MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $C$ ની આવૃત્તિ $n$ છે।
આપેલ છે કે $A$ ની આવૃત્તિ $C$ કરતા $1.4 \%$ વધારે છે, તેથી $n_A = n + 0.014n = 1.014n$.
આપેલ છે કે $B$ ની આવૃત્તિ $C$ કરતા $2.6 \%$ ઓછી છે, તેથી $n_B = n - 0.026n = 0.974n$.
જ્યારે $A$ અને $B$ ને સાથે વગાડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા તેમની આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $|n_A - n_B| = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $1.014n - 0.974n = 10$.
$0.04n = 10$.
$n = \frac{10}{0.04} = \frac{1000}{4} = 250 \text{ Hz}$.

(B) બીટ આવૃત્તિ એ બે તરંગોની આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beat} = |f_2 - f_1|$.
અહીં $f_1 = 340 \ Hz$ અને $f_2 = 335 \ Hz$ આપેલ છે.
$f_{beat} = 340 \ Hz - 335 \ Hz = 5 \ Hz$.
બે ક્રમિક મહત્તમ વચ્ચેનો સમયગાળો એ બીટ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે:
$T = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{5} \ s = 0.2 \ s$.

(B) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈની પ્રથમ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{V}{2l}$ છે.
$(l+l_1)$ લંબાઈની બીજી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{V}{2(l+l_1)}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b$ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = f_1 - f_2 = \frac{V}{2l} - \frac{V}{2(l+l_1)}$.
પદને સરળ બનાવતા: $f_b = \frac{V}{2} \left[ \frac{(l+l_1) - l}{l(l+l_1)} \right] = \frac{V l_1}{2l(l+l_1)}$.
શરત $l_1 \ll l$ આપેલ હોવાથી,છેદમાં આપણે $(l+l_1) \approx l$ લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$f_b \approx \frac{V l_1}{2l^2}$.

(D) બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_2 - f_1| = |256 \,Hz - 250 \,Hz| = 6 \,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બીટ તરંગનો આવર્તકાળ $T_b = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{6} \,s$ છે।
તીવ્રતા $t=0$ સમયે મહત્તમ છે। તીવ્રતા બીટના આવર્તકાળના અડધા સમય પછી ન્યૂનતમ થાય છે, જે મહત્તમ અને ત્યારબાદના ન્યૂનતમ વચ્ચેના સમયગાળાને અનુરૂપ છે।
તેથી, જરૂરી સમય $t = \frac{T_b}{2} = \frac{1}{6 \times 2} = \frac{1}{12} \,s$ છે।

(C) ધારો કે ધ્વનિનો વેગ $v$ છે અને સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f$ છે. અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ $v_o = v/5$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર: $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f' = f \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = f \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2f$.
આવૃત્તિમાં થતો વધારો $\Delta f = f' - f = 1.2f - f = 0.2f$ છે.
ટકાવારી વધારો $\left( \frac{\Delta f}{f} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2f}{f} \right) \times 100 = 20 \%$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) પગલું $1$: સાયરનમાંથી આવતો અવાજ દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે. દીવાલ સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_1} \right)$ છે.
પગલું $2$: દીવાલ આ અવાજનું પરાવર્તન કરે છે. હવે,દીવાલ $n_1$ આવૃત્તિના સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે અને ડ્રાઈવર $V_1$ ઝડપથી દીવાલ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n_2 = n_1 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: $n_2$ ના સમીકરણમાં $n_1$ ની કિંમત મૂકતા: $n_2 = \left( n \frac{V}{V - V_1} \right) \left( \frac{V + V_1}{V} \right) = n \left( \frac{V + V_1}{V - V_1} \right)$.

(D) ધારો કે સીટીની મૂળ આવૃત્તિ $n$ છે અને અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n^{\prime}$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિ $30 \%$ ઘટે છે,તેથી અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n^{\prime} = n - 0.30n = 0.7n$ થાય.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n^{\prime} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 350 \ m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $v_s$ એ એન્જિનની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.7n = n \left( \frac{350}{350 + v_s} \right)$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા: $0.7 = \frac{350}{350 + v_s}$.
$0.7(350 + v_s) = 350$.
$245 + 0.7v_s = 350$.
$0.7v_s = 350 - 245 = 105$.
$v_s = \frac{105}{0.7} = 150 \ m/s$.

(A) આપેલ છે:
ઉદગમની આવૃત્તિ $(n_0) = 510 \,Hz$.
ઉદગમનો વેગ $(v_s) = 72 \,km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$.
હવામાં અવાજનો વેગ $(v) = 320 \,m/s$.
$(1)$ જ્યારે ઉદગમ સ્થિર શ્રોતા તરફ ગતિ કરતું હોય,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $(n_1)$ નીચે મુજબ મળે:
$n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$n_1 = 510 \times \left( \frac{320}{320 - 20} \right) = 510 \times \left( \frac{320}{300} \right) = 544 \,Hz$.
$(2)$ જ્યારે ઉદગમ સ્થિર શ્રોતાથી દૂર જતું હોય,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $(n_2)$ નીચે મુજબ મળે:
$n_2 = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
$n_2 = 510 \times \left( \frac{320}{320 + 20} \right) = 510 \times \left( \frac{320}{340} \right) = 480 \,Hz$.
આમ,આવૃત્તિઓ $544 \,Hz$ અને $480 \,Hz$ છે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે શ્રોતા $V_1$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_1 = F \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$
જ્યારે શ્રોતા $V_1$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_2 = F \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$
$V + V_1 = 2(V - V_1)$
$V + V_1 = 2V - 2V_1$
$3V_1 = V$
તેથી,$\frac{V}{V_1} = 3$.

(D) ધ્વનિ તરંગો માટે ડોપ્લરની અસર લાગુ પાડતા,અવલોકિત આવૃત્તિ $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{v_0}{v} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $v_0$ એ ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકારનો વેગ છે.
આપેલ છે કે અવલોકિત આવૃત્તિ એ ઉદગમની આવૃત્તિ કરતા ત્રણ ગણી છે,એટલે કે $n^{\prime} = 3n$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $3n = n \left( 1 + \frac{v_0}{v} \right)$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા: $3 = 1 + \frac{v_0}{v}$.
$v_0$ માટે ઉકેલતા: $\frac{v_0}{v} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $v_0 = 2v$.
તેથી,અવલોકનકારે ઉદગમ તરફ ધ્વનિના વેગ કરતા બમણા વેગથી ગતિ કરવી જોઈએ.

(A) દીવાલ પરાવર્તિત અવાજના સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી અવાજની આવૃત્તિ $n_w = n \left(\frac{V}{V-V_1}\right)$ છે.
આ પરાવર્તિત અવાજ ડ્રાઇવર માટે ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. ડ્રાઇવર દીવાલ (ઉદગમ) તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,ડ્રાઇવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n' = n_w \left(\frac{V+V_1}{V}\right)$ થશે.
$n_w$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $n' = n \left(\frac{V}{V-V_1}\right) \left(\frac{V+V_1}{V}\right) = n \left(\frac{V+V_1}{V-V_1}\right)$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $n^{\prime}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n^{\prime} = \left( \frac{V + V_{L}}{V - V_{S}} \right) n$
અહીં,શ્રોતાની ઝડપ $V_{L} = \frac{V}{10}$ અને ઉદગમની ઝડપ $V_{S} = \frac{V}{10}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$n^{\prime} = \left( \frac{V + \frac{V}{10}}{V - \frac{V}{10}} \right) n$
$n^{\prime} = \left( \frac{\frac{11V}{10}}{\frac{9V}{10}} \right) n$
$n^{\prime} = \frac{11}{9} n$
$n^{\prime} \approx 1.22 n$

(C) બે તરંગો કે જેમના કંપવિસ્તાર '$A_1$' અને '$A_2$' છે અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત '$\phi$' હોય,તો પરિણામી કંપવિસ્તાર '$R$' શોધવાનું સૂત્ર: $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi)}$ છે.
અહીં આપેલ છે: $A_1 = A$,$A_2 = A$,અને $\phi = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2(A)(A) \cos(\frac{\pi}{2})}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય છે,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2A^2} = \sqrt{2} A$.
આમ,પરિણામી તરંગનો મહત્તમ કંપવિસ્તાર $\sqrt{2} A$ છે.

(A) બે તરંગો કે જેમના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે અને કળા તફાવત $\phi = \phi_1 - \phi_2$ છે,તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi$
અહીં આપેલ છે કે $a_1 = a_2 = a$ અને પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = a$ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2 = a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos \phi$
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$
બંને બાજુથી $2a^2$ બાદ કરતા:
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$
$2a^2$ વડે ભાગતા:
$\cos \phi = -\frac{1}{2}$
તેથી,કળા તફાવત:
$\phi = \phi_1 - \phi_2 = \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

(A) પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/3$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ છે.
કિંમત મૂકતા,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$.
સમાન કંપવિસ્તાર $A$ ધરાવતા બે તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$ શોધવાનું સૂત્ર $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \phi}$ છે.
$\phi = 120^{\circ}$ અને $\cos(120^{\circ}) = -0.5$ મૂકતા:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2(-0.5)}$
$R = \sqrt{2A^2 - A^2}$
$R = \sqrt{A^2} = A$.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4L}$ છે.
ઓવરટોનની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n-1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ $3^{\text{rd}}$ હાર્મોનિક $(n=2)$ છે અને બીજો ઓવરટોન એ $5^{\text{th}}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ છે.
બંધ પાઇપમાં $n^{\text{th}}$ હાર્મોનિક માટે,નોડની સંખ્યા $n$ અને એન્ટિનોડની સંખ્યા $n$ હોય છે.
બીજો ઓવરટોન એ $3^{\text{rd}}$ કંપન મોડ $(n=3)$ ને અનુરૂપ હોવાથી,તેમાં $3$ નોડ અને $3$ એન્ટિનોડ હોય છે.

(D) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પાઇપનો $80\%$ ભાગ પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સપાટીની ઉપર રહેલા હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l = L - 0.8L = 0.2L = \frac{L}{5}$ થાય છે.
પાઇપ હવે એક છેડે બંધ (પાણીની સપાટી દ્વારા) હોવાથી,તે $l$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે વર્તે છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{V}{4l}$ છે.
$l = \frac{L}{5}$ મૂકતા,આપણને $f_2 = \frac{V}{4(L/5)} = \frac{5V}{4L}$ મળે છે.
હવે,$f_1:f_2$ નો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{V/2L}{5V/4L} = \frac{V}{2L} \times \frac{4L}{5V} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ થાય છે.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,બંને છેડા પરના અંતિમ સુધારા $(e)$ ને ધ્યાનમાં લેતા અસરકારક લંબાઈ $(L)$ નીચે મુજબ છે:
$L = l + 2e$
ખુલ્લી પાઇપ માટે અંતિમ સુધારો $e = 0.6r$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$L = l + 2(0.6r) = l + 1.2r$
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{v}{2L}$
$L$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{v}{2(l + 1.2r)}$

(C) ધારો કે સૌથી ટૂંકી રેઝોનન્સ લંબાઈ $l_1 = 15 \ cm$ છે અને અંતિમ સુધારો $e = 1 \ cm$ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપમાં પ્રથમ રેઝોનન્સ (મૂળભૂત મોડ) માટે:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$15 + 1 = \frac{\lambda}{4} \implies 16 = \frac{\lambda}{4} \implies \lambda = 64 \ cm$
આગામી રેઝોનન્સ લંબાઈ $l_2$ (પ્રથમ ઓવરટોન) માટે:
$l_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$l_2 + 1 = \frac{3 \times 64}{4}$
$l_2 + 1 = 3 \times 16$
$l_2 + 1 = 48$
$l_2 = 47 \ cm$

(A) ટ્યુનિંગ ફોર્ક એક છેડે બંધ પાઇપમાં રહેલા હવાના સ્તંભ સાથે અનુનાદમાં છે. અનુનાદિત આવૃત્તિ $n = \frac{(2N-1)v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = 1, 2, 3, \dots$ એ કંપનના વિવિધ મોડ્સ દર્શાવે છે.
$n = 340 \ Hz$ અને $v = 340 \ m/s$ (હવામાં અવાજની ઝડપ) મૂકતા,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ નીચે મુજબ મળે:
$l = \frac{(2N-1)v}{4n} = \frac{(2N-1) \times 340}{4 \times 340} = \frac{2N-1}{4} \ m = (2N-1) \times 25 \ cm$.
$N = 1, 2, 3, \dots$ માટે,હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ $l = 25 \ cm, 75 \ cm, 125 \ cm, \dots$ છે.
નળી માત્ર $120 \ cm$ લાંબી હોવાથી,હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ માત્ર $25 \ cm$ અને $75 \ cm$ હોઈ શકે.
પાણીના સ્તંભની અનુરૂપ ઊંચાઈ $h = \text{કુલ ઊંચાઈ} - l$ છે.
$l = 25 \ cm$ માટે,$h = 120 - 25 = 95 \ cm$.
$l = 75 \ cm$ માટે,$h = 120 - 75 = 45 \ cm$.
આમ,અનુનાદ માટે જરૂરી પાણીની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $45 \ cm$ છે.

(B) જ્યારે દોરીને બંને છેડે (દ્રઢ આધાર) બાંધવામાં આવે છે,ત્યારે આ બિંદુઓ પર સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ કારણ કે તે હલનચલન કરી શકતા નથી.
શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (Nodes) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,બંને છેડે પ્રસ્પંદ બિંદુઓ રચાય છે.
દોરીને કંપિત થવા માટે,બે સ્થિર છેડાઓની વચ્ચે મહત્તમ સ્થાનાંતર ધરાવતું ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ હોવું આવશ્યક છે,જેને પ્રતિ-પ્રસ્પંદ બિંદુ (Antinode) કહેવામાં આવે છે.
આમ,કંપનનો સૌથી સરળ પ્રકાર (મૂળભૂત મોડ) બંને છેડે પ્રસ્પંદ બિંદુઓ અને વચ્ચે ઓછામાં ઓછા એક પ્રતિ-પ્રસ્પંદ બિંદુ ધરાવે છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની કંપન આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T$ એ તારમાં રહેલું તણાવ છે,જે તેના પર લટકાવેલા દળ $M$ ના વજન દ્વારા મળે છે,તેથી $T = Mg$.
આમ,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે આવૃત્તિ $n$ અચળ રાખવા માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{l} \sqrt{g} = \text{અચળ}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $l \propto \sqrt{g}$.
પૃથ્વીના ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ $(g_p)$,વિષુવવૃત્ત $(g_e)$ કરતા વધારે હોવાથી,એટલે કે $g_p > g_e$,લંબાઈ $l$ ને તે મુજબ ગોઠવવી પડે.
વિષુવવૃત્ત પર જ્યાં $g$ ઓછું છે ત્યાં સમાન આવૃત્તિ જાળવી રાખવા માટે,$g$ માં ઘટાડાને સરભર કરવા માટે લંબાઈ $l$ ઘટાડવી જોઈએ જેથી ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{g}}{l}$ અચળ રહે.
તેથી,તારની કંપન કરતી લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.

(D) ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \ m = 100 \ cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક છેડે બંધ ટ્યુબ માટે,રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L$ એ $\frac{\lambda}{4}$ નો એકી ગુણાંક હોય,એટલે કે $L = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$
હવાના સ્તંભની શક્ય લંબાઈઓ $25 \ cm, 75 \ cm, 125 \ cm, \dots$ છે.
ટ્યુબની કુલ ઊંચાઈ $150 \ cm$ છે.
રેઝોનન્સ મેળવવા માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ ઉપરના મૂલ્યોમાંથી એક હોવી જોઈએ. પાણીના સ્તંભની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ મેળવવા માટે,આપણે ટ્યુબમાં સમાઈ શકે તેવી મહત્તમ શક્ય હવાના સ્તંભની લંબાઈ પસંદ કરવી જોઈએ,જે $125 \ cm$ છે.
પાણીના સ્તંભની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $= \text{કુલ ઊંચાઈ} - \text{મહત્તમ હવાના સ્તંભની લંબાઈ} = 150 \ cm - 125 \ cm = 25 \ cm$.

(B) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,$n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{(2n+1)V}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા ઓવરટોન માટે,$n=3$,તેથી $f = \frac{(2 \times 3 + 1)V}{4L_c} = \frac{7V}{4L_c}$.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{(n+1)V}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છઠ્ઠા ઓવરટોન માટે,$n=6$,તેથી $f = \frac{(6+1)V}{2L_o} = \frac{7V}{2L_o}$.
બંને આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{7V}{4L_c} = \frac{7V}{2L_o}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{4L_c} = \frac{1}{2L_o}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_c}{L_o} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે: પાઇપની લંબાઈ $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$,સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 2.2 \ kHz = 2200 \ Hz$,અવાજની ઝડપ $v = 330 \ m/s$.
બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = n \frac{v}{2l}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2200 = n \left[ \frac{330}{2 \times 0.6} \right]$
$2200 = n \left[ \frac{330}{1.2} \right]$
$2200 = n \times 275$
$n = \frac{2200}{275} = 8$.
તેથી,પાઇપનો $8^{\text{th}}$ હાર્મોનિક મોડ સ્ત્રોત સાથે અનુનાદિત થાય છે.

(B) ધ્વનિ તરંગની ઊર્જા $E$ એ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગ અને આવૃત્તિ $n$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે. ગાણિતિક રીતે,$E \propto A^2 n^2$.
$P$ અને $Q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા તરંગોની ઊર્જા સમાન હોવાથી,$E_P = E_Q$ થાય.
આથી,$A_P^2 n_P^2 = A_Q^2 n_Q^2$.
અહીં $n_P = n$ અને $n_Q = \frac{n}{4}$ આપેલ છે,તેથી:
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n}{4})^2$.
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n^2}{16})$.
બંને બાજુ $n^2$ વડે ભાગતા,$A_P^2 = \frac{A_Q^2}{16}$ મળે.
$A_Q^2 = 16 A_P^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$A_Q = 4 A_P$ મળે.

(C) બે અવાજોની તીવ્રતાનું સ્તર $L_2 = 60 \ dB$ અને $L_1 = 30 \ dB$ આપેલ છે.
અવાજની તીવ્રતાનું સૂત્ર $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ છે.
તીવ્રતાના સ્તરનો તફાવત $L_2 - L_1 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $60 - 30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$.
$30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$.
$\log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right) = 3$.
તેથી,$\frac{I_2}{I_1} = 10^3 = 1000$.
આમ,$60 \ dB$ નો અવાજ $30 \ dB$ ના અવાજ કરતા $1000$ ગણો વધુ તીવ્ર છે.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન તાપમાન $T$ માટે,હાઇડ્રોજન $(v_H)$ અને હિલિયમ $(v_{He})$ માં ધ્વનિના વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_H R T / M_H}{\gamma_{He} R T / M_{He}}} = \sqrt{\frac{\gamma_H M_{He}}{\gamma_{He} M_H}}$.
આપેલ છે:
$\gamma_H = 7/5$,$\gamma_{He} = 5/3$,
$M_H = 2 \text{ g/mol}$,$M_{He} = 4 \text{ g/mol}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{(7/5) \times 4}{(5/3) \times 2}} = \sqrt{\frac{28/5}{10/3}} = \sqrt{\frac{28}{5} \times \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{84}{50}} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{42}: 5$ છે.

(C) સ્થિર તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $y = 12 \cos \left(\frac{\pi}{6} x\right) \sin (8 \pi t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્થિર તરંગના સમીકરણ $y = A_0 \cos(kx) \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ મેળવીએ છીએ.
સમીકરણ પરથી,$k = \frac{\pi}{6}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 12 \ cm$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં બે ક્રમિક એન્ટિનોડ્સ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $= \frac{12 \ cm}{2} = 6 \ cm$ થાય છે.

(C) દોરીની લંબાઈ $L = 90 \ cm$ છે.
સ્થિત તરંગમાં $3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ $(N)$ છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
અહીં $3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ હોવાથી,તેમની વચ્ચે $2$ આવા વિભાગો (loops) બને છે.
તેથી,કુલ લંબાઈ $L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda$.
આપેલ છે કે $L = 90 \ cm$,તેથી $\lambda = 90 \ cm$ થાય.

(C) અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_1 = 90 \,Hz$, $f_2 = 150 \,Hz$ અને $f_3 = 210 \,Hz$ આપેલ છે.
ક્રમિક આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = 60 \,Hz$ છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 30 \,Hz$ મળે છે કારણ કે $90 = 3 \times 30$, $150 = 5 \times 30$, $210 = 7 \times 30$.
સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2L}$ નો ઉપયોગ કરતા, $n=3$ માટે $f_3 = \frac{3v}{2L} = 90 \,Hz$.
અહીં $L = 0.8 \,m$ છે, તેથી $90 = \frac{3v}{2 \times 0.8}$.
$90 = \frac{3v}{1.6} \implies 3v = 144 \implies v = 48 \,m/s$.

(C) પરિણામી સ્થાનાંતર $Y$ એ સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ મળે છે: $Y = Y_1 + Y_2$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) + \sin(A + B) = 2 \sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \frac{2 \pi t}{0.4}$ અને $B = \frac{2 \pi x}{4}$,આપણને મળે છે:
$Y = 2 \sin \left( \frac{2 \pi t}{0.4} \right) \cos \left( \frac{2 \pi x}{4} \right)$.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર સ્થિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $R$ એ $R = |2 \cos \left( \frac{2 \pi x}{4} \right)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 0.5 \ m$ મૂકતા:
$R = 2 \cos \left( \frac{2 \pi \times 0.5}{4} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $R = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.002 \sin(100t + x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$
તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ rad/m$
કંપવિસ્તાર $a = 0.002 \ m$
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ Hz$.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{1} = 100 \ m/s$.
અહીં $\omega t$ અને $kx$ વચ્ચે ધન ચિહ્ન હોવાથી,તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,આ તરંગ $100 \ m/s$ ના વેગ સાથે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $(n) = 400 \ Hz$,વેગ $(v) = 336 \ m/s$,કળા તફાવત $(\phi) = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ rad$.
સૌ પ્રથમ,$v = n \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{336}{400} = 0.84 \ m$.
પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{0.84}{2\pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{0.84}{6} = 0.14 \ m$.
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $0.14 \ m$ છે.

(C) તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{30}{250} = 0.12 \ m$.
$\Delta x$ જેટલા પથ તફાવત ધરાવતા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi$ એ $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta\phi = \frac{2\pi}{0.12} \times 0.1$.
$\Delta\phi = \frac{0.2\pi}{0.12} = \frac{20\pi}{12} = \frac{5\pi}{3} \ radian$.

(B) એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $(m)$:
$m = \frac{M}{l} = \frac{0.2 \ kg}{2 \ m} = 0.1 \ kg/m$
લંબગત તરંગનો વેગ $(v)$:
$v = \sqrt{\frac{T}{m}} = \sqrt{\frac{2.5 \ N}{0.1 \ kg/m}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$
તરંગને બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$:
$t = \frac{l}{v} = \frac{2 \ m}{5 \ m/s} = 0.4 \ s$

(B) $N$ ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર $(N-1) \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે કે $5$ ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર $0.8 \ m$ છે,તેથી:
$4 \lambda = 0.8 \ m$
$\lambda = \frac{0.8}{4} = 0.2 \ m$
તરંગના સમીકરણ $v = n \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $n$ એ આવૃત્તિ છે:
$n = \frac{v}{\lambda}$
આપેલ કિંમતો $v = 56 \ m/s$ અને $\lambda = 0.2 \ m$ મૂકતા:
$n = \frac{56}{0.2} = 280 \ Hz$
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $280 \ Hz$ છે.

(C) બંને છેડે જડિત દોરી માટે,તરંગ એક સ્થિત તરંગ ભાત (stationary wave pattern) બનાવે છે.
ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L$ છે અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.
દોરીમાં બનતા લૂપ્સની સંખ્યા $n$ છે,જ્યાં $n = x - 1$ (કારણ કે બે જડિત છેડાઓ સહિત કુલ $x$ નોડ્સ છે).
દોરીની લંબાઈ $L = n \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = x - 1$ મૂકતા,આપણને $L = (x - 1) \frac{\lambda}{2}$ મળે છે.

(B) જ્યારે દોરી બંને છેડેથી જડિત (fixed) હોય છે,ત્યારે તરંગો દોરી પર ગતિ કરે છે અને જડિત સીમાઓ પરથી પરાવર્તિત થાય છે. આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોના સંપાતપણાને કારણે સ્થિર (standing) તરંગો રચાય છે. દોરીના કણોનું સ્થાનાંતર તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોવાથી,આ તરંગો લંબવત (transverse) પ્રકારના હોય છે. તેથી,આ તરંગો સ્થિર લંબવત તરંગો છે.

(C) તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \rho \pi r^2$ છે.
તાર $B$ માટે: $n_B = \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}}$.
તાર $A$ માટે આપેલ છે: $l_A = 2l_B$,$d_A = 2d_B \Rightarrow r_A = 2r_B$,$T_A = 2T_B$,અને $\rho_A = 2\rho_B$.
$\mu_A$ ની ગણતરી કરતા: $\mu_A = \rho_A \pi r_A^2 = (2\rho_B) \pi (2r_B)^2 = 8 \rho_B \pi r_B^2 = 8\mu_B$.
હવે,તાર $A$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ: $n_A = \frac{1}{2l_A} \sqrt{\frac{T_A}{\mu_A}} = \frac{1}{2(2l_B)} \sqrt{\frac{2T_B}{8\mu_B}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}} \right) = \frac{1}{4} n_B$.
તાર $A$ ના $p^{\text{મા}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_p = (p+1)n_A$ છે.
આપણે $f_p = n_B$ જોઈએ છે,તેથી $(p+1) \frac{n_B}{4} = n_B$.
આનાથી $p+1 = 4$,અથવા $p = 3$ મળે છે.
આમ,તાર $A$ નો $3^{\text{જો}}$ ઓવરટોન તાર $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિ ધરાવશે.

(A) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તારમાં રહેલું તણાવ છે.
જ્યારે $W$ વજનનો ગોળો હવામાં હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = W$. તેથી,$n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W}{\mu}}$.
જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ લાગે છે,જેનાથી તણાવ ઘટીને $T_2 = W - F_B$ થાય છે. તેથી,$n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W - F_B}{\mu}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{W}{W - F_B}} \implies \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - F_B}$.
સાપેક્ષ ઘનતા $\sigma = \frac{W}{F_B}$.
ગુણોત્તરને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - (W/\sigma)} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$\sigma$ માટે ઉકેલતા: $n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
તેથી,$\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.

(C) ખેંચાયેલી દોરીના મૂળભૂત મોડની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે. પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
જ્યારે તણાવ $3 \ kg \ wt$ જેટલો વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવો તણાવ $T' = T + 3$ થાય છે. નવી આવૃત્તિ $f' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+3}{m}}$ થાય છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f : f' = 2 : 3$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{f}{f'} = \sqrt{\frac{T}{T+3}} = \frac{2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T}{T+3} = \frac{4}{9}$
$9T = 4(T + 3)$
$9T = 4T + 12$
$5T = 12$
$T = 2.4 \ kg \ wt$
આમ,દોરીમાં પ્રારંભિક તણાવ $2.4 \ kg \ wt$ છે.

(B) સોનોમીટર માટે,કંપન આવૃત્તિ $n$ એ તણાવ $T$ ના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $n \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે વજન હવામાં હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g$ છે,જ્યાં $V$ એ વજનનું કદ છે,$d$ એ તેની વિશિષ્ટ ઘનતા છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આમ,$n \propto \sqrt{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}$.
જ્યારે વજનને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળને કારણે અસરકારક વજન (તણાવ) $T_2 = V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g$ બને છે.
નવી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = n - x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે).
આમ,$n' \propto \sqrt{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}$.
બંને આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}}$
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{d}{d-1}}$.

(A) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે મૂળભૂત અનુનાદ આવૃત્તિ $L$ લંબાઈ માટે $n_1 = \frac{V}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે મૂળભૂત અનુનાદ આવૃત્તિ $L$ લંબાઈ માટે $n_2 = \frac{V}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$n_2 = \frac{V}{4L} = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{2L} \right)$
$n_2 = \frac{n_1}{2}$
તેથી,$n_1 = 2 n_2$.

(A) ધારો કે ત્રણ ભાગોની લંબાઈ અનુક્રમે $L_1$,$L_2$ અને $L_3$ છે. કુલ લંબાઈ $L_1 + L_2 + L_3 = 110 \ cm$ છે.
અચળ તણાવ હેઠળ સોનોમીટરના તાર માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ એ લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto 1/L)$,તેથી $n_1 L_1 = n_2 L_2 = n_3 L_3 = k$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ આપેલ છે,તેથી $n_1 = x, n_2 = 2x, n_3 = 3x$.
આ કિંમતો સંબંધમાં મૂકતા: $x L_1 = 2x L_2 = 3x L_3$.
આના પરથી $L_2 = L_1/2$ અને $L_3 = L_1/3$ મળે છે.
કુલ લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $L_1 + L_1/2 + L_1/3 = 110 \ cm$.
છેદ દૂર કરવા માટે $6$ વડે ગુણતા: $6 L_1 + 3 L_1 + 2 L_1 = 660 \ cm$.
$11 L_1 = 660 \ cm \Rightarrow L_1 = 60 \ cm$.
તેથી $L_2 = 30 \ cm$ અને $L_3 = 20 \ cm$.
પ્રથમ બ્રિજ છેડા $A$ થી $60 \ cm$ પર મૂકવો જોઈએ. બીજો બ્રિજ છેડા $A$ થી $60 + 30 = 90 \ cm$ પર મૂકવો જોઈએ.

(B) બંને છેડે જડેલા તાર માટે $p$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_p = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f_p = 320 \ Hz$ અને તેની પછીની ઉચ્ચ આવૃત્તિ $f_{p+1} = 400 \ Hz$ છે.
આપણે ગુણોત્તર લઈએ: $\frac{f_{p+1}}{f_p} = \frac{p+1}{p}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{400}{320} = \frac{p+1}{p}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5}{4} = \frac{p+1}{p}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $5p = 4(p+1) \Rightarrow 5p = 4p + 4$.
તેથી,$p = 4$.

(C) બંને છેડે જડેલા તાર માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
$n$-મું હાર્મોનિક એ $(n-1)$-મું ઓવરટોન દર્શાવે છે.
તેથી,ત્રીજું ઓવરટોન એ $4$-થું હાર્મોનિક $(n = 4)$ છે.
$n$-માં હાર્મોનિકમાં,લૂપ્સની સંખ્યા $n$ હોય છે.
$4$-થા હાર્મોનિક માટે,$4$ લૂપ્સ હોય છે.
નોડની સંખ્યા $(n + 1) = 4 + 1 = 5$ છે.
એન્ટિનોડની સંખ્યા $n = 4$ છે.
આમ,તેમાં $5$ નોડ અને $4$ એન્ટિનોડ હોય છે.

(D) વર્તુળાકાર આડછેદ ધરાવતી નળી માટે અંતિમ સુધારો $e$ નું સૂત્ર $e = 0.6r$ અથવા $e = 0.3d$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $d$ એ નળીનો વ્યાસ છે.
અંતિમ સુધારો $e$ એ નળીના વ્યાસ $d$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(e \propto d)$,નળીનો વ્યાસ વધારવાથી અંતિમ સુધારો પણ વધશે.
તેથી,જો નળીને પહોળી કરવામાં આવે તો અંતિમ સુધારો વધુ હશે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_0)$ જેટલો હોય છે.
$f_0 = f_2 - f_1 = 450 \ Hz - 375 \ Hz = 75 \ Hz$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર $f_0 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T = 180 \ N$ અને $\mu = 2 \times 10^{-3} \ kg/m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $75 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{180}{2 \times 10^{-3}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{90000} = \frac{300}{2L} = \frac{150}{L}$.
આમ,$L = \frac{150}{75} = 2 \ m$.
દોરીનું કુલ દળ $m = \mu \times L = (2 \times 10^{-3} \ kg/m) \times (2 \ m) = 4 \times 10^{-3} \ kg = 4 \ g$ થાય.

(D) આપેલ છે: $T_A = T_B = T$,$r_A = 2r_B$.
દોરી માટે $n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (n+1) \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$.
$A$ નો પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$: $f_{A,1} = 2 \times \frac{1}{2L_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{L_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ નો બીજો ઓવરટોન $(n=2)$: $f_{B,2} = 3 \times \frac{1}{2L_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2L_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
બંને આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{1}{L_A r_A} = \frac{3}{2L_B r_B}$.
$r_A = 2r_B$ મૂકતા: $\frac{1}{L_A (2r_B)} = \frac{3}{2L_B r_B}$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{2L_A} = \frac{3}{2L_B} \implies \frac{L_B}{L_A} = \frac{3}{1}$.

(D) સમય $t$ માં અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = 3 \text{ કલાક} = 180 \text{ મિનિટ}$ અને $T_{1/2} = 60 \text{ મિનિટ}$ આપેલ છે.
તેથી,$n = \frac{180}{60} = 3$.
બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ છે.
ક્ષય પામેલા પદાર્થનો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ છે.
ટકામાં રૂપાંતર કરતા: $\frac{7}{8} \times 100 \% = 87.5 \%$.

(B) $1$. પ્રથમ તબક્કામાં,${ }_z X^A \rightarrow{ }_{z+1} Y^A$,પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે જ્યારે દળ ક્રમાંક સમાન રહે છે. આ $\beta^-$ કણ $(-1\beta^0)$ ના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજા તબક્કામાં,${ }_{z+1} Y^A \rightarrow{ }_{z-1} K^{A-4}$,પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે. આ $\alpha$ કણ $(2\text{He}^4)$ ના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$3$. ત્રીજા તબક્કામાં,${ }_{z-1} K^{A-4} \rightarrow{ }_{z-1} K^{A-4}$,પરમાણુ ક્રમાંક કે દળ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,જે $\gamma$ કિરણ $(0\gamma^0)$ ના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$4$. તેથી,ઉત્સર્જનનો ક્રમ $\beta, \alpha, \gamma$ છે.

(D) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t} \dots (i)$.
પદાર્થ $B$ માટે,$N_B = N_0 e^{-\lambda t} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4 \lambda t = -2$.
તેથી,$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.

(B) અંતરે રહેલા $P_1$ અને $P_2$ પાવર ધરાવતા બે પાતળા લેન્સનો સમતુલ્ય પાવર $P_{eq}$ નીચે મુજબ છે: $P_{eq} = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$.
આપેલ છે કે $P_1 + P_2 = 9 \text{ D}$ અને $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$9 - (0.2) P_1 P_2 = \frac{27}{5} = 5.4$.
$P_1 P_2$ માટે પદ ગોઠવતા:
$0.2 P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$.
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$.
હવે આપણી પાસે બે સમીકરણો છે: $P_1 + P_2 = 9$ અને $P_1 P_2 = 18$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 9x + 18 = 0$ ના બીજ છે.
અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x - 6) = 0$.
આમ,બંને લેન્સનો પાવર $3 \text{ D}$ અને $6 \text{ D}$ છે.

(B) ક્રાંતિકોણ $i_c$ એ $i_c = \sin^{-1}(1/n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto 1/\lambda)$.
જાંબલી,નીલો અને વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી હોય છે,તેથી આ રંગો માટે વક્રીભવનાંક $n$ લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે.
$i_c = \sin^{-1}(1/n)$ હોવાથી,વધારે વક્રીભવનાંક $n$ ને કારણે ક્રાંતિકોણ $i_c$ નાનો મળે છે.
તેથી,જાંબલી,નીલો અને વાદળી પ્રકાશ માટે ક્રાંતિકોણ એ આપાતકોણ (જે લીલા પ્રકાશ માટેના ક્રાંતિકોણ જેટલો છે) કરતા ઓછો હોય છે.
પરિણામે,આ રંગો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે.
તેનાથી વિપરીત,લાલ,નારંગી અને પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હોય છે,જેના પરિણામે વક્રીભવનાંક ઓછો અને ક્રાંતિકોણ મોટો મળે છે,તેથી તેઓ હવામાં બહાર નીકળી જશે.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવું જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $(i)$ એ ક્રાંતિકોણ $(i_c)$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(D) ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ નું સૂત્ર $\sin i_{c} = \frac{1}{n}$ છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જ્યારે વક્રીભવનાંક $n$ મહત્તમ હોય ત્યારે $i_{c}$ લઘુત્તમ હોય છે.
કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto \frac{1}{\lambda^2})$.
આપેલા વિકલ્પોમાં વાદળી રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછી હોવાથી,કાચમાં તેનો વક્રીભવનાંક સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,વાદળી રંગ માટે ક્રાંતિકોણ $i_{c}$ લઘુત્તમ હોય છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશ $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી $n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં જાય ત્યારે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટેનો ક્રાંતિકોણ $c$ નીચે મુજબ મળે છે: $\sin c = \frac{n_2}{n_1}$,જ્યાં $n_1 > n_2$.
ગુણોત્તર $\frac{n_2}{n_1}$ જેટલો નાનો,તેટલો $\sin c$ નાનો અને તેથી ક્રાંતિકોણ $c$ પણ નાનો મળે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$TIR$ માટે માત્ર એ જ પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે જેમાં પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક બીજા કરતા વધારે હોય.
કાચમાંથી હવામાં $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{air}} \approx 1.0)$: $\sin c = \frac{1.0}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$,જે $c \approx 41.8^{\circ}$ આપે છે.
કાચમાંથી પાણીમાં $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{water}} \approx 1.33)$: $\sin c = \frac{1.33}{1.5} \approx 0.887$,જે $c \approx 62.5^{\circ}$ આપે છે.
સ્પષ્ટ છે કે,કાચમાંથી હવામાં જતી વખતે ક્રાંતિકોણ નાનો હોય છે.
તેથી,જ્યારે પ્રકાશ કાચમાંથી હવામાં જાય ત્યારે ક્રાંતિકોણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(D) સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર એ વ્યક્તિગત લેન્સના પાવરનો બેઝિક સરવાળો છે.
$P = P_1 + P_2$
અહીં $P_1 = +2.50 \ D$ અને $P_2 = -3.75 \ D$ આપેલ છે.
$P = 2.50 + (-3.75) = -1.25 \ D$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ મીટરમાં પાવર $P$ ના વ્યસ્ત જેટલી હોય છે:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-1.25} \ m$.
$f = -0.8 \ m$.
$1 \ m = 100 \ cm$ હોવાથી:
$f = -0.8 \times 100 \ cm = -80 \ cm$.

(D) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $= f$,મોટવણી $m = -2$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને ઉલટું છે).
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = -2u$ મળે છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-2u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{-1 - 2}{2u} = \frac{1}{f}$
$\frac{-3}{2u} = \frac{1}{f}$
$2u = -3f$
$u = -1.5f$.
વસ્તુના અંતરનું મૂલ્ય $1.5f$ છે.

(D) આપેલ છે કે મોટવણી $m = -n$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે).
મોટવણીની વ્યાખ્યા મુજબ,$m = \frac{v}{u} = -n$,જે સૂચવે છે કે $v = -nu$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-nu} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{f} = \frac{-1 - n}{nu} = -\frac{n+1}{nu}$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે $f$ ધન હોવાથી,આપણે વસ્તુના અંતર $u$ નું મૂલ્ય ધ્યાનમાં લઈએ છીએ (જ્યાં $u$ ઋણ છે,તેથી ધારો કે $u = -x$):
$\frac{1}{f} = \frac{n+1}{nx} \implies x = f(\frac{n+1}{n}) = f(1 + \frac{1}{n})$.
આમ,લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $f(1 + \frac{1}{n})$ છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, હવામાં લેન્સનો પાવર $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 2.5 \ D$
જ્યારે લેન્સને $\mu_l$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીની સાપેક્ષમાં લેન્સનો અસરકારક વક્રીભવનાંક $\mu' = \frac{\mu}{\mu_l}$ થાય છે.
નવો પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = (\mu' - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P'}{P} = \frac{\mu' - 1}{\mu - 1}$
અહીં $\mu = 1.5$ અને $\mu_l = 2$ આપેલ છે, તેથી $\mu' = \frac{1.5}{2} = 0.75$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P'}{2.5} = \frac{0.75 - 1}{1.5 - 1} = \frac{-0.25}{0.5} = -0.5$
$P' = -0.5 \times 2.5 = -1.25 \ D$

(D) ધારો કે $PO = QO = x$.
સંજ્ઞા પદ્ધતિ મુજબ,વસ્તુ અંતર $u = -x$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = +x$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વક્રીભવનકારક સપાટીની બીજી બાજુ રચાય છે).
ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
અહીં,$n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = 1.4$ (કાચ).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.4}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.4 - 1}{R}$
$\frac{1.4}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.4}{R}$
$\frac{2.4}{x} = \frac{0.4}{R}$
$x = \frac{2.4}{0.4} R$
$x = 6R$
તેથી,અંતર $PO = 6R$ થાય.

(B) પાવર $(P) = \frac{1}{f} \dots (i)$
આપેલ છે કે,પાવરના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{|P_{\text{concave}}|}{|P_{\text{convex}}|} = \frac{2}{3} \dots (ii)$
ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{\text{convex}} = f$ (ધન) અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{\text{concave}} = -f'$ (ઋણ) છે.
$P = \frac{1}{f}$ હોવાથી,પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{1/f'}{1/f} = \frac{f}{f'} = \frac{2}{3}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f' = \frac{3}{2}f$.
આમ,$f_{\text{convex}} = f$ અને $f_{\text{concave}} = -\frac{3}{2}f$.
સંપર્કમાં રહેલા બે લેન્સ માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_{\text{convex}}} + \frac{1}{f_{\text{concave}}}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{f} - \frac{1}{\frac{3}{2}f} = \frac{1}{f} - \frac{2}{3f} = \frac{3-2}{3f} = \frac{1}{3f}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{3f} \Rightarrow 3f = 30 \Rightarrow f = 10 \ cm$.
તેથી,$f_{\text{convex}} = 10 \ cm$ અને $f_{\text{concave}} = -\frac{3}{2}(10) = -15 \ cm$.

(A) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $f$ મીટરમાં છે).
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_1 = +40 \ cm = +0.4 \ m$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_2 = -25 \ cm = -0.25 \ m$.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{0.4} + \frac{1}{-0.25}$.
$P = 2.5 - 4.0 = -1.5 \ D$.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ એ $P = \frac{1}{f(m)}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_1 = +40 \ cm = +0.4 \ m$. તેથી,$P_1 = \frac{1}{0.4} = +2.5 \ D$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$f_2 = -25 \ cm = -0.25 \ m$. તેથી,$P_2 = \frac{1}{-0.25} = -4.0 \ D$.
સંપર્કમાં રહેલા લેન્સના સંયોજનનો પાવર $P = P_1 + P_2$ છે.
$P = 2.5 \ D + (-4.0 \ D) = -1.5 \ D$.

(C) અંતર્ગોળ અરીસા માટે, વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે મોટવણી $m$ ઋણ હોય છે, તેથી $m = -n$ થાય.
મોટવણીની વ્યાખ્યા મુજબ, $m = -\frac{v}{u}$, જ્યાં $v$ એ પ્રતિબિંબ અંતર છે અને $u$ એ વસ્તુ અંતર છે.
આમ, $-n = -\frac{v}{u} \implies v = nu$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
અંતર્ગોળ અરીસો હોવાથી, કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ લેવામાં આવે છે, એટલે કે $-f$. વસ્તુ અંતર $u$ પણ ઋણ લેવામાં આવે છે, એટલે કે $-u$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-f} = \frac{1}{-nu} + \frac{1}{-u}$.
$-1$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{nu} + \frac{1}{u} = \frac{1+n}{nu}$.
$u$ ને કર્તા બનાવતા: $u = \left(\frac{n+1}{n}\right) f$.

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ નું સૂત્ર $R.P. = \frac{D}{1.22\lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ (એપર્ચર) છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ અવલોકન માટે તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નિશ્ચિત હોવાથી,વિભેદન શક્તિ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના એપર્ચર $(D)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(R.P. \propto D)$.
તેથી,વધુ સારી વિભેદન શક્તિ (બે નજીકની વસ્તુઓને અલગ પાડવાની ક્ષમતા) મેળવવા માટે,ટેલિસ્કોપમાં મોટા એપર્ચરવાળા ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(D) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન સીમા $(d)$ એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $d \propto \lambda$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,આપણે ગુણોત્તર આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
આપેલ છે: $d_1 = 0.1 \ mm$,$\lambda_1 = 6000 \ Å$,અને $\lambda_2 = 4800 \ Å$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.1}{d_2} = \frac{6000}{4800}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{6000}{4800} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4} = 1.25$.
આમ,$d_2 = \frac{0.1}{1.25} = 0.08 \ mm$.

(A) સામાન્ય ગોઠવણમાં ખગોળીય ટેલિસ્કોપ માટે,ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $L$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_0)$ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$L = f_0 + f_e$
આપેલ છે:
$f_0 = 1.5 \ m$
$L = 1.56 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.56 = 1.5 + f_e$
$f_e = 1.56 - 1.5$
$f_e = 0.06 \ m$
તેથી,આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $0.06 \ m$ છે.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(P)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
અહીં,$\mu$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,$\theta$ એ વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના શંકુનો અડધો ખૂણો છે,અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
રિઝોલ્વિંગ પાવર સુધારવા માટે,અંશમાં વધારો કરવો અથવા છેદમાં ઘટાડો કરવો જરૂરી છે.
તેથી,વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ વધારવાથી રિઝોલ્વિંગ પાવરમાં વધારો થાય છે.

(A) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(R.P.)$ નું સૂત્ર $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ (એપર્ચર) છે અને $\lambda$ એ વપરાતી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
આકાશી પદાર્થોમાંથી આવતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ નિશ્ચિત હોવાથી,રિઝોલ્વિંગ પાવર વધારવાનો એકમાત્ર રસ્તો ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ $(D)$ વધારવાનો છે.
મોટું એપર્ચર ટેલિસ્કોપમાં વધુ પ્રકાશને પ્રવેશવા દે છે,જેનાથી ઝાંખા પદાર્થો વધુ સ્પષ્ટ દેખાય છે.
તેથી,એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપમાં ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન મેળવવા માટે મોટું એપર્ચર રાખવામાં આવે છે.

(A) સાદા માઇક્રોસ્કોપની મોટવણી $(M)$ નું સૂત્ર $M = 1 + \frac{D}{f}$ છે, જ્યાં $D$ એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર છે અને $f$ એ બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
કોશીના વિભાજનના સૂત્ર મુજબ, દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ ટૂંકી તરંગલંબાઈ (વાદળી પ્રકાશ) માટે વધુ અને લાંબી તરંગલંબાઈ (લાલ પ્રકાશ) માટે ઓછો હોય છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ, લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ વક્રીભવનાંક સાથે સંબંધિત છે, તેથી જેમ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ વધે છે તેમ $f$ વધે છે.
તેથી, લાલ પ્રકાશ માટેની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_{red})$ એ વાદળી પ્રકાશની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_{blue})$ કરતા વધારે હોય છે.
જેમ કે $M = 1 + \frac{D}{f}$, કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માં વધારો થવાથી મોટવણી $M$ માં ઘટાડો થાય છે.
આમ, વાદળી પ્રકાશમાંથી લાલ પ્રકાશમાં બદલાવ થતા, મોટવણી ઘટે છે.

(C) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સને વસ્તુની ખૂબ નજીક રાખવામાં આવે છે જેથી વાસ્તવિક,ઉલટું અને મોટું પ્રતિબિંબ મળે.
વધારે મોટવણી અને ઉચ્ચ રિઝોલ્વિંગ પાવર મેળવવા માટે,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_o)$ નાની હોવી જોઈએ.
વધુમાં,નાની વસ્તુમાંથી શક્ય તેટલો વધુ પ્રકાશ એકત્રિત કરવા અને રિઝોલ્યુશન સુધારવા માટે,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સને મોટા એપર્ચર સાથે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે.
તેથી,સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ નાની અને એપર્ચર મોટું હોય છે.

(A) આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 30^{\circ}$,આપાતકોણ $i_1 = 60^{\circ}$ અને વિચલન કોણ $\delta = 30^{\circ}$.
પ્રિઝમ માટે,વિચલનનું સૂત્ર $\delta = (i_1 + i_2) - A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $30^{\circ} = (60^{\circ} + i_2) - 30^{\circ}$.
$30^{\circ} = 30^{\circ} + i_2$,જે આપણને $i_2 = 0^{\circ}$ આપે છે.
નિર્ગમન કોણ $i_2 = 0^{\circ}$ હોવાથી,નિર્ગમન કિરણ બીજી સપાટીને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0^{\circ}$ છે.
સંબંધ $r_1 + r_2 = A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r_1 + 0^{\circ} = 30^{\circ}$ મળે છે,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu_1 \sin i_1 = \mu_2 \sin r_1$.
આસપાસનું માધ્યમ હવા છે તેમ ધારતા $(\mu_1 = 1)$: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu_2 \sin 30^{\circ}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \mu_2 \cdot \frac{1}{2}$.
તેથી,$\mu_2 = \sqrt{3} \approx 1.732$.

(B) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની શરત સૂત્ર $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ પ્રિઝમમાં,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ હોય છે.
આપાતકોણ $i = 50^{\circ}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$50^{\circ} = \frac{60^{\circ} + \delta_m}{2}$
$100^{\circ} = 60^{\circ} + \delta_m$
$\delta_m = 100^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$.
આમ,લઘુત્તમ વિચલનનો કોણ $40^{\circ}$ છે.

(A) વક્રીભવન માટે વિચલનકોણ $\delta = i - r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin r = \frac{\sin i}{\mu}$.
કારણ કે $\delta = i - r$,તેથી $r = i - \delta$.
$\mu$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(i - \delta)}$
વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin(i - \delta)}{\sin i}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin i \cos \delta - \cos i \sin \delta}{\sin i}$
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin i \cos \delta}{\sin i} - \frac{\cos i \sin \delta}{\sin i}$
$\frac{1}{\mu} = \cos \delta - \frac{\sin \delta}{\tan i}$

(A) સામાન્ય પ્રિઝમનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$ છે.
સમમિતિય (સમબાજુ) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ હોય છે.
સૂત્રમાં $A = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{60^{\circ}+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)}$
$\mu = \frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)}{\sin 30^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\mu = \frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)}{1/2}$
$\mu = 2 \sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)$.

(D) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
હવામાં,હવાના સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક $_{a}\mu_{g} = \frac{3}{2}$ છે. તેથી,$\delta_1 = (_{a}\mu_{g} - 1)A = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
જ્યારે પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીના સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક $_{w}\mu_{g} = \frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
નવો લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_2 = (_{w}\mu_{g} - 1)A = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$ છે.
$\delta_2$ અને $\delta_1$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{\frac{1}{8}A}{\frac{1}{2}A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\delta_2 = \frac{\delta_1}{4}$.

(C) વિભાજન શક્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{\delta_v - \delta_R}{\delta_y}$ છે,જ્યાં $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_R}{2}$ એ સરેરાશ વિચલન છે.
પ્રિઝમ $A$ માટે:
$\delta_y = \frac{12^{\circ} + 10^{\circ}}{2} = 11^{\circ}$.
$\omega_A = \frac{12^{\circ} - 10^{\circ}}{11^{\circ}} = \frac{2}{11}$.
પ્રિઝમ $B$ માટે:
$\delta_y = \frac{10^{\circ} + 8^{\circ}}{2} = 9^{\circ}$.
$\omega_B = \frac{10^{\circ} - 8^{\circ}}{9^{\circ}} = \frac{2}{9}$.
તેમની વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2/11}{2/9} = \frac{9}{11}$ છે.

(B) સમતલ અરીસાની મોટવણી $(m)$ $+1$ હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે સમતલ અરીસો વસ્તુના કદ જેટલું જ પ્રતિબિંબ બનાવે છે $(h_i = h_o)$.
સમતલ અરીસા દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે મોટવણી ધન હોવી જોઈએ.
પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ વસ્તુની ઊંચાઈ જેટલી હોવાથી,તેમનો ગુણોત્તર $1$ થાય છે.
તેથી,મોટવણીની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$m = \frac{h_i}{h_o} = 1$.

(B) ધારો કે $s_1$ એ સપાટીથી સ્ત્રોતનું અંતર છે અને $c$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ છે. સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T_1 = \frac{s_1}{c}$ છે.
ધારો કે $s_2$ એ કાચની સ્લેબની જાડાઈ $(5 \ cm)$ છે અને $v$ એ કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ છે. સ્લેબમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય $T_2 = \frac{s_2}{v}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{v}$.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ હોવાથી,આપણે $v = \frac{c}{\mu}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{c/\mu} = \frac{s_2 \times \mu}{c}$.
તેથી,$s_1 = s_2 \times \mu$.
અહીં $s_2 = 5 \ cm$ અને $\mu = 1.6$ હોવાથી,$s_1 = 5 \times 1.6 = 8 \ cm$ મળે છે.

(C) ધારો કે પાત્રમાં ભરેલા પાણીની ઊંચાઈ $x$ છે।
પાત્રના તળિયાની આભાસી ઊંડાઈ, ઉપરથી જોતા, $d' = \frac{x}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે।
આપેલ છે કે $n = \frac{4}{3}$, તેથી આભાસી ઊંડાઈ $d' = \frac{x}{4/3} = \frac{3x}{4}$ થાય।
પાત્ર અડધું ભરેલું દેખાય છે, જેનો અર્થ છે કે પાણીની ઉપરની સપાટીથી તળિયાની આભાસી ઊંડાઈ $15 \, cm$ હોવી જોઈએ।
તેથી, $d' = 15 \, cm$.
$d' = \frac{x}{n}$ હોવાથી, $15 = \frac{x}{4/3}$.
$x = 15 \times \frac{4}{3} = 20 \, cm$.
આમ, પાણીની ઊંચાઈ $20 \, cm$ હોવી જોઈએ।

(A) આપેલ છે કે હીરામાં પ્રકાશનો વેગ $v_d = \frac{5}{12}c$ અને પાણીમાં $v_w = \frac{3}{4}c$ છે,જ્યાં $c$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
પાણીની સાપેક્ષે હીરાનો વક્રીભવનાંક ${}_w n_d = \frac{n_d}{n_w} = \frac{c/v_d}{c/v_w} = \frac{v_w}{v_d}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: ${}_w n_d = \frac{3/4 c}{5/12 c} = \frac{3}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{9}{5}$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: ${}_w n_d = \frac{\sin i}{\sin r}$.
તેથી,$\sin i = {}_w n_d \times \sin r = \frac{9}{5} \times \sin 30^{\circ}$.
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\sin i = \frac{9}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{10}$.
આમ,$i = \sin^{-1}\left(\frac{9}{10}\right)$.

(A) એક સ્તર માટે આભાસી ઊંડાઈનું સૂત્ર $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} (R)}{\text{વક્રીભવનાંક} (\mu)}$ છે.
ઘણા અદ્રાવ્ય પ્રવાહીઓના સંયોજન માટે,કુલ આભાસી ઊંડાઈ એ દરેક સ્તરની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{R_1}{\mu_1} + \frac{R_2}{\mu_2} + \frac{R_3}{\mu_3}$
આપેલ છે:
$R_1 = 3 \ cm, \mu_1 = \frac{3}{2}$
$R_2 = 4 \ cm, \mu_2 = \frac{4}{3}$
$R_3 = 6 \ cm, \mu_3 = \frac{6}{5}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{3}{3/2} + \frac{4}{4/3} + \frac{6}{6/5}$
$= (3 \times \frac{2}{3}) + (4 \times \frac{3}{4}) + (6 \times \frac{5}{6})$
$= 2 + 3 + 5$
$= 10 \ cm$.

(C) આપેલ છે: કાચમાં તરંગોની સંખ્યા $(N_g)$ એ પાણીમાં તરંગોની સંખ્યા $(N_w)$ જેટલી છે.
$N_g = N_w$
તરંગોની સંખ્યા $N = \frac{d}{\lambda}$ હોવાથી,જ્યાં $d$ એ માધ્યમની જાડાઈ છે અને $\lambda$ એ તે માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ છે:
$\frac{d_g}{\lambda_g} = \frac{d_w}{\lambda_w}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d_g \cdot \mu_g}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{d_w \cdot \mu_w}{\lambda_{\text{air}}}$
$\mu_g \cdot d_g = \mu_w \cdot d_w$
અહીં $d_g = 5 \ cm$,$d_w = 6 \ cm$,અને $\mu_g = 1.56$ આપેલ છે:
$1.56 \times 5 = \mu_w \times 6$
$\mu_w = \frac{1.56 \times 5}{6} = \frac{7.8}{6} = 1.30$
આમ,પાણીનો વક્રીભવનાંક $1.30$ છે.

(B) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચના સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સામાન્ય સ્થાનાંતર (normal shift) $x$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x = t \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$
$t$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$x = t \left(\frac{\mu - 1}{\mu}\right)$
$t = \frac{x \cdot \mu}{\mu - 1}$
તેથી,કાચના સ્લેબની જાડાઈ $t = \frac{\mu x}{\mu - 1}$ છે.

(C) એકબીજામાં ન ભળતા પ્રવાહીના અનેક સ્તરો ધરાવતા પાત્રની આભાસી ઊંડાઈ દરેક વ્યક્તિગત સ્તરની આભાસી ઊંડાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આભાસી ઊંડાઈ માટેનું સૂત્ર $d_{app} = \sum \frac{d_i}{n_i}$ છે,જ્યાં $d_i$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ છે અને $n_i$ એ $i$-માં સ્તરનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે:
સ્તર $1$: $d_1 = 40 \ cm$,$n_1 = 1.6$
સ્તર $2$: $d_2 = 30 \ cm$,$n_2 = 1.5$
આભાસી ઊંડાઈની ગણતરી:
$d_{app} = \frac{40}{1.6} + \frac{30}{1.5}$
$d_{app} = 25 \ cm + 20 \ cm$
$d_{app} = 45 \ cm$
તેથી,પાત્રની આભાસી ઊંડાઈ $45 \ cm$ છે.

(A) કાચના સ્લેબને કારણે થતા આભાસી સ્થાનાંતર $(h)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = t \left(1 - \frac{1}{n}\right)$
જ્યાં $t$ એ સ્લેબની વાસ્તવિક જાડાઈ છે અને $n$ એ વક્રીભવનાંક છે।
આપેલ છે:
$t = 4.8 \text{ cm}$
$n = 1.5$
કિંમતો મૂકતા:
$h = 4.8 \left(1 - \frac{1}{1.5}\right)$
$h = 4.8 \left(1 - \frac{2}{3}\right)$
$h = 4.8 \left(\frac{1}{3}\right)$
$h = 1.6 \text{ cm}$
તેથી, શાહીનું ટપકું $1.6 \text{ cm}$ જેટલું ઉપર આવેલું દેખાશે।

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ વક્રીભૂતકોણ $r$ કરતાં બમણો છે,તેથી $i = 2r$ અથવા $r = \frac{i}{2}$.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(i/2)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin i = 2 \sin(i/2) \cos(i/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin(i/2) \cos(i/2)}{\sin(i/2)}$.
$\mu = 2 \cos(i/2)$.
$i$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\frac{\mu}{2} = \cos(i/2)$.
$i/2 = \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$.
તેથી,$i = 2 \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$.

(A) ઓપ્ટિકલ પાથ લંબાઈ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક $(\mu)$ અને પ્રકાશ દ્વારા તે માધ્યમમાં કાપેલા ભૌમિતિક અંતર $(d)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
આપેલ છે કે ઓપ્ટિકલ પાથ સમાન છે:
$\mu_{g} x_{g} = \mu_{m} x_{m}$
જ્યાં $\mu_{g} = 1.6$ એ ફ્લિન્ટ ગ્લાસનો વક્રીભવનાંક છે, $x_{g} = 3 \ cm$ એ ફ્લિન્ટ ગ્લાસમાં કાપેલું અંતર છે, $\mu_{m} = 1.25$ એ અન્ય માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે, અને $x_{m} = x$ એ અન્ય માધ્યમમાં કાપેલું અંતર છે।
કિંમતો મૂકતા:
$1.6 \times 3 = 1.25 \times x$
$4.8 = 1.25 \times x$
$x = \frac{4.8}{1.25} = 3.84 \ cm$
તેથી, '$x$' નું મૂલ્ય $3.84 \ cm$ છે।

(B) ધારો કે ટાંકીમાં પ્રવાહીની કુલ ઊંડાઈ $H$ છે. વસ્તુ $P$ અરીસાથી $h$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી પ્રવાહીની સપાટીથી તેની ઊંડાઈ $(H-h)$ છે.
અવલોકનકાર $O$ દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુ $P$ ની આભાસી ઊંડાઈ $d_1 = \frac{H-h}{\mu}$ છે.
સમતલ અરીસા દ્વારા બનતું વસ્તુ $P$ નું પ્રતિબિંબ અરીસાથી $h$ અંતર નીચે છે. પ્રવાહીની સપાટીથી આ પ્રતિબિંબની કુલ ઊંડાઈ $(H+h)$ છે.
અવલોકનકાર $O$ દ્વારા જોવામાં આવતી પ્રતિબિંબની આભાસી ઊંડાઈ $d_2 = \frac{H+h}{\mu}$ છે.
વસ્તુ $P$ અને તેના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું આભાસી અંતર એ તેમની આભાસી ઊંડાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{આભાસી અંતર} = d_2 - d_1 = \frac{H+h}{\mu} - \frac{H-h}{\mu} = \frac{H+h-H+h}{\mu} = \frac{2h}{\mu}$.

(B) નાના ખૂણાઓ માટે,સ્નેલનો નિયમ $n = \frac{\sin i}{\sin r} \approx \frac{i}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વેગ $25 \%$ ઘટે છે,તેથી નવો વેગ $v = c - 0.25c = 0.75c = \frac{3}{4}c$ થાય.
વક્રીભવનાંક $n$ ને $n = \frac{c}{v} = \frac{c}{0.75c} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$n$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{i}{r} = \frac{4}{3} \implies r = \frac{3}{4}i$.
વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = i - r$ દ્વારા મળે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $\delta = i - \frac{3}{4}i = \frac{i}{4}$.

(B) ઝેનર ડાયોડ અવરોધ $R_2$ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે. તેથી,$R_2$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_Z = 8 \text{ V}$ જેટલો જ રહેશે.
અવરોધ $R_2$ માંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I_{R_2} = \frac{V_Z}{R_2} = \frac{8 \text{ V}}{1600 \text{ }\Omega} = 5 \times 10^{-3} \text{ A} = 5 \text{ mA} \quad \dots(i)$
કુલ વોલ્ટેજ $20 \text{ V}$ છે. અવરોધ $R_1$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ:
$V_{R_1} = V_{\text{source}} - V_Z = 20 \text{ V} - 8 \text{ V} = 12 \text{ V}$
પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ (જે $R_1$ માંથી પસાર થાય છે):
$I_{R_1} = \frac{V_{R_1}}{R_1} = \frac{12 \text{ V}}{400 \text{ }\Omega} = 3 \times 10^{-2} \text{ A} = 30 \text{ mA} \quad \dots(ii)$
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_Z$:
$I_Z = I_{R_1} - I_{R_2}$
$I_Z = 30 \text{ mA} - 5 \text{ mA} = 25 \text{ mA}$

(D) જ્યારે $p-n$ જંકશન રચાય છે,ત્યારે $n$-વિસ્તારમાંથી ઇલેક્ટ્રોન $p$-વિસ્તારમાં અને $p$-વિસ્તારમાંથી હોલ્સ $n$-વિસ્તારમાં પ્રસરણ પામે છે.
આ પ્રસરણને કારણે જંકશનની નજીક $n$-બાજુએ અચલ આયનીકૃત દાતા પરમાણુઓ (ધન વીજભારો) અને $p$-બાજુએ અચલ આયનીકૃત સ્વીકારક પરમાણુઓ (ઋણ વીજભારો) બાકી રહે છે.
આ વિસ્તાર,જેમાં મુક્ત વીજભાર વાહકો હોતા નથી,તેને ડેપ્લેશન વિસ્તાર કહેવામાં આવે છે.
આ સ્થિર ધન અને ઋણ વીજભારોનો સંગ્રહ એક વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે વધુ પ્રસરણને અટકાવે છે,જેના પરિણામે પોટેન્શિયલ બેરિયર રચાય છે.

(A) આપેલ પરિપથમાં,ડાયોડનો $p$-ટર્મિનલ $4 \ V$ ની બેટરીના ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે અને $n$-ટર્મિનલ $1 \ V$ ની બેટરી તરફ જોડાયેલ છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$p$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $-4 \ V$ છે અને $n$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $-1 \ V$ છે.
જેহেতু $p$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $n$-બાજુના પોટેન્શિયલ કરતા ઓછું છે $(-4 \ V < -1 \ V)$,તેથી ડાયોડ રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં છે.
રિવર્સ બાયસમાં રહેલ આદર્શ ડાયોડ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે તે અનંત અવરોધ આપે છે.
તેથી,પરિપથમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
પ્રવાહનું મૂલ્ય $0 \ A$ છે.

(B) $p-n$ જંકશન ડાયોડ જ્યારે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય ત્યારે તેમાંથી સરળતાથી પ્રવાહ વહેવા દે છે.
જ્યારે ટર્મિનલ્સ ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં આવી જાય છે.
રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં,ડેપ્લેશન રીજન (depletion region) પહોળો થાય છે,જે વિદ્યુતભાર વાહકોના પ્રવાહ સામે ખૂબ જ ઊંચો અવરોધ આપે છે.
પરિણામે,પ્રવાહ ઘટીને લગભગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,ઉપકરણ $X$ એ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે.

(B) ઝેનર ડાયોડ $1 \text{ k}\Omega$ ના લોડ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $15 \text{ V}$ હોવાથી, લોડ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 15 \text{ V}$ થશે.
લોડ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L = \frac{V_L}{R_L} = \frac{15 \text{ V}}{1000 \Omega} = 15 \times 10^{-3} \text{ A} = 15 \text{ mA}$ છે.
શ્રેણી અવરોધ $R_s = 250 \Omega$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_s = V_{in} - V_L = 20 \text{ V} - 15 \text{ V} = 5 \text{ V}$ છે.
સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_s}{R_s} = \frac{5 \text{ V}}{250 \Omega} = 0.02 \text{ A} = 20 \text{ mA}$ છે.
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ, ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_z = I - I_L = 20 \text{ mA} - 15 \text{ mA} = 5 \text{ mA}$ થાય.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
જ્યારે $p-n$ જંકશન રચાય છે,ત્યારે $n$-વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોનની સાંદ્રતા અને $p$-વિસ્તારમાં હોલ્સની સાંદ્રતા વધુ હોય છે.
આ સાંદ્રતાના તફાવતને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન $n$-બાજુથી $p$-બાજુ તરફ અને હોલ્સ $p$-બાજુથી $n$-બાજુ તરફ પ્રસરણ (diffusion) પામે છે.
જેમ જેમ આ ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશન ઓળંગે છે,તેમ તેઓ જંકશનની નજીક પુનઃસંયોજન (recombination) પામે છે.
આ પુનઃસંયોજનને કારણે અચલ આયનીકૃત અશુદ્ધિ પરમાણુઓ ($n$-બાજુ પર ધન આયનો અને $p$-બાજુ પર ઋણ આયનો) બાકી રહે છે,જે એક વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે વધુ પ્રસરણને અટકાવે છે.
આ વિસ્તાર,જેમાં મોબાઈલ ચાર્જ કેરિયર્સનો અભાવ હોય છે,તેને ડેપ્લેશન લેયર કહેવામાં આવે છે.

(B) ઝેનર ડાયોડ લોડ અવરોધ $R_L = 1200 \Omega$ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે. ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $15 \text{ V}$ હોવાથી,લોડ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 15 \text{ V}$ થશે.
લોડ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L = \frac{V_L}{R_L} = \frac{15 \text{ V}}{1200 \Omega} = 0.0125 \text{ A} = 12.5 \text{ mA}$ છે.
શ્રેણી અવરોધ $R_S = 300 \Omega$ પરનો વોલ્ટેજ $V_S = V_{in} - V_L = 24 \text{ V} - 15 \text{ V} = 9 \text{ V}$ છે.
સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_S}{R_S} = \frac{9 \text{ V}}{300 \Omega} = 0.03 \text{ A} = 30 \text{ mA}$ છે.
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_Z = I - I_L$ થાય.
તેથી,$I_Z = 30 \text{ mA} - 12.5 \text{ mA} = 17.5 \text{ mA}$.