MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે જે સંતુલન સ્થાનથી શરૂ થાય છે,તેનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = \frac{T}{12}$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ આપેલ છે,તેથી સ્થાનાંતર $x = A \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}) = A \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{A}{2}$ થાય.
સ્થિતિ ઊર્જા ($P$.$E$.) નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{8} m \omega^2 A^2$ મળે.
ગતિ ઊર્જા ($K$.$E$.) નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3A^2}{4}) = \frac{3}{8} m \omega^2 A^2$ મળે.
સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{K} = \frac{\frac{1}{8} m \omega^2 A^2}{\frac{3}{8} m \omega^2 A^2} = \frac{1}{3}$ થાય.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,$x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $PE = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
અંતિમ સ્થાને,સ્થાનાંતર $x = A$ હોવાથી,$PE = \frac{1}{2} k A^2$ થાય.
સાદા લોલક માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{Mg}{L} x$ છે,તેથી બળ અચળાંક $k = \frac{Mg}{L}$ થાય.
સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$PE = \frac{1}{2} \left( \frac{Mg}{L} \right) A^2$.
$PE = \frac{MgA^2}{2L}$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
પદાર્થ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂઆત કરે છે,તેથી સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ અને વેગ $v = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
કુલ ઊર્જા $(TE)$ $\frac{1}{2} k A^2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $KE = 75 \% \text{ of } TE = \frac{3}{4} TE$.
તેથી,$\frac{1}{2} k (A \cos(\omega t))^2 = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} k A^2)$.
$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$.
$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\omega t = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{T}{12}$ મળે છે.

(D) અંતિમ સ્થાને સાદા આવર્ત દોલકની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
આ કિંમતને સ્થિતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P.E. = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{g}{L}}\right)^2 A^2$
$P.E. = \frac{1}{2} m \left(\frac{g}{L}\right) A^2$
$P.E. = \frac{mgA^2}{2L}$

(A) આપેલ છે: સરેરાશ સ્થિતિમાં ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $= 16 \ J$,કંપવિસ્તાર $(A)$ $= 25 \ cm = 0.25 \ m$,દળ $(m)$ $= 5.12 \ kg$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં સરેરાશ સ્થિતિમાં ગતિઊર્જા એ કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ જેટલી હોય છે.
કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $16 = \frac{1}{2} \times 5.12 \times \omega^2 \times (0.25)^2$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{16 \times 2}{5.12 \times 0.0625} = \frac{32}{0.32} = 100$.
તેથી,$\omega = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
દોલનનો આવર્તકાળ $(T)$ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2 \pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ s$.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણ માટે, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, વ્યાસ $d = 1 \ m$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = d/2 = 0.5 \ m$ થાય.
આવૃત્તિ $f = 4 \ Hz$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (4) = 8 \pi \ rad/s$.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (8 \pi)^2 \times 0.5$
$a = 64 \pi^2 \times 0.5$
$a = 32 \pi^2 \ m/s^2$.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણો:
$y_1 = a_1 \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right) \quad \dots(i)$
$y_2 = a_2 \cos \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi\right) \quad \dots(ii)$
કળાની સરખામણી કરવા માટે,આપણે $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં ફેરવીએ છીએ:
$y_2 = a_2 \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) \quad \dots(iii)$
$y_1$ ની કળા $(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t)$ ની સરખામણી $y_2$ ની કળા $(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ સાથે કરતા,કળા તફાવત:
$\Delta \phi = \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right)$
$\Delta \phi = \phi + \frac{\pi}{2}$

(C) અવમંદિત આવર્ત દોલક માટે,ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ છે.
પ્રાકૃતિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ અને અવમંદન અચળાંક $r = \frac{b}{2m}$ લેતા,અવમંદિત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\omega_0^2 - r^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$

(C) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \cos(\pi t + \pi \phi)$ છે.
સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,વેગ $v = \frac{dy}{dt} = -A\pi \sin(\pi t + \pi \phi)$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$y_0 = A \cos(\pi \phi)$ અને $v_0 = -A\pi \sin(\pi \phi)$ થાય.
આના પરથી,$\cos(\pi \phi) = \frac{y_0}{A}$ અને $\sin(\pi \phi) = -\frac{v_0}{A\pi}$ મળે.
નિત્યસમ $\cos^2(\pi \phi) + \sin^2(\pi \phi) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{y_0}{A}\right)^2 + \left(-\frac{v_0}{A\pi}\right)^2 = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $y_0^2 + \frac{v_0^2}{\pi^2} = A^2$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $y_0 = 2 \text{ cm}$ અને $v_0 = 2\pi \text{ cm/s}$ મૂકતા:
$2^2 + \frac{(2\pi)^2}{\pi^2} = A^2$.
$4 + 4 = A^2$.
$A^2 = 8$.
$A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}$.

(D) $S.H.M.$ માં,એક પૂર્ણ દોલન $2 \pi \ rad$ જેટલા કળાના ફેરફારને અનુરૂપ છે.
તેથી,$n$ દોલનો માટે,કુલ કળાનો ફેરફાર $\Delta \phi = n \times 2 \pi \ rad$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે કણ $n = 2$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે.
આમ,કળામાં થતો ફેરફાર $= 2 \times 2 \pi \ rad = 4 \pi \ rad$ થાય છે.

(B) દોલનની આવૃત્તિ $n = 10 \ Hz$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n = 20 \pi \ rad/s$ છે.
ઉર્ધ્વ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,સંતુલન સ્થિતિ એ સ્પ્રિંગની અખિંચિત સ્થિતિથી $x_0 = \frac{mg}{k}$ અંતરે હોય છે.
દોલનના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી ન હોવાથી,દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ સંતુલન સ્થિતિના સ્થાનાંતર જેટલો થાય,તેથી $A = x_0 = \frac{mg}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^2 = \frac{k}{m}$,તેથી $k = m \omega^2$.
$A$ ના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $A = \frac{mg}{m \omega^2} = \frac{g}{\omega^2}$.
મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = \omega A = \omega \left( \frac{g}{\omega^2} \right) = \frac{g}{\omega}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = \frac{10}{20 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \ m/s$.

(C) $S.H.M.$ માટે,મહત્તમ વેગ $\alpha = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આના પરથી,આપણને $\omega = \frac{\alpha}{A}$ મળે છે ... $(i)$
મહત્તમ પ્રવેગ $\beta = A \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\omega$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = A \left( \frac{\alpha}{A} \right)^2 = A \left( \frac{\alpha^2}{A^2} \right) = \frac{\alpha^2}{A}$
કંપવિસ્તાર $A$ માટે ગોઠવતા,આપણને $A = \frac{\alpha^2}{\beta}$ મળે છે.
$S.H.M.$ માં કણની પથ લંબાઈ એ બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર છે,જે $2A$ છે.
તેથી,પથ લંબાઈ $= 2A = \frac{2 \alpha^2}{\beta}$.

(C) મધ્યમાન સ્થાને વેગ મહત્તમ હોય છે, જે $v_{\max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 4 \,cm$ અને $v_{\max} = 12 \,cm/s$ આપેલ છે.
તેથી, $\omega = \frac{v_{\max}}{A} = \frac{12}{4} = 3 \,rad/s$.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$.
$x$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $x^2 = A^2 - \frac{v^2}{\omega^2}$.
કિંમતો $A = 4$, $v = 6$ અને $\omega = 3$ મૂકતા:
$x^2 = 4^2 - \frac{6^2}{3^2} = 16 - \frac{36}{9} = 16 - 4 = 12$.
તેથી, $x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \,cm$.

(A) આપેલ છે: સ્થાનાંતર $Y = A \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \ cm = 0.2\sqrt{3} \ m$.
કંપવિસ્તાર $A = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - Y^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = \frac{1}{2} k((0.4)^2 - (0.2\sqrt{3})^2)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.16 - 0.12)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.04)$.
$200 = k(0.02)$.
$k = \frac{200}{0.02} = 10000 \ N/m = 1 \times 10^4 \ N/m$.
$1 \times 10^x \ N/m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,$x$ સ્થાનાંતરે વેગ $V$ નું સૂત્ર $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ મળે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$ --- $(1)$
$V_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V_1^2}{V_2^2} = \frac{A^2 - x_1^2}{A^2 - x_2^2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$V_1^2(A^2 - x_2^2) = V_2^2(A^2 - x_1^2)$
$V_1^2 A^2 - V_1^2 x_2^2 = V_2^2 A^2 - V_2^2 x_1^2$
$A^2$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$A^2(V_1^2 - V_2^2) = V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2$
$A^2 = \frac{V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}$
વર્ગમૂળ લેતા,કંપવિસ્તાર મળે છે:
$A = \sqrt{\frac{V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(C) આપેલ છે:
- પ્રારંભિક મહત્તમ વેગ $V = A\omega$ છે.
- કંપવિસ્તાર બમણો થાય છે: $A' = 2A$.
- આવર્તકાળ ત્રીજા ભાગનો થાય છે: $T' = \frac{T}{3}$.
પગલું $1$: નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega'$ શોધો.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,નવી કોણીય આવૃત્તિ:
$\omega' = \frac{2\pi}{T'} = \frac{2\pi}{T/3} = 3 \left(\frac{2\pi}{T}\right) = 3\omega$.
પગલું $2$: નવો મહત્તમ વેગ $V'$ શોધો.
મહત્તમ વેગનું સૂત્ર $V_{\max} = A\omega$ છે.
$V' = A' \omega' = (2A)(3\omega) = 6(A\omega)$.
$V = A\omega$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$V' = 6V$.

(D) ધારો કે બે ક્ષણો પર કણના સ્થાન $x_1$ અને $x_2$ છે.
$SHM$ માં પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મૂલ્યો ધ્યાનમાં લેતા,$a_1 = \omega^2 |x_1|$ અને $a_2 = \omega^2 |x_2|$.
$SHM$ માં વેગ $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ક્ષણ માટે: $u^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ . . . $(i)$
બીજી ક્ષણ માટે: $V^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ . . . $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $u^2 - V^2 = \omega^2 (x_2^2 - x_1^2) = \omega^2 (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ . . . $(iii)$
પ્રવેગના સમીકરણો પરથી: $a_2 - a_1 = \omega^2 (x_2 - x_1)$ (ધારો કે $x_2 > x_1$).
જો કે,સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $|x_2 - x_1|$ છે.
$a_1 = \omega^2 x_1$ અને $a_2 = \omega^2 x_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x_1 = a_1/\omega^2$ અને $x_2 = a_2/\omega^2$ મળે છે.
વેગના તફાવતમાં કિંમત મૂકતા: $u^2 - V^2 = \omega^2 (x_2^2 - x_1^2) = \omega^2 (a_2^2/\omega^4 - a_1^2/\omega^4) = \frac{1}{\omega^2} (a_2^2 - a_1^2)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega^2 = \frac{a_2^2 - a_1^2}{u^2 - V^2}$.
અંતર $d = |x_2 - x_1| = |\frac{a_2 - a_1}{\omega^2}| = |\frac{a_2 - a_1}{(a_2^2 - a_1^2)/(u^2 - V^2)}| = |\frac{u^2 - V^2}{a_2 + a_1}|$.
આમ,અંતર $\frac{u^2 - V^2}{a_1 + a_2}$ છે.

(B) $S.H.M.$ કરતા કણની મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે ઝડપ $V$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ અને સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{3}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2 - (\frac{a}{3})^2}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{9}}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{\frac{8 a^2}{9}}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \times \frac{2 \sqrt{2} a}{3}$
$V = \frac{4 \sqrt{2} \pi a}{3 T}$

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = 3 \sin 2 \pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.01} \right)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin 2 \pi \left( ft - \frac{x}{\lambda} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને આવૃત્તિ $f = \frac{1}{0.04} = 25 \ Hz$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 25 = 50 \pi \ rad/s$ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ એ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{\max} = (50 \pi)^2 \times 3 = 2500 \times \pi^2 \times 3$.
આપેલ છે કે $\pi^2 = 10$,તેથી $a_{\max} = 2500 \times 10 \times 3 = 75000 \ cm/s^2 = 7.5 \times 10^4 \ cm/s^2$.

(C) $S.H.M.$ માં $x$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ વેગ $V_{\max} = \omega A$ છે.
આપેલ છે કે ઝડપ $V = \frac{V_{\max}}{3} = \frac{\omega A}{3}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\omega A}{3} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{A^2}{9} = A^2 - x^2$.
$x^2$ માટે ગોઠવતા: $x^2 = A^2 - \frac{A^2}{9} = \frac{8A^2}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x = \sqrt{\frac{8}{9} A^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} A$.

(A) ધારો કે બે ક્ષણો પર કણના સ્થાન $x_1$ અને $x_2$ છે.
$S.H.M.$ માં,પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે. મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા,$\alpha = \omega^2 |x_1|$ અને $\beta = \omega^2 |x_2|$.
આમ,$|x_1| = \frac{\alpha}{\omega^2}$ અને $|x_2| = \frac{\beta}{\omega^2}$.
$S.H.M.$ માં વેગ $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ક્ષણ માટે: $u^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ . . . $(i)$
બીજી ક્ષણ માટે: $v^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ . . . $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $u^2 - v^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2) = \omega^2(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.
જેમ કે $\alpha = \omega^2 x_1$ અને $\beta = \omega^2 x_2$,આપણી પાસે $\alpha + \beta = \omega^2(x_1 + x_2)$ છે.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $u^2 - v^2 = \omega^2(x_2 - x_1) \cdot \frac{\alpha + \beta}{\omega^2}$.
તેથી,બે સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $|x_2 - x_1| = \frac{u^2 - v^2}{\alpha + \beta}$ છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે નિલંબન બિંદુ '$a$' પ્રવેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g + a}}$ મળે છે.
અહીં $g + a > g$ હોવાથી,છેદની કિંમત વધે છે,જેના કારણે મૂળ આવર્તકાળ $T$ ની સરખામણીમાં નવો આવર્તકાળ $T'$ ઘટે છે.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
શરૂઆતમાં,આવૃત્તિ $n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ છે.
જ્યારે તણાવમાં $44\%$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો તણાવ $T_2 = T_1 + 0.44T_1 = 1.44T_1$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}$ દ્વારા મળે છે.
$n_2$ અને $n_1$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}}{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}} = \sqrt{\frac{1.44T_1}{T_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
$1.2$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ મળે છે.
આમ,$n_2:n_1$ નો ગુણોત્તર $6:5$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1$ છે અને લંબાઈ $l_1$ છે,અને અંતિમ આવર્તકાળ $T_2$ છે અને લંબાઈ $l_2$ છે.
આપણે આવર્તકાળને બમણો કરવો છે,તેથી $T_2 = 2 T_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
$T_2 = 2 T_1$ મૂકતા:
$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{l_2}{l_1} \Rightarrow l_2 = 4 l_1$
તેથી,જ્યારે સાદા લોલકની લંબાઈ મૂળ લંબાઈ કરતા ચાર ગણી કરવામાં આવે ત્યારે તેનો આવર્તકાળ બમણો થાય છે.

(C) સાદા લોલક માટે,આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
તેથી,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$ અને $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T_1^2 = 4 \pi^2 \frac{l_1}{g}$ અને $T_2^2 = 4 \pi^2 \frac{l_2}{g}$ મળે.
આના પરથી,લંબાઈને $l_1 = \frac{T_1^2 g}{4 \pi^2}$ અને $l_2 = \frac{T_2^2 g}{4 \pi^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
હવે,$(l_1 - l_2)$ લંબાઈના લોલક માટે,આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1 - l_2}{g}}$ થશે.
$l_1$ અને $l_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{g} \left( \frac{T_1^2 g}{4 \pi^2} - \frac{T_2^2 g}{4 \pi^2} \right)}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{g}{g \cdot 4 \pi^2} (T_1^2 - T_2^2)}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4 \pi^2} (T_1^2 - T_2^2)}$.
$T = 2 \pi \cdot \frac{1}{2 \pi} \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.
$T = \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.

(D) $S.H.M.$ માં વેગ માટેનું સમીકરણ આપેલ છે: $4V^2 = 50 - x^2$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$V^2 = \frac{1}{4}(50 - x^2) = \frac{1}{4}(50 - x^2)$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત $S.H.M.$ વેગ સમીકરણ $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ સાથે સરખાવતા,આપેલ સમીકરણને $V^2 = \frac{1}{4} \cdot 50 - \frac{1}{4}x^2$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega^2 = \frac{1}{4}$,તેથી $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા,$T = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \text{ સેકન્ડ}$ મળે છે.
આને આપેલ આવર્તકાળ $\frac{x}{7}$ સાથે સરખાવતા,$x = 88$ મળે છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે આવર્તકાળ $T$ એ લંબાઈ $l$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $T \propto \sqrt{l}$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ ગોળાના દળ,કદ કે ઘનતા પર આધાર રાખતો નથી.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = l$ અને પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
ધારો કે નવી લંબાઈ $l_2$ અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = 2T$ છે.
સમપ્રમાણતા $T \propto \sqrt{l}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2T}{T} = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$.
$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{l_2}{l}$ મળે.
તેથી,નવી લંબાઈ $l_2 = 4l$ થાય.

(B) $S.H.M.$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x_1 = 3 \ cm$ માટે,$v_1 = 8 \ cm/s$: $8 = \omega \sqrt{A^2 - 3^2} \implies 8 = \omega \sqrt{A^2 - 9}$ ... $(i)$
$x_2 = 4 \ cm$ માટે,$v_2 = 6 \ cm/s$: $6 = \omega \sqrt{A^2 - 4^2} \implies 6 = \omega \sqrt{A^2 - 16}$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{8}{6} = \frac{\sqrt{A^2 - 9}}{\sqrt{A^2 - 16}} \implies \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{A^2 - 9}}{\sqrt{A^2 - 16}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{16}{9} = \frac{A^2 - 9}{A^2 - 16} \implies 16(A^2 - 16) = 9(A^2 - 9)$
$16A^2 - 256 = 9A^2 - 81 \implies 7A^2 = 175 \implies A^2 = 25 \ cm^2$.
$A^2 = 25$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$6 = \omega \sqrt{25 - 16} = \omega \sqrt{9} = 3\omega \implies \omega = 2 \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$ મળે છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિથી શરૂ થતા $S.H.M.$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t) \dots (i)$ છે.
આપેલ છે: $v = \pi \ m/s$,$T = 12 \ s$,અને $t = 2 \ s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6} \ rad/s$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\pi = A \times \frac{\pi}{6} \times \cos\left(\frac{\pi}{6} \times 2\right)$
$\pi = A \times \frac{\pi}{6} \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5 = \frac{1}{2}$,તેથી:
$1 = \frac{A}{6} \times \frac{1}{2}$
$1 = \frac{A}{12}$
$A = 12 \ m$.

(D) તરતી વસ્તુના નાના શિરોલંબ દોલનો માટે $S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{h'}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h'$ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થની ઊંડાઈ છે.
તરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે લાકડાનું કદ $V = a \times b \times c$ છે.
લાકડાનું દળ $= V \times d \times \rho_w = (abc) \times d \times \rho_w$ (જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે).
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = b \times c \times h'$.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $= (bc h') \times \rho_w \times g$.
બંનેને સરખાવતા: $(abc) \times d \times \rho_w \times g = (bc h') \times \rho_w \times g$.
$h'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h' = ad$ મળે છે.
આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{ad}{g}}$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ ($S$.$H$.$M$.) કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(V_{\max})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_{\max} = A \omega$,જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 7 \ mm = 7 \times 10^{-3} \ m$,મહત્તમ વેગ $V_{\max} = 4.4 \ ms^{-1}$,અને $\pi = \frac{22}{7}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $4.4 = (7 \times 10^{-3}) \times \left(\frac{2 \times 22/7}{T}\right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $4.4 = (7 \times 10^{-3}) \times \left(\frac{44}{7T}\right)$.
$4.4 = \frac{44 \times 10^{-3}}{T}$.
$T = \frac{44 \times 10^{-3}}{4.4} = 10 \times 10^{-3} = 0.01 \ s$.

(C) વસ્તુ પ્લેટફોર્મ પર રહે તે માટે, લંબબળ $N$ શૂન્ય અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ। $m$ દળ ધરાવતી વસ્તુ માટે ગતિનું સમીકરણ $mg - N = ma$ છે, જ્યાં $a$ એ પ્લેટફોર્મનો પ્રવેગ છે।
વસ્તુ સપાટી સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે તે માટે, લંબબળ $N = 0$ થાય।
તેથી, $mg = ma$, જેનો અર્થ છે કે $a = g$.
$S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = A\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે।
અલગ થવાથી બચવા માટે, પ્લેટફોર્મનો મહત્તમ નીચેની તરફનો પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં।
તેથી, $A\omega^2 \leq g$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા, $A = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$:
$0.4 \omega^2 = 10$
$\omega^2 = \frac{10}{0.4} = 25$
$\omega = 5 \text{ rad/s}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, આપણી પાસે છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5} = 0.4\pi \text{ s}$.
આમ, દોલનનો ન્યૂનતમ આવર્તકાળ $0.4\pi \text{ s}$ છે।

(B) આપેલ કણની ગતિનું સમીકરણ $a = -bx$ છે.
આ સમીકરણને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને પદોને સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{b}$.
$SHM$ નો આવર્તકાળ $T$ શોધવાનું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{b}}$ મળે છે.

(C) $S.H.M.$ માં મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ અંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ મળે.
આપેલ શરતો માટે:
$V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$ $(i)$
$V_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માંથી બાદ કરતા:
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2 - A^2 + x_1^2)$
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(x_1^2 - x_2^2)$
$\omega^2 = \frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$

(B) કોણીય વેગમાન $L$ એ સૂત્ર $L = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ઘન ગોળા માટે,તેની પરિભ્રમણ ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
પરિભ્રમણ સમયગાળા $T$ ના સંદર્ભમાં કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = I \omega = \left( \frac{2}{5} MR^2 \right) \left( \frac{2 \pi}{T} \right)$.
તેથી,$L = \frac{4 \pi MR^2}{5 T}$.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
આપણે $L$ ને $K$ અને $\omega$ ના સ્વરૂપમાં $L = \frac{2K}{\omega}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ છે કે આવૃત્તિ $f$ બમણી થાય છે,તેથી કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f$ પણ બમણો થાય છે. ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(L_1, K_1, \omega_1)$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $(L_2, K_2, \omega_2)$ છે.
આપણને $K_2 = \frac{K_1}{2}$ અને $\omega_2 = 2\omega_1$ આપેલ છે.
સંબંધ $\frac{L_2}{L_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{\omega_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{L_2}{L} = \frac{K_1/2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{2\omega_1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$L_2 = \frac{L}{4}$.

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega_1$,જ્યાં $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ અને $\omega_1 = \omega$ છે.
અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{\text{disc1}} + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{3}) R^2 = \frac{1}{2} R^2 (M + \frac{M}{3}) = \frac{1}{2} R^2 (\frac{4M}{3}) = \frac{2}{3} M R^2$ થાય.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{2} M R^2) \omega = (\frac{2}{3} M R^2) \omega_2$.
$\omega_2$ માટે ઉકેલતા: $\omega_2 = \frac{1/2}{2/3} \omega = \frac{3}{4} \omega$ મળે.

(C) $m$ દળનો કણ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે વેગને $v = \frac{L}{mr}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
કણ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
વેગ $v$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2}$
$F = \frac{L^2}{mr^3}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{L^2}{m} = Fr^3$ મળે છે.

(A) ભ્રમણ ગતિમાં રહેલા કણની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કોણીય વેગમાન $L$ ને $L = I \omega$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $L^2 = I^2 \omega^2$.
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $\omega^2 = \frac{L^2}{I^2}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{2} I \left( \frac{L^2}{I^2} \right) = \frac{L^2}{2I}$ મળે છે.
'$r$' ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરતા '$m$' દળના કણ માટે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ છે.
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $I = mr^2$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{L^2}{2(mr^2)} = \frac{L^2}{2 mr^2}$ મળે છે.

(C) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
અહીં $I$ અચળ રહે છે,તેથી $KE \propto \omega^2$.
કોણીય ઝડપમાં $20 \%$ નો વધારો થતો હોવાથી,નવી કોણીય ઝડપ $\omega_2 = \omega_1 + 0.20 \omega_1 = 1.2 \omega_1$ થાય.
નવી ચાકગતિ ઉર્જા $(KE_2)$ અને પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $(KE_1)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{KE_2}{KE_1} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = \frac{(1.2 \omega_1)^2}{\omega_1^2} = (1.2)^2 = 1.44$.
તેથી,$KE_2 = 1.44 KE_1$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \left( \frac{KE_2 - KE_1}{KE_1} \right) \times 100 = (1.44 - 1) \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$.

(B) વલયાકાર રિંગ (અથવા પોલા ડિસ્ક) માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} M(R_1^2 + R_2^2)$
જ્યાં $M$ એ દળ છે,$R_1$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા છે અને $R_2$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
$M = 10 \ kg$
$R_1 = 5 \ m$
$R_2 = 10 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 10 \times (5^2 + 10^2)$
$I = 5 \times (25 + 100)$
$I = 5 \times 125 = 625 \ kg \cdot m^2$

(A) નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^2$ છે.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I_{rim} = I_{cm} + m r^2 = \frac{1}{2} m r^2 + m r^2 = \frac{3}{2} m r^2$ થાય.
અહીં બંને કિસ્સામાં જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોવાથી $(I_{sphere} = I_{disc})$:
$\frac{2}{5} m R^2 = \frac{3}{2} m r^2$.
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2 R}{\sqrt{15}}$.

(B) બંને લૂપ એક જ સમાન તારમાંથી બનાવવામાં આવ્યા છે,તેથી રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ અચળ રહેશે.
લૂપ $P$ નું દળ $M_P = \lambda \times (2\pi r) = 2\pi r\lambda$ છે.
લૂપ $Q$ નું દળ $M_Q = \lambda \times (2\pi nr) = 2\pi nr\lambda$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
લૂપ $P$ માટે,$I_P = M_P r^2 = (2\pi r\lambda) r^2 = 2\pi r^3 \lambda$.
લૂપ $Q$ માટે,$I_Q = M_Q (nr)^2 = (2\pi nr\lambda) (nr)^2 = 2\pi n^3 r^3 \lambda$.
આપેલ છે કે $I_Q = 4 I_P$,તેથી:
$2\pi n^3 r^3 \lambda = 4 \times (2\pi r^3 \lambda)$.
$n^3 = 4$.
$n = (4)^{1/3} = (2^2)^{1/3} = (2)^{2/3}$.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર તકતી અને વર્તુળાકાર રીંગ બંનેનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
જો $K_d$ એ તકતીની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા હોય,તો $I_d = MK_d^2$.
બંનેને સરખાવતા,$MK_d^2 = \frac{1}{2} MR^2$,જેનું સાદું રૂપ $K_d = \frac{R}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_r = MR^2$ છે.
જો $K_r$ એ રીંગની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા હોય,તો $I_r = MK_r^2$.
બંનેને સરખાવતા,$MK_r^2 = MR^2$,જેનું સાદું રૂપ $K_r = R$ મળે છે.
તકતી અને રીંગની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_d}{K_r} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(C) લૂપ (રિંગ) ની તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$I_A = M_1 R_1^2$ અને $I_B = M_2 R_2^2$ ... $(i)$
વાયર સમાન હોવાથી,દળ $M$ એ પરિઘ $(2 \pi R)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે. તો $M_1 = 2 \pi R_1 m$ અને $M_2 = 2 \pi R_2 m$.
તેથી,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{R_1}{R_2}$ ... (ii)
જડત્વની ચાકમાત્રાના ગુણોત્તરમાં (ii) મૂકતા:
$\frac{I_A}{I_B} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
આપેલ છે કે $\frac{I_A}{I_B} = 27$,તેથી $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = 27$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$\frac{R_1}{R_2} = 3$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{3}$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_D)$ નીચે મુજબ છે:
$I_D = \frac{MR^2}{4}$
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,તેના સમતલમાં રહેલા સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_T)$ સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
$I_T = I_{CM} + MR^2$
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{MR^2}{2}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$I_T = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$
તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા અને રીંગની તેના સમતલમાં રહેલા સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_D}{I_T} = \frac{\frac{MR^2}{4}}{\frac{3}{2} MR^2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$
આમ,ગુણોત્તર $1: 6$ છે.

(B) દળ $=$ કદ $\times$ ઘનતા.
ધારો કે દળ $M_A$ અને $M_B$ છે,અને ત્રિજ્યા $R_A$ અને $R_B$ છે.
$M_A = M_B = M$ હોવાથી,
$M = \frac{4}{3} \pi R_A^3 \rho_A = \frac{4}{3} \pi R_B^3 \rho_B$.
આથી,$\frac{R_B^3}{R_A^3} = \frac{\rho_A}{\rho_B}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R_B}{R_A} = (\frac{\rho_A}{\rho_B})^{1/3}$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
તેથી,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{\frac{2}{5} M R_B^2}{\frac{2}{5} M R_A^2} = \frac{R_B^2}{R_A^2}$.
ત્રિજ્યાના ગુણોત્તરને મૂકતા:
$\frac{I_B}{I_A} = ((\frac{\rho_A}{\rho_B})^{1/3})^2 = (\frac{\rho_A}{\rho_B})^{2/3}$.

(C) તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R_d^2$ છે.
દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે કદને સરખાવીએ:
$V_{\text{disc}} = V_{\text{sphere}}$
$\pi R_d^2 \times (R_d/8) = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$\frac{R_d^3}{8} = \frac{4}{3} R_s^3 \implies R_s^3 = \frac{3}{32} R_d^3 \implies R_s^2 = \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} R_d^2$.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R_s^2$ છે.
$R_s^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} R_d^2$.
$M R_d^2 = 2I$ હોવાથી:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} (2I) \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} = \frac{4I}{5} \left(\frac{9}{1024}\right)^{1/3} \approx \frac{I}{5}$.

(D) ધારો કે $I$ એ ચોરસ પ્લેટની કેન્દ્ર '$O$' માંથી પસાર થતી અને પ્લેટના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,પ્લેટના સમતલમાં રહેલી અને કેન્દ્રમાં છેદતી કોઈપણ બે પરસ્પર લંબ અક્ષો માટે,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો એ પ્લેટના સમતલને લંબ અક્ષની જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલો થાય છે.
અક્ષ $1$ અને $2$ (વિકર્ણો) માટે,$I = I_1 + I_2$.
અક્ષ $3$ અને $4$ (મધ્યરેખાઓ) માટે,$I = I_3 + I_4$.
પ્લેટ ચોરસ હોવાથી,સંમિતિને કારણે $I_1 = I_2$ અને $I_3 = I_4$ થાય.
આમ,$I = 2I_1$ અને $I = 2I_3$,જેનો અર્થ છે કે $I_1 = I_3$.
તેથી,લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_3$ (અથવા $I_2 + I_4$,અથવા $I_1 + I_4$,વગેરે) થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું પદ $I_1 + I_3$ છે.

(A) $x$-અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ ત્રણેય સળિયાઓની $x$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે: $I_{\text{total}} = I_x + I_y + I_z$.
$m$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયા માટે,જ્યારે અક્ષ તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી હોય અને સળિયાને લંબ હોય,ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$ થાય છે.
$1$. $x$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: સળિયો પોતે $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$x$-અક્ષથી તેનું અંતર શૂન્ય છે. તેથી,$I_x = 0$.
$2$. $y$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: પરિભ્રમણની અક્ષ ($x$-અક્ષ) સળિયાને લંબ છે અને એક છેડામાંથી પસાર થાય છે. અહીં $m = 2M$ હોવાથી,$I_y = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$.
$3$. $z$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: તેવી જ રીતે,$x$-અક્ષ આ સળિયાને લંબ છે અને એક છેડામાંથી પસાર થાય છે. અહીં $m = 2M$ હોવાથી,$I_z = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_{\text{total}} = 0 + \frac{2ML^2}{3} + \frac{2ML^2}{3} = \frac{4ML^2}{3}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E_{\max} = E - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 3\phi$,તેથી $K.E_1 = 3\phi - \phi = 2\phi$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 9\phi$,તેથી $K.E_2 = 9\phi - \phi = 8\phi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K.E = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{K.E_1}{K.E_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2\phi}{8\phi} = \frac{1}{4} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = 2v_1$.
અહીં $v_1 = 6 \times 10^6 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી $v_2 = 2 \times 6 \times 10^6 = 12 \times 10^6 \ m/s$ થાય.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E. = h n - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટોકેથોડ માટે: $\frac{1}{2}mV_1^2 = hn_1 - \phi$ $(1)$
બીજા ફોટોકેથોડ માટે: $\frac{1}{2}mV_2^2 = hn_2 - \phi$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{1}{2}mV_1^2 - \frac{1}{2}mV_2^2 = (hn_1 - \phi) - (hn_2 - \phi)$
$\frac{1}{2}m(V_1^2 - V_2^2) = h(n_1 - n_2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \frac{2h}{m}(n_1 - n_2)$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $eV_0 = hf - \Phi$,જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આલેખ પરથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય $|V_0^1| < |V_0^2| < |V_0^3| < |V_0^4|$ છે.
આપેલ ધાતુ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ આવૃત્તિ $f$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મોટું મૂલ્ય એ આપાત વિકિરણની ઊંચી આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ક્રમ $f_a > f_b > f_c > f_d$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $K_{max} = hv - \phi$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણની સરખામણી સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે કરતા,આપણને $y = K_{max}$,$x = v$,ઢાળ $m = h$,અને અંતઃખંડ $c = -\phi$ મળે છે.
જેમ કે ઢાળ $h$ ધન છે અને અંતઃખંડ $-\phi$ ઋણ છે,તેથી આલેખ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0$ (જ્યાં $K_{max} = 0$ થાય છે) થી શરૂ થતી એક સુરેખ રેખા છે જે આવૃત્તિ $v$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આ આલેખ $(1)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) ફોટોકરંટ એ આપાત ફોટોનની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર છે,જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય.
જો કે,જ્યારે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા વધે છે,ત્યારે એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા વધે છે.
આના પરિણામે ધાતુની સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં વધારો થાય છે,જેનાથી ફોટોકરંટ વધે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ છે,જ્યાં $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે,$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W_0 \implies E_1 \lambda_1 = hc - W_0 \lambda_1 \implies hc = E_1 \lambda_1 + W_0 \lambda_1$ ... $(i)$
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે,$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W_0 \implies E_2 \lambda_2 = hc - W_0 \lambda_2 \implies hc = E_2 \lambda_2 + W_0 \lambda_2$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$E_1 \lambda_1 + W_0 \lambda_1 = E_2 \lambda_2 + W_0 \lambda_2$
$E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2 = W_0 \lambda_2 - W_0 \lambda_1$
$E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2 = W_0 (\lambda_2 - \lambda_1)$
$W_0 = \frac{E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે:
$E_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે તરંગલંબાઈ $\frac{\lambda}{2}$ છે:
$E_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ ... (ii)
આપેલ છે કે $E_1 = \frac{1}{4} E_2$,એટલે કે $4E_1 = E_2$ ... (iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને (iii) માં મૂકતા:
$4\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi\right) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{4hc}{\lambda} - 4\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{4hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 4\phi - \phi$
$\frac{2hc}{\lambda} = 3\phi$
$\phi = \frac{2hc}{3\lambda}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hv - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $eV_s = K_{max}$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી $eV_s = hv - W_0$.
$V_s$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા,આપણને $V_s = \frac{h}{e}v - \frac{W_0}{e}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,જો આવૃત્તિ $v$ વધારવામાં આવે,તો સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ પણ વધશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે:
$K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda / 3$ છે:
$K_2 = \frac{hc}{\lambda / 3} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \phi$ ... $(ii)$
આપેલ છે કે $K_2 = 4K_1$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = 4 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - 4\phi$
$\phi$ માટે ઉકેલતા:
$4\phi - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda}$
$3\phi = \frac{hc}{\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{3\lambda}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ આ મુજબ છે: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$,જ્યાં $\Phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,આપણે લખી શકીએ: $eV_0 = h\nu - \Phi_0$.
$e$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\Phi_0}{e}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_0$ અને $x = \nu$,ઢાળ $(m) = \frac{h}{e}$ મળે છે.
ઢાળને ઈલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(e)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $m \times e = (\frac{h}{e}) \times e = h$.
આમ,આ ગુણાકાર પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ આપે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E_{\max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 2\phi_0$,તેથી $K.E_1 = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 3\phi_0$,તેથી $K.E_2 = 3\phi_0 - \phi_0 = 2\phi_0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $\frac{K.E_1}{K.E_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\phi_0}{2\phi_0} = \frac{1}{2}$.
તેથી,મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$e V_s = h \nu - \Phi_0$
$V_s = \frac{h}{e} \nu - \frac{\Phi_0}{e}$
જ્યાં $\Phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે, જેથી $\Phi_0 = h \nu_0$ થાય.
આપેલ આલેખ પરથી, આવૃત્તિ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ દર્શાવે છે.
સપાટી $A$ માટેની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0,A}$ એ સપાટી $B$ માટેની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0,B}$ કરતા ઓછી હોવાથી ( $\nu_{0,A} < \nu_{0,B}$ ),
તેથી વર્ક ફંક્શન $\Phi_{0,A} = h \nu_{0,A}$ એ વર્ક ફંક્શન $\Phi_{0,B} = h \nu_{0,B}$ કરતા નાનું છે.
આમ, $A$ નું વર્ક ફંક્શન $B$ કરતા નાનું છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$h \nu = \phi_0 + KE_{\text{max}}$.
કારણ કે $KE_{\text{max}} = eV_s$,તેથી $\frac{hc}{\lambda} = \phi_0 + e(4V_0)$ ....$(i)$
તે જ રીતે,$3\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે,$\frac{hc}{3\lambda} = \phi_0 + eV_0$ ....(ii)
સમીકરણ (ii) ને $4$ વડે ગુણતા:
$\frac{4hc}{3\lambda} = 4\phi_0 + 4eV_0$ ....(iii)
સમીકરણ (iii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$\frac{4hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (4\phi_0 + 4eV_0) - (\phi_0 + 4eV_0)$
$\frac{hc}{3\lambda} = 3\phi_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{9\lambda}$
કાર્ય વિધેય $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ હોવાથી,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે,તેથી આપણને $\lambda_0 = 9\lambda$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અને ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે. કારણ કે ચારેય વક્રો પોટેન્શિયલ અક્ષને એક જ બિંદુએ (સમાન સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) છેદે છે,તેથી ચારેય વિકિરણોની આવૃત્તિ સમાન હોવી જોઈએ. તેથી,$f_a = f_b = f_c = f_d$.
સેચ્યુરેશન ફોટોકરન્ટ એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. આલેખ પરથી,સેચ્યુરેશન કરંટના મૂલ્યો $I_a < I_b < I_c < I_d$ છે. તેથી,તીવ્રતા પણ આ જ ક્રમમાં હશે: $I_a < I_b < I_c < I_d$.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે, જે આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = h\nu - \Phi$ મુજબ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે।
પ્રકાશના બિંદુવત ઉદગમને દૂર લઈ જવાથી ધાતુની સપાટી પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાય છે, પરંતુ આપાત ફોટોનની આવૃત્તિ બદલાતી નથી।
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધારિત ન હોવાથી, તે અચળ રહેશે.

(A) બલ્બની તેજસ્વિતા પરિપથમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $I = \frac{V}{Z}$. $LR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = \omega L = 2\pi f L$. તેજસ્વિતા ઘટવા માટે,પ્રવાહ $I$ ઘટવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધવો જોઈએ.
$1$. જ્યારે ગૂંચળામાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરમીબિલિટી વધવાને કારણે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે. પરિણામે,$X_L$ વધે છે,$Z$ વધે છે,અને પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,જેનાથી તેજસ્વિતામાં ઘટાડો થાય છે.
$2$. જો આવૃત્તિ $f$ ઘટાડવામાં આવે,તો $X_L$ ઘટે છે,$Z$ ઘટે છે,અને પ્રવાહ $I$ વધે છે,જેનાથી તેજસ્વિતા વધે છે.
$3$. જો આંટાની સંખ્યા $N$ ઘટાડવામાં આવે,તો $L$ ઘટે છે (કારણ કે $L \propto N^2$),$X_L$ ઘટે છે,$Z$ ઘટે છે,અને પ્રવાહ $I$ વધે છે,જેનાથી તેજસ્વિતા વધે છે.
$4$. કેપેસિટર ઉમેરવાથી જો પરિપથ રેઝોનન્સમાં આવે તો પ્રવાહ વધે છે,ઘટે નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} LI^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$U = \frac{1}{2} \times 1 \times 1^2 = 0.5 \text{ J}$.
જ્યારે પરિપથ તોડવામાં આવે છે,ત્યારે તણખાને રોકવા માટે આ ઉર્જા કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
બંને ઉર્જાઓને સરખાવતા: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI^2$.
$C$ માટે ઉકેલતા: $C = L \left( \frac{I}{V} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $C = 1 \times \left( \frac{1}{500} \right)^2 = \frac{1}{250000} \text{ F}$.
$C = 4 \times 10^{-6} \text{ F} = 4 \mu \text{ F}$.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U$ શોધવાનું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \mu H = 5 \times 10^{-6} \ H$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \ A$.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}) \times (2)^2$.
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 4$.
$U = 10 \times 10^{-6} \ J = 10 \mu J$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $A.C.$ પરિપથમાં પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ મુજબ બદલાય છે,તેથી ઉર્જા $U_B \propto \sin^2(\omega t)$ મુજબ બદલાય છે.
ઉર્જા મહત્તમથી ન્યૂનતમ મૂલ્યમાં આવર્તકાળ $T$ ના $\frac{1}{4}$ ભાગ જેટલા સમયમાં બદલાય છે.
આપેલ છે કે,$\frac{T}{4} = 5 \ ms = 5 \times 10^{-3} \ s$.
તેથી,$T = 20 \times 10^{-3} \ s = 0.02 \ s$.
આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.02} = 50 \ Hz$ થાય.

(D) આ પરિપથમાં $L/2$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા બે ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડાણમાં છે,જે શ્રેણીમાં $3L/4$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા ઇન્ડક્ટર સાથે જોડાયેલા છે.
સૌ પ્રથમ,સમાંતરમાં રહેલા બે ઇન્ડક્ટરનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_p$ શોધો:
$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$
$\therefore L_p = \frac{L}{4}$
હવે,શ્રેણીમાં રહેલા ઇન્ડક્ટરને ઉમેરીને કુલ સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ શોધો:
$L_{eq} = L_p + \frac{3L}{4} = \frac{L}{4} + \frac{3L}{4} = \frac{4L}{4} = L$

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર: $E = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
આપેલ છે: ઊર્જા $E = 64 \times 10^{-3} \ J$ અને પ્રવાહ $I = 80 \ mA = 80 \times 10^{-3} \ A$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ શોધવા માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $L = \frac{2E}{I^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{2 \times 64 \times 10^{-3}}{(80 \times 10^{-3})^2}$.
$L = \frac{128 \times 10^{-3}}{6400 \times 10^{-6}} = \frac{128 \times 10^{-3}}{6.4 \times 10^{-3}} = \frac{128}{6.4} = 20 \ H$.

(D) કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(L \propto l)$.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L_2 = \frac{L}{2}$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ઇન્ડક્ટર્સને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$
તેથી,$L_{eq} = \frac{L}{4}$.

(B) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 4 \ A$,આંટાની સંખ્યા $N = 400$,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 3 \times 10^{-3} \ Wb$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળણ $N\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
પ્રથમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ની ગણતરી કરો:
$L = \frac{N\phi}{I} = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{4} = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3 \ H$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} LI^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (4)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times 16$
$U = 0.3 \times 8 = 2.4 \ J$.

(A) $A.C.$ સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટરનો રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ $A.C.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે.
$D.C.$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે.
તેથી,$D.C.$ સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi (0) L = 0$ થાય છે.
$A.C.$ સ્ત્રોત અને $D.C.$ સ્ત્રોતમાં રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{X_{L(ac)}}{X_{L(dc)}} = \frac{\omega L}{0} = \infty$ થાય છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કોઈલ અને ચુંબક બંને સમાન દિશામાં સમાન ઝડપ $V$ થી ગતિ કરતા હોય,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ શૂન્ય હોય છે.
પરિણામે,કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,$\frac{d\phi}{dt} = 0$.
આમ,પ્રેરિત e.m.f. શૂન્ય થાય છે.

(D) પ્રથમ કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. $e_1 = M \frac{dI_2}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $e_1 = 20 \,mV = 20 \times 10^{-3} \,V$ અને $\frac{dI_2}{dt} = 10 \,A/s$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને $M = \frac{e_1}{dI_2/dt} = \frac{20 \times 10^{-3}}{10} = 2 \times 10^{-3} \,H$ મળે છે.
જ્યારે પ્રથમ કોઈલમાંથી $I_1$ પ્રવાહ વહે છે ત્યારે બીજી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ લિંકેજ $\phi_2 = M I_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_1 = 3.6 \,A$, તેથી $\phi_2 = (2 \times 10^{-3} \,H) \times (3.6 \,A) = 7.2 \times 10^{-3} \,Wb$.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = N \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, $N = 50$, $B_1 = 2 \times 10^{-2} \,T$, $B_2 = 0 \,T$, $A = 100 \,cm^2 = 100 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-2} \,m^2$, અને $|e| = 0.1 \,V$ છે।
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = (B_2 - B_1) A \cos 0^{\circ} = (0 - 2 \times 10^{-2}) \times 10^{-2} = -2 \times 10^{-4} \,Wb$ છે।
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.1 = 50 \times \frac{2 \times 10^{-4}}{t}$.
$t = \frac{50 \times 2 \times 10^{-4}}{0.1} = \frac{100 \times 10^{-4}}{0.1} = \frac{10^{-2}}{10^{-1}} = 0.1 \,s$.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ નું મૂલ્ય $|e| = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
કોઈલનો અવરોધ $R$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R} = \left(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\right) \frac{1}{R}$ થશે.
પરિપથમાંથી પસાર થતો કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q = I \times \Delta t$ દ્વારા મળે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,$Q = \left(\frac{\Delta \phi}{\Delta t} \cdot \frac{1}{R}\right) \times \Delta t = \frac{\Delta \phi}{R}$ મળે છે.
આમ,પ્રેરિત પ્રવાહ $\left(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\right) \frac{1}{R}$ અને પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $\frac{\Delta \phi}{R}$ છે.

(D) બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = M \frac{dI_1}{dt} \dots (i)$
આપેલ છે કે $I_1 = I_0 \sin \omega t$, સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dI_1}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$e = M I_0 \omega \cos \omega t$
e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય $(e_{max})$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય:
$e_{max} = M I_0 \omega$
આપેલ કિંમતો: $M = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$, $I_0 = 10 \text{ A}$, અને $\omega = 100 \pi \text{ rad/s}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$e_{max} = (5 \times 10^{-3}) \times 10 \times 100 \pi$
$e_{max} = 5 \times 10^{-3} \times 10^3 \pi$
$e_{max} = 5 \pi \text{ V}$

(D) પ્રાયમરી કોઈલમાં તાત્કાલિક પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
આપેલ પીક પ્રવાહ $I_0 = \frac{2}{\pi} \text{ A}$ અને આવૃત્તિ $v = 50 \text{ Hz}$ છે。
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi v = 2 \pi(50) = 100 \pi \text{ rad/s}$ છે。
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = I_0 \omega \cos(\omega t)$ છે。
પ્રવાહમાં ફેરફારના દરનું મહત્તમ મૂલ્ય $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{\text{max}} = I_0 \omega$ છે。
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{\text{max}} = \left(\frac{2}{\pi}\right) \times (100 \pi) = 200 \text{ A/s}$.
સેકન્ડરી કોઈલમાં ઇન્ડ્યુસ થયેલ e.m.f. $E = M \left|\frac{dI}{dt}\right|$ છે,જ્યાં $M = 1 \text{ H}$ છે。
તેથી,પીક ઇન્ડ્યુસ્ડ e.m.f. $E_0 = 1 \times 200 = 200 \text{ V}$ છે。

(D) પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. (e.m.f.) ફેરાડેના નિયમ મુજબ $|e| = \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 50t^2 + 7$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $|e| = \frac{d}{dt}(50t^2 + 7) = 100t$ મળે છે.
$t = 4 \ s$ સમયે,પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. $|e| = 100(4) = 400 \ V$ થાય.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{e}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{400 \ V}{250 \ \Omega} = 1.6 \ A$ મળે છે.

(B) ભ્રમણ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું e.m.f. $e$ એ સળિયા દ્વારા ઘેરાતા ક્ષેત્રફળ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$e = \frac{d\phi}{dt} = B \frac{dA}{dt}$
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં,સળિયો $A = \pi l^2$ જેટલું ક્ષેત્રફળ ઘેરે છે.
જો સળિયો પ્રતિ સેકન્ડ $f$ પરિભ્રમણ કરતો હોય,તો એકમ સમયમાં ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ $\frac{dA}{dt} = f \cdot A = f \cdot \pi l^2$ થાય.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$e = B \cdot (f \cdot \pi l^2)$
આવૃત્તિ $f$ (પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા) માટે સૂત્ર બનાવતા:
$f = \frac{e}{B \pi l^2}$

(A) કોણીય વેગ $\omega$ (રેડિયન/સેકન્ડમાં) $\omega = 2 \pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે. અહીં $F$ એ r.p.m. માં છે,તેથી $f = \frac{F}{60}$.
આમ,$\omega = 2 \pi \frac{F}{60} = \frac{\pi F}{30}$.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે એક નાનો ઘટક $dr$ ધ્યાનમાં લો. આ ઘટક પર ઉદ્ભવતું ગતિકીય e.m.f. $dE = B v dr = B (r \omega) dr$ છે.
$r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરતા:
$E = \int_{0}^{R} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} = \frac{1}{2} B \omega R^2$.
$\omega = \frac{2 \pi F}{60}$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} B \left( \frac{2 \pi F}{60} \right) R^2 = \frac{B \pi F R^2}{60}$.
નોંધ: જો $F$ ને પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણ (rps) તરીકે લેવામાં આવે,તો જવાબ $\frac{1}{2} B \pi F R^2$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = B A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય,ત્યારે કોઈલનો લંબ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$ થાય.
આમ,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = B A \cos(0^{\circ}) = B A$ થાય,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi_B}{dt} = B A \omega \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ પર,$\omega t = 0$ હોવાથી,$\varepsilon = B A \omega \sin(0^{\circ}) = 0$ થાય.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ મહત્તમ છે અને પ્રેરિત $e.m.f.$ શૂન્ય છે.

(B) ધારો કે સળિયાના સ્થિર છેડાથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ છે.
આ ખંડનો વેગ $v = r \omega$ છે.
આ નાના ખંડ પર ઉદ્ભવતું ગતિકીય e.m.f. $de = B v dr = B (r \omega) dr$ છે.
સળિયાની સંપૂર્ણ લંબાઈ પર કુલ પ્રેરિત e.m.f. શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = l$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$e = \int_{0}^{l} B \omega r dr$
$e = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{l}$
$e = \frac{1}{2} B l^2 \omega = 0.5 B l^2 \omega$.

(A) ભ્રમણ કરતી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. $(e)$ $e = NAB \omega \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રેરિત ઈ.એમ.એફ. નું મહત્તમ મૂલ્ય $e_0 = NAB \omega$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{NAB \omega}{R}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{av} = \frac{e_0 i_0}{2}$ અથવા $P_{av} = \frac{e_0^2}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$P_{av} = \frac{(NAB \omega)^2}{2R} = \frac{N^2 A^2 B^2 \omega^2}{2R}$.

(B) જ્યારે $L$ લંબાઈનો વાહક $B$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $V$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. $(e.m.f.)$ $e = BLV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,જો આખી લૂપ ક્ષેત્રની અંદર હોય તો લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે. પરંતુ,જો લૂપ ક્ષેત્રમાં પ્રવેશતી હોય અથવા બહાર નીકળતી હોય,તો ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી બાજુ પર $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે.
લૂપમાં ઉષ્મા ઉર્જા ઉત્પન્ન થવાનો દર (પાવર) $P = \frac{e^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$e = BLV$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{(BLV)^2}{R} = \frac{B^2 L^2 V^2}{R}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ નું સૂત્ર: $e = B \cdot v \cdot l$ છે, જ્યાં $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, $v$ વેગ છે અને $l$ સળિયાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
$B = 3.6 \times 10^{-5} \text{ T}$
$v = 2.00 \text{ m/s}$
$l = 2 \text{ m}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = (3.6 \times 10^{-5}) \times 2.00 \times 2$
$e = 14.4 \times 10^{-5} \text{ V}$
$e = 0.144 \times 10^{-3} \text{ V}$
$e = 0.144 \text{ mV}$

(D) તકતીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ત્રિજ્યાવર્તી ખંડ વિચારો.
જેમ તકતી ફરે છે,તેમ આ ખંડ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ $v = r\omega$ ના રેખીય વેગથી ગતિ કરે છે.
આ નાના ખંડ પર ઉદ્ભવતું ગતિકીય e.m.f. $de = Bv dr = B(r\omega) dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર (અક્ષ) અને ધાર (ત્રિજ્યા $R$) વચ્ચે કુલ પ્રેરિત e.m.f. $e$ શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$e = \int_{0}^{R} B\omega r dr$
$e = B\omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R}$
$e = \frac{1}{2} B\omega R^2$.

(A) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ કોઈ પણ સમયે $t$ માટે $\phi = N A B \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = N A B \omega \sin(\omega t)$ છે.
મહત્તમ $EMF$ $e_0 = N A B \omega$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{N A B \omega}{R}$ છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્રમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{avg} = \frac{1}{2} e_0 i_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P_{avg} = \frac{1}{2} (N A B \omega) \left( \frac{N A B \omega}{R} \right) = \frac{N^2 A^2 B^2 \omega^2}{2 R}$.

(A) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે કરતા,જ્યાં $y = \phi$ અને $x = I$,આપણને ઢાળ $m = L$ મળે છે.
આલેખનો ઢાળ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ દર્શાવે છે,તેથી જે ઇન્ડક્ટરનો ઢાળ સૌથી ઓછો હશે તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી ઓછું હશે.
આલેખ જોતા,રેખા $D$ એ પ્રવાહ અક્ષ ($I$-અક્ષ) સાથે સૌથી નાનો ખૂણો બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $D$ નું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી ઓછું છે.

(A) આત્મપ્રેરકત્વ $L$ માટેનું સૂત્ર $L = \frac{N \phi}{i}$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$\phi$ એ દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$N = 400$
$\phi = 3 \times 10^{-3} \ Wb$
$i = 0.5 \ A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{0.5}$
$L = \frac{1200 \times 10^{-3}}{0.5}$
$L = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \ H$
તેથી,સોલેનોઈડનું આત્મપ્રેરકત્વ $2.4 \ H$ છે.

(D) $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગો સમકેન્દ્રી અને એક જ સમતલમાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નાની રીંગ (ત્રિજ્યા $r_2$) ના ક્ષેત્રફળ પર સમાન રહે છે.
નાની રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A_2$ છે,જ્યાં $A_2 = \pi r_2^2$ એ નાની રીંગનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) \times \pi r_2^2 = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા $M = \frac{\phi}{I}$ છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(C) $L_1$ અને $L_2$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $M = k \sqrt{L_1 L_2}$,જ્યાં $k$ એ કપલિંગ ગુણાંક છે.
અહીં એક ગૂંચળાનું ફ્લક્સ બીજા ગૂંચળા સાથે સંપૂર્ણપણે સંકળાયેલું હોવાથી,કપલિંગ સંપૂર્ણ છે,એટલે કે $k = 1$.
આપેલ છે કે $L_1 = 25 \ mH$ અને $L_2 = 9 \ mH$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \sqrt{25 \ mH \times 9 \ mH} = \sqrt{225 \ mH^2} = 15 \ mH$.

(B) બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત e.m.f. નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|e_s| = M \left| \frac{dI_p}{dt} \right|$.
આપેલ છે કે $I_p = I_0 \sin \omega t$, સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dI_p}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|e_s| = M I_0 \omega \cos \omega t$.
e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \omega t = 1$ હોય:
$|e_s|_{\max} = M I_0 \omega$.
આપેલ કિંમતો $M = 0.003 \ H$, $I_0 = 8 \ A$, અને $\omega = 100 \pi \ rad \ s^{-1}$ મૂકતા:
$|e_s|_{\max} = 0.003 \times 8 \times 100 \pi = 2.4 \pi \ V$.

(D) $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_2 \ll r_1$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A_2$ છે,જ્યાં $A_2 = \pi r_2^2$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) \times (\pi r_2^2) = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$ મળે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ $\phi = M I$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$.

(A) મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનને કારણે સેકન્ડરી કોઈલમાં પ્રેરિત e.m.f. નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e_s = M \cdot \frac{dI_p}{dt}$
જ્યાં:
$M = 2 \ H$ (મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્શનનો ગુણાંક)
$e_s = 2 \ kV = 2 \times 10^3 \ V$
$dI_p = 6 \ A - 3 \ A = 3 \ A$
સમય $(dt)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$dt = M \cdot \frac{dI_p}{e_s}$
કિંમતો મૂકતા:
$dt = 2 \times \frac{3}{2 \times 10^3} \ s$
$dt = 3 \times 10^{-3} \ s$

(A) સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જ્યારે $A$ અને $l$ અચળ રહે ત્યારે $L \propto N^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે આંટાની સંખ્યા બમણી કરવામાં આવે છે,એટલે કે $N_2 = 2N_1$.
તેથી,નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_2$ નીચે મુજબ થશે:
$L_2 = L_1 \times \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$
$L_2 = L_1 \times (2)^2$
$L_2 = 4 L_1$
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ મૂળ મૂલ્ય કરતા $4$ ગણું થાય છે.

(A) આપેલ છે: $N = 100$, $A = 1 \,cm^2 = 1 \times 10^{-4} \,m^2$, $L = 1 \,mH = 1 \times 10^{-3} \,H$, અને $I = 2 \,A$.
સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ ગૂંચળાની લંબાઈ છે।
આના પરથી, લંબાઈ $l$ થશે:
$l = \frac{\mu_0 N^2 A}{L} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (100)^2 \times (1 \times 10^{-4})}{1 \times 10^{-3}} = 4 \pi \times 10^{-3} \,m$.
સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય પ્રેરણ $B = \frac{\mu_0 N I}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$l$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 2}{4 \pi \times 10^{-3}} = 10^{-7} \times 200 \times 10^3 = 0.2 \,Wb/m^2$.

(C) સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \mu_0 n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
આમ,$L \propto n^2$ હોવાથી,જો એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા $n$ ને ત્રણ ગણી $(n' = 3n)$ કરવામાં આવે,તો નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L'$ નીચે મુજબ થશે:
$L' = \mu_0 (3n)^2 A l = 9 (\mu_0 n^2 A l) = 9L$.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ મૂળ મૂલ્ય કરતા $9$ ગણું થશે.