MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$:
$I = \frac{2}{5} MR^2$ ... $(i)$
$M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી નક્કર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેની ધારમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ:
$I = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2} Mr^2$ ... (ii)
ગોળાને ઓગાળીને તકતી બનાવવામાં આવી હોવાથી,દળ $M$ સમાન રહેશે. સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$\frac{2}{5} MR^2 = \frac{3}{2} Mr^2$
$\frac{r^2}{R^2} = \frac{2 \times 2}{5 \times 3} = \frac{4}{15}$
$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{4}{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$

(B) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{CM}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ તકતીનું દળ છે,અને $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અક્ષનું લંબ અંતર છે.
તકતી માટે $I_{CM}$ અને $M$ અચળ હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(A)$ થી અંતર $d$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ થી બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના અંતરની સરખામણી કરતા:
- બિંદુ $A$ માટે,$d = 0$.
- બિંદુ $B$ માટે,$d = R$ (તકતીની ત્રિજ્યા).
- બિંદુ $C$ માટે,$d < R$.
- બિંદુ $D$ માટે,$d < R$.
બિંદુ $B$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી મહત્તમ અંતરે $(d = R)$ હોવાથી,બિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ હશે.

(A) તકતીની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{MR^2}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{axis} = I_{cm} + Mh^2$.
ધારને સ્પર્શતી અક્ષ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $h = R$ છે. તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1$ નીચે મુજબ મળે:
$I_1 = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$.
કેન્દ્ર અને ધારની વચ્ચેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $h = R/2$ છે. તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ નીચે મુજબ મળે:
$I_2 = \frac{MR^2}{2} + M(R/2)^2 = \frac{MR^2}{2} + \frac{MR^2}{4} = \frac{3}{4} MR^2$.
બંને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{3}{2} MR^2}{\frac{3}{4} MR^2} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) ચોરસના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ચોરસ ફ્રેમની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે દરેક સળિયા માટે સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા એક સળિયા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક સળિયાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{L}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને એક સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2 + 3ML^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ થાય.
આવા ચાર સળિયા હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{ML^2}{3} = \frac{4ML^2}{3}$ થાય.

(C) ધારો કે ત્રણ સળિયા $1$,$2$ અને $3$ ને અનુક્રમે $X$,$Y$ અને $Z$ અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
$1$. $X$ અક્ષ પરના સળિયા $1$ ની $Z$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: સળિયો $X$ અક્ષ પર હોવાથી,$Z$ અક્ષથી તેનું અંતર $0$ થી $L$ સુધી બદલાય છે. એક છેડામાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{3}$ છે. તેથી,$I_1 = \frac{ML^2}{3}$.
$2$. $Y$ અક્ષ પરના સળિયા $2$ ની $Z$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: તેવી જ રીતે,સળિયો $Y$ અક્ષ પર છે અને $Z$ અક્ષ ઉગમબિંદુ પર તેને લંબ છે. તેથી,$I_2 = \frac{ML^2}{3}$.
$3$. $Z$ અક્ષ પરના સળિયા $3$ ની $Z$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: સળિયો પોતે $Z$ અક્ષ પર જ છે. તેથી,સળિયાનો દરેક દળનો ઘટક $Z$ અક્ષથી $0$ અંતરે છે. તેથી,$I_3 = 0$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2 ML^2}{3}$.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર: $I = \frac{1}{4} m R^2$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $(k)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $I = m k^2$,તેથી $k = \sqrt{\frac{I}{m}}$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા: $k = \sqrt{\frac{\frac{1}{4} m R^2}{m}} = \sqrt{\frac{R^2}{4}} = \frac{R}{2}$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા લૂપની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,ધારો કે $\lambda$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
લૂપનું દળ $M = \lambda \cdot (2\pi R)$ થાય.
આ કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = (\lambda \cdot 2\pi R) \cdot R^2 = 2\pi\lambda R^3$.
આમ,$I \propto R^3$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_P}{I_Q} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
આપેલ છે કે $\frac{I_P}{I_Q} = 27$,તેથી:
$27 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{27} = 3$.
આમ,ગુણોત્તર $R_1 / R_2$ એ $3:1$ છે.

(B) ધારો કે પાતળા ગોલીય કવચ અને નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $R_1$ અને $R_2$ છે.
પાતળા ગોલીય કવચની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{shell}} = \frac{2}{3} MR_1^2$ ... $(i)$
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_2^2$ ... (ii)
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોના દળ $(M)$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ સમાન છે,તેથી સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$\frac{2}{3} MR_1^2 = \frac{2}{5} MR_2^2$
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{5}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
આમ,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\sqrt{3}: \sqrt{5}$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે,દરેકનું દળ $m$ છે. અક્ષ શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને બાજુ $BC$ ને સમાંતર છે.
કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = \sum mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ અક્ષથી દરેક દળનું લંબ અંતર છે.
$1$. શિરોબિંદુ $A$ પરનું દળ અક્ષ પર જ છે,તેથી તેનું લંબ અંતર $r_A = 0$ છે. આમ,જડત્વની ચાકમાત્રામાં તેનું યોગદાન $m(0)^2 = 0$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ પરના દળો અક્ષથી $h$ જેટલા લંબ અંતરે છે. $L$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,ઊંચાઈ $h = L \sin 60^{\circ} = L \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
$3$. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ ત્રણેય દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I = m(r_A)^2 + m(r_B)^2 + m(r_C)^2$
$I = 0 + m(h)^2 + m(h)^2 = 2mh^2$
$h$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = 2m \left( L \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
$I = 2m \left( \frac{3L^2}{4} \right)$
$I = \frac{3mL^2}{2}$

(B) ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$.
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
આપેલ કિંમતો $\theta = 30^{\circ}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \times 0.5}{\frac{7}{5}} = \frac{0.5g \times 5}{7} = \frac{2.5g}{7} = \frac{5g}{14}$.

(B) કાર્પેટની ઘનતા $\rho = M/V$ અચળ રહે છે.
ધારો કે $M_1 = M$ અને $R_1 = R$. કદ $V = \pi R^2 l$ છે,જ્યાં $l$ એ કાર્પેટની લંબાઈ છે.
જ્યારે તેને $R_2 = R/2$ ત્રિજ્યા સુધી ખોલવામાં આવે,ત્યારે નળાકાર સ્વરૂપમાં રહેલી કાર્પેટનું દળ $M_2$ એ તેના કદના પ્રમાણમાં હોય છે.
$M_2 = \frac{M}{\pi R^2 l} \times \pi (R/2)^2 l = \frac{M}{4}$.
શરૂઆતની લપેટાયેલી કાર્પેટની સ્થિતિ ઊર્જા (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R$ ઊંચાઈ પર છે તેમ ધારતા) $U_1 = MgR$ છે.
અંતિમ લપેટાયેલી કાર્પેટની સ્થિતિ ઊર્જા ($R_2 = R/2$ ત્રિજ્યા અને $M_2 = M/4$ દળ સાથે) $U_2 = M_2 g R_2 = (M/4) g (R/2) = \frac{1}{8} MgR$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_1 - U_2 = MgR - \frac{1}{8} MgR = \frac{7}{8} MgR$ થાય.

(D) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{k^2}{R^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k = R$ છે,તેથી $K.E._{\text{ring}} = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + 1) = Mv^2$.
આપેલ છે કે $K.E._{\text{ring}} = 6 \ J$,તેથી $Mv^2 = 6 \ J$.
ડિસ્ક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે,તેથી $k^2 = \frac{1}{2} R^2$.
$K.E._{\text{disc}} = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} Mv^2 (\frac{3}{2}) = \frac{3}{4} Mv^2$.
ડિસ્કના સમીકરણમાં $Mv^2 = 6 \ J$ મૂકતા:
$K.E._{\text{disc}} = \frac{3}{4} \times 6 = \frac{18}{4} = 4.5 \ J = \frac{9}{2} \ J$.

(A) ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ અને ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ થાય.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}}$
$a = \frac{g \times (1/2)}{7/5}$
$a = \frac{g}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5g}{14}$.

(D) કિસ્સો $1$: સરકતા પદાર્થ માટે,સ્થિતિ ઊર્જાનું રૂપાંતર સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જામાં થાય છે: $\frac{1}{2} m V^2 = mgh$ ... $(i)$
કિસ્સો $2$: ગબડતી તકતી માટે,સ્થિતિ ઊર્જાનું રૂપાંતર સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જા બંનેમાં થાય છે: $\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = mgh$
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $\omega = \frac{v'}{R}$ છે.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v'}{R})^2 = mgh$
$\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{4} m (v')^2 = mgh$
$\frac{3}{4} m (v')^2 = mgh$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા: $\frac{1}{2} m V^2 = \frac{3}{4} m (v')^2$
$V^2 = \frac{3}{2} (v')^2$
$(v')^2 = \frac{2}{3} V^2$
$v' = V \sqrt{\frac{2}{3}}$

(B) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_S = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
નક્કર નળાકારની તેની ભૌમિતિક ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_C = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ધારો કે નળાકારની કોણીય ઝડપ $\omega_C$ છે અને ગોળાની કોણીય ઝડપ $\omega_S$ છે.
આપેલ છે કે $\omega_S = \frac{\omega_C}{2}$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
ગોળાની ચાકગતિ ઉર્જા અને નળાકારની ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K.E._S}{K.E._C} = \frac{\frac{1}{2} I_S \omega_S^2}{\frac{1}{2} I_C \omega_C^2} = \frac{I_S}{I_C} \times \left( \frac{\omega_S}{\omega_C} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K.E._S}{K.E._C} = \frac{\frac{2}{5} M R^2}{\frac{1}{2} M R^2} \times \left( \frac{\omega_C / 2}{\omega_C} \right)^2 = \frac{2/5}{1/2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 5$ છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની કુલ સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે અને શુદ્ધ ગબડવાની સ્થિતિ માટે $v = R\omega$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mgh = \frac{1}{2} M(R\omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2)\omega^2$
$Mgh = \frac{1}{2} MR^2\omega^2 + \frac{1}{4} MR^2\omega^2 = \frac{3}{4} MR^2\omega^2$
આમ,ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2)\omega^2 = \frac{1}{4} MR^2\omega^2$.
ઉર્જાના સમીકરણ પરથી,$MR^2\omega^2 = \frac{4}{3} Mgh$.
આ કિંમતને $K_{rot}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} Mgh) = \frac{Mgh}{3}$.

(D) સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ,સળિયા પાસે મહત્તમ ગતિઊર્જા હોય છે,જે $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{ML^2}{12} \times \omega^2 = \frac{ML^2 \omega^2}{24}$ મળે છે.
જેમ સળિયો દોલન કરે છે,તેમ આ ગતિઊર્જા મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$P.E. = K.E.$
$Mgh = \frac{ML^2 \omega^2}{24}$.
$h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{L^2 \omega^2}{24g}$ મળે છે.

(C) સ્થિર સ્થિતિ $(\omega_0 = 0)$ થી શરૂ થતી પરિભ્રમણ ગતિ માટેનું ગતિશાસ્ત્રનું સમીકરણ $\theta(t) = \frac{1}{2} \alpha t^2$ છે.
$n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલ ખૂણો $\theta_n = \theta(n) - \theta(n-1) = \frac{1}{2} \alpha [n^2 - (n-1)^2] = \frac{1}{2} \alpha (2n - 1)$ દ્વારા મળે છે.
$2^{\text{nd}}$ સેકન્ડ માટે $(n=2)$:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha (2(2) - 1) = \frac{1}{2} \alpha (3) = 1.5 \alpha$.
$3^{\text{rd}}$ સેકન્ડ માટે $(n=3)$:
$\theta^{\prime} = \frac{1}{2} \alpha (2(3) - 1) = \frac{1}{2} \alpha (5) = 2.5 \alpha$.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{\theta}{\theta^{\prime}} = \frac{1.5 \alpha}{2.5 \alpha} = \frac{1.5}{2.5} = \frac{3}{5}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે ચાકગતિ ઉર્જા સમાન છે:
$(K.E.)_A = (K.E.)_B$
$\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} \implies \frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} \quad ...(i)$
વળી,ચાકગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચાકગતિ ઉર્જા સમાન હોવાથી:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{L_2^2}{L_1^2}$
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{I_2}{I_1} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
આમ,$I_2 = 3 I_1$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચલા બિંદુએ રોટેશનલ ગતિ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{1}{2} I \omega^2 = Mgh$
$\therefore h = \frac{I \omega^2}{2Mg} \dots (i)$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,તેના છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સમાન સળિયાની જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$:
$I = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2}{3} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$h = \frac{(\frac{ML^2}{3}) \omega^2}{2Mg} = \frac{ML^2 \omega^2}{6Mg} = \frac{L^2 \omega^2}{6g}$

(C) $1$. રેખીય વેગ $(\vec{v})$: ભ્રમણ ગતિમાં કણનો રેખીય વેગ એ કોણીય વેગ સદિશ $(\vec{\omega})$ અને સ્થાન સદિશ $(\vec{r})$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$.
$2$. કોણીય પ્રવેગ $(\vec{\alpha})$: કોણીય પ્રવેગ અને રેખીય પ્રવેગ $(\vec{a})$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. સદિશ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\vec{\alpha} = \vec{a} \times \vec{r}$ એ આ સંબંધનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ છે.
$3$. કોણીય વેગમાન $(\vec{L})$: કણનું કોણીય વેગમાન એ સ્થાન સદિશ અને રેખીય વેગમાનનો સદિશ ગુણાકાર છે,એટલે કે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
$4$. ટોર્ક $(\vec{\tau})$: ટોર્ક એ સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશનો સદિશ ગુણાકાર છે,એટલે કે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{f}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ માં આપેલા તમામ સંબંધો સાચા છે.

(A) પાવર $(P)$ એ ટોર્ક $(\tau)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$P = \tau \times \omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક એ જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ અને કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $\tau = I \alpha$.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = (I \alpha) \times \omega$
કોણીય વેગ $(\omega)$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\omega = \frac{P}{I \alpha}$
$\omega = P(I \alpha)^{-1}$

(B) અચળ દબાણે થતી પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $Q = \Delta U + W$ છે.
આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
બાહ્ય કાર્ય $W = Q - \Delta U = n C_p \Delta T - n C_v \Delta T = n (C_p - C_v) \Delta T = n R \Delta T$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_v = \frac{3}{2} R$ અને $C_p = \frac{5}{2} R$ છે.
કાર્ય માટે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5}$ છે.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $\frac{2}{5} \times 100 \% = 40 \%$.

(B) ધારો કે વહન પામતી ઉષ્મા $Q$ છે.
જ્યારે સળિયાઓ છેડેથી છેડે જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R + R = 2R$ થાય,જ્યાં $R = \frac{l}{KA}$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t_1} = \frac{\Delta \theta}{R_{eq}} = \frac{\Delta \theta}{2 \frac{l}{KA}} = \frac{KA \Delta \theta}{2l}$ છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 12 \ s$,તેથી $Q = \frac{KA \Delta \theta}{2l} \times 12 \dots (i)$.
જ્યારે સળિયાઓ લંબાઈની દિશામાં (સમાંતર) જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R'_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય,જ્યાં $R = \frac{l}{KA}$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t_2} = \frac{\Delta \theta}{R'_{eq}} = \frac{\Delta \theta}{R/2} = \frac{2KA \Delta \theta}{l}$ છે.
તેથી,$Q = \frac{2KA \Delta \theta}{l} \times t_2 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2KA \Delta \theta}{l} \times t_2 = \frac{KA \Delta \theta}{2l} \times 12$
$2 t_2 = \frac{12}{2}$
$4 t_2 = 12$
$t_2 = 3 \ s$.

(B) ગોળીની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
આપેલ છે કે આ ઊર્જાના $50\%$ ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} mv^2) = \frac{1}{4} mv^2$ છે.
ગોળીનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = ms \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં $J$ એ ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક છે,આપણે $W = JQ$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $W$ એ કરેલું કાર્ય (અથવા રૂપાંતરિત ઊર્જા) છે.
ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત ઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{4} mv^2 = J(ms \Delta T)$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{mv^2}{4 Jms} = \frac{v^2}{4 Js}$.

(B) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $H$ એ સૂત્ર $H = \frac{kA(T_2 - T_1)}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
પ્રારંભિક સળિયા માટે,$H_1 = \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1}$.
જ્યારે તમામ પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l_2 = 2l_1$ અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ થાય છે.
નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r_1)^2 = 4\pi r_1^2 = 4A_1$ થાય છે.
ઉષ્માના વહનનો નવો દર $H_2 = \frac{kA_2(T_2 - T_1)}{l_2}$ છે.
$A_2$ અને $l_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$H_2 = \frac{k(4A_1)(T_2 - T_1)}{2l_1} = 2 \left[ \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1} \right] = 2H_1$.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,મહત્તમ ઊર્જા ઉત્સર્જનને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ એ કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$
આવૃત્તિ $\nu_m$ એ તરંગલંબાઈ સાથે $\nu_m = \frac{c}{\lambda_m}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે,તેથી આપણે $\lambda_m = \frac{c}{\nu_m}$ ને પ્રમાણભૂત સંબંધમાં મૂકી શકીએ:
$\frac{c}{\nu_m} \propto \frac{1}{T}$
$\nu_m \propto T$
આ દર્શાવે છે કે આવૃત્તિ $\nu_m$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે. બે ચલ વચ્ચેનો સીધો સંબંધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આપેલી આકૃતિમાં,સીધી રેખા $B$ આ રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળાકાર કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4 \pi R^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આમ,$P = 4 \pi R^2 \sigma T^4$.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી $P_1 = P_2$.
$4 \pi R_1^2 \sigma T_1^4 = 4 \pi R_2^2 \sigma T_2^4$.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ મળે છે.
$R_1/R_2$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે ગોઠવતા:
$(R_1/R_2)^2 = (T_2/T_1)^4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$R_1/R_2 = (T_2/T_1)^2$.

(C) ધારો કે પદાર્થ પર આપાત થતી કુલ ઉષ્મા $Q = x$ જૂલ છે.
ધારો કે પરાવર્તિત ઉષ્મા $Q_r$ છે અને પારગમિત ઉષ્મા $Q_t$ છે.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત અને પારગમિત ઉષ્માનો સરવાળો $Q_r + Q_t = y$ જૂલ છે.
કુલ આપાત ઉષ્મા એ શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_a)$,પરાવર્તિત ઉષ્મા $(Q_r)$ અને પારગમિત ઉષ્મા $(Q_t)$ ના સરવાળા બરાબર હોય છે:
$Q = Q_a + Q_r + Q_t$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x = Q_a + y$
તેથી,શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_a = x - y$ થશે.
શોષણ ગુણાંક $(a)$ એ શોષાયેલી ઉષ્મા અને કુલ આપાત ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે:
$a = \frac{Q_a}{Q} = \frac{x - y}{x}$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને રહેલા પદાર્થનો $T_0$ તાપમાનવાળા વાતાવરણમાં ઠંડા પડવાનો દર $R$ નીચે મુજબ છે:
$R = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$T = 600 \ K$ અને $T_0 = 200 \ K$:
$R = k (600^4 - 200^4)$
બીજા કિસ્સા માટે,$T' = 400 \ K$ અને $T_0 = 200 \ K$:
$R' = k (400^4 - 200^4)$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R'}{R} = \frac{400^4 - 200^4}{600^4 - 200^4} = \frac{(4^4 - 2^4) \times 10^8}{(6^4 - 2^4) \times 10^8}$
$\frac{R'}{R} = \frac{256 - 16}{1296 - 16} = \frac{240}{1280} = \frac{24}{128} = \frac{3}{16}$
તેથી,$R' = \frac{3}{16} R$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા (ઉત્સર્જક શક્તિ $E$) $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બે પદાર્થો $X$ અને $Y$ માટે સમાન પરિમાણો (ક્ષેત્રફળ $A$) અને સમાન ઉત્સર્જકતા $(e)$ હોય,તો તેમની ઉત્સર્જક શક્તિ સમાન હોવા માટે:
$E_X = E_Y$
$\sigma e A T_1^4 = \sigma e A T_2^4$
આનો અર્થ એ થાય કે $T_1^4 = T_2^4$,એટલે કે $T_1 = T_2$ અથવા $T_1 / T_2 = 1$.
જો કે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,પ્રશ્નમાં ઉત્સર્જક શક્તિ અને તાપમાન વચ્ચેના સંબંધમાં ભૂલ જણાય છે. જો પ્રશ્નનો અર્થ એવો હોય કે ઉત્સર્જક શક્તિનો ગુણોત્તર $1:81$ છે,તો $T_1^4 / T_2^4 = 1/81$,જેનો અર્થ $T_1 / T_2 = 1/3$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$T_1 / T_2 = 1/3$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ સપાટીની ઉત્સર્જકતા (emissivity) છે.
આપેલ તાપમાન અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટે,ઠંડા થવાનો દર સપાટીની ઉત્સર્જકતા $(e)$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
કાળી સપાટીઓની ઉત્સર્જકતા સૌથી વધુ ($1$ ની નજીક) હોય છે,ત્યારબાદ લાલ જેવા ઘેરા રંગો આવે છે,જ્યારે સફેદ અથવા પોલિશ કરેલી સપાટીઓની ઉત્સર્જકતા સૌથી ઓછી હોય છે.
તેથી,ઠંડા થવાના દરનો મહત્તમથી ન્યૂનતમ ક્રમ આ મુજબ છે: કાળો > લાલ > સફેદ.

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ, ઠંડા પડવાનો દર આ મુજબ છે: $\frac{T_1-T_2}{t} = K \left( \frac{T_1+T_2}{2} - T_0 \right)$, જ્યાં $T_0$ એ રૂમનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે, તાપમાન $3 \, \text{મિનિટ}$ માં $365 \, K$ થી $359 \, K$ થાય છે:
$\frac{365-359}{3} = K \left( \frac{365+359}{2} - 296 \right)$
$\frac{6}{3} = K (362 - 296)$
$2 = K(66) \implies K = \frac{2}{66} = \frac{1}{33} \, min^{-1}$.
બીજા કિસ્સા માટે, તાપમાન $342 \, K$ થી $338 \, K$ થવા માટે લાગતો સમય $t$ છે:
$\frac{342-338}{t} = K \left( \frac{342+338}{2} - 296 \right)$
$\frac{4}{t} = \frac{1}{33} (340 - 296)$
$\frac{4}{t} = \frac{1}{33} (44)$
$\frac{4}{t} = \frac{44}{33} = \frac{4}{3}$
તેથી, $t = 3 \, \text{મિનિટ}$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{\text{max}} T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_{\text{max}2}}{\lambda_{\text{max}1}} = \frac{\lambda_0 / 4}{\lambda_0} = \frac{1}{4}$,જે સૂચવે છે કે $T_2 = 4T_1$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{P_2}{P_1} = (4)^4 = 256$.
આમ,નવો ઉત્સર્જિત પાવર $P_2 = 256 P$ થશે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,જે તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ પર પદાર્થ મહત્તમ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે તે તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\lambda_m T = b$ (જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પદાર્થ $P$ અને $Q$ માટે,આપણી પાસે $\lambda_P T_P = \lambda_Q T_Q$ છે.
આપેલ છે કે $T_P = 4 T_Q$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda_P (4 T_Q) = \lambda_Q T_Q \implies \lambda_Q = 4 \lambda_P$ (સમીકરણ $1$).
આપણને તરંગલંબાઈનો તફાવત $\lambda_Q - \lambda_P = 3 \mu m$ આપેલ છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$4 \lambda_P - \lambda_P = 3 \mu m$
$3 \lambda_P = 3 \mu m$
$\lambda_P = 1 \mu m$.
હવે,સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરીને $\lambda_Q$ શોધતા:
$\lambda_Q = 4 \times 1 \mu m = 4 \mu m$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જનનો દર $E = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,$E = (4 \pi R^2) \sigma T^4$,જે સૂચવે છે કે $E \propto R^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $E_1 = E$,$R_1 = R$ અને $T_1 = T$ છે.
ધારો કે અંતિમ સ્થિતિ $E_2$,$R_2 = R/2$ અને $T_2 = 4T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{R/2}{R} \right)^2 \left( \frac{4T}{T} \right)^4$.
$\frac{E_2}{E} = (1/2)^2 \times (4)^4 = (1/4) \times 256 = 64$.
તેથી,$E_2 = 64E$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ સમયગાળા માટે:
$\frac{4\theta - 3\theta}{t} = K \left( \frac{4\theta + 3\theta}{2} - \theta \right)$
$\frac{\theta}{t} = K \left( \frac{7\theta}{2} - \theta \right) = K \left( \frac{5\theta}{2} \right)$
$K = \frac{2}{5t} \dots (i)$
આગામી $t$ મિનિટના સમયગાળા માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $x$ છે:
$\frac{3\theta - x}{t} = K \left( \frac{3\theta + x}{2} - \theta \right)$
$(i)$ માંથી $K$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3\theta - x}{t} = \frac{2}{5t} \left( \frac{3\theta + x - 2\theta}{2} \right)$
$3\theta - x = \frac{1}{5} (\theta + x)$
$15\theta - 5x = \theta + x$
$6x = 14\theta$
$x = \frac{14\theta}{6} = \frac{7\theta}{3}$

(C) કૃષ્ણ પદાર્થ માટે ઉત્સર્જનનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_1 = e A \sigma T^4$.
તે કૃષ્ણ પદાર્થ હોવાથી,ઉત્સર્જકતા $e = 1$ છે,તેથી $R = A \sigma T^4$.
બીજા પદાર્થ માટે,ઉત્સર્જનનો દર:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = e' A' \sigma (T')^4$.
અહીં $e' = 0.2$,$A' = A$,અને $T' = 3T$ આપેલ છે:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 0.2 \times A \times \sigma \times (3T)^4$.
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 0.2 \times A \times \sigma \times 81 T^4$.
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 16.2 \times A \sigma T^4$.
$R = A \sigma T^4$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 16.2 R$.

(A) કૃષ્ણ પદાર્થનો ઉત્સર્જક પાવર $E$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma T^4$. જોકે,સપાટી દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = A \sigma T^4$ છે.
$P \propto A T^4$.
$A = \pi R^2$ હોવાથી,$A \propto R^2$.
આપેલ ત્રિજ્યા $R_x = 1 \ m, R_y = 2 \ m, R_z = 3 \ m$ માટે,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_x : A_y : A_z = 1^2 : 2^2 : 3^2 = 1 : 4 : 9$ છે.
વિનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ $\lambda_{max} T = b$ (અચળ) મુજબ,$T \propto \frac{1}{\lambda_{max}}$.
આપેલ $\lambda_{max,x} = 200 \ nm, \lambda_{max,y} = 300 \ nm, \lambda_{max,z} = 400 \ nm$ માટે,તાપમાનનો ગુણોત્તર $T_x : T_y : T_z = \frac{1}{200} : \frac{1}{300} : \frac{1}{400} = 6 : 4 : 3$ છે.
હવે,$P \propto A T^4$ ની ગણતરી કરતા:
$x$ માટે: $P_x \propto 1 \times (6)^4 = 1296$.
$y$ માટે: $P_y \propto 4 \times (4)^4 = 1024$.
$z$ માટે: $P_z \propto 9 \times (3)^4 = 729$.
આમ,$P_x > P_y > P_z$,જે સૂચવે છે કે $E_x > E_y > E_z$.

(B) પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ $E$ એ $E = e \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓ માટે ઉત્સર્જક શક્તિ સમાન છે,તેથી $E_1 = E_2$.
તેથી,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$.
$\sigma$ અચળ હોવાથી,આપણને $e_1 T_1^4 = e_2 T_2^4$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ મળે છે.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $e_1: e_2 = 1: 4$ આપેલ છે,તેથી $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1}$ થાય.
આમ,$\frac{T_1^4}{T_2^4} = 4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$T_1: T_2$ નો ગુણોત્તર $\sqrt{2}: 1$ છે.

(A) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર એ પદાર્થ અને તેના આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{d\theta}{dt} = k(\theta_{avg} - \theta_0)$.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ પદાર્થનું સરેરાશ તાપમાન ઘટે છે,તેમ નિશ્ચિત તાપમાન સુધી ઠંડુ થવા માટે લાગતો સમય વધે છે.
ત્રણ અંતરાલો માટે:
કિસ્સો $1$: સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg1} = \frac{75+70}{2} = 72.5^{\circ} C$.
કિસ્સો $2$: સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg2} = \frac{70+65}{2} = 67.5^{\circ} C$.
કિસ્સો $3$: સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg3} = \frac{65+60}{2} = 62.5^{\circ} C$.
કારણ કે $\theta_{avg1} > \theta_{avg2} > \theta_{avg3}$,ઠંડકનો દર પ્રથમ અંતરાલમાં સૌથી વધુ અને ત્રીજા અંતરાલમાં સૌથી ઓછો છે.
તેથી,લાગતો સમય $t$ એ ઠંડકના દરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$t_1 < t_2 < t_3$ મળે છે.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = \text{અચળ}$.
અહીં $\lambda_{m1} = \lambda_0$ અને $\lambda_{m2} = \frac{\lambda_0}{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2 \implies \lambda_0 T_1 = \frac{\lambda_0}{2} T_2 \implies T_2 = 2T_1$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T^4$.
આમ,નવા પાવર $P_2$ અને પ્રારંભિક પાવર $P_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ થાય.
$T_2 = 2T_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{P_2}{P_1} = (2)^4 = 16$ મળે છે.
આમ,ઉત્સર્જિત પાવરમાં $16$ ગણો વધારો થશે.

(C) રેખીય વિસ્તરણ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = L_1 \alpha \Delta T$ છે.
અહીં,$L_1 = 10 \ m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$,અને $\Delta T = (45 - 17)^{\circ} C = 28^{\circ} C$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta L = 10 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 28$.
$\Delta L = 12 \times 10^{-5} \times 28$.
$\Delta L = 336 \times 10^{-5} \ m$.
આને $x \times 10^{-5} \ m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 336$ મળે છે.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન છે,તેથી $\Delta L_1 = \Delta L_2$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $L_1 \alpha_1 t = L_2 \alpha_2 t$.
બંને બાજુથી $t$ ને દૂર કરતા,આપણને $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_1+L_2}$ શોધવા માટે,આપણે ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: જો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ હોય,તો $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ થાય.
આ ગુણધર્મ આપણા સમીકરણ પર લાગુ કરતા,આપણને $\frac{L_1}{L_1+L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન છે,તેથી $\Delta L_1 = \Delta L_2$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_1 \alpha_c t = L_2 \alpha_i t$
બંને બાજુ $t$ વડે ભાગતા,આપણને $L_1 \alpha_c = L_2 \alpha_i$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $L_1 = \frac{\alpha_i}{\alpha_c} L_2$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{L_1-L_2}{L_1+L_2}$ શોધવો છે.
$L_1 = \frac{\alpha_i}{\alpha_c} L_2$ ને પદમાં મૂકતા:
$\frac{L_1-L_2}{L_1+L_2} = \frac{(\frac{\alpha_i}{\alpha_c}) L_2 - L_2}{(\frac{\alpha_i}{\alpha_c}) L_2 + L_2}$
$= \frac{L_2 (\frac{\alpha_i}{\alpha_c} - 1)}{L_2 (\frac{\alpha_i}{\alpha_c} + 1)}$
$= \frac{\frac{\alpha_i - \alpha_c}{\alpha_c}}{\frac{\alpha_i + \alpha_c}{\alpha_c}}$
$= \frac{\alpha_i - \alpha_c}{\alpha_c + \alpha_i}$.

(B) પદાર્થનું ઉષ્મીય પ્રસરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$.
અહીં,$L_0 = 10 \ m$,$\alpha = 1.3 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,અને $\Delta T = (45^{\circ} C - 17^{\circ} C) = 28^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = 10 \times (1.3 \times 10^{-5}) \times 28$
$\Delta L = 364 \times 10^{-5} \ m$
$\Delta L = 3.64 \times 10^{-3} \ m = 3.64 \ mm$.
આમ,રાખવાની જગ્યા $3.64 \ mm$ છે.

(C) રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
પ્રારંભિક લંબાઈ $l = 0.75 \ m$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 65^{\circ} C - 45^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta l = (2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C) \times (0.75 \ m) \times (20^{\circ} C)$.
$\Delta l = 2 \times 10^{-5} \times 0.75 \times 20 \ m$.
$\Delta l = 30 \times 10^{-5} \ m = 0.3 \times 10^{-3} \ m$.
કારણ કે $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,તેથી લંબાઈમાં થતો વધારો $0.30 \ mm$ છે.

(C) પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 40 \ cm \times 5 \ cm = 200 \ cm^2$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 1.4 \ cm^2$.
ક્ષેત્રીય પ્રસરણાંક $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\Delta A}{A_1 \Delta T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\beta = \frac{1.4}{200 \times 100} = \frac{1.4}{20000} = 0.7 \times 10^{-4} = 7 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = \frac{\beta}{2}$ હોવાથી,$\alpha = \frac{7 \times 10^{-5}}{2} = 3.5 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ થાય.

(B) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{\Delta x}$,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta x$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
આમ,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{r^2}{\Delta x}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ અને લંબાઈ $\Delta x_1 = L$ છે. પ્રારંભિક દર $Q \propto \frac{r^2}{L}$ છે.
જ્યારે તમામ રેખીય પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ અને નવી લંબાઈ $\Delta x_2 = 2L$ થાય છે.
ઉષ્મા વહનનો નવો દર $Q'$ એ $\frac{(2r)^2}{2L} = \frac{4r^2}{2L} = 2 \left( \frac{r^2}{L} \right)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$Q' = 2Q$.

(B) તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta$ સમયે સળિયાની લંબાઈ $L' = L(1 + \alpha \Delta \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા $A$ માટે,$L_A' = L_A(1 + \alpha_A \Delta \theta)$ અને સળિયા $B$ માટે,$L_B' = L_B(1 + \alpha_B \Delta \theta)$.
લંબાઈમાં તફાવત $\Delta L = L_B' - L_A' = (L_B - L_A) + (L_B \alpha_B - L_A \alpha_A) \Delta \theta$ છે.
તમામ તાપમાને તફાવત અચળ રહે તે માટે,$\Delta \theta$ વાળું પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$L_B \alpha_B - L_A \alpha_A = 0$,જેનો અર્થ છે કે $L_B \alpha_B = L_A \alpha_A$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{L_A}{L_B} = \frac{\alpha_B}{\alpha_A}$ મળે છે.

(A) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
બંને સોલેનોઈડ માટે $N$ સમાન હોવાથી,$L \propto \frac{r^2}{l}$ થાય.
લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 = 1 : 3$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 1 : 3$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right)$
$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \left( \frac{3}{1} \right)$
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{1}{3}$.
તેથી,તેમના આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(D) લાંબા સોલેનોઈડના આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નું સૂત્ર $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જ્યારે લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે,ત્યારે $L \propto N^2$ થાય.
આપેલ છે કે આંટાની સંખ્યા $N$ ને $3$ ગણી $(N' = 3N)$ કરવામાં આવે છે,તેથી નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L'$ નીચે મુજબ થશે:
$L' \propto (N')^2 = (3N)^2 = 9N^2$.
તેથી,$L' = 9L$.
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ મૂળ મૂલ્ય કરતાં $9$ ગણું થાય છે.

(C) એર-કોર્ડ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l} = 0.1 \ H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $1000$ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r = 1000)$ ધરાવતી સોફ્ટ આયર્ન કોર દાખલ કરવામાં આવે અને આંટાની સંખ્યા $N$ બદલીને $N' = \frac{N}{10}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L' = \frac{\mu_0 \mu_r (N')^2 A}{l}$.
બંનેના ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{L'}{L} = \frac{\mu_r (N')^2}{N^2} = \mu_r \left(\frac{N/10}{N}\right)^2 = 1000 \times \left(\frac{1}{10}\right)^2$.
$\frac{L'}{L} = 1000 \times \frac{1}{100} = 10$.
તેથી,$L' = 10 \times L = 10 \times 0.1 \ H = 1 \ H$.

(C) બે કોઈલ વચ્ચેના મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ માટેનું સૂત્ર $M = K \sqrt{L_1 L_2}$ છે,જ્યાં $K$ એ કપલિંગ કોએફિશિયન્ટ છે.
આપેલ કિંમતો $M = 45 \ mH$,$L_1 = 75 \ mH$ અને $L_2 = 48 \ mH$ છે.
$K$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{45}{\sqrt{75 \times 48}}$
$K = \frac{45}{\sqrt{3600}}$
$K = \frac{45}{60}$
$K = 0.75$

(D) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\phi = LI$,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = \frac{\phi}{I} = L$ મળે છે.
આમ,$\phi-I$ આલેખનો ઢાળ ઇન્ડક્ટરનું ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ દર્શાવે છે.
આપેલ તમામ રેખાઓમાં રેખા $S$ નો ઢાળ સૌથી નાનો હોવાથી,ઇન્ડક્ટર $S$ નું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ લઘુત્તમ છે.

(B) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \mu_0 n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ કોઈલની લંબાઈ છે。
આપેલ છે કે રેખીય પરિમાણોમાં $2$ ના ગુણાંકમાં વધારો થાય છે, તેથી નવી લંબાઈ $l' = 2l$ અને નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (2)^2 A = 4A$ થશે。
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે。
આ કિંમતોને નવા ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L' = \mu_0 n^2 (4A) (2l) = 8 (\mu_0 n^2 A l) = 8L$.
તેથી, આત્મ-પ્રેરકત્વ $8$ ના ગુણાંકમાં વધશે.

(A) હવામાં બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$
જ્યારે આ જ વિદ્યુતભારોને '$k$' ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
બંને કિસ્સામાં બળ '$F$' સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{k y^2}$
$\frac{y}{x}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$y^2 = \frac{x^2}{k}$
$\frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{k}$
$\frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{k}}$

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. એક ખૂણા પર રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. સામસામેના ખૂણા પર રહેલા $+Q$ ને કારણે લાગતું બળ: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2}$ (અપાકર્ષી બળ).
$2$. પાસપાસેના ખૂણાઓ પર રહેલા બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતું બળ: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ (આકર્ષી બળ).
આ બે $-q$ વિદ્યુતભારો સમાન અંતર $a$ પર હોવાથી,તેમનું પરિણામી બળ $F_2' = \sqrt{F_2^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_2 = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ થશે.
$+Q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,અપાકર્ષી બળ $F_1$ નું મૂલ્ય પરિણામી આકર્ષી બળ $F_2'$ ના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2} = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$
$\frac{Q}{2} = \sqrt{2} q$
$Q = 2\sqrt{2} q$
તેથી,$\frac{Q}{-q} = -2\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $-4 q$ (જે $x=L$ પર છે) ની જમણી બાજુ $r$ અંતરે આવેલું છે.
આ બિંદુનું $+10 q$ (જે $x=0$ પર છે) થી અંતર $(L+r)$ થશે.
$+10 q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{K(10 q)}{(L+r)^2}$ અને $-4 q$ ને કારણે $E_2 = \frac{K(4 q)}{r^2}$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવા માટે, $E_1 = E_2$.
$\frac{10 q}{(L+r)^2} = \frac{4 q}{r^2}$
$\frac{\sqrt{10}}{L+r} = \frac{2}{r}$
$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{L+r} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{r}$
$\frac{\sqrt{5}}{L+r} = \frac{\sqrt{2}}{r}$
$\sqrt{5} r = \sqrt{2} L + \sqrt{2} r$
$r(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} L$
$r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} L$
અહીં $r$ એ બિંદુ $B$ (જ્યાં $-4 q$ છે) ની જમણી બાજુનું અંતર છે, તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) શરૂઆતમાં $+4q$ અને $-4q$ વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{k(4q)(-4q)}{r^2} = \frac{-16kq^2}{r^2} \quad \dots(i)$
જ્યારે બિંદુ $A$ પરના વિદ્યુતભારનો $25\%$ ભાગ બિંદુ $B$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે:
સ્થાનાંતરિત વિદ્યુતભાર $= 0.25 \times 4q = 1q$.
$A$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $(q_1)$ $= 4q - 1q = 3q$.
$B$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $(q_2)$ $= -4q + 1q = -3q$.
હવે તેમની વચ્ચે લાગતું નવું બળ $F'$:
$F' = \frac{k(3q)(-3q)}{r^2} = \frac{-9kq^2}{r^2}$.
$F'$ અને $F$ ની સરખામણી કરતા:
$F' = \frac{9}{16} \times \left( \frac{-16kq^2}{r^2} \right) = \frac{9}{16} F$.

(D) $3Q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1$ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(3Q)(Q)}{l^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2}$
$q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2$:
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(l - l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(2l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2}$
$Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવા માટે,બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$F_1 + F_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{l^2}$ વડે ભાગતા:
$3Q + \frac{9q}{4} = 0$
$3Q = -\frac{9q}{4}$
$Q = -\frac{3q}{4}$
$q = -\frac{4}{3}Q$

(A) કણ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = mg$
અહીં $F_e = qE$ અને $E = \frac{V}{d}$ હોવાથી,$F_e = \frac{qV}{d}$ મળે.
બળોને સરખાવતા: $mg = \frac{qV}{d}$.
દળ $m$ માટે સૂત્ર: $m = \frac{qV}{gd}$.
આપેલ કિંમતો: $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$V = 980 \text{ V}$,$d = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}$,$g = 9.8 \text{ m/s}^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 980}{9.8 \times 0.08}$
$m = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 100}{0.08}$
$m = \frac{1.6 \times 10^{-17}}{0.08} = 20 \times 10^{-17} \text{ kg} = 2 \times 10^{-16} \text{ kg}$.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત '$V$' માં પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા $K = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી,ગતિઊર્જા એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = qV$.
કણ '$A$' માટે: $\frac{1}{2}mv_A^2 = qV \implies v_A = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
કણ '$B$' માટે: $\frac{1}{2}mv_B^2 = (4q)V \implies v_B = \sqrt{\frac{8qV}{m}}$.
તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $(v_A : v_B)$ લેતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{2qV/m}}{\sqrt{8qV/m}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે છે. વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોવાથી,જ્યાં પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય તે બિંદુ વિદ્યુતભારોની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર,નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-2 q)$ ની બાજુએ હોવું જોઈએ.
ધારો કે ઉગમબિંદુથી બિંદુ $P$ નું અંતર $x$ છે. તો $X=L$ પર રહેલા $-2 q$ વિદ્યુતભારથી $P$ નું અંતર $(x-L)$ થશે.
$+8 q$ ને કારણે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{8 q}{x^2}$ છે.
$-2 q$ ને કારણે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 q}{(x-L)^2}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$E_1 = E_2$:
$\frac{8 q}{x^2} = \frac{2 q}{(x-L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x-L)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{2}{x} = \frac{1}{x-L}$ ($x > L$ હોવાથી ધન વર્ગમૂળ લેતા)
$2(x-L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2L$.
આમ,ઉગમબિંદુથી બિંદુ $P$ નું સ્થાન $2 L$ છે.

(D) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = 100 \ N$ છે.
ફેરફાર પછી, નવા વિદ્યુતભારો $q_1' = q_1 + 0.1q_1 = 1.1q_1$ અને $q_2' = q_2 - 0.1q_2 = 0.9q_2$ થાય છે।
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(1.1q_1)(0.9q_2)}{r^2}$.
$F' = (1.1 \times 0.9) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right) = 0.99 \times F$.
$F' = 0.99 \times 100 \ N = 99 \ N$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F - F' = 100 \ N - 99 \ N = 1 \ N$.
નવું બળ પ્રારંભિક બળ કરતા ઓછું હોવાથી, બળમાં $1 \ N$ નો ઘટાડો થાય છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{P} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_1 = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$ થાય.
ડાયપોલને $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવ્યા પછી,અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ}$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_2 = -pE \cos(60^{\circ}) = -pE \times 0.5 = -\frac{pE}{2}$ થાય.
ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = U_2 - U_1 = -\frac{pE}{2} - (-pE) = -\frac{pE}{2} + pE = \frac{pE}{2}$.

(D) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ (અથવા $0$ રેડિયન) પર મળે છે.
તેથી,જ્યારે ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં જ ગોઠવાયેલ હોય ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(C) વિદ્યુત બળરેખાઓના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$1$. વિદ્યુત બળરેખાઓ એ વિદ્યુતક્ષેત્રને દર્શાવવા માટેની કાલ્પનિક રેખાઓ છે.
$2$. તે ધન વીજભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વીજભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
$3$. બળરેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.
$4$. બે વિદ્યુત બળરેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદી શકતી નથી કારણ કે જો તે છેદે,તો છેદબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
$5$. વિદ્યુત બળરેખાઓની ઘનતા વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાના મૂલ્યના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,જ્યાં રેખાઓ ગીચ હોય ત્યાં ક્ષેત્ર પ્રબળ હોય છે અને જ્યાં તે છૂટીછવાઈ હોય ત્યાં ક્ષેત્ર નિર્બળ હોય છે.
$6$. સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકની અંદર કોઈ વિદ્યુત બળરેખાઓ હોતી નથી.
આમ,વિધાન $C$ સાચું છે.

(A) ધારો કે દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $r$ છે। $r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ છે।
$1$. $A (+q)$ અને $D (+q)$ પરના વિદ્યુતભારો $O$ પર સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે। તેથી, તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે।
$2$. $F (-q)$ અને $C (-q)$ પરના વિદ્યુતભારો $O$ પર સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે। તેથી, તેઓ પણ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે।
$3$. ${A, B, C, D, F}$ ના સમૂહમાંથી બાકી રહેલો એકમાત્ર વિદ્યુતભાર શિરોબિંદુ $B$ પરનો $-q$ છે। આ વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = \frac{kq}{r^2}$ છે જે $B$ તરફની દિશામાં છે।
$4$. $E$ પરના $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_Q = \frac{kQ}{r^2}$ છે જે $E$ થી દૂરની દિશામાં છે।
$5$. પ્રશ્ન મુજબ, $E_{net} = 3 E_Q$.
$6$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{kq}{r^2} = 3 \left( \frac{kQ}{r^2} \right)$.
$7$. $Q$ માટે ઉકેલતા, આપણને $Q = \frac{q}{3}$ મળે છે।

(C) ધારો કે ગોળા $A$ અને ગોળા $B$ ના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. ગોળા $A$ ને કારણે બિંદુ $B$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{KQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર,દરેક કેન્દ્રથી અંતર $d = \frac{r}{2}$ છે.
મધ્યબિંદુ પર ગોળા $A$ (વિદ્યુતભાર $Q$) ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{KQ}{(r/2)^2} = \frac{4KQ}{r^2} = 4E$ છે.
મધ્યબિંદુ પર ગોળા $B$ (વિદ્યુતભાર $-2Q$) ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{K|-2Q|}{(r/2)^2} = \frac{8KQ}{r^2} = 8E$ છે.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં ( $A$ થી દૂર અને $B$ તરફ) હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{total} = E_A + E_B = 4E + 8E = 12E$ થશે.

(D) ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે ઉગમબિંદુ $(x=0)$ થી $x$ અંતરે છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ સંજ્ઞાના હોવાથી,શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતું બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચે નહીં,પરંતુ નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-2 q)$ ની બાજુએ બહારની તરફ હશે.
ધારો કે આ બિંદુ $x > L$ પર છે. $+8 q$ થી તેનું અંતર $x$ છે અને $-2 q$ થી તેનું અંતર $(x - L)$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$E_1 = E_2$
$\frac{K(8 q)}{x^2} = \frac{K(2 q)}{(x - L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - L}$
$2(x - L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2 L$
આમ,તે બિંદુ ઉગમબિંદુથી $2 L$ અંતરે આવેલું છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
આપેલ છે કે $V = ar^2 + b$,તેથી $E = -\frac{d}{dr}(ar^2 + b) = -2ar$.
ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ છે.
ગોલીય યામ પદ્ધતિમાં,ત્રિજ્યાવર્તી ક્ષેત્ર $E(r)$ માટે ડાયવર્જન્સ $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $E = -2ar$ મૂકતા:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot (-2ar)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2ar^3) = \frac{1}{r^2} (-6ar^2) = -6a$.
તેથી,$\rho = -6a\varepsilon_0$.

(D) ગાઉસના નિયમ મુજબ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
અહીં વિદ્યુતભાર સપાટી પર સમાન રીતે વહેંચાયેલ હોવાથી,$q = \sigma \times A$,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$ એ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 14 \ cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7 \ cm = 7 \times 10^{-2} \ m$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = 40 \ \mu C/m^2 = 40 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{4 \pi r^2 \sigma}{\varepsilon_0}$
$\phi = \frac{4 \times 3.14 \times (7 \times 10^{-2})^2 \times 40 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{4 \times 3.14 \times 49 \times 10^{-4} \times 40 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{2461.76 \times 10^{-10}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi \approx 278.16 \times 10^2 = 2.78 \times 10^4 \ V \cdot m$ (અથવા આશરે $280 \ kV \cdot m$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{net}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
$\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$
અહીં,સપાટીમાં દાખલ થતું ફ્લક્સ $\phi_1$ (જે ઋણ છે) અને સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ $\phi_2$ (જે ધન છે) છે.
તેથી,કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \phi_2 - \phi_1$ થશે.
આ કિંમત ગૌસના નિયમમાં મૂકતા:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$q = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જ્યારે ફુગ્ગાને ફૂલાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ વધે છે,પરંતુ ફુગ્ગાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર બદલાતો ન હોવાથી,સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ લંબ વિદ્યુત પ્રેરણ ($T$.$N$.$E$.$I$.) તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારોના બેઝિક સરવાળા જેટલું હોય છે.
$\text{T.N.E.I.} = \sum q_{\text{enclosed}}$
સપાટી $A$ માટે,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+2q$ અને $-q$ છે.
સપાટી $A$ માટે $\text{T.N.E.I.} = (+2q) + (-q) = +q$
સપાટી $B$ માટે,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+3q$ અને $-q$ છે.
સપાટી $B$ માટે $\text{T.N.E.I.} = (+3q) + (-q) = +2q$
તેથી,સપાટી $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતું $T$.$N$.$E$.$I$. અનુક્રમે $+q$ અને $+2q$ છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_{net}$ એ સપાટીમાં રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q_{in}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
$\Phi_{net} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
અહીં, સપાટીમાં પ્રવેશતું ફ્લક્સ $\phi_1$ (ઋણ લેવામાં આવે છે) અને સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ $\phi_2$ (ધન લેવામાં આવે છે) છે.
તેથી, કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{net} = \phi_2 - \phi_1$ થશે.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
$q_{in} = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$.
આમ, વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જેમ કે વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ પણ અચળ છે,તેથી વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ માત્ર ઘેરાયેલા વિદ્યુતભાર પર જ આધાર રાખે છે.
તેથી,ગોળાની ત્રિજ્યા બદલવાથી તેમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,નવું ફ્લક્સ $\phi$ જ રહેશે.

(B) ધારો કે $\rho$ એ અચળ કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે. $r$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા ગાઉસિયન નળાકાર દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q = \rho V = \rho (\pi r^2 L)$ છે.
ગાઉસના નિયમ મુજબ,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
નળાકાર ગાઉસિયન સપાટી માટે,વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E(2 \pi r L)$ છે અને સપાટ છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
તેથી,$E(2 \pi r L) = \frac{\rho \pi r^2 L}{\varepsilon_0}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{\rho r}{2 \varepsilon_0}$ મળે છે.
અહીં $\rho$,$2$,અને $\varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી,$E \propto r$ થાય છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા નળાકાર માટે,કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્ર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે: $\phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
નળાકારની સમપ્રમાણતાને કારણે,બે સમતલ સપાટીઓ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $\phi_A = \phi_C$.
આપેલ છે કે વક્ર સપાટી $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_B = \phi$ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$\phi_A$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે તે બિંદુ $A$ $(2 \mu C)$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$V_A + V_B = 0$
$\frac{k(2 \times 10^{-6})}{x} + \frac{k(-3 \times 10^{-6})}{1 - x} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{3}{1 - x}$
$2(1 - x) = 3x$
$2 - 2x = 3x$
$2 = 5x$
$x = \frac{2}{5} = 0.4 \ m$.
આમ,$A$ થી અંતર $0.4 \ m$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$.
'$a$' બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે જેના શિરોબિંદુઓ પર '$q$','$q$',અને '$Q$' વિદ્યુતભારો છે,કુલ સ્થિતિઊર્જા:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q \cdot q}{a} + \frac{q \cdot Q}{a} + \frac{Q \cdot q}{a} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (q^2 + qQ + Qq) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (q^2 + 2qQ)$
તંત્રની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય હોવા માટે,આપણે $U = 0$ લઈએ છીએ:
$q^2 + 2qQ = 0$
$q(q + 2Q) = 0$
અહીં $q \neq 0$ હોવાથી,$q + 2Q = 0$ મળે,જેનું સાદુરૂપ આપતા $Q = -\frac{q}{2}$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = q(V_B - V_A)$.
આપેલ છે:
કાર્ય $W = 90 \ J$
વિદ્યુતભાર $q = 3 \ C$
$A$ પાસે સ્થિતિમાન $V_A = -10 \ V$
$B$ પાસે સ્થિતિમાન $V_B = V_1$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$90 = 3 \times (V_1 - (-10))$
$90 = 3 \times (V_1 + 10)$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$30 = V_1 + 10$
$V_1 = 30 - 10$
$V_1 = 20 \ V$.

(B) વિદ્યુતભારો $2d$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળના પરિઘ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \text{વ્યાસ} / 2 = (2d) / 2 = d$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર હોવાથી,દરેક વિદ્યુતભાર કેન્દ્રથી $r = d$ અંતરે છે.
એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
અહીં ચાર સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V_{total}$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} \right)$
$V_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{4q}{d} \right) = \frac{q}{\pi \varepsilon_0 d}$.
આમ,કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $q/d$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) બે વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$(K.E. + P.E.)_{\text{initial}} = (K.E. + P.E.)_{\text{final}}$
શરૂઆતમાં કણો સ્થિર છે,તેથી $K.E._{\text{initial}} = 0$.
ધારો કે $\frac{r}{2}$ અંતરે દરેક કણની ઝડપ $v$ છે. સમાન દળ $m$ હોવાથી,વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ તેઓ સમાન અને વિરુદ્ધ વેગથી ગતિ કરશે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K.E._{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ થશે.
સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ વાપરતા:
$0 + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r} = mv^2 + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r/2}$
$mv^2 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{2}{r} \right) = -\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
નોંધ: ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સમાન વિદ્યુતભારો આ અંતર સુધી પહોંચી શકશે નહીં. જો વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો હોય તો ઝડપનું મૂલ્ય $v = \sqrt{\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mr}}$ મળે.

(C) ષટ્કોણના દરેક શિરોબિંદુ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન એ દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ જેટલું હોય છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે:
$V = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r} \right)$
અહીં $q = 1 \mu\text{C} = 1 \times 10^{-6} \text{ C}$,$r = 0.1 \text{ m}$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ છે:
$V = 6 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.1} \right)$
$V = 6 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-5}$
$V = 54 \times 10^4 = 5.4 \times 10^5 \text{ volt}$.

(B) જ્યારે બે અલગ કરેલા ધાતુના ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી તેમની વચ્ચે વીજભારનું વહન થાય છે.
ધારો કે ગોળા $A$ અને $B$ ની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_A$ અને $r_B$ છે,અને તેમના અંતિમ વીજભાર $q_A$ અને $q_B$ છે.
આપેલ છે કે $r_B = \frac{r_A}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $r_A = 2r_B$.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,$V_A = V_B$.
સ્થિતિમાનના સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_A}{r_A} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_B}{r_B}$
$\frac{q_A}{q_B} = \frac{r_A}{r_B}$
$r_A = 2r_B$ મૂકતા:
$\frac{q_A}{q_B} = \frac{2r_B}{r_B} = \frac{2}{1}$
આમ,ગોળા $A$ અને $B$ પરના વીજભારનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(B) વિદ્યુતભારિત ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ ચાપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધ-રિંગ માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \lambda \times (\pi R)$ થાય.
તેથી,પ્રથમ અર્ધ-રિંગને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (\pi R_1)}{R_1} = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0}$ છે.
તે જ રીતે,બીજી અર્ધ-રિંગને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (\pi R_2)}{R_2} = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0}$ છે.
કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V_{net} = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0} + \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \varepsilon_0}$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = ma$ અને $F = qE$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$qE = ma$,જેનો અર્થ થાય છે $a = \frac{qE}{m} \quad ...(i)$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$s = l$,અને $v$ એ અંતિમ વેગ છે:
$v^2 - 0^2 = 2al$
$v^2 = 2al$
$a = \frac{v^2}{2l} \quad ...(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{qE}{m} = \frac{v^2}{2l}$.
$\frac{q}{m}$ ના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા:
$\frac{q}{m} = \frac{v^2}{2El}$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kQ}{r}$ છે.
ચોરસના કેન્દ્રમાં $10 \mu C$ નો વિદ્યુતભાર હોવાથી,ચારેય ખૂણાઓ $(A, B, C, D)$ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે $r$ આવેલા છે.
તેથી,ખૂણા $A$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V_A)$ અને ખૂણા $B$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V_B)$ સમાન છે,એટલે કે $V_A = V_B$.
વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = q(V_B - V_A)$ છે.
$V_A = V_B$ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_B - V_A) = 0$ થાય.
આમ,કરવું પડતું કાર્ય $W = 2 \mu C \times 0 = 0$ થાય.

(B) વાન ડી ગ્રાફ જનરેટર મુખ્યત્વે બે સિદ્ધાંતો પર કાર્ય કરે છે:
$1$. અણીદાર ભાગો પર કોરોના ડિસ્ચાર્જની ઘટના,જે ગતિશીલ બેલ્ટ પર વિદ્યુતભારના સ્થાનાંતરણ માટે જવાબદાર છે.
$2$. પોલા વાહકને આપેલો વિદ્યુતભાર તેની બહારની સપાટી પર સ્થાનાંતરિત થાય છે અને જેમ વધુ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે તેમ વાહકનું પોટેન્શિયલ વધતું જાય છે.
વિકલ્પ $B$ સાયક્લોટ્રોનના સિદ્ધાંતનું વર્ણન કરે છે,જ્યાં વિદ્યુતભારિત કણોને પ્રવેગિત કરવા માટે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી,વાન ડી ગ્રાફ જનરેટર એકબીજાને લંબ હોય તેવા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના ઉપયોગ પર આધારિત નથી.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $2L$ છે. વિદ્યુતભારો આ મુજબ મૂકવામાં આવ્યા છે: $A(+q), B(+q), C(-q), D(-q)$. બિંદુ $P$ એ બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
બિંદુ $P$ થી વિદ્યુતભારોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$AP = L$
$BP = L$
$DP = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$
$CP = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = V_A + V_B + V_C + V_D$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{CP} + \frac{-q}{DP} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L\sqrt{5}} - \frac{q}{L\sqrt{5}} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{2q}{L} - \frac{2q}{L\sqrt{5}} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{L} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ $1/r^2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક અંતર $r_i = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{k q_1 q_2}{r_i}$.
જ્યારે $q_2$ ને $q_1$ તરફ $2 \ cm$ ખસેડવામાં આવે,ત્યારે નવું અંતર $r_f = 10 \ cm - 2 \ cm = 8 \ cm = 0.08 \ m$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{k q_1 q_2}{r_f}$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = 6 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 4 \times 10^{-6} \ C$.
$\Delta U = (9 \times 10^9) \times (6 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.08} - \frac{1}{0.1} \right)$.
$\Delta U = 216 \times 10^{-3} \times \left( 12.5 - 10 \right)$.
$\Delta U = 0.216 \times 2.5 = 0.54 \ J$.

(D) એક વિદ્યુતભાર $q$ ને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે થતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = q \Delta V$
જ્યાં $\Delta V$ એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એવું પૃષ્ઠ છે કે જેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 0$ થાય છે.
આ કિંમત કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = q \times 0 = 0$
આમ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.

(A) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક એકમ ધન વિદ્યુતભાર $(q = 1)$ ને ઓછા સ્થિતિમાન $(V_L)$ વાળા વિસ્તારમાંથી વધુ સ્થિતિમાન $(V_H)$ વાળા વિસ્તારમાં ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = q(V_H - V_L)$ છે.
અહીં $V_H > V_L$ હોવાથી,પદ $(V_H - V_L)$ ધન છે.
તેથી,$\Delta U > 0$,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિઊર્જા વધે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ધન વિદ્યુતભારને ઓછા સ્થિતિમાનથી વધુ સ્થિતિમાન તરફ લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે,અને આ કાર્ય તંત્રમાં સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો ચાર્જ $q$ છે. દરેક નાના ટીપાનો પોટેન્શિયલ $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
જ્યારે $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જે $R = n^{1/3} r$ આપે છે.
મોટા ટીપા પરનો કુલ ચાર્જ $Q = nq$ છે.
મોટા ટીપાનો પોટેન્શિયલ $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
$Q$ અને $R$ ની કિંમતો મૂકતા: $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{nq}{n^{1/3} r}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $V' = n^{1 - 1/3} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} \right) = n^{2/3} V$ મળે છે.

(A) તાર $C$ પર કોઈ ચોખ્ખું બળ ન લાગે તે માટે,તાર $D$ દ્વારા લાગતું ચુંબકીય બળ અને તાર $B$ દ્વારા લાગતું ચુંબકીય બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
ધારો કે તાર $C$ નું તાર $D$ થી અંતર $x$ છે. તેથી તાર $C$ નું તાર $B$ થી અંતર $(15 - x) \text{ cm}$ થશે.
બે સમાંતર તાર કે જેમાં $i_1$ અને $i_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ હોય,તો એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $C$ પર લાગતા બળોને સરખાવતા:
$F_{CD} = F_{CB}$
$\frac{\mu_0 i_C i_D}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 i_C i_B}{2 \pi (15 - x)}$
$\frac{i_D}{x} = \frac{i_B}{15 - x}$
આપેલ કિંમતો $i_D = 15 \text{ A}$ અને $i_B = 10 \text{ A}$ મૂકતા:
$\frac{15}{x} = \frac{10}{15 - x}$
$15(15 - x) = 10x$
$225 - 15x = 10x$
$25x = 225$
$x = 9 \text{ cm}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલી $L$ લંબાઈની લૂપની બાજુ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = BIL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
ચુંબકીય બળ દળ $M$ ના વજનને સંતુલિત કરે તે માટે,આપણી પાસે $F = Mg$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$BIL = Mg$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ લૂપનો અવરોધ છે.
બળના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B \left( \frac{V}{R} \right) L = Mg$ મળે છે.
$V$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $V = \frac{MgR}{BL}$ મળે છે.

(B) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 25 \, cm^2 = 25 \times 10^{-4} \, m^2$ છે।
બાજુની લંબાઈ $l = \sqrt{A} = 5 \, cm = 0.05 \, m$ છે।
વેગ $v = \frac{l}{t} = \frac{0.05 \, m}{1 \, s} = 0.05 \, m/s$ છે।
પ્રેરિત $EMF$ $e = B l v$ છે।
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{40 \times 0.05 \times 0.05}{10} = 0.01 \, A$.
વાહક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = B I l$ છે।
$F = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02 \, N$.
કરેલું કાર્ય $W = F \times l = 0.02 \, N \times 0.05 \, m = 1 \times 10^{-3} \, J$ થાય.