MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર: $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\theta \propto \lambda$.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 6000 Å$ છે અને પ્રારંભિક કોણીય પહોળાઈ $\theta_1$ છે.
જ્યારે તરંગલંબાઈ બદલીને $\lambda_2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોણીય પહોળાઈ $\theta_2 = \theta_1 - 0.20 \theta_1 = 0.80 \theta_1$ થાય છે.
પ્રમાણસરતા $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{0.80 \theta_1}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{6000 Å}$
$0.80 = \frac{\lambda_2}{6000 Å}$
$\lambda_2 = 0.80 \times 6000 Å = 4800 Å$.

(B) એક સ્લિટની પહોળાઈ $d$ માટે મુખ્ય મહત્તમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\theta = \frac{\lambda}{d} \implies d = \frac{\lambda}{\theta}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $q\theta = \frac{p\lambda}{d'} \implies d' = \frac{p\lambda}{q\theta}$.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta_n = \frac{(2n+1)\lambda}{2d}$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n=1)$ માટે,$\theta_{s1} = \frac{3\lambda}{2d}$ અને $\theta_{s2} = \frac{3(p\lambda)}{2d'}$.
ગુણોત્તર $\frac{\theta_{s1}}{\theta_{s2}} = \frac{3\lambda / 2d}{3p\lambda / 2d'} = \frac{d'}{pd}$ થશે.
$d'$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા,$\frac{\theta_{s1}}{\theta_{s2}} = \frac{p\lambda / q\theta}{p(\lambda / \theta)} = \frac{1}{q}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:q$ છે.

(C) સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાતની રચના માટે,બે પ્રકાશના ઉદગમો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ. સુસંબદ્ધ ઉદગમો એવા ઉદગમો છે જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
જ્યારે એક સ્લિટ લાલ ફિલ્ટરથી અને બીજી વાદળી ફિલ્ટરથી ઢંકાયેલી હોય,ત્યારે તેમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની આવૃત્તિઓ અને તરંગલંબાઇઓ અલગ-અલગ હોય છે.
આવૃત્તિઓ અલગ હોવાને કારણે,પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે ઝડપથી બદલાશે.
પરિણામે,સ્થાયી વ્યતિકરણ ભાત માટેની શરત સંતોષાતી નથી,અને પડદા પર કોઈ વ્યતિકરણ ભાત જોવા મળશે નહીં.

(B) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2}$
આપેલ છે કે $\frac{I_{\max }}{I_{\min }} = \frac{9}{1}$,તેથી:
$\frac{9}{1} = \frac{(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{3}{1} = \frac{\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}) = 1(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})$
$3\sqrt{I_1} - 3\sqrt{I_2} = \sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}$
$2\sqrt{I_1} = 4\sqrt{I_2}$
$\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \frac{4}{2} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$
આમ,પ્રકાશના ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(C) તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે $m^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_m = \frac{(2m-1) \lambda_2 D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે શલાકાઓ સંપાત થાય છે,ત્યારે તેમના સ્થાનો સમાન હોય છે:
$\frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{(2m-1) \lambda_2 D}{2d}$.
બંને બાજુથી $D$ અને $d$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$n \lambda_1 = \frac{(2m-1) \lambda_2}{2}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ શોધવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2m-1}{2n}$.

(A) માધ્યમમાં કિરણની પ્રકાશીય પથ લંબાઈ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક અને કિરણ દ્વારા કાપવામાં આવેલ ભૌમિતિક પથ લંબાઈના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિરણનો પ્રકાશીય પથ = $\mu_1 L_1$.
બીજા કિરણનો પ્રકાશીય પથ = $\mu_2 L_2$.
બે કિરણો વચ્ચેનો પ્રકાશીય પથ તફાવત $\Delta x = |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પ્રકાશીય પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવતનું મૂલ્ય મૂકતા,કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ મળે છે.

(C) બે સંપાત થતા તરંગો જેમના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે અને કળા તફાવત $\phi$ છે,તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ મળે છે: $A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi$.
તરંગો સમાન હોવાથી,$a_1 = a_2 = a$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $A^2 = a^2 + a^2 + 2 a^2 \cos \phi = 2 a^2 (1 + \cos \phi)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\phi/2)$ નો ઉપયોગ કરતા: $A^2 = 2 a^2 (2 \cos^2(\phi/2)) = 4 a^2 \cos^2(\phi/2)$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,આપણને $I \propto \cos^2(\phi/2)$ મળે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કિસ્સો $1$: પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
આપેલ તીવ્રતા $I = x$,તેથી $x = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$.
આમ,$4I_0 = x$.
કિસ્સો $2$: પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
કળા તફાવત $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi'}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I' = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$.
કારણ કે $4I_0 = x$,તેથી $2I_0 = \frac{x}{2}$.
તેથી,તીવ્રતા $\frac{x}{2}$ થશે.

(C) મેલસના નિયમ મુજબ,પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{in} \cos^2 \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ આપાત પ્રકાશની પોલેરાઇઝેશન દિશા અને પોલેરાઇઝરની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
$2$. $P_1$ માંથી આવતો પ્રકાશ હવે $P_1$ ની એક્સિસની સાપેક્ષે $0^{\circ}$ પર પોલેરાઇઝ થયેલ છે. $P_2$ એ $P_1$ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે છે. તેથી,$P_2$ પછીની તીવ્રતા:
$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (0.5)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$.
$3$. $P_2$ માંથી આવતો પ્રકાશ $P_1$ ની સાપેક્ષે $60^{\circ}$ પર પોલેરાઇઝ થયેલ છે. $P_3$ એ $P_1$ ની સાપેક્ષે $90^{\circ}$ પર છે. તેથી $P_2$ માંથી આવતા પ્રકાશ અને $P_3$ ની પાસ એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$4$. $P_3$ પછીની તીવ્રતા:
$I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{8} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{3 I_0}{32}$.

(A) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે, ત્યારે તેની ઝડપ વધે છે $(v_2 > v_1)$.
તરંગની આવૃત્તિ $(f)$ અચળ રહેતી હોવાથી, તરંગલંબાઈ $(\lambda = v/f)$ પણ વધે છે.
ક્રમિક તરંગ અગ્ર વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈ જેટલું હોય છે.
તેથી, જેમ તરંગ અગ્ર ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે, તેમ ક્રમિક તરંગ અગ્ર વચ્ચેની પહોળાઈ (અથવા અંતર) વધે છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) તરંગાગ્ર: માધ્યમના તમામ કણો જે સમાન કળામાં અથવા અચળ કળામાં દોલન કરતા હોય,તેમના બિંદુપથને તરંગાગ્ર કહેવામાં આવે છે.
પ્રકાશના પ્રસરણની દિશા (પ્રકાશનું કિરણ) હંમેશા તરંગાગ્રને લંબ હોય છે.
આપેલ તરંગાગ્ર પરનું દરેક બિંદુ નવી વિક્ષેપના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જેને ગૌણ તરંગો (secondary wavelets) કહેવામાં આવે છે,જે માધ્યમમાં પ્રકાશના વેગ સાથે તમામ દિશાઓમાં ગતિ કરે છે.
કોઈપણ ક્ષણે આગળની દિશામાં આ ગૌણ તરંગોને સ્પર્શતી સપાટી તે ક્ષણે નવું તરંગાગ્ર આપે છે. આને ગૌણ તરંગાગ્ર કહેવામાં આવે છે.

(B) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ ઉત્પન્ન કરે છે.
ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_1 = 2I_2$,આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{2I_2} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{2I_2} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{(\sqrt{I_2}(\sqrt{2} + 1))^2}{(\sqrt{I_2}(\sqrt{2} - 1))^2} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)^2}$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{2 + 1 + 2\sqrt{2}}{2 + 1 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(3 + 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9 + 8 + 12\sqrt{2}}{9 - 8} = 17 + 12\sqrt{2} \approx 33.97 \approx 34$.
આમ,ગુણોત્તર $34:1$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ હોય ત્યારે તીવ્રતા $K$ છે. કારણ કે $\Delta x = \lambda$ એ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ જેટલા કળા તફાવતને અનુરૂપ છે,તેથી $I = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} = K$ મળે છે.
હવે,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય છે.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = K \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = K \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ થશે.
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા,આપણને $I = K \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = K \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3K}{4}$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n$-માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n' = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજું ન્યૂનતમ $(n=2)$ એક સ્લિટની બરાબર સામે જોવા મળે છે,તેથી મધ્યસ્થ અક્ષથી તેનું અંતર $y_2 = \frac{d}{2}$ થાય.
સૂત્રમાં $n=2$ મૂકતા: $\frac{d}{2} = \frac{(2(2)-1) \lambda D}{2d}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{d}{2} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
છેદમાંથી $2$ દૂર કરતા: $d = \frac{3 \lambda D}{d}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{d^2}{3D}$.

(A) આપેલ છે કે આપાત પ્રકાશની કુલ તીવ્રતાના $25 \%$ ઉપરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ હોય,તો પ્રથમ પરાવર્તિત કિરણની તીવ્રતા $I_1 = 0.25 I_0 = \frac{I_0}{4}$ થશે.
પ્લેટની નીચેની સપાટી પર પહોંચતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0 - 0.25 I_0 = 0.75 I_0 = \frac{3}{4} I_0$ છે.
કારણ કે આ તીવ્રતાના $50 \%$ નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે,તેથી બીજા પરાવર્તિત કિરણની તીવ્રતા $I_2 = 0.50 \times \frac{3}{4} I_0 = \frac{3}{8} I_0$ થશે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^2}{\left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2}$
$I_1$ અને $I_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{\left(\sqrt{\frac{I_0}{4}}+\sqrt{\frac{3 I_0}{8}}\right)^2}{\left(\sqrt{\frac{I_0}{4}}-\sqrt{\frac{3 I_0}{8}}\right)^2} = \left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{I_0} + \sqrt{\frac{3}{8}} \sqrt{I_0}}{\frac{1}{2} \sqrt{I_0} - \sqrt{\frac{3}{8}} \sqrt{I_0}}\right)^2 = \left(\frac{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{8}}}{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{3}{8}}}\right)^2$

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{max} = K$ અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = K \cos^2(\frac{\pi/3}{2}) = K \cos^2(\frac{\pi}{6})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $I = K (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = K (\frac{3}{4}) = \frac{3K}{4}$ મળે.

(D) શલાકાની પહોળાઈ $W = \frac{\lambda D}{d} = X$ (આપેલ છે).
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n$ મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = n \frac{\lambda D}{d} = nX$ છે.
ચોથી પ્રકાશિત શલાકા માટે,$y_4 = 4X$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n$ મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y'_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d} = (2n - 1) \frac{X}{2}$ છે.
છઠ્ઠી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$y'_6 = (2(6) - 1) \frac{X}{2} = \frac{11X}{2} = 5.5X$.
શલાકાઓ મધ્યસ્થ પ્રકાશિત પટ્ટાની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,કુલ અંતર તેમના સ્થાનના મૂલ્યોનો સરવાળો થશે:
કુલ અંતર $= y_4 + y'_6 = 4X + 5.5X = 9.5X$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $\lambda$ પથ તફાવત માટે તીવ્રતા $\beta$ છે. $\lambda$ પથ તફાવત માટે કળા તફાવત $\phi = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$ થાય.
તેથી,$\beta = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$.
હવે,$\Delta x = \lambda/3$ પથ તફાવત માટે,કળા તફાવત $\phi = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/3) = 2\pi/3$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2) = \beta \cos^2((2\pi/3)/2) = \beta \cos^2(\pi/3)$ થશે.
કારણ કે $\cos(\pi/3) = 1/2$,તેથી $I = \beta (1/2)^2 = \beta/4$ મળે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $y_1 = \frac{n \lambda_1 D}{d} \quad (i)$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે $(\frac{n}{3})^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $y_2 = \frac{(\frac{n}{3}) \lambda_2 D}{d} \quad (ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{n \lambda_1 D}{d}}{\frac{n \lambda_2 D}{3d}} = \frac{n \lambda_1 D}{d} \times \frac{3d}{n \lambda_2 D} = \frac{3 \lambda_1}{\lambda_2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{y_1}{y_2}$ એ $\frac{3 \lambda_1}{\lambda_2}$ છે.

(C) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$10$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=10)$:
$y_{10} = \frac{10 \lambda D}{d} = \frac{10 \times \lambda \times 1.2}{0.6 \times 10^{-3}} = (20 \times 10^3) \lambda \quad \dots(i)$
$n$-મી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $y'_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$-જી અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=3)$:
$y'_3 = \frac{(2 \times 3 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d} = \frac{5 \times \lambda \times 1.2}{2 \times 0.6 \times 10^{-3}} = (5 \times 10^3) \lambda \quad \dots(ii)$
આપેલ છે કે તેમની વચ્ચેનું અંતર $8.85 \ mm$ છે:
$y_{10} - y'_3 = 8.85 \times 10^{-3} \ m$
$(20 \times 10^3) \lambda - (5 \times 10^3) \lambda = 8.85 \times 10^{-3}$
$(15 \times 10^3) \lambda = 8.85 \times 10^{-3}$
$\lambda = \frac{8.85 \times 10^{-3}}{15 \times 10^3} = 0.59 \times 10^{-6} \ m = 5.9 \times 10^{-7} \ m$
$\lambda = 5900 \ Å$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ સ્લિટ $S_1$ ની બરાબર સામે છે. અંતર $S_1P = D$ અને $S_2P = \sqrt{D^2 + d^2}$ છે.
$S_2P$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S_2P = D(1 + \frac{d^2}{D^2})^{1/2} \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) = D + \frac{d^2}{2D}$.
બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત (path difference) $\Delta x$:
$\Delta x = S_2P - S_1P = (D + \frac{d^2}{2D}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
$n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવતની શરત:
$\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{d^2}{3D}$,આ કિંમત શરતમાં મૂકતા:
$\frac{d^2}{2D} = (2n - 1) \frac{d^2}{6D}$.
બંને બાજુ $\frac{d^2}{D}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} = \frac{2n - 1}{6}$.
$3 = 2n - 1 \Rightarrow 2n = 4 \Rightarrow n = 2$.

(C) મધ્યસ્થ અધિક્તમથી પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર $y_{1d} = \frac{\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\lambda = 5500 \ Å = 5500 \times 10^{-10} \ m$,$D = 2 \ m$,અને $a = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ આવેલા બે ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2 y_{1d} = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 y_{1d} = \frac{2 \times 5500 \times 10^{-10} \times 2}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{22000 \times 10^{-10}}{0.5 \times 10^{-3}} = 44000 \times 10^{-7} \ m = 4.4 \times 10^{-3} \ m = 4.4 \ mm$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{violet} \approx 400 \ nm)$ એ સોડિયમ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{sodium} \approx 589 \ nm)$ કરતા ઘણી ઓછી હોવાથી,જ્યારે સોડિયમ પ્રકાશને બદલે જાંબલી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે શલાકાની પહોળાઈ $W$ ઘટે છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,વિનાશક વ્યતિકરણને કારણે અપ્રકાશિત શલાકાઓ રચાય છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે,પથ તફાવત $\Delta x$ એ અડધી તરંગલંબાઈનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2} = (2n-1) \pi$.
આમ,અપ્રકાશિત શલાકા માટે કળા તફાવત $(2n-1) \pi$ છે.

(B) ધારો કે બે વ્યક્તિગત તરંગોની તીવ્રતા $I_0$ છે. પરિણામી તીવ્રતા $I$ એ $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
- ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\phi = \pi$ હોય,તેથી $I_{min} = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 0$.
- પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/4$ એ કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ ને અનુરૂપ છે.
- આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_1$ એ $I_1 = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 (1/\sqrt{2})^2 = 2I_0$ છે.
- ગુણોત્તર $I_{min} / I_1 = 0 / 2I_0 = 0$ થાય છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર $a_1 = a$ છે અને બીજી સ્લિટમાંથી $a_2 = a$ છે. તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto A^2)$.
શરૂઆતમાં,સમાન પહોળાઈ માટે,કંપવિસ્તાર સમાન છે $(a_1 = a_2 = a)$. ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} \propto (a - a)^2 = 0$ છે,અને મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} \propto (a + a)^2 = 4a^2$ છે.
જ્યારે એક સ્લિટને બમણી પહોળી કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર $a_1 = 2a$ થાય છે,જ્યારે બીજી સ્લિટનો કંપવિસ્તાર $a_2 = a$ રહે છે.
નવી ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min}' \propto (2a - a)^2 = a^2$ છે. $a^2 > 0$ હોવાથી,ન્યૂનતમ તીવ્રતા વધે છે.
નવી મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max}' \propto (2a + a)^2 = 9a^2$ છે. $9a^2 > 4a^2$ હોવાથી,મહત્તમ તીવ્રતા પણ વધે છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બંનેની તીવ્રતા વધે છે.

(B) જ્યારે યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં એક સ્લિટની સામે $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી પ્લેટ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે તે સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશમાં વધારાનો ઓપ્ટિકલ પાથ (અને તેથી કળા તફાવત) ઉમેરે છે.
આનાથી પડદા પરની સમગ્ર વ્યતિકરણ ભાત ખસે છે,પરંતુ ફ્રિન્જની પહોળાઈ બદલાતી નથી કે ભાત અદ્રશ્ય થતી નથી.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ બદલાતી નથી કારણ કે તે સ્લિટ વચ્ચેના અંતર $d$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને પડદાના અંતર $D$ પર આધાર રાખે છે,નહીં કે એક માર્ગમાં દાખલ કરેલા સમાન કળા તફાવત પર.
એક સ્લિટમાં સમાન ઓપ્ટિકલ પાથ તફાવત દાખલ કરવાની ચોખ્ખી અસર એ છે કે મધ્યસ્થ અધિકતમ (અને તમામ ફ્રિન્જ) પ્લેટવાળી સ્લિટ તરફ ખસે છે.
આ સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{D}{d}(n-1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,સાચું વિધાન છે: $(B)$ મધ્યસ્થ અધિકતમ તે બાજુ તરફ ખસશે જે બાજુ પ્લેટ મૂકવામાં આવી છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુ માટે,તીવ્રતા $I = I_{\max} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{I_{\max}}{4}$,તેથી $\frac{I_{\max}}{4} = I_{\max} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$.
આના પરથી $\cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{\phi}{2} = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$,એટલે કે કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{3}$.
કળા તફાવત અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) \Delta x$ છે.
$\Delta x = d \sin \theta$ મૂકતા,આપણને $\frac{2\pi}{3} = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) d \sin \theta$ મળે છે.
$\sin \theta$ માટે ઉકેલતા,$\sin \theta = \frac{\lambda}{3d}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1} \left(\frac{\lambda}{3d}\right)$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં આપેલ છે કે નવું સ્લિટ અંતર $d' = 10d$ અને પડદાથી નવું અંતર $D' = \frac{D}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ આ મુજબ મળે: $\beta' = \frac{D' \lambda}{d'} = \frac{(\frac{D}{2}) \lambda}{10d} = \frac{D \lambda}{20d}$.
આમ,$\beta = \frac{D \lambda}{d}$ હોવાથી,$\beta' = \frac{\beta}{20}$ થાય.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ પહોળાઈ કરતા $\frac{1}{20}$ ગણી થાય છે.

(A) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I' = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
અહીં $I_1 = I$,$I_2 = 4I$ અને $\phi = \pi$ આપેલ છે:
$I' = I + 4I + 2\sqrt{I \times 4I} \cos \pi$
કારણ કે $\cos \pi = -1$:
$I' = 5I + 2\sqrt{4I^2} (-1)$
$I' = 5I + 2(2I)(-1)$
$I' = 5I - 4I = I$

(D) બિંદુવત ચાર્જ $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ હંમેશા ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ હોય છે.
બિંદુ $A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ $Q$ ને કેન્દ્ર તરીકે ધરાવતા વર્તુળનો ચાપ હોવાથી,માર્ગ પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{s}$ એ વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી દિશા ($\vec{E}$ ની દિશા) એ કોઈપણ બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકને હંમેશા લંબ હોય છે.
તેથી,બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ એ હંમેશા સ્થાનાંતર $d\vec{s}$ ને લંબ હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\vec{F} \perp d\vec{s}$,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{F} \cdot d\vec{s} = F \cdot ds \cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે.
આમ,કુલ કાર્ય $W = 0$ થાય છે.