \frac{2T}{2rg} = \frac{T}{rg}$.
$rg = \frac{T}{3}$ ની કિંમત $h_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h_2 = \frac{T}{T/3} = 3 \ cm$.

(D) વિભાજનની પ્રક્રિયા દરમિયાન પારોનું કદ અચળ રહે છે:
$V_{initial} = V_{final}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$R = 10r$ અથવા $r = \frac{R}{10}$ મળે છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta A = A_{final} - A_{initial}$
$\Delta A = (1000 \times 4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{10}$ મૂકતા:
$\Delta A = 4 \pi \left( 1000 \times \left( \frac{R}{10} \right)^2 - R^2 \right)$
$\Delta A = 4 \pi \left( 1000 \times \frac{R^2}{100} - R^2 \right)$
$\Delta A = 4 \pi (10 R^2 - R^2) = 4 \pi (9 R^2) = 36 \pi R^2$
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A$ દ્વારા મળે છે:
$\Delta U = T \times 36 \pi R^2 = 36 \pi R^2 T$.

(B) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં પૃષ્ઠતાણ $T$,ત્રિજ્યા $r$,ઘનતા $\rho$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ હોવાથી,$h \cos \theta$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,$h \cos 0^{\circ} = h(1) = h$.
જ્યારે નળીને એવી રીતે દબાવવામાં આવે છે કે સપાટીથી ઉપરની ઊંચાઈ $h' = \frac{h}{3}$ થાય,ત્યારે નવો સંપર્કકોણ $\theta'$ નીચે મુજબ મળે:
$h' \cos \theta' = h \cos 0^{\circ}$
$\frac{h}{3} \cos \theta' = h(1)$
$\cos \theta' = \frac{1}{3}$
$\theta' = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(C) પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણનું મૂલ્ય અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ બળો પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે આકર્ષણ બળો વધારે હોય છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણ વધારે હોય છે.
તાપમાનમાં વધારો થવાથી અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જે આંતરઆણ્વીય આકર્ષણની અસરકારકતા ઘટાડે છે.
પરિણામે,જેમ તાપમાન વધારવામાં આવે છે તેમ પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(C) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પૃષ્ઠઊર્જા $E = S \times A$,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 4 \pi R^2$.
મોટા ટીપાનું કદ = $512$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3 \implies R = 8r$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 512 \times (4 \pi r^2)$.
$r = R/8$ મૂકતા:
$A_2 = 512 \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2 = 512 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64} = 8 \times (4 \pi R^2) = 8 A_1$.
પૃષ્ઠઊર્જા એ પૃષ્ઠફળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(E \propto A)$:
$E_2 = 8 E_1 = 8 E$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
$8$ નાના ટીપાનું કદ $=$ મોટા ટીપાનું કદ.
$8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3 \Rightarrow R = 2r$ અથવા $r = \frac{R}{2}$.
ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપા માટે,$\Delta P_B = \frac{2T}{R}$.
નાના ટીપા માટે,$\Delta P_s = \frac{2T}{r}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\Delta P_B}{\Delta P_s} = \frac{r}{R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\Delta P_B = \frac{1}{2} \Delta P_s$.

(A) સંતુલન સ્થિતિમાં રહેલા પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ પાસે મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.
સમજૂતી:
પ્રવાહીમાં,અંદરના ભાગમાં રહેલા અણુઓ ચારે બાજુથી અન્ય અણુઓ દ્વારા ઘેરાયેલા હોય છે,જેના પરિણામે તેમના પર લાગતું ચોખ્ખું આકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે. જોકે,સપાટી પરના અણુઓ તેમની ઉપર કોઈ અણુઓ ન હોવાને કારણે અંદરની તરફ ચોખ્ખું આકર્ષણ બળ અનુભવે છે. અણુને પ્રવાહીના અંદરના ભાગમાંથી સપાટી પર લાવવા માટે,આ આકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. આ કાર્ય સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. તેથી,પ્રવાહીના અંદરના ભાગની તુલનામાં સપાટી પરના અણુઓ પાસે વધુ સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.

(A) જ્યારે દડો પાણીની સપાટીને અથડાય ત્યારે તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાણીમાં દડાનો ટર્મિનલ વેગ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ: $v = \frac{2}{9} r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$,જ્યાં $\rho$ એ દડાની ઘનતા,$\sigma$ એ પાણીની ઘનતા અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
વેગ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \sigma)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2gh = \left( \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \sigma) \right)^2$
$h = \frac{2}{81} \frac{r^4 g}{\eta^2} (\rho - \sigma)^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = 9 \times 10^{-4} \ m$,$\rho = 10^4 \ kg/m^3$,$\sigma = 10^3 \ kg/m^3$,$\eta = 8.1 \times 10^{-4} \ Pa \cdot s$,$g = 10 \ m/s^2$.
ગણતરી કરતા $h = 20 \ m$ મળે છે.

(D) ટર્મિનલ વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ દડાની ત્રિજ્યા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$\rho$ એ દડાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
દડાનું દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,$v \propto r^2$ થાય.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
અહીં $r_1 = 6 \ mm$,$v_1 = 12 \ cm s^{-1}$,અને $r_2 = 3 \ mm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{12} = \left(\frac{3}{6}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$v_2 = \frac{12}{4} = 3 \ cm s^{-1}$.

(C) ધારો કે બે સમાન પાણીના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે.
જ્યારે તેઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જે આપણને $R^3 = 2r^3$ અથવા $R = 2^{1/3} r$ આપે છે.
સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V \propto r^2$.
જો નવા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V'$ હોય,તો $\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2}$.
$R = 2^{1/3} r$ મૂકતા,આપણને $\frac{V'}{V} = \frac{(2^{1/3} r)^2}{r^2} = \frac{2^{2/3} r^2}{r^2} = 2^{2/3}$ મળે છે.
તેથી,નવો ટર્મિનલ વેગ $V' = 2^{2/3} V$ થશે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{(\rho - \sigma) R^2 g}{\eta}$
પ્રથમ ગોળા માટે જેની ઘનતા $\rho_1$ અને ટર્મિનલ વેગ $V_1$ છે:
$V_1 = \frac{2}{9} \frac{(\rho_1 - \sigma) R^2 g}{\eta}$
બીજા ગોળા માટે જેની ઘનતા $\rho_2$ અને ટર્મિનલ વેગ $V_2$ છે:
$V_2 = \frac{2}{9} \frac{(\rho_2 - \sigma) R^2 g}{\eta}$
$V_1$ અને $V_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{9} \frac{(\rho_1 - \sigma) R^2 g}{\eta}}{\frac{2}{9} \frac{(\rho_2 - \sigma) R^2 g}{\eta}}$
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho_1 - \sigma}{\rho_2 - \sigma}$
તેથી,$V_1 : V_2$ નો ગુણોત્તર $(\rho_1 - \sigma) : (\rho_2 - \sigma)$ થાય છે.

(B) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,$\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
બંને ગોળાઓ સમાન અચળ ઝડપથી પડતા હોવાથી,તેમના ટર્મિનલ વેગ સમાન છે:
$v_1 = v_2$
$\frac{2r_1^2(\rho_1 - \sigma)g}{9\eta} = \frac{2r_2^2(\rho_2 - \sigma)g}{9\eta}$
$r_1^2(\rho_1 - \sigma) = r_2^2(\rho_2 - \sigma)$
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}}$
આપેલ છે: $\rho_1 = 11.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_2 = 8.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,અને $\sigma = 2.5 \times 10^3 \ kg/m^3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{8.5 \times 10^3 - 2.5 \times 10^3}{11.5 \times 10^3 - 2.5 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{6.0 \times 10^3}{9.0 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

(C) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{2g(\rho - \sigma)r^2}{9\eta}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઘનતા $\rho$ અચળ છે. ટર્મિનલ વેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $V \propto r^2$.
આપેલ છે કે દળ $m$ વધીને $8m$ થાય છે,અને ઘનતા અચળ હોવાથી,કદ $V_{ol} = \frac{m}{\rho}$ પણ $8$ ગણું વધે છે.
$V_{ol} = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,જો કદ $8$ ગણું થાય,તો ત્રિજ્યા $r$ એ $2$ ગણી થાય $(r_2 = 2r_1)$.
તેથી,નવો ટર્મિનલ વેગ $V_2$ આ મુજબ મળે: $\frac{V_2}{V_0} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,$V_2 = 4V_0$.

(D) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$v \propto r^2$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે બે ટીપાં જોડાય છે ત્યારે કદ જળવાઈ રહે છે,તેથી $\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = 2r^3$ અથવા $R = 2^{1/3}r$.
પ્રારંભિક ટર્મિનલ વેગ $v_1 = 5 \,cm/s$ આપેલ છે,તેથી નવો ટર્મિનલ વેગ $v_2$ નીચે મુજબ મળે:
$v_2 = v_1 \times \left(\frac{R}{r}\right)^2$
$v_2 = 5 \times \left(\frac{2^{1/3}r}{r}\right)^2$
$v_2 = 5 \times (2^{1/3})^2 = 5 \times 2^{2/3} = 5 \times 4^{1/3} \,cm/s$.

(C) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F$ એ $\tau = \frac{F}{A} = -\eta \frac{dv}{dz}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્નિગ્ધ બળ એ પ્રવાહીના નજીકના સ્તરો વચ્ચે આંતરિક ઘર્ષણ તરીકે કાર્ય કરે છે જે અલગ-અલગ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
આ બળ સ્તરો વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે,જેના કારણે શીયરિંગ (shearing) ક્રિયા થાય છે.
શીયર બળ હંમેશા પ્રવાહીના સ્તરોના સમતલને સ્પર્શક (tangential) દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,સ્નિગ્ધ બળ પ્રવાહીની સપાટીને સ્પર્શક હોય છે.

(C) ગતિશીલ પદાર્થનો પ્રવેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે.
ગાણિતિક રીતે,$a = \frac{dv}{dt}$.
વેગ-સમય આલેખમાં,ઢાળને $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે તત્કાલીન અથવા સરેરાશ પ્રવેગ દર્શાવે છે.
તેથી,વેગ-સમય આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો પ્રવેગ આપે છે.

(D) વેગ-સમય આલેખમાં પદાર્થ દ્વારા કપાયેલ અંતર એ આપેલ સમયગાળા વચ્ચેના વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પગલું $1$: $t = 6 \ s$ થી $t = 9 \ s$ સુધીના આલેખનો આકાર ઓળખો.
$t = 6 \ s$ પર,$v = 20 \ m/s$ છે. $t = 9 \ s$ પર,વેગ $35 \ m/s$ છે (કારણ કે આલેખ $(6, 20)$ થી $(10, 40)$ સુધીની સીધી રેખા છે,તેથી ઢાળ $m = (40-20)/(10-6) = 5$ છે. આમ,$t = 9 \ s$ પર,$v = 20 + 5(9-6) = 35 \ m/s$ મળે).
પગલું $2$: $t = 6 \ s$ અને $t = 9 \ s$ વચ્ચે બનતા સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
સમાંતર બાજુઓ $v_1 = 20 \ m/s$ અને $v_2 = 35 \ m/s$ છે. ઊંચાઈ (સમયગાળો) $h = 9 - 6 = 3 \ s$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (v_1 + v_2) \times h = \frac{1}{2} \times (20 + 35) \times 3 = \frac{1}{2} \times 55 \times 3 = 82.5 \ m$.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં,જેમ સમય $t$ વધે છે તેમ પદાર્થનું સ્થાન $x$ અચળ રહે છે.
સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ વેગ $(v = dx/dt)$ દર્શાવે છે,અને આડી રેખાનો ઢાળ શૂન્ય હોવાથી,પદાર્થનો વેગ શૂન્ય છે.
તેથી,આલેખ સૂચવે છે કે પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે.

(B) કપાયેલ અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કુલ અંતર $t = 1 \ s$ થી $t = 7 \ s$ ના સમયગાળામાં (આલેખ મુજબ,ગતિ $t = 7 \ s$ પર પૂર્ણ થાય છે):
આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $(5-3) = 2 \ s$ અને $(7-1) = 6 \ s$ છે,અને ઊંચાઈ $10 \ m/s$ છે.
કુલ અંતર $S = \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 10 = 40 \ m$.
છેલ્લી બે સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર ($t = 5 \ s$ થી $t = 7 \ s$):
આ એક ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $(7-5) = 2 \ s$ અને ઊંચાઈ $10 \ m/s$ છે.
$S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \ m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{S_1}{S} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(C) કુલ અંતર $L$ છે. વાહન પ્રથમ અડધું અંતર $(L/2)$ $V_1 = V$ ઝડપે અને બીજું અડધું અંતર $(L/2)$ $V_2 = \frac{V}{3}$ ઝડપે કાપે છે.
પ્રથમ અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_1 = \frac{L/2}{V} = \frac{L}{2V}$.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_2 = \frac{L/2}{V/3} = \frac{3L}{2V}$.
કુલ લાગતો સમય,$T = t_1 + t_2 = \frac{L}{2V} + \frac{3L}{2V} = \frac{4L}{2V} = \frac{2L}{V}$.
સરેરાશ ઝડપ,$V_{\text{avg}} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{L}{2L/V} = \frac{V}{2}$.

(D) કોઈપણ પદાર્થનો વેગ $v$ એ તેના સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવાથી મળે છે,એટલે કે $v = \frac{dx}{dt}$.
પ્રથમ કાર માટે,$v_1(t) = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$.
બીજી કાર માટે,$v_2(t) = \frac{d}{dt}(Ft - t^2) = F - 2t$.
આપણને આપેલ છે કે બંને કારનો વેગ સમાન છે,તેથી $v_1(t) = v_2(t)$.
$a + 2bt = F - 2t$.
$t$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2bt + 2t = F - a$.
$t(2b + 2) = F - a$.
$t = \frac{F - a}{2(1 + b)}$.

(D) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^3 \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન સદિશનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha t^3 \hat{i} + \beta t^3 \hat{j}) = 3\alpha t^2 \hat{i} + 3\beta t^2 \hat{j}$.
ઝડપ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = |\vec{v}| = \sqrt{(3\alpha t^2)^2 + (3\beta t^2)^2}$.
$v = \sqrt{9\alpha^2 t^4 + 9\beta^2 t^4}$.
$v = \sqrt{9 t^4 (\alpha^2 + \beta^2)}$.
$v = 3 t^2 \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$,પ્રતિપ્રવેગ $a = -0.3 \ m/s^2$,અને અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$ (જ્યારે વાહન અટકે છે).
સૌ પ્રથમ,વાહનને અટકતા લાગતો સમય શોધો: $t = \frac{v-u}{a} = \frac{0-15}{-0.3} = 50 \ s$.
વાહન $50 \ s$ માં અટકી જાય છે,જે $60 \ s$ (એક મિનિટ) કરતા ઓછો સમય છે,તેથી $60 \ s$ પછીનું સ્થાનાંતર એ $50 \ s$ પછીના સ્થાનાંતર જેટલું જ રહેશે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = (15 \times 50) + \frac{1}{2} \times (-0.3) \times (50)^2$
$s = 750 - 0.15 \times 2500 = 750 - 375 = 375 \ m$.
ટ્રાફિક સિગ્નલથી પ્રારંભિક અંતર $400 \ m$ હતું.
તેથી,એક મિનિટ પછી ટ્રાફિક સિગ્નલથી વાહનનું અંતર $400 \ m - 375 \ m = 25 \ m$ થશે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $V$ છે અને $s_1 = 30 \ cm$ અંતર કાપ્યા પછી અંતિમ વેગ $V/2$ થાય છે. અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ ધારતા,આપણે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $v^2 = u^2 + 2as$.
$(V/2)^2 = V^2 + 2a(30)$
$V^2/4 = V^2 + 60a$
$60a = -3V^2/4$
$a = -V^2/80$.
હવે,ધારો કે બુલેટ સ્થિર થતા પહેલા વધારાનું $s_2$ અંતર કાપે છે. આ તબક્કા માટે પ્રારંભિક વેગ $V/2$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે.
$0^2 = (V/2)^2 + 2(-V^2/80)s_2$
$0 = V^2/4 - (V^2/40)s_2$
$V^2/4 = (V^2/40)s_2$
$s_2 = 40/4 = 10 \ cm$.

(B) ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$ છે:
$H = \frac{1}{2} g T^2 \Rightarrow g T^2 = 2H \dots (i)$
હવે,ધારો કે $t = \frac{T}{4}$ સમયમાં દડા દ્વારા ટોચથી કાપેલું અંતર $x$ છે:
$x = \frac{1}{2} g \left( \frac{T}{4} \right)^2 = \frac{1}{2} g \frac{T^2}{16} = \frac{g T^2}{32}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $g T^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{2H}{32} = \frac{H}{16}$
જમીનથી દડાની ઊંચાઈ એ કુલ ઊંચાઈમાંથી ટોચથી કાપેલું અંતર બાદ કરવાથી મળે છે:
$\text{ઊંચાઈ} = H - x = H - \frac{H}{16} = \frac{15H}{16}$

(B) ધારો કે પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ છે અને બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે।
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A$ થી $B$ સુધીના પથ માટે:
$(30)^2 = (20)^2 + 2ad$
$900 = 400 + 2ad$
$2ad = 500$
$ad = 250$
ધારો કે $v_m$ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુ પરનો વેગ છે। $A$ થી મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $d/2$ છે।
$A$ થી મધ્યબિંદુ સુધીના પથ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v_m^2 = (20)^2 + 2a(d/2)$
$v_m^2 = 400 + ad$
$ad = 250$ મૂકતા:
$v_m^2 = 400 + 250 = 650$
$v_m = \sqrt{650} \approx 25.495 \,m/s \approx 25.5 \,m/s$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
અહીં $T = 2 \ s$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $2 = \frac{2u \sin \theta}{10}$.
આમ,$u \sin \theta = 10 \ m/s$ મળે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$H = \frac{(10)^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$.

(D) આપેલ છે કે અવધિ $(R)$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ જેટલી છે.
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$
$H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$R$ અને $H$ ને સરખાવતા:
$\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
બંને બાજુ $\frac{u^2 \sin\theta}{g}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin\theta \neq 0$):
$2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$
$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4$
$\tan\theta = 4$
$\theta = \tan^{-1}(4)$

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,રેખીય વેગનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
કોઈપણ બિંદુએ રેખીય વેગની દિશા હંમેશા તે બિંદુએ વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે.
તેથી,રેખીય વેગ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે અને તેનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.

(D) ધારો કે $\theta$ એ શંકુનો અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો છે. કણ પર લાગતા બળો તેના વજન $mg$ (નીચેની તરફ) અને સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ છે.
લંબબળ $N$ ના ઘટકો લેતા:
ઊર્ધ્વ ઘટક: $N \cos \theta = mg$ (વજનને સંતુલિત કરે છે)
ક્ષિતિજ ઘટક: $N \sin \theta = \frac{mV^2}{R}$ (કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે)
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{R}{h}$ (જ્યાં $h$ એ શિરોબિંદુથી ઊંચાઈ છે).
તેથી,$\frac{R}{h} = \frac{V^2}{Rg}$.
આથી,$h = \frac{R^2 g}{V^2}$. જો કે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $h = \frac{V^2}{g}$ છે.

(C) શરૂઆતનું કેન્દ્રગામી બળ $F_1 = \frac{mv^2}{r}$ છે.
$20 \%$ વધારા પછી,નવા મૂલ્યો $m' = 1.2m$,$v' = 1.2v$ અને $r' = 1.2r$ થાય છે.
જરૂરી નવું બળ $F_2$ નીચે મુજબ છે:
$F_2 = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(1.2m)(1.2v)^2}{1.2r}$
$F_2 = \frac{1.2m \times 1.44v^2}{1.2r} = 1.44 \frac{mv^2}{r} = 1.44 F_1$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_2 - F_1 = 1.44 F_1 - F_1 = 0.44 F_1$ છે.
ટકાવારીમાં ફેરફાર $\frac{\Delta F}{F_1} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ થાય.
આમ,બળમાં $44 \%$ નો વધારો કરવો જરૂરી છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ કણની ગતિમાં,કણ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે સંરક્ષી બળ છે.
કણ પર કોઈ બિન-સંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા હવાનો અવરોધ) લાગતા ન હોવાથી,ગતિ દરમિયાન સિસ્ટમની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,માર્ગ પરના વિવિધ સ્થાનો પર કુલ ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.

(D) કોણીય સ્થાનાંતર માટેના પરિભ્રમણીય ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$\omega_0 = 0$,તેથી:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$
સમય $t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}} \quad ...(i)$
$\theta$ જેટલા કોણીય સ્થાનાંતર માટે કણ દ્વારા કાપેલું રેખીય અંતર (ચાપની લંબાઈ):
$s = r \theta \quad ...(ii)$
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય. નાના સ્થાનાંતર $\theta$ માટે,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય આશરે ચાપની લંબાઈ $s$ જેટલું થાય છે:
$V_{\text{average}} = \frac{s}{t} = \frac{r \theta}{\sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}}}$
$V_{\text{average}} = r \theta \cdot \sqrt{\frac{\alpha}{2 \theta}} = r \sqrt{\frac{\alpha \theta^2}{2 \theta}} = \frac{r}{\sqrt{2}} \sqrt{\alpha \theta}$

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતી વસ્તુનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ સૂત્ર $a_c = \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi n$ છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે.
આ કિંમતને કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_c = (2 \pi n)^2 R$
$a_c = 4 \pi^2 n^2 R$
આપણને પ્રતિ એકમ ત્રિજ્યા દીઠ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે,જે $\frac{a_c}{R}$ છે.
$\frac{a_c}{R} = 4 \pi^2 n^2$
આ પદની $(n)^x$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પદ $n^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$x$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(D) કોણીય ઝડપ $\omega$ ને એકમ સમયમાં કપાતા ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બંને પદાર્થો સમાન સમય $t$ માં એક પરિભ્રમણ ($2\pi$ રેડિયન) પૂર્ણ કરતા હોવાથી,તેમની કોણીય ઝડપ સમાન છે: $\omega_1 = \omega_2 = \frac{2\pi}{t}$.
રેખીય ઝડપ $v$ એ કોણીય ઝડપ $\omega$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે $v = r\omega$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $v_1 = r_1\omega_1$.
બીજા પદાર્થ માટે: $v_2 = r_2\omega_2$.
$m_2$ ની રેખીય ઝડપનો $m_1$ ની રેખીય ઝડપ સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_2\omega_2}{r_1\omega_1}$ થાય.
$\omega_1 = \omega_2$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_2}{r_1}$ મળે છે.

(D) વોચ ગ્લાસમાં દોલન કરતો નાનો ગોળો સાદા લોલક તરીકે વર્તે છે.
આ સમતુલ્ય લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L$ એ વોચ ગ્લાસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે કે,$R = 1.6 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$.
સાદા લોલકના આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$.
$T = 2\pi \sqrt{0.16}$.
$T = 2\pi \times 0.4$.
$T = 0.8\pi \ s$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(a)$ માટે: અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq,a} = K$ છે. તેથી,$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.
આકૃતિ $(b)$ માટે: બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $\frac{1}{K_{eq,b}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ છે,તેથી $K_{eq,b} = \frac{K}{2}$. તેથી,$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$.
આકૃતિ $(c)$ માટે: બે સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq,c} = K + K = 2K$ છે. તેથી,$T_c = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$.
પરિણામોની સરખામણી કરતા: $T_b = \sqrt{2} T_a$ અને $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$.
આથી,$T_b = \sqrt{2} (\sqrt{2} T_c) = 2 T_c$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) જ્યારે $500 \ g$ નું દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલું દળ $m = (100 + 300) \ g = 400 \ g = 0.4 \ kg$ થાય છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T = 2 \ s$,તેથી $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{2 \pi}{\sqrt{k}} = \frac{2}{\sqrt{0.4}} \quad \dots (i)$.
જ્યારે $300 \ g$ નું દળ પણ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલું દળ $m' = 100 \ g = 0.1 \ kg$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{0.1}{k}}$ છે.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $T' = \left( \frac{2 \pi}{\sqrt{k}} \right) \sqrt{0.1} = \left( \frac{2}{\sqrt{0.4}} \right) \sqrt{0.1} = 2 \sqrt{\frac{0.1}{0.4}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \ s$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$ થશે.
જ્યારે $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = 2k$ થાય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1 = k$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,દળને સ્પ્રિંગના એક ભાગ સાથે લટકાવવામાં આવે છે,તેથી નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_2 = 2k$ છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) જ્યારે પ્રવાહીના સ્તંભને એક બાજુ '$y$' જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, ત્યારે બીજી બાજુ પ્રવાહીનું સ્તર '$y$' જેટલું ઊંચું જાય છે. આમ, બંને ભુજાઓમાં પ્રવાહીના સ્તર વચ્ચેનો કુલ તફાવત '$2y$' થાય છે.
આ વધારાના પ્રવાહી સ્તંભનું વજન પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -(\text{કદ} \times \text{ઘનતા} \times g) = -(A \times 2y \times d \times g) = -2Adgy$.
ચૂકવણી $F = Ma$ હોવાથી, જ્યાં '$M$' એ પ્રવાહીનું કુલ દળ છે, આપણને $Ma = -2Adgy$ મળે છે.
તેથી, પ્રવેગ $a = -(\frac{2Adg}{M})y$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 y$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\omega^2 = \frac{2Adg}{M}$ મળે છે.
આવર્તકાળ '$T$' નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2Adg}}$ થાય છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક દળ $m$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 3 \ s$ છે:
$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies \frac{9}{4 \pi^2} = \frac{m}{k} \implies k = \frac{4 \pi^2 m}{9} \quad \dots (i)$
જ્યારે દળમાં $0.6 \ kg$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવું દળ $m' = m + 0.6$ અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = 3 + 3 = 6 \ s$ થાય છે:
$6 = 2 \pi \sqrt{\frac{m + 0.6}{k}} \implies 3 = \pi \sqrt{\frac{m + 0.6}{k}} \implies 9 = \pi^2 \frac{m + 0.6}{k} \implies \frac{9}{\pi^2} = \frac{m + 0.6}{k} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{9 / \pi^2}{9 / 4 \pi^2} = \frac{(m + 0.6) / k}{m / k}$
$4 = \frac{m + 0.6}{m}$
$4m = m + 0.6$
$3m = 0.6$
$m = 0.2 \ kg$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$T \propto \sqrt{l}$ હોવાથી,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ થાય.
આવર્તકાળમાં $20 \%$ નો વધારો થતો હોવાથી,નવો આવર્તકાળ $T_2 = T_1 + 0.20 T_1 = 1.2 T_1$ થશે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = 1.2$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \frac{l_2}{l_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{l_2}{l_1} = (1.2)^2 = 1.44$ થાય.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E_x = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $x = \sqrt{\frac{2 E_x}{k}}$.
તે જ રીતે,$y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E_y = \frac{1}{2} ky^2$ છે,જે આપણને $y = \sqrt{\frac{2 E_y}{k}}$ આપે છે.
$(x+y)$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E_0 = \frac{1}{2} k(x+y)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $E_0 = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy)$ મળે છે.
$x^2$,$y^2$ અને $xy$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = \frac{1}{2} k \left( \frac{2 E_x}{k} + \frac{2 E_y}{k} + 2 \sqrt{\frac{2 E_x}{k}} \sqrt{\frac{2 E_y}{k}} \right)$.
$E_0 = \frac{1}{2} k \left( \frac{2 E_x}{k} + \frac{2 E_y}{k} + \frac{4 \sqrt{E_x E_y}}{k} \right)$.
$E_0 = E_x + E_y + 2 \sqrt{E_x E_y}$.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે જેનો કંપવિસ્તાર $A$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ હોય,તેનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_B = m)$ અને મહત્તમ વેગ સમાન છે $(v_{max,A} = v_{max,B})$,તેથી $A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$,તેથી $A_1 \sqrt{\frac{K_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{K_2}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$A_1^2 \frac{K_1}{m} = A_2^2 \frac{K_2}{m}$.
સાદુરૂપ આપતા,$A_1^2 K_1 = A_2^2 K_2$.
તેથી,$B$ ના કંપવિસ્તાર $(A_2)$ અને $A$ ના કંપવિસ્તાર $(A_1)$ નો ગુણોત્તર $\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} kx^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $x_1 = 3 \ cm$ અને પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા = $U$.
નવું સ્થાનાંતર $x_2 = 9 \ cm$.
કારણ કે $U \propto x^2$,તેથી ગુણોત્તર:
$\frac{U'}{U} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$
$\frac{U'}{U} = \left(\frac{9}{3}\right)^2 = (3)^2 = 9$
તેથી,નવી સ્થિતિ ઉર્જા $U' = 9 U$ થશે.

(A) દોલનોની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
અહીં $\omega = 2 \pi n$ હોવાથી,$E \propto n^2 A^2$ થાય.
આપેલ છે કે $X$ અને $Y$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઊર્જા સમાન છે,તેથી:
$n_X^2 A_X^2 = n_Y^2 A_Y^2$.
આપેલ કિંમતો $n_X = n$,$A_X = A$,અને $n_Y = \frac{n}{3}$ મૂકતા:
$n^2 A^2 = (\frac{n}{3})^2 A_Y^2$.
$n^2 A^2 = \frac{n^2}{9} A_Y^2$.
$A^2 = \frac{A_Y^2}{9}$.
$A_Y^2 = 9 A^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $A_Y = 3 A$ મળે છે.

(A) પરિપથનો પ્રારંભિક અવરોધ $G$ છે. જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં $S$ અવરોધ જોડવામાં આવે,ત્યારે સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{GS}{G+S}$ થાય છે.
મુખ્ય પ્રવાહ અપરિવર્તિત રાખવા માટે,પરિપથનો કુલ અવરોધ પ્રારંભિક અવરોધ $G$ જેટલો જ રહેવો જોઈએ. ધારો કે શ્રેણીમાં જોડવાનો જરૂરી અવરોધ $S'$ છે.
આમ,કુલ અવરોધ $R_{total} = R_p + S' = G$ થશે.
$R_p$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{GS}{G+S} + S' = G$
$S' = G - \frac{GS}{G+S}$
$S' = \frac{G(G+S) - GS}{G+S}$
$S' = \frac{G^2 + GS - GS}{G+S}$
$S' = \frac{G^2}{S+G}$

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં,કોષનું $E.M.F.$ તેની સંતુલન લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto l$ અથવા $E = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
પ્રથમ કોષ માટે,$E_1 = kl_1$.
જ્યારે બે કોષોને વિરોધમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક $E.M.F.$ $(E_1 - E_2)$ થાય છે. નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ હોવાથી,$(E_1 - E_2) = kl_2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $E_1 l_2 = l_1 E_1 - l_1 E_2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા: $l_1 E_2 = E_1 (l_1 - l_2)$.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_1 - l_2}$.

(A) વોલ્ટમીટરની પ્રારંભિક રેન્જ $V$ છે અને તેનો અવરોધ $G$ છે. વોલ્ટમીટરમાંથી વહી શકતો મહત્તમ પ્રવાહ $I = \frac{V}{G}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેન્જને $V' = nV$ સુધી વધારવા માટે, આપણે વોલ્ટમીટર સાથે શ્રેણીમાં $R$ અવરોધ જોડવો પડશે.
પરિપથનો નવો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + G$ થશે.
વોલ્ટમીટરના પૂર્ણ-સ્કેલ વિચલન માટે પ્રવાહ $I$ સમાન રહે છે.
તેથી, $V' = I(R + G)$.
$V' = nV$ અને $I = \frac{V}{G}$ મૂકતા, આપણને મળે છે:
$nV = \frac{V}{G}(R + G)$.
બંને બાજુ $V$ વડે ભાગતા, $n = \frac{R+G}{G}$ મળે છે.
$nG = R + G$.
$R = nG - G = (n-1)G$.
આમ, શ્રેણીમાં જોડવા પડતો અવરોધ $(n-1)G$ છે.

(D) જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરને સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે ત્યારે તેની પ્રવાહ ક્ષમતા $n$ ના અવયવથી વધે છે. આ સંબંધ $S = \frac{G}{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $S = \frac{G}{n-1} \implies G = S(n-1)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $S^{\prime} = \frac{G}{n^{\prime}-1} \implies G = S^{\prime}(n^{\prime}-1)$.
$G$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $S(n-1) = S^{\prime}(n^{\prime}-1)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $Sn - S = S^{\prime}n^{\prime} - S^{\prime}$.
$n^{\prime}$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $S^{\prime}n^{\prime} = Sn - S + S^{\prime}$.
તેથી,$n^{\prime} = \frac{S(n-1) + S^{\prime}}{S^{\prime}}$.

(D) પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{total}}{R_{total}} = \frac{2}{R + 495}$ છે.
આપેલ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\phi = 0.2 \ mV/cm = 0.02 \ V/m$ છે.
$L = 1 \ m$ લંબાઈના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R = \phi \times L$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2R}{R + 495} = 0.02 \times 1$.
$2R = 0.02(R + 495)$.
$2R = 0.02R + 9.9$.
$1.98R = 9.9$.
$R = \frac{9.9}{1.98} = 5 \ \Omega$.

(D) $G$ અવરોધ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહ ક્ષમતાને $n$ ના અવયવથી વધારવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધ $s$ નું સૂત્ર છે: $s = \frac{G}{n-1}$.
આના પરથી,આપણે ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $G = s(n-1) \dots (i)$.
જ્યારે તે જ ગેલ્વેનોમીટરને $s_1$ અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી પ્રવાહ ક્ષમતાનો અવયવ $n_1$ આ મુજબ મળે છે: $s_1 = \frac{G}{n_1-1}$.
$n_1$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $n_1 - 1 = \frac{G}{s_1}$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 = \frac{G}{s_1} + 1 = \frac{G + s_1}{s_1}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $G$ ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$n_1 = \frac{s(n-1) + s_1}{s_1}$.

(B) ધારો કે મુખ્ય પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ છે. ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g = 0.04I$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - 0.04I = 0.96I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_g G = I_s S$
$0.04I \times G = 0.96I \times 5$
$G = \frac{0.96 \times 5}{0.04}$
$G = 24 \times 5 = 120 \Omega$
આમ,ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $120 \Omega$ છે.

(C) ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટર અથવા મિલિવોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે તેની સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવામાં આવે છે. ઉપકરણનો કુલ અવરોધ $R_{total} = G + R$ છે,જ્યાં $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે. માપવામાં આવતો વોલ્ટેજ $V = I_g(G + R)$ છે,જ્યાં $I_g$ એ પૂર્ણ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન કરંટ છે. મિલિવોલ્ટમીટર માટે,પૂર્ણ-સ્કેલ વોલ્ટેજ $V$ એ વોલ્ટમીટર કરતા ઘણો ઓછો હોય છે. કારણ કે $V = I_g(G + R)$ અને સમાન ગેલ્વેનોમીટર માટે $I_g$ અચળ છે,તેથી નાનો $V$ મેળવવા માટે કુલ અવરોધ $(G + R)$ ઓછો હોવો જોઈએ. તેથી,મિલિવોલ્ટમીટર માટે શ્રેણી અવરોધ $R$ એ વોલ્ટમીટરના શ્રેણી અવરોધ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.

(D) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના e.m.f. ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E = k \cdot l$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષોને સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 + E_2 = k \cdot l_1$ થાય છે.
અહીં $l_1 = 80 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E_1 + E_2 = 80k$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે $E_2$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક e.m.f. $E_1 - E_2 = k \cdot l_2$ થાય છે.
અહીં $l_2 = 20 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $E_1 - E_2 = 20k$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{80k}{20k} = \frac{4}{1}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{4 + 1}{4 - 1}$.
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{5}{3}$ અથવા $5 : 3$.

(B) ધારો કે મુખ્ય પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g$ છે.
આપેલ છે કે $I_g = 0.25 \% \text{ of } I = \frac{0.25}{100} I = \frac{1}{400} I$.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - \frac{1}{400} I = \frac{399}{400} I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_g G = I_s S$
$\left( \frac{1}{400} I \right) G = \left( \frac{399}{400} I \right) S$
$S = \frac{G}{399}$.
એમીટરનો કુલ અવરોધ $R$ એ $G$ અને $S$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે:
$R = \frac{G S}{G + S} = \frac{G \left( \frac{G}{399} \right)}{G + \frac{G}{399}} = \frac{\frac{G^2}{399}}{\frac{400 G}{399}} = \frac{G}{400}$.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 100 \Omega$ છે અને તેની લંબાઈ $L = 3 \text{ m}$ છે.
સૌ પ્રથમ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ શોધો: $I = \frac{V}{R} = \frac{6 \text{ V}}{100 \Omega} = 0.06 \text{ A}$.
તારના એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{R}{L} = \frac{100 \Omega}{3 \text{ m}}$ છે.
$l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$ લંબાઈના ભાગ માટે,અવરોધ $R'$ એ $R' = \lambda \times l = \frac{100}{3} \times 0.5 = \frac{50}{3} \Omega$ થશે.
આ ભાગ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ એ $V' = I \times R' = \left( \frac{6}{100} \right) \times \left( \frac{50}{3} \right) = \frac{300}{300} = 1 \text{ V}$ થશે.

(C) કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $r = R \left( \frac{l_0 - l}{l} \right)$,જ્યાં $l_0$ એ ઓપન સર્કિટમાં સંતુલન લંબાઈ છે અને $l$ એ $R$ અવરોધ સાથે શન્ટ કરેલી સંતુલન લંબાઈ છે.
કિસ્સો $1$: $R_1 = 5 \ \Omega$,$l_1 = 150 \ cm$.
$r = 5 \left( \frac{l_0 - 150}{150} \right) = \frac{l_0 - 150}{30} \quad \dots (1)$
કિસ્સો $2$: $R_2 = 10 \ \Omega$,$l_2 = 150 + 25 = 175 \ cm$.
$r = 10 \left( \frac{l_0 - 175}{175} \right) = \frac{2(l_0 - 175)}{35} \quad \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{l_0 - 150}{30} = \frac{2(l_0 - 175)}{35}$
$\frac{l_0 - 150}{6} = \frac{2(l_0 - 175)}{7}$
$7(l_0 - 150) = 12(l_0 - 175)$
$7l_0 - 1050 = 12l_0 - 2100$
$5l_0 = 1050$
$l_0 = 210 \ cm$.

(C) ધારો કે મુખ્ય પ્રવાહ $I$ છે। ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = 20\% \text{ of } I = 0.2 I$ છે।
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી, તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે।
$I_g G = I_s S$
જ્યાં $G = 80 \Omega$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $S = 20 \Omega$ એ શંટ અવરોધ છે।
શંટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_s = I - I_g = I - 0.2 I = 0.8 I$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$0.2 I \times 80 = 0.8 I \times 20$
$16 I = 16 I$
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ માહિતી મુજબ પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય કોઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ આપેલા વિકલ્પો મુજબ $1 \text{ A}$ એ યોગ્ય ઉત્તર છે।

(D) એમીટર ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં ઓછો અવરોધ (શંટ) જોડીને બનાવવામાં આવે છે,જેના પરિણામે એકંદર અવરોધ ખૂબ જ ઓછો હોય છે.
વોલ્ટમીટર ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ જોડીને બનાવવામાં આવે છે,જેના પરિણામે એકંદર અવરોધ ખૂબ જ વધારે હોય છે.
વોલ્ટમીટરની રેન્જ વધારવા માટે,શ્રેણી અવરોધને વધુ વધારવો પડે છે.
તેથી,કોઈપણ એમીટરની તુલનામાં ઉચ્ચ વોલ્ટેજ રેન્જ ધરાવતા વોલ્ટમીટરનો અવરોધ નોંધપાત્ર રીતે વધારે હશે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$10 \ V$ રેન્જ ધરાવતા વોલ્ટમીટરનો અવરોધ સૌથી વધુ હશે.

(A) ધારો કે ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $I_g$ છે.
જ્યારે $R_1 = 100 \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે રેન્જ $V = I_g(G + 100)$ થાય છે.
જ્યારે $R_2 = 1000 \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે રેન્જ $2V = I_g(G + 1000)$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{2V}{V} = \frac{I_g(G + 1000)}{I_g(G + 100)}$
$2 = \frac{G + 1000}{G + 100}$
$2(G + 100) = G + 1000$
$2G + 200 = G + 1000$
$G = 1000 - 200 = 800 \Omega$.
આમ,$G$ નું મૂલ્ય $800 \Omega$ છે.

(D) $G$ અવરોધ અને ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન કરંટ $I_g$ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટર સાથે $R_s$ શ્રેણી અવરોધ જોડતા મળતી વોલ્ટેજ રેન્જ $V = I_g(G + R_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$V = I_g(G + 200) \implies \frac{V}{I_g} = G + 200$ ....$(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,રેન્જ ત્રણ ગણી $(3V)$ થાય છે,તેથી $3V = I_g(G + 2000) \implies \frac{3V}{I_g} = G + 2000$ ....(ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\frac{V}{I_g} = G + 200$ મળે છે. આ કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$3(G + 200) = G + 2000$
$3G + 600 = G + 2000$
$2G = 1400$
$G = 700 \Omega$.

(A) $G$ અવરોધ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટરને $I$ રેન્જના એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધ $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
એમીટર માટે,રેન્જ $I$ મોટી હોય છે,જે છેદ $(I - I_g)$ ને મોટો બનાવે છે,પરિણામે શંટ અવરોધ $S$ ખૂબ જ નાનો મળે છે.
મિલિએમીટર માટે,રેન્જ $I$ નાની (મિલિએમ્પીયર રેન્જમાં) હોય છે,જે છેદ $(I - I_g)$ ને નાનો બનાવે છે,પરિણામે શંટ અવરોધ $S$ પ્રમાણમાં મોટો મળે છે.
તેથી,એમીટરનો શંટ અવરોધ મિલિએમીટર કરતા ઓછો હોય છે.

(D) ધારો કે મધ્ય નોડ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. કિર્ચોફના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $1$ માટે: $28 I_1 + 6 + 8 = 0 \implies 28 I_1 = -14 \implies I_1 = -0.5 \ A$.
લૂપ $2$ માટે: $54 I_2 + 6 + 12 = 0 \implies 54 I_2 = -18 \implies I_2 = -1/3 \ A$.
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ: $I_3 = I_1 + I_2 = -0.5 + (-1/3) = -1/2 - 1/3 = -5/6 \ A$.

(C) જંકશન $B$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે વિભાગ $AB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે.
$KCL$ મુજબ, જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ ઉકેલ મુજબ, $I = 2.5 \ A$ છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = X + 2 \ \Omega$ છે.
પાવર $P = I^2 R_{eq} = 50 \ W$ છે.
તેથી, $50 = (2.5)^2 (X + 2)$.
$50 = 6.25 (X + 2)$.
$X + 2 = 50 / 6.25 = 8$.
$X = 8 - 2 = 6 \ \Omega$.

(D) આ પરિપથમાં બે બેટરીઓ વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી છે અને એક અવરોધ શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનું સમતુલ્ય વિદ્યુતચાલક બળ $(V_{eq})$ એ બંને વોલ્ટેજનો તફાવત છે કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલ છે:
$V_{eq} = 100 \ V - 5 \ V = 95 \ V$
પરિપથમાં કુલ અવરોધ $(R)$ $19 \ \Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V_{eq}}{R}$
$I = \frac{95 \ V}{19 \ \Omega} = 5 \ A$
તેથી,પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $5 \ A$ છે.

(D) પ્રવાહના માર્ગ પર બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - I R_1 - E - I R_2 = V_B$
અહીં પ્રવાહ $I = 2 \text{ A}$,અવરોધ $R_1 = 2 \text{ } \Omega$,$EMF$ $E = 3 \text{ V}$,અને અવરોધ $R_2 = 1 \text{ } \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_A - (2 \times 2) - 3 - (2 \times 1) = V_B$
$V_A - 4 - 3 - 2 = V_B$
$V_A - 9 = V_B$
$V_A - V_B = 9 \text{ V}$

(C) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં પ્રવેશતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ સંપૂર્ણ નેટવર્ક માટે,સિસ્ટમમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $2 \ A + 4 \ A = 6 \ A$ છે.
સિસ્ટમમાંથી બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ $1 \ A + 2 \ A + I$ છે.
આવતા અને જતા કુલ પ્રવાહને સરખાવતા:
$2 + 4 = 1 + 2 + I$
$6 = 3 + I$
$I = 6 - 3 = 3 \ A$.

(B) કિરચોફનો બીજો નિયમ,જેને કિરચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે સર્કિટના કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસના તમામ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સ્ત્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ કુલ ઊર્જા એ સર્કિટમાં ઘટકો દ્વારા વપરાતી કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે.
આ પ્રક્રિયામાં ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થતો નથી,તેથી કિરચોફનો બીજો નિયમ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(A) કિરચોફના પ્રથમ નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
જંકશન $A$ પર,દાખલ થતા પ્રવાહો $1 \ A$ અને $4 \ A$ છે. તેથી,જંકશન $A$ માંથી જંકશન $B$ તરફ જતો પ્રવાહ $I_{AB} = 1 \ A + 4 \ A = 5 \ A$ થશે.
જંકશન $B$ પર,દાખલ થતો પ્રવાહ $I_{AB} = 5 \ A$ છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહો $0.5 \ A$ અને જંકશન $C$ તરફ જતો પ્રવાહ $(I_{BC})$ છે. તેથી,$5 \ A = 0.5 \ A + I_{BC}$,જે આપણને $I_{BC} = 4.5 \ A$ આપે છે.
જંકશન $C$ પર,દાખલ થતો પ્રવાહ $I_{BC} = 4.5 \ A$ છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહો $I$ અને $1 \ A$ છે. તેથી,$4.5 \ A = I + 1 \ A$,જે આપણને $I = 3.5 \ A$ આપે છે.

(D) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ શોધવા માટે,આપણે $A$ થી $B$ સુધીના માર્ગ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 3 \text{ A}$ એ $4 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થાય છે,જેના કારણે $I \times R = 3 \times 4 = 12 \text{ V}$ નો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો થાય છે.
ત્યારબાદ,આપણે $5 \text{ V}$ ની બેટરીને ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ પસાર કરીએ છીએ,જે $5 \text{ V}$ નો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો દર્શાવે છે.
અંતે,વિદ્યુતપ્રવાહ $2 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થાય છે,જેના કારણે $I \times R = 3 \times 2 = 6 \text{ V}$ નો સ્થિતિમાનનો ઘટાડો થાય છે.
આમ,સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$V_A - (3 \times 4) - 5 - (3 \times 2) = V_B$
$V_A - 12 - 5 - 6 = V_B$
$V_A - V_B = 12 + 5 + 6$
$V_A - V_B = 23 \text{ V}$

(B) મીટર બ્રિજમાં, સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R = 40 \Omega$ અને $S = 60 \Omega$ છે.
ધારો કે નલ પોઈન્ટ ડાબા છેડાથી $x$ અંતરે છે. તેથી $l_1 = x$ અને $l_2 = 100 - x$ થાય.
$\frac{40}{60} = \frac{x}{100 - x}$
$\frac{2}{3} = \frac{x}{100 - x}$
$200 - 2x = 3x$
$5x = 200 \implies x = 40 \text{ cm}$.
તારનું કેન્દ્ર $50 \text{ cm}$ પર છે.
કેન્દ્રથી નલ પોઈન્ટનું અંતર $|50 - 40| = 10 \text{ cm}$ ડાબી તરફ મળે છે.

(C) પ્રથમ કિસ્સામાં, અવરોધો $R = 10 \Omega$ અને $S = 30 \Omega$ છે. મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies 100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \text{ cm}$.
બીજા કિસ્સામાં, અવરોધોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે, તેથી $R' = 30 \Omega$ અને $S' = 10 \Omega$.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R'}{S'} = \frac{l_2}{100 - l_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{30}{10} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies 3(100 - l_2) = l_2 \implies 300 - 3l_2 = l_2 \implies 4l_2 = 300 \implies l_2 = 75 \text{ cm}$.
તટસ્થ બિંદુમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta l = l_2 - l_1 = 75 \text{ cm} - 25 \text{ cm} = 50 \text{ cm}$ જમણી તરફ થશે.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં,મીટર બ્રિજ માટે સંતુલન શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ છે.
અહીં $R_1 = 2 \Omega$ અને $R_2 = 3 \Omega$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \text{ cm}$.
બીજા કિસ્સામાં,$3 \Omega$ સાથે સમાંતરમાં $X$ શંટ જોડવામાં આવે છે. નવો અવરોધ $R_2' = \frac{3X}{3+X}$ થશે.
નલ પોઈન્ટ $22.5 \text{ cm}$ ખસે છે. ધારો કે તે જમણી તરફ ખસે છે,તો નવી સંતુલન લંબાઈ $l' = 40 + 22.5 = 62.5 \text{ cm}$ થશે.
નવી સંતુલન શરત $\frac{2}{R_2'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ છે.
$R_2'$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{2(3+X)}{3X} = \frac{5}{3}$.
$6 + 2X = 5X \implies 3X = 6 \implies X = 2 \Omega$.

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે,જ્યાં $S$ એ ચોથી ભુજાનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
આપેલ સર્કિટમાં,ચોથી ભુજામાં બે અવરોધો $S_1$ અને $S_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $S$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{S} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{S_1+S_2}{S_1 S_2}$.
તેથી,$S = \frac{S_1 S_2}{S_1+S_2}$.
આ કિંમતને સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1+S_2}\right)} = \frac{R(S_1+S_2)}{S_1 S_2}$.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,મીટર બ્રિજની સંતુલન સ્થિતિ: $\frac{R}{l_1} = \frac{S}{100-l_1} \implies R = S \frac{l_1}{100-l_1}$.
બીજા કિસ્સામાં,$X$ ને $S$ સાથે સમાંતરમાં જોડતા,સમતુલ્ય અવરોધ $S' = \frac{XS}{X+S}$ થાય.
નવી સંતુલન સ્થિતિ: $\frac{R}{l_2} = \frac{S'}{100-l_2} = \frac{XS}{(X+S)(100-l_2)}$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $R$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{S l_1}{(100-l_1) l_2} = \frac{XS}{(X+S)(100-l_2)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{l_1}{l_2(100-l_1)} = \frac{X}{(X+S)(100-l_2)} \implies \frac{X+S}{X} = \frac{l_2(100-l_1)}{l_1(100-l_2)}$.
$1 + \frac{S}{X} = \frac{l_2(100-l_1)}{l_1(100-l_2)} \implies \frac{S}{X} = \frac{l_2(100-l_1) - l_1(100-l_2)}{l_1(100-l_2)} = \frac{100(l_2-l_1)}{l_1(100-l_2)}$.
તેથી,$X = \frac{S l_1(100-l_2)}{100(l_2-l_1)}$.

(C) આપેલ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ છે,જેનો અર્થ છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી અને ઉપરની તથા નીચેની શાખાઓના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eff}}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{8+4} + \frac{1}{10+5} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} \ \Omega^{-1}$
$R_{\text{eff}} = \frac{20}{3} \ \Omega \approx 6.67 \ \Omega$
પરિપથનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC}$ છે:
$V_{AC} = I \times R_{\text{eff}} = 4 \ \text{A} \times \frac{20}{3} \ \Omega = \frac{80}{3} \ \text{V} \approx 26.67 \ \text{V}$
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,$B$ અને $D$ બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે. ઉપરની શાખા $(A-B-C)$ માંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I_{upper} = \frac{V_{AC}}{R_{AB} + R_{BC}} = \frac{80/3}{8+4} = \frac{80/3}{12} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9} \ \text{A} \approx 2.22 \ \text{A}$
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_{AB} = I_{upper} \times R_{AB} = \frac{20}{9} \ \text{A} \times 8 \ \Omega = \frac{160}{9} \ \text{V} \approx 17.78 \ \text{V}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$V_{AB} \approx 18 \ \text{V}$ મળે છે.

(C) આપેલ સર્કિટને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
ધારો કે અવરોધો $R_1 = 6 \ \Omega$,$R_2 = 6 \ \Omega$,$R_3 = 4 \ \Omega$,$R_4 = 4 \ \Omega$ છે અને વચ્ચેનો અવરોધ $R_5 = 10 \ \Omega$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ છે.
અહીં,$\frac{6}{4} = 1.5$ અને $\frac{6}{4} = 1.5$ છે.
જેથી $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને $10 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધો છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ $R_{up} = 6 \ \Omega + 4 \ \Omega = 10 \ \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો અવરોધ $R_{low} = 6 \ \Omega + 4 \ \Omega = 10 \ \Omega$ છે.
સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$R_{eq} = 5 \ \Omega$.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \ V}{5 \ \Omega} = 2.4 \ A$ છે.

(D) ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{hc}{E}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ થાય.
હવે,તરંગલંબાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \left( \frac{hc}{E} \right) \times \left( \frac{\sqrt{2mE}}{h} \right)$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$ મળે છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગ $v$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto \frac{1}{n})$.
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,આપણને $p \propto \frac{1}{n}$ મળે છે.
આને ડી-બ્રોગ્લી સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{p} \propto n$ મળે છે.
ધરા અવસ્થા $n = 1$ ને અનુરૂપ છે. ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ ને અનુરૂપ છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ $1$ થી વધીને $4$ થાય છે,તેમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માં વધારો થશે.

(B) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mE}$.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
જો ગતિઊર્જામાં $2$ ગણો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $E' = E + 2E = 3E$ થશે.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(3E)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \lambda$ થશે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ના અવયવથી બદલાશે.

(B) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આ સૂચવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_1$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2 = 4V_1$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર આ મુજબ છે: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
$V_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{4V_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ તેની પ્રારંભિક કિંમત કરતા અડધી થઈ જાય છે.

(B) $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_3 = a_0 \times 3^2 = 9 a_0$ થાય.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
વેગમાન $mv$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$mv = \frac{nh}{2\pi r}$ મળે.
$n=3$ અને $r=9a_0$ કિંમતો મૂકતા:
$mv = \frac{3h}{2\pi(9a_0)} = \frac{h}{6\pi a_0}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
$mv$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{h / (6\pi a_0)} = 6\pi a_0$.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_1 = V$ અને અંતિમ સ્થિતિમાન $V_2 = 2V$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$ થાય.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના અવયવથી ઘટશે.

(B) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \implies \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$
અહીં પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_1 = 16 \ kV$ અને અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2 = 64 \ kV$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{16}{64}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જશે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી, આપણને $p \propto \frac{1}{n}$ મળે છે。
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
વેગમાન માટેના પ્રમાણસરતાના સંબંધને મૂકતા, આપણને $\lambda \propto n$ મળે છે。
જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જાય છે, તેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે。
તેથી, ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધશે.

(D) પ્રોટોન માટે,ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $m$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
આથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mE}$ થાય.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તેથી,ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ થાય.
હવે,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right) \times \left( \frac{E}{hc} \right) = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{1}{c\sqrt{2m}} \right) E^{1/2}$ મળે છે.
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 1/2 = 0.5$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
ધાતુ $A$ માટે: $K_{A} = hf - \phi_A$
ધાતુ $B$ માટે: $K_{B} = h(2f) - \phi_B = 2hf - \phi_B$
વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\phi_B = 2\phi_A$.
આ કિંમત $K_B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $K_B = 2hf - 2\phi_A = 2(hf - \phi_A)$.
હવે,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{hf - \phi_A}{2(hf - \phi_A)} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = eV$ $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = e\left(\frac{V}{6}\right)$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}} = \frac{eV}{eV/6} = 6$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 6 \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{2}{\lambda} - \frac{6}{\lambda_0}$
$\frac{6}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{2}{\lambda} - \frac{1}{\lambda}$
$\frac{5}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda}$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(C) ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$(K.E.)_{\max} = e V_s$
અહીં આપેલ છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 10 \ V$ અને ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(K.E.)_{\max} = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10 \ V)$
$(K.E.)_{\max} = 1.6 \times 10^{-18} \ J$
આમ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $1.6 \times 10^{-18} \ J$ છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા એ એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
કારણ કે પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અને આપેલી આવૃત્તિ માટે,દરેક ફોટોનની ઉર્જા અચળ $(E = hv)$ હોય છે,તેથી તીવ્રતા એ આપાત ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જો આવૃત્તિ $v$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0$ કરતા વધારે હોય,તો ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $k$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k = h\nu - E_0$
આના પરથી,વર્ક ફંક્શન $E_0$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$E_0 = h\nu - k$
જ્યારે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ બમણી $(2\nu)$ કરવામાં આવે,ત્યારે ધારો કે નવી મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $k'$ છે. નવું સમીકરણ આ મુજબ થશે:
$k' = h(2\nu) - E_0$
$E_0$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$k' = 2h\nu - (h\nu - k)$
$k' = 2h\nu - h\nu + k$
$k' = h\nu + k$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E_{\max} = h\nu - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W$ એ પદાર્થનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
શરૂઆતમાં,$K_1 = h\nu - W$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $2\nu$ થાય છે. નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_2$ નીચે મુજબ છે:
$K_2 = h(2\nu) - W = 2h\nu - W$.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$K_2 = 2(h\nu - W) + W = 2K_1 + W$.
કારણ કે કાર્ય વિધેય $W$ એ ધન અચળાંક છે,તેથી $K_2 > 2K_1$.
તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા બે ગણા કરતા વધારે હશે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$e V_s = h \nu - \phi$
$V_s = \frac{h}{e} \nu - \frac{\phi}{e}$
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આવૃત્તિ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ (જ્યાં $V_s = 0$ હોય) એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે,જે $\nu_0 = \frac{\phi}{h}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\phi = h \nu_0$.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ધાતુ $X$ માટેની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ એ ધાતુ $Y$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0^{\prime})$ કરતા ઓછી છે,એટલે કે $\nu_0 < \nu_0^{\prime}$.
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $\phi_x < \phi_y$ થાય.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ગતિઊર્જા અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = eV$
$K_{max}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
$\lambda$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\frac{hc}{\lambda} = W_0 + eV$
$\lambda = \frac{hc}{W_0 + eV}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E._{\max} = hF - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Phi = hF_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે આપાત આવૃત્તિ $F = 2F_0$ હોય,
$\frac{1}{2}mV_1^2 = h(2F_0) - hF_0 = hF_0$
કિસ્સો $2$: જ્યારે આપાત આવૃત્તિ $F = 5F_0$ હોય,
$\frac{1}{2}mV_2^2 = h(5F_0) - hF_0 = 4hF_0$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{V_1^2}{V_2^2} = \frac{hF_0}{4hF_0} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$