MHT CET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $m$ છે. પ્રથમ ગોળાનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને બીજા ગોળાનો $0$ છે. ધારો કે તેમના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v + m(0) = m V_1 + m V_2$
$v = V_1 + V_2$ --- $(1)$
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{V_2 - V_1}{u_1 - u_2}$
$e = \frac{V_2 - V_1}{v - 0}$
$e v = V_2 - V_1$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$v + e v = (V_1 + V_2) + (V_2 - V_1)$
$v(1 + e) = 2 V_2$
$V_2 = \frac{v(e + 1)}{2}$
બીજા ગોળાના અંતિમ વેગ $(V_2)$ અને પ્રથમ ગોળાના પ્રારંભિક વેગ $(v)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_2}{v} = \frac{e + 1}{2}$

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બોમ્બ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. તેથી,કુલ અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે ત્રીજા ભાગનું વેગમાન $\vec{p}_3$ છે.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$
$(-3 p \hat{i}) + (2 p \hat{j}) + \vec{p}_3 = 0$
$\vec{p}_3 = 3 p \hat{i} - 2 p \hat{j}$
ત્રીજા ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય:
$|\vec{p}_3| = \sqrt{(3p)^2 + (-2p)^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{9p^2 + 4p^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{13} p$

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ $g$ નું મૂલ્ય $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$g$ માં થતો ફેરફાર $\Delta g_h = g - g_h = g(\frac{2h}{R})$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ $g$ નું મૂલ્ય $g_x = g(1 - \frac{x}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$g$ માં થતો ફેરફાર $\Delta g_x = g - g_x = g(\frac{x}{R})$ છે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h$ અને ઊંડાઈ $x$ પર $g$ માં થતો ફેરફાર સમાન છે,તેથી આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$g(\frac{2h}{R}) = g(\frac{x}{R})$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 2h$ મળે છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h}$
$m$ વડે ભાગતા અને પદ ગોઠવતા: $\frac{GM}{R+h} = \frac{GM}{R} - \frac{u^2}{2}$
$GM = gR^2$ મૂકતા: $\frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{u^2}{2} = \frac{2gR - u^2}{2}$
$\frac{R+h}{R^2} = \frac{2g}{2gR - u^2}$
$R+h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2}$
$h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2} - R = \frac{2gR^2 - 2gR^2 + u^2R}{2gR - u^2} = \frac{u^2R}{2gR - u^2}$

(D) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે:
$C_P - C_V = R$
આપણને મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ તરીકે પણ આપવામાં આવ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે $C_P = \gamma C_V$.
મેયરના સંબંધમાં $C_P$ ની કિંમત મૂકતા:
$\gamma C_V - C_V = R$
$C_V(\gamma - 1) = R$
તેથી,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$.

(C) સ્પર્શક પ્રવેગ $(a_t)$ નું સૂત્ર $a_t = \alpha r$ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $(a_r)$ નું સૂત્ર $a_r = \frac{u^2}{r}$ છે.
સ્પર્શક પ્રવેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r}{u^2 / r}$ થાય.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{\alpha r^2}{u^2}$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશોના માનનો વર્ગ શોધો:
$A^2 = |\vec{A}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
$B^2 = |\vec{B}|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
$C^2 = |\vec{C}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21$
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B^2 = A^2 + C^2$ $(35 = 14 + 21)$,જે કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય સંતોષે છે.
હવે,સદિશ સરવાળાનો સંબંધ ચકાસો:
$\vec{B} + \vec{C} = (1+2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} = \vec{A}$
આમ,$\vec{A} = \vec{B} + \vec{C}$ અને $B^2 = A^2 + C^2$ એ સાચી શરત છે.

(B) આપેલ ભૌતિક રાશિ $x = \frac{a^2 b^2}{c}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta x}{x} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c}$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 3\%$ અને $\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 4\%$ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 2(2\%) + 2(3\%) + 4\%$.
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\% + 6\% + 4\% = 14\%$.
તેથી,$x$ ના માપનમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $14\%$ છે.

(D) એકમ સદિશનું માન $1$ હોય છે. સદિશ $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ નું માન $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશ $(0.8 \hat{i} + b \hat{j} + 0.4 \hat{k})$ હોવાથી,તેનું માન $1$ લેતા:
$\sqrt{(0.8)^2 + b^2 + (0.4)^2} = 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(0.8)^2 + b^2 + (0.4)^2 = 1^2$
$0.64 + b^2 + 0.16 = 1$
$0.80 + b^2 = 1$
$b^2 = 1 - 0.80$
$b^2 = 0.2$
$b = \sqrt{0.2}$

(A) તાર તરે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપરના બળ દ્વારા સંતુલિત હોવું જોઈએ.
તાર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) $W = mg = (\text{કદ} \times \rho) g = (\pi r^2 l) \rho g$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ તારની લંબાઈ છે.
પૃષ્ઠતાણ બળ પાણીની સપાટી પર તારની બંને બાજુઓ પર લાગે છે,તેથી ઉપરની તરફનું બળ $F_s = 2Tl$ છે.
તરવાની મર્યાદા માટે બળોને સરખાવતા: $Mg = 2Tl$.
કિંમતો મૂકતા: $(\pi r^2 l) \rho g = 2Tl$.
બંને બાજુથી $l$ ને દૂર કરતા: $\pi r^2 \rho g = 2T$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r^2 = \frac{2T}{\pi \rho g}$,જે આપે છે $r = \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$.
આમ,મહત્તમ ત્રિજ્યા $\sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) $y$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી વહેતા પાણીનો દર (ડિસ્ચાર્જ) $Q = A_v \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_v$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v = \sqrt{2gy}$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
$h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્ર $A$ માટે: ક્ષેત્રફળ $A_A = L^2$,વેગ $v_A = \sqrt{2gh}$. તેથી,$Q_A = L^2 \sqrt{2gh}$.
$3h$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્ર $B$ માટે: ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi r^2$,વેગ $v_B = \sqrt{2g(3h)} = \sqrt{6gh}$. તેથી,$Q_B = \pi r^2 \sqrt{6gh}$.
આપેલ છે કે પ્રવાહનો દર સમાન છે,તેથી $Q_A = Q_B$:
$L^2 \sqrt{2gh} = \pi r^2 \sqrt{6gh}$
$L^2 = \pi r^2 \frac{\sqrt{6gh}}{\sqrt{2gh}} = \pi r^2 \sqrt{3}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$L = \sqrt{\pi r^2 \sqrt{3}} = r \sqrt{\pi} (3)^{\frac{1}{4}} = r (\pi)^{\frac{1}{2}} (3)^{\frac{1}{4}}$.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે, તેથી તેનું કુલ પૃષ્ઠફળ $2 \times 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$ થાય.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $R' = 2R$ થાય છે.
નવું પૃષ્ઠફળ $2 \times 4 \pi (2R)^2 = 2 \times 4 \pi (4R^2) = 32 \pi R^2$ થાય.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_f = T \times (32 \pi R^2) = 32 \pi R^2 T$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = E_f - E_i$.
$W = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$.

(B) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ,$\theta$ એ સંપર્કકોણ,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $T, \theta, \rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ મળે,એટલે કે $rh = \text{constant}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$r \propto \sqrt{A}$ થાય.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ અને અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{A}{9}$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{A_2}{A_1}} = \sqrt{\frac{A/9}{A}} = \frac{1}{3}$ મળે.
સંબંધ $r_1 h_1 = r_2 h_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$h_2 = h_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$h_2 = h \times 3 = 3h$ થાય.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta L$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$Y = \frac{F L}{A \Delta L}$
$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$
આમ,લંબાઈમાં થતો ઘટાડો $\frac{F L}{A Y}$ છે.

(B) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
ત્રિજ્યા $r = d/2 = 0.25 \ m = 25 \times 10^{-2} \ m$.
આવૃત્તિ $f = 2 \ Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \ rad/s$.
$U.C.M.$ માં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = r \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = (25 \times 10^{-2}) \times (4 \pi)^2$.
$a = 0.25 \times 16 \pi^2$.
$a = 4 \pi^2 \ m/s^2$.

(B) દોલનની પથ લંબાઈ એ બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર છે, જે $2a$ જેટલું હોય છે, જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે, $2a = 16 \,cm$, તેથી કંપવિસ્તાર $a = 8 \,cm$.
લોલકની લંબાઈ $l = 1 \,m$ છે.
સાદા લોલકની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = \pi^2 \,m/s^2$ અને $l = 1 \,m$ મૂકતા, આપણને $\omega = \sqrt{\frac{\pi^2}{1}} = \pi \,rad/s$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં મહત્તમ વેગ $v_{max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $v_{max} = 8 \,cm \times \pi \,rad/s = 8\pi \,cm/s$.

(D) $SHM$ ની પથ લંબાઈ $2A$ જેટલી હોય છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ પથ લંબાઈ $= 0.01 \ m$,તેથી $2A = 0.01 \ m$,જેનો અર્થ છે કે $A = 0.005 \ m$.
આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
$SHM$ માં કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{max} = m \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી $F_{max} = m (2 \pi f)^2 A = m (4 \pi^2 f^2) A$.
કિંમતો મૂકતા: $F_{max} = 1 \times 4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 0.005$.
$F_{max} = 4 \times \pi^2 \times 2500 \times 0.005$.
$F_{max} = 10000 \times \pi^2 \times 0.005 = 50 \pi^2 \ N$.

(D) $S.H.M.$ ની આવૃત્તિ $n = 5 Hz$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n = 2 \pi \times 5 = 10 \pi rad s^{-1}$ છે.
દોલનના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી નથી,એટલે કે સ્થાનાંતર $x = 0$ છે. $S.H.M.$ માં,સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણને સંતુલિત કરે છે,$k x_0 = mg$,જ્યાં $x_0$ એ સ્થિર વિસ્તરણ છે.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ આ સ્થિર વિસ્તરણ $x_0$ જેટલો છે,કારણ કે કણ તેના માર્ગના ટોચ પર અખિંચાયેલી સ્થિતિ $(x=0)$ પર પહોંચે છે. તેથી,$A = x_0 = \frac{mg}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^2 = \frac{k}{m}$,તેથી $k = m \omega^2 = m(10 \pi)^2 = 100 \pi^2 m$.
$k$ ની કિંમત કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા: $A = \frac{mg}{100 \pi^2 m} = \frac{g}{100 \pi^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi} m$.
મહત્તમ ઝડપ $V_{max} = \omega A = (10 \pi) \times (\frac{1}{10 \pi}) = \frac{1}{\pi} m s^{-1}$.

(B) એક પૂર્ણ દોલનમાં,$SHM$ માં રહેલો કણ મધ્યમાન સ્થાનથી એક અંતિમ સ્થાન $(A)$ સુધી,ત્યાંથી પાછા મધ્યમાન સ્થાન $(A)$ સુધી,બીજા અંતિમ સ્થાન $(A)$ સુધી અને ફરીથી મધ્યમાન સ્થાન $(A)$ સુધી ગતિ કરે છે.
$1$ દોલનમાં કાપેલું કુલ અંતર $= A + A + A + A = 4 \ A$ થાય.
એક પૂર્ણ દોલન માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળ $T$ છે.
દોલનની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{T}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{1}{n}$.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4 \ A}{T}$.
$T = \frac{1}{n}$ મૂકતા,આપણને $\text{સરેરાશ ઝડપ} = 4 \ A \ n$ મળે છે.

(B) ડિસ્કની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના રોટેશનલ સ્વરૂપ મુજબ,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
ધાર પર લગાડવામાં આવતું સ્પર્શક બળ $F$ એ ટોર્ક $\tau = F \times R$ આપે છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $F \times R = (\frac{1}{2} M R^2) \times (\frac{\omega}{t})$.
$F$ માટે ઉકેલતા: $F = \frac{M R \omega}{2 t}$.

(B) પ્રારંભિક સ્થિતિ: જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = I$,કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2} I \omega^2$.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $L_i = L_f$.
$I \omega = (I + I) \omega_2$,જ્યાં $\omega_2$ એ અંતિમ કોણીય વેગ છે.
$I \omega = 2I \omega_2 \implies \omega_2 = \frac{\omega}{2}$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{1}{2} (2I) \omega_2^2 = I \left(\frac{\omega}{2}\right)^2 = \frac{I \omega^2}{4}$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta KE = KE_i - KE_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.

(B) $L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ માંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ છે.
આપેલ અક્ષનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અંતર $x = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{CM} + M x^2$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{6} \right)^2$.
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{36}$.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ લેતા,$I = \frac{3 M L^2 + M L^2}{36} = \frac{4 M L^2}{36} = \frac{M L^2}{9}$.

(B) આપાત ઉષ્મા ઉર્જાનો દર $P_i = 1000 \ J \ min^{-1}$ છે.
ઉષ્મા વિકિરણ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન $(r)$,શોષણ $(a)$ અને પ્રસરણ $(t)$ ના ગુણાંકોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $r + a + t = 1$.
અહીં $r = 0.1$ અને $a = 0.8$ આપેલ છે,તેથી પ્રસરણ ગુણાંક $(t)$ શોધી શકાય:
$t = 1 - (r + a) = 1 - (0.1 + 0.8) = 1 - 0.9 = 0.1$.
પ્રસારિત ઉષ્મા ઉર્જાનો દર $P_t = t \times P_i = 0.1 \times 1000 \ J \ min^{-1} = 100 \ J \ min^{-1}$ છે.
$5$ મિનિટના સમયગાળા માટે,કુલ પ્રસારિત ઉષ્મા ઉર્જા $(Q_t)$:
$Q_t = P_t \times \text{સમય} = 100 \ J \ min^{-1} \times 5 \ min = 500 \ J$.

(B) બંને છેડે જડિત દોરી માટે,$n^{th}$ ઓવરટોન એ $(n+1)^{th}$ હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.
અહીં,પાંચમો ઓવરટોન એ છઠ્ઠો હાર્મોનિક $(n=6)$ છે.
દોરીની લંબાઈ $L = 2.4 \ m$ છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક માટેની શરત $L = n \frac{\lambda}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.4 = 6 \times \frac{\lambda}{2}$.
આનાથી $\frac{\lambda}{2} = \frac{2.4}{6} = 0.4 \ m$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = 0.8 \ m$.
નિસ્પંદ બિંદુ અને ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર હંમેશા $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{0.8 \ m}{4} = 0.2 \ m$ થાય.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n_a = n \left[ \frac{v \pm v_0}{v \mp v_s} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવલોકનકાર સ્થિર હોવાથી,$v_0 = 0$ છે.
જેમ સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,છેદ $(v - v_s)$ બને છે,તેથી $n_a = n \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$.
કારણ કે $(v - v_s) < v$,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $n_a$ વધે છે.
માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ અચળ રહેતી હોવાથી અને $v = n_a \lambda_a$ હોવાથી,આવૃત્તિ $n_a$ માં વધારો થવાથી અવલોકિત તરંગલંબાઇ $\lambda_a$ માં ઘટાડો થાય છે.

(C) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ $f_k = (2k - 1) \frac{V}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$ એ મોડ નંબર છે.
અહીં $V = 332 \ m/s$ અને $L = 83 \ cm = 0.83 \ m$ આપેલ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(k=1)$ $f_1 = \frac{V}{4L} = \frac{332}{4 \times 0.83} = \frac{332}{3.32} = 100 \ Hz$ છે.
શક્ય આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક છે: $f_k = (2k - 1) \times 100 \ Hz$.
આપણે એવી આવૃત્તિઓની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $f_k < 1000 \ Hz$ થાય.
$(2k - 1) \times 100 < 1000 \implies 2k - 1 < 10 \implies 2k < 11 \implies k < 5.5$.
$k$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $k = 1, 2, 3, 4, 5$ હોઈ શકે.
આવૃત્તિઓ $100 \ Hz, 300 \ Hz, 500 \ Hz, 700 \ Hz, 900 \ Hz$ છે.
આમ,કુલ $5$ શક્ય આવૃત્તિઓ છે.

(D) આપેલ ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $e = e_0 \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $e_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ છે。
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \Omega$ છે。
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{e_0}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \text{ V}$ છે。
$AC$ એમીટરનું અવલોકન $RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ આપે છે。
કિંમતો મૂકતા, $I_{rms} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$ મળે છે.

(B) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: $P = 4.4 kW = 4400 W$,$V_p = 220 V$,$V_s = 3.3 kV = 3300 V$.
સેકન્ડરી ગૂંચળા માટે $P = V_s \times I_s$ હોવાથી:
$I_s = \frac{P}{V_s} = \frac{4400}{3300} A$.
$I_s = \frac{44}{33} A = \frac{4}{3} A$.
આમ,સેકન્ડરી ગૂંચળામાં વહેતો એસી પ્રવાહ $\frac{4}{3} A$ છે.

(A) $C_1$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $N_1$ કેપેસિટર્સના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1} = \frac{C_1}{N_1}$ છે.
આ જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} C_{eq1} (3V)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{N_1} \right) 9V^2 = \frac{9 C_1 V^2}{2 N_1}$ છે.
$C_2$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $N_2$ કેપેસિટર્સના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq2} = N_2 C_2$ છે.
આ જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C_{eq2} V^2 = \frac{1}{2} N_2 C_2 V^2$ છે.
આપેલ છે કે બંને જોડાણોમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા સમાન છે $(E_1 = E_2)$:
$\frac{9 C_1 V^2}{2 N_1} = \frac{N_2 C_2 V^2}{2}$.
બંને બાજુથી $\frac{V^2}{2}$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{9 C_1}{N_1} = N_2 C_2$ મળે છે.
$C_1$ માટે ઉકેલતા,આપણને $C_1 = \frac{C_2 N_1 N_2}{9}$ મળે છે.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,ઉચ્ચ-આવૃત્તિ ધરાવતા કેરિયર વેવનું એમ્પ્લિટ્યુડ એ મોડ્યુલેટિંગ (માહિતી) સિગ્નલના તત્કાલિન એમ્પ્લિટ્યુડ અનુસાર બદલાય છે,જ્યારે કેરિયર વેવની ફ્રીક્વન્સી અને ફેઝ અચળ રહે છે.

(D) ધારો કે ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ છે અને કુલ પ્રવાહ $I$ છે. જ્યારે $S_1 = 3 \Omega$ નો શંટ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = \frac{I}{4}$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ: $I_g = I \left( \frac{S_1}{G + S_1} \right) \Rightarrow \frac{I}{4} = I \left( \frac{3}{G + 3} \right)$.
$G$ માટે ઉકેલતા: $G + 3 = 12 \Rightarrow G = 9 \Omega$.
હવે,અગાઉના $S_1 = 3 \Omega$ શંટ સાથે સમાંતરમાં $S_2 = 2 \Omega$ નો વધારાનો શંટ જોડવામાં આવે છે. સમતુલ્ય શંટ અવરોધ $S_{eq}$:
$S_{eq} = \frac{S_1 \times S_2}{S_1 + S_2} = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = \frac{6}{5} = 1.2 \Omega$.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો નવો પ્રવાહ $I_g'$:
$I_g' = I \left( \frac{S_{eq}}{G + S_{eq}} \right) = I \left( \frac{1.2}{9 + 1.2} \right) = I \left( \frac{1.2}{10.2} \right) = I \left( \frac{12}{102} \right) = I \left( \frac{1}{8.5} \right)$.
આમ,ગેલ્વેનોમીટરમાં થતું આવર્તન પ્રારંભિક મૂલ્યના $\left(\frac{1}{8.5}\right)^{th}$ ભાગનું થઈ જશે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,જેનો અર્થ છે કે $L_1 d_1^2 = L_2 d_2^2$,અથવા $\frac{L_1}{L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$.
અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{A_2}{A_1} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{d_2^2}{d_1^2}$ છે.
સમીકરણમાં $\frac{L_1}{L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{d_2^2}{d_1^2}\right) \times \left(\frac{d_2^2}{d_1^2}\right) = \frac{d_2^4}{d_1^4}$ મળે છે.

(C) આપેલ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ છે. અવરોધો $R_{AB} = 15\Omega$,$R_{BC} = 3\Omega$,$R_{AD} = 20\Omega$,$R_{CD} = 4\Omega$ અને ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R_G = 6\Omega$ છે.
પ્રથમ,સંતુલિત સ્થિતિ તપાસો: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{15}{20} = 0.75$ અને $\frac{R_{BC}}{R_{CD}} = \frac{3}{4} = 0.75$.
કારણ કે $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$,બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટને બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બનાવે છે: એક $(15+3) = 18\Omega$ સાથે અને બીજી $(20+4) = 24\Omega$ સાથે.
કુલ પ્રવાહ $I = 2.1 A$ એ $I_1$ ($18\Omega$ શાખામાંથી) અને $I_2$ ($24\Omega$ શાખામાંથી) માં વિભાજિત થાય છે.
કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I_1 = I \times \frac{R_{parallel2}}{R_{parallel1} + R_{parallel2}} = 2.1 \times \frac{24}{18+24} = 2.1 \times \frac{24}{42} = 2.1 \times \frac{4}{7} = 1.2 A$.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાનને $p = \sqrt{2m(K.E.)}$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2m(K.E.)}$ મળે.
ગતિઊર્જા માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા,$K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ગતિઊર્જા $KE$ ને $KE = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
જ્યારે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે સમાન હોય,ત્યારે આપણને $KE \propto \frac{1}{m}$ મળે છે.
કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ કરતા ઘણું ઓછું છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા પ્રોટોનની ગતિઊર્જા કરતા વધારે હશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = hf - \phi$
જેમ કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_s$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$eV_s = hf - \phi$
$V_s = (h/e)f - (\phi/e)$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં,ઢાળ $(h/e)$ (ધન અચળાંક) છે અને $V_s$-અક્ષ પરનો આંતરછેદ $(-\phi/e)$ છે.
જ્યારે $V_s = 0$ હોય,ત્યારે $hf = \phi$ થાય,જે $f = \phi/h = f_0$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) આપે છે.
આમ,$V_s$ વિરુદ્ધ $f$ નો આલેખ એ આવૃત્તિ અક્ષ પર $f = f_0$ થી શરૂ થતી એક સીધી રેખા છે.
આલેખ $(1)$ આ રેખીય સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $e V_0 = h f - \Phi$, જ્યાં $\Phi = h f_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $V_0 = \frac{h}{e} f - \frac{h f_0}{e}$.
અહીં $h$, $e$, અને $f_0$ અચળ હોવાથી, $V_0$ એ આપાત આવૃત્તિ $f$ નું સુરેખ વિધેય છે.
જેમ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ વધે છે, તેમ $\frac{h}{e} f$ પદનું મૂલ્ય વધે છે.
તેથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ વધે છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત પાતળી અનંત સમતલ શીટ કે જેની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે,તેની બહારના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
અહીં,$\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં અંતર $d$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા સમતલ શીટથી અંતર $d$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_x = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $B_x = \frac{B}{8}$. $B$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{B}{8} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8R} = \frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8R^3} = \frac{1}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{(R^2 + x^2)^{1/2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{R^2 + x^2}$
$R^2 + x^2 = 4R^2$
$x^2 = 3R^2$
$x = R\sqrt{3}$.

(A) સાયક્લોટ્રોનમાં,ઓલ્ટરનેટિંગ વિદ્યુતક્ષેત્રની આવૃત્તિ $f$ એ સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f_c = \frac{eB}{2\pi m}$ જેટલી હોય છે.
આના પરથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{2\pi mf}{e}$ મળે છે.
બહાર નીકળતી વખતે ત્રિજ્યા $R$ પર પ્રોટોનનો મહત્તમ વેગ $v = \omega R = (2\pi f)R$ છે.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = 2\pi f R$ મૂકતા,આપણને $K.E. = \frac{1}{2}m(2\pi f R)^2 = \frac{1}{2}m(4\pi^2 f^2 R^2) = 2\pi^2 mf^2 R^2$ મળે છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\frac{2\pi mf}{e}$ છે અને ગતિઊર્જા $2\pi^2 mf^2 R^2$ છે.

(B) પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે ક્યુરીના નિયમ મુજબ,મેગ્નેટાઇઝેશન $M_z$ એ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના સમપ્રમાણમાં અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $M_z \propto \frac{B}{T}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ક્યુરી અચળાંક $C$ દાખલ કરતા,આપણને $M_z = C \frac{B}{T}$ અથવા $M_z = \frac{C B}{T}$ સંબંધ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $M_z = \frac{C B}{T}$ છે.

(B) ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2Md}{(d^2-l^2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે અને $2l$ એ ચુંબકીય લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $d_1 = 10 \ cm$ અને $d_2 = 10 + 10 = 20 \ cm$.
ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{d_1}{d_2} \left( \frac{d_2^2 - l^2}{d_1^2 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{20} \left( \frac{20^2 - l^2}{10^2 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2}$.
$\frac{1}{2} \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2} \Rightarrow \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{400 - l^2}{100 - l^2} = 5$.
$400 - l^2 = 500 - 5l^2 \Rightarrow 4l^2 = 100 \Rightarrow l^2 = 25$.
તેથી,$l = 5 \ cm$.
ચુંબકીય લંબાઈ $2l = 2 \times 5 \ cm = 10 \ cm$ છે.

(C) મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ એ માપ છે કે કોઈ પદાર્થ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કેટલી સરળતાથી ચુંબકીય બની શકે છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ નાની અને ધન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર તરફ નિર્બળ રીતે આકર્ષાય છે.
ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ નાની અને ઋણ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે.
તેથી,સાચો ક્રમ પેરામેગ્નેટિક માટે નાની,ધન અને ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે નાની,ઋણ છે.

(D) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સને વસ્તુની ખૂબ નજીક રાખવામાં આવે છે જેથી વાસ્તવિક,ઉલટું અને મોટું પ્રતિબિંબ મળે. ઉચ્ચ મેગ્નિફિકેશન અને વધુ સારી રિઝોલ્યુશન મેળવવા માટે,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ ટૂંકી અને એપર્ચર નાનું હોવું જરૂરી છે.

(C) માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા $(d)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \frac{1.22 \lambda}{2 NA}$,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $NA$ એ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા $(d)$ એ ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $(NA)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $d \propto \frac{1}{NA}$.
તેથી,જો માઇક્રોસ્કોપનું ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $(NA)$ વધારવામાં આવે,તો રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા $(d)$ ઘટે છે,જે માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર (વિભેદન શક્તિ) માં સુધારો કરે છે.

(A) આપાતકોણ એ આપાત કિરણ અને આપાત બિંદુએ સપાટી પરના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જોકે,આપાત કિરણ અને પરાવર્તક સપાટી વચ્ચેના ખૂણાને ગ્લેન્સિંગ એંગલ (સ્પર્શક ખૂણો) કહેવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ખૂણો $\theta$ એ આપાત કિરણ $I$ અને સપાટી $XY$ વચ્ચેનો ખૂણો દર્શાવે છે,જે ગ્લેન્સિંગ એંગલ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે સપાટીથી ઉદગમનું અંતર $x$ છે. કાચના સ્લેબની જાડાઈ $d = 5 \ cm$ છે અને તેનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.6$ છે.
હવામાં (જ્યાં ઝડપ $c$ છે) $x$ અંતર કાપવા માટે પ્રકાશ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_1 = \frac{x}{c}$ છે.
કાચના સ્લેબમાં (જ્યાં ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ છે) $d$ જાડાઈ કાપવા માટે પ્રકાશ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_2 = \frac{d}{v} = \frac{d}{c/\mu} = \frac{\mu d}{c}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$t_1 = t_2$,તેથી:
$\frac{x}{c} = \frac{\mu d}{c}$
$x = \mu d$
$x = 1.6 \times 5 \ cm = 8 \ cm$.
તેથી,સપાટીથી ઉદગમનું અંતર $8 \ cm$ છે.

(C) જ્યારે $p-n$ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,ત્યારે બેટરીનો ધન છેડો $p$-બાજુ સાથે અને ઋણ છેડો $n$-બાજુ સાથે જોડાયેલ હોય છે.
આનાથી ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ ઘટે છે અને પોટેન્શિયલ બેરિયર ઓછું થાય છે.
પરિણામે,ડાયોડ ખૂબ જ ઓછો અવરોધ આપે છે અને તેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા દે છે.
તેથી,ફોરવર્ડ બાયસમાં,$p-n$ જંકશન ડાયોડ બંધ સ્વીચ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: પ્રવાહ ગેઇન $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\Delta I_C = 1.5 \ mA = 1.5 \times 10^{-3} \ A$ અને $\Delta I_B = 20 \ \mu A = 20 \times 10^{-6} \ A$.
$\beta$ ની ગણતરી: $\beta = \frac{1.5 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1500}{20} = 75$.
વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: લોડ અવરોધ $R_L = 2 \ k\Omega = 2000 \ \Omega$ અને ઇનપુટ અવરોધ $R_i = 150 \ \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $A_v = 75 \times \frac{2000}{150} = 75 \times \frac{40}{3} = 25 \times 40 = 1000$.

(B) તરંગની તીવ્રતા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto a^2$,તેથી $I = ka^2$. ધારો કે $I_1 = ka_1^2$ અને $I_2 = ka_2^2$.
વ્યતિકરણ દરમિયાન મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = k(a_1 + a_2)^2 = k(a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યતિકરણ દરમિયાન ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = k(a_1 - a_2)^2 = k(a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો સરવાળો $I_{\max} + I_{\min} = k(a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2) + k(a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2)$ થાય છે.
$I_{\max} + I_{\min} = k(2a_1^2 + 2a_2^2) = 2(ka_1^2 + ka_2^2)$.
તીવ્રતાની કિંમતો પાછી મૂકતા,આપણને $I_{\max} + I_{\min} = 2(I_1 + I_2)$ મળે છે.